高等数学中值定理的题型与解题方法
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高等数学中值定理的题型与解题方法
高数中值定理包含：
1.罗尔中值定理
(rolle); 2.
拉格朗日中值定理
(lagrange); 3. 柯西中值定
理(cauchy);
还有经常用到的泰勒展开式
(taylor),
其中
(a,b)
，一定是开区间 .
全国考研的学生都害怕中值定理， 看到题目的求解过程看得懂， 但是自己不会做， 这里往往是在构造函数不会处理， 这里给总结一下中值定理所涵盖的题型， 保证拿到题目就会做。
题型一：证明： f
n
( ) 0
基本思路，首先考虑的就是罗尔定理
(rolle) ，还要考虑极值的问题。
例 1. f ( x) C[ a, b] 在 ( a, b) 可导， f (a)
f (b)
0，
f ( ) f (a
b ) 0
，
a 2
证明：存在
(a,b) ，使得 f '(
) 0 .
分析：由 f ( a)
f (b)
0 ， f (a) f (
a
b ) 0 ，容易想到零点定理。
2
证明：
f (a) f (
a
b ) 0， 存在 x 1 (a, a b
) ，使得 f (x 1 ) 0 ，
2 2 f (b) f ( a
b ) 又
f (a)
f (b)
0 ， f ( a), f (b) 同号， 0 ，
(
a b
, b) ，使得 f ( x 2 )
2
存在 x 2
0 ，
2
f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0，所以根据罗尔中值定理：存在
(a,b) ，使得 f '(
) 0 .
例 2. f ( x) C[0,3] 在 (0,3) 内可导， f (0) f (1)
f (2)
3 ， f (3) 1 ，
证明：存在 (0,3) ，使得 f '( ) 0
证明：（ 1）
f ( x)
C[0,3] ， f ( x) 在 [0,3] 使得上有最大值和最小值
M , m ，
根据介值性定理
f (0)
f (1) f (2)
M ，即 m 1
M
m
3
存在 c [0,3] ，使得 f (c)
1 ，
（ 2） f (c) f (3) 1，所以根据罗尔中值定理：存在
(c,3)
(0,3) ，
使得 f '( )
0 .
例 3. f ( x) 在 (0,3) 三阶可导， x [0,1] ， f (1) 0 ， F (x) x 3
f ( x)
证明：存在
(0,1) ，使得 F '''( ) 0
证明：（ 1） F (0)
F(1) 0，
存在
1
(0,1)，使得 F '(
1 )
0 ，
（ 2） F '(x)
3x 2 f (x) x 3
f '(x) ，所以 F '(0)
F '( 1
)
0 ，
存在
2
(0, 1) ，使得 F ''( 2 )
0 ，
（ 3） F ''(x) 6xf ( x) 3x 2
f '(x) 3x 2
f '(x)
x 3
f ''(x) ，所以 F ''(0) F ''( 2 )
0 ，
存在
(0, 2
)
(0,1) ，使得 F '''( ) 0 ，
例 3. f ( x) C[0,1] 在 (0,1) 内可导， x [0,1] ， f (0) 1， f ( 1
)
1 ， f (1) 2
2
2
证明：存在
(0,1) ，使得 f '( ) 0
证明：
f (0) 1， f ( 1
)
1 ， f (1)
2 存在
(0,1) ，使得 f ( ) m ，
2 2
又
f ( x) 在 (0,1) 内可导，
存在
(0,1) ，使得 f '( )
题型二：证明：含
，无其它字母
基本思路，有三种方法：
（1）还原法。 [ln f ( x)]'
f '( x)
能够化成这种形式
f ( x)
例 1. f ( x) C[0,1] 在 (0,1) 可导， f (1)
0 ，
证明：存在
(0,1) ，使得
f '( ) 3 f ( ) 0 .
分析：由 xf '(x) 3 f ( x)
f '(x) 3
[ln f (x)]'
(ln x 3
)'
0 ，
f (x) x
[ln x 3
f (x)]' 0
证明：令
( x) x
3
f ( x) ，
(0) (1) 1
存在 (0,1) ，使得 '( ) 0 ，而 '( )
3 2
f ( )
3 f
'( ) 0
存在
(0,1) ，使得 f '(
) 3 f ( )
例 2. f ( x) C[ a, b] 在 ( a, b) 可导， f (a)
f (b) 0，
证明：存在
(a,b) ，使得 f '( ) 2 f ( ) 0.
分析：由 f '( x) 2 f (x)
f '( x) 2 0
[ln f ( x)]' (ln e
2 x
)' 0 ，
f ( x)