解析法作速度加速度分析

2
)/ l3sin(θ 3-θ
3
2
)
（3）求ω 2，用 e3 点积上式，消去θ
ω 2=-ω 1l1sin(θ 1-θ
3） 进行加速度分析
3
)/ l2sin(θ 3-θ 2 )
t t
由速度方程：ω 1l1 e 1 +ω 2l2 e 2
=ω 3l13e 3
t
(1) 将速度方程对时间再进行一次微分解得：
ε 1l1 et1 +ω 12 l1 en1+ε 2l2 et2 +ω 22 l2 en2 =ε 3l3 et3 + ω 3 2 l 3 e n3
t
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练习：
e1 • et2=cos[(θ
2
+ 90゜)-θ 1]=-sin(θ 2 -θ 1)
e1 • en2=
cos[(θ 2 + 180゜)-θ 1] =-cos(θ 2 -θ 1)
3) 单位矢量的运算--------微分运算 （1）对θ 的微分： （对θ 微分一次转 90゜）
l1 cos(θ 1-θ 3) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos(θ 2-
θ 3)] / l2 sin(θ 2-θ 1)
四、矩阵法 用矩阵法作机构运动分析的关键是把机构的位置、速度及加速度方程表示 成矩阵的形式，然后再借助于标准运算程序和计算机进行计算求解。其方程建 立的方法及步骤如下： 1)首先建立直角坐标系，并将各构件表示为杆矢量； 2)根据机构各杆矢量构成的封闭形，写出机构的矢量封闭方程式，并写成 等式左边均为含未知参数项，而右边均已知参数项的的坐标投影方程式；
t t t n t
d″e/d″t = (de/dt)′=d(ω e )/dt=ε e + ω e
t
2
n
(单位矢量的切向加速度+单位矢量的法向加速度)
(3)对定长矢量的微分 dL/dt = d( Le )/dt= Lω e
t t t
de /dt= (de /dθ )(dθ /dt)=ω e d″L/d″t = d (L ω e
e
-----单位矢量；
et -----切矢（切向矢量：反时针转 90゜） ； en -----法矢（法向矢量：反时针转 180゜） ；
e
L=L
=i cosθ +j sinθ
(i 、j 代表与 X、Y 轴同向的单位矢量)；
e
=L∠θ =L（i cosθ + j sinθ ） 。
2） 单位矢量的运算--------点积运算 (1)点积运算：a • b = a b cosθ (标量运算：数量积，与次序无关，θ 两矢量间的夹角) (2)e1 • (3)e1 • (4)e1 • (5)e •
3)进行速度分析 由位置方程：l1 e1 + l2e2
= l3 e3 + l4 e 4
t t t
（1）对时间进行一次微分；
ω 1l1 e 1 +ω 2l2 e 2 =ω 3l13e 3 +ω 4l4e 4
t
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（2）求ω 3，用 e2 点积上式，消去θ
2
ω 3=ω 1l1sin(θ 1-θ
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3)将机构的坐标投影方程对时间求一次导数，得机构的速度分析方程式， 并写成矩阵形式； 4)在将上述速度方程对时间再求一次导数，即可得机构的矩阵形式的加速 度方程式。
小结：本节内容主要讲解了矢量的基本知识，如何用矢量方程解析的方法 来求解机构的运动分析。重点是矢量封闭方程的建立，具体的求解过程应用数 学的公司就可以解决。通过本节的学习，使同学们对解析法求解机构的运动分 析有更深层次的理解。 作业：补充作业
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§3-5 用解析法作机构的运动分析
需 2 课时
1、了解矢量的基本知识 2、能够利用解析法对平面机构进行运动分析 1、矢量的基本知识 2、解析法中矢量方程的建立 教案编写日期 解析法中速度和加速度的求解 年 月 日
e′=
- i sinθ + j cosθ = - i cos（90゜+θ ）+ jsin（90゜+θ ）
et″= et′= - i cosθ - j sinθ = - （i cosθ + jsinθ ）= - e
= e
n
（2）矢量 e 对时间 t 的微分： （e 对θ 微分,θ 再对 t 微分） de/dt = (de/dθ )(dθ /dt) = ω e de /dt= (de /dθ )(dθ /dt)=ω e
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5)最后再运用各自矢量点积消元法，依次求出各未知的速度及加速度 参数。
三、用矢量方程解析法进行机 构的运动分析 如右图所示：
1） 建立坐标系和封闭矢量图
L1
大小 方向 √ √
+
L2 =
√ ？
L3 +
√ ？
L4
√ √
2） 进行位置分析 （1）求解θ
3
L2 = L3 + L4 -L1
教
一、 二、 三、 组织课堂
学
内
容
与
教
学
过
程
提示与补充
复习上次课内容 讲授新课
1、 矢量的基本知识 2、 矢量方程解析法 3、 用矢量方程解析法进行机构的运动分析 4、 矩阵法 5、 小结 6、 作业
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§3-5 用解析法作机构的运动分析
用解析法作机构的运动分析，首先建立机构的位置方程式，然后将位置方 程式对时间求一次和二次导数，即可求得机构的速度和加速度方程，进而求出 所需的位移、速度及加速度，完成机构的运动分析。 由于在建立和推导机构的位置、速度和加速度方程时所采用的数学工具不 同，所以有很多解析的方法。 一、矢量的基本知识 1）矢量的表示方法
e2 =1 i= j= e
cos(θ 2-θ 1)-----(理解：投影)；
cosθ -----(在 X 轴上的投影) sinθ -----(在 Y 轴上的投影) =1-----(自身点积为 1，用于消去θ )
(6)e1 • en =-1-----(反向点积)
(7)e1 •e =0(在⊥方向的投影为零，用于消去该矢量)
t
n
)/dt
= L ε
et + L ω 2 en
(定长矢量的切向加速度+定长矢量的法向加速度)
二、矢量方程解析法 矢量方程解析法用矢量方程解析法作机构运动分析的方法及步骤如下： 1)首先建立直角坐标系，并将各构件表示为杆矢量； 2)根据机构各杆矢量构成的封闭形，写出机构的矢量封闭方程式； 3)运用各自矢量点积消元法，依次求出各未知的位置参数； 4)将机构的位置方程依次对时间求一次、二次导数，可得机构的速度 及加速度矢量方程；
方程两端各自点积（消去θ 2） ：
L2 •L2 =（ L3 + L4 -L1） • （L3 + L4 -L1） •
整理后，得：A
Sinθ 3+ B Cosθ
1
3
+ C =0
式中：A=2l1l3sinθ
;
B=2l3(l1cos-l4) ;
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C = l=22 - l=12 - l=32 - l=42+ 2l1l3 cosθ
求ε
3，用
e2 点积上式，消去θ 2（ e 2 •e2 = 0；e 2 •e2 = -1）
2
t
n
得：ε 3=[ω 1
2
l1 cos(θ 1-θ 2)+ ω 22 l2 -ω 32 l3 cos(θ 3-θ
2
) ] / l3 sin(θ 3-θ
求ε
2，用
)
3
e3 点积上式，消去θ
2
得：ε 2=[-ω 1