导数题型方法总结绝对经典

第一章 导数及其应用

一.导数的概念 1..已知x

f x f x

x f x ∆-∆+=→∆)

2()2(lim

,1

)(0

则的值是（ ）

A. 4

1- B. 2 C. 41

D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430--='→（ ）

A ．－１

Ｂ．－2 C ．－3

D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于

（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('

=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，

()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432

3()1262

x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32

()332

x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，

则 2

()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

(0)030

2

(3)09330

g

m

g m

<-<

⎧⎧

⇒⇒>

⎨⎨

<--<

⎩⎩

解法二：分离变量法：

∵当0

x=时, 2

()330

g x x mx

∴=--=-<恒成立,

当03

x

<≤时, 2

()30

g x x mx

=--<恒成立

等价于

233

x

m x

x x

-

>=-的最大值（03

x

<≤）恒成立，

而

3

()

h x x

x

=-（03

x

<≤）是增函数，则

max

()(3)2

h x h

==

2

m

∴>

(2)∵当2

m≤时()

f x在区间(),a b上都为“凸函数”

则等价于当2

m≤时2

()30

g x x mx

=--<恒成立

变更主元法

再等价于2

()30

F m mx x

=-+>在2

m≤恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

2

2

(2)0230

11

(2)0230

F x x

x

F x x

⎧

->--+>

⎧⎪

⇒⇒⇒-<<

⎨⎨

>-+>

⎪

⎩⎩

2

b a

∴-=

例2)

,1

0(

32R

b

a

b

x

a∈

<

<

+

-

（Ⅱ）若对任意的],

2

,1

[+

+

∈a

a

x不等式()

f x a

'≤恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）()()

22

()433

f x x ax a x a x a

'=-+-=---

01

a

<<

令,0

)

(>

'x

f得)

(x

f

令,0

)

(<

'x

f得)

(x

f的单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）

∴当x=a时，)

(x

f极小值=;

4

3

3b

a+

-当x=3a时，)

(x

f极大值=b.

（Ⅱ）由|)

(x

f'|≤a，得：对任意的],

2

,1

[+

+

∈a

a

x22

43

a x ax a a

-≤-+≤恒成立①则等价于()

g x这个二次函数max

min

()

()

g x a

g x a

≤

⎧

⎨

≥-

⎩

22

()43

g x x ax a

=-+的对称轴2

x a

=01,

a

<< 12

a a a a

+>+=（放缩法）