零点及二分法、图像变换练习题
分层作业1——零点、二分法
序号：01 数学分层作业 AB 层
1. 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（ ）
A ．○
1○2○3 B ．○2○3○4 C ．○1○2○4 D ．○1○3○4 2.对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是
（ ） A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
3.用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .
4.方程lg 10
x x -=的根的个数是
*5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x e =-，则()f x 的零点个数 是 个.
序号：01 数学分层作业 C 层
C-1.已知函数()()22log 1,02,0
x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .
C-2.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时, ()f x x =,则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是。
【一线教师倾力打造】人教B版数学必修同步练习数零点近似解的一种计算方法——二分法含答案
1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )．A ．f (0)＞0，f (2)＜0B ．f (0)·f (2)＜0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)＜0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )的变号零点个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．函数y ＝x与y =( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．如图所示，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )．5．设函数[)()221,0,()4,,0x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩又g (x )＝f (x )－1，则函数g (x )的零点是________． 6．某方程有一个无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.7．证明：函数 225()1x f x x -=+在区间(2,3)上至少有一个零点． 8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．9.如图所示，有一块边长为15 c m 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x c m 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 c m3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 c m)?参考答案1. 答案：D解析：当f (x )＝|x －1|时，对于x ∈(0,2)恒有f (x )≥0，故A 、B 、C 排除．2. 答案：D3. 答案：C解析：依题意，令()f x x =(1)10f =<，(2)20f =>，∴f (1)f (2)＜0，且函数y ＝f (x )的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y ＝x 与y =(1,2)，故选C.4. 答案：B解析：只有变号零点才适合用二分法来求．5. 答案：1，解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )－1＝2x －2，令g (x )＝0得x ＝1；当x ＜0时，g (x )＝x 2－4－1＝x 2－5，令g (x )＝0得x =∴g (x )的零点是1，6. 答案：5解析：∵310.12n -≤，得2n ≥20，n ＞4， ∴至少等分5次． 7. 解：∵函数225()1x f x x -=+的定义域为R ， ∴函数f (x )的图象在区间(2,3)上是连续的．又∵22251(2)0215f ⨯-==-<+，22351(3)03110f ⨯-==>+， ∴f (2)·f (3)＜0.∴函数f (x )在区间(2,3)上至少有一个零点．8. 解：(1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点．当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得59m ≤-. ∴当59m ≤-且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，59m ≤-. (2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有()12216m x x m -+=-+，1216m x x m +=+. ∵12114x x +=-，∴12124x x x x +=-，即()2141m m --=-+，解得m ＝－3. 当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0.∴m ＝－3.9. 解析：(1)∵底面积为(15－2x )2，高为x ，又15－2x ＞0且x ＞0，∴ 0＜x ＜7.5.∴y ＝(15－2x )2x ，x ∈(0,7.5)．(2)∵容积为150 c m 3，∴(15－2x )2·x ＝150.下面用二分法来求方程(15－2x )2x ＝150在(0,7.5)内的近似解．设f (x )＝(15－2x )2x －150，∵f (0)·f (1)＜0，f (4)·f (5)＜0，∴函数f (x )在[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求出方程在(0,1)内的解，如下表：∵∴可在区间[0.812 5，0.875]内取0.843 75作为函数零点的近似值．同理可得，在区间[4,5]内的近似值为4.7.即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内解的近似值分别为0.8和4.7.答：如果做成一个容积为150 c m 3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 c m 或4.7 c m.。
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
新教材2021-2022学年湘教版必修第一册 4.4.2 计算函数零点的二分法 作业
课时跟踪检测(三十三) 计算函数零点的二分法[A 级 根底稳固]1．(多项选择)以下函数中，能用二分法求函数零点的有( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝log 4xD ．f (x )＝e x －2解析：选ACD f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，f (1)＝0，当x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．应选A 、C 、D.2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是( ) A ．[2，3] C ．[2，3]解析：选A 令f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625>0，f (2)f (2.5)<0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，]，应选A.3．用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的局部函数值数据如表所示：解析：选C 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋2x ，1.812 5)内．结合选项可知，方程x 3＋2x C.4．(2021·山西太原高一质检)函数y ＝f (x )为[0，1]上的连续函数，且f (0)·f (1)<0，使用二分法求函数零点，，那么需对区间至多等分的次数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设需计算n 次，那么n 满足12n ，即2n >10，故计算4次就可满足要求，应选C.5．函数f (x )是R 上的单调函数，且f (x )的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，⎝⎛⎭⎫1，32内，那么与f (0)符号相同的是( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f ⎝⎛⎭⎫32D ．f (4)解析：选A 零点在(0，4)内，那么有f (0)·f (4)<0，不妨设f (0)>0，f (4)<0，取中点2； 零点在(0，2)内，那么有f (0)·f (2)<0，那么f (0)>0，f (2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，那么有f (1)·f (2)<0，那么f (1)>0，f (2)<0，取中点32；零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，那么有f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，那么f (1)>0，f ⎝⎛⎭⎫32<0.所以与f (0)符号相同的是f (1)．6．假设用二分法求函数f (x )在(a ，b )内的唯一零点时，，那么结束计算的条件是________． 解析：，即|a －b |≤，又b >a ，∴b －a ≤0.001. 答案：b －a ≤7．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，那么a ，b 的关系是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .答案：a 2＝4b8．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，那么下一个含根的区间是________．解析：令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12＜0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，29．函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数零点存在定理可得方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解．(2)取x 1＝12×(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12×(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32.再取x 3＝12×⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 综上所述，所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内． 10．方程2x ＋2x ＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(误差不超过0.1)． 参考数值：解：(1)令因为函数f (x )＝2x ＋2x －5在R 上是增函数，所以函数f (x )＝2x ＋2x －5至多有一个零点． 因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0， f (2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以方程2x ＋2x ＝5有一解在(1，2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下：， ，所以函数的零点近似值为1.312 5， 即方程2x ＋2x ＝5的近似解可取为1.312 5.[B 级 综合运用]11．用二分法求函数的零点，经过假设干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |<ε(ε为误差值)时，函数零点的近似值x 0＝a ＋b 2与真实零点的误差最大不超过( )A.ε4 B ．ε2C ．εD ．2ε解析：选B 真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b 2－a ＝b －a 2<ε2，因此误差最大不超过ε2.12．假设函数f (x )在[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f (a )·f (b )<0，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0，那么( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上有零点B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上无零点D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上无零点解析：选B 由f (a )·f (b )<0，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )<0，根据零点存在定理可知f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点．13．f (x )＝1x －ln x ，在区间(n ，n ＋1)(n ∈Z )上有一个零点x 0，那么n ＝________．假设用二分法求x 0的近似值(误差不超过0.01)，那么至少需要将区间等分________次．解析：f (x )＝1x －ln x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝1>0，f (2)＝12－ln 2<0，∴f (x )的零点x 0∈(1，2)，故n ＝1. 设至少需等分n 次，那么⎝⎛⎭⎫12n≤且n ∈N ， 解得n ≥7，故至少需等分7次． 答案：1 714．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A )到防洪指挥部(设为B )的 线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？ (2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m ～100 m 左右，最多要查多少次？解：(1)如下图，他首先从中点C 查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D 查，这次假设发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点E 来查，依次类推…(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．[C 级 拓展探究]15．函数f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为R 上的连续函数．(1)假设函数f (x )在区间[－1，1]上存在零点，求实数m 的取值范围；(2)假设m ＝－4，判断f (x )在(－1，1)上是否存在零点？假设存在，，用二分法求出这个零点所在的区间；假设不存在，请说明理由．解：(1)易知函数f (x )在区间[－1，1]上单调递减，∵f (x )在区间[－1，1]上存在零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 〔－1〕≥0，f 〔1〕≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋8＋m ＋3≥0，2－8＋m ＋3≤0，∴－13≤m ≤3， ∴实数m 的取值范围是[－13，3]． (2)当m ＝－4时，f (x )＝2x 2－8x －1， 易求出f (－1)＝9，f (1)＝－7.∵f (－1)·f (1)<0，f (x )在区间(－1，1)上单调递减， ∴函数f (x )在(－1，1)上存在唯一零点x 0. ∵f (0)＝－1<0，∴f (－1)·f (0)<0， ∴x 0∈(－1，0)．∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝72>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵f ⎝⎛⎭⎫－14＝98>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－14，0. ∵f ⎝⎛⎭⎫－18＝132>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－18·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－18，0. ∵⎪⎪⎪⎪－18－0＝18<15， ∴所求区间为⎝⎛⎭⎫－18，0.。
函数应用零点二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
人教B版必修一课后作业：第二章 函数 2.4.2 Word版含答案
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．知识点一零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念思考函数y＝3x＋3，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值有怎样的变化？答案函数y＝3x＋3的零点是－1，零点左侧的函数值为负数，零点右侧的函数值为正数；函数y＝x2的零点是0，在0两侧的函数值都是正数. 函数y＝x2－2x－3的零点是－1，3，在零点左右两侧的函数值异号．梳理 1.零点存在的判定如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2．变号零点与不变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．知识点二二分法思考1从机房到用户有一根光缆线，现测得光缆线上有一个断点，如何尽快找到这个断点？答案从中间(中点)向机房测试，若通，则断点必在中点与用户之间，以此查找，则能较快找到断点的大致位置．思考2已知y＝f(x)在[2,3]上连续，且f(2)＞0，f(3)＜0，即在(2,3)上有零点，问如何尽快缩小零点所在区间的范围？答案①取[2,3]的中点2.5.②计算f (2.5)．③若f (2.5)＞0，则零点必在(2.5,3)内，否则在(2,2.5)内． 梳理 1.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法求函数零点的一般步骤已知函数y ＝f (x )定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)f (b 0)＜0，零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点，则此中点对应的坐标为x 0＝12(a 0＋b 0)．计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：(1)如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)．计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：(1)如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f (a 1)·f (x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. …继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当区间的长度b n －a n 不大于给定的精确度时，这个区间[a n ，b n ]中的任何一个数都可以作为函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止．类型一判断零点存在区间例1已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：则下列判断正确的是________．①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点．②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点．③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点．④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．答案①②③解析根据零点存在的条件判断．反思与感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)总结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练1(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．(2)已知函数f(x)＝x3－2x2－x＋2，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在[a，b]内的零点个数为________．答案0或2解析f(x)＝(x－2)(x－1)(x＋1)的图象如图，由图象可知，f(x)在[a，b]内的零点个数为0或2.类型二二分法的概念例2(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()(2)下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝(x－1)(x＋2)答案(1)C(2)C解析(1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．反思与感悟二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案 D解析y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点，所以有4个．适合用二分法求零点，必须是变号零点，所以有3个．类型三用二分法求函数的近似零点例3求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．解由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．反思与感悟二分法求函数零点的近似值的步骤跟踪训练3(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6答案 C(2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．解由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：由上表的计算可知，区间[1.5,1.562 5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．所以f(x)＝x3－x－2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案 A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]答案 A3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0) B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]答案 B解析由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m＜0，∴0＜m＜2.4．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]答案 D解析因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D. 5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________________．答案(0,0.5)x0＝0.25时f(0.25)的值1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．课时作业一、选择题1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝－x2＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1答案 C解析∵f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，∴f(x)＝x2＋22x＋2不宜用二分法求零点．2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解答案 A解析使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根所在区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案 A解析由表格中数据可知f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.4．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是() A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点答案 D解析 f (1)·f (2)·f (4)＜0，则f (1)，f (2)，f (4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(2,4)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D 正确．5．用二分法求函数f (x )在(a ，b )内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( ) A ．|a －b |＜0.1 B ．|a －b |＜0.001 C ．|a －b |＞0.001 D ．|a －b |＝0.001答案 B解析 据二分法的步骤知当区间长度|b －a |小于精确度ε时，便可结束计算． 6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( ) A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0)答案 C解析 设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内． 二、填空题7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0， ∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2,3)．8．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)答案 ③④⑤9．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币． 答案 4解析 由二分法的原理可得，最多需要4次．10．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示．下列结论正确的序号是______．①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；③当x ＜－12时，恰有一个零点；④当0＜x ＜1时，恰有一个零点． 答案 ①②③解析 函数y ＝f (x )的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确． 三、解答题11．用二分法求方程x 2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)解 令f (x )＝x 2－2，由于f (0)＝－2＜0，f (2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1.故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．12．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解 (1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，所以a ≠0.由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＜0，a －2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＞0，a －2＜0，所以1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为1＜a ＜2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，所以f (－1)＝6017＞0，f (0)＝2817＞0，f (1)＝－417＜0，所以函数零点在(0,1)内，又f (12)＝0，所以方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.13．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.(1)证明a ＞0；(2)利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．证明 (1)∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0，∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c .∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0.(2)在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0.∵f (0)＞0，f (1)＞0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上至少各有一个零点， 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．四、探究与拓展14．已知f (x )的一个零点x 0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x 0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 函数f (x )的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为127＜0.01.15．已知函数f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为R 上的连续函数．(1)若m ＝－4 ，判断f (x )＝0在(－1,1)上是否有零点？若没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即零点所在区间长度小于0.2)，用二分法求出这个零点x 0所在的区间；(2)若函数f (x )在区间[－1,1]上存在零点，求实数m 的取值范围．解 (1) m ＝－4时，f (x )＝2x 2－8x －1，可以求出f (－1)＝9，f (1)＝－7，∵f (－1)·f (1)<0，f (x )为R 上的连续函数，∴f (x )＝0在(－1,1)上必有零点，取中点0，代入函数得f (0)＝－1<0, f (－1)·f (0)<0，零点x 0∈(－1,0)，再取中点－12， 计算得f (－12)＝72>0， ∴零点x 0∈(－12，0)， 取其中点－14，计算得f (－14)＝98>0 ， ∴零点x 0∈(－14，0)，再取其中点－18，计算得f (－18)＝132>0， ∴零点x 0∈(－18，0)， 区间长度18<15，符合要求， 故符合要求的零点x 0所在的区间为(－18，0)． (2)f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－－82×2＝2，在区间[－1,1]上，函数单调递减，又f (x )在区间[－1,1]上存在零点，只可能⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋8＋m ＋3≥0，2－8＋m ＋3≤0，∴－13≤m ≤3.。
零点 及 二分法、图像变换练习题精品文档6页
函数与方程考纲要求了解函数零点的概念，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系/理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法/能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；∈(a，c))；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x∈(c，b))．(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.巩固练习1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( )A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个2．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3． 函数f (x )＝x －4x的零点的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0－2＋ln x ， x ＞0的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)7. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得其中 一个零点x 0∈________，第二次应计算________．8. 函数f (x )＝2－x ＋x 2－3的零点个数是________． 9. 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．幂函数与二次函数考纲要求：了解幂函数的概念/结合函数y ＝x ；y ＝x 12；y ＝x 2；y ＝x －1；y ＝x 3的图象，了解它们的变化情况 1．幂函数的定义一般地，形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图． 考向一 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考向二 二次函数的最值【例3】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．【例4】已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．幂函数与二次函数练习题一、选择题1．函数3y x =（ ）A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数2.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如右表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 ( )A ．2 B.34 C.23D ．0 4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定5．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )二、填空题7．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
考点12 零点定理(练习)(原卷版)
考点12：零点定理【题组一求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.3．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【题组二零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是()A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,73．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【题组三零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为.4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是.5．函数()3f x x =-,则()f x 的零点个数为________.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为.9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是.12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【题组四根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是.2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为.3．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为.4．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k =．5．函数1()lg1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.6．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.7．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．8．若函数()()21xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是.9．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.10．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.11．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝．12．设(0,1)m ∈，若函数2log ,02()(4),24x m x f x f x x ⎧-<≤=⎨-<<⎩有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是.13．已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是.14．已知m R ∈，函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是.15．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且0x ≥时，()31,0153,13x x x f x x -⎧+≤≤⎪=⎨+>⎪⎩，方程()f x m =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是.【题组四二分法】1．已知函数 uli m l l ⺁ 的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程l l ⺁ m 的近似解可取为（精确度 鎀ၹ）.2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是()A ．()21f x x =-B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x=D ．()2xf x e =-3．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x12 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125()f x -63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为4．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（）A ．()12，B ．()1.752，C ．()1.52，D ．()11.5，5．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为.6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为.A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，37．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：x 23 2.5 2.75 2.625 2.5625()f x 1.3069- 1.09860.084-0.5120.2150.066则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（）A ．2.52B ．2.625C ．2.47D ．2.758．用“二分法”求26y x =-的零点时，初始区间可取（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4。
(整理)函数应用零点二分法知识点和练习.
精品文档5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。
6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。
7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；(4)判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
二分法试卷练习
二分法一、选择题1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A．()31f x x=- B．()3f x x=C．()f x x= D．()lnf x x=2．已知()1lnf x xx=-在区间()1,2内有一个零点x，若用二分法求x的近似值(精确度为0.2)，则最少需要将区间等分的次数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．函数()2f x x m=+的零点落在()1,0-内，则m的取值范围为( )A．()2,0- B．()0,2 C．[]2,0- D．[]0,24．关于用二分法求近似解的精确度ε的说法，正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高 B．越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与无关5．若()y f x=在区间[],a b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A．若()()0f a f b<，则不存在实数(),c a b∈，使得()0f c=B．若()()0f a f b<，则存在且只存在一个实数(),c a b∈，使得()0f c=C．若()()0fa f b>，则不存在实数(),c a b∈，使得()0f c=D．若()()0f a f b>，则有可能存在实数(),c a b∈，使得6．设函数()2312xf x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与x轴的交点为(),0x，则x所在的区间为（）A.()2,3 B.3,22⎛⎫⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.()0,17．用二分法求函数()f x的一个正实数零点时，经计算()()0.640,0.720f f<>，()0.680f<，()0.740f>，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.64 B.0.8 C.0.7 D.0.68．已知x0若()101,x x∈，()20,x x∈+∞，则( ) A．()10f x<，()20f x< B．()10f x<，()20f x> C．()10f x>，()20f x< D．()10f x>，()20f x>εεε()0f c=二、填空题9．用二分法求函数()y f x=在区间[]2,4上零点的近似解，经验证有()()240f f<.取区间的中点12432x+==，计算得()()120f f x<，则此时零点x∈ ________(填区间)．10．用二分法求方程ln20x x-+=在区间[]1,2上根的近似值，先取区间中点32c=，则下一个含根的区间是________．11．用二分法求方程250x-=在区间()2,3内的近似解，经过________次二分后精确度能达到.三、解答题12．利用计算器，求方程lg2x x=-的近似解(精确度0.1)．13．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.14．已知函数()ln26f x x x=+-.(1)证明()f x有且只有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于14.参考答案1．C 【解析】结合函数()f x x =的图象可知，该函数在0x =左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点． 考点：二分法的概念.2．A 【解析】易知()10f >，()20f <，由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次，302f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，区间长度为320.50.22-=>，分二次，704f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，区间长度为724-=0.250.2>，分三次，1508f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，区间长度为71510.2488-=<，所以最少分三次可以使0x 的近似值达到精确度0.2.考点：用二分法求函数的零点.3．B 【解析】由题意知()()()1020,0 2.f f m m m -⋅=-<∴<<考点：用二分法求函数的零点.4．B 【解析】由精确度的定义知，越大，零点的精确度越低． 考点：用二分法求方程的近似解.5．D 【解析】由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B 可通过反例“()()()11f x x x x =-+在区间[]2,2-上满足()()220f f -<，但其存在三个零点：−1，0，1”推翻；选项C 可通过反例“()()()11f x x x =-+在区间[]2,2-上满足()()220f f ->，但其存在两个零点：−1，1”推翻，故选D. 考点：用二分法求函数的零点. 6．C 【解析】函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭为单调增函数且其图象为连续的曲线，且()32711210,028f f ⎛⎫=-=-<=-> ⎪⎝⎭，031,.2x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭考点：用二分法求函数的零点.7．C 【解析】因为()0.680f <，()0.720f >，所以零点在区间()0.68,0.72内，又精确度为0.1，所以为0.7.考点：用二分法求函数的零点. 8．B f(x)由两部分组成，2xy =在()1,+∞上单调上单调递增，∴()f x 在()1,+∞上单调递增．∵10x x <，∴εε()()100f x f x <=，又∵20x x >，∴()()200f x f x >=，故选B.考点：函数的零点.9．(2， 3)【解析】∵x 1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x 0∈(2，3)． 考点：用二分法求函数的零点. 10．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令f(x)＝lnx −2＋x ，∵f(1)＝−1<0，f(2)＝ln2>0，331ln 0222f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴下一个含根的区间是3,22⎛⎫⎪⎝⎭. 考点：用二分法求方程的近似解.11．7【解析】区间()2,3的长度为1，当7次二分后区间长度为71110.012128100=<=. 考点：用二分法求方程的近似解.12．1.8125（不唯一）【解析】作出y ＝lg x ，y ＝2−x 的图象可以发现，方程lg x ＝2−x 有唯一解，设为0x ， 设f(x)＝lg x ＋x −2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒0x ∈(1，2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒0x ∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0⇒0x ∈(1.75，2)；f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒0x ∈(1.75，1.875)； f(1.75)<0，f(1.812 5)>0⇒0x ∈(1.75，1.812 5)．因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5. 考点：用二分法求方程的近似解. 13．略【解析】如图所示，首先从AB 线路的中点C 开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，判定故障在BC ；再到BC 段中点D 检查，这次发现BD 段正常，可见故障出在CD 段；再到CD 段中点E 来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m 左右，查7次就可以了． 考点：二分法的实际应用.14．略【解析】(1)证明：易知f(x)＝lnx ＋2x −6在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2−2<0，f(3)＝ln3>0，∴f (2)·f (3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取123522x +==，555ln 56ln 10222f ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，∴()5302f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭.∴()f x 的零点05,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．取25311224x +==， 则111111111ln 26ln 044442f ⎛⎫=+⨯-=->⎪⎝⎭. ∴511024f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴0511,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ∵115114244-=≤，∴满足题意的区间为511,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 考点：用二分法求零点，用二分法求方程的近似解.。
高中数学人教B版必修一练习：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )(A)[-2,1] (B)[2.5,4](C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0.所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)(C)(1,) (D)(,2)解析:设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,F()=()3-2×-1=-<0,所以f()·f(2)<0,所以该根应在区间(,2)内.故选D.5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )(A)[1,2] (B)[0,1](C)[-1,0] (D)[2,3]解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.6.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表:不求a,b,c的值,可以判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根所在的区间是( A )(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )(A)大于0 (B)小于0(C)等于0 (D)无法判断解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个(B)5个(C)至多5个(D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,即f(1.25)·f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.9.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 .解析:令F(x)=f(x)-g(x),因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,于是F(0)·F(1)<0,故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2),再x2=(1+2)=,得f()=-<0,由f(1)·f()=-<0,则下一个有解区间为(1,),综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2∈R,x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)].g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).。
高考数学讲义与习题：零点定理含详解
lg(x 1), x 1,
是
。
5．函数 f x 4x x 2 a 有四个零点，则 a 的取值范围是________．
6．若函数 f
x
3xx2
2 x1(
x
x0)
0
，方程
f
x
m 有两解，则实数 m 的取值范围为______ ．
7．偶函数
f x 满 足
f x f 2 x
，且当
x 1,0 时 ，
2．函数 f x x2 3x 4 的零点是____________.
【答案】1, 4
【解析】令 f（x）=0，即 x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.
3．若函数
f
x
ex, x 0
x
2
1,
x
0
，则函数
y
f
x 1的零点是___________.
【答案】0 或 2
【解析】要求函数 y f x 1的零点,则令 y f x 1 0 ,即 f (x) = 1,
f
(x)
,且
f
(x)
2x2,0 x 1
4
2x,1
x
2
,则函数
g(x) f (x) 1 x 1的零点个数为___________. 3
【答案】6
【解析】因为 f (x 4) f (x) ,即 f x 是周期为 4 的周期函数
f
x 为偶函数,且
f
(x)
2x2,0 x 1
4
2x,1
6．已知定义在 R 上的函数 y f x 对任意 x 都满足 f x 1 f x ，且当 0 x 1时， f x x ，
3
则函数 g x f x ln | x | 的零点个数为
函数的零点求法(二分法)经典练习及答案
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()
解析根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
∴f(1.1875)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.1875,1.25)．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625＜0.1，
∴1.2可作为这个方程的实数解．
[能力提升]
7．(多选)若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题不正确的是()
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
答案BCD
4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________.
∴x0∈(1,1.5)；
取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0，
∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)；
取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0，
∴f(1.125)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.125,1.25)；
取x4＝1.1875，∵f(1.1875)≈－0.16＜0，
解析(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数．
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。
函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
一、函数图象辨识的方法步骤图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.二、作函数图象的一般方法1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．4、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．例如：()=+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．31y f x()2=-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标y f x的为平移变换．（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化．三、零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令()0=f x，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b上是连续不断的曲线，且()()0f a f b，⋅<结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x的f x的图象，函数()图象与x轴交点的个数就是函数()f x的零点个数；（2）两个函数图象：将函数()g x的差，根据f x拆成两个函数()h x和()()()()f x的零点个数就是函数()y h x和=f x h xg x，则函数()=⇔=()y g x的图象的交点个数=4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数四、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．【题型1 函数图象的画法与图象变换】【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象（1）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()2log 1y x =+【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）因为1()2xy f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11()()22xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数为偶函数，关于y 轴对称，因此只需要画0x >时的函数图形即可，11()==22xxf x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对称性即可得解.（2）将函数 2log y x = 的图象向左平移 1个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得到函数()2log 1y x =+ 的图象,如图所示.【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C ．向下平移两个单位长度 D ．向上平移两个单位长度 【答案】BD【解析】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+， 可将函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e 得到()2ln e y x =.故选：BD【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()f x 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）A ．()1f x -B ．()2f x --C ．()1f x --D ．()1f x -- 【答案】C【解析】由图知，将()f x 的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2，又将()f x 的图象关于y 轴对称后可得函数()y f x =-， 再向下平移1个单位，可得()1y f x =--所以解析式为()1y f x =--，故选：C.【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数12xy -=的图像可看作是把函数2xy =经过以下哪种变换得到（ ）A ．把函数2x y =向右平移一个单位B ．先把函数2x y =的图像关于x 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位C ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位D ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】D【解析】选项A ：函数2xy =向右平移一个单位得到12x y -=；选项B ：先把函数2xy =的图像关于x 轴对称得到2x y =-，然后向左平移一个单位得到12x y +=-；选项C ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后向左平移一个单位得到(1)122x x y -+--==；选项D ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到1222x xy --=⨯=；故选：D【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且在()2,+∞单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()22f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称，()2f x +是偶函数，()4g x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()()2y f x g x =+是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==，由于()f x 在()2,+∞上递增，在(),2-∞上递减， 所以()f x 有且仅有2个零点：0和4，另外有()30f <，所以()2f x +有且仅有2个零点：2-和2，()g x 有唯一零点：0， 所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点：2-、0和2. 当1x =时，()110g =>，()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<， 从而排除C 选项，故B 选项正确.故选：B【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）A ．()12log f x x = B ．()2log f x x = C ．()2x f x =D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对于A ，()112:1log 1C f x x +=+，()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-，A 错误；对于B ，()12:1log 1C f x x +=+，()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+，B 正确；对于C ，()1:121x C f x +=+，()22:224x xC f x ==，C 错误；对于D ，()11:112x C f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()2211:224x xC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：B.【题型2 由复杂函数解析式选择图象】【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵()()()()332cos 2cos e e e ex xx x x x x xf x f x -----==-=-++， ∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误；又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x xx ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数()sin 2xf x =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】注意到()sin 2xf x =过点()0,1，故可排除C ，D 选项.因2xy =在R 上单调递增，sin x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 则由复合函数单调性相关知识点可知，()sin 2xf x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除B 选项.故选：A【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数()3sin 3291x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易得函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，已知函数()3sin 3cos329133x xx xx x f x π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==--，()()()cos 3cos33333x x x x x xf x f x ----===---，∴函数()f x 为奇函数，排除A 选项；当0x +→时，0cos31x <<，31x >，31x -<，则330x x -->， 所以()0f x >，排除C 选项；当x →+∞时，1cos31x -≤≤，3x →+∞，30x -→，则33x x --→+∞， 所以()0f x →，排除D 选项；故选：B.【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数()2e2xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由()2e 2xf x x=，则其定义域为()()00-∞∞，，+，因为()()()22ee22xxf x f x xx --===-，故函数为偶函数， ()222e ,0e 22e ,02xx x x x f x x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩，()()()33e 2,02e 2,02x x x x x f x x x x -⎧->⎪⎪=⎨--<'⎪⎪⎩，令()0f x '=，解得2x =±，可得下表：x(),2-∞-2-()2,0-()0,22()2,+∞()f x ' -+-+()f x极小值极小值故选：A.【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数()()ln 0sin ax x f x a x+=在[2π-,2π]上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【解析】①当0a =时，()ln sin x f x x=，()()ln sin x f x f x x-=-=-，函数()f x 为奇函数，由0x →时()f x →∞，1x =±时()0f x =等性质可知A 选项符合题意； ②当a<0时，令()ln ||,()g x x h x ax ==-，作出两函数的大致图象，由图象可知在(1,0)-内必有一交点，记横坐标为0x ，此时0()0f x =，故排除D 选项；当02πx x -<<时，()()0g x h x ->，00x x <<时，()()0g x h x -<， 若在(0,2π)内无交点，则()()0g x h x -<在(0,2π)恒成立， 则()f x 图象如C 选项所示，故C 选项符合题意；若在(0,2π)内有两交点，同理得B 选项符合题意.故选：ABC.【题型3 根据函数图象选择解析式】【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（ ）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．()cos xf x x= D ．()cos xf x x=【答案】B【解析】A. ()010f =>，故错误；B.因为()010f =-<，且()1sin 0f x x '=+≥，则()f x 在R 上递增，故正确；C.()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称， 又 ()()()cos cos x xf x f x x x--===---，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；D. ()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()()()cos cos x xf x f x x x---===--，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．2()e e x x xf x -=+ B ．()3e e x x f x x -+= C ．2()e ex x x f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，排除A ；当333e e e e e e (),()()()x x x x x xf x f x f x x x x ---+++=-==-=--，故3e e ()x xf x x -+=是奇函数，排除B.当()()()()222,e e e e e e x x x x x x x x x f x f x f x ----=-==-=----，故2()e ex x x f x -=-是奇函数，排除C.故选：D【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()()2211x f x x x -=- B ．()2211x f x x x -=- C ．()22211x f x x x -=- D ．()()22211x f x x x -=-【答案】B【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当()0,1x ∈时，()0f x <；对CD ：定义域关于原点对称，且都有()()f x f x =-，均为偶函数，故错误；对A ：当()0,1x ∈时，()0f x >，故错误；故选：B.【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数()f x 的部分图像如图，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()()e e sin x xf x x -=- B ．()()e e sin x x f x x -=+C ．()()e e cos x x f x x -=-D ．()()e e cos x xf x x -=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，对于A ：由()()e e sin x xf x x -=-得：()()()()()e e sin e e sin x x x x f x x x f x ---=--=-=，()f x 为偶函数，故可排除A ；对于D ：由()()e e cos x xf x x -=+得：()()()()()e e cos e e cos x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x 为偶函数，故可排除D ；由图知()f x 图象不经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，而对于C ：ππ22ππe e cos 022f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除C ；故选：B【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数()sin f x x =，()g cos x x =，()p x x =，则图像为下图的函数可能是（ ）A ．()()2p x y f x =+B ．()()2y g f x x =+C ．()()2p x y f x =+D ．()()2p x y f x =+【答案】D【解析】对于A ，2sin xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故A 不符合； 对于B ，sin 2cos xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故B 不符合； 对于C ，2sin x y x=+由于[]sin 1,1x ∈-，所以02sin x y x=≥+，由于已知图象y 的值域中存在负值，故C 不符合； 对于D ，2sin xy x=+不是奇函数，[]sin 1,1x ∈-，所以R y ∈，故D 图象符合.故选：D.【题型4 根据实际问题作函数图象】【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =； 当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =； 当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =， 结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（ ）A ．()2a -B ．()3b -C ．()4c -D ．()1d - 【答案】AB【解析】在a 中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A 正确；在b 中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c 中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C 错误；在d 中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D 错误.故选：AB.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间ππ⎛⎫⎪⎝⎭，2上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当12x x π+=时，有()12()f x f x =-，()f x 的图象关于点(,0)π2对称，排除D ，故选：A【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,且BD CD ⊥,AB BD CD ==,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若PBD △的面积为()f x ,则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作PQ BC ⊥于点Q ,作QR BD ⊥于点R ,连接到PR ,由已知可得,PQ AB QR CD ∥∥,且AB ⊥平面BCD , 所以PQ ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ,所以PQ BD ⊥,,,,QR BD PQ QR Q PQ QR ⊥=⊂平面PQR ，BD ∴⊥平面PQR ,PR ⊂平面PQR ，BD PR ∴⊥,设1,AB BD CD ===3AC ∴=,133PQ PQ =∴, 33133QR BQ x x QR BC --==∴222332233333x x PR x x ⎛⎫-⎛⎫∴=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故23()22336f x x x =-+其函数图像是关于直线3x 对称的图像且开口上,故选项B,C,D 错误．故选:A ．【题型5 函数零点所在区间问题】【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 【答案】C【解析】因为函数()()52lg 21f x x x =--+在1(,)2-+∞上单调递减，所以函数()f x 最多只有一个零点， 因为(0)(1)5(52lg3)5(3lg3)0f f ⋅=--=->，(1)(2)(52lg3)(54lg5)(3lg3)(1lg5)0f f ⋅=----=-->， (2)(3)(52lg3)(56lg7)(3lg3)(1lg7)0f f ⋅=----=---<， (3)(4)(56lg7)(58lg9)(1lg7)(3lg9)0f f ⋅=----=---->，所以函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是()2,3.故选：C【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数81()log 3f x x x=-的一个零点所在的区间是（ ）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，3.5)D ．(3.5，4) 【答案】A【解析】因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上单调递增， 所以，81()log 3f x x x =-在()0,∞+上单调递增， 因为()()8811111log 1,2log 23366f f =-=-=-=，()()120f f ⋅<， 所以，函数只有一个零点，且位于()1,2区间内.故选：A ．【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()10,1--B ．()1,10C ．()1,11D ．()11,1-- 【答案】D【解析】因为函数y x a =+与lg y x =均在()1,10上单调递增，所以()lg f x a x x =++在()1,10上单调递增.要使函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则只需要()()10100f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即可， 即10110a a +<⎧⎨+>⎩，解得111a -<<-.故选：D.【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知()23e x f x x =-，函数()f x 的零点从小到大依次为,12i x i =､､，若[),1(i x m m m ∈+∈Z ），请写出所有的m 所组成的集合___________.【答案】{}1,0,3-【解析】()f x 的零点可以转化为函数e x y =和23y x =图象交点的横坐标，图象如右所示，由图可知共三个零点，()1130f --=->e ，()010f =-<，所以在[)1,0-上存在一个零点； ()130f =->e ，则在[)0,1上存在一个零点；()33270f =->e ，()44480f =-<e ，则在[)3,4上存在一个零点；所以{}1,0,3m ∈-.【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数()e 1x f x a x b =-+，若()f x 在区间[]1,222a b +（ ）A ．1eB eC ．2eD ．1 【答案】BCD【解析】设()f x 在区间[]1,2上零点为m ，则e 10m a m b -+=，所以点(),P a b 在直线e 10m x y m --=上，()()222200a b a b OP +-+-，其中О为坐标原点．又()2220e 10ee 11m m mmm OP ⋅-+-≥=-+，记函数()2e m m g m =，[]1,2m ∈，()2222211122e e e e m m m mg m m m'==⎛⎫ -⎪⎝⎭- 因为[]1,2m ∈，所以()g m 在[]1,2m ∈上单调递增 所以()g m 最小值为()11g e=，所以221e a b +≥，故选：BCD.【题型6 函数的零点与零点个数问题】【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数(),R y f x x =∈，满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()f x 的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由题意得()f x 的周期为2，作出()y f x =与4log y x =的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于=1x -对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=-，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为（ ）A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027 【答案】D【解析】由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0x ∈，1]时，()f x x =,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，得()()()(4)(2)=f x f x f x f x +=-+--=， 所以函数()f x 在[0，)∞+上以4为周期，()()2f x f x +=-, 做出函数()f x 一个周期[0，4]的图象：当0x >时，0x -< ，由()()g x g x =-得：()2025=log f x x - 令2025log 1x -=-，则2025x =，因为202545061=⨯+，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，所以共有505231013⨯+=个交点，当0x <时，0x -> ，由()()g x g x =-得：()()2025=log f x x ---,令x t -=，得()2025=log f t t -，由上述可知，()2025=log f t t -有505231013⨯+=个交点，故()()2025=log f x x ---有505231013⨯+=个交点，又0x =时，(0)(0)g g =，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为210131=2027⨯+．故选：D ．【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数21()cos sin 14f x x x x x =+--零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】()()()()()2211()cos sin 1cos sin 144f x x x x x x x x x f x -=-+-----=+--=, ()f x ∴是R 上的偶函数，1()cos 2f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,①当[]0,2πx ∈时,令()0f x '>,得π03x <<或5π2π3x <≤， 令()0f x '<,得π5π33x <<.()f x ∴在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭和5π,2π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.()()22π5π5π315π100,0,2ππ0333432f f f f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯-⨯-<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0π5π,33x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00,()f x f x =∴在[]0,2π上有两个零点.②当(2,)x π∈+∞时,2211()cos sin 1044f x x x x x x x =+--<-<，()f x ∴在()2π,+∞上没有零点，由①②及()f x 是偶函数可得()f x 在R 上有三个零点.故选：D.【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+- ，(1)0(0)(2)1f f f -===， ，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =， 令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-， 令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=， 令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=， 依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3，时，函数|()|y f x =的值依次为， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)； 令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-， 令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=， 令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=， 令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3---，时，函数|()|y f x =的值依次为0,121,0121,0，，，，，， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【题型7 根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数()2ln ,045,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若方程()0f x a -=有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(1,5]【解析】由题知：方程()0f x a -=有4个不同的实数解，即()f x a =有4个不同的实数解．作出()f x 图像（如图所示），即直线y a =与曲线()y f x =有4个公共点． 易知：15a <≤．【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞ 【答案】B【解析】令()()0g x f x x a =+-=，即()f x x a +=，令()()x f x x ϕ=+，当0x ≤时，()33x x x ϕ=-，()233x x ϕ'=-，令()0x ϕ'>得：1x >或1x <-，结合0x ≤，所以1x <-，令()0x ϕ'<得：11x -<<，结合0x ≤得：10-<≤x ，所以()x ϕ在=1x -处取得极大值，也是最大值，()()max 12x ϕϕ=-=，当x →-∞时，()x ϕ→-∞，且()00ϕ=，当0x >时，()ln x x x ϕ=+，则()110x xϕ'=+>恒成立，()ln x x x ϕ=+单调递增，且当0x →时，()x ϕ→-∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，画出()x ϕ的图象，如下图：要想()()g x f x x a =+-有3个零点，则[)0,2a ∈故选：B【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1x f x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e 1- 【答案】B【解析】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解， 则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<.故选：B.【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______． 【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】如图所示，画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知，()(),00,1a ∈-∞⋃【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点， 即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【题型8 复合函数的零点问题】【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1y f f x =+的零点个数为______. 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图，∴函数()f x 的零点为=2x ，令()1=2f x +，得()=1f x ，∴函数()()1y f f x =+的零点个数就是方程()=1f x 解的个数，也就是函数()f x 的图像与直线=1y 交点的个数，由图可知函数()f x 的图像与直线=1y 有两个不同的交点A ，B ，∴()()1y f f x =+的零点个数为2，【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()|()|0f x f x k -+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】C【解析】设||1t x =-，则1t-，当1t =-时，0x =,当1t >-时，x 有两解．则原方程等价为2||0t t k -+=，即2211||(||)24k t t t =-+=--+．画出||1t x =-以及211(||)24k t =--+的图象， 由图象可知，（1）当0k <时，1t >，此时方程恰有2个不同的实根； （2）当0k =时，1t =或0=t 或1t =-， 当1t =时，x 有两个不同的解， 当0=t 时，x 有两个不同的解，当1t =-时，x 只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当104k <<时，112t -<<-或102t -<<或102t <<或112t <<，此时对应着8个解．（4）当14k =时，12t =-或12t =．此时每个t 对应着两个x ，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故选：C【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数()π4sin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，讨论函数()()()()21g x f x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦的零点个数． 【答案】（1）πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）答案详见解析 【解析】（1）()134sin sin cos 22x f x x x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭1cos 23sin 2x x =-+π2sin 216x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈， 解得ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，故()f x 递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ72,π666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()π2sin 21[0,3]6f x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，画出()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，令()f x t =，则()()()()211g x t m t m t t m =-++=--，[]0,3t ∈，由()()10t t m --=，结合()f x 图象得：①当1m =时，()0g t ≥，1t =，即()1f x =，此时零点唯一； ②当23m ≤<时，1t =或()1t m f x =⇔=或()f x m =，此时三个零点； ③当3m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()3f x =，此时两个零点； ④当3m >时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时只有一个零点；⑤当0m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()0f x =，此时两个零点； ⑥当01m <<，12m <<时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =，此时有两个零点；⑦当0m <时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时有一个零点；综上所述：当()(){},03,1m ∈-∞⋃+∞⋃时，只有一个零点；[)(){}0,11,23m ∈⋃⋃时，只有两个零点；[]2,3m ∈，有三个零点.【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=（其中0θπ<<）有6个不同的实根，则θ的取值范围是（ ）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为当24x <<时，有()()4f x f x =-，故()f x 在()0,2上图象与在()2,4上的图象关于2x =对称，故()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 下面仅在()0,2上讨论()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=的解.因为()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=，故()1f x =或()sin f x θ=， 当()1f x =时，则有：12102x x x ⎧+-=⎪⎨⎪<<⎩，解得x . 因为方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 故()sin f x θ=在()0,2上有2个不同的实数根且与x 相异，故12sin 02π2x x x θθ⎧+-=⎪⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解，整理得到()22sin 1002π2x x x θθ⎧⎪-++=⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解.设()2(2sin )10g x x x θ=-++=，则2(0)0(2)02sin 022(2sin )40g g θθ>⎧⎪>⎪⎪⎨+<<⎪⎪+->⎪⎩，解得10sin 2θ<<，故π5π0,,π66θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m 【答案】C【解析】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +-=，即1f t t ，作出函数()y f t =及1y t =-的图象， 由图象可知方程的根为0=t 或1t =， 即()20x x -=或()21x x -=， 作出函数()()2g x x x =-的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误； 当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =-， 由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t -=∈， 结合函数()()2g x x x =-的图象，可得方程有四个根， 所有根的和为4，满足题意，故A 错误.故选：C.【题型9 函数零点的大小与范围】【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知0x >，函数()25xf x x =+-，()24g x x x =+-，()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()25xf x x =+-单调递增,且()()551.6 1.65555(1.6)2 3.42 3.4256454.354240,f =-=-=-<()24250,f =+->由零点的存在性定理可知()f x 有唯一零点a 且1.62a <<;因为()24g x x x =+-在()0+∞，单调递增, 且()211140,(1.6) 1.6 2.4 2.56 2.40g g =+-<=-=->,由零点的存在性定理可知()g x 有唯一零点b 且1 1.6b <<;因为()2log 3h x x x =+-在()0+∞，单调递增，且()21230h =+-=, 由零点的存在性定理可知()h x 有唯一零点2c =，所以b a c <<.故选:C.【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log 2,32x x f x x g x x x h x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】A【解析】由题可得,,a b c 即为2y x =-的图象分别与2xy =，2log y x =，3x y =的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，b c a >>.故选：A.【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()g x 的定义域为R ，()1g x +为奇函数，()g x 为偶函数，当01x ≤≤时，()()221g x x =--，则方程()11g x x =-，在区间[-5,7]上所有解的和为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 【答案】B【解析】第一步：判断函数()g x 与11y x =-的图象的特征并作出图象 ∵()1g x +为奇函数，∴()()11g x g x -=-+，即()()2g x g x -=-， ∴()g x 的图象关于点(1,0)对称． 又()()()42222g x g x g x +=++=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()222g x g x g x ---=-+=---=⎡⎤⎣⎦()()()g x g x g x ---=-=⎡⎤⎣⎦，∴()g x 是周期为4的周期函数，显然，函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，在同一直角坐标系中，分别作出函数()g x 与函数11y x =-的图象如图所示．（画出函数图象，注意“草图不草”）第二步：确定交点个数，进而求解 由可知，函数()g x 与11y x =-的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，∴方程()11g x x =-在[-5,7]上所有解的和为428⨯=．故选：B【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数ln ,0<2,()=ln(4),2<<4,x x f x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩若直线=y m 与()f x 的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，则()123412++4+=x x x x x x （ ）A ．12B ．16C ．18D ．32 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像如图所示：()f x 的图像关于直线=2x 对称.由图可知：1423+=+=4x x x x ，且12340<<1<<2<<3<<4x x x x .所以341<4<2,0<4<1x x --.由12ln ln x x =可得：12ln ln x x -=，所以121x x =. 同理可得()()34441x x --=，所以()3434=4+15x x x x -.于是()()()1234123412++4+=1+4+15+4+x x x x x x x x x x -()()1423=4++4+14x x x x -=18.故选：C【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x < D ．122322+≥+x x 【答案】ABD【解析】令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=，令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标， 作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=，所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=，所以12111x x +=，故B 正确；因为12122x x x x +≥，所以()121212122x x x x x x x x -+≤-，即121220x x x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误；()2112121212211223322x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=，当且仅当21122x x x x =，即212x x =时，取等号，故D 正确.故选：ABD.【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数()2log ,02{12,22x x f x x x <<=-+≥，如果互不相等的实数,,a b c ，满足()()()f a f b f c ==，则实数abc 的取值范围_____. 【答案】(2,4)【解析】()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，画出函数图象，如图所示：不妨设a b c <<，其中22log log a b -=，故1ab =，且()2,4c ∈，所以abc 的取值范围是(2,4).【题型10 二分法及其应用】【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数()237x f x x =+-的零点时，计算出如下结果：()()1.50.33, 1.250.87f f ==-，()()()()1.3750.26, 1.43750.02, 1.40650.13, 1.4220.05f f f f =-==-=-，下列说法正确的有（ ）A ．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B ．1.375是满足精度为0.1的近似值C ．1.4375是满足精度为0.01的近似值D ．1.25是满足精度为0.1的近似值 【答案】B【解析】()()1.43750.020, 1.40650.130f f =>=-<，又1.4375 1.40650.0310.01-=>,A 错误；()()1.3750.260, 1.43750.020f f =-<=<，又1.4375 1.3750.0620.1-=<， ∴满足精度为0.1的近似值在()1.375,1.4375内，则B 正确，D 错误；()()1.4220.050, 1.43750.020,1.4375 1.4220.01550.01f f =-<=>-=>，C 错误.故选：B.【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（ ）A ．()11.5， B ．()1.51.625， C ．()1.6251.75， D ．()1.752， 【答案】C【解析】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数()f x 的零。
幂函数、零点、二分法练习题(有答案)
幂函数、零点、二分法练习题一、单选题1．已知幂函数()()211m f x m m x -=--在()0,+∞上单调递减，则m 的值为 （ ）A. 1-B. 2C. 1-或2D. 2-2．已知函数()211a f x ax b +=++是幂函数，则=a b + （ ）A. 2B. 1C. 12D. 0 3．若函数()()2231m m f x m m x +-=--为幂函数，且当()0,x ∈+∞时， ()f x 是增函数，则函数()f x =（ ）A. 1x -B. 12xC. 2xD. 3x4．已知幂函数()f x 的图象过点()8,2，则()27f = （ ）A. B. C. 3- D. 35．已知幂函数()()2235m f x m m x +=--在()0+∞，上为减函数，则m 等于（ ）A. 3B. 4C. -2D. -2或36．已知幂函数()()223mm f x x m Z --=∈的图象关于原点对称，且在()0,+∞上是减函数，则m =（ ） A. 0 B. 0或2 C. 1 D. 2 7. 函数31x y =的图象是( )A. B.C. D.8.函数x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(必有一个零点的区间是（ ）．A ．(-5, -4)B ．(-4,3)C ．(-1, 0)D ．(0,2)二、填空题9．函数y ＝x 2－3x ＋k 的一个零点为－1，则k ＝________，函数的另一个零点为________．10．设f (x )的图象在区间(a ，b )上不间断，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b 2，若f (a )·f (x 0)<0，则用二分法求相应方程的根时取有根区间为________．11.下列函数中能用二分法求零点的是________．12．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________个． 13．若幂函数()22133m m y m m x --=-+的图象不过原点，则m 是__________．14．若幂函数()a f x x =的图象经过点139⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2a -=__________. 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时， ()322f x x x =+，则()1f =____．16．已知函数()332f x x x =+， ()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题17. 已知幂函数223m m y x --= (m ∈N)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足18.若方程02)13(722=--++-k k x k x 的两根分别在区间（0,1），（1,2）内，求k 的取值范围.参考答案与解析一、选择题1．A【解析】由函数为幂函数得211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =.当1m =-时， ()2f x x -=，符合题意.当2m =时， ()f x x =，不和题意.综上1m =-.选A.2．D【解析】∵函数()211a f x ax b +=++是幂函数∴1{ 10a b =+=，即1{ 1a b ==-∴0a b +=故选：D3．D当2m =时， ()3f x x =，在()0,+∞是增函数，符合题意.所以()3f x x =.选D.4．D【解析】()a f x x =，则82a =， 13a =，所以()1327273f ==，故选D.5．C【解析】幂函数()()2235m f x m m x +=--在()0+∞，上为减函数，251{ 230m m m --=∴+<，解得32{ 32m m m ==-<-或即2m =-故选C6．B【解析】幂函数()()223m m f x x m Z --=∈在()0,+∞上是减函数，所以2230m m --<，解得13m -<<，又m Z ∈，所以0,1,2m =，当1m =时， 4y x -=不是奇函数，所以0,2m =，故选B.7. B8. B二、填空题9.解析：x ＝－1时y ＝1＋3＋k ＝0，所以k ＝－4，即y ＝x 2－3x －4＝(x ＋1)(x －4)，所以另一个零点为4.答案：－4 410.答案：(a ，a ＋b 2)11.③12.213．1【解析】幂函数()22133m m y m m x --=-+的图象不过原点， 2210{ 331m m m m --≤∴-+=，解得1m =，故答案为1.14．14【解析】由题意有： 13,29a a =∴=-， 则： ()22124a --=-=. 15．116．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()332f x x x =+， ()2,2x ∈-为奇函数，又()2'360f x x =+>恒成立,所以()f x 在R 上递增, ()()1120f a f a -+-<,可化为()()121f a f a -<-,由()f x 递增,得1213{212 0,22212a a a a a -<-⎛⎫-<-<⇒∈ ⎪⎝⎭-<-< . 17.答案：a<－1或2332a <<. 18.）（），（4,31-2-。
函数的零点二分法练习题精选
函数的零点二分法练习题精选一、填空题1．设f(x)的图象在区间(a，b)上不间断，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则用二分法求相应方程的根时取有根区间为________．答案：(a，)2．一块电路板的AB线路之间有64个串联的焊接点，如果电路不通的原因是因为焊口脱落造成的，要想用二分法检测出哪一处焊口致区间是________．解析：虽然f(1)·f(1.5)<0，f(1.5)·f(1.25)<0，但(1.25,1.5)比(1,1.5)更精确．答案：(1.25,1.5)6．下列方程在区间(0,1)内存在实数解的有________．①x2＋x－3＝0；②＋1＝0；③x＋ln x＝0；④x2－lg x＝0.解析：0<x<1时，x2＋x－3<0，＋1>0，x2－lg x>0.答案：③7．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是________(填写序号)．①(0,1)②(1,2)③(2,3)④(3,4)解析：令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．答案：②2答案：113．方程x3－lg x＝0在区间(0,10)的实数解的个数是________．解析：0<x<10时，f(x)＝x3－lg x>0.答案：014．方程x2－x－1＝0的一个解所在的区间为________．解析：f(x)＝x2－x－1，f(－1)>0，f(0)<0，f(2)>0.答案：(－1,0)或(0,2)15．用计算器求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解为________(精确到0.1)．解析：令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以取(2,3)为初始区间．答案：2.2二、解答题1．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有惟一零点，如果用“二分法”求这个零点的近似值(精确到0.001)，4．(1)求证：方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)上有解；(2)能否判断方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1其他解的区间．解：(1)证明：设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，f(－1)＝－1<0且f(0)＝5>0，所以方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)上有解．(2)∵f(1)＝3>0，f(2)＝－1<0，故方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(1,2)上有解，∵f(3)＝－1<0，f(4)＝9>0，故方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(3,4)上有解．综上，方程在区间(1,2)，(3,4)上有解．5．利用函数的图象特征，判断方程2x3－5x＋1＝0是否存在实数根．解：设f(x)＝2x3－5x＋1，则f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线．又f(0)＝1>0，f(－3)＝－38<0.∴f(0)·f(－3)<0，答案：25．函数f(x)＝ln x－的零点个数是________个．解析：如图可知y＝ln x与y＝的图象有两个交点．答案：26．观察如图所示的函数y＝f(x)的图象．(1)在区间[a，b]上(有/无)零点；f(a)·f(b)0(填“<”或“>”)．(2)在区间[b，c]上(有/无)零点；f(b)·f(c)0(填“<”或“>”)．(3)在区间[c，d]上(有/无)零点；f(c)·f(d)0(填“<”或“>”)．答案：(1)有，<(2)有，<(3)有，<。
二分法求函数-零点
二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()二、求函数的零点例2判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5) 1.25－0.3(1.25,1.5) 1.3750.22(1.25,1.375) 1.3125－0.05(1.3125,1.375) 1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2) 1.5－2.625(1.5,2) 1.750.2344(1.5,1.75) 1.625－1.3027(1.625,1.75) 1.6875－0.5618(1.6875,1.75) 1.71875－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．三、二分法的综合运用例3证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f (x )＝2x ＋3x －6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f (x )是增函数，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x 0，则x 0∈[1,2]，取x 1＝1.5，f (1.5)＝1.33>0，f (1)·f (1.5)<0，∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)＝0.128>0，f (1)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1,1.25)，取x 3＝1.125，f (1.125)＝－0.445<0，f (1.125)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.125,1.25)，取x 4＝1.1875，f (1.1875)＝－0.16<0，f (1.1875)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可以作为这个方程的实数解．点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解设x ＝32，则x 3－2＝0.令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2] 1.5 1.375[1,1.5] 1.25－0.0469[1.25,1.5] 1.3750.5996[1.25,1.375] 1.31250.2610[1.25,1.3125] 1.281250.1033[1.25,1.28125]1.2656250.0273[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01[1.2578125,1.265625]1.261718750.0086由于|1.265625－1.2578125|＝0.00781<0.01，所以函数f (x )零点的近似值是1.26，即32的近似值是1.26.四、总结1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n 次后，精确度为12n .3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a ，b )后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a －b |<ε为止．练习1．下列函数中不能用二分法求零点的是()A ．f (x )＝2x ＋3B ．f (x )＝ln x ＋2x －6C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x －12．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间()A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定3．函数f (x )＝x 2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是()A ．2.0B ．2.1C ．2.2D ．2.34．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．7．用二分法求方程x 2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过______．答案m 2。
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函数与方程考纲要求了解函数零点的概念，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系/理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法/能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x∈(a，c))；(ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则 重复②③④.巩固练习1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( ) A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个 D ．可能有无数个2．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3． 函数f (x )＝x －4x的零点的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．34．函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0－2＋ln x ， x ＞0的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)7. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得其中 一个零点x 0∈________，第二次应计算________． 8. 函数f (x )＝2－x＋x 2－3的零点个数是________．9. 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．幂函数与二次函数考纲要求：了解幂函数的概念/结合函数y ＝x ；y ＝x 12；y ＝x 2；y ＝x －1；y ＝x 3的图象，了解它们的变化情况1．幂函数的定义一般地，形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图．考向一 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y ＝x a，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分， 即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定考向二 二次函数的最值【例3】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．【例4】已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．幂函数与二次函数练习题一、选择题1．函数3y x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数 2.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如右表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 ( )A ．2 B.34 C.23D ．04．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则 ( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定5．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )二、填空题7．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
8．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．10．如果幂函数y ＝x α的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么x 的取值范围是________． 11．942--=a a xy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.三、解答题(14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．函数图象函数图象的作法 1．描点法作图描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．函数图象的变换法 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－) 平移 单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－) 平移 单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于 对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于 对称． ④ 与 的图象关于直线y ＝x 对称． （3)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变， 得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即 得y ＝f (|x |)的图象． (4)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)缩(a ＜1时)到原来的a 倍．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)缩(a ＞1时)到原来的1a.函数图象练习题一、选择题1．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 2. 函数y ＝1－1x －1的图象是 ( )3．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点 ( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4.已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为 ( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) 5．如右图，△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x ＝t 截这个三角 形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y ，则函数y ＝f (t )的大致图形为 ( )6．设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是 ( )7．函数f (x )＝2|log 2x |－|x －1x|的大致图像为 ( )二、填空题8．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 9．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．10．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．11．甲、乙二人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)．甲一半的 路程使用速度v 1，另一半的路程使用速度v 2；乙一半时间使用速度v 1，另一半的时间使 用速度v 2.关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图 中4个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程)，则其中可能正确的图示 分析为________．三、解答题12．利用函数图象讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。