716.奇数和偶数-奥数精讲和测试7年级1116
第4讲奇数偶数---奥数
北师大二附中培训中心思维班讲义第四讲奇数与偶数（教师版）一、基础知识1. （1）能被2整除（被2除余0）的数叫偶数.因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）.（2）不能被2整除(被2除余1)的数叫奇数.，因为任何奇数除以2的余数总是1，所以通常用2k＋1来表示奇数（这里k是整数）.2. 全体整数可分为以下两大类：全体偶数类；全体奇数类.3. 奇数偶数的性质：性质1：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数.性质2：奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝4的倍数，奇数×奇数×……×偶数×奇数＝偶数.性质3：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.性质4：两个连续自然数的积是偶数，和是奇数.性质5：a+b与a-b同奇同偶.性质6：奇数的平方＝4k+1,偶数的平方＝4k（其中k为整数）二、典型例题。
例1. 有5张扑克牌，画面向上。
小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？解：同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。
要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。
而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
例2．能否在下列各□内填入加号或减号，使下式成立，为什么？9□8□7□6□5□4□3□2□1=10解：在一个只有加减法运算的自然数式子中，如果把式子中减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在给出的式子每个方框中怎样填加减号,所得结果的奇偶性,与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是,每个方框中都填入加号所得结果是45,是奇数.而式子的右边是10,是个偶数.也就是说从奇偶性上判断,要使题中式子成立是不可能的.例3.在数列1，1，2，3，5，8，13，21，……中，从第三个数起，每个数都是它前面两数的和，那么这串数的第100个是奇数还是偶数？在前100个数中，偶数有多少个？在前500个数中，奇数有多少个？解：这道题的规律是两奇一偶，第100个为奇数。
小学奥数奇数与偶数
3本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算”，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【巩固】 (200201202288151152153233++++-++++……）（……）得数是奇数还是偶数？例题精讲 知识点拨教学目标5-1奇数与偶数【巩固】123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++的和是奇数还是偶数？为什么？【巩固】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564=⨯+，他做得对吗？【例 3】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由⑴1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10⑵1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例 4】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【巩固】能否从四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【例 5】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【例 6】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【巩固】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【例 8】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。
初中数学竞赛：奇数与偶数
初中数学比赛：奇数与偶数往常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，, 是奇数， 0，±2，±4，±6，, 是偶数．用整除的术语来说就是：能被 2 整除的整数是偶数，不可以被 2 整除的整数是奇数．往常奇数能够表示为 2k+1(或 2k-1)的形式，此中 k 为整数，偶数能够表示为2k 的形式，此中 k 是整数．奇数和偶数有以下基天性质：性质 1 奇数≠偶数．性质 2 奇数±奇数 =偶数，偶数±偶数 =偶数，奇数±偶数 =奇数．性质 3 奇数×奇数 =奇数，偶数×偶数 =偶数，奇数×偶数 =偶数．性质 4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；随意有限个偶数之和为偶数．性质 5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质 6 假如若干个整数的乘积是奇数，那么此中每一个因子都是奇数；假如若干个整数的乘积是偶数，那么此中起码有一个因子是偶数．性质 7 假如两个整数的和 (或差 )是偶数，那么这两个整数的奇偶性同样；假如两个整数的和 (或差 )是奇数，那么这两个整数必定是一奇一偶．性质 8 两个整数的和与差的奇偶性同样．性质 9 奇数的平方除以8 余 1，偶数的平方是 4 的倍数 .性质 1 至性质 6 的证明是很简单的，下边我们给出性质 7 至性质 9 的证明．性质 7 的证明设两个整数的和是偶数，假如这两个整数为一奇一偶，那么由性质 2 知，它们的和为奇数，所以它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和 (或差 )是奇数时，这两个数必定是一奇一偶．性质 8 的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7 便知， x+y 与 x-y 同奇偶．性质 9 的证明若 x 是奇数，设 x=2k+1，此中 k 为整数，于是x=(2k+1)=4k+4k+1=4k(k+1)+1．223因为 k 与 k+1 是两个连续的整数，它们必然一奇一偶，进而它们的乘积是偶数．于是， x 除以 8 余 1．若 y 是偶数，设 y=2t，此中 t 为整数，于是y=(2t)=4t所以， y 是 4 的倍数．例 1 在 1， 2，3，, ，1998 中的每一个数的前方，随意添上一个“+或”“-”，那么最后运算的结果是奇数仍是偶数？解由性质 8 知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+,+1998=999 × 1999的奇偶性是同样的，即为奇数．例 2 设 1， 2，3，, ，9 的任一摆列为 a1，a2，, ，a9.求证： (a1-1)(a2-2),(a9-9)是一个偶数．证法 1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+,+(a9-9)＝(a1+a2+,+a9)-(1+2+,+9)=0是偶数，所以， (a1-1)，(a2-2)，, ，(a9-9)这 9 个数中必然有一个是偶数 (不然，便得奇数个 (9 个)奇数的和为偶数，与性质 4 矛盾 )，进而由性质 5 知(a1-1)(a2-2),(a9-9)是偶数．证法 2 因为 1，2，, ，9 中只有 4 个偶数，所以 a 1，a3，a5，a7，a9 中起码有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9 起码有一个是偶数，进而(a1-1)(a2-2),(a9-9)是偶数．例 3 有 n 个数 x1，x2，, ，xn，它们中的每一个数或许为1，或许为 -1．假如 x 1x2+x2xn-1xn+xnx1=0，求证： n 是 4 的倍数．证我们先证明n=2k 为偶数，再证 k 也是偶数．因为 x1，x2，, ，xn。
数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数
数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m+4的形式（m∈Z）.（3）任何一个正整数n，都可以写成l的形式，其中m为非n m2负整数，l为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若nn p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα（简记为∏=+ni i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而add a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b efm k 222≤-<-≤-=- 得e=1， 从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a n m +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22.显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素. 当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时)].12)(1[(--n n 当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2. （1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.。
7年级第04讲奇数与偶数
第4讲奇数与偶数知识方法扫描能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
要注意运用奇数与偶数的下列性质解题：1.两个整数的和与差有相同的奇偶性；2.奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和是偶数；3.当为n偶数时,(-l)n=l;当为奇数时，(-l)n二-1.4.两个整数相加,若加数的奇偶性相同，那么它们的和是偶数;加数的奇偶性不同，那么它们的和是奇数。
5.两个整数相乘，若乘数中有一个是偶数，那么乘积是偶数;如果乘数都是奇数, 那么乘积是奇数。
6.奇数H偶数。
经典例题解析例1. (1987年天津“中华少年杯”初中数学邀请赛试题)扑克牌中的A, J, Q, K分别表示1, 11, 12, 13o屮取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后屮、乙依次各取个各一张牌,使红、黑牌配成13对。
证明这13对数的差的积必为一个偶数。
证法1:由于13张牌中的点数有7个奇数,6个偶数，所以当红、黑牌配成13对后,至少有一对数的奇偶性相同，这对数的差是偶数，于是这13对数的差的积必为一个偶数。
证法2:由于13对数的和是0,所以不可能每对数得差都是奇数,否则它们的和为一个奇数。
于是至少有一对数的差为偶数，即这13对数的差的积必为一个偶数。
例2 （1985年北京市初中数学竞赛试题）某电影院共有1985个座位。
某天，这家电影院上下午各演一场电影，看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生（同一个学校的学生有的看上午场，有的看下午场）, 试证明：电影院一定有这样的座位，这天看电影时上，下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。
证明：甲，乙两校看电影的学生都是1985人，电影院的座位也恰是1983.作如对每个学生上午场与下午场人数应相等，则n=1985-n.即2n二1985.等式的左边是偶数,而右边是奇数，这个等式不可能成立。
所以,至少存在这样一个座位，上，下午坐的是屮，乙不同学校的学生。
例3. （1981年福州初中数学竞赛试题）设沿江有Al, A2, A3, A4, A5. A6六个码头，相邻两码头间的距离相等.早晨有甲、乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运货.傍晚，中船停泊在A6码头, 乙船停泊在A1码头.求证:无论如何,两船的航程总不相等（假定船在相邻两码头航行时，中途不改变航向）.证明六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a,由于船在任意一个码头出发，乂返回码头时，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶数倍.中船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程，即5a+a的偶数倍F的奇数倍,a的偶数倍Ha的奇数倍，故屮、乙船的航程总不相等.例4. (1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题)你能找到三个整数a, b, c,使得关系式(a+b+c) (a-b~c) (a~b+c) (b+c~a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理山.解:找不到满足条件的三个整数理由如下：如果存在整数a,b,c,使(a+b+c) (a-b+c) (a+b~c) (b+c-a)二3388 成立.因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数.不妨设a+b+c 为偶数，则a-b+c二(a+b+c) -2b 为偶数，同理a+b~c= (a+b+c) ~2c为偶数.b+cp二(a+b+c)-2a为偶数.因此(a+b+c) (a-b+c) (a+b~c) (b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除得出矛盾.故不存在三个整数a, b, c满足关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b~c)(b+c-a)二3388.例5.（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3X3的表格⑴和⑵中，每格填有“ + ”号或“-”号,然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号，试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变为另一张表？a表⑴表⑵解考察两张表中位于左上角的2X2的小正方形，如下图中的黑框所示：表⑴表⑵表(1)中的小正方形中有4个“ + ”号，实施变号步骤后，“ + ”号的个数仍然是偶数;表(2)中的小正方形中有1个“ + ”号，实施变号步骤后，“ + ”号的个数仍然是奇数。
初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数
初一奥数数学竞赛第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+...+a9)-(1+2+ (9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
小学奥数奇数与偶数
3本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算”，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【巩固】 (200201202288151152153233++++-++++……）（……）得数是奇数还是偶数？例题精讲 知识点拨教学目标5-1奇数与偶数【巩固】123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++的和是奇数还是偶数？为什么？【巩固】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564=⨯+，他做得对吗？【例 3】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由⑴1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10⑵1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例 4】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【巩固】能否从四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【例 5】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【例 6】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【巩固】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【例 8】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。
七年级数学竞赛讲座第10讲奇数、偶数与奇偶分析(含答案)收集)
第10讲 奇数、偶数与奇偶分析知识梳理：整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数,奇数与偶数有下列基本性质:1.奇数≠偶数2.两个整数相加(减)或相乘,结果的奇偶性如下表所示3.若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数;偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和为偶数.4.设m 、n 是整数,则m ±n,│m ±n │的奇偶性相同.5.设m 是整数,则m 与│m │、m 的奇偶性相同.奇偶性是整数的固有属性,•通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法.例题求解【例1】三个质数之和为86,那么这三个质数是______. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性入手。
解：(2,5,79),(2,11,73),(2,13,71),(2,23,61),(2,31,53),(2,37,47),(2,41,43)【例2】如果a 、b 、c 是三个任意整数,那么2a b +、2b c +、2c a +( ). A.都不是整数 B.至少有两个整数C.至少有一个整数D.都是整数 (2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)思路点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明.解:选C 提示:a 、b 、c 中至少有两个数的奇偶性相同,则a+b 、b+c 、c+a 中至少有一个为偶数.【例3】(1)设1,2,3,9的任一排列为a 1,a 2,a 3,…,a 9。
求证:(a 1-1)·(a 2-2)…(a 9-9)•是一个偶数.(2)在数11,22,33,44,55,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“＋”或“－”号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.思路点拨 (1)转换角度考察问题,化积的奇偶性为和的奇偶性来研究;(2)由于任意添“＋”号或“－”号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答,从奇数、•偶数的性质入手.解:(1)因(a 1-1)+(a 2-2)+…+(a 9-9)=(a 1+a 2+…+a 9)-(1+2+…+9)=0,故a 1-1、a 2-2…a 9-9这9个数不可能全为奇数,即这9个数中至少有一个为偶数,从而它们的积必为偶数.(2)11,22,33,20022002,20032003的奇偶性依次与1,2,3,…2002,2003的奇偶性相同,因此,•在11,22,33…20022002,20032003的前面任意放置“＋”或“－”的代数和的奇偶性与1+2+3+…+2003的奇偶性相同为偶数,而2003为奇数.【例4】已知x 1,x 2,x 3,…,x n 都是+1或-1,并且12x x + 23x x + 34x x + …+1n n x x -+1n x x =0。
小学奥林匹克辅导奇数与偶数[1]
![小学奥林匹克辅导奇数与偶数[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c410cd64f5335a8102d22044.png)
奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题. 例1 1+2+3+⋯+1993的和是奇数？还是偶数？例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。
例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲 奇数与偶数
全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲奇数与偶数全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲奇数与偶数第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即为±1，±3，±5，?就是奇数，0，±2，±4，±6，?就是偶数．用相乘的术语来说就是：能够被2相乘的整数就是偶数，无法被2相乘的整数就是奇数．通常奇数可以则表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以则表示为2k的形式，其中k就是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积就是奇数，偶数与整数的乘积就是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)就是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)就是奇数，那么这两个整数一定就是一奇一偶．性质8两个整数的和与高的奇偶性相同．性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明就是很难的，下面我们得出性质7至性质9的证明．性质7的证明设立两个整数的和就是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2言，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为x，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x就是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1就是两个已连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积就是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．基准1在1，2，3，?，1998中的每一个数的前面，任一迎上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果就是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+?+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．基准2设1，2，3，?，9的任一排序为a1，a2，?，a9.澄清：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)就是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，?，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少存有一个就是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少存有一个就是偶数，从而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)就是偶数．例3有n个数x1，x2，?，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也就是偶数．由于x1，x2，?，xn。
奥数专题——奇数与偶数
性质6 如果若干个整数的乘积是奇数， 性质6、如果若干个整数的乘积是奇数， 那么其中每一个因子都是奇数； 那么其中每一个因子都是奇数；如果若 干个整数的乘积是偶数， 干个整数的乘积是偶数，那么其中至少 有一个因子是偶数。 有一个因子是偶数。 性质7 如果两个整数的和或差是偶数， 性质7：如果两个整数的和或差是偶数， 那么这两个整数的奇偶性相同； 那么这两个整数的奇偶性相同；如果两 个整数的和或差是奇数， 个整数的和或差是奇数，那么这两个整 数一定是一奇一偶。 数一定是一奇一偶。 性质8 性质8：两个整数的和或差的奇偶性相 同。
例1：在1，2，3，…,9中的每一个数前面， …,9中的每一个数前面 中的每一个数前面， 任意添加上一个“+”或 任意添加上一个“+”或“-”，那么最后运算 的结果是奇数还是偶数。 的结果是奇数还是偶数。
例3：有n个数x1，x2,x3,…,x9，它们的每一 个数x 个数或者为1 或者为个数或者为1，或者为-1，如果 x1x2+x2x3+x3x4+…+xn-1xn+xnx1，求证：n 求证： 的倍数。 是4的倍数。
练习二 道题,评分标准是 答对一道给3分 不答 有50道题 评分标准是 答对一道给 分,不答 道题 评分标准是:答对一道给 答错倒扣1分 问 该班的得分肯定是 给1分,答错倒扣 分.问:该班的得分肯定是 分 答错倒扣 偶数还是奇数? 偶数还是奇数
某班49名同学 分 行 每行 每行7人 做一个游戏 做一个游戏,当 某班 名同学,分7行,每行 人,做一个游戏 当 名同学 例 老师要求换座位时 每个同学都与自己相邻 老师要求换座位时,每个同学都与自己相邻 (前后左右 的某一个同学换位 问能不能做得 前后左右)的某一个同学换位 前后左右 的某一个同学换位,问能不能要点
七年级数学竞赛 第15讲 奇数与偶数
七年级数学竞赛第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+...+a9)-(1+2+ (9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
奥数之奇数与偶数
例题六：如图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号.
现在有一个小球在1号位置上。第一天顺时针前进10个位置, 第二天逆时针前进14个位置。以后,第奇数天与第一天相同, 顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进14 个位置。问:至少经过 天,小球又回到1号位置。
1 9 2
8
或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的 问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点. 证明:n一定是偶数连乘积是奇数，连乘中，有一个 因数是偶数，积一定是偶数。 （10）奇数的平方除以4余1，偶数的平方除 以4余0。 （11）连续的两个奇数或偶数的差是2。 （12）0是偶数。
例1：1+2+3+···+2008，是偶数还 ··· 是奇数？
解法一、利用求和公式直接求和，可判断和
的奇偶性 等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+···+2008 ··· =（1+2008）×2008÷2 =（1+2008）×1004 因为1004是偶数，偶数与任一自然数的积 仍是偶数，所以和是偶数
第二种解法 解：把杯口朝上的状态记为+1，口朝下记下-1， 开始时9只杯子的状态都是+1，它们的乘积也为+1， 每次操作翻动4只杯子，相当于把9个数中的4个改 变符号，但把一个乘积的偶数个因数改变符号时， 并不能改变乘积的符号。因此，不管怎么操作都不 能使乘积变为-1，当9只杯子杯口都朝下时，所有的 状态都是-1，它们的乘积是-1，所以不可能通过此 操作把9只杯口都变得口朝下。
3
7
4 6 5
顺时针前进10个位置=顺时针前进1个位置
逆时针前进14个位置=顺时针前进4个位置
数论专题 第二篇 奇数与偶数
第二篇奇数与偶数奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质2奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质3奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质4若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质5如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质6如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质7两个整数的和与差的奇偶性相同．【典型例题】例1.三个质数之积恰好等于它们和的7倍,求这三个质数.例2.设1，2，3，…，n的任一排列为a1，a2，…,a n.求证：(1-a1)( 1-a2)…(1-a n)是一个偶数例3. 黑板上写着三个整数,任意擦去其中一个,将它改写成其它两个数的和减去1,这样继续下去,最后得到115,1999,2003,问原来的数是否是2,2,2?【针对练习】1.设a,b 是整数,给出四个命题:(1)若a+5b 是偶数,则a-3b 也是偶数(2)若a+5b 是奇数,则a-3b 也是奇数(3)若a+b 能被3整除,则a,b 能被3整除(4)若a+b 是质数,则a-b 一定不是质数上述命题中,正确命题的个数是( )A 1个B 2个C 3个D 4个2.若两个自然数的和与差的乘积为1996,则这两个数的和为( )A 996B 997C 998D 9993.设a,b,c 都是两位整数,且c b a <<,已知abc=3960,a+b+c 为偶数,则a+b+c=4. 在围棋盘上有1919⨯个交叉点,在交叉点上已经放满了黑子与白子,黑子与白子相间地放,即黑子(或白子)的上,下,左, 右都放白子(或黑子),问能否将这些黑子全部移到原来白子的位置上,白子全部移到原来黑子的位置上?。
奥数奇数和偶数
奥数奇数和偶数；知识要点：；奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类；1、偶数与奇数的关系：；偶数＋偶数=（）偶数－偶数=（）；偶数＋奇数=（）偶数－奇数=（）；奇数＋奇数=（）奇数－奇数=（）；偶数×偶数=（）偶数×奇数=（）；奇数×奇数=（）偶数÷偶数=（）；偶数÷奇数=（）奇数÷奇数=（）；2、奇数个奇数的和等于奇数，偶数个奇数的和等于偶；3、任奥数奇数和偶数知识要点：奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
因此最小的奇数是１，最小的偶数是0。
1、偶数与奇数的关系：偶数＋偶数=（）偶数－偶数=（）偶数＋奇数=（）偶数－奇数=（）奇数＋奇数=（）奇数－奇数=（）偶数×偶数=（）偶数×奇数=（）奇数×奇数=（）偶数÷偶数=（）偶数÷奇数=（）奇数÷奇数=（）2、奇数个奇数的和等于奇数，偶数个奇数的和等于偶数，任意个偶数的和等于偶数。
3、任意个奇数的积等于奇数，偶数与任意自然数之积是偶数。
4、若干个自然数的积是奇数，则每一个乘数都是奇数；若干个自然数之积是偶数，则其中必定有一个乘数是偶数。
5、相邻的两个整数必为一奇一偶，它们的积必为偶数，它们的和必为奇数。
例1、下表中有15个数，请选出五个数，使它们的和等于3 0.能做到吗？为什么？例2、在2019年“非典”时期，通信公司赠送某医院27部手机，它们的号码都是连续的。
这27部手机的号码和是奇数还是偶数？例3、任意改变某个三位数的各数字的次序后得到一个新的三位数（比如423可改变为432、342等），试问这个新的三位数与原来的那个三位数的和能不能等于999？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由。
例4、赵老师在黑板上写了三个整数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1．在1、2、3、⋯、2007中的每个数前面任意添上一个正号或负号，试
判断它们的代数和是奇数还是偶数。
例2．1、2、3、⋯98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？
例3．将图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？说明理由。
例4．在6张纸片的正面分别写上整数1、2、3、4、5、6。
打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数。
然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。
例5．设1、2、3、…、9的任一排列的a1、a2、…、a9，求证：(a l−1)(a2−2)…(a9−9)是一个偶数。
例6．有n个数x1、x2、…、x n，它们中的每一个数或者为1，或者为−1。
如果x1x2+x2x3+⋯+x n−1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数。
例7．设a、b是正整数，且满足关系式
(11111+a)(11111−b)＝123456789，求证：a−b是4的倍数。
A卷
一、填空题
01．三个质数之和为86，三个质数是______________。
02．已知三个整数a、b、c的和为奇数，(a+b+c)(a+b−c)一定是_______数(填奇或偶)。
03．三个不同的质数m、n、p满足m+n=p，mnp的最小值是_________。
04．摆渡船往返于江的两岸，若最初从北岸开始，若干次后又回到北岸，那么船过江的次数是_________(奇数或偶数)。
若从北岸出发过江2003次后停在_______ (南或北)岸。
05．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_______，最小的数是_______。
06．如图1是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示
射中该靶区的分数。
甲说：“我打了六枪，每枪都中靶
得分，共得了27分”；乙说：“我打了3枪，每枪都中
靶得分，共得了27分。
”已知甲、乙两人只有一人说的
是真话，说假话的是_______。
07．前100个正偶数之和等于_________。
08．200个正整数，它们的和是5000。
在这些数里奇数的个数比偶数多，偶数最多有_________个。
09．5个连续奇数之和的绝对值的最小值为_________。
10．有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数是_________。
二、解答题
11．设x1、x2、⋯、x2006中每个数取+1或−1，求证：x1+2x2+3x3+⋯+2006x2006 ≠0。
12．在桌子上放着四个杯子，杯口都朝上，每次翻动三个杯子，能否翻动若干次后，将杯子口全部朝下？若杯子有五个，每次翻动四个杯子，其他条件不变，情况又如何？
B卷
一、填空题
01．在一次大会上代表们互相握手问好，所有代表与他人握手人次之和是_______数(填奇或偶)。
02．若按奇偶分类，则22008+32008+72008+92008是_______数。
03．设有101个正整数，记为a1、a2、⋯、a101。
已知a1+2a2+3a3+⋯+100a100+ 101a101=S是偶数，a1+a3+a5+⋯+100a99+101a101是_______数(填奇或偶)。
04．能否找到三个整数a、b、c，使得等式(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(b +c−a)= 2008成立。
___________(填能或不能)
05．6个连续偶数之和的绝对值的最小值为___________。
06．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。
考试后一个学生得了49分，如果他未答的题的数目是个奇数，那么他答错了________题。
07．三个相邻的偶数的乘积是一个六位数8＊＊＊＊2，这三个数之和是__________。
08．有一本故事书，共有23个故事，各个故事的页数分别为1页、2页、3页、…、22页、23页。
这本故事书中每个故事的第一页是偶数页码的故事的个数最多为__________。
09．现有A、B、C、D、E五盏灯，开始时五盏灯都是开的。
一个人顺次按动这五盏灯的开关，即先从A到E按动开关，再从E到A按动开关，⋯⋯问他按动2003次后还有________灯是开的？10．一串数排成一行，它们的规律是这样：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，这串数的前500个数中(包括第500个数)有________个偶数．
二、解答题
11．某次数学竞赛，共有40道选择题．规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分，证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。
12．设x1、x2、⋯、x n (n＞4)为1或为−1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+⋯+ x n x1x2x3 =0，求证：n是4的倍数。
13在n×n(n为奇数)方格表里的每一个方格中任意填上一个+1或−1，在每一列的下面写上该列所有数的乘积，在每行的右面写上该行所有数的乘积。
求证：这2n个乘积的和不等于0。
C卷
一、填空题
01．在12、22、32、⋯、952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
02．一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其他各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，这个四位数是_________。
03．一个整数的平方若不能被8整除，余数可能为________。
04．一本书中间的某一张被撕掉了，余下各页码数之和是1133，这本书有_______页，撕掉的是第_______页和第_______页。
05．a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993，a+b+c=_______。
06．三个连续的奇数的乘积是一个六位数，首位数字是7。
而个位数字不是5，这三个连续奇数之和为_______。
07．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样下去最后得到23、203、2003。
甲同学说原来的数可能为2、2、2，乙同学说原来的数不可能为2、2、2，_______同学说得对。
08．如图1，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号。
现在有一个小球在1号位置上，第一步顺时针前进5个位置，第二步顺时针前进7个位置，以后第奇数步同第一步，第偶数步同第二步，至少经过_______步小球又回到1号位。
09．某次比赛准备了35支笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，
原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。
实际一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支，
获二等奖的有_______人。
10．将1005到2002这998个正整数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和。
在这些和数中，奇数的个数至多有_______个。
二、解答题
11．代数式rvz−rwy−suz−swx+tuy−tux中，r、s、t、u、v、w、x、y、z 可以分别取+1或−1。
⑴证明：代数式的值是偶数；⑵求这个代数式所能取到的最大值。
12．在黑板上写上1、2、…、2006、2007。
只要黑板上还有两个或两个以上的数，就擦去其中任意两个数a和b，并写出︱a−b︱，问最后黑板上剩下的数是奇数还是偶数？
13．重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于104，那么原数能被10整除。