2.3幂函数习题(带答案)-人教版数学高一上必修1第二章
高一数学人教新课标A版必修123幂函数同步练习
高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习（答题时间：30分钟）微课程：幂函数的定义同步练习1. 已知幂函数y ＝f （x ）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（ ）A. y ＝212xB. y ＝12xC. y ＝32x D. y ＝521x 22. 下列命题中正确的是（ ）A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）C. 若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，则实数m 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）4. 已知幂函数f （x ）＝x m ）x 1 12 f （x ）122A. {x|0<x≤2}B. {x|0≤x≤4}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|－4≤x≤4} 5. 设x ∈（0，1），幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的上方，则实数a 的取值范围是______。
6. 已知函数223()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定f （x ）的解析式。
微课程：幂函数的图象和性质同步练习1. 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）A. 1y x=B. 12y x =C. 1()3xy =D. 2215y x x =--2. 函数35x y =的图象大致是（ ）3. 当x ∈（1，＋∞）时，下列函数的图象全在直线y ＝x 下方的偶函数是（ ）A. 21x y = B. y ＝x －2 C. y ＝x 2 D. y ＝x －14. 函数y ＝1x－x 2的图象关于（ ）A. y 轴对称B. 直线y ＝－x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y ＝x 对称5. 已知幂函数qp x y =，（p ，q ∈N *）的图象如图所示，则（ ）A. p ，q 均为奇数，且p q ＞0B. q 为偶数，p 为奇数，且p q＜0C. q 为奇数，p 为偶数，且p q ＞0D. q 为奇数，p 为偶数，且pq＜06. 函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p 的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是________。
人教A版精编数学必修1练习：第二章 2.3 幂函数 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是( )解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( )A ．a a <a bB. b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b 解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a .答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1，∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1.答案：17．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误．答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________. 解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝x 223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3.又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a )B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a ) D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减． 因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x 12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.答案：B 3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0.答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313- 5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2，又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12.又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。
高中数学人教版 必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.3 幂函数
高中数学人教版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.3 幂函数选择题下列函数中是幂函数的是（）①y＝?x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x?1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.A．①③⑤? B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤【答案】C【解析】y＝?x2的系数是?1而不是1，故不是幂函数；y＝2x是指数函数；y＝(x?1)3的底数是x?1而不是x，故不是幂函数；y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．y＝＝x?2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式，所以选C.选择题幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为（）A. B．64 C．2 ? D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，依题意得，＝4α，即22α＝2?1，∴α＝?.∴幂函数的解析式为y＝，∴f(8)＝＝＝＝, 故选A.选择题函数f(x)＝(m2?m?1)是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的取值集合是（）A．{m|m＝?1或m＝2} B．{m|?1解得m＝2.选择题下列幂函数中图象过点(0，0)，(1，1)，且是偶函数的是（）A.? y=?B.? y=C.? y=D.? y=【答案】B【解析】函数y=，y=不是偶函数，函数y=是偶函数，但其图象不过点(0，0).函数y=的图象过点(0，0)，(1，1)且是偶函数，故选B.选择题函数f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点（）A.(1，1) ?B.(1，2)C.( ?1，0)D.( ?1，1)【解析】因为f(1)==1+1=2，所以f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点(1，2)，故选B.选择题下列命题中正确的是（）A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点C．幂函数y＝x0的定义域是RD．幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象不是直线，故A和C不? 正确；当α0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D正确．选择题设α∈{?2，?1，?，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，+∞)上递增的α的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】f(x)为奇函数，则α＝?1，，1，3，f(x)在(0，+∞)上递增，则α＝，1，3，故选C.选择题在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax?的图象可能是（）【答案】C【解析】当a0，结合图象排除A，C，D，又y＝xa在(0，+∞)上是减函数，∴B项也不正确．当a>0时，y＝ax?是增函数，?0时，y＝xa在(0，+∞)上是增函数，故A项不正确，故选C.选择题在函数，，，中，幂函数的个数为A．0? ? B．1C．2 D．3【解析】函数为幂函数；函数，前的系数不是1，所以它不是幂函数；函数是两个函数和的形式，所以它不是幂函数；函数与不是同一个函数，所以它也不是幂函数．所以只有1个是幂函数，故选B．选择题若函数是幂函数，且满足，则的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】令，因为，即，解得，所以，所以．选择题若幂函数的图象不过原点，则A．B．或C．D．【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．故选B．选择题如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A．B．C．D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故本题选B．选择题设，，，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】在上为减函数，，即.在上为增函数，，即.所以.选择题在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是【答案】D【解析】对于A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对于B,中，中，舍去；对于C，中，中，舍去；对于D，中，中，故选D.选择题已知幂函数的图象过点，则A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以．故选A．选择题函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是A．?1? B．2C．3 D．?1或2【答案】B【解析】是幂函数或．又在上是增函数，所以，故选B．填空题比较下列各组数的大小：(1)与的大小关系是______；(2)，，的大小关系是______.【答案】(1) （2）【解析】1)∵在(0，+∞)上为减函数，且5.1>5.09，∴.(2)，.∵在(0，+∞)上为增函数，且，∴.又，∴.填空题已知幂函数f(x)＝，若f(a+1)＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)解得∴3，下列五个关系式：①0与y＝的图象(如图所示)，设，作直线y＝m.如果m＝0或1，则a＝b；如果01，则1填空题若一个幂函数的图象过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为已知幂函数的图象过点，所以，即所以，则．填空题若，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.填空题下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是．①；②y=x4；③y=x?2；④.【答案】③【解析】①中函数不具有奇偶性；②中函数y=x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y=x?2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数是奇函数．故填③.填空题已知幂函数，若f(a＋1)＜f(10?2a)，则a的取值范围是．【答案】(3,5)【解析】∵，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10?2a)，∴，解得，∴3＜a＜5.解答题已知函数f(x)＝?且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．【答案】(1)1 ?(2)奇函数?(3)略【解析】(1)因为f(4)＝，所以，所以＝1.(2)由(1)知f(x)=，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，，所以f(x)是奇函数．(3) f(x)在(0，+∞)上单调递增.证明如下：设，则.因为，所以，，所以，所以f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数．解答题已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)?α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．(3)当?1，其中?2，，1；（2），，；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把1看作，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．∵，∴，即．（2）因为，，，幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且.∴.解答题已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或.又函数图象关于轴对称，所以是偶数，所以.（2）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.解答题已知幂函数(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）f(x)=x4；（2）(3，＋∞).【解析】（1）∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴?m2＋2m＋3>0，即m2?2m?32对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，即c?1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。
人教版高一数学必修一2.3幂函数
2．3幂函数班级______________座号_________学生_______________一． 选择题：1.已知，则（ ）A ． B. C. D. 2. 设1{1,1,,3}2α∈-，则使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 已知幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2，函数g （x ）= log ()a x k +，若0<x 时()0≥x g 无解，则k 的范围是（ ）A.2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4．已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( )A. B.C. D.二．填空题：5. 已知幂函数f (x )＝(m 2－2m －2) 21m m x +-的图像与坐标轴没有交点，则 m ＝__________________．6. 已知函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 若关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，求实数a 的取值范围4213332,3,25a b c ===b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<22(),()2,()log x f x x g x h x x ===(4,)a ∈+∞()()()f a g a h a >>()()()g a f a h a >>()()()g a h a f a >>()()()f a h a g a >>三．解答题：8．已知函数f（x）＝(a2－3a＋2)x a2－5a＋5(a为常数)，问a为何值时，f（x）（1）是幂函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数。
高一数学人教A版必修一检测第二章2.3幂函数 Word版含解析
第二章基本初等函数（Ⅰ）
幂函数
级基础巩固
一、选择题
．下列函数是幂函数的是( )
．＝．＝
．＝．＝(＋)
解析：函数＝是幂函数，其他函数都不是幂函数．
答案：．下列函数中既是偶函数又在(－∞，)上是增函数的是( )
．＝．＝
．＝－．＝－
解析：对于幂函数＝α，如果它是偶函数，当α<时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则选项正确，故选.
答案：．已知幂函数()＝α的图象经过点(，)，则()的值为( )
．
解析：依题意有＝α，所以α＝－，
所以()＝－，所以()＝－＝.
答案：
．函数＝图象的大致形状是( )
解析：因为＝是偶函数，且在第一象限图象沿轴递增，所以选项
正确．
答案：
．或．．．
解析：因为()为幂函数，所以－＋＝，
解得＝或＝，所以()＝－或()＝，
因为()为(，＋∞)上的减函数，所以＝.
答案：
二、填空题．(·全国Ⅲ卷改编)已知＝，＝，＝，则，，的大小关系是．
解析：＝＝，＝，＝＝.
因为＝在第一象限内为增函数，又>>，
所以>>.
答案：>>．幂函数()＝－(∈)在(，＋∞)上是减函数，且(－)＝()，则等于
．解析：因为幂函数()＝－(∈)在(，＋∞)上是减函数，
所以－<，即<，又∈，
所以＝，，因为(－)＝()，所以函数()是偶函数，
当＝时，()＝－，是奇函数；
当＝时，()＝－，是偶函数．
所以＝.
答案：
．已知幂函数()＝·α的图象过点，则＋α＝．
解析：因为函数是幂函数，所以＝，。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.3 幂函数 Word版含答案[ 高考]
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2．3幂函数[学习目标] 1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点)．一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、幂函数的图象与性质1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3＋2是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．( )(3)指数函数y ＝a x 的定义域为R ，与底数a 无关，幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数也无关．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2【解析】 由幂函数定义知y ＝2x 不是幂函数，而是指数函数． 【答案】 A3．函数y ＝x 3的图象关于________对称．【解析】 函数y ＝x 3为奇函数，其图象关于原点对称． 【答案】 原点4．若幂函数过(2，2)点，则此函数的解析式为________． 【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，则2＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.【答案】 f (x )＝x 12预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(2)(2014·宿迁高一检测)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________．(3)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)∵y ＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数， ∴m 2－4m －4＝1，解得m ＝－1或m ＝5. (2)由题意22＝2α，即2－12＝2α，∴α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.(3)根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f (x )＝x 3.【答案】 (1)－1或5 (2)12(3)f (x )＝x 3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－12(2)若点A (2，2)在幂函数f (x )的图象，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上， ①求f (x )、g (x )的解析式；②求当x 为何值时：(ⅰ)f (x )＞g (x )；(ⅱ)f (x )＝g (x )；(ⅲ)f (x )＜g (x )． 【思路探究】 (1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f (x )＝x a 、g (x )＝x b ，把A ，B 两点的坐标分别代入求得a ，b 即可．画出相应的函数图象，数形结合求得x 的范围．【解析】 (1)由幂函数的图象与性质，n ＜0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 B(2)①设f (x )＝x a ，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)a ＝2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x b，因为点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，所以(－2)b ＝14，所以b ＝－2，即g (x )＝x －2.②令f (x )＝g (x )，解得x ＝±1.在同一坐标系下画出函数f (x )和g (x )的图象，如图：由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(1，1)和(－1，1)． 所以(i)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (ⅱ)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (ⅲ)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．1．幂函数的图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． 2．幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y ＝x －1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y ＝x 12画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y ＝x 2画出．本例(2)中若定义h (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）＞g （x ），求函数h (x )的最大值及单调区间．【解】 由题意h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＜－1或x ＞1，x 2，－1≤x ＜0或0＜x ≤1，根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(－∞，－1]，(0，1]，单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)．(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.【思路探究】 比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(3)可找中间量进行比较．【解】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0，所以(－1.9)－35<3.8－23<4.125.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．比较大小，说明理由． (1)0.9513与0.9613；(2)0.95－35与0.95－23.【解】 (1)∵函数y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且0.95＜0.96，∴0.9513＜0.9613.(2)∵函数y ＝0.95x 在R 上是减函数，且－35＞－23，∴0.95－35＜0.95－23.1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．(1)当α＞1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x2；(2)当0＜α＜1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x 12；(3)当α＜0时，图象过点(1，1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－12等．4．比较大小．(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【思路探究】 以a －1，3－2a 是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解．【满分样板】 考查幂函数y ＝x －13，类比y ＝x －1的单调性，可得：若x －13＜y －13，则有x ＜0＜y ，y ＜x ＜0或0＜y ＜x 三种情况． 因此，若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则有如下三种可能：⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＜0，a －1＞3－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，3－2a ＞0，a －1＞3－2a ， 解得a ＜1或43＜a ＜32.故实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32.【答案】C1．欲利用幂函数y ＝x －13的性质求参数的值，可类比幂函数y ＝x －1的性质，y ＝x －1有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)，又当x ＜0时，y ＜0；当x ＞0时，y ＞0.2．本题以a －1，3－2a 是否在幂函数y ＝x －13的同一单调区间为标准分类，可分为两类，而在同一单调区间时，又分两种情况，从而做到不重不漏．——[类题尝试]—————————————————(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】 由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ，y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数．又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( )A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=x α都是增函数12D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1 B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.已知a=1.,b=0.,c=,则( )2129-121.1A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b0.,c==1.,9-12=(910)-12=(109)121.1112∵>0,且1.2>>1.1,12109∴1.>1.,即a>b>c.212>(109)121126.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m 在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n 在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n 的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B .7.若(a+1<(3-2a ,则a 的取值范围是 .)13)13f (x )=的定义域为R ,且为单调递增函数,x 13所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<.23-∞,23)8.已知幂函数f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,并且f (x )在第一象限内是单调递减函数,则m= .x m 2-2m -3f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,所x m 2-2m -3以m 2-2m 为奇数.又因为f (x )在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.12x 12x 1210.已知函数y=(a 2-3a+2)(a 为常数),问:x a 2-5a +5(1)当a 为何值时,此函数为幂函数?(2)当a 为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a 为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,解得a=.3±52(2)由题意知解得a=4.{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,(3)由题意知解得a=3.{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( )A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A .(-b 2,1)b 22.函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,若a ,b ∈R ,且xm 2+m -3f (x 1)-f (x2)x 1-x 2a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,x m 2+m -3当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,f (x 1)-f (x 2)x1-x 2函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(,2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( )22A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n 的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为22{m =1,(2)n =22⇒{m =1,n =3,单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=;⑤f (x )=.其中满足条件f (x 2>x 1>0)x 1x (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 . x m n①m ,n 是奇数且<1;②m是偶数,n 是奇数,且>1;③m 是偶数,n 是奇数,且<1;④m ,n 是偶数,且>1.m n m n m n m n ,函数y=为偶函数,m 为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.x mn m n 6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= . x m 2-2m +1f (x )=(m 2-3m+3)是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当x m 2-2m +1m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .{2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.x m 2-4m +2(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ].∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x (2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q 的值;[-4,178]若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3.要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.12(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值2q -12q 12q 只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g =-2×+3×+1=,符合题34(34)(34)234178意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为.[-4,178]。
2019秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数练习含解析新人教A版必修1
2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征．答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)， 可得4α＝2，即22α＝2， 所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22.答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．b <c <a解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c .答案：B 二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·nα＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数． 所以m ＝1. 答案：18．若f (x )＝x α是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f （4）f （2）＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13.答案：13三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？ (2)f (x )是正比例函数？ (3)f (x )是反比例函数？ (4)f (x )是二次函数？ 解：(1)因为f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2 D ．无法确定解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)， |EF |＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，133．已知幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 所以m 与m ＋1必定有一个为偶数， 所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数． (2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. 所以m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
高一数学上册 第二章初等函数之幂函数知识点及练习题(含答案)
〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．2.3幂函数的图象及性质1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________． 5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．26．下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －347．已知幂函数的图象y ＝x m2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________ ．11．函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．12．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？13．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．答案1. 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2.解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3.解析：选C.∵y ＝x 0，可知x≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4.解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≠01－x≥0，∴x<1.答案：(－∞，1)5 解析：选C.设f(x)＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f(x)＝x －12，所以f(4)＝4－12＝12.6 解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x≥0；C.y ＝x －13＝13x，x≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.7 解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.8 解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10 解析：设f(x)＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f(x)＝x 1211 解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f(x)＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.12 解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m≠0⇒m ＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m≠0⇒m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±213 解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． ∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．.。
人教新课标版数学高一-必修一练习2.3幂函数
1．下列函数中，是幂函数的为( )A ．y ＝－x 12B ．y ＝3x 2C ．y ＝1xD ．y ＝2x解析：幂函数的形式为y ＝x α，A是y ＝－1×x 12；B 是y ＝3×x 2；D 是指数函数，故A 、B 、D 都不是幂函数.只有C ：y ＝1x＝x －1符合幂函数的定义． 答案：C2．给出四个说法：①当α＝0时，y ＝x α的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x α在第一象限为减函数，则α<0.其中正确的说法个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：显然①错误；②中y ＝x －1的图象不过(0，0)；根据幂函数图象可知，③④正确． 答案：B3．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1，2，3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1，3. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.答案：A4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)x m 2＋2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0.答案：A5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (9)＝________． 解析：设幂函数f (x )＝x α.∵过点⎝⎛⎭⎫2，22，∴2α＝22， ∴α＝－12，∴f (x )＝x 12-， ∴f (9)＝912-＝13. 答案：13 6．已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 12-＝1x(x >0)，故易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数.又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.答案：(3，5)7．比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5； (2)(－23)－1与(－35)－1； (3)(23)34与(34)23.解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35， ∴(－23)－1>(－35)－1. (3)∵函数y 1＝(23)x 为减函数， 又34>23，∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34. 8．已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 213m -为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性． 解：由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13,定义域为R ， y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数． 当m ＝1时，y ＝x23-，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为y ＝x 23-＝1x 23＝13x 2,∴函数y ＝x 23-为偶函数．又－23<0，∴y ＝x 23-在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。
【精讲优练课】人教版高中数学必修1练习：2.3幂函数(含答案解析)
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课时提高作业 (二十二 )幂函数(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 25 分 )1.以下函数中 ,是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x 3C.y=D.y=2x 2【分析】选 C.由幂函数所拥有的特点可知,选项 A,B,D中 x 的系数不是1;故只有选项 C 中y= =x -1切合幂函数的特点.【赔偿训练】以下函数 :① y=x 2+1;② y= ; ③ y=3x 2-2x+1; ④y=x -3;⑤ y=+1. 此中是幂函数的是 ()A. ①⑤B. ①②③C.②④D. ②③⑤【分析】选 C.由幂函数所拥有的特点可知②④切合,而①③⑤中有常数项1,均不切合幂函数的特点 .2.(2015 ·长治高一检测 )若幂函数y=(m 2 -3m+3)x m-2的图象可是原点,则 m 的取值范围为()A.1 ≤m≤ 2B.m=1 或 m=2C.m=2D.m=1【分析】选 D.由题意得解得m=1.3.函数 y=x-2在区间上的最大值是()A. B. C.4D.-4【分析】选 C.y=x -2在区间上单一递减 ,因此 x= 时,获得最大值为 4.【延长研究】若此题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少 ?【分析】y=x -2在区间上单一递减 ,因此 x=2时 ,获得最小值为 ,当 x= 时 ,获得最大值为4.故最大值和最小值的和为.4.在以下函数中,定义域为R 的是()A.y=B.y=C.y=2 xD.y=x -1【分析】选 C.选项 A 中函数的定义域为[0,+ ∞ ),选项 B,D 中函数的定义域均为(-∞ ,0)∪ (0,+∞ ).【误区警告】此题在确立函数的定义域时易忽视指数是负数,进而自变量不可以为 0 的状况 ,导致错选 B或 D.【赔偿训练】设α ∈,则使函数 y=xα的定义域为 R 且为奇函数的全部α 的值为 ()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【分析】选 A. 函数 y=x -1的定义域是,函数 y=的定义域是 [0,+ ∞ ),函数 y=x 和y=x 3的定义域为 R 且为奇函数 .5.(2015 ·荆门高一检测)函数 y=|x(n∈ N,n>9) 的图象可能是()【分析】选 C.因为 y=|x为偶函数,因此清除选项A,B. 又 n>9,因此<1.由幂函数在 (0,+ ∞ )内幂指数小于 1 的图象可知 ,只有选项 C 切合题意 .二、填空题 (每题 5 分 ,共 15 分 )6.幂函数 f(x)=x α过点,则 f(x) 的定义域是.【分析】因为幂函数f(x) 过点,因此 =2α,因此α =-1, 因此 f(x)=x -1= ,因此函数f(x) 的定义域是 (-∞ ,0)∪ (0,+ ∞ ).答案 :(- ∞,0)∪(0,+ ∞ )7.(2015 ·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.【分析】由已知y=a是幂函数,得 a=1,因此y=,因此 y≥ 0,故该函数的值域为[0,+ ∞ ).答案 :[0,+ ∞ )【赔偿训练】 (2014·济宁高一检测 ) 当 x∈ (0,+ ∞)时 ,幂函数 y=(m 2-m-1)x m为减函数 ,则实数 m 的值为.【分析】因为函数y=(m 2 -m-1)x m为幂函数 ,2因此 m -m-1=1,解得 m=-1 或 m=2.当 m=2 时函数在 (0,+ ∞ )上递加 ,因此要舍去 .当 m=-1 时函数在 (0,+ ∞ )上递减 ,因此 m=-1 切合题意 ,故填 -1.答案 :-18.若函数 f(x) 是幂函数 ,且知足=3,则 f的值等于.【分析】依题意设 f(x)=x α,则有=3, 得α =log 23,则 f(x)=,于是 f==== .答案 :三、解答题 (每题 10分,共 20分 )9.比较以下各组数的大小:(1)1.1 0.1,1.20.1;(2)0.24 -0.2,0.25-0.2;0.30.30.2(3)0.2 ,0.3 ,0.3.【分析】 (1)因为函数y=x 0.1在第一象限内单一递加,又因为 1.1<1.2,因此 1.10.1<1.20.1.(2)因为函数 y=x-0.2在第一象限内单一递减 ,又因为 0.24<0.25, 因此 0.24-0.2>0.25-0.2.(3)第一比较指数同样的两个数的大小,因为函数 y=x 0.3在第一象限内单一递加 ,而0.2<0.3,所以 0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小, 因为函数y=0.3 x在定义域内单一递减, 而 0.2<0.3, 因此0.30.3<0.30.2.因此 0.20.3<0.30.3<0.30.2.10. 已知幂函数y=x 3-p(p ∈ N* )的图象对于y 轴对称 ,且在 (0,+ ∞ )上为增函数, 求知足条件(a+1 <(3-2a的实数 a 的取值范围 .【分析】因为幂函数y=x 3-p(p∈ N* )的图象对于 y 轴对称 ,因此函数y=x 3-p是偶函数 .又 y=x 3-p在 (0,+ ∞ )上为增函数 ,因此 3-p 是偶数且3-p>0.因为 p∈ N* ,因此 p=1,因此不等式 (a+1<(3-2a化为:(a+1 <(3-2a.因为函数y=是[0,+∞ )上的增函数,因此?? -1≤ a< ,故实数 a 的取值范围为.(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 10 分 )1.(2015 ·沈阳高一检测 )以下幂函数在 (-∞ ,0)上为减函数的是()A.y=B.y=x 2C.y=x 3D.y=【分析】选 B. 函数 y= ,y=x 3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x 2在(-∞ ,0)上是减函数 .【赔偿训练】以下幂函数中过点(0,0),(1,1) 且为偶函数的是()A.y=B.y=x 4C.y=x -2D.y=【分析】选 B. 函数 y=x 4是过点 (0,0),(1,1) 的偶函数 ,故 B 正确 ; 函数 y=x -2可是点 (0,0), 故 C 不正确 ;函数 y=,y= 是奇函数 ,故 A,D 不正确 .2.在同一坐标系内,函数 y=x a(a≠ 0)和 y=ax-的图象可能是()【分析】选 C.当 a<0 时 ,函数 y=ax-在R上是减函数,此时y=x a在(0,+∞ )上也是减函数,同时为减的只有 D 选项 ,而函数y=ax-与 y 轴订交于点,此点在y 轴的正半轴上,故 D选项不适合.当a>0 时 ,函数y=ax-在 R 上是增函数,与y 轴订交于点,此点在y 轴的负半轴上,只有A,C适合 ,此时函数y=x a在 (0,+ ∞ )上是增函数,进一步判断只有C适合.【赔偿训练】函数y=x α与y=α x(α ∈ {-1,1, ,2,3}) 的图象只可能是下边中的哪一个()【分析】选 C.A 中直线对应函数y=x, 曲线对应函数为 y=x -1,1≠ -1,故 A 错 ;B 中直线对应函数为 y=2x, 曲线对应函数为 y=,2≠ ,故 B 错 ;C 中直线对应函数为y=2x, 曲线对应函数为y=x 2,,22=2× 2,故 C 对;D中直线对应函数为y=-x, 曲线对应函数为y=x 3 ,-1≠3.故D错 .二、填空题(每题 5 分,共10 分)3.设 a=,b=,c=,则 a,b,c 的大小关系是.【分析】因为y=在x∈(0,+∞ )上递加,因此>,即 a>c,因为 y=在x∈ (-∞ ,+∞)上递减,因此>,即 c>b,因此a>c>b.答案 :a>c>b4. (2015 ·徐州高一检测 )已知幂函数 f=(m∈ Z)的图象与 x 轴,y 轴都无交点 ,且关于原点对称 ,则函数 f的分析式是.【解题指南】因为函数的图象与x 轴2,y 轴都无交点 ,因此 m -1<0, 再依据图象对于原点对称 ,且 m∈ Z, 确立 m 的值 .【分析】因为函数的图象与x 轴 ,y 轴都无交点 ,因此 m2-1<0,解得 -1<m<1; 因为图象对于原点对称 ,且 m∈ Z,因此 m=0,因此 f=x -1.答案 :f=x -1三、解答题 (每题 10分,共 20分 )5.(2015 ·广州高一检测 )幂函数 f的图象经过点 (,2),点在幂函数 g的图象上 ,(1) 求 f,g的分析式 .(2)x 为什么值时 f>g,x 为什么值时 f<g?【分析】 (1)设 f=x α ,则 ()α =2,因此α =2,因此 f=x 2.设 g=x β,则 (-2) β = ,因此β =-2, 因此 g=x -2(x≠ 0).(2) 从图象可知 ,当 x>1 或 x<-1 时 ,f>g;当 -1<x<0 或 0<x<1 时 ,f<g.6.(2015 ·秦皇岛高一检测) 已知幂函数f(x)=(m 2-m-1) · x-5m-3在 (0,+ ∞ ) 上是增函数, 又g(x)=lo(a>1).(1)求函数 g(x) 的分析式 .(2)当 x∈ (t,a)时 ,g(x) 的值域为 (1,+∞ ),试求 a 与 t 的值 .【分析】 (1) 因为f(x) 是幂函数 ,且在 (0,+ ∞ )上是增函数,因此解得m=-1,因此 g(x)=log a.(2) 由>0 可解得 x<-1 或 x>1,因此 g(x) 的定义域是 (-∞ ,-1)∪ (1,+ ∞ ).又 a>1,x∈(t,a), 可得 t≥ 1,设 x1,x2∈ (1,+ ∞ ),且 x1<x 2,于是 x2-x1>0,x1-1>0,x 2-1>0,因此-=>0,因此>.由 a>1,有 log a>log a,即 g(x) 在 (1,+ ∞ )上是减函数 .又 g(x) 的值域是 (1,+ ∞ ),因此得 g(a)=log a=1, 可化为=a,解得 a=1±,因为 a>1,因此 a=1+,综上 ,a=1+,t=1.【赔偿训练】已知函数 f(x)=x m- 且 f(4)= .(1)求 m 的值 .(2)判断 f(x) 的奇偶性 .(3)判断 f(x) 在 (0,+ ∞) 上的单一性 ,并赐予证明 .【分析】 (1)因为 f(4)= ,因此 4m- = ,因此m=1.(2) 由 (1)知f(x)=x-,因为f(x) 的定义域为 {x|x ≠0},又f(-x)=-x-=-=-f(x),因此f(x) 是奇函数.(3)f(x) 在 (0,+ ∞ )上单一递加.设 x1>x 2>0, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1--=(x 1-x2),因为x1>x 2>0, 因此x1-x2 >0,1+>0,因此f(x 1 )>f(x 2),因此 f(x) 在(0,+ ∞ )上为单一递加函数.封闭 Word 文档返回原板块。
高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x －45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )提示 (1)√ 函数y ＝x－45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：(1)设函数f (x )＝x 53 ，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________．解析 (1)易知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)易知f (x )＝x －3＝1x3在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f (3.17)>f (3.71)，即3.17－3>3.71－3.答案 (1)A (2)3.17－3>3.71－3题型一 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若f (x )＝(m 2－4m －4)x m是幂函数，则m ＝________.解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B ．(2)因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1规律方法 判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．(1)解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ． 答案 B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1解析 由图象可知y ＝x m n是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n的图象在y ＝x 的图象下方，故m n<1.答案 C【例(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又25<3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<30.3.即⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 >0.325 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.325 .规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 与⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 . 解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5. (2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1234.课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2解析 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x－12，∴f (2)＝2－12 ＝22，故选C ．答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析 A 中定义域值域都是R ；B 中定义域值域都是(0，＋∞)；C 中定义域值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R 且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12 的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数．当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A ．答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )解析 显然代数表达式“－f (x )＝f (－x )”，说明函数是奇函数．同时由当0<x <1时，x 13 >x ，当x >1时，x 13 <x .答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78 <－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫46－23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 . 课堂小结1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。
2.3幂函数习题（带答案）-人教版数学高一上必修1第二章
2.3幂函数习题（带答案）-人教版数学高一上必修1第二章第二章基本初等函数（1）2.3 幂函数测试题知识点：幂函数的概念1、下列函数中是幂函数的是( )A.y=B.y=2x-2C.y=x+1D.y=12、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x23、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )A.y=x+2B.y=C.y=D.y=x34、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③D.②③⑤6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.8、比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=110、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-411、在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-112、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.知识点：常见幂函数的图像和性质14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2D.y=15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-416、幂函数y=x-2的图象大致是( )17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【参考答案】符合幂函数的定义y=, .是非奇非偶函数,y=得...:=3,==:由题意得解得过点y=a是幂函数y=, y=,y=x,y=在各自定义域上均是增函数在区间,,f(x)±则有=3,f(x)=f==== :。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》练习题及答案
人教新课标数学必修I 2.3事函数练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号 填在题后的括号内（每小题 5分，共50分）.1.下列函数中既是偶函数又是A.B.C.2.1〜2.函数y x 2在区间［万,2］上的最大值是 A.1B. 1C 443 .下列所给出的函数中，是募函数的是A33c 3A y xB. y xC. y 2x44 .函数y x 3的图象是B.募函数的图象都经过（0, 0）和（1, 1）点C.若募函数y x 是奇函数，则 y x 是定义域上的增函数D.募函数的图象不可能出现在第四象限16 .函数y x 3和y x 3图象满足 A.关于原点对称 B .关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x 对称7 .函数y x | x |,x R ,满足A.是奇函数又是减函数 C,是奇函数又是增函数B,是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数8 .函数y Vx 22x 24的单调递减区间是5.下列命题中正确的是 A.当0时函数y x 的图象是一条直线D.()D.4()3.D. y x 1( )B. [ 6, )C. ( ,1]D. [ 1,) A. ( , 6]9.如图1 — 9所示，募函数y x 在第一象限的图象，比较 0, 1, 2, 3, 4,1的大小（11 .函数 的定义域是 .12 .的解析式是.213 . y Xa是偶函数，且在（0,）是减函数，则整数 a 的值是 ^（1）kn工14. 募函数y X m （m, n,k N*, m,n 互质）图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的奇偶性为^三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 （共76分）.15. （ 12分）比较下列各组中两个值大小 (1)16. （12分）已知募函数轴对称，试确 的解析式A. B. C.D.10. 对于募函数f(x) 4X5,若 0 X 1X2,f(X 1 X 2 一 f (X 1)大小关系是X 1 X 2、 A. f(--2)2 f （X 1）f （X 2） B f (X 1 X 2) f(X 1)f(X 2)22C.f （X 1）f （X 2）D.无法确定 、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）317. （ 12分）求证：函数 y x 在R 上为奇函数且为增函数18. （ 12分）下面六个募函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系后，商品卖出个数减少 bx 成，税率是新定价的 a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10,设售货款扣 除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.20. （ 14分）利用募函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）3（1）y x 2； （2）y2⑷ y x ; （5）y12x 3； （3）y x 3；1；（6） y x 219.、CCBAD DCADA4二、11 . ；12 . f (x) X 3(X 0) ; 13 . 5;14. m,k 为奇数，n 是偶数；6解：(1) 函数yx 11在(0,)上是增函数且0 0.6650.71彳 ⑵函数y X 3在(0,)上增函数且0 0.88 0.89555550.8930.88" 0.89§，即 (0.88户 (。
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第二章基本初等函数（1）
2.3 幂函数
测试题
知识点：幂函数的概念
1、下列函数中是幂函数的是( )
A.y=
B.y=2x-2
C.y=x+1
D.y=1
2、下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x
B.y=2x3
C.y=
D.y=2x2
3、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )
A.y=x+2
B.y=
C.y=
D.y=x3
4、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )
A.y=
B.y=x4
C.y=x-2
D.y=
5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )
A.①⑤
B.①②③
C.②④
D.②③⑤
6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .
7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.
8、比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.1≤m≤2
B.m=1或m=2
C.m=2
D.m=1
10、函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B. C.4 D.-4
11、在下列函数中,定义域为R的是( )
A.y=
B.y=
C.y=2x
D.y=x-1
12、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.
13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.
知识点：常见幂函数的图像和性质
14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=
15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B. C.4 D.-4
16、幂函数y=x-2的图象大致是( )
17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.
18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.
19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.
【参考答案】
1
【解析】选A.y==符合幂函数的定义,而B,C,D均不是幂函数.
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项2
C中y==x-1符合幂函数的特征.
【解析】选B.设幂函数解析式为y=xα,因为图象过点(8,2),所以8α=2,所以α=,所3
以y=.
【解析】选B.因为y=是非奇非偶函数,y=是奇函数,y=x-2图象不过点(0,0),所以4
A,C,D均不正确.
5 【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合
幂函数的特征.
6 【解析】设f(x)=xα,代入得9α=. 即32α=3-1,所以2α=-1,所以α=-.
所以f(x)=,所以f(25)=2=.
答案:
7 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log
2
3,
则f(x)=,于是f====. 答案:
8 【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,
又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
9 【解析】选D.由题意得解得m=1.
10
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
11
【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).
12 【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α, 所以α=-1,所以f(x)=x-1=,
所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞)
13 【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
14
【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.
15
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
16
【解析】选B.因为y=x-2=,所以y=x-2是定义域为{x|x≠0}的偶函数,故选B.
17 【解析】(1)当m2+m-1=1,且m2+2m≠0时,即m=1,f(x)是正比例函数.
(2)当m2+m-1=-1,且m2+2m≠0时,即m=-1,f(x)是反比例函数.
(3)当m2+m-1=2,且m2+2m≠0时,即m=,f(x)是二次函数.
(4)当m2+2m=1时,即m=-1±,f(x)是幂函数.
18 【解析】由于函数y=(m2-m-1)x m为幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去. 当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,
所以m=-1符合题意,故填-1.
答案:-1
19 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,
则f(x)=,于是f====. 答案:。