双曲线与其渐近线方程间的关系
任意点到双曲线渐近线的距离公式
任意点到双曲线渐近线的距离公式任意点到双曲线的渐近线的距离可以通过以下公式计算：设给定的任意点为 P(x, y)，双曲线的方程为 ax^2 + by^2 = c，其中 a 和 b 都不为零。
双曲线的渐近线为 x = ±(c/a)^(1/2) 和 y = ±(c/b)^(1/2)。
将点 P(x, y) 代入双曲线方程，计算距离时可能需要考虑双曲线上和双曲线外两种情况：1. 点 P 在双曲线上（满足方程 ax^2 + by^2 = c）：这种情况下，点 P 到双曲线渐近线的距离为 0。
2. 点 P 不在双曲线上（不满足方程 ax^2 + by^2 = c）：这种情况下，点 P 的距离为 P 到双曲线最近的点到双曲线渐近线的距离。
首先，找到离点 P 最近的点 Q 在双曲线上的坐标。
我们可以使用最小二乘法来估计 Q 的坐标。
将双曲线方程ax^2 + by^2 = c 转化为 ax^2 - c/by^2 = 1，并设 Q 的坐标为 (xq, yq)。
使用最小二乘法，我们可以求解以下最小化问题：min(xq - x)^2 + (yq - y)^2，约束条件为 axq^2 - c/byq^2 = 1。
将约束条件代入最小化问题的目标函数中，我们得到以下目标函数：min(xq - x)^2 + (a(yq - y)^2 - c/byq^2)^2。
通过对目标函数进行求导并令导数为零，可以解得Q 的坐标。
然后，计算点 Q 到双曲线渐近线的距离。
使用点到直线的距离公式，可以计算点 Q 到双曲线渐近线的距离。
综上所述，任意点到双曲线渐近线的距离的计算可以通过以上步骤进行。
请注意，这只是一种计算方法，具体的计算可能会有所差异，取决于双曲线和所选的点 P。
高考复习—双曲线相关知识点
第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈RM 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1oyx⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222by a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑤与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x五．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 与 )0,(12222>=-b a bx a y 的区别和联系标准方程)0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a bx a y性 质焦点 )0,(),0,(c c -， ),0(),,0(c c -焦距c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性关于x 轴、y 轴和原点对称6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+。
等轴双曲线的渐近线方程
等轴双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
渐近线方程求双曲线
渐近线方程求双曲线全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：双曲线是解析几何学中的一个重要概念，它是平面上的一个曲线，具有许多有趣的性质和特点。
在数学中，我们经常需要求解双曲线的各种参数和方程，其中渐近线方程是一个非常重要的内容。
渐近线是双曲线的特殊直线，它和双曲线的曲线在无穷远处相交，并且在这个交点处双曲线的斜率趋于无穷大。
由于双曲线的特殊形态，它的渐近线方程的求解相对比较复杂。
在本文中，我们将详细介绍如何通过双曲线的方程求解渐近线方程的方法。
我们来看一个简单的双曲线方程：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
这个双曲线的渐近线方程与x轴和y轴分别平行。
双曲线的渐近线方程过双曲线的左右焦点，并且与双曲线在这两个点处相切。
要求解双曲线的渐近线方程，我们首先需要找到双曲线的左右焦点的坐标。
根据双曲线的标准方程，我们可以得到左右焦点的坐标分别为(-\sqrt{a^2+b^2},0)和(\sqrt{a^2+b^2},0)。
接下来，我们需要求解这两个点处双曲线的斜率。
在双曲线上任意一点(x,y)处，双曲线的斜率可以表示为\frac{dy}{dx}=\frac{b^2y}{a^2x}。
然后我们将x代入双曲线的标准方程中，得到y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}。
将y代入到双曲线的斜率公式中，我们可以得到双曲线在左右焦点处的斜率分别为-b/a和b/a。
根据斜率和双曲线的焦点信息，我们可以求解双曲线的渐近线方程。
渐近线的方程可以表示为y=mx+b，其中m为渐近线的斜率，b 为截距。
对于双曲线的左右焦点，我们可以根据焦点坐标和斜率得到下面的两个方程：y=-\frac{b}{a}x+b_1其中b_1和b_2分别为渐近线的左右斜率。
带入焦点坐标，我们可以得到下面的方程：\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}+b_2=0解上面的方程组，我们可以得到b_1=-\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}和b_2=\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}。
双曲线渐近线的方程
双曲线渐近线的方程一、双曲线渐近线1. 什么是双曲线渐近线双曲线渐近线是一条曲线, 它可用来表示一组数据值或者某一个变数随另一个变数变化的趋势。
它是一种渐近方程，当两个变数之间具有紧密联系时，双曲线渐近线将两个变数进行最好的拟合。
换言之，当改变一个变量时会引起另一个变量的变化，双曲线渐近线可以表示两个变的变化关系。
2. 双曲线渐近线的构成双曲线渐近线由两条曲线构成，一条是向右上方弯曲的曲线，另一条是向左下方弯曲的曲线。
曲线上的每一点都有它自己的坐标（x,y），可以用坐标（x,y）来表示双曲线渐近线的方程。
3. 双曲线渐近线的方程双曲线渐近线的渐近方程为： y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c是双曲线渐近线上的绝对值，可以根据实际情况得出。
两条曲线的拟合情况不相同，当a为负数时，曲线向右上方弯曲；当a为正数时，曲线向右下方弯曲。
4. 双曲线渐近线的用途双曲线渐近线可以在数学，统计学，经济学等方面都有着广泛的应用，可用来描述两个变量之间内在的联系，反映出一组数据背后的趋势。
双曲线渐近线也可以帮助我们有效地分析和预测数据趋势。
二、练习根据以下数据点（0,3），（6，-11），（12，-21），（18，-31），（24，-41）学生可以试着用双曲线拟合求取渐近线的方程：解：设双曲线渐近线的方程为：y=ax^2+bx+c则拟合数据点的代入方程可以得：3=a*0^2+b*0+c-11=a*6^2+b*6+c-21=a*12^2+b*12+c-31=a*18^2+b*18+c-41=a*24^2+b*24+c化简可得：a=-0.375b=3.75c=3故双曲线渐近线的渐近方程为： y=-0.375x^2+3.75x+3。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线知识点总结
双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
双曲线方程与渐近线方程之间的关系
双曲线方程与渐近线方程之间的关系双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零，即得渐近线方程。
焦点坐标、渐近线方程方程x²/a²-y²/b²=1(a＞0,b＞0)c²＝a²＋b²焦点坐标（-c,0）,(c,0)渐近线方程：y=±bx/a方程 y²/a²-x²/b²=1(a＞0,b＞0)c²＝a²＋b²焦点坐标（0,c）,(0,-c)渐近线方程：y=±ax/b几何性质1.双曲线 x²/a²-y²/b² =1的简单几何性质(1)范围：|x|≥a,y∈r.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c²=a²+b².与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 x²/a²-y²/b²=1与x²/a²-y²/b²=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.。
双曲线渐近线方程推导
双曲线渐近线方程推导
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、概述在数学中，双曲线是一种经常出现的曲线形式，它是一种重要的几何概念。
而双曲线的渐近线方程则是另外一种与双曲线密切相关的数学概念。
本文将从双曲线方程与其渐近线方程之间的关系入手，深入探讨这两者之间的通联和作用。
二、双曲线方程的基本形式双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线在$x$轴和$y$轴上的定点。
通过对双曲线方程进行适当的平移和旋转操作，可以得到不同形式的双曲线方程，如横坐标和纵坐标对调的双曲线方程等。
三、双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程可以通过双曲线方程中的参数$a$和$b$来确定。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程可以表示为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这意味着，双曲线方程中的参数$a$和$b$可以直接决定双曲线的渐近线方程。
四、双曲线方程和渐近线方程的关系双曲线方程和其渐近线方程之间存在着密切的关系。
从双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$的形式中可以直接得到其渐近线方程$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这说明双曲线方程和其渐近线方程是密切相关的，可以互相推导和确定。
另通过双曲线方程和其渐近线方程之间的关系，可以进一步推导出双曲线曲线的性质和特点。
根据双曲线方程和其渐近线方程的关系，可以得到双曲线在无穷远点附近的性态和渐进行为。
这进一步丰富了我们对双曲线的理解和认识。
五、个人观点对于双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，我个人认为这种关系不仅能够帮助我们更深入地理解双曲线本身的特性，还可以为我们在数学建模和科学研究中提供重要的数学工具和方法。
通过深入研究和理解双曲线方程和渐近线方程之间的关系，我们可以更好地应用双曲线来描述现实世界中复杂的变化和规律。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、引言在数学中，双曲线是一种常见的曲线形式，具有独特的性质和特点。
而双曲线的渐近线方程则是与双曲线密切相关的另一个重要概念。
本文将探讨双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，通过深入分析和讨论，以便读者能够更全面、深入地理解这一主题。
二、双曲线方程的基本形式双曲线通常具有如下的标准方程形式：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标距离。
双曲线的性质和特点令人着迷，它在几何和代数上都有着重要的应用，因此对双曲线的理解至关重要。
三、渐近线方程的定义和性质双曲线的渐近线方程是指双曲线的渐近线所满足的方程形式。
渐近线通常由直线构成，而双曲线有两组渐近线。
根据双曲线的不同方程形式和性质，其对应的渐近线方程也有所不同。
对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方程可以表示为y = ±(b/a)x。
这意味着双曲线在无穷远处与直线y = ±(b/a)x趋于平行，这是双曲线与其渐近线方程之间紧密联系的体现。
四、双曲线方程与渐近线方程的关系分析通过以上对双曲线方程和渐近线方程的介绍，我们可以发现它们之间存在着密切的关系。
双曲线的渐近线方程不仅能够帮助我们更好地理解双曲线的性质，还可以为我们在实际问题中应用双曲线提供便利。
双曲线方程和渐近线方程之间的关系可以从几个方面进行深入讨论：1. 几何性质：双曲线的渐近线方程决定了双曲线在无穷远处的走向，从几何角度出发，渐近线方程可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和特点。
2. 代数性质：双曲线方程可以通过与其渐近线方程的关系，来解决一些涉及双曲线的代数问题，例如求解交点坐标、渐近线与双曲线的夹角等问题。
3. 实际应用：在物理学、工程学等领域，双曲线和其渐近线方程的关系也有着重要的应用。
微专题 双曲线的性质
双曲线的性质知识回顾一 .双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a (0＜2a ＜2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0： (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在．二.双曲线的标准方程和几何性质三.双曲线中的常用重要结论：定义1.到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （1>）的点的轨迹 标准方程 22221x y a b -=（0,0a b >>） 22221y x a b -=（0,0a b >>）图象几何性质焦点坐标 ()1,0F c -，()2,0F c ()10,F c -，()20,F c 顶点 ()1,0A a -，()2,0A a ()10,A a -，()20,A a范围 x ≥a ，y R ∈ y ≥a ，x R ∈准线2a x c =± 2a y c =± 渐近线方程b y x a =± a y xb =±焦半径 ()00,P x y C ∈()10PF ex a =±+， ()20PF ex a =±- P 在左支上用“-”， P 在右支上用“+” ()10PF ey a =±+，()20PF ey a =±- P 在下支上用“-”， P 在上支上用“+”对称性 关于,x y 轴均对称，关于原点中心对称；离心率()1,ce a =∈+∞ ,,a b c 的关系 实轴长a 2，虚轴长b 2：焦距c 2：22c a b =+ 焦点三角形12PF F △的面积：122cot 2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1. 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.(4) 焦点到渐近线的距离是b (焦点在y x ,轴上的双曲线都成立)2. 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .3.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =，两准线间距离为c a 22;通径长22b a⨯;4. 双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221x y a b -=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=.（3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222C B b A a =-.5.若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，，22ab k k PNPM =⋅6.在双曲线12222=-b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；7.若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .典例解析：题型一 利用双曲线的定义解题1已知双曲线192522=-y x 的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON |等于（ ）A ．4B ．2C ．1D ．32 【解析】根据题意作出示意图，如图所示；由双曲线的定义，可得10212==-a MF MF ，又182=MF Θ，81=∴MF ；因为N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，所以4211==MF ON ．2.P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆圆心M 的横坐标是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b －c如图，内切圆圆心M 到各边的距离分别为MA ，MB ，MC ，切点分别为A ，B ，C ，由三角形的内切圆的性质则有：|CF 1|＝|AF 1|，|AF 2|＝|BF 2|，|PC |＝|PB |， ∴|PF 1|－|PF 2|＝|CF 1|－|BF 2|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2c ，∴|AF 1|＝a ＋c ，则|OA |＝|AF 1|－|OF 1|＝a . ∵M 的横坐标和A 的横坐标相同．题型二 求双曲线的标准方程3.若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．解法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.典例三 双曲线的几何性质 （1）双曲线的渐近线问题4.(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x【解析】 因为双曲线的离心率为3，所以ca＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.(2)双曲线的离心率问题5.(2018·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D. 2法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.故选C.(3)与双曲线有关的范围问题6.已知抛物线281x y =与双曲线)0(1222>=-a x a y 有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在轴上方且在双曲线上，则FP OP ⋅的最小值为A ．323-B ．332-C ．47- D ．43解析：将281x y =化为，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则，即双曲线的标准方程为1322=-x y ，设， 则474334123422222--=--=-+=-⋅=⋅)()(),(),(y y y y y x y x y x FP OP 在单调递增，则当3=y 时，有最小值；故选A ．【说明】由两曲线共焦点可求出a 的值，从而取出双曲线的方程．设点P （x ，y ）且3≥y ，然后可列出FP OP ⋅的函数式，即474334222--=-+=⋅)()(y y y x FP OP ，最后利用二次函数求最值得方法即可求出其最小值．此时一定注意变量y 的取值范围，不应忽视范围而导致错误题型四 双曲线的中点弦问题7.（2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -= 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b-=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 题型五 直线与双曲线的位值关系8.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k 2<0，x A x B＝－361－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点．所以k 的取值范围为)1,33( 方法归纳：1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系． 2.求双曲线标准方程的方法 (1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . （2 ）双曲线方程的常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．3. 求双曲线的渐近线的方法双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.4.与双曲线有关的范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解；②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决． 高考链接1.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQOF =，则C 的离心率为ABC ．2D 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x ya +=，得PQ =再由PQ OF =，得c =，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2ce a==故选A ． 2（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A 2B ．1C 2D ．2解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==C ． 3.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为l 与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4OF =（O 为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24ba=，即2b a =，所以225c a b a =+=，所以双曲线的离心率为5ce a==．故选D ．4.（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为6,0)F ，渐近线方程为：22y x =±，不妨设点P在第一象限，可得tan2POF∠=，22P，所以PFO△的面积为：1224=．故选A．5．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2213-=xy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若∆OMN为直角三角形，则||MN=A．32B．3 C．D．4【解析】因为双曲线2213-=xy的渐近线方程为3=±y x，所以60∠=oMON．不妨设过点F的直线与直线3=y x交于点M，由∆OMN为直角三角形，不妨设90∠=oOMN，则60∠=oMFO，又直线MN过点(2,0)F，所以直线MN的方程为2)=-y x，由2)3⎧=-⎪⎨=⎪⎩y xy x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy3(,22M，所以||==OM|||3==MN OM．故选B．6．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x ya ba bA．=y B．=y C．2=±y x D．=y x【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)bA ca，2(,)bB ca-，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay-=，由点到直线的距离公式可得221bc bdc-==，222bc bdc+==，因为126d d+=，所以226bc b bc bc c-++=，所以26b=，得3b=．因为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a ba+=，所以2294aa+=，解得23a=，所以双曲线的方程为22139x y-=，故选C．优解由126d d+=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b=．因为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a ba+=，所以2294aa+=，解得23a=，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 7．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 解法一 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =． 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 8．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD ．3析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c ==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．9．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【解析】由题意可得：52b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 10.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为____________．解析 如图所示，因为1F A AB=uuu r uu u r,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AO BF P ，212AO BF =.因为120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AO BF P得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =， 因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，即渐近线的斜率为3，也即3ba=， 所以2212b e a=+=.巩固提高：1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2) C.),23(+∞ D.)23,1(解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a，而右顶点与左焦点的距离为a＋c ，由题意可知b2a>a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（ ） A ．22128x y -= B ．221312x y -= C ．221312y x -= D ．22128y x -= 【答案】:B【解析】设双曲线方程为22;4y x k -=双曲线过点（2，2），则2222,3;4k k -=∴=所以方程是：221312x y -=，故选B 6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆03422=+-+y y x 相切，则此双曲线的离心率等于 A ．12BCD ．2 【答案】D【解析】由03422=+-+y y x 得22(2)1x y +-=，设其渐近线为0bx ay -=根据题意有21ac=，所以其离心率为2ce a==，故D . 7．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．8．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 【解析】 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=． 9．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1. 答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝111 10．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：4 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1. (2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)， 所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275. 所以|AB |＝ 1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 12．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.所以|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4， 所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长＜|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点：1距离之差的绝对值;22a ＜|F 1F 2|;当|MF 1|－|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee ＞1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上：12222=-b y a x a ＞0,b ＞0焦点在y 轴上：12222=-bx a y a ＞0,b ＞01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a ＞0,b ＞0上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a ＞0,b ＞0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =； 2;离心率2=e ；3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±； 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠； 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点； b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点；20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点； 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点；0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2＞0,b ＞0⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．图3解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 十四、双曲线中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!2．设集合P＝错误!,Q＝{x,y|x－2y＋1＝0},记A＝P∩Q,则集合A中元素的个数是A．3 B．1 C．2 D．43．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为A．2 B．3 C．4 D．54．双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,－2,则它的离心率为6．设双曲线错误!－错误!＝1a>0的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为A．4 B．3 C．2 D．17．从错误!－错误!＝1其中m,n∈{－1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆x－32＋y2＝r2r>0相切,则r＝B．3 C．4 D．6图K51－19．如图K51－1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB＝2AD,设∠DAB＝θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2＝________.10．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的一条渐近线方程为y＝错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________．12．13分双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且经过点错误!,4．1求双曲线C的方程；2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝120°,求△F1PF2的面积．13．16分已知双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝60°,则|PF1|·|PF2|＝A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A ．12-B ．2C ．12+D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,满分15分8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________． 三、解答题：本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12．本小题满分20分已知三点P5,2、1F －6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；2设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1．C解析双曲线方程可化为错误!－错误!＝1,所以a2＝4,得a＝2,所以2a＝4.故实轴长为4.2．B解析由于直线x－2y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1的渐近线y＝错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B解析双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x－4y＝0,由点到直线的距离公式可得d＝错误!＝3.故选B.解析双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线是错误!－错误!＝1,所以a＝3,b＝错误!,所以c＝4,所以离心率e＝错误!.能力提升5．D解析设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y＝±错误!x,因为点4,－2在渐近线上,所以错误!＝错误!.根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!,所以e＝错误!,故选D.6．C解析根据双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程得：y＝±错误!x,即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0,所以有a＝2,故选C.7．B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种：2,－1,3,－1,－1,－1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P＝错误!.故选B.8．A解析双曲线的渐近线为y＝±错误!x,圆心为3,0,所以半径r＝错误!＝错误!.故选A.9．1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB＝2,则DM＝sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD＝错误!,所以e1＝错误!＝错误!,e2＝错误!＝错误!,所以e1·e2＝1.10．2,＋∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°＝错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.－错误!＝1解析错误!＝错误!,即b＝错误!a,而c＝6,所以b2＝3a2＝336－b2,得b2＝27,a2＝9,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.12．解答1椭圆的焦点为F10,－3,F20,3．设双曲线的方程为错误!－错误!＝1,则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!－错误!＝1,②解①②得a2＝4,b2＝5或a2＝36,b2＝－27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1.2由双曲线C的方程,知a＝2,b＝错误!,c＝3.设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则|m－n|＝2a＝4,平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2＝m2＋n2－2mn cos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝错误!,所以△F1PF2的面积为S＝错误!mn sin120°＝错误!.难点突破13．1B2B解析1依题意有错误!·错误!＝1,化简整理得a2＋b2＝m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°＝错误!,＝错误!,＝错误!＋1＝错误!＋1.因为b＝1,所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.一、选择题1．D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2．C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4．A.5． A 思路分析：设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析：考察圆锥曲线的相关运算6． C 思路分析：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10． (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x += 12．1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； 2点P5,2、1F －6,0、2F 6,0关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。
双曲线精讲
程.
【解析】 设动圆 M 的半径为 r，
则由已知|MC1|=r+ 2 ，
|MC2|=r- 2 ，
∴|MC1|-|MC2|=2 2 . 又 C1（-4，0），C2（4，0），
∴|C1C2|=8，∴2 2 ＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.
y2 b2 k
1
六.弦长公式：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐标，则 AB ＝
1 k 2 x1 x2 ，若 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB ＝
1
1 k2
y1 y2 。
二、同步题型分析
题型 1：运用双曲线的定义
例.、P 是双曲线 x 2 y 2 1 的右支上一点，点 M , N 分别是圆 (x 5)2 y 2 4 和 (x 5)2 y 2 1 上的动点， 9 16
当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
x2
2.双曲线的标准方程：
a2
y2 b2
1和
y2 a2
x2 b2
1 （a＞0，b＞0）.这里 b 2
c2
a 2 ，其中| F1 F2 |=2c.要注
意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 x 2 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 y 2 项的系数是正数，则焦点
0,b
0)
的内部
x02 a2
y02 b2
1.
(2)点 P(x0 , y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b