零点及二分法、图像变换练习题

函数与方程

考纲要求

了解函数零点的概念，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系/理

解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法/能利用函数的图象和性质判

别函数零点的个数

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

二分法求方程的近似解

(1)二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数

f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点

c；③计算f(c)；

(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x

∈(a，c))；

(ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．

④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则 重复②③④.

巩固练习

1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( ) A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个 D ．可能有无数个

2．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．③④

3． 函数f (x )＝x －4

x

的零点的个数是 ( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)

5．函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋2x －3， x ≤0

－2＋ln x ， x ＞0

的零点个数为 ( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．函数f (x )＝2x

＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)

7. 用二分法研究函数f (x )＝x 3

＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得其中 一个零点x 0∈________，第二次应计算________． 8. 函数f (x )＝2－x

＋x 2

－3的零点个数是________．

9. 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2

－ax 的零点是________．

幂函数与二次函数

考纲要求：

了解幂函数的概念/结合函数y ＝x ；y ＝x 12；y ＝x 2；y ＝x －1；y ＝x 3

的图象，了解它们的变化情

况

1．幂函数的定义

一般地，形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2

，

y ＝x 3，y ＝x 12

，y ＝x －1的图象分别如右图．

考向一 幂函数的图象和性质

【例2】幂函数y ＝x a

，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，

线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β

的图象三等分， 即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定

考向二 二次函数的最值

【例3】 函数f (x )＝x 2

－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；

(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．

【例4】

已知函数f (x )＝－x 2

＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．

幂函数与二次函数练习题

一、选择题

1．函数3y x （ ）

A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数

B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数

C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数

D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数 2.已知幂函数f (x )＝x α

的部分对应值如右表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )

A ．{x |－4≤x ≤4}

B ．{x |0≤x ≤4}

C ．{x |－2≤x ≤2}

D ．{x |0＜x ≤2}

3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2

的最小值为 ( )