距离空间和赋范线性空间

例1： 在有理数空间 Q 中，点列
1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, „ 2 Q
是Q中的Cauchy点列，但不是收敛点列；
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1 n 同理，点列{xn } {(1 n ) } 是
Q 中的 Cauchy 点列，但
不是收敛点列。
1 } X 按定义 例2：设空间 X=(0, 1)，则点列{xn } { n 1
2）举例
例1： 设 R1 是非空实数集合， x, y R1，
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距离空 间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
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② 若定义 1(x , y ) 1 x y
验证知三条距离公理成立， 所以，R1 按定义 1 也是距离空间
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EE E
“+” （ 2） ( x y ) Z x ( y Z )
（1） x y y x
“零元素” E, 有 x x （3）
“负元素” x E , 有 x ( x) （4）
KE E
“”
（6）1 x x, 0 x （7） ( ) x x x （8） ( x y) x y （5） ( x) ( ) x
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例2： 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x ( x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ) R n
定义 (x, y)
2 ( x y ) i i i 1 n
证明：Rn 在 下为距离空间， 即通常意义下的欧氏空间.
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特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ，
( x, y) max x(t ) y(t )
t[ a ,b ]
例 1： 则 C[a, b] 是距离空间。
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p L [a, b]( P 1) 表示[a, b] 上 p 方可积的所有函数的 设 例4：
全体，即 L [a, b] x(t )
p

b
a
x(t ) dt 。
距离公理
( x ,y ) x( z , ) z y( , )
则称实数 (x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距离 空间或度量空间，记作(X , )或 X 。距离空间中的元素 也称为“点” ，用“· ”表示。
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距离 (, ) 是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔积空 间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数） 。
§0.3
1 2 3
距离空间
定义和举例 收敛概念 稠密性与完备性
在高等数学中
研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广
研究对象——算子、 泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的 理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
内点、开集：设 x A ，若存在 O( x, ) A ，称 x 是 A 的 内点。若 A 中所有的点都是内点，则称 A 是开集。
C A 闭集：设 E 是一个集合， A E ，若 A 的补集 E E A
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
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极限点 （聚点） 、 导集： 设 E 是一个集合，A E, x0 E ， 若在 O( x0 , ) 内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个极限点（或聚点） 。 A 的极限点的全体称 为 A 的导集。记作 A 。 闭包：A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包， 记作 A A A 。 结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 A A A A
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（X , ） 性质 4 若{x n}是 中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
证明：设 n 时, ( xn , x) 0 ，
( xn , xm ) ( xn , x) ( xm , x)
则 n, m 时, ( xn , xm ) 0 。
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
目前，我们通过距离的概念引入了点列的极限。 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的 推广，然而它是只有距离结构、没有代数结构 （代数运算）的空间，在应用时受到许多限制。
赋范线性空间及内积空间， 是距离结构和代数结构相结合的产物， 比距离空间有明显的优势。
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1.线性空间
定义: 线性空间
设 E 是非空集合，K 是实数域。在 E 中定义两种 运算: 加法： x, y E, 存在唯一 z E, 记作 z x y 数乘： x E, K , 存在唯一 E, 记作 x 且满足下列运算规律：
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例 1 Rn 按欧氏距离是完备的距离空间。 证： 见参考书 例 2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间 l 2 和 L2 [a, b] 按通常意义下的距离是完备的。
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x(t ) y(t ) 是完备的距离空间； 例 4 C[a, b] 按 ( x, y) tmax [ a ,b ]
C[a, b] 按 1 ( x, y) a x(t ) y(t ) dt 是不完备的距离空间
C[a, b] 按 ( x, y ) a x(t ) y (t ) dt 是不完备的距离空间

b 2
b

1/ 2
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§ 0.4
1 2 3 4
赋范线性空间
线性空间 赋范线性空间 赋范线性空间中的各种收敛 向量和矩阵的范数
(x, y) x y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
敛（极限值 0 (0,1) ） 。
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距离空间的完备性
定义: 完备性
X 为距离空间， 若 X 中的任一 Cauchy 点列都在 X 中有极限，则称 X 是完备的距离空间。
结论：
在完备的距离空间中, 收敛点列与 Cauchy 是等价的。
2 2 ( x , y ) ( x y ) ( x y ) 当 n=2 时， 1 1 2 2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ， 验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是 不同的度量空间。
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例3 设 C[a, b] 表示定义在[a, b] 上的所有连续函数的 全体。 x(t ), y(t ) C[a, b] ，定义
n
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限点。
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性质 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
性质 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 点列 x n 必有界。
设A X , x0 X , 及实数 r 0, 使得xn A, 都有
p

1 p
n bi i 1
q

1 q
这里 ai , bi 是实数或者复数，
1 1 1 . p q
2：Cauch不等式
( f ( x) , g ( x) 在 E 上平方可积)

i 1
n
n 2 ai bi ai i 1
12

p
x(t ), y(t ) Lp , 定义 ( x, y)
p L 则 [a, b]是距离空间，常称为

b
a
x(t ) y (t ) dt
p

1/ p
p 方可积的空间。
2 L 特别的，当 p=2 时， [a, b] 称为平方可积的空间。
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例5： 设 l p ( P 1) 是所有 p 方可和的数列所成的集合，
x y
③ 若定义 2(x, y) x y
2
验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 不是 距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形 成不同的距离空间。
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n x x , x , , x y y , y , , y R 1 2 n R ， 1 2 n ，
n
T
T
3 ( x, y ) max xi yi
1i n

4 ( x, y ) min xi yi
1i n

思考： 3 ( x, y), 4 ( x, y) 能否定义 R n 上的距离？
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常用不等式
1： Hö lder不等式

i 1
n
a i bi
n ai i 1
第2页
§1 定义和举例
距离空间
设 X 是非空集合，若
按一定 x, y X (x, y) 0 ， 且满足 规则
（1）非负性 (x, y) 0,当且仅当x y时, (x, y) 0 （2）对称性 (x, y) (y, x) （3）三角不等式 x, y, z X , 有
0, N , 当n, m N时 , ( xn , xm )
（即 n, m 时， ( xn , xm ) 0 ） 则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。
1 例如在 R 中，点列{xn } { n} ，是 Cauchy 列，也是收敛
1
点列。
注：R1中有结论：{x n}是收敛数列 {x n}是Cauchy 数列。但在一般的距离空间中，该结论不成立。
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收敛概念 定义: 收敛点列
设 X 是一个距离空间，{x n}是 X 中点列， x X 。若
0, N , 当n N时 , ( xn , x)
（即 n 时, ( xn , x) 0 ） 则称点列 x n 在 X 中按距离 收敛于 x，记作
lim xn x 或xn x(n )
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Remarks: 对不同的对象（集合） ，应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
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距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）
邻域：设 A 是一个距离空间， x A, 0 ，则子集
O( x, ) { y ( x, y) , y A}称为x的 邻域
性质 3 （距离的连续性） 在距离空间 X 中， 距离 (x, y) 是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn x0 , yn y0 时
( xn , x0 ) r , 称A有界。
( xn , yn ) ( x0 , y0 )(n )
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定义: 柯西点列
设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若
即 x { xi } 满足 xi
i 1 p
，
p p 1/ p
xi yi 对于 x {xi }, y { yi } l , 定义 ( x, y ) i 1
p l 则 是距离空间，常称为 来自百度文库 方可和的空间。
2

，
特别的，当 p=2 时, l 称为平方可和距离空间。
n
1
k
k bi i 1
n
1
k
这里 k 1 ， ai , bi 是实数或复数.
( f ( x) g ( x) dx) k
k E
1

E
f ( x) dx
k
g(x) dx
1 k k E
1
k
这里 f ( x), g ( x) 是 E 上的可测函数， k 1 .
E
f ( x) g ( x) dx

n 2 bi i 1
2
12
E
f ( x)dx
g ( x)dx
12 2 E
12
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常用不等式（2）
3： Minkowski不等式
( ai bi )
k i 1 n 1
k
k ai i 1