2.3幂函数习题(带答案)-人教版数学高一上必修1第二章
高一数学人教新课标A版必修123幂函数同步练习
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高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习(答题时间:30分钟)微课程:幂函数的定义同步练习1. 已知幂函数y =f (x )通过点(2,22),则幂函数的解析式为( )A. y =212xB. y =12xC. y =32x D. y =521x 22. 下列命题中正确的是( )A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C. 若幂函数αx y =是奇函数,则αx y =是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则实数m 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)4. 已知幂函数f (x )=x m )x 1 12 f (x )122A. {x|0<x≤2}B. {x|0≤x≤4}C. {x|-2≤x≤2}D. {x|-4≤x≤4} 5. 设x ∈(0,1),幂函数y =x a 的图象在直线y =x 的上方,则实数a 的取值范围是______。
6. 已知函数223()m m f x x -++=(m ∈Z )为偶函数,且f (3)<f (5),求m 的值,并确定f (x )的解析式。
微课程:幂函数的图象和性质同步练习1. 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是( )A. 1y x=B. 12y x =C. 1()3xy =D. 2215y x x =--2. 函数35x y =的图象大致是( )3. 当x ∈(1,+∞)时,下列函数的图象全在直线y =x 下方的偶函数是( )A. 21x y = B. y =x -2 C. y =x 2 D. y =x -14. 函数y =1x-x 2的图象关于( )A. y 轴对称B. 直线y =-x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y =x 对称5. 已知幂函数qp x y =,(p ,q ∈N *)的图象如图所示,则( )A. p ,q 均为奇数,且p q >0B. q 为偶数,p 为奇数,且p q<0C. q 为奇数,p 为偶数,且p q >0D. q 为奇数,p 为偶数,且pq<06. 函数y =x m ,y =x n ,y =x p 的图象如图所示,则m ,n ,p 的大小关系是________。
人教A版精编数学必修1练习:第二章 2.3 幂函数 Word版含解析
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[课时作业][A组基础巩固]1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )A.y=-x3B.y=x-3C.y=2x3D.y=x3-1解析:由幂函数的定义可知y=x-3是幂函数.答案:B2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A.y=x-2 B.y=x-1C.y=x2D.y=x 1 3解析:∵y=x-1和y=x 13都是奇函数,故B、D错误.又y=x2虽为偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故C错误.y=x-2=1x2在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,故A满足题意.答案:A3.如图,函数y=x 23的图象是( )解析:y=x 23=3x2≥0,故只有D中的图象适合.答案:D4.已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数,则实数t的值为( )A.0 B.-1或1 C.1 D.0或1解析:∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数,∴t2-t+1=1,即t2-t=0,∴t=0或t=1.当t=0时,f(x)=x 75是奇函数,不满足题设;当t =1时,f (x )=x 85是偶函数,满足题设.答案:C5.a ,b 满足0<a <b <1,下列不等式中正确的是( )A .a a <a bB. b a <b b C .a a <b a D .b b <a b 解析:因为0<a <b <1,而函数y =x a 单调递增,所以a a <b a .答案:C6.若函数则f {f [f (0)]}=________.解析:∵f (0)=-2,∴f (-2)=(-2+3)12=1,∴f (1)=1,∴f {f [f (0)]}=f [f (-2)]=f (1)=1.答案:17.下列命题中,①幂函数的图象不可能在第四象限; ②当α=0时,函数y =x α的图象是一条直线;③当α>0时,幂函数y =x α是增函数;④当α<0时,幂函数y =x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小.其中正确的序号为________.解析:当α=0时,是直线y =1但去掉(0,1)这一点,故②错误.当α>0时,幂函数y =x α仅在第一象限是递增的,如y =x 2,故③错误.答案:①④8.已知n ∈{-2,-1,0,1,2,3},若⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n ,则n =________. 解析:∵-12<-13,且⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n ,∴y =x n 在(-∞,0)上为减函数. 又n ∈{-2,-1,0,1,2,3},∴n =-1或n =2.答案:-1或29.点(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上,问当x 为何值时,有①f (x )>g (x );②f (x )=g (x );③f (x )<g (x ).解析:设f (x )=x α,g (x )=x β,则(2)α=2,(-2)β=-12,∴α=2,β=-1.∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象如图所示,由图象可知,当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x );当x =1时,f (x )=g (x );当x ∈(0,1)时,f (x )<g (x ).10.已知幂函数y =x 223m m -- (m ∈N +)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a +1)3m <(3a -2)3的a 的取值范围.解析: ∵函数在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-2m -3<0,解得-1<m <3.∵m ∈N +,∴m =1,2.又∵函数图象关于y 轴对称,∴m 2-2m -3是偶数.又∵22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,∴m =1.∴原不等式等价于(a +1)3<(3a -2)3.又∵y =x 3在(-∞,+∞)上是增函数,∴a +1<3a -2,∴2a >3,a >32,故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1.设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,设0<a <1,则f (a )与f (a -1)的大小关系是( )A .f (a -1)<f (a )B.f (a -1)=f (a ) C .f (a -1)>f (a ) D .不能确定解析:因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,设f (x )=x α,因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α=3,解得α=-12,所以f (x )=x 12-在第一象限单调递减. 因为0<a <1,所以a -1>a ,所以f (a -1)<f (a ). 答案:A2.若(a +1)12-<(3-2a )12-,则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,2 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ 解析:令f (x )=x 12-=1x,∴f (x )的定义域是(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,故原不等式等价于⎩⎨⎧ a +1>0,3-2a >0,a +1>3-2a ,解得23<a <32.答案:B 3.已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则实数m 的取值范围是________.解析:∵0<0.71.3<0. 70=1,1.30.7>1.30=1,∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ,∴幂函数y =x m 在 (0,+∞)上单调递增,故m >0.答案:(0,+∞)4.把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-,⎝ ⎛⎭⎪⎫3512,⎝ ⎛⎭⎪⎫2512,⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________. 解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫760=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫2313->⎝ ⎛⎭⎪⎫230=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<1,⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<1. ∵y =x 12为增函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫760<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫760<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313- 5.已知幂函数f (x )=x 21()m m -+ (m ∈N +).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数f (x )经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.解析:(1)∵m 2+m =m (m +1)(m ∈N +),而m 与m +1中必有一个为偶数,∴m 2+m 为偶数,∴函数f (x )=x 21()m m -+ (m ∈N +)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.(2)∵函数f (x )经过点(2,2), ∴2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )-1,∴m 2+m =2,解得m =1或m =-2,又∵m ∈N +,∴m =1,f (x )=x 12.又∵f (2-a )>f (a -1), ∴⎩⎨⎧ 2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a <32, 故函数f (x )经过点(2,2)时,m =1.满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为1≤a <32. 6.已知函数f (x )=(m 2+2m )·x 21m m +-,求m 为何值时,f (x )是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.解析:(1)若f (x )为正比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=1,m 2+2m ≠0,解得m =1. (2)若f (x )为反比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=-1,m 2+2m ≠0,解得m =-1.(3)若f (x )为二次函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=2,m 2+2m ≠0,解得m =-1±132. (4)若f (x )为幂函数,则m 2+2m =1, 解得m =-1±2.。
高中数学人教版 必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.3 幂函数
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高中数学人教版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.3 幂函数选择题下列函数中是幂函数的是()①y=?x2;②y=2x;③y=xπ;④y=(x?1)3;⑤y=;⑥y=x2+.A.①③⑤? B.①②⑤C.③⑤D.只有⑤【答案】C【解析】y=?x2的系数是?1而不是1,故不是幂函数;y=2x是指数函数;y=(x?1)3的底数是x?1而不是x,故不是幂函数;y=x2+是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.y==x?2和y=xπ具有幂函数y=xα的形式,所以选C.选择题幂函数f(x)的图象过点(4,),那么f(8)的值为()A. B.64 C.2 ? D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y=xα,依题意得,=4α,即22α=2?1,∴α=?.∴幂函数的解析式为y=,∴f(8)====, 故选A.选择题函数f(x)=(m2?m?1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的取值集合是()A.{m|m=?1或m=2} B.{m|?1解得m=2.选择题下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是()A.? y=?B.? y=C.? y=D.? y=【答案】B【解析】函数y=,y=不是偶函数,函数y=是偶函数,但其图象不过点(0,0).函数y=的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选B.选择题函数f(x)=(n∈Z,a>0且a≠1)的图象必过定点()A.(1,1) ?B.(1,2)C.( ?1,0)D.( ?1,1)【解析】因为f(1)==1+1=2,所以f(x)=(n∈Z,a>0且a≠1)的图象必过定点(1,2),故选B.选择题下列命题中正确的是()A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点C.幂函数y=x0的定义域是RD.幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象不是直线,故A和C不? 正确;当α0,α∈R时,y=xα>0,则幂函数的图象都不在第四象限,故D正确.选择题设α∈{?2,?1,?,,,1,2,3},则使f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递增的α的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】f(x)为奇函数,则α=?1,,1,3,f(x)在(0,+∞)上递增,则α=,1,3,故选C.选择题在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax?的图象可能是()【答案】C【解析】当a0,结合图象排除A,C,D,又y=xa在(0,+∞)上是减函数,∴B项也不正确.当a>0时,y=ax?是增函数,?0时,y=xa在(0,+∞)上是增函数,故A项不正确,故选C.选择题在函数,,,中,幂函数的个数为A.0? ? B.1C.2 D.3【解析】函数为幂函数;函数,前的系数不是1,所以它不是幂函数;函数是两个函数和的形式,所以它不是幂函数;函数与不是同一个函数,所以它也不是幂函数.所以只有1个是幂函数,故选B.选择题若函数是幂函数,且满足,则的值等于A.B.C.D.【答案】A【解析】令,因为,即,解得,所以,所以.选择题若幂函数的图象不过原点,则A.B.或C.D.【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点,所以,解得或.故选B.选择题如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象,已知,相应曲线对应的值依次为A.B.C.D.【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象,易知曲线对应的值依次为.故本题选B.选择题设,,,则的大小关系是A.B.C.D.【答案】B【解析】在上为减函数,,即.在上为增函数,,即.所以.选择题在同一直角坐标系中,函数,的图象可能是【答案】D【解析】对于A,没有幂函数的图象,不符合题目要求;对于B,中,中,舍去;对于C,中,中,舍去;对于D,中,中,故选D.选择题已知幂函数的图象过点,则A.B.1C.D.2【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点,所以,解得,所以.故选A.选择题函数是幂函数,且在上为增函数,则实数的值是A.?1? B.2C.3 D.?1或2【答案】B【解析】是幂函数或.又在上是增函数,所以,故选B.填空题比较下列各组数的大小:(1)与的大小关系是______;(2),,的大小关系是______.【答案】(1) (2)【解析】1)∵在(0,+∞)上为减函数,且5.1>5.09,∴.(2),.∵在(0,+∞)上为增函数,且,∴.又,∴.填空题已知幂函数f(x)=,若f(a+1)=(x>0),易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(a+1)解得∴3,下列五个关系式:①0与y=的图象(如图所示),设,作直线y=m.如果m=0或1,则a=b;如果01,则1填空题若一个幂函数的图象过点,则.【答案】【解析】设幂函数的解析式为已知幂函数的图象过点,所以,即所以,则.填空题若,则满足的的取值范围是.【答案】【解析】根据幂函数的性质,由于,所以当时,当时,,因此的解集为.填空题下列函数中,在(0,1)上单调递减,且为偶函数的是.①;②y=x4;③y=x?2;④.【答案】③【解析】①中函数不具有奇偶性;②中函数y=x4是偶函数,但在[0,+∞)上为增函数;③中函数y=x?2是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数;④中函数是奇函数.故填③.填空题已知幂函数,若f(a+1)<f(10?2a),则a的取值范围是.【答案】(3,5)【解析】∵,易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(a+1)<f(10?2a),∴,解得,∴3<a<5.解答题已知函数f(x)=?且f(4)=.(1)求的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.【答案】(1)1 ?(2)奇函数?(3)略【解析】(1)因为f(4)=,所以,所以=1.(2)由(1)知f(x)=,因为f(x)的定义域为{x|x≠0},,所以f(x)是奇函数.(3) f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下:设,则.因为,所以,,所以,所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.解答题已知点在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)?α=2,∴f(x)=x2.同理可求出,在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象,如图所示.由图象可知:(1)当x>1或xg(x).(2)当x=±1时,f(x)=g(x).(3)当?1,其中?2,,1;(2),,;【答案】(1);(2).【解析】(1)把1看作,幂函数在(0,+∞)上是增函数.∵,∴,即.(2)因为,,,幂函数在(0,+∞)上是增函数,且.∴.解答题已知幂函数()的图象关于轴对称,且在上是减函数.(1)求的值;(2)求满足不等式的实数a的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为函数在上是减函数,所以,所以.因为,所以或.又函数图象关于轴对称,所以是偶数,所以.(2)不等式等价于,解得.所以实数a的取值范围是.解答题已知幂函数(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.【答案】(1)f(x)=x4;(2)(3,+∞).【解析】(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,∴?m2+2m+3>0,即m2?2m?32对任意的x∈R恒成立,∴g(x)min>2,且x∈R,即c?1>2,解得c>3.故实数c的取值范围是(3,+∞).。
人教版高一数学必修一2.3幂函数
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2.3幂函数班级______________座号_________学生_______________一. 选择题:1.已知,则( )A . B. C. D. 2. 设1{1,1,,3}2α∈-,则使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 已知幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2,函数g (x )= log ()a x k +,若0<x 时()0≥x g 无解,则k 的范围是( )A.2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4.已知函数:,当时,下列选项正确的是 ( )A. B.C. D.二.填空题:5. 已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2) 21m m x +-的图像与坐标轴没有交点,则 m =__________________.6. 已知函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ,则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 若关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5,求实数a 的取值范围4213332,3,25a b c ===b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<22(),()2,()log x f x x g x h x x ===(4,)a ∈+∞()()()f a g a h a >>()()()g a f a h a >>()()()g a h a f a >>()()()f a h a g a >>三.解答题:8.已知函数f(x)=(a2-3a+2)x a2-5a+5(a为常数),问a为何值时,f(x)(1)是幂函数;(2)是正比例函数;(3)是反比例函数。
高一数学人教A版必修一检测第二章2.3幂函数 Word版含解析
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
幂函数
级基础巩固
一、选择题
.下列函数是幂函数的是( )
.=.=
.=.=(+)
解析:函数=是幂函数,其他函数都不是幂函数.
答案:.下列函数中既是偶函数又在(-∞,)上是增函数的是( )
.=.=
.=-.=-
解析:对于幂函数=α,如果它是偶函数,当α<时,它在第一象限为减函数,在第二象限为增函数,则选项正确,故选.
答案:.已知幂函数()=α的图象经过点(,),则()的值为( )
.
解析:依题意有=α,所以α=-,
所以()=-,所以()=-=.
答案:
.函数=图象的大致形状是( )
解析:因为=是偶函数,且在第一象限图象沿轴递增,所以选项
正确.
答案:
.或...
解析:因为()为幂函数,所以-+=,
解得=或=,所以()=-或()=,
因为()为(,+∞)上的减函数,所以=.
答案:
二、填空题.(·全国Ⅲ卷改编)已知=,=,=,则,,的大小关系是.
解析:==,=,==.
因为=在第一象限内为增函数,又>>,
所以>>.
答案:>>.幂函数()=-(∈)在(,+∞)上是减函数,且(-)=(),则等于
.解析:因为幂函数()=-(∈)在(,+∞)上是减函数,
所以-<,即<,又∈,
所以=,,因为(-)=(),所以函数()是偶函数,
当=时,()=-,是奇函数;
当=时,()=-,是偶函数.
所以=.
答案:
.已知幂函数()=·α的图象过点,则+α=.
解析:因为函数是幂函数,所以=,。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案:第二章 2.3 幂函数 Word版含答案[ 高考]
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2.3幂函数[学习目标] 1.通过实例,了解幂函数的概念,能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x -1的图象,了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点).一、幂函数的概念一般地,函数y =x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 二、幂函数的图象与性质1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =x 3+2是幂函数.( )(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点.( )(3)指数函数y =a x 的定义域为R ,与底数a 无关,幂函数y =x α的定义域为R ,与指数也无关.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 2.下列函数中,不是幂函数的是( ) A .y =2x B .y =x -1 C .y =x D .y =x 2【解析】 由幂函数定义知y =2x 不是幂函数,而是指数函数. 【答案】 A3.函数y =x 3的图象关于________对称.【解析】 函数y =x 3为奇函数,其图象关于原点对称. 【答案】 原点4.若幂函数过(2,2)点,则此函数的解析式为________. 【解析】 设幂函数为f (x )=x α,则2=2α,∴α=12.∴f (x )=x 12.【答案】 f (x )=x 12预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(2)(2014·宿迁高一检测)已知幂函数f (x )=x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22,则f (4)=________.(3)函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (x )的解析式为________.【解析】 (1)∵y =(m 2-4m -4)x m 是幂函数, ∴m 2-4m -4=1,解得m =-1或m =5. (2)由题意22=2α,即2-12=2α,∴α=-12, ∴f (4)=4-12=12.(3)根据幂函数的定义得m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1,当m =2时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上是增函数,符合题意;当m =-1时,f (x )=x -3,在(0,+∞)上是减函数,不符合要求. 故f (x )=x 3.【答案】 (1)-1或5 (2)12(3)f (x )=x 3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件.的图象.已知n 取±2,±12四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 值依次为( )图2-3-1A .-2,-12,12,2B .2,12,-12,-2C .-12,-2,2,12D .2,12,-2,-12(2)若点A (2,2)在幂函数f (x )的图象,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,14在幂函数g (x )的图象上, ①求f (x )、g (x )的解析式;②求当x 为何值时:(ⅰ)f (x )>g (x );(ⅱ)f (x )=g (x );(ⅲ)f (x )<g (x ). 【思路探究】 (1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象;(2)设出函数解析式f (x )=x a 、g (x )=x b ,把A ,B 两点的坐标分别代入求得a ,b 即可.画出相应的函数图象,数形结合求得x 的范围.【解析】 (1)由幂函数的图象与性质,n <0时不过原点,故C 3,C 4对应的n 值均为负,C 1,C 2对应的n 值均为正;由增(减)快慢知曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 值依次为2,12,-12,-2.【答案】 B(2)①设f (x )=x a ,因为点(2,2)在幂函数f (x )的图象上,所以(2)a =2,所以a =2,即f (x )=x 2.设g (x )=x b,因为点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,14在幂函数g (x )的图象上,所以(-2)b =14,所以b =-2,即g (x )=x -2.②令f (x )=g (x ),解得x =±1.在同一坐标系下画出函数f (x )和g (x )的图象,如图:由图象可知,f (x ),g (x )的图象均过点(1,1)和(-1,1). 所以(i)当x >1或x <-1时,f (x )>g (x ); (ⅱ)当x =1或x =-1时,f (x )=g (x ); (ⅲ)当-1<x <1且x ≠0时,f (x )<g (x ).1.幂函数的图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当α>0时,幂函数的图象在(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在(0,+∞)上都是减函数.(3)在第一象限内,直线x =1的右侧,图象由上到下,相应的指数由大变小. 2.幂函数y =x α在第一象限内图象的画法 (1)当α<0时,其图象可以类似y =x -1画出; (2)当0<α<1时,其图象可以类似y =x 12画出;(3)当α>1时,其图象可以类似y =x 2画出.本例(2)中若定义h (x )=⎩⎨⎧f (x ),f (x )≤g (x ),g (x ),f (x )>g (x ),求函数h (x )的最大值及单调区间.【解】 由题意h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2,x <-1或x >1,x 2,-1≤x <0或0<x ≤1,根据图象可知函数h (x )的最大值为1,单调递增区间为(-∞,-1],(0,1],单调递减区间为[-1,0),[1,+∞).(1)3-52和3.1-52;(2)-8-78和-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978;(3)4.125,3.8-23和(-1.9)-35.【思路探究】 比较两个幂值的大小,可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较.对于(1),(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较,而(3)可找中间量进行比较.【解】 (1)函数y =x -52在(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,所以3-52>3.1-52.(2)-8-78=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1878,函数y =x 78在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978,从而-8-78<-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125=1;0<3.8-23<1-23=1;(-1.9)-35<0,所以(-1.9)-35<3.8-23<4.125.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值,若指数相同,底数不同,则考虑应用幂函数的单调性;若底数相同,指数不同,则考虑应用指数函数的单调性;若底数,指数均不相同,则考虑借助中间量“1”“0”“-1”进行比较.比较大小,说明理由. (1)0.9513与0.9613;(2)0.95-35与0.95-23.【解】 (1)∵函数y =x 13在(0,+∞)上是增函数,且0.95<0.96,∴0.9513<0.9613.(2)∵函数y =0.95x 在R 上是减函数,且-35>-23,∴0.95-35<0.95-23.1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数形同而实异,幂函数的自变量在底数位置上,指数函数的自变量在指数位置上.2.已知幂函数的图象和性质求解析式时,常用待定系数法.3.幂函数y=xα在第一象限的图象特征.(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),递增,如y=x2;(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),递增,如y=x 12;(3)当α<0时,图象过点(1,1),递减,且以两坐标轴为渐近线,如y=x-1,y=x-12等.4.比较大小.(1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数;(2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数;(3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数.分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a -1)-13<(3-2a )-13,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,32C .(-∞,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43,32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32【思路探究】 以a -1,3-2a 是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解.【满分样板】 考查幂函数y =x -13,类比y =x -1的单调性,可得:若x -13<y -13,则有x <0<y ,y <x <0或0<y <x 三种情况. 因此,若(a -1)-13<(3-2a )-13,则有如下三种可能:⎩⎪⎨⎪⎧a -1<0,3-2a >0,或⎩⎪⎨⎪⎧a -1<0,3-2a <0,a -1>3-2a ,或⎩⎪⎨⎪⎧a -1>0,3-2a >0,a -1>3-2a , 解得a <1或43<a <32.故实数a 的取值范围为(-∞,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43,32.【答案】C1.欲利用幂函数y =x -13的性质求参数的值,可类比幂函数y =x -1的性质,y =x -1有两个单调递减区间(-∞,0),(0,+∞),又当x <0时,y <0;当x >0时,y >0.2.本题以a -1,3-2a 是否在幂函数y =x -13的同一单调区间为标准分类,可分为两类,而在同一单调区间时,又分两种情况,从而做到不重不漏.——[类题尝试]—————————————————(2014·济南高一检测)已知函数y =(m 2-3m +3)x m 23-1为幂函数,求其解析式,并讨论函数的单调性和奇偶性.【解】 由题意得m 2-3m +3=1,即m 2-3m +2=0. ∴m =1或m =2.当m =2时,y =x 13,定义域为R ,y =x 13在(-∞,+∞)上是增函数且是奇函数.当m =1时,y =x -23,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由于y =x -23=1x 23=13x 2,∴函数y =x -23为偶函数.又-23<0,∴y =x -23在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习:2.3 幂函数 Word版含解析
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2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( )A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=x α都是增函数12D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1 B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.已知a=1.,b=0.,c=,则( )2129-121.1A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b0.,c==1.,9-12=(910)-12=(109)121.1112∵>0,且1.2>>1.1,12109∴1.>1.,即a>b>c.212>(109)121126.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m 在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n 在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n 的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B .7.若(a+1<(3-2a ,则a 的取值范围是 .)13)13f (x )=的定义域为R ,且为单调递增函数,x 13所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<.23-∞,23)8.已知幂函数f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,并且f (x )在第一象限内是单调递减函数,则m= .x m 2-2m -3f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,所x m 2-2m -3以m 2-2m 为奇数.又因为f (x )在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.12x 12x 1210.已知函数y=(a 2-3a+2)(a 为常数),问:x a 2-5a +5(1)当a 为何值时,此函数为幂函数?(2)当a 为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a 为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,解得a=.3±52(2)由题意知解得a=4.{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,(3)由题意知解得a=3.{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( )A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A .(-b 2,1)b 22.函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,若a ,b ∈R ,且xm 2+m -3f (x 1)-f (x2)x 1-x 2a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,x m 2+m -3当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,f (x 1)-f (x 2)x1-x 2函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(,2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( )22A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n 的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为22{m =1,(2)n =22⇒{m =1,n =3,单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=;⑤f (x )=.其中满足条件f (x 2>x 1>0)x 1x (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 . x m n①m ,n 是奇数且<1;②m是偶数,n 是奇数,且>1;③m 是偶数,n 是奇数,且<1;④m ,n 是偶数,且>1.m n m n m n m n ,函数y=为偶函数,m 为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.x mn m n 6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= . x m 2-2m +1f (x )=(m 2-3m+3)是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当x m 2-2m +1m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .{2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.x m 2-4m +2(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ].∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x (2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q 的值;[-4,178]若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3.要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.12(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值2q -12q 12q 只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g =-2×+3×+1=,符合题34(34)(34)234178意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为.[-4,178]。
2019秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数练习含解析新人教A版必修1
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2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y =x B .y =x3C .y =22xD .y =x -1解析:显然C 中y =22x=4x,不是y =x α的形式,所以不是幂函数,而A ,B ,D 中的α分别为12,3,-1,符合幂函数的结构特征.答案:C2.下列函数中既是偶函数又在(-∞,0)上是增函数的是( )A .y =x 43 B .y =x 32 C .y =x -2D .y =x -14解析:对于幂函数y =x α,如果它是偶函数,当α<0时,它在第一象限为减函数,在第二象限为增函数,则C 选项正确.答案:C3.幂函数y =x 2,y =x -1,y =x 13,y =x -12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A .C 2,C 1,C 3,C 4B .C 4,C 1,C 3,C 2 C .C 3,C 2,C 1,C 4D .C 1,C 4,C 2,C 3解析:由于在第一象限内直线x =1的右侧时,幂函数y =x α的图象从上到下相应的指数α由大变小,故幂函数y =x 2在第一象限内的图象为C 1,同理,y =x -1在第一象限的图象为C 4,y =x 13在第一象限内的图象为C 2,y =x -12在第一象限内的图象为C 3.答案:D4.已知幂函数y =f (x )的图象过(4,2)点,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A. 2B.12C.14D.22解析:设幂函数f (x )=x α,由图象经过点(4,2), 可得4α=2,即22α=2, 所以2α=1,α=12,即f (x )=x 12. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫1212=22.答案:D5.设a =⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2535,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫3525,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .b <a <c C .c <a <bD .b <c <a解析:由于函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数,所以a =⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y =x 25在它的定义域R 上是增函数,且35>25,故有c =⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a =⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,故a ,b ,c 的大小关系是b <a <c .答案:B 二、填空题6.给出下面四个条件:①f (m +n )=f (m )+f (n );②f (m +n )=f (m )·f (n );③f (mn )=f (m )·f (n );④f (mn )=f (m )+f (n ).如果m ,n 是幂函数y =f (x )定义域内的任意两个值,那么幂函数y =f (x )一定满足的条件的序号为________.解析:设f (x )=x α,则f (m +n )=(m +n )α,f (m )+f (n )=m α+n α,f (m )·f (n )=m α·nα=(mn )α,f (mn )=(mn )α,所以f (mn )=f (m )·f (n )一定成立,其他三个不一定成立,故填③.答案:③7.幂函数f (x )=x 3m -5(m ∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f (-x )=f (x ),则m 等于________.解析:因为幂函数f (x )=x 3m -5(m ∈N)在(0,+∞)上是减函数,所以3m -5<0,即m <53,又m ∈N ,所以m =0或m =1,因为f (-x )=f (x ),所以函数f (x )是偶函数, 当m =0时,f (x )=x -5,是奇函数; 当m =1时,f (x )=x -2,是偶函数. 所以m =1. 答案:18.若f (x )=x α是幂函数,且满足f (4)f (2)=3,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=________. 解析:因为f (4)f (2)=3,所以4α2α=3,即2α=3,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12α=2-α=3-1=13.答案:13三、解答题9.已知函数f (x )=(m 2-m -1)x -5m -3,m 为何值时:(1)f (x )是幂函数? (2)f (x )是正比例函数? (3)f (x )是反比例函数? (4)f (x )是二次函数? 解:(1)因为f (x )是幂函数, 故m 2-m -1=1,即m 2-m -2=0, 解得m =2或m =-1. (2)若f (x )是正比例函数, 则-5m -3=1,解得m =-45.此时m 2-m -1≠0,故m =-45.(3)若f (x )是反比例函数, 则-5m -3=-1,则m =-25,此时m 2-m -1≠0,故m =-25.(4)若f (x )是二次函数,则-5m -3=2, 即m =-1,此时m 2-m -1≠0,故m =-1.10.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5). (1)求f (x )的解析式;(2)若函数g (x )=f (2-lg x ),求g (x )的定义域、值域. 解:(1)设f (x )=x α,则由题意可知25α=5, 所以α=12,所以f (x )=x 12.(2)因为g (x )=f (2-lg x )=2-lg x , 所以要使g (x )有意义,只需2-lg x ≥0, 即lg x ≤2,解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0,100],又2-lg x ≥0,所以g (x )的值域为[0,+∞).B 级 能力提升1.对于幂函数f (x )=x 45,若0<x 1<x 2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,f (x 1)+f (x 2)2的大小关系是( ) A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>f (x 1)+f (x 2)2B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f (x 1)+f (x 2)2 C .f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22=f (x 1)+f (x 2)2 D .无法确定解析:幂函数f (x )=x 45在(0,+∞)上是增函数,大致图象如图所示.设A (x 1,0),C (x 2,0),其中0<x 1<x 2,则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,0,|AB |=f (x 1),|CD |=f (x 2), |EF |=f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22.因为|EF |>12(|AB |+|CD |),所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>f (x 1)+f (x 2)2.答案:A2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x ≤03a -x 12,x >0(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≤0时,由f (x )=a x为减函数,知0<a <1;当x >0时,由f (x )=3a -x 12为减函数,知a ∈R ,且要满足a 0≥3a ,解得a ≤13.综上,可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,13.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤0,133.已知幂函数f (x )=x1m 2+m(m ∈N *). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数还经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.解:(1)因为m 2+m =m (m +1),m ∈N *, 所以m 与m +1必定有一个为偶数, 所以m 2+m 为偶数,所以函数f (x )=x 1m 2+m (m ∈N *)的定义域为[0,+∞),并且该函数在其定义域上为增函数. (2)因为函数f (x )经过点(2,2), 所以2=21m 2+m ,即212=21m 3+m ,所以m 2+m =2,即m 2+m -2=0. 所以m =1或m =-2. 又因为m ∈N *,所以m =1.因为f (x )在[0,+∞)上是增函数, 所以由f (2-a )>f (a -1)得⎩⎪⎨⎪⎧2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a <32.故m 的值为1,满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32.。
高一数学上册 第二章初等函数之幂函数知识点及练习题(含答案)
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〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x=是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x=是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.2.3幂函数的图象及性质1.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )A .y =x 13 B .y =x -12 C .y =x 53D .y =x 232.如图,图中曲线是幂函数y =x α在第一象限的大致图象.已知α取-2,-12,12,2四个值,则相应于曲线C1,C 2,C 3,C 4的α的值依次为( )A .-2,-12,12,2B .2,12,-12,-2C .-12,-2,2,12D .2,12,-2,-123.以下关于函数y =x α当α=0时的图象的说法正确的是( )A .一条直线B .一条射线C .除点(0,1)以外的一条直线D .以上皆错 4.函数f(x)=(1-x)0+(1-x)12的定义域为________. 5.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,22),则f(4)的值为( ) A .16 B.116 C.12D .26.下列幂函数中,定义域为{x|x >0}的是( ) A .y =x 23 B .y =x 32 C .y =x -13D .y =x -347.已知幂函数的图象y =x m2-2m -3(m ∈Z ,x≠0)与x ,y 轴都无交点,且关于y 轴对称,则m 为( )A .-1或1B .-1,1或3C .1或3D .3 8.下列结论中,正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α=0时,幂函数y =x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y =x α,当α≥0时是增函数④幂函数y =x α,当α<0时,在第一象限内,随x 的增大而减小 A .①② B .③④ C .②③ D .①④9.在函数y =2x 3,y =x 2,y =x 2+x ,y =x 0中,幂函数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个10.幂函数f(x)的图象过点(3,3),则f(x)的解析式是________ .11.函数f(x)=(m 2-m -5)x m -1是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m 的值.12.已知函数f(x)=(m 2+2m)·x m2+m -1,m 为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数?13.已知幂函数y =x m2-2m -3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点,且关于y 轴对称,求m 的值,并画出它的图象.答案1. 解析:选D.y =x 23=3x 2,其定义域为R ,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同. 2.解析:选B.当x =2时,22>212>2-12>2-2,即C 1:y =x 2,C 2:y =x 12,C 3:y =x -12,C 4:y =x -2.3.解析:选C.∵y =x 0,可知x≠0,∴y =x 0的图象是直线y =1挖去(0,1)点.4.解析:⎩⎪⎨⎪⎧1-x≠01-x≥0,∴x<1.答案:(-∞,1)5 解析:选C.设f(x)=x n ,则有2n =22,解得n =-12,即f(x)=x -12,所以f(4)=4-12=12.6 解析:选D.A.y =x 23=3x 2,x ∈R ;B.y =x 32=x 3,x≥0;C.y =x -13=13x,x≠0;D.y =x-34=14x 3,x >0.7 解析:选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点,所以m 2-2m -3≤0,即-1≤m≤3.又图象关于y 轴对称,且m ∈Z ,所以m 2-2m -3是偶数,∴m =-1,1,3.故选B.8 解析:选D.y =x α,当α=0时,x≠0;③中“增函数”相对某个区间,如y =x 2在(-∞,0)上为减函数,①④正确.9 解析:选B.y =x 2与y =x 0是幂函数.10 解析:设f(x)=x α,则有3α=3=312⇒α=12.答案:f(x)=x 1211 解:根据幂函数的定义得:m 2-m -5=1,解得m =3或m =-2,当m =3时,f(x)=x 2在(0,+∞)上是增函数;当m =-2时,f(x)=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m =3.12 解:(1)若f(x)为正比例函数,则⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1=1m 2+2m≠0⇒m =1. (2)若f(x)为反比例函数,则⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1=-1m 2+2m≠0⇒m =-1. (3)若f(x)为二次函数,则⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1=2m 2+2m≠0⇒m =-1±132.(4)若f(x)为幂函数,则m 2+2m =1,∴m =-1±213 解:由已知,得m 2-2m -3≤0,∴-1≤m≤3. 又∵m ∈Z ,∴m =-1,0,1,2,3.当m =0或m =2时,y =x -3为奇函数,其图象不关于y 轴对称,不适合题意. ∴m =±1或m =3.当m =-1或m =3时,有y =x 0,其图象如图(1).当m =1时,y =x -4,其图象如图(2)..。
人教新课标版数学高一-必修一练习2.3幂函数
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1.下列函数中,是幂函数的为( )A .y =-x 12B .y =3x 2C .y =1xD .y =2x解析:幂函数的形式为y =x α,A是y =-1×x 12;B 是y =3×x 2;D 是指数函数,故A 、B 、D 都不是幂函数.只有C :y =1x=x -1符合幂函数的定义. 答案:C2.给出四个说法:①当α=0时,y =x α的图象是一个点;②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);③幂函数的图象不可能出现在第四象限;④幂函数y =x α在第一象限为减函数,则α<0.其中正确的说法个数是( )A .1B .2C .3D .4 解析:显然①错误;②中y =x -1的图象不过(0,0);根据幂函数图象可知,③④正确. 答案:B3.设α∈{-2,-1,-12,13,12,1,2,3},则使f (x )=x α为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:∵f (x )=x α为奇函数,∴α=-1,13,1,3. 又∵f (x )在(0,+∞)上为减函数,∴α=-1.答案:A4.函数f (x )=(m 2-m +1)x m 2+2m -3是幂函数,且在x ∈(0,+∞)时是减函数,则实数m =( )A .0B .1C .2D .0或1解析:由m 2-m +1=1,得m =0或m =1,再把m =0和m =1分别代入m 2+2m -3<0检验,得m =0.答案:A5.已知幂函数y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2,22,则f (9)=________. 解析:设幂函数f (x )=x α.∵过点⎝⎛⎭⎫2,22,∴2α=22, ∴α=-12,∴f (x )=x 12-, ∴f (9)=912-=13. 答案:13 6.已知幂函数f (x )=x12-,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________. 解析:∵f (x )=x 12-=1x(x >0),故易知f (x )在(0,+∞)上为减函数.又f (a +1)<f (10-2a ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得⎩⎨⎧a >-1,a <5,a >3.∴3<a <5.答案:(3,5)7.比较下列各组数中两个数的大小:(1)(25)0.5与(13)0.5; (2)(-23)-1与(-35)-1; (3)(23)34与(34)23.解:(1)∵幂函数y =x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y =x -1在(-∞,0)上是单调递减的,又-23<-35, ∴(-23)-1>(-35)-1. (3)∵函数y 1=(23)x 为减函数, 又34>23,∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2=x 23在(0,+∞)上是增函数,且34>23, ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34. 8.已知函数y =(m 2-3m +3)x 213m -为幂函数,求其解析式,并讨论函数的单调性和奇偶性. 解:由题意得m 2-3m +3=1,即m 2-3m +2=0. ∴m =1或m =2.当m =2时,y =x 13,定义域为R , y =x 13在(-∞,+∞)上是增函数且是奇函数. 当m =1时,y =x23-,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为y =x 23-=1x 23=13x 2,∴函数y =x 23-为偶函数.又-23<0,∴y =x 23-在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.。
【精讲优练课】人教版高中数学必修1练习:2.3幂函数(含答案解析)
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课时提高作业 (二十二 )幂函数(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 25 分 )1.以下函数中 ,是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x 3C.y=D.y=2x 2【分析】选 C.由幂函数所拥有的特点可知,选项 A,B,D中 x 的系数不是1;故只有选项 C 中y= =x -1切合幂函数的特点.【赔偿训练】以下函数 :① y=x 2+1;② y= ; ③ y=3x 2-2x+1; ④y=x -3;⑤ y=+1. 此中是幂函数的是 ()A. ①⑤B. ①②③C.②④D. ②③⑤【分析】选 C.由幂函数所拥有的特点可知②④切合,而①③⑤中有常数项1,均不切合幂函数的特点 .2.(2015 ·长治高一检测 )若幂函数y=(m 2 -3m+3)x m-2的图象可是原点,则 m 的取值范围为()A.1 ≤m≤ 2B.m=1 或 m=2C.m=2D.m=1【分析】选 D.由题意得解得m=1.3.函数 y=x-2在区间上的最大值是()A. B. C.4D.-4【分析】选 C.y=x -2在区间上单一递减 ,因此 x= 时,获得最大值为 4.【延长研究】若此题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少 ?【分析】y=x -2在区间上单一递减 ,因此 x=2时 ,获得最小值为 ,当 x= 时 ,获得最大值为4.故最大值和最小值的和为.4.在以下函数中,定义域为R 的是()A.y=B.y=C.y=2 xD.y=x -1【分析】选 C.选项 A 中函数的定义域为[0,+ ∞ ),选项 B,D 中函数的定义域均为(-∞ ,0)∪ (0,+∞ ).【误区警告】此题在确立函数的定义域时易忽视指数是负数,进而自变量不可以为 0 的状况 ,导致错选 B或 D.【赔偿训练】设α ∈,则使函数 y=xα的定义域为 R 且为奇函数的全部α 的值为 ()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【分析】选 A. 函数 y=x -1的定义域是,函数 y=的定义域是 [0,+ ∞ ),函数 y=x 和y=x 3的定义域为 R 且为奇函数 .5.(2015 ·荆门高一检测)函数 y=|x(n∈ N,n>9) 的图象可能是()【分析】选 C.因为 y=|x为偶函数,因此清除选项A,B. 又 n>9,因此<1.由幂函数在 (0,+ ∞ )内幂指数小于 1 的图象可知 ,只有选项 C 切合题意 .二、填空题 (每题 5 分 ,共 15 分 )6.幂函数 f(x)=x α过点,则 f(x) 的定义域是.【分析】因为幂函数f(x) 过点,因此 =2α,因此α =-1, 因此 f(x)=x -1= ,因此函数f(x) 的定义域是 (-∞ ,0)∪ (0,+ ∞ ).答案 :(- ∞,0)∪(0,+ ∞ )7.(2015 ·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.【分析】由已知y=a是幂函数,得 a=1,因此y=,因此 y≥ 0,故该函数的值域为[0,+ ∞ ).答案 :[0,+ ∞ )【赔偿训练】 (2014·济宁高一检测 ) 当 x∈ (0,+ ∞)时 ,幂函数 y=(m 2-m-1)x m为减函数 ,则实数 m 的值为.【分析】因为函数y=(m 2 -m-1)x m为幂函数 ,2因此 m -m-1=1,解得 m=-1 或 m=2.当 m=2 时函数在 (0,+ ∞ )上递加 ,因此要舍去 .当 m=-1 时函数在 (0,+ ∞ )上递减 ,因此 m=-1 切合题意 ,故填 -1.答案 :-18.若函数 f(x) 是幂函数 ,且知足=3,则 f的值等于.【分析】依题意设 f(x)=x α,则有=3, 得α =log 23,则 f(x)=,于是 f==== .答案 :三、解答题 (每题 10分,共 20分 )9.比较以下各组数的大小:(1)1.1 0.1,1.20.1;(2)0.24 -0.2,0.25-0.2;0.30.30.2(3)0.2 ,0.3 ,0.3.【分析】 (1)因为函数y=x 0.1在第一象限内单一递加,又因为 1.1<1.2,因此 1.10.1<1.20.1.(2)因为函数 y=x-0.2在第一象限内单一递减 ,又因为 0.24<0.25, 因此 0.24-0.2>0.25-0.2.(3)第一比较指数同样的两个数的大小,因为函数 y=x 0.3在第一象限内单一递加 ,而0.2<0.3,所以 0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小, 因为函数y=0.3 x在定义域内单一递减, 而 0.2<0.3, 因此0.30.3<0.30.2.因此 0.20.3<0.30.3<0.30.2.10. 已知幂函数y=x 3-p(p ∈ N* )的图象对于y 轴对称 ,且在 (0,+ ∞ )上为增函数, 求知足条件(a+1 <(3-2a的实数 a 的取值范围 .【分析】因为幂函数y=x 3-p(p∈ N* )的图象对于 y 轴对称 ,因此函数y=x 3-p是偶函数 .又 y=x 3-p在 (0,+ ∞ )上为增函数 ,因此 3-p 是偶数且3-p>0.因为 p∈ N* ,因此 p=1,因此不等式 (a+1<(3-2a化为:(a+1 <(3-2a.因为函数y=是[0,+∞ )上的增函数,因此?? -1≤ a< ,故实数 a 的取值范围为.(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 10 分 )1.(2015 ·沈阳高一检测 )以下幂函数在 (-∞ ,0)上为减函数的是()A.y=B.y=x 2C.y=x 3D.y=【分析】选 B. 函数 y= ,y=x 3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x 2在(-∞ ,0)上是减函数 .【赔偿训练】以下幂函数中过点(0,0),(1,1) 且为偶函数的是()A.y=B.y=x 4C.y=x -2D.y=【分析】选 B. 函数 y=x 4是过点 (0,0),(1,1) 的偶函数 ,故 B 正确 ; 函数 y=x -2可是点 (0,0), 故 C 不正确 ;函数 y=,y= 是奇函数 ,故 A,D 不正确 .2.在同一坐标系内,函数 y=x a(a≠ 0)和 y=ax-的图象可能是()【分析】选 C.当 a<0 时 ,函数 y=ax-在R上是减函数,此时y=x a在(0,+∞ )上也是减函数,同时为减的只有 D 选项 ,而函数y=ax-与 y 轴订交于点,此点在y 轴的正半轴上,故 D选项不适合.当a>0 时 ,函数y=ax-在 R 上是增函数,与y 轴订交于点,此点在y 轴的负半轴上,只有A,C适合 ,此时函数y=x a在 (0,+ ∞ )上是增函数,进一步判断只有C适合.【赔偿训练】函数y=x α与y=α x(α ∈ {-1,1, ,2,3}) 的图象只可能是下边中的哪一个()【分析】选 C.A 中直线对应函数y=x, 曲线对应函数为 y=x -1,1≠ -1,故 A 错 ;B 中直线对应函数为 y=2x, 曲线对应函数为 y=,2≠ ,故 B 错 ;C 中直线对应函数为y=2x, 曲线对应函数为y=x 2,,22=2× 2,故 C 对;D中直线对应函数为y=-x, 曲线对应函数为y=x 3 ,-1≠3.故D错 .二、填空题(每题 5 分,共10 分)3.设 a=,b=,c=,则 a,b,c 的大小关系是.【分析】因为y=在x∈(0,+∞ )上递加,因此>,即 a>c,因为 y=在x∈ (-∞ ,+∞)上递减,因此>,即 c>b,因此a>c>b.答案 :a>c>b4. (2015 ·徐州高一检测 )已知幂函数 f=(m∈ Z)的图象与 x 轴,y 轴都无交点 ,且关于原点对称 ,则函数 f的分析式是.【解题指南】因为函数的图象与x 轴2,y 轴都无交点 ,因此 m -1<0, 再依据图象对于原点对称 ,且 m∈ Z, 确立 m 的值 .【分析】因为函数的图象与x 轴 ,y 轴都无交点 ,因此 m2-1<0,解得 -1<m<1; 因为图象对于原点对称 ,且 m∈ Z,因此 m=0,因此 f=x -1.答案 :f=x -1三、解答题 (每题 10分,共 20分 )5.(2015 ·广州高一检测 )幂函数 f的图象经过点 (,2),点在幂函数 g的图象上 ,(1) 求 f,g的分析式 .(2)x 为什么值时 f>g,x 为什么值时 f<g?【分析】 (1)设 f=x α ,则 ()α =2,因此α =2,因此 f=x 2.设 g=x β,则 (-2) β = ,因此β =-2, 因此 g=x -2(x≠ 0).(2) 从图象可知 ,当 x>1 或 x<-1 时 ,f>g;当 -1<x<0 或 0<x<1 时 ,f<g.6.(2015 ·秦皇岛高一检测) 已知幂函数f(x)=(m 2-m-1) · x-5m-3在 (0,+ ∞ ) 上是增函数, 又g(x)=lo(a>1).(1)求函数 g(x) 的分析式 .(2)当 x∈ (t,a)时 ,g(x) 的值域为 (1,+∞ ),试求 a 与 t 的值 .【分析】 (1) 因为f(x) 是幂函数 ,且在 (0,+ ∞ )上是增函数,因此解得m=-1,因此 g(x)=log a.(2) 由>0 可解得 x<-1 或 x>1,因此 g(x) 的定义域是 (-∞ ,-1)∪ (1,+ ∞ ).又 a>1,x∈(t,a), 可得 t≥ 1,设 x1,x2∈ (1,+ ∞ ),且 x1<x 2,于是 x2-x1>0,x1-1>0,x 2-1>0,因此-=>0,因此>.由 a>1,有 log a>log a,即 g(x) 在 (1,+ ∞ )上是减函数 .又 g(x) 的值域是 (1,+ ∞ ),因此得 g(a)=log a=1, 可化为=a,解得 a=1±,因为 a>1,因此 a=1+,综上 ,a=1+,t=1.【赔偿训练】已知函数 f(x)=x m- 且 f(4)= .(1)求 m 的值 .(2)判断 f(x) 的奇偶性 .(3)判断 f(x) 在 (0,+ ∞) 上的单一性 ,并赐予证明 .【分析】 (1)因为 f(4)= ,因此 4m- = ,因此m=1.(2) 由 (1)知f(x)=x-,因为f(x) 的定义域为 {x|x ≠0},又f(-x)=-x-=-=-f(x),因此f(x) 是奇函数.(3)f(x) 在 (0,+ ∞ )上单一递加.设 x1>x 2>0, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1--=(x 1-x2),因为x1>x 2>0, 因此x1-x2 >0,1+>0,因此f(x 1 )>f(x 2),因此 f(x) 在(0,+ ∞ )上为单一递加函数.封闭 Word 文档返回原板块。
高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =1x,y =x 12 的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).预习教材P77-P78,完成下面问题: 知识点1 幂函数的概念一般地,函数y =x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =x -45是幂函数.( ) (2)函数y =2-x 是幂函数.( )(3)函数y =-x 12 是幂函数.( )提示 (1)√ 函数y =x-45 符合幂函数的定义,所以是幂函数;(2)× 幂函数中自变量x 是底数,而不是指数,所以y =2-x不是幂函数;(3)× 幂函数中x α的系数必须为1,所以y =-x 12 不是幂函数.知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质:(1)设函数f (x )=x 53 ,则f (x )是( )A .奇函数B .偶函数C .既不是奇函数也不是偶函数D .既是奇函数又是偶函数(2)3.17-3与3.71-3的大小关系为________.解析 (1)易知f (x )的定义域为R ,又f (-x )=-f (x ),故f (x )是奇函数.(2)易知f (x )=x -3=1x3在(0,+∞)上是减函数,又3.17<3.71,所以f (3.17)>f (3.71),即3.17-3>3.71-3.答案 (1)A (2)3.17-3>3.71-3题型一 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y =x -2,y =2x 2,y =(x +1)2,y =3x 中,幂函数的个数为( ) A .0B .1C .2D .3(2)若f (x )=(m 2-4m -4)x m是幂函数,则m =________.解析 (1)根据幂函数定义可知,只有y =x -2是幂函数,所以选B .(2)因为f (x )是幂函数,所以m 2-4m -4=1,即m 2-4m -5=0,解得m =5或m =-1. 答案 (1)B (2)5或-1规律方法 判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y =x α(其中α为任意实数,x 为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函数.(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α(α为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为1.形如y =(3x )α,y =2x α,y =x α+5…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式.【训练1】 若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.解析 设f (x )=x α,因为f (4)=3f (2),∴4α=3×2α,解得:α=log 23,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23=13. 答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数y =x n在第一象限的图象,已知n 取±2,±12四个值,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( )A .-2,-12,12,2B .2,12,-12,-2C .-12,-2,2,12D .2,12,-2,-12(2)点(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x ),g (x )的图象上,问当x 为何值时,分别有:①f (x )>g (x );②f (x )=g (x );③f (x )<g (x ).(1)解析 根据幂函数y =x n 的性质,在第一象限内的图象当n >0时,n 越大,y =x n递增速度越快,故C 1的n =2,C 2的n =12;当n <0时,|n |越大,曲线越陡峭,所以曲线C 3的n =-12,曲线C 4的n =-2,故选B . 答案 B(2)解 设f (x )=x α,g (x )=x β.∵(2)α=2,(-2)β=-12,∴α=2,β=-1,∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知:①当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x ); ②当x =1时,f (x )=g (x ); ③当x ∈(0,1)时,f (x )<g (x ).规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y =x-1或y =x 12 或y =x 3)来判断.【训练2】 如图是函数y =x m n(m ,n ∈N *,m ,n 互质)的图象,则( )A .m ,n 是奇数,且m n<1 B .m 是偶数,n 是奇数,且m n >1 C .m 是偶数,n 是奇数,且m n <1 D .m 是奇数,n 是偶数,且m n>1解析 由图象可知y =x m n是偶函数,而m ,n 是互质的,故m 是偶数,n 是奇数,又当x ∈(1,+∞)时,y =x m n的图象在y =x 的图象下方,故m n<1.答案 C【例(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-1与⎝ ⎛⎭⎪⎫-35-1. 解 (1)因为幂函数y =x 0.3在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)因为幂函数y =x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-1>⎝ ⎛⎭⎪⎫-35-1.【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫13-0.3”,则二者的大小关系如何?解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13-0.3=30.3,而y =x 0.3在(0,+∞)上是单调递增的,又25<3,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<30.3.即⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫13-0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与0.325 ”,则二者的大小关系如何?解 因为y 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在(0,+∞)为上减函数,又0.3<25,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ,又因为函数y 2=x 25 在(0,+∞)上为增函数,且25>0.3,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 >0.325 ,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.325 .规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5;(2)-3.143与-π3; (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 与⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 . 解 (1)∵y =x 0.5在[0,+∞)上是增函数且23>35,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5. (2)∵y =x 3是R 上的增函数,且3.14<π, ∴3.143<π3,∴-3.143>-π3.(3)∵y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 <⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .y =x 12是[0,+∞)上的增函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1234.课堂达标1.已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,则f (2)=( ) A .14B .4C .22D . 2解析 设幂函数为y =x α,∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,∴12=4α,∴α=-12,∴y =x-12,∴f (2)=2-12 =22,故选C .答案 C2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )A .y =x 13B .y =x -12C .y =x 53D .y =x 23解析 A 中定义域值域都是R ;B 中定义域值域都是(0,+∞);C 中定义域值域都是R ;D 中定义域为R ,值域为[0,+∞).答案 D3.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,1,12,3,则使函数y =x a的定义域是R ,且为奇函数的所有a 的值是( )A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,3解析 当a =-1时,y =x -1的定义域是{x |x ≠0},且为奇函数;当a =1时,函数y =x 的定义域是R 且为奇函数;当a =12时,函数y =x 12 的定义域是{x |x ≥0},且为非奇非偶函数.当a =3时,函数y =x 3的定义域是R 且为奇函数.故选A .答案 A4.函数y =x 13 的图象是( )解析 显然代数表达式“-f (x )=f (-x )”,说明函数是奇函数.同时由当0<x <1时,x 13 >x ,当x >1时,x 13 <x .答案 B5.比较下列各组数的大小:(1)-8-78 与-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 ;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23 与⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23 .解 (1)-8-78 =-⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 ,函数y =x 78 在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而-8-78 <-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23 -23 =⎝ ⎛⎭⎪⎫23-23 =⎝ ⎛⎭⎪⎫46-23 ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23 =⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-23 .因为函数y =x -23 在(0,+∞)上为减函数,又46>π6,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23 . 课堂小结1.幂函数y =x α的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,底数是常数,指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x =1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x =1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为1时,函数值为1,即f (1)=1.(2)如果α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数. (3)如果α<0,幂函数在x =0处无意义,在(0,+∞)上是减函数.。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书:第2章 2.3 幂函数 Word版含解析

2.3 幂函数1.通过实例了解幂函数的概念,能区别幂函数与指数函数.(易混点)2.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x -1的图象,了解它们的变化情况.(难点) 3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较.(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段,完成下列问题.幂函数:一般地,函数y =x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =x-45是幂函数.()(2)函数y =2-x 是幂函数.( ) (3)函数y =-x 12是幂函数.( ) 【解析】 (1)√.函数y =x -45符合幂函数的定义,所以是幂函数;(2)×.幂函数中自变量x 是底数,而不是指数,所以y =2-x 不是幂函数; (3)×.幂函数中x α的系数必须为1,所以y =-x 12不是幂函数. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分,完成下列问题.幂函数的图象与性质:幂函数的图象过点(3, 3),则它的单调递增区间是( ) A .[-1,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,+∞)D .(-∞,0)【解析】 设幂函数为f (x )=x α,因为幂函数的图象过点(3, 3),所以f (3)=3α=3=312,解得α=12,所以f (x )=x 12,所以幂函数的单调递增区间为[0,+∞),故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y =x -( ) A .0B .1C .2D .3(2)已知幂函数y =f (x )的图象过点(2, 2),则f (9)=________.(3)幂函数f (x )=(m 2-2m -2)xm +12m 2在(0,+∞)上是减函数,则m =________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y =x α的定义判断.(2)由幂函数的定义设出解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f (9)的值. (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式,解之即可.【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知,只有y =x -2是幂函数,所以选B .(2)由题意,令y =f (x )=x α,由于图象过点(2,2),得2=2α,α=12,∴y =f (x )=x 12,∴f (9)=3.(3)∵f (x )=(m 2-2m -2)xm +12m 2在(0,+∞)上是减函数, ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2-2m -2=1,12m2+m<0,∴m =-1.【答案】 (1)B (2)3 (3)-1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α(α为常数)的形式,即:(1)指数为常数,(2)底数为自变量,(3)底数系数为1.[再练一题]1.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号:97030116】【解析】 设f (x )=x α,因为f (4)=3f (2),∴4α=3×2α,解得α=log 23,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23=13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示,图中的曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象,已知n 取±2,±12四个值,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( )图2-3-1A .-2,-12,12,2 B .2,12,-12,-2 C .-12,-2,2,12 D .2,12,-2,-12(2)已知幂函数y =x 3m -9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a +3)-m 5<(5-2a )-m5的a 的取值范围.【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象;(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值,再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式.【自主解答】 (1)根据幂函数y =x n 的性质,在第一象限内的图象当n >0时,n 越大,y =x n 递增速度越快,故C 1的n =2,C 2的n =12,当n <0时,|n |越大,曲线越陡峭,所以曲线C 3的n =-12,曲线C 4的n =-2,故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m -9<0,解得m<3,又m ∈N *,所以m =1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,故m =1,则原不等式可化为(a +3)-15<(5-2a )-15.因为y =x -15在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a +3>5-2a >0或5-2a <a +3<0或a +3<0<5-2a ,解得23<a <52或a <-3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1.依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y =x -1或y =x 12或y =x 3)来判断.[再练一题]2.点(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x ),g (x )的图象上,问当x 为何值时,有:(1)f (x )>g (x );(2)f (x )=g (x );(3)f (x )<g (x ).【解】 设f (x )=x α,g (x )=x β.∵(2)α=2,(-2)β=-12,∴α=2,β=-1. ∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知, (1)当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x ); (2)当x =1时,f (x )=g (x ); (3)当x ∈(0,1)时,f (x )<g (x ). [探究共研型]探究1 幂函数y =x 【提示】 当α>0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递减.探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值?二者的大小关系如何?【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )=2x 的两个函数值,因为函数f (x )=2x 单调递增,所以23.1<23.2.探究3 2.3-0.2和2.2-0.2可以看作哪一个函数的两个函数值?二者的大小关系如何? 【提示】 2.3-0.2和2.2-0.2可以看作幂函数f (x )=x -0.2的两个函数值,因为函数f (x )=x -0.2在(0,+∞)上单调递减,所以2.3-0.2<2.2-0.2.比较下列各组中幂值的大小. (1)30.8,30.7;(2)0.213,0.233;(3)212,1.813;(4)1.212,0.9-12,1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数,借助其单调性求解. 【自主解答】 (1)∵函数y =3x 是增函数,且0.8>0.7,∴30.8>30.7. (2)∵函数y =x 3是增函数,且0.21<0.23,∴0.213<0.233. (3)∵函数y =x 12是增函数,且2>1.8,∴212>1.812. 又∵y =1.8x 是增函数,且12>13, ∴1.812>1.813,∴212>1.813.(4)0.9-12=⎝ ⎛⎭⎪⎫10912,1.1=1.112.∵1.2>109>1.1,且y =x 12在[0,+∞)上单调递增, ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112,即1.212>0.9-12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同,则利用指数函数的单调性比较大小;若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”,也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3.比较下列各组数的大小. 【导学号:97030117】【解】 (1)因为函数y =x -52在(0,+∞)上为减函数.又3<3.1,所以3-52>3.1-52.1.已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,则f (2)=( ) A.14 B .4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y =x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,∴12=4α,∴α=-12,∴y =x -12,∴f (2)=2-12=22,故选C.【答案】 C2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )【导学号:97030118】A .y =x 13 B .y =x -12 C .y =x 53D .y =x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ;B 中定义域和值域都是(0,+∞);C 中定义域和值域都是R ;D 中定义域为R ,值域为[0,+∞).【答案】 D3.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,1,12,3,则使函数y =x a 的定义域是R ,且为奇函数的所有a 的值是( )A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,3【解析】 当a =-1时,y =x -1的定义域是{x |x ≠0},且为奇函数;当a =1时,函数y =x 的定义域是R ,且为奇函数;当a =12时,函数y =x 12的定义域是{x |x ≥0},且为非奇非偶函数;当a =3时,函数y =x 3的定义域是R 且为奇函数.故选A.【答案】 A4.函数y =x 13的图象是( )【解析】 显然函数y =x 13是奇函数.同时当0<x <1时,x 13>x ,当x >1时,x 13<x . 【答案】 B5.比较下列各组数的大小:【解】 (1) ,函数y =在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则从而因为函数在(0,+∞)上为减函数,又46>π6,所以。
2.3幂函数习题(带答案)-人教版数学高一上必修1第二章
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2.3幂函数习题(带答案)-人教版数学高一上必修1第二章第二章基本初等函数(1)2.3 幂函数测试题知识点:幂函数的概念1、下列函数中是幂函数的是( )A.y=B.y=2x-2C.y=x+1D.y=12、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x23、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )A.y=x+2B.y=C.y=D.y=x34、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③D.②③⑤6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.8、比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=110、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-411、在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-112、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.知识点:常见幂函数的图像和性质14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2D.y=15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-416、幂函数y=x-2的图象大致是( )17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【参考答案】符合幂函数的定义y=, .是非奇非偶函数,y=得...:=3,==:由题意得解得过点y=a是幂函数y=, y=,y=x,y=在各自定义域上均是增函数在区间,,f(x)±则有=3,f(x)=f==== :。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》练习题及答案
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人教新课标数学必修I 2.3事函数练习题一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内(每小题 5分,共50分).1.下列函数中既是偶函数又是A.B.C.2.1〜2.函数y x 2在区间[万,2]上的最大值是 A.1B. 1C 443 .下列所给出的函数中,是募函数的是A33c 3A y xB. y xC. y 2x44 .函数y x 3的图象是B.募函数的图象都经过(0, 0)和(1, 1)点C.若募函数y x 是奇函数,则 y x 是定义域上的增函数D.募函数的图象不可能出现在第四象限16 .函数y x 3和y x 3图象满足 A.关于原点对称 B .关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x 对称7 .函数y x | x |,x R ,满足A.是奇函数又是减函数 C,是奇函数又是增函数B,是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数8 .函数y Vx 22x 24的单调递减区间是5.下列命题中正确的是 A.当0时函数y x 的图象是一条直线D.()D.4()3.D. y x 1( )B. [ 6, )C. ( ,1]D. [ 1,) A. ( , 6]9.如图1 — 9所示,募函数y x 在第一象限的图象,比较 0, 1, 2, 3, 4,1的大小(11 .函数 的定义域是 .12 .的解析式是.213 . y Xa是偶函数,且在(0,)是减函数,则整数 a 的值是 ^(1)kn工14. 募函数y X m (m, n,k N*, m,n 互质)图象在一、二象限,不过原点,则 k,m,n 的奇偶性为^三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 (共76分).15. ( 12分)比较下列各组中两个值大小 (1)16. (12分)已知募函数轴对称,试确 的解析式A. B. C.D.10. 对于募函数f(x) 4X5,若 0 X 1X2,f(X 1 X 2 一 f (X 1)大小关系是X 1 X 2、 A. f(--2)2 f (X 1)f (X 2) B f (X 1 X 2) f(X 1)f(X 2)22C.f (X 1)f (X 2)D.无法确定 、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分)317. ( 12分)求证:函数 y x 在R 上为奇函数且为增函数18. ( 12分)下面六个募函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系后,商品卖出个数减少 bx 成,税率是新定价的 a 成,这里a,b 均为正常数,且a <10,设售货款扣 除税款后,剩余y 元,要使y 最大,求x 的值.20. ( 14分)利用募函数图象,画出下列函数的图象(写清步骤)(1)3(1)y x 2; (2)y2⑷ y x ; (5)y12x 3; (3)y x 3;1;(6) y x 219.、CCBAD DCADA4二、11 . ;12 . f (x) X 3(X 0) ; 13 . 5;14. m,k 为奇数,n 是偶数;6解:(1) 函数yx 11在(0,)上是增函数且0 0.6650.71彳 ⑵函数y X 3在(0,)上增函数且0 0.88 0.89555550.8930.88" 0.89§,即 (0.88户 (。
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第二章基本初等函数(1)
2.3 幂函数
测试题
知识点:幂函数的概念
1、下列函数中是幂函数的是( )
A.y=
B.y=2x-2
C.y=x+1
D.y=1
2、下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x
B.y=2x3
C.y=
D.y=2x2
3、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )
A.y=x+2
B.y=
C.y=
D.y=x3
4、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )
A.y=
B.y=x4
C.y=x-2
D.y=
5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )
A.①⑤
B.①②③
C.②④
D.②③⑤
6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .
7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.
8、比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.1≤m≤2
B.m=1或m=2
C.m=2
D.m=1
10、函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B. C.4 D.-4
11、在下列函数中,定义域为R的是( )
A.y=
B.y=
C.y=2x
D.y=x-1
12、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.
13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.
知识点:常见幂函数的图像和性质
14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=
15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B. C.4 D.-4
16、幂函数y=x-2的图象大致是( )
17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.
18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.
19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.
【参考答案】
1
【解析】选A.y==符合幂函数的定义,而B,C,D均不是幂函数.
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项2
C中y==x-1符合幂函数的特征.
【解析】选B.设幂函数解析式为y=xα,因为图象过点(8,2),所以8α=2,所以α=,所3
以y=.
【解析】选B.因为y=是非奇非偶函数,y=是奇函数,y=x-2图象不过点(0,0),所以4
A,C,D均不正确.
5 【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合
幂函数的特征.
6 【解析】设f(x)=xα,代入得9α=. 即32α=3-1,所以2α=-1,所以α=-.
所以f(x)=,所以f(25)=2=.
答案:
7 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log
2
3,
则f(x)=,于是f====. 答案:
8 【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,
又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
9 【解析】选D.由题意得解得m=1.
10
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
11
【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).
12 【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α, 所以α=-1,所以f(x)=x-1=,
所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞)
13 【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
14
【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.
15
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
16
【解析】选B.因为y=x-2=,所以y=x-2是定义域为{x|x≠0}的偶函数,故选B.
17 【解析】(1)当m2+m-1=1,且m2+2m≠0时,即m=1,f(x)是正比例函数.
(2)当m2+m-1=-1,且m2+2m≠0时,即m=-1,f(x)是反比例函数.
(3)当m2+m-1=2,且m2+2m≠0时,即m=,f(x)是二次函数.
(4)当m2+2m=1时,即m=-1±,f(x)是幂函数.
18 【解析】由于函数y=(m2-m-1)x m为幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去. 当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,
所以m=-1符合题意,故填-1.
答案:-1
19 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,
则f(x)=,于是f====. 答案:。