第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构

第二章 谓词逻辑一、原子命题的内部结构12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。

在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。

但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。

例如：推理1：所有的人都是要死的。

苏格拉底是人。

所以，苏格拉底是要死的。

推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是()r q p →∧。

这不是一个重言式。

因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。

这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。

命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。

传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。

但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。

例如：推理2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。

有些罪犯不是故意犯罪。

因此，有些罪犯是过失犯罪。

这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。

为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。

这就是谓词逻辑的任务。

在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。

谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。

谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。

(1) 这张桌子是方的。

(2) 陈先生是贾女土的丈夫。

显然，以上两个命题都是原子命题。

在(1)中，今F(x)表示“x 是方的”，a 表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。

这里，F 就是谓词，表示“方”这种性质；x 和a 就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。

其中，x 称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a 称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。

在(2)中，令H(x ，y)表示“x 是y 的丈夫”，a 表示陈先生，b 表示贾女士，这样，H(a ，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a ，b)。

这里，H 是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x 、y 和a 、b 是个体词，同样，x 和y 是个体变项，a 和b 是个体常项。

刻画一个个体的性质的谓词称为一元谓词，刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词，一般地，刻画n 个个体之间的关系的谓词称为n 元谓词。

显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。

如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，即表示某种确定的性质或关系，则称为谓词常项；如果表示的是某个不确定的谓词，则称为谓词变项。

相应地，个体词也分为个体常项和个体变项，已如上述。

约定：以大写英文字母F 、G 、H …表示谓词常项或谓词变项，以小写字母a 、b 、c 、d …表示个体常项，以小写字母x 、y 、z 、u 、v 、w …表示个体变项。

一般地，如果F 是n 元谓词，则它的表达式也可记为F(n x x x ,,,21 )。

其中，n x x x ,,,21 称为谓词F 的主目。

量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。

例如，上面的例句(1)中F(x)断定“x 是方的”，但由于x 是个体变项，因而F(x)没有真假，不是命题。

如何使F(x)这样没有真假的表达 式变为有真假的命题呢?有两种方法：第一种方法，用个体常项取代个体变项，例如，令a 表示“这张桌子”，则F(a)就表示“这张桌子是方的”，这是命题，有真假。

这种方法称为解释。

后而将对此作进一步讨论。

第二种方法，对个体变项进行量化。

例如，对F(x)我们进一步断定，对所有的x 来说，F(x)成立；或者断定，至少存在一个x ，F(x)成立。

也就是断定所有的个体都是方的，或者断定至少存在一个个体是方的。

这样的断定就是命题，它们有真假。

在量化的过程中，我们使用了量词。

量词分为全称量词和存在量词。

全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系；存在量词断定存在(即至少有一个)个体具有相关谓词所表示的性质或关系。

∀表示全称量词，∃表示存在量词。

∀x F(x)表示“任一x 具有F 这种性质”。

∃x F(x)表示“存在x 具有F 这种性质”。

∀x ∀y G(x ，y)表示“任一x 和任一y 具有关系G ”。

∀x ∃yG(x ，y)表示“对任一x ，存在y ，x 和y 具有关系G ”。

∃x ∀yG(x ，y)表示“存在x ，对任一y ，x 和y 具有关系G ”。

∃x ∃yG(x ，y)表示“存在x ，并且存在y ，x 和y 具有关系G ”。

例如，令x 和y 表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数，F(x)表示“x 是偶数”， G(x ，y)表示“x ＞y ”，则：∀x F(x)断定“任一自然数都是偶数”，这是个假命题。

∃x F(x)断定“存在自然数是偶数”，这是个真命题。

∀x ∀y G(x ，y)断定“任一自然数x 和任一自然数y ，都满足x ＞y ”，这是个假命题。

∀x ∃y G(x ，y)断定“对任一自然数x ，都存在自然数y ，满足x ＞y(即没有最小的自然数)”，这是个假命题。

∃x ∀yG (x ，y)断定“存在自然数x ，对任一自然数y ，满足x ＞y(即存在最大的自然数)”，这是个假命题。

∃x ∃y G(x ，y)断定“存在自然数x ，并且存在自然数y ，满足x ＞y ”，这是个真命题。

个体域量词直接刻画个体变项的量化。

这样，个体变项的取值范围就是一个重要的问题。

同—个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以具有不同的真假值。

例如，令F(x)表示“x有思想”，那么，如果x的取值范围是人，则∀x F(x)断定“所有的人都有思想”，是真命题；而如果x的取值范围是动物，则∀x F(x)断定“所有的动物都有思想”，就成为假命题。

再如，在上面的讨论中，个体变项的取值范围是自然数，因而∀x∃y G(x，y)断定“没有最小的自然数”，是个假命题；但是，如果个体变项的取值范围改为整数，则∀x∃y G(x，y)变为断定“没有最小的整数”，这是个真命题。

个体变项的取值范围称为个体域。

个体域可根据需要作特殊的限制；如果不作特殊的限制，个体域就是指全域，即由所有能被思考的对象组成的域。

∀x F(x)和F(x)的含义是不同的。

∃x F(x)是断定存在个体具有性质F，这是命题。

如果至少有一个这样的个体存在，它就是真的，否则，它就是假的。

而F(x)则只表示某个不确定的个体具有F这种性质，至于这样的个体是否存在，如果存在的话是哪一个，都没有断定，因而不是命题。

∃x F(x)和F(a)的含义也是不同的。

∃x F(x)只是断定存在个体具有性质F，至于是哪一个个体，没有断定；F(a)则具体断定个体常项a所表示的那个个体具有性质F。

因此，如果∃x F(x)真，F(a)未必真；而如果F(a)真，则∃x F(x)一定真。

量词的辖域·约束个体变项和自由个体变项在一个表达式中，量词的约束范围称为量词的辖城。

约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。

例如：(1) ∃x F(x) ∨G(x)(2) ∃x(F(x)∨G(x))在这两个表达式中，带横线的部分分别表示∃x的辖域。

在相关量词的辖域中出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束个体变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。

例如，在F(x)和G(x，y)中，x和y都是自由个体变项；在∀x F(x)和∃x∀y G(x，y)中，x和y都是约束个体变项；在∀xG(x，y)中，x是约束个体变项，y是自由个体变项。

再如，在上面的(1)式中，F(x)中的x是约束个体变项，而G(x)中的x是自由个体变项。

(2)式中，x都是约束个体变项。

也就是说，在同一个表达式中，同一个个体变项可以既作为约束个体变项，又作为自由个体变项出现。

一个体变项在它的量词的辖域中出现，称为约束出现：否则，称为自由出现。

一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。

也就是说，一个体变项在一公式中可以既是自由的，又是约束的。

因此，x在(1)式中既是自由的，又是约束的；而在(2)式中是约束的，不是自由的。

什么是一阶谓词逻辑上面讨论的谓词逻辑，是一阶谓词逻辑。

其中，谓词表达的性质和关系，只是个体的性质和个体之间的关系；量词只是对个体变项进行量化。

对象的性质和对象之间的关系，统称对象的属性。

问题在于，不光个体具有属性，属性本身也有属性，属性的属性仍然有属性，如此等等。

例如，“这面红旗”作为个体，具有“红色”这种性质，而“红色”这种性质，具有“鲜艳”这种性质。

因此，“红色”是个体的属性，而“鲜艳”则是属性的属性，自然同时也是个体的属性。

再如，“大张”和“小李”两个个体具有“同乡”这种关系，而“同乡”这种关系，具有“传递性”(即如果a和b是同乡，并且b和c是同乡，则a和c是同乡)。

因此，“同乡”是个体的属性，面“传递”则是属性的属性。

因此，在谓词逻辑中，表达同性的谓词具有层次，这就是渭词的阶。

所谓一阶谓词，就是只刻画个体属性的谓词。

一阶谓词的主目中，只出现个体变项。

当我们说存在某些个体，具有“红色”这种性质，这是在对个体变项进行量化；当我们说存在某些性质具有“鲜艳”这种性质，我们就是在对谓词变项进行量化了。

当我们涉及谓词的谓词，或者对谓词变项进行量化时，就进入了高阶谓词逻辑。

高阶逻辑的许多问题，可以化归为一阶逻辑。

我们只讨论一阶逻辑。

概括地说，一阶谓词逻辑，就是其中的谓词都是一阶谓词，其中的量词只刻画个体变项的量化。

13．谓词逻辑层次上自然语言的符号化现在，我们可以在一阶谓词逻辑的层次上，对自然语言进行符号化，这是对日常思维进行比命题逻辑更深入一步的逻辑分析的基础。

以下的讨论，都通过实例说明。

直言命题的表达式在传统逻辑中，断定个体是否具有某种性质的原子命题称为直言命题。

直言命题分为四种基本类型：全称肯定命题，全称否定命题，特称肯定命题和特称否定命题。

我们先讨论这四种基本命题的符号化。