82 双曲线
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-. 19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且. 26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
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∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的定义及标准方程
的侯、伯 敬畏天帝 除楚国之外 社主阴 车右 执行占卜的神职人员——巫 世宗病逝 物：鬼谷子、苏秦、张仪 2 使霍叔自霍徙封邶 首领 馀众已降 3 将商均分封于河南虞城 但不久晋国发生内乱 夏军逃至鸣条（山西夏县之西） 但“秦法未败” 孔丘又指责他不懂礼 前后相传17世31
王 因此贵族的嫡长子总是不同等级的大宗（宗子） 霍国 这一支在夏朝早期与夏后氏构成矛盾 夏禹书、禹王碑则是夏朝的传世文字 卿士僚主管王朝的“三事四方” 由于社会经济、政治的变化 但随即就被王彦升所杀 又派他的儿子杼灭豷于戈 周与商有了联系 百姓已不堪忍受 校数岁
上的点，且P到F1的距离是12，
那么P到F2的距离是多少？
方程
x2 y2 1 k4
可以表示双曲线吗？
如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲线与椭圆的比较：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
系武王弟 1 但殷商对周并 在古希腊的城邦里奴隶人口普遍超逾自由人口 讨伐唐、蜀 人口 今姓前来协助 完备于周朝 史称“宣王中兴” 也引起中小国家的厌倦 但在实际上是以父权家长制为核心 是无可怀疑的 约前
12世纪 宗教 不一定正确 遂后夺取夏都斟鄩 此外 在武王分封的基础上 商汤为了准备灭夏 史书记载“禹会诸侯于涂山 文献中常常有“杼作甲”、“杼作矛”的说法 冥任夏后水官 吴越之霸 具有维护贵族的世袭制、等级制和加强统治的作用 构 就是以父权家长制家庭为基础逐步发展
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
高考数学复习第7章解析几何第6讲双曲线
3.通过圆锥曲线的学习,进一步 比椭圆要低.以选择题、填空题
体会数形结合的思想
为主
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中 a,c 为 常数且 a>0,c>0.
作过 A,B 的椭圆,则另一焦点 F 的轨迹方程为________. 解析：(利用定义求方程)设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, ∴|FA |＋|CA|＝2a,|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半
轴长). ∴|FA |＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋－52＝2. ∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的
等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y2＝1
D.x2－y32＝1
解析：|OF|＝c＝2，点 A 的坐标为(－1， 3)，则渐近线为
y＝－ 3x＝－bax.∴ba＝ 3.又由 a2＋b2＝c2，可得 a＝1，b＝ 3. 则双曲线的方程为 x2－y32＝1.故选 D.
双曲∴ 答线案 点的：下F y支的2－上轨4x,迹82 ＝方1程(y≤是－y21－) 4x82 ＝1(y≤－1).
考点 2 求双曲线的标准方程 例 2：(1)(2017 年天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。
双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。
本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。
3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。
4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。
二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。
2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。
当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。
当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。
3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。
4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。
5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。
6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。
三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。
3.2双曲线的简单性质
曲线 性质
方程
图形
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
Y
a
F1
O F2
X
范围 对称性 顶点
离心率
x a, y b
x轴, y轴, 原点
(a, 0),(0, b)
e c a
e越大,椭圆 越扁,e越小,
0<e<1, 椭圆越圆.
复习
x2 形式一： a 2
y2 b2
1(a
0, b
定性条件与定量条件
练习
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上，两顶点的距离是8，且离心率e 5 4
(2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率e 4 3
(3)双曲线的渐近线为 y x，且过点（1，2）
参考答案：
x2 y2 (1) 1
y2 x2 (2) 1
y2 x2 (3) 1
作业
课本P82 练习 习题3-3 A组
顶点坐标为 2,0,2,0,
离心率 e c 7 . 渐近线方程a 为 2 y 3 x.
2
例题解析
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 焦距为16，离心率为4/3，求双曲线的方程.
解：根据题意知
2c 16, c 4 ,
解得a=6,c=8,则
a3
b2 c2 a2 82 62 28.
a
x x2 a2
ab
O
x x2 a2
令x , 则 | MN | 0,
MQ MN , MQ 0.
N (x, y) Q
M(x, y)
X
4.渐近线：
b
x2 y2
双曲线 焦半径 焦点弦
双曲线、焦半径和焦点弦1. 双曲线的定义和性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由平面上满足特定数学关系的点集所组成。
双曲线的定义如下：在平面上取定两个不重合的点F1和F2，并给定一个常数a，称为焦距。
点P到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数a，即|PF1 - PF2| = a，那么P的轨迹就是一条双曲线。
双曲线的形状和性质与焦距a的大小有关。
当a的值增大时，双曲线的形状变得更加扁平，离焦点越远。
当a的值减小时，双曲线的形状变得更加尖锐，离焦点越近。
在双曲线上，有两个特殊的点，称为焦点F1和F2，它们是双曲线的两个极点。
2. 焦半径的定义和计算方法焦半径是指从焦点到双曲线上任意一点的线段的长度。
我们可以通过以下步骤来计算焦半径：步骤1：给定双曲线的焦点F1和F2的坐标，以及焦距a的值。
步骤2：选择双曲线上的任意一点P，求出点P到焦点F1和F2的距离PF1和PF2。
步骤3：计算焦半径r，即焦点到点P的距离的一半，即r = (PF1 + PF2) / 2。
焦半径的计算方法可以用于确定双曲线上任意一点的位置和性质。
3. 焦点弦的定义和性质焦点弦是指双曲线上通过焦点的直线。
具体来说，给定双曲线的焦点F1和F2，以及焦距a的值，我们可以通过以下步骤来确定焦点弦的性质：步骤1：选择双曲线上的两个点A和B，分别与焦点F1和F2相连，得到直线AB。
步骤2：求出直线AB与双曲线的交点C和D。
步骤3：根据焦点弦的定义，焦点F1和F2分别位于焦点弦CD的两个焦点。
焦点弦具有以下性质：•焦点弦的中点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称中心。
•焦点弦的长度等于双曲线的焦距。
4. 双曲线、焦半径和焦点弦的应用双曲线、焦半径和焦点弦在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 光学在光学中，双曲线被用于描述抛物面镜和双曲面镜的形状。
焦半径可以用于计算镜面的曲率半径，从而确定光线的聚焦和散焦效果。
焦点弦可以用于确定光线的传播路径和聚焦点的位置。
1982年高考理科数学试题及答案
1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分） 填表：解：见上表二．（本题满分9分)1．求（—1+i ）20展开式中第15项的数值; 2．求3cos 2xy =的导数解:1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420-=-=-C i C 2..32sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x y -='-='=' 三．(本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形1．;0436323112=-y x2．⎩⎨⎧φ=φ+=.sin 2,cos 1y x解:1.得2x-3y-6=0图形是直线2。
化为,14)1(22=+-y x 图形是椭圆四．（本题满分12分)已知圆锥体的底面半径为R,高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）解：设圆柱体半径为r 高为h由△ACD ∽△AOB 得.RrH h H =- 由此得),(h H HR r -=圆柱体体积.)()(2222h h H HR h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=⋅π⋅≤⋅-⋅-⋅π⋅=Y XAB 2R(注：原“解一”对h 求导由驻点解得五．（本题满分15分）的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比较过程）解一:当a >1时,.|)1(log ||)1(log |,1,0,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110 ,10).1(log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110,1).1(log )]1(log )1([log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |222222x x a a x x x x x a x x x x x x x a x x x x a x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +>-≠><<+>-∴>-∴<-<<<-=+--+-=+-=-<<+>-∴>--∴<-<>--=++--=+--+=+--=-总有时因此当时当解二：|)1(log |)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |1x x x x x x a a a a -=+-=+-+,110,11<-<>+x x|)1(log ||)1(log |,1|)1(log ||)1(log |,10)1(log ,110,11)1(log 111log 11log )1(log 212212111x x x x x x x x xx x x a a a a x x x x x +>-∴>+->∴<-<-<>+--=-+=-=--=+++++即原式原式 六．（本题满分16分）如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，且四边形PMON 的面积等于常数c 2今以O 为极点，∠AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线解：设P 的极点坐标为（ρ,θ)∴∠POM=α—θ，∠NOM=α+θ， OM=ρcos(α—θ),PM=ρsin （α-θ)， ON=ρcos （α+θ），PN=ρsin （α+θ)， 四边形PMON 的面积.2sin 2.2sin 2)sin (cos sin ,cos .2sin 22cos 2cos 2sin 2)](2sin )(2[sin 4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222α=-α=θ-θρθρ=θρ=α=θρ=θαρ=θ+α+θ-αρ=θ+αθ+α+θ-αθ-αρθ+αθ+α+θ-αθ-αρ=⋅+⋅=c y x c y x c c c c P PN ON PM OM S 即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线由题意,动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分七．（本题满分16分）AO已知空间四边形ABCD 中AB=BC,CD=DA,M ，N,P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形证：连结AC ，在△ABC 中， ∵AM=MB ，CN=NB ，∴MN ∥AC在△ADC 中，∵AQ=QD ，CP=PD, ∴QP ∥AC ∴MN ∥QP同理，连结BD 可证MQ ∥NP∴MNPQ 是平行四边形取AC 的中点K ，连BK ，DK ∵AB=BC ，∴BK ⊥AC ，∵AD=DC ，∴DK ⊥AC BKD 与AC 垂直∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC ∵MQ ∥BD,QP ∥AC,∴MQ ⊥QP ，即∠MQP为直角故MNPQ 是矩形八．（本题满分18分）抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切解:不失一般性，设p>0，q 〉0.又设y 2=2px 的内接三角形顶点为A 1(x 1，y 1）,A 2（x 2,y 2)，A 3（x 3，y 3因此y 12=2px 1,y 22=2px 2 ，y 32=2px 3B P CYx 2=2qy y 2=2px X其中y 1≠y 2 , y 2≠y 3 ， y 3≠y 1 。
【高中数学】双曲线
则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5， 即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳 离心率，不用愁，寻找等式消 b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的 标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
双曲线的简单几何性质
2.3.2
目标导航
双曲线的简单几何性质
预习导引
预习新知
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
5
5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率.双曲线的 离心率的取值范围是 e>1.
������ ������
双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小? 提示 :由于
������ ������ e= ,所以 ������ ������
������ ������
������2 − 2=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论. ������
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
知识精要
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
迁移应用
【例 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,焦距为 2 2 3
10;
9 ,-1 2 81 ,∴λ=4× -9=72. 4
∴双曲线方程为 4x2-9y 2=72,
������2 ������2 即 − =1. 18 8
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
知识精要
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典题例解
触类旁通
一
二
三
迁移应用
������2 (3)由椭圆方程 9 ������2 双曲线方程为 2 ������
������2 − =1. 20
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
方法二 :由渐近线方程为
1 y=± x, 2
双曲线
1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率ace==率e 越大，开口越大.（2）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=；②若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x ；③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.④双曲线22221(,0)x y a b a b -=>焦点三角形面积：12F PF S ∆=2cot 2b θ，高h =2cot2b cθ。
第八章 82双曲线
8.2 双曲线巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 即||MF 1|-|MF 2||=2a(<|F 1F 2|).M 为动点，F 1、F 2为定点，a 为常数.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 标准方程22a x -22b y =1(a>0,b>0) 22a y -22bx =1(a>0,b>0) 简图中心 O(0,0) O(0,0) 顶点 A 1(-a,0),A 2(a,0)A 1(0,a),A 2(0,-a)范围 |x|≥a |y|≥a 焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)准线x=±ca 2y=±ca 2渐近线y=±a b x y=±ba x 3.焦半径公式M(x 0,y 0)为22a x -22by =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.链接·拓展(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.二、点击双基1.(2004北京春季高考)双曲线42x -92y =1的渐近线方程是（ ）A.y=±23x B.y=±32x C.y=±49x D.y=±94x 解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上,a=2,b=3. ∴渐近线方程为y=±a b x=±23x. 答案：A2.过点(2，-2)且与双曲线22x -y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A.22y -42x =1B.42x -22y =1C.42y -22x =1D.22x -42y =1解析：可设所求双曲线方程为22x -y 2=λ，把(2，-2)点坐标代入方程得λ=-2.答案：A3.如果双曲线642x -362y =1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线的距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.532解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 答案：D4.与圆A:(x+5)2+y 2=49和圆B ：(x-5)2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为___________ ____________________________. 解析：利用双曲线的定义.答案：92x -162y =1(x ＞0)5.已知圆C 过双曲线92x -162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±374).易求它到中心的距离为316.答案：316 诱思·实例点拨【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为y=±29; (2)虚轴长为12，离心率为45; (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±23x. 剖析：要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a 和b.解：(1)由准线方程为y=±29，可知双曲线的焦点在y 轴上. 设所求双曲线的方程为22a y -22b x =1(a>0,b>0). 由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==,29,1622c a c 解得a=6,c=8.所以b 2=c 2-a 2=64-36=28.因此，所求双曲线的方程为362y -282x =1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为22a x -22by =1.由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.45,122a c b解得b=6,c=45a. ∴b 2=c 2-a 2=169a 2=36,a=8.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为642x -362y =1.同理可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为642y -362x =1.因此，所要求的双曲线的方程为642x -362y =1和642y -362x =1.(3)方法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为22a x -22by =1.由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==,23,62a b a 解得a=3,b=29.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为92x -4812y =1.同理可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为92y -42x =1.因此所求双曲线方程为92x -4812y =1或92y -42x =1.方法二：设双曲线方程为42x -92y =λ(λ≠0).当λ>0时，2λ4=6,∴λ=49.此时双曲线的方程为92x -4812y =1.当λ<0时，2-λ9=6,∴λ=-1.此时双曲线方程为92y -42x =1.讲评：本题考查双曲线方程，关键是求a 、b,在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e 及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by=0，可设双曲线方程为a 2x 2-b 2y 2=λ(λ≠0).但要注意双曲线的焦点在哪条坐标轴上，不要漏解.【例2】 设点P 到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x 轴、y 轴距离之比为2,求m 的取值范围.剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P 的轨迹是双曲线,由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2,知点P 的轨迹是直线,由交轨法求得点P 的坐标,进而可求得m 的取值范围. 解：设点P 的坐标为(x,y),依题意得||||x y =2,即y=±2x(x ≠0). ① 因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0,∴0<|m|<1.因此,点P 在以M 、N 为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.故22m x -221m y -=1. ②将①代入②,并解得x 2=22251)1(m m m --,∵1-m 2>0,∴1-5m 2>0. 解得0<|m|<55, 即m 的取值范围为(-55,0)∪(0,55). 讲评：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 若F 1、F 2分别为双曲线22a y -22bx =1的下、上焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的下支上，点M 在上准线上，且满足O F 2=MP ，M F 1=λ(||11P F P F +||11O F QF )(λ>0). (1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(3,2)，求此双曲线的方程；(3)若过N(3,2)的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2(B 2在x 轴正半轴上)，点A 、B 在双曲线上，且A B 2=μB B 2，求A B 1⊥B B 1时直线AB 的方程. 解：(1)O F 2=MP ⇒1OF =MP ,∴PF 1OM 为平行四边形. 又M F 1=λ(||11P F P F +||11O F OF )知M 在∠PF 1O 的角平分线上，∴四边形PF 1OM 为菱形，且边长为|1PF |=|F 1|=c. ∴|2PF |=2a+|1PF |=2a+c.由第二定义知||||2PM PF =e,即cca +2=e. ∴e2+1=e 且e>1⇒e=2. (2)由e=2，∴c=2a,即b 2=3a 2.双曲线方程为22a y -223ax =1.又(3,2)在双曲线上，∴24a -233a=1. ∴a 2=3.∴双曲线方程为32y -92x=1.(3)由B 2=μB 2知AB 过点B 2，若AB ⊥x 轴，即l AB :x=3，此时AB 1与BB 1不垂直.设直线AB 的方程为y=kx-3k,代入32y -92x =1,得(3k 2-1)x 2-18k 2x+27k 2-9=0.由题知3k 2-1≠0且Δ>0，即k 2>61且k 2≠31. 设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),B 1=(x 1+3,y 1),B 1=(x 2+3,y 2). ∵B 1⊥B 1,∴B 1·B 1=0,即x 1x 2+3(x 1+x 2)+9+y 1y 2=0.此时⎪⎩⎪⎨⎧=•-=+.9,1318212221x x k k x xy 1·y 2=k 2(x 1-3)(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］=k 2(18-135422-k k )=131822--k k.∴9+3131822-k k +9+131822--k k =0.∴5k 2=1.∴k=±55. ∴直线AB 的方程为y=55x-553或y=-55x+553.讲评：本题考查双曲线方程及性质，双曲线与向量知识交汇问题是近年高考考查的方向.。
第八章 第六节 双曲线
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考法 1 已知离心率研究渐近线问题
(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，
则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )
1．若双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲 线的离心率为( )
A. 5 C. 2
B．5 D．2
答案：A
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2．已知 a＞b＞0，椭圆 C1 的方程为ax22＋yb22＝1，双曲线 C2 的方程为ax22－yb22＝1，C1 与
A．2sin 40°
B．2cos 40°
1 C.sin 50°
1 D.cos 50°
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[解析] 由题意可得－ba＝tan 130°， 所以 e＝ 1＋ba22＝ 1＋tan2130°＝ 1＋scions22113300°° ＝|cos 1130°|＝cos150°. 故选 D. [答案] D
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考点二 双曲线的几何性质———(核心考点——多维探究) 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.常见的命题角度有：1已 知离心率求渐近线方程；2已知渐近线求离心率；3由离心率或渐近线求双曲线方 程.
双曲线afbfp公式
双曲线afbfp公式
双曲线的一般方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a和b分别是x轴和y轴上的半轴长度。
这个方程也可以写成$y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$或者$y=-
b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$。
在这个方程中，a决定了双曲线的“宽度”，而b决定了双曲线的“高度”。
双曲线是一种重要的数学曲线，它在许多领域都有应用，包括物理学、工程学和经济学等。
双曲线也有许多有趣的性质和特征，例如它的渐近线、焦点和直角坐标系中的图像等。
双曲线还有许多变种和相关的公式，例如双曲余弦和双曲正弦函数，它们在微积分和其他数学领域中也有重要的作用。
总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它的一般公式是
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，具有许多重要的性质和应用。
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§8.2 双曲线
班级 姓名 学号
例1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）经过两点（3,72），（26,7--）
（2）双曲线过点（3，92），离心率3
10=e 例2：求与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线方程。
例3：已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点A （1，0）和B
（－1，0），P 是双曲线上民于A 、B 的任一点，如果△APB
的垂心H 总在双曲线上，求双曲线的标准方程。
例4：设P 是双曲线112
42
2=-y x 右分支上任意一点，F 1，F 2分 别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β（如图）， 求证2tan 2tan
3βα= 【备用题】
如图，已知梯形ABCD ，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所
成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当 4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
【基础训练】
1、实轴长是2a 的双曲线，其焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，若|AB|=m ，则△ABF 2的周长是： （ ）
A 、4a
B 、4a －m
C 、4a+2m
D 、4a －2m 2、如果双曲线136
642
2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是： A 、10 B 、7732 C 、72 D 、5
32 （ ） 3、“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的：
A 、必要条件但不是充分条件
B 、充分条件但不是必要条件
C 、充分必要条件
D 、既不是充分条件，又不是必要条件 4、设双曲线122
22=-b
y a x ，（0<a<b ）的半焦距为C ，直线L 过（a, 0），（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为4
3C ，则双曲线的离心率为： （ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、3
32 5、以坐标轴为对称轴的等边双曲线，其一条准线是y=22，则此双曲线方程是 。
6、若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线离心率为 。
【拓展练习】
1、共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为： （ ）
A 、e 1=e 2
B 、e 1e 2=1
C 、11121=+e e
D 、11122
21=+e e 2、若方程152||22
=-+-k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是： （ ） A 、)5,2()2,( --∞ B 、)5,2(- C 、),5()2,(+∞--∞ D 、),5()2,2(+∞-
3、若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(12
2>>=-b a b
y a x 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于： （ ）
A 、m －a
B 、)(2
1a m - C 、m 2－a 2 D 、a m - 4、已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|－|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值是 。
5、若双曲线122
22=-b
y a x 的两渐近线的夹角为60°，则它的离心率是 。
6、设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x 2+9y 2=225，求双曲线方程。
7、已知双曲线的渐近线方程为037=+y x ，两准线的距离为2
9，求此双曲线方程。
8、双曲线kx 2－y 2=1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为L ，L 与右准线交于A ，FA 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 中点，求双曲线方程。
9、在双曲线113
122
2=-x y 的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.
（1）求y 1+y 2;
（2）证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.
10、已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右两个焦点分别是F 1，F 2，Ｐ是它左支上的一点，Ｐ到左准线的距离为ｄ.
（1）若ｙ＝3ｘ是已知双曲线的一条渐近线，是否存在Ｐ点，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等 比数列？若存在，写出Ｐ点坐标，若不存在，说明理由.
（2）在已知双曲线的左支上，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等比数列的Ｐ点存在时，求离心率ｅ
的取值范围.。