82 双曲线

§8.2 双曲线

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例1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：

（1）经过两点（3,72），（26,7--）

（2）双曲线过点（3，92），离心率3

10=e 例2：求与双曲线116

92

2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线方程。

例3：已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点A （1，0）和B

（－1，0），P 是双曲线上民于A 、B 的任一点，如果△APB

的垂心H 总在双曲线上，求双曲线的标准方程。

例4：设P 是双曲线112

42

2=-y x 右分支上任意一点，F 1，F 2分 别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β（如图）， 求证2tan 2tan

3βα= 【备用题】

如图，已知梯形ABCD ，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所

成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当 4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 【基础训练】

1、实轴长是2a 的双曲线，其焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，若|AB|=m ，则△ABF 2的周长是： （ ）

A 、4a

B 、4a －m

C 、4a+2m

D 、4a －2m 2、如果双曲线136

642

2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是： A 、10 B 、7732 C 、72 D 、5

32 （ ） 3、“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的：

A 、必要条件但不是充分条件

B 、充分条件但不是必要条件

C 、充分必要条件

D 、既不是充分条件，又不是必要条件 4、设双曲线122

22=-b

y a x ，（0

3C ，则双曲线的离心率为： （ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、3

32 5、以坐标轴为对称轴的等边双曲线，其一条准线是y=22，则此双曲线方程是 。

6、若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线离心率为 。

【拓展练习】

1、共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为： （ ）

A 、e 1=e 2

B 、e 1e 2=1

C 、11121=+e e

D 、11122

21=+e e 2、若方程152||22

=-+-k

y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是： （ ） A 、)5,2()2,( --∞ B 、)5,2(- C 、),5()2,(+∞--∞ D 、),5()2,2(+∞-

3、若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(12

2>>=-b a b

y a x 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于： （ ）

A 、m －a

B 、)(2

1a m - C 、m 2－a 2 D 、a m - 4、已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|－|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值是 。

5、若双曲线122

22=-b

y a x 的两渐近线的夹角为60°，则它的离心率是 。 6、设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x 2+9y 2=225，求双曲线方程。

7、已知双曲线的渐近线方程为037=+y x ，两准线的距离为2

9，求此双曲线方程。

8、双曲线kx 2－y 2=1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为L ，L 与右准线交于A ，FA 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 中点，求双曲线方程。

9、在双曲线113

122

2=-x y 的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.

（1）求y 1+y 2;

（2）证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.

10、已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左右两个焦点分别是F 1，F 2，Ｐ是它左支上的一点，Ｐ到左准线的距离为ｄ.

（1）若ｙ＝3ｘ是已知双曲线的一条渐近线，是否存在Ｐ点，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等 比数列？若存在，写出Ｐ点坐标，若不存在，说明理由.

（2）在已知双曲线的左支上，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等比数列的Ｐ点存在时，求离心率ｅ

的取值范围.