平均值不等式2导学案

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导学案1：3.2 均值不等式（一）

3.2 均值不等式（一）【学习目标】1. 理解均值定理的内容及证明方法；2. 能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小；3. 能初步运用均值定理证明简单的不等式．【重点难点】重点：理解不等式的几何意义，并从不同角度探索均值不等式的证明过程；难点：均值不等式中等号成立的条件。

【知识链接】1. 对于任意实数x，y，(x−y)2≥0，即 x2−2xy+y2≥0总是成立的，由此得x2+y22____xy，当且仅当______时，等号成立.答：≥；x=y2. 证明不等式常用什么方法？答：比较法，综合法，分析法.【新知探究】探究一. 均值不等式的证明问题1.如果a，b∈R＋，那么a+b2≥√ab，当且仅当a＝b 时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．请证明该不等式.证明：方法1）作差法a+b 2−√ab=12[(√a)2−2√a∙√b+(√b)2]=12(√a−√b)2≥0，当且仅当√a=√b，即a=b时，等号成立.方法2）分析法(下面是分析法的证明过程，请将其补充完整)要证a+b2≥√ab (a>0，b>0)只要证a＋b≥________，只要证a＋b－________≥0，只要证(________－________)2≥0.显然，最后一个不等式是成立的，而且当且仅当a=b时，等号成立．方法3）综合法对于正数a，b，有(√a−√b)2≥0，⇒a＋b－2√ab≥0，⇒a＋b≥2√ab，⇒a+b2≥√ab. 当且仅当√a=√b，等号成立，问题2. 对于任意两个正实数a，b，我们称a+b2为它们的算数平均数，称√ab为它们的几何平均数，在此意义下如何描述基本不等式？答：两个正实数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数．探究二. 均值不等式的几何解释问题1. 如下图，以长为a＋b的线段为直径作圆O，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB 的弦DD′.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？解:由题意，∆ABD是直角三角形，则由射影定理得CD2=CA·CB，即CD=√ab，连接OD，则OD=a+b2，显然，圆O的半径OD不小于半弦CD，即a+b2≥√ab，当且仅当点C与圆心O重合，即 a=b 时，不等式中的等号成立．所以均值不等式的几何意义为：圆的半径不小于半弦．探究三. 均值不等式证明不等式例1. 已知ab>0，求证：ab +ba≥2，并推导出式中等号成立的条件.证明：∵ab>0∴ab >0，ba>0，根据均值不等式，得ab+ba≥2√ ab∙ba=2．当且仅当ab =ba，即a2=b2时式中等号成立.变式1. 设a，b均为正数，证明不等式：√ab≥21a+1b.证明：∵a，b均为正数∴由基本不等式，可知1a+1b2≥√ab，即√ab≥21a+1b，当切仅当a=b时，等号成立.探究四. 均值不等式求最值例2.已知函数y＝x＋16x+2，x∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解: ∵x>－2，∴x＋2>0，由均值不等式，得x＋16x+2＝(x＋2)＋16x+2－2≥2√(x+2)16x+2－2＝6，当且仅当x ＋2=16x+2，即x =2时取等号．∴ 当x =2时，函数有最小值6.【解题反思】应用基本不等式求最值，需要注意哪些条件？答：一正(即两数均为正数)，二定（有定值：和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值），三相等（等号能取到）.变式2.（1）已知函数 y ＝x ＋1x ，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．（2）设 0<x <32，求函数 y ＝4x(3－2x)的最大值；解：（1）∵ x <0， ∴ −x >0， −1x >0， ∴ x ＋1x=−[(−x )＋1(−x)]≤−2√(−x )×1(−x )=−2，当且仅当−x =1−x ，即x =－1 时，取等号． ∴ 当x =－1 时，函数有最大值−2. (2) ∵ 0<x <32， ∴ 3－2x >0，∴ y =4x(3－2x)=2[2x(3－2x)]≤2[2x+(3−2x )2]2=92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x =34 时，等号成立．∵ 34∈(0，32). ∴函数y =4x(3－2x) (0<x <32)的最大值为92. 例3. 设 x ，y 为正实数，且2x ＋5y =20，求 u ＝lg x ＋lg y 的最大值．解：方法1）∵ x >0，y >0， ∴ 由基本不等式，得2x+5y 2≥√2x ×5y =√10xy .由于2x ＋5y ＝20， ∴ √10xy ≤10，即xy ≤10. 当且仅当2x =5y 时，等号成立，又有{2x +5y =202x =5y ，解得x =5，y ＝2.∴ 当x =5，y =2 时，xy 有最大值10. ∴ u =lg x ＋lg y =lg (xy )≤lg 10=1.∴ 当x =5，y =2 时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. 方法2）由2x ＋5y ＝20 得 y =4−25x .∴ xy =x (4−25x)=−25(x −5)2+10∵ x >0，y >0， ∴ 当x =5时，xy 有最大值10 ∴ u =lg x ＋lg y =lg (xy )≤lg 10=1∴ 当x =5，y =2 时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.变式3.1 设 x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解：方法1)由2x ＋8y －xy ＝0，得y(x －8)＝2x.∵ x >0，y >0， ∴ x －8>0，y ＝2xx−8， ∴ x ＋y =x ＋2xx−8=x ＋(2x−16)+16x−8=(x －8)＋16x−8＋10≥2 √(x －8)×16x−8＋10=18.当且仅当x －8=16x−8，即x =12时，等号成立． ∴ x ＋y 的最小值是18. 方法2）由2x ＋8y －xy =0 及x >0，y >0，得 8y x+2x y =1.∴ x ＋y ＝(x ＋y)(8x +2y )=8y x+2x y+10≥2√8yx +2x y=18.当且仅当8yx =xy ，即 x =2y =12 时等号成立． ∴ x ＋y 的最小值是18.变式3.2 若x >0,y >0，且2x +8y =1，求 xy 的最小值. 解：方法1）由基本不等式易得 1=2x +8y ≥2√16xy =√xy，即 xy ≥64，当且仅当{2x=8y 2x+8y=1，即x =4，y =16 时取等号.∴ 当x =4，y =16 时，xy 有最小值64. 方法2）∵ 2x +8y =1∴ xy =xy (2x +8y )=2y +8x =(2y +8x )(2x +8y )=4y x+64x y+32≥2√4y x ×64x y+32=64当且仅当{ 2x +8y =14y x =64x y ，即x =4，y =16时取等号.∴ 当x =4，y =16 时，xy 有最小值64.。

均值不等式教案2（共5篇）

均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。

当且仅当a=b=c时，等号成立。

3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。

当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。

x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。

(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为；几何平均数为．2.均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （）（2）2b a （）（3）a b ＋ba （）（4）ab≤ （）（5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（）（2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（）（4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为；此时x 的值是。

2个数的均值不等式

平均值不等式导学案☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件;2.初步掌握不等式证明的方法一、课前准备（请在上课之前自主完成）1. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .2. 比较两数大小的一般方法：与．☻建构新知：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.证明: ∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.∴222a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式)如果,a b R ∈, 那么2a b +≥ 当且仅当a b =时, 等号成立.思考交流:10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?20. 如何证明基本不等式?30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?40. 怎样用语言表述基本不等式? 如果把2b a +看作是正数a 、b 的中项，ab 看作是正数a 、b 的中项，那么该定理可以叙述为：在数学中，我们称2b a +为a 、b 的平均数，称ab 为a 、b 的平均数.本节定理还可叙述为：5°基本不等式的两个重要变形：（1）a+b ≥ (等号成立的条件 )作用是（2）ab ≤ (等号成立的条件 )作用是二、新课导学☆案例学习：例1在的条件下，，00>>b a 三个） ①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22， A ．0 B ．1C ．2D ．3 例2设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．例3 (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________.(3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是．例4（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．三、当堂检测1已知x 、y 都是正数，求证：(1)yx x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.2.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc3、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值4、若x>0,求9()4f x x x =+的最小值;5、若0x <，求1y x x =+的最大值6、若x<0,求9()4f x x x =+的最大值7、求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.8、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值四课堂小结1本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2b a +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2. 2利用基本不等式求最值的三个条件概括为五、课后作业基本不等式姓名日期年月日1已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.2求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+3、求1 (3)3y x x x =+>-的最小值. 4、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.5、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。

均值不等式复习课导学案

1均值不等式2013.12 命制人：刘晓琳一、复习要求1. 了解基本不等式的证明过程；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3. 熟悉用基本不等式解决典型问题的常用变形方法；4. 与导数研究最值的方法对比，学会灵活处理最值问题。

二、知识梳理 1.均值不等式2a b+≥中，a b 、满足的条件是，等号成立的条件是；2.公式222a b ab +≥中，a b 、满足的条件是，等号成立的条件是；3.均值不等式常用变形有：①a b +≥ ； ②ab ≤ .4.若a b 、∈R +,且a b +=P(P 为常数),则ab 存在最值，为；若a b 、∈R +,且ab =S(S 为常数), a b +存在最值，为。

三、基础训练1.已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42.已知x 、y ∈R +,且满足134x y+=，则xy 的最大值为。

3.下列命题正确的是（）①函数1y x x =+的最小值是2；②函数2y =的最小值是2；③函数()4230y x x x =-->的最小值是2-；④函数42x x y e e=+-的最小值是2。

4.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为5.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是四、例题精选考向一直接求最值【例1】►求下列函数y ＝3x 2＋12x 2 的值域【训练1】求函数y ＝x ＋1x 的值域考向二条件求最值【例2】►已知+∈R b a ,，且223=+b a ，求ab 的最大值及取最值时a 和b 的值【训练2】若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .解题技巧：技巧一：凑项【例3】►已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数【例4】►当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值及取最值时x 的值。

【最新】人教版八年级数学下册第二十章《平均数(2)》导学案 (2)

新人教版八年级数学下册第二十章《平均数（2）》导学案学科数学课题§20.1.1 平均数（2）年级八年级课型新授流程具体内容方法指导一、目标导学学习目标：1、加深对加权平均数的理解2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题3、会用计算器求加权平均数的值4、经历探索加权平均数的应用过程，体验和理解统计的基本思想，学会频数分布表中应用加权平均数的方法。

学习重点：根据频数分布表求加权平均数学习难点：根据频数分布表求加权平均数研读目标，明确本节课所要学习的内容。

二、自主学习知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）①在一组数据中，2出现了2次，3出现了3次，4出现了5次，则2的权为，3的权为，4的权为；这组数据的平均数为.②.某人打靶，有1次中10环，2次中7环，3次中5环，则平均每次中靶环.③. 在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。

已知该班平均成绩为80分，则该班有人.④.一辆共公汽车上载有x人，并且1≤x＜21，我们虽无法知道x的准确值是多少，但从统计的角度，我们可做出一个相对合理的估计，这个估计值在一般情况下取比较好.方法指导温馨提示：（用时分钟）三、问题探究★思考与探究探究：为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表：载客量组中值频数(班次)1≤x＜21 11 321≤x＜41 31 541≤x＜61 51 20[来源:]61≤x＜81 71 2281≤x＜101 91 18101≤x＜121 111[来源:学。

科。

网Z。

X。

K]15这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少？解：思考问题：（1）依据统计表可以读出哪些信息？（2）这里的组中值指什么，它是怎样确定的？（3）第二组数据的频数5指什么呢？（4）如果每组数据在本组中分布较为均匀，各组数据的平均值和组中值有什么关系。

导学案1：3.2 均值不等式（二）

3.2 均值不等式（二）【学习目标】1. 熟练掌握均值不等式及变形的应用；2. 会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题；3. 能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．【重点难点】重点：均值不等式的应用．难点：利用均值不等式求最大（小）值．【知识链接】如何利用基本不等式求最值？答：一正(即两数均为正数)，二定（有定值：和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值），三相等（等号能取到）.【典例解析】例1. (1) 一个矩形的面积为100 m2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2) 已知矩形的周长为36 m，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设矩形的长、宽分别为x(m)、y(m)，则依题意得xy=100(m2)．≥√xy.因为x>0，y>0，所以x+y2因此2(x＋y)≥4√100，即2(x＋y)≥40.当且仅当x＝y时，式中等号成立，此时x＝y＝10.因此，当这个矩形的长和宽都是10 m时，它的周长最短，最短周长为40 m.(2) 设矩形的长、宽分别为x(m)、y(m)，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y=18.，∴√xy≤9，∵x>0，y>0，∴√xy≤x+y2将这个正值不等式两边平方，得xy≤81.当且仅当x=y时，式中等号成立，此时 x=y=9.因此，当这个矩形的长和宽都是9 m时，它的面积最大，最大面积为81 m2.【解题反思】如何利用均值不等式解决实际问题？答：利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．变式1. 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2) 若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长 x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y =36，即2x ＋3y =18. 设每间虎笼面积为S ，则S =xy. 方法一）由于2x ＋3y ≥2√2x ∙3y =2√6xy ， ∴ 2√6xy ≤18，得 xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由{2x +3y =182x =3y ，解得{x =92y =3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二）由2x ＋3y ＝18，得x =9－32y. ∵ x >0，∴ 0<y <6，∴ S =xy =(9−32)y ＝32 (6－y)·y. ∵ 0<y <6， ∴ 6－y >0， ∴ S ≤32[(6－y)+y2]2=272当且仅当6－y =y ，即y =3时，等号成立，此时x =92. (2) 由条件知 S =xy =24.设钢筋网总长为l ，则 l =4x ＋6y . 方法一)∵ 2x ＋3y ≥2√2x ×3y =2√6xy =24，∴ l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由 {2x =3y xy =24，解得{x =6y =4. ∴ 每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二)由xy =24，得x =24y.∴ l =4x ＋6y =96y ＋6y =6(16y ＋y)≥6×2√16y ∙y =48.当且仅当16y =y ，即 y =4 时，等号成立，此时x =6. ∴ 每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．例2. 某种汽车，购买费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解: 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得 y =10+0.9x+0.2x 2+0.2x2x，即 y ＝1＋10x＋x10 (x ∈N +)．由基本不等式知y ≥1＋2√10x＋x 10=3，当且仅当10x =x10，即x ＝10 时取等号． ∴ 使用10年平均费用最少，为3万元．变式2. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150 元，池壁每1 m 2的造价为120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为 48003xm ．再设水池总造价为y 元，则根据题意，得y =150×48003＋120×(2×3x ＋2×3×48003x)=240 000＋720×(x ＋1600x)≥240 000＋720×2 √x ∙1600x＝297 600(元)，当且仅当 x =1600x，即x ＝40 时，y 取得最小值297 600.∴ 水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．【解题反思】如何利用基本不等式求解实际问题？答：利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．例3. 过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：设点A(a,0)，B(0，b)(a ，b >0)，则直线l 的方程为 xa ＋yb =1. 由题意，点(1,2)在此直线上，∴ 1a ＋2b =1. 由基本不等式，得1=1a +2b ≥2√2ab ，即ab ≥8∴ S ∆AOB=12ab ≥4，当且仅当{xa＋yb =11a+2b ，即a =2，b =4 时，取“＝”号．∴ ∆AOB 的面积最小时，直线l 的方程为x2＋y4=1，即2x ＋y －4＝0.变式3.如下图，一份印刷品的排版面积(矩形)为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？解：设纸张的长和宽分别是x，y，则(x－2a)(y－2b)＝A，即y=Ax−2a+2b.∴纸张的面积为S=xy=Axx−2a ＋2bx=Ax−2Aa+2Aax−2a+2bx=A＋2Aax−2a ＋2bx=2Aax−2a＋2b(x－2a)＋A＋4ab≥2√4Aab＋A＋4ab=(√A＋2√ab)2，当且仅当2Aax−2a =2b(x－2a)，即x=√Aab+2a x时，S有最小值(√A＋2√ab)2，此时y=2Aax−2a ＋2b=√Aba+2b∴纸张的长和宽分别为√Aba +2b和√Aba+2b 时，纸张的用量最小．。

辽宁省大连渤海高级中学高中数学必修5教案：3-2均值不等式2 精品

2017—2018学年度第一学期
渤海高中高二数学教案
时间：****年***月****日
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值
问题；
2.让学生探究用基本不等式解决实际问
题；
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值
问题；
2.让学生探究用基本不等式解决实际问
题；
一知识目标：
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
二能力目标：
设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，并且培养学生能将实际问题转化为函数问题的能力。

已知
ab 2
，
＋x
3
（最小值
＋4x
最小值
2
3
）的最大值
(４)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1）的最大值. (５)设a ＞0，b ＞
0，且a 2
＋2
2
b ＝1，
求21b a 的最大值。

三个数的均值不等式

平均值不等式导学案2☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;3.初步掌握不等式证明和应用一、课前准备〔请在上课之前自主完成〕1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥.当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2<基本不等式>如果+∈R b a ,, 那么.当且仅当时, 等号成立.利用基本不等式求最值的三个条件推论10. 两个正数的算术平均数, 几何平均数, 平方平均数,调和平均数,从小到大的排列是:☆课前热身：<1>某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y 〔单位：10万元〕与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每辆客车营运多少年,其运营的年平均利润最大〔〕A ．3B ．4C ．5D ．6 <2> 在算式"4130⨯∆+⨯O ="中的△,〇中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最步, 则这两个数构成的数对〔△,〇〕应为 .<3>设+∈R x 且1222=+y x ,求21y x +的最大值.二、新课导学请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：如果+∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么.当且仅当时, 等号成立.☻建构新知：问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-=定理3 如果,,a b c R +∈,那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的平均数不小于它们的平均数推论对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的即当且仅当a b c ==时, 等号成立.语言表述：n 个数的平均数不小于它们的平均数☆案例学习：例1已知,,x y z R +∈, 求证：<1>3()27x y z xyz++≥; <2>()()9x y z y z x y z x x y z ++++≥; <3>222()()9x y z x y z xyz ++++≥．例2用一块边长为a 的正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形？例3 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值,指出下列解法的错误,并给出正确解法. 解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y . ∴3min 43=y ．解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ．正解:例4、已知0<x<4.5, 当x 取何值时,x ²<9-2x>的值最大？最大值是多少？三、当堂检测1、已知a 、b 、c 都是正数,求证：<a+b+c><ab+bc+ca>≥9abc2、已知a 、b 、c 都是正数,且abc=1.求证：a ³+b ³+c ³≥33、已知x>0,当x 取什么值时？212x x +的值最小？最小值是多少？四、课堂小结2个数的均值不等式等号成立的条件3个数的均值不等式等号成立的条件n 个数的均值不等式等号成立的条件五课后作业基本不等式2##日期年月日1.若1,0,0=+>>b a b a ,则)11)(11(22--ba 的最小值是〔〕 A.6 B.7 C.8 D.92.若a ,b ,c ＞0且a <a +b +c >+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为〔〕A ．3-1B ． 3+1C ． 23+2D ． 23-2 3.若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M,则对任意实常数k ,总有〔〕A.2∈M,0∈M ；B.2∉M,0∉M ；C.2∈M,0∉M ；D.2∉M,0∈M4.若14<<-x ,则22222-+-x x x 的最小值为〔〕7 C.1- D.1.5函数)(,422+∈+=R x xx y 的最小值为〔〕 A.6 B.7 C.8 D.9.6已知1273,023++=-+y x y x 则的最小值是〔〕 A. 393 B. 221+ C. 6 D. 77.求下列函数的最值1︒、0>x 时, 求x x y 362+=的最小值．2︒、设]27,91[∈x ,求)3(log 27log 33x x y ⋅=的最大值．3︒、若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值．4︒、若0>>b a ,求)(1b a b a -+的最小值为.8某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过a 米,房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m ,且不计房屋背面的费用．〔1〕把房屋总造价y 表示成x 的函数,并写出该函数的定义域；〔2〕当侧面的长度为多少时,总造价最底？最低总造价是多少？9制作一个容积为316m π的圆柱形容器<有底有盖>,问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省？〔不计加工时的损耗与接缝用料〕。

高中数学 3.2均值不等式教案新人教B版必修5

3.2 均值不等式教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论 1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式：如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

数学学案：课堂导学平均值不等式(选学)

课堂导学三点剖析一,利用平均值不等式求最值【例1】 x ∈R +,求f （x )=x +21x的最小值.解：f （x )=x +21x=2x +2x +21x≥3324131223=⋅⋅x x x .则当且仅当x =32时,最小值为3413。

温馨提示利用平均值不等式要注意基本形式和适用的条件。

二，利用平均值不等式证明不等式【例2】已知0〈x 1≤x 2≤…≤x n 〈1。

求证:(1-x n )2［22121)1(x x -+…+212)1(+-n n nx x ］〈1。

证明：原不等式变为221221)1()1(x x x n --+232222)1()1(x x x n --+…+2122)1()1(+--n n n n x x x <1⇔2212121)1()1(x x x --+…+2122)1()1(+--n n n n x x x 〈1. 设a k =212)1()1(+--k k k kk x x x （1≤k ≤n ）,∴a k =22)...1(k k k k kkx x x x ++++.∵1+x k +x k2+…+x kk 〉(k +1)1...1+⨯⨯⨯k k kk xx =2)1(k kx k +，∴a k <2)1(1+k .∴a 1+a 2+…+a n 〈221+231+…+2)1(1+n <211⨯+321⨯+…+)1(1+n n =1-11+n 〈1.因此，原不等式成立.温馨提示利用平均值不等式应注意及时转换,变形。

三,平均值不等式的综合应用【例3】 a ,b ,c ∈R +且互不相等，求证：a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2.证明:⇒⎪⎭⎪⎬⎫〉+〉+〉+224422442244222c a c a c b c b b a b a a 4+b 4+b 4+c 4+a 4+c 4>2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 2⇒a 4+b 4+c 4>a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2. 温馨提示证明对称不等式（如例3)，通常都是通过几个平均值不等式相加（或减)得出目标不等式. 各个击破类题演练 1已知x ∈R ,求f (x ）=x +x1的范围。

八年级数学《平均数(2)》导学案

20.1.1平均数（2）》导学案活动1 创设情境，导入课题（3——4分）问题1 （1）若数据2、4、5、3、8、9、10的权分别是3、2、6、5、4、3、2，则这组数据的平均数是多少?（2）若n 个数据1x ， 2x ，3x ，…，n x 的权分别是1ϖ，2ϖ，3ϖ，…，n ϖ。

则这n 个数的加权平均数为_____________.问题2 八（3）班男、女篮球队队员身高如下表：（1）怎样计算男、女两队队员的平均身高? （2）你还有什么方法计算男队的平均身高? 活动2 诱导尝试，自主探究（7——9分）问题3 第十届中国安康汉江龙舟节将于2010年6月15日拉开序幕，安康市公交车公司为了解本届龙舟节期间5路公共汽车的运营情况，统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表：这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少？活动3 变式运用，巩固新知（21——23分）问题4 我校为以实际行动贯彻落实《国家教育改革与发展中长期规划》，切实减轻学生课业负担，对学生完成课外作业所用时间进行调查，下表是我校八（3）班62名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表：所用时间t(分钟) 人数0＜t≤10 610＜t≤20 820＜t≤30 1630＜t≤40 1540＜t≤50 1150＜t≤60 6（1）第二组数据的组中值是多少？（2）求该班学生平均每天做数学作业所用的时间。

问题5 下表是城关一中片区女子排球队队员的年龄分布：年龄 13 14 15 16频数 1 4 5 2求本片区女子排球队队员的平均年龄（可使用计算器）。

问题6 抬高重建后的棕溪中学，为了绿化美化校园环境，引进一批梧桐树，预计三年后这些树的树干的周长情况如图所示。

（1）计算三年后这批梧桐树干的平均周长（精确到0.1cm）。

（可以使用计算器）（2）据统计，全县有32所学校借此机会购进移栽5000棵法国梧桐树，你能据此估计三年后这32所学校购进移栽的法国梧桐树的平均周长吗？活动4 课堂小结，归类细化1、学生自主小结。

高三数学高考专题复习系列导学案不等式-算术平均数与几何平均数

第2课时算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0时，称为a ，b 的算术平均数；称为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 22ab （当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值．例1．设a 、b ∈R +，试比较2b a +， ab ，222b a +，ba 2+的大小．解：∵a 、b ∈R +，∴b a 11+≥2ab 1即b a 112+≤ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．又42)2(222ab b a b a ++=+≤42222b a b a +++ ＝222b a + ∴2b a +≤222b a + 当且仅当a ＝b 时等号成立．而ab ≤2b a + 于是b a 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．说明：题中的b a 112+、ab 、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：B.解析： a b =是22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等号成立的条件. （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+<∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。

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主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：
§11.平均值不等式2
【教学目标】
1.理解平均值不等式求最值的条件，会利用平均值不等式求简单的最值问题。

2.通过实例问题是学生感受数学的应用价值。

【重点、难点】
重点：平均值不等式求最值。

难点：巧妙变形，利用平均值不等式求最值。

【学法指导】
1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；
3.预习p12-p14,
【自主探究】
1，已知x,y 为正数， x+y=s, xy=p 则
（1）如果p 是定值，那么当且仅当时，s=x+y 取得最小值为。

（2）如果s 是定值，那么当且仅当时，p=xy 取得最大值为。

2，已知a,b,c 为正数， a+b+c=s,abc=p 则
（1）如果p 是定值，那么当且仅当时，s=a+b+c 取得最小值为。

（2）如果s 是定值，那么当且仅当时，p=abc 取得最大值为
以上可概括为：积为定值和最小，和为定值积最大。

(3) 已知x>0,求f(x)= 12x
+3x 的最小值。

（4）已知0<x<2,求
【合作探究】
(1) 求函数f(x)= 2432x x
+ 的最小值。

（2）设a>0,b>0且a+b=3，求ab 2的最大值
(3)已知0<x <
15，求y=x 2(1-5x)的最大值.（4）设x>-1,求f(x)= (5)(2)1
x x x +++的最值。

【巩固提高】
（1），求y=x+ 1x
(x ≠0)的值域. (2), 求y=
2
的最小值。

(3), 已知x>0,求f(x)=
221
x x +的值域，
（4），已知x>0,y>0且x+2y=1，求
11x y
+的最小值
【能力提升】
1,下列各式中最小值等于2的是 A.， x y
y x + B ， 2 C ， tan θ +cot θ D.， 2x +2-x 2,若正数a,b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围
3,一工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米得三级污水处理池（平面图如下图所
示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建
造单价为80元/米2
，水水池所有墙的厚度忽略不计。

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，
并求最低总造价；（2）,若由于地形的限制，该池的长和宽都不能
超过16米，
试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求处最低总造价；
本节小结：
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