716.奇数和偶数-奥数精讲和测试7年级1116

例1．在1、2、3、⋯、2007中的每个数前面任意添上一个正号或负号，试

判断它们的代数和是奇数还是偶数。

例2．1、2、3、⋯98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？

例3．将图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？说明理由。

例4．在6张纸片的正面分别写上整数1、2、3、4、5、6。打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。例5．设1、2、3、…、9的任一排列的a1、a2、…、a9，求证：(a l−1)(a2−2)…(a9−9)是一个偶数。

例6．有n个数x1、x2、…、x n，它们中的每一个数或者为1，或者为−1。如果x1x2+x2x3+⋯+x n−1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数。

例7．设a、b是正整数，且满足关系式

(11111+a)(11111−b)＝123456789，求证：a−b是4的倍数。

A卷

一、填空题

01．三个质数之和为86，三个质数是______________。

02．已知三个整数a、b、c的和为奇数，(a+b+c)(a+b−c)一定是_______数(填奇或偶)。

03．三个不同的质数m、n、p满足m+n=p，mnp的最小值是_________。

04．摆渡船往返于江的两岸，若最初从北岸开始，若干次后又回到北岸，那么船过江的次数是_________(奇数或偶数)。若从北岸出发过江2003次后停在_______ (南或北)岸。

05．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_______，最小的数是_______。

06．如图1是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示

射中该靶区的分数。甲说：“我打了六枪，每枪都中靶

得分，共得了27分”；乙说：“我打了3枪，每枪都中

靶得分，共得了27分。”已知甲、乙两人只有一人说的

是真话，说假话的是_______。

07．前100个正偶数之和等于_________。

08．200个正整数，它们的和是5000。在这些数里奇数的个数比偶数多，偶数最多有_________个。

09．5个连续奇数之和的绝对值的最小值为_________。10．有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数是_________。

二、解答题

11．设x1、x2、⋯、x2006中每个数取+1或−1，求证：x1+2x2+3x3+⋯+2006x2006 ≠0。

12．在桌子上放着四个杯子，杯口都朝上，每次翻动三个杯子，能否翻动若干次后，将杯子口全部朝下？若杯子有五个，每次翻动四个杯子，其他条件不变，情况又如何？

B卷

一、填空题

01．在一次大会上代表们互相握手问好，所有代表与他人握手人次之和是_______数(填奇或偶)。

02．若按奇偶分类，则22008+32008+72008+92008是_______数。

03．设有101个正整数，记为a1、a2、⋯、a101。已知a1+2a2+3a3+⋯+100a100+ 101a101=S是偶数，a1+a3+a5+⋯+100a99+101a101是_______数(填奇或偶)。

04．能否找到三个整数a、b、c，使得等式(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(b +c−a)= 2008成立。___________(填能或不能)

05．6个连续偶数之和的绝对值的最小值为___________。

06．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试后一个学生得了49分，如果他未答的题的数目是个奇数，那么他答错了________题。

07．三个相邻的偶数的乘积是一个六位数8＊＊＊＊2，这三个数之和是__________。

08．有一本故事书，共有23个故事，各个故事的页数分别为1页、2页、3页、…、22页、23页。这本故事书中每个故事的第一页是偶数页码的故事的个数最多为__________。

09．现有A、B、C、D、E五盏灯，开始时五盏灯都是开的。一个人顺次按动这五盏灯的开关，即先从A到E按动开关，再从E到A按动开关，⋯⋯问他按动2003次后还有________灯是开的？10．一串数排成一行，它们的规律是这样：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，这串数的前500个数中(包括第500个数)有________个偶数．

二、解答题

11．某次数学竞赛，共有40道选择题．规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分，证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。

12．设x1、x2、⋯、x n (n＞4)为1或为−1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+⋯+ x n x1x2x3 =0，求证：n是4的倍数。

13在n×n(n为奇数)方格表里的每一个方格中任意填上一个+1或−1，在每一列的下面写上该列所有数的乘积，在每行的右面写上该行所有数的乘积。求证：这2n个乘积的和不等于0。

C卷

一、填空题

01．在12、22、32、⋯、952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

02．一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其他各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，这个四位数是_________。

03．一个整数的平方若不能被8整除，余数可能为________。

04．一本书中间的某一张被撕掉了，余下各页码数之和是1133，这本书有_______页，撕掉的是第_______页和第_______页。

05．a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993，a+b+c=_______。

06．三个连续的奇数的乘积是一个六位数，首位数字是7。而个位数字不是5，这三个连续奇数之和为_______。

07．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样下去最后得到23、203、2003。甲同学说原来的数可能为2、2、2，乙同学说原来的数不可能为2、2、2，_______同学说得对。

08．如图1，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号。现在有一个小球在1号位置上，第一步顺时针前进5个位置，第二步顺时针前进7个位置，以后第奇数步同第一步，第偶数步同第二步，至少经过_______步小球又回到1号位。

09．某次比赛准备了35支笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，

原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。

实际一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支，

获二等奖的有_______人。10．将1005到2002这998个正整数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和。在这些和数中，奇数的个数至多有_______个。

二、解答题

11．代数式rvz−rwy−suz−swx+tuy−tux中，r、s、t、u、v、w、x、y、z 可以分别取+1或−1。

⑴证明：代数式的值是偶数；⑵求这个代数式所能取到的最大值。

12．在黑板上写上1、2、…、2006、2007。只要黑板上还有两个或两个以上的数，就擦去其中任意两个数a和b，并写出︱a−b︱，问最后黑板上剩下的数是奇数还是偶数？

13．重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于104，那么原数能被10整除。