实用文档之拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z 变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （F-2）或iss is A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
专题拉氏变换与Z变换
F ( z ) F * ( s )
s T k f ( kT ) z ln z k 0
F(z)与f*(t)或{f(kT)}构成变换对，它不是连续时间函数f(t)的Z变换。
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 对于序列{f(kT)}（也就是采样信号），可以定义它的z变换为
j t e e 1 1 st 1 L [sin t ] sin te dt e dt ( ) 2 2 0 0 2 j 2 j s j s j s
st
j t
j t ee 1 1 1 s s t Lt [ c o s ] c o s t e d t e d t ( ) 2 2 0 0 2 2 s j s j s
at at st ( s a ) t
（3）单位脉冲函数 (t )
1 t 0 0 t 0
s t L [ () t] () t e d t 1 0
专题1 拉氏变换与Z变换
1 拉氏变换及其性质 1.2 简单函数的拉氏变换
cos t
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.1 拉氏变换的基本概念 定义: 对于函数f(t)如果满足下列条件： （1）当t<0时，f(t)=0； 当t>0时，f(t)在每个有限区间上是分段连续的。
（2） ，其中σ是正实数，也就是说f(t) 0 是指数级； 那么定义f(t)的拉氏变换F(s)为
at L [ e f ( t )] F ( s a )
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 2.1 Z变换的定义 采样信号的数学表达式为 f * ( t) f( t) ( t kT )
(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系
1
j
Xs
e sT z -1 nds
2pj - j
n0
此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s
zX z-
s e sT
ss1
z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得，它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
于是， X(s)可以展成部分分式
-j
j
X s 2 2
s - jω0 s jω0
可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为
第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第一讲
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
信号系统与信号处理
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
概念：拉普拉斯反变换
例：设 X (s)为下式，求其反变换。
X (s)
1
，Res 1
(s 1)(s 2)
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5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
例：设信号 x(t) eatu(t) ，其傅里叶变换 X ( j)当 a 0
时收敛， X ( j) eatu(t)e jt dt eate jtdt 1
0
j a
么ROC就是整个 s 平面。 4. 如果 x(t) 是右边信号，而且如果 Res 0 这条
线位于ROC内，那么 Res 0 的全部 s 值都一
定在ROC内。
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2010
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信号系统与信号处理
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第五章 拉普拉斯变换
与Z变换
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5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
将以上两例在复平面中画出使得拉氏变换收敛（存在
）时，s 的取值范围。该范围称为变换的收敛域，此时
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
1拉氏变换的定义若时间函数f(t) 在 t > 0 有定义，则f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为L[ f (t )] F( s ) f (t ) e ts dt F( s )0 f (t ) 像原像1 2 拉普拉斯反变换 f (t )2πjjstj F( s )e d s,可表示为： f(t) =L-1[F(s)]1.表 A-1 拉氏变换的基本性质1L[ af (t )] aF ( s)齐次性线性定理L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F 2 ( s) 叠加性df (t )sF ( s) f ( 0)L[ ]dt2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ d 2 f (t ) ] s 2 F ( s ) sf (0 ) f（）dt 2Ld nf ( t ) s n F ( s)ns n k f ( k 1) ( 0 )dt n k 1f (k 1) ( t ) d k 1 f ( t )dt k 1L[ d n f (t) ] s n F ( s)dt nL[ f (t )dt]F (s) [ f (t)dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2 ] F (s)[ f (t)dt]t 0[ f (t )(dt)2 ]t 0s2 ss2共n个F (s) n 1共 n个n nL[ f (t)(dt) ] 1[f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k共 n个L[ f (t )( dt)nF( s)] s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 sL t f t f d L t t f t d F s F s [ 0 1( ) 2 ( ) ]f1( ) 2 ( ) ] )[ 0 1 ( ) 2 (2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和序号时间函数 e(t)1 δ (t)2 (t kT )3 T (t) (t nT )n 04 1(t)5 t6 t 227 t nn!8 e at9 te at10 1 e at11 e at e bt12 sin t13 cos t14 e at sin tat z变换表拉氏变换E(s)1e kTs11 e Ts1s12s13s1s n 11s a1(s a) 2as( s a)b a( s a)(s b)s2 2ss2 2( s a) 2 2s aZ 变换 E(z)1z kzz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z(z 1)2(z 1)3lim( n n1) n(z aT)a 0 n! a z ezz e aTTze aT(z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz2zsin T2z cos T 1z2z( z cos T )2zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz 2 ze aT cos T15 e cos t ( s a) 2 2 z2 2ze aT cos T e 2 aT16 a t / T1s(1/ T ) ln azz a。
拉氏变换表(包含计算公式)[1]1
![拉氏变换表(包含计算公式)[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/9f3f48a80029bd64783e2cf2.png)
1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn = 3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t) 12 Tse --11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21s t2)1(-z Tz5 31s 22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n t n)(!)1(lim 0aT n n n a ez z a n -→-∂∂- 7 as +1 at e - aTe z z-- 8 2)(1a s +atte- 2)(aT aT e z Tze ---9 )(a s s a+ ate--1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ))((b s a s ab ++-bt at e e --- bTaT e z ze z z ----- 11 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω 12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t e atωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1- T t a /az z -33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉氏变换傅氏变换与Z变换
整理课件
即
y ( n ) A |H ( e j 0 ) |co 0 n s a {H r ( e j g 0 )[ ]
从这个例子可以看出，当系统输入为正弦序列，输出为同频 的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ejω)|加权，而输出的相位 则为输入相位与系统相位响应之和。这正是线性时不变系统的基 本特性。正因如此，信号和系统的频域（傅里叶变换）表示法在 离散线性系统中是很有用的。
整理课件
因果系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果
系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即
Rx | z|
整理课件
稳定系统
一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝
对可和条件，即
| h(n) |
n
而Z变换的收敛域由满足 | h(n)zn | 的那些z值确定，因 n
反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。
整理课件
jIm[z]
|H(ej)|
－ 1 c1
C1
d1 D1
o
1
D2
Re[z]
o
( )
d2
o
－
频率响应的几何表示法
整理课件
2
2
例 2-29 设一个因果系统的差分方程为
y(n)=x(n)+ay(n-1) |a|<1, a为实数
求系统的频率响应。 解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得
－ 3 /T S平 面
左——单位圆内 右——单位圆外 虚轴——单位圆
Z平 面
图 1-34 S平面与整Z理平课件面多值映射关系
X(z) xa(n)T zn x(n)zn
n
拉氏变换及其计算机公式
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59) (5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
z变换有关证明
H (e jω )
。
。 0
π
2
π
3π 2
2π ω
零点在单位圆上0, π处；极点在
π
2
, 3π 处 。
2
设一阶因果系统的差分方程为: [例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: 为实数,求系统的频率响应 y(n) = x(n) + ay(n −1), a <1 a为实数 求系统的频率响应。 ， 为实数 求系统的频率响应。 [解]: 对差分方程两边取Z变换:
k =1
r r e − cm = ρm = ρme jθm r r jω e − dk = ιk =ιk e jΦk
jω
r r cm零点向量，ρm零点指向向量； r r dk极点向量，ιk极点指向向量。
因此，H(e jω ) = K
∏ρ
m=1 N
M
m
arg[ H(e jω )] = arg[ K] +
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 3. 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的 变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的 （DTFT） ）
1．三种变换的比较
因果性： 因果性：输出不超前于输入 系统因果性的判断方法： 系统因果性的判断方法：
时域： h(n) = h(n)u(n)
z域： 域 收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
线性移不变系统常用差分方程表示：
∑a
k =0 M
M
k
y(n − k) = ∑bm x(n − m)
m=0 M
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
傅立叶_拉氏_Z变换
傅里叶、拉普拉斯变换与Z 变换，今天我也来做下这三个变换笔记。
无论是通信工程，电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等，这三个变换都必须要学习到，可以这么说，凡是理工科生的如果没学会这三个变换，你的专业等于是白读了，应该是滥竽充数，不过好像说的夸张了些（：。
三个变换，本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换，在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似matlab 或者mathcad 之类的软件去做计算，本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导，以及三个变换的关联性。
关于三个变换原理或者应用方面的知识，不在阐释了，网络上已经有很多这方面的文章。
本笔记参考书籍《信号与系统》-----郑君里版本。
从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。
其实只要知道傅里叶变换的公式，后面两个（拉普拉斯与Z 变换）都可以通过傅里叶变换变化而来。
首先来推导：第一个变换公式傅里叶变换，其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换，最后Z 变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。
****************************************************************************************************************傅里叶变换：（频域分析）连续系统： 介绍傅里叶变换前，先解释两个概念 “频谱分析”和“傅立叶级数”，然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。
频谱分析：就是将时域的信号（信号可以是周期与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。
其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。
这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换进行变换.这两者目的都一样，都是把时域信号变成频域以便于信号分析。
其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。
拉氏变换傅氏变换与Z变换
响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为
y(n)x(n)h(n) x(m )h(nm )
对等式两端取Z变换，得
m
Y(z)H (z)X(z)
则
H(z) Y(z) X (z)
H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响
应的Z变换，即
H(z)Z[h(n)] h(n)zn n
2.6 序列的傅氏变换
因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z， 得到序列傅里叶变换的定义为
F[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
序列的傅里叶反变换公式
x ( n ) F 1 [ X ( e j ) ] 2 1 j|z | 1X ( z ) z n 1 d 2 z 1 X ( e j ) e j n d
h(n)1nu(n)2nu(n1) 2
由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。
2.10.3 系统频率响应的意义
对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：
x(n)=ejωn -∞<n<∞
线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为
y(n)x(n)h(n) h(m)x(nm)
例 2-23 已知系统函数为
H(z)112 z12 3z(112z1)1121z1112z1
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
2<|z|≤∞
解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。
从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。
线性时不变系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的连续周 期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式
专题拉氏变换与Z变换.ppt
证明： L( ( f (t, a))) f (kT , a)zk f (kT , a)zk F (z, a)
a
k 0 a
a k 0
a
例题见课本P21例2.6，自学。
Z反变换
专题1 拉氏变换与Z变换
3 Z反变换
Z反变换，即由象函数F（z）求序列f(kT)或者采样函数f*(t)的 变换。
f
()
lim(1
z 1
z1)F (z)
1
lim
z 1
1
0.2
z
1
1.25
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若 Z[ f (t,a)] F(z,a) ，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L( ( f (t, a))) F(z, a)
a
a
z eaT
1 z eaT
（4）复数位移定理
若 Z[ f (t)] F(z) ，则 Z[eat f (t)] F (eaT z)
证明：Z[eat f (t)] eakT f (kT )zk f (kT )(e aT z)k F (e aT z)
k 0
证明： Z[f1 (t) f2 (t)] (f1 (t) f2 (t))z k k 0
f1 (t) z k f2 (t)z k F1 Biblioteka z) F2 (z)k 0
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0
z n ( f (0) f (T ) z1 f (2T )z 2 ) z n F (z)
拉普拉斯变换表及一些性质
4194204213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数422[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，是在信号处理和控制系统领域中非常重要的数学工具和转换方法。
它们各自具有独特的数学特性和应用领域，对于理解和分析信号、系统和控制器具有重要意义。
在本篇文章中，我将从基础概念到深入原理，探讨这三种变换的定义、特性和应用，并共享我个人的见解和理解。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换在通信、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
1. 定义和公式对于一个连续信号x(t)，其傅里叶变换X(ω)定义如下：X(ω) = ∫[−∞, +∞]x(t)e^(−jωt)dt其中，X(ω)表示信号x(t)的频域表示，ω为角频率，e^(−jωt)为复指数函数。
2. 特性傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、频率缩放性等性质，这些性质使得我们可以通过傅里叶变换对信号进行分析和处理。
3. 应用傅里叶变换广泛应用于信号的频谱分析、滤波器设计、信息压缩等领域。
在音频处理中，通过傅里叶变换可以将时域的音频信号转换为频域表示，从而实现音频的频谱分析和变换。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种对信号进行复域转换的方法，它在控制系统分析和传递函数求解中有着重要的应用。
与傅里叶变换不同，拉普拉斯变换适用于非周期性信号和因果系统的分析。
1. 定义和公式对于一个连续信号x(t)，其拉普拉斯变换X(s)定义如下：X(s) = ∫[0, +∞]x(t)e^(−st)dt其中，X(s)表示信号x(t)的拉普拉斯域表示，s为复数变量，e^(−st)为复指数函数。
2. 特性拉普拉斯变换具有线性性、平移性、尺度变换性等性质，这些性质使得我们可以方便地对线性时不变系统进行稳定性分析和传递函数求解。
3. 应用拉普拉斯变换在控制系统分析、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而方便地进行系统的稳定性分析和控制器设计。
拉普拉斯变换与Z变换
tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有：
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数） 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数） ，记为：
定义：设函数 f(t)当 t≥0 时有定义，而且积分 某一域内收敛，则由此积分所描述的函数可写为
∫
+∞
0
f (t )e − st dt （s 是一个复参量）在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2
拉氏变换重要公式
拉氏变换重要公式1 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞⋅==⎰2 常用公式()[]1t L =δ/()[]s1t 1L =/as 1]e[L at-=/2at a)(s 1]e [L -=t /[]22s t sin L ωωω+=[]22ss t cos L ωω+=/[]2s1t L =/[]1n nsn!t L +=/[]22at -a)(s t sin e L ωωω++=/[]22at -a)(s a s t cos e L ωω+++=3 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅=' （3）积分定理：()[]()()()0fs 1s F s 1dt t f L 1-+⋅=⎰零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=⎰进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn ----++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰（4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅（5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim0s t ⋅=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lims 0t ⋅==∞→→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stdse ).s (F j 21)t (f σσπ(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b sb sb )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1nm1-m 1m 1m0>+++++++++==-其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=)s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：)∑=-=-++-+-+-=n1i iinn 332211p s c p s c p s c p s c p s c )s (F而i c 计算公式：)s (F ).p s (lim c i p s i i-=→(1) ip s 'i)s (A )s (B c ==(1′)II ：0)s (A =有重根时：设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s +为单根 .则)s (F 可表示为：nn 1m 1m 111-m 11-m m1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++其中单根n 1m c ,c +的计算仍由I 中公式(1) (1′)来计算. 重根项系数的计算公式：[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (dsd lim j!1c (2) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j (j)j-m m 1p s 1-m m 1p s m 1111Ⅲ：0)s (A =含有共扼复数根时：则)s (F 可表示为：nn p s c p s c p s p s c s c s F ++⋅⋅⋅++++++=332121))(()(c1和c2的求法公式如下，利用等式两边实部和实部相等，虚部和虚部相等得c1和c2。