激光原理第二章习题解答
激光原理第二章习题答案
2.1 证明：如图2.1所示，当光线从折射率1η的介质，向折射率为2η的介质折射时，在曲率半径R 的球面分界面上，折射光线所经受的变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 其中，当球面相对于入射光线凹（凸）面时，R 取正（负）值。
证明：由图可知 11201θ⋅+⋅=x x 又)()(222111θηθη-=-RxR x 21121122x R ηηηθθηη-∴=+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴11212122201θηηηηηθx Rx ∴变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 2.2 试求半径R=4cm,折射率η=1.5的玻璃球的焦距和主面的位置1h 和2h 。
解：变换矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112121221210110101n n R n n n l n n R n n n M 把11=n ，5.12=n ，cm R R 421=-=，cm l 8=代入，可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=3531316355.1145.115.10110815.145.1101M )(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -= 求得 mm f 30-= mm h 201= mm h 202=2.3 焦距1f =5cm 和2f =-10c=m 的两个透镜相距5cm 。
第一个透镜前表面和第二个透镜后表面为参考平面的系统，其等效焦距为多少？焦点和主平面位置在何处？距1f 前表面20cm 处放置高为10cm 的物体，能在2f 后多远地方成像？像高为多少？ 解：（1）2110101010********1131101011110552A B L M CD f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦)(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -=，求得cm f 5-= cm h 5.21= cm h 52-=第一个透镜前表面与前主面的距离为2.5cm ，第二个透镜后表面与后主面的距离为-5cm,前主面离焦点的距离为-5cm ，） （2）21201011===l x θ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡45252110235150235150111122θθθx x D C B A xcm l cm x 2,5.222-==（距2f 后表面-2cm ）2.4 一块折射率为η，厚度为d 的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R 的凹球面和平面，光线入射到凹球面上。
激光原理第二章答案
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下列图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理第二章答案解析
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d 的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
激光原理第二章习题答案
2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？ 解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈0/1.16mms L ωλπ==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mλωπλπ-⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-==⨯⎢⎥⎣⎦1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)L R R L L R L R L R L mRL L λωωπλπ-⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦⎡⎤==⨯⎢⎥-⎣⎦2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g L Lw L R L R R L g g g R R L g LL w mmL R L R R L g g g λλππλλππ⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦1/41/42221212120212121212(2)(2)220.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L L g g g g λλθππ⎡⎤⎧⎫--+-===⎨⎬⎢⎥--+--⎣⎦⎩⎭2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
激光原理第二章答案
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图2.1 所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为r 2 r 1,1sin 1 2 sin 2 傍轴光线 sin 则 1 1 2 2 ， 写成矩阵形式2. 证明光线通过图 2.2 所示厚度为 d 的平行平面介质的光线变换矩阵为 12 d0 1证明 ：设入射光线坐标参数为 r 1, 1，出射光线坐标参数为 r 2, 2 ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质 2中自由传播横向距离 d ，最后经界面 2 折射后出射 。
根据 1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔 ， 即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次 ，而且 两次往返即自行闭合证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示证明 ： 设入射光线坐标参数为r 1, 1， 出射光线坐标参数为 r 22 ，根据几何关系可知学习帮手r 221d2r 11得证。
r 2 2其往返矩阵为于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外 ， 所以共焦腔为稳定腔4.试求平凹 、双凹 、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件解： 共轴球面腔稳定性条件 0 g 1g 2 1其中 g 1 1 1 L ,g 2 1 L1 21R 1 2R 2对平凹共轴球面镜腔有 R 1,R 2 0。
则 g 1 1,g 2 1 L， 再根据稳定性条件R2L0 g 1g 2 1可得 0 1 1 R 2 L 。
1 2R22对凹凸共轴球面镜腔有 ， R 1 0,R 2 0则 g 1 1L对 双 凹 共 轴 球 面 腔 有 ， R 1 0,R 2 0 则 g 11 R L ,g 2R 11R2 , 根 据 稳 定 性 条 件 TA CR 1101由于是共焦腔 ， 则有将上式代入计算得往返矩R1 R 2LT01 01T nT r 1T L T r 2T Ln1n 10n011n 100101可以看出 ，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵 ，所以光线两次往返即自行闭合 1L 1L 1R 1 L 或R 1R 2R 2 LR20, 根据稳定性条件R2,g 20 g 1g 2 1 可得 00 R 1 L0 R 2 L 。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光与原理习题解答第二章
激光原理第二章习题答案1．估算2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。
并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为11822770693103007.16107.161010.61044 0.05310H zD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯ 2C O 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为49K H z/Pa α≈2C O 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=当L D νν∆=∆时，其气压为930.053101081.6Pa 4910Dp να∆⨯===⨯所以，当气压小于1081.6P a 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6P a 的时候，变为以均匀加宽为主。
2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。
假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。
解：(1) 在现在的情况下有可以解得：11()22()(0)stn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：222()()sdn t n n dtττ=-+(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为：3．根据红宝石的跃迁几率数据：7151332312121310.510,310,0.310,S s A sA s S S ---=⨯=⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3n m λ=的光是透明的。
激光原理第二章习题答案
2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？ 解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈01.16mms ω==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mωλπ-⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-==⨯⎢⎥⎣⎦1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)R R L L R L R L R L mRL L ωωλπ-⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦⎡⎤==⨯⎢⎥-⎣⎦2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g w L R L R R L g g g R R L g w mmL R L R R L g g g ⎤⎤-===⎥⎥-+--⎦⎦⎤⎡⎤-===⎥⎢⎥-+--⎦⎣⎦1/41/42221212120212121212(2)(2)20.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L g g g g λθπ⎡⎤⎫--+-===⎬⎢⎥--+--⎣⎦⎭2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
激光原理第二章习题解答
激光原理第二章习题解答(共15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《激光原理》习题解答 第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A 如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T 坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
激光原理第二章答案
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下列图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。
激光原理第二章作业的答案
3. 设稳定球面腔的腔长L＝16cm，两镜面曲率半径为R1＝20cm，R2＝－ 32cm，波长λ=10-4cm，试求：（1）最小光斑尺寸ω0和最小光斑位置； （2）镜面上光斑尺寸ω01、ω02；（3）ω0和ω01、ω02分别与共焦腔 （R1＝R2＝L）相应值之比。
2g1g2 2
g1g2(g1g2 1) 1
(L R1)(L R2)
3.472
往 返 (M a (M 1)2 a1 ) 2a1 21M 120.917
单 程 11往 返 1M 10.712
7.设虚共焦非稳定腔的腔长L＝0.25m，凸球面镜M2的 直径和曲率半径分别为2a2＝3cm和R2＝－1m ，若 保持镜M2尺寸不变，并从镜M2单端输出，试问：凹 面镜M1尺寸应选择多大？此时腔的往返放大率为多 大？
z1 = -17.4545cm
g1=1-L/R1=0.2 g2 = 1-L/R2=1.5 L λ带入公式
z2 =-1.4545cm f = 6.6656cm
w0 = 0.0146 cm
w1 = 0.0408 cm
w2 = 0.0149 cm
L= 160cm w0 = 0.01596cm w1 = w2 =sqrt(2)w0=0.02257cm
L = R 1 -R 2 0.2 5 22
R 1 = 1 .5 m
M =m 2=
R1 R2
1 .5
2 a1 m 2 * 2 a 2 4 .5 cm
8.考虑一虚共焦非稳定腔，工作波长λ＝ 1.06um，腔长L＝0.3m，有效菲涅耳数Nef ＝0.5，往返损耗率δ＝0.5，试求单端输出
时，镜M1和M2半径和曲率半径。
激光原理(陈钰清)第二章习题答案2
2.6 对 于 图 2.2 所 示 的 腔 ， 忽 略 像 散 对 稳 定 性 影 响 。 证 明 ： 当 R1 2 L1, R2 2 L2时，该腔是非稳定；仅当 R1 R2 时，该腔是临 界腔
知识点一：一些光学元件的传播矩阵 P48 图2.2
2.6 对 于 图 2.2 所 示 的 腔 ， 忽 略 像 散 对 稳 定 性 影 响 。 证 明 ： 当 R1 2 L1, R2 2 L2时，该腔是非稳定；仅当 R1 R2 时，该腔是临 界腔
1 （A+D） 1时，序列是稳定的 2
P49 （2-4-17）
2.14 腔内有其它元件的两镜腔中，除两个反射镜外的其余部分的变 换矩阵为 ,腔镜曲率半径为 R1 , R2 ,证明：稳定性条件为
0 g1 g 2 1
其中 = D B R1 ; g 2 A B R2
2A 2B 2 A B C（ ） AB B D （ ） x R2 R2 x2 1 2 A C - 2 A ）（D - 2 B ） C - 2 A ）B C - 2 A ）（D - 2 B ） D - 2 B ）1 （ （ （ （ R1 R1 R2 R1 R1 R2
R R （1） 1 2 L1 ，2 2 L2 时，
1 1 1 L L L2 L1 L2 ( A D) 1 L( ) (1 ) 1 2 2 L1 2 L2 L1 2 L2 2 L1 L 1 L ( 2 1 ) 1 2 L1 L2
所以该腔是非稳定腔
g1 g 2 1 R2 >0 g1 g 2 <1 （1）当L< （2）当L= （3）当L>
2 R2 n0 时，0<g1 g 2 <1,该腔稳定 n0 1 2 R2 n0 时，g1 g 2 =0,该腔为临界腔 n0 1 2 R2 n0 时，g1 g 2 0，该腔不稳定 n0 1
激光原理第二章习题答案
激光原理第二章习题答案2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈01.16mms ω==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mωλπ-??--=??-??-==1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)R R L L R L R L R L mRL L ωωλπ-??-==--??==-??2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g w L R L R R L g g g R R L g w mm L R L R R L g g g ??-===??-+--?-===-+--?1/42221212120212121212(2)(2)20.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L g g g g λθπ--+-===?--+--o2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( R1 → ∞ )
所以，如果 − 1 < 1 −
2L < 1 ，则是稳定腔。因为 L 和 R 2 均大于零，所以不等式的后半部分 R2
一定成立，因此，只要满足 稳定条件。 类似的分析可以知道，
L L < 1 ，就能满足稳定腔的条件，因此， < 1 就是平凹腔的 R2 R2
双凹腔的稳定条件是： R1 > L ， R 2 > L
x +y ) ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ − c(( Lλ π ) ⎟ ⎜ ⎟ υ mn ( x, y ) = C mn H m ⎜ ⎜ Lλ x ⎟ H n ⎜ Lλ y ⎟e ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 + y2 ) − (x 2 + y 2 ) ⎛ ⎛ 2π ⎞ 3 ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ −((x ⎛ 2π ⎞ ⎞ Lλ π ) ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ( Lλ π ) υ 30 ( x, y ) = C30 H 3 ⎜ = C30 8⎜ x ⎟ − 12⎜ ⎜ Lλ x ⎟ H 0 ⎜ Lλ y ⎟e ⎜ Lλ x ⎟ ⎟e ⎜ ⎜ Lλ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝
解答 如 下 ： 共 轴 球 面 腔 的
kh da
后
1 (A + D ) < 1 2 ⎡1 0⎤ ⎥ ⎣ 1⎦ ⎡ r1 ⎤ ⎢θ ⎥ ⎣ 1⎦ ⎡ r2 ⎤ ⎡r ⎤ =T2⎢ 1 ⎥ = ⎥ ⎣θ 2 ⎦ ⎣θ 1 ⎦ ⎡1 0⎤ ⎡ r1 ⎤ ⎢0 1⎥ ⎢θ ⎥ = ⎣ ⎦⎣ 1 ⎦
答 案
2 1 ( A + D ) ≡ 1 − 2 L − 2L + 2L ， 如 果 满 足 2 R1 R 2 R1 R 2
网
co m
l
= 1 + 3 ⋅ 10 − 4
l 估算，其 d
xx + yy ik i −ikL ⎞ a a ' ' L υ mn ( x, y ) = γ mn ⎛ e υ ( x , y ) e dx ' dy ' ⎜ ⎟∫− a ∫− a mn ⎝ Lλ ⎠
'
'
经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数
R1 = R 2 = R = L
因此，一次往返转换矩阵为
把条件 R1 = R 2 = R = L 带入到转换矩阵 T，得到：
课
⎡ A B ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ T=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣C D⎦ ⎣ 0 − 1⎦
共轴球面腔的稳定判别式子 − 1 < 如果
1 1 ( A + D) = −1 或者 ( A + D ) = 1 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来 2 2
⎛ 2r ⎞ 2 ⎛ 2r 2 ⎟ ⎜ 对于 TEM 20 ： υ 20 (r ,ϕ ) = C 20 ⎜ ⎜ ω ⎟ L0 ⎜ ω 2 ⎝ 0 s ⎠ ⎝ 0s ⎜ 并且 L2 0⎜
w. ww
⎛ 2r ⎞ − ω02s ⎟ υ 20 (r ,ϕ ) = C20 ⎜ ⎜ω ⎟ e ⎝ 0s ⎠
2
⎛ 2r ⎞ − ω02 s ⎟ 果，我们取 υ 20 (r ,ϕ ) = C20 ⎜ cos 2ϕ = 0 ，就能求出镜面上节线的位置。既 ⎜ω ⎟ e 0 s ⎝ ⎠ π 3π cos 2ϕ = 0 ⇒ ϕ1 = , ϕ 2 = 4 4
因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里 L 应该是光程的大小（或者说是利用光 线在均匀介质里传播矩阵） 。
w.
2 1 ( A + D ) = 1 − 2L − 2 L + 2 L ，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到： 2 R1 R 2 R1 R 2
L1 − L0 L0 L1 − 0.5 0.5 ，代入上式，得到： + = + η1 η2 1 1.52
2
1 (A + D ) < 1 ，按照这个条件，得到腔的几何长度为： 2
1.17 < L1 < 2.17 ，单位是米。
解答完毕。 5 有一方形孔径共焦 腔氦氖激光 器，腔长 L=30CM ，方形孔径边长为 d=2a=0.12CM ， λ=632.8nm，镜的反射率为 r1=1，r2=0.96 ，其他损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否做单 模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择 TEM 00 模，小孔的边长应为多 大？试根据图 2.5.5 作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式 e g 中的 l 是放电管长度。
答 案
l ，可以知道单程增益 g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723 d
w.
分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的 增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。 如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损 耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94N 来确定，其中的 N 是菲涅尔数。
0 2 0
⎞ −ω 02s ⎟ =0 ⎟e ⎠
r2
⎛ 2r 2 ⎞ 4r 2 2r 4 ⎜ ⎟ 显然，只要 L ⎜ 2 ⎟ = 1 − 2 + 4 = 0 即满足上式 ω 0s ω 0s ⎝ ω0 s ⎠
最后镜面上节线圆的半径分别为：
r1 = 1 +
2 2 ω0 s , r2 = 1 − ω0 s 2 2
对于 TEM 02 ，可以做类似的分析。
kh da
后 课
2
⎛ 2r ⎞ n ⎛ 2r 2 ⎞ − ω02s ⎟ ⎜ ⎟ υ mn (r , ϕ ) = Cmn ⎜ ⎜ ω ⎟ Lm ⎜ ω 2 ⎟e ⎝ 0s ⎠ ⎝ 0s ⎠
m
答 案
r2
2
7 求圆形镜共焦腔 TEM 20 和 TEM 02 模在镜面上光斑的节线位置。
w.
网
凸凹腔的稳定条件是： R1 < 0
R 2 > L ,且 R1 + R 2 < L 。
（第一种情况）
co m
L − 0.5 0.5 ⎛ L1 − 0.5 0.5 ⎞ 1 ( A + D ) = 1 + L − L2 = 1 + 1 + −⎜ + ⎟ 2 1 1.52 ⎝ 1 1.52 ⎠
要达到稳定腔的条件，必须是 − 1 <
球面两个腔镜面的坐标 Z1 和 Z 2 ，再加上它的共焦腔的镜面焦距 F ，这三个参数就能完全 确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理 p66-2.8.4）得到：
w.
g 1 g 2 = 0.093 ，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。
L( R 2 − L ) 0.8 × (1 − 0.8) = = −0.18M ( L − R1 ) + (L − R 2 ) (0.8 − 1.5) + (0.8 − 1)
co m
设两个凹镜的曲率半径分别是 R1 和 R 2 ，腔长为 L ，根据对称共焦腔特点可知：
−1<
1 (A + D ) < 1 ，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳 2
定腔，要具体分析。 下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。 对于平凹共轴球面腔，
2 1 (A + D ) = 1 − 2L − 2L + 2L = 1− 2L 2 R1 R 2 R1 R 2 R2
网
（这个场对应于 TEM mn ，两个三角
⎛ 2 r ⎞ 0 ⎛ 2r 2 ⎟ ⎜ υ 02 ( r ,ϕ ) = C02 ⎜ ⎜ ω ⎟ L2 ⎜ ω 2 ⎝ 0 s ⎠ ⎝ 0s
0
r2
co m
⎞ − ω 02s ⎟ ⎟e ⎠
r2
⎛ 2r 2 ⎞ 4r 2 2r 4 ⎜ ⎟ L0 = 1 − + 4 ，代入上式并使光波场为零，得到 2⎜ 2 ⎟ 2 ω0 ω0 s s ⎝ ω0 s ⎠ ⎛ 2 r ⎞ ⎛ 4r 2 2r 4 ⎟ ⎜ υ 02 (r ,ϕ ) = C02 ⎜ ⎜ ω ⎟ ⎜1 − ω 2 + ω 4 0 s 0s 0s ⎝ ⎠ ⎝
解答完毕。
解：共轴球面腔稳定判别的公式是 − 1 <
定性，其中 g i = 1 −
题中 g 1 = 1 −
任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定
ww
Z1 = Z2 =
⎧cos mϕ ⎨ ⎩sin mϕ
⎛ 2r 2 ⎞ ⎟ = 1 ，代入上式，得到 2 ⎟ ω ⎝ 0s ⎠
r2
⎧cos 2ϕ ，我们取余弦项，根据题中所要求的结 ⎨ ⎩sin 2ϕ
r2
w.
⎞ −ω2 ⎧cos 2ϕ 0s ⎟ ⎨ ⎟e ⎩sin 2ϕ ⎠
r2
2 ⎞ −ω 02s 0 ⎛ 2r ⎟ ⎜ e = C L 02 2 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ω 0s
6 试求出方形镜共焦腔面上 TEM 30 模的节线位置，这些节线是等距分布吗？ 解答如下： 方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为
w.
ω os =
Lλ = 2.46 ×10 −2 cm π
因此，可以在镜面上放置边长为 2ω0s 的光阑。 解答完毕。
kh da
课 后
解答：根据 e g
0
l
= 1 + 3 ⋅ 10 − 4
w.
定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔） ，下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属 于稳定腔。 经过两个往返的转换矩阵式 T 2 ， T 2 = ⎢ 0
ww
坐标转换公式为： ⎢
其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过 两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合， 对称共焦腔是稳定腔。 2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。