专题：直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题

方法提炼：

●找点

已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置；

●直角三角形存在性问题探讨

1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论

2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解

方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；

例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形

（1）求点A、B的坐标；

（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO

＝45°．

（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；

（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

●针对性演练：

1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。

（1）求点A的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理

答案：例1，PC 的最小值为1

例2，（1）A(-4,0)、B （2,0）

(2)可求D 点坐标。

由S △ACD=S △ABC ，可求出y 的值，继而求出D 点坐标。

（3）如答图2，以AB 为直径作⊙F ，圆心为F ．要想以A 、B 、M 为顶点所作的三角形有且只有3个时，过点E 的直线与⊙F 相切。过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条．

∠BDC=90°时，CD ：2-=x y ，将CD 与AB 关系式联立，可求出点D 的坐标

（2

③∠ACF=90°，

针对性演练

答案：1、（1）将顶点（1,2）代入c bx x y ++=2得()212

--=x y ，得122--=x x y

（2）可证四边形ACBD 为菱形，所以PE 必过对称中心M ，P （0，-1），M （1,0），可求PE ：1-=x y ，与

122--=x x y 联立可求E 点坐标（3,2）

（3） 方法一：作FG ⊥y 轴于G ，证△FGP ≌△POM ，OM=OP ，

可得PG=GF,即

X=0（舍去）,x=1，F （1，-2）

方法二：P （0，-1），E （3,2），F 三点坐标，可表示出PE 、PF 、EF 长，利用勾股定理可求 2、（1）342+-=x x y

(3) BC ：3+-=x y ，过B 与BC 垂直的直线表达式为3+=x y ，与342+-=x x y 联立，x=0,y=3（舍去）