第七章 二元离散选择模型

例 贷款决策模型

分析与建模：某商业银行从历史贷款客户中随 机抽取78个样本，根据设计的指标体系分别计 算它们的“商业信用支持度”（XY）和“市场 竞争地位等级”（SC），对它们贷款的结果 （JG）采用二元离散变量，1表示贷款成功，0 表示贷款失败。目的是研究JG与XY、SC之间的 关系，并为正确贷款决策提供支持。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
Y X
y i X i i
其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量，X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选 择主体所具有的属性。
因为 E ( i ) 0 ，所以 E ( y i ) X i 。 令
pi P( y i 1)
i

Xi
0
qi 2 yi 1

关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采 用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。


这里所谓“重复观测值不可以得到”，是指对 每个决策者只有一个观测值。即使有多个观测 值，也将其看成为多个不同的决策者。
3、重复观测值可以得到情况下二元Probit离 散选择模型的参数估计


建立“对数成败比例模型” ，采用广义最小 二乘法估计 。 实际中并不常用。

分布函数的类型决定了二元选择模型的类型，根据分布函 数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择 模型如下表所示： 表 常用的二元选择模型
ui*对应的分布
标准正态分布 逻辑分布 极值分布
分布函数F
相应的二元选择模型

对每个决策者有多个重复（例如10次左右） 观测值。 对第i个决策者重复观测ni次，选择yi=1的次 数比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的 一个估计量。


建立 “概率单位模型” ，采用广义 最小二乘法估计 。

实际中并不常用。
四、二元Logit离散选择模型及其参数 估计
1、逻辑分布的概率分布函数
二元离散选择模型 Binary Discrete Choice Model
一、二元离散选择模型的经济背景
二、二元离散选择模型
三、二元Probit离散选择模型及其参数估计
四、二元Logit离散选择模型及其参数估计
五、一个实例
说明

在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假 定为连续变量。

离散被解释变量数据计量经济学模型（Models with Discrete Dependent Variables）和离散 选择模型(DCM, Discrete Choice Model)。
1 pi P( y i 0)
于是 E ( y i ) 1 P( y i 1) 0 P( y i 0) p i 所以有
E(yi ) P(yi 1) Xi
• 对于
E ( yi ) P( yi 1) X i
问题在于：该式右端并没有处于[0，1]范围内 的限制，实际上很可能超出[0，1]的范围；而 该式左端，则要求处于[0，1]范围内。于是产 生了矛盾。
n
• 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数 和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模 型参数估计量。
三、二元Probit离散选择模型及其参数 估计
1、标准正态分布的概率分布函数
F (t )


t
( 2 )
12
exp( x 2 2) dx
f ( x ) (2 )
1
2
exp( x
yi xi i
样本观测值
xi
yi
xi
yi
xi
yi
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
很显然，如果不可观测的U1>U0，即对应于观测 值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于 选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交 通工具； 相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值 为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选 择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通 工具。


3、最大似然估计
第i个个体 选择1的效用 第i个个体 选择0的效用
U i1 U i0 X i (1 0 ) (i1 i0 )
yi* X i i*
作为研究对象的二元选择模型
P( yi 1) P( yi* 0) P( i* X i )

注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够 得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。
JG 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
XY 1500 96.00 -8.000 375.0 42.00 5.000 172.0 -8.000 89.00 128.0 6.000 150.0 54.00 28.00 25.00 23.00 14.00 49.00 14.00 61.00 40.00 30.00 112.0 78.00 0.000 131.0
Probit 模型 Logit 模型 Extreme模型
(x )
e x (1 e x )
1 exp( e x )
五、例题
分析与建模： 在一次选举中，由于候选人对高收入者有 利，所以收入成为每个投票者表示同意或者 反对的最主要影响因素。以投票者的态度（y） 作为被解释变量，以投票者的月收入（x）作 为解释变量建立模型，同意者其观测值为1， 反对者其观测值为0。 原模型为：
P( y i 1) P( y i* 0) P( i* X i ) 1 P( i* X i ) 1 F ( X i ) F ( X i )
P ( y1 , y 2 , , y n )
(1 F ( X )) F ( X )
0.0 5 10 15 20 DF 25 30 35 40
2、重复观测值不可以得到情况下二元logit离散 选择模型的参数估计
ln L


n i 1
yi f i fi (1 y i ) X i Fi (1 Fi ) i 1
n i
(y
( X i )) X i 0

欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差 项选择一种特定的概率分布。

两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑 （logistic）分布，于是形成了两种最常用的二 元选择模型—Probit模型和Logit模型。
最大似然函数及其估计过程如下：

F (t ) 1 F (t )
标准正态分布或 逻辑分布的对称 性

模型估计结果
但是作为估计对象的不是原始模型，而是下 面这个模型。按照方程：
YF 1 @ CONRM [(4.7539 0.003067* X )]
可以得到不同X值下的Y选择1的概率。例如，当Ｘ ＝600时，查标准正态分布表，对应于2.0137的累 积正态分布为0.9982；于是，Ｙ的预测值 YF=1-0.9982=0.0018；即对应于该个人，投赞成 票 的概率为0.0018。
SC -2 0 0 -2 -1 2 -2 0 -2 -2 0 -1 2 -2 0 0 0 -1 -1 0 2 -2 -1 -2 0 -2
2
2)
2、重复观测值不可以得到情况下二元Probit离散
选择模型的参数估计
ln L


yi
fi Xi 1 Fi 0

yi
fi Xi F 1 i

i 1 n i 1
n
Байду номын сангаас
q i f ( q i X i ) Xi F ( q i X i )

关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采 用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。

3、重复观测值可以得到情况下二元logit离 散选择模型的参数估计

对每个决策者有多个重复（例如10次左右）观 测值。 对第i个决策者重复观测ni次，选择yi=1的次数 比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的一个 估计量。
JG 0 0 0 0 0
XY 125.0 599.0 100.0 160.0 46.00 80.00 133.0 350.0 23.00 60.00 70.00 -8.000 400.0 72.00 120.0 40.00 35.00 26.00 15.00 69.00 107.0 29.00 2.000 37.00 53.00 194.0
• 对于随机误差项 ，具有异方差性 。因为:
当yi 1，其概率为X i 1 Xi i 当yi 0，其概率为1 X i Xi
所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题 的模型。
•
2、效用模型
U i1 X i 1 i1 U i0 X i 0 i0
yi 0 i yi 1 i
L

i 1
n
( F ( X i )) y i (1 F ( X i )) 1 y i
ln L
(y
i 1
n
i
ln F ( X i ) (1 y i ) ln(1 F ( X i )))
ln L

yi f i fi (1 y i ) X i 0 Fi (1 Fi ) i 1
F (t )
f (t )
.30 .25 .20
1 1 e
e (1 e
t
t t
F (t )
et
et 1 et
(t )
)
2
f (t )
1.0
(1 e )
t 2
(t )(1 (t ))
0.8
0.6 .15 0.4 .10 .05 .00 5 10 15 20 F 25 30 35 40 0.2
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
估计二元选择模型，从Equation Specification对话框中，选择Binary估计方 法。在二元模型的设定中分为两部分。 首先，在Equation Specification区域中，键 入二元因变量的名字，随后键入一列回归项。 由于二元变量估计只支持列表形式的设定， 所以不能输入公式。 然后，在Binary estimation method中选择 Probit估计方法。
SC -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -1 0 -2 -1 0 -2 0 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 0
JGF 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9979 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9998 0.9999 1.0000 0.4472 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.0000 0.0000
二元选择模型(Binary Choice Model)和多元选择 模型(Multiple Choice Model)。 本章只介绍二元选择模型。



离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物 条件二元反射研究。 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域， 用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问 题。 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布 局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策 等经济决策领域的研究。 模型的估计方法主要发展于80年代初期。



一、二元离散选择模型的经济背景

研究选择结果与影响因素之间的关系。
影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方 案的属性。 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的 选择，两种商品的选择。由决策者的属性和备 选方案的属性共同决定。



对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商 品的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选 择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行 对某客户的贷款决策。由决策者的属性决定。