第10集 函数的零点
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数的零点教案详细
函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。
教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。
教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。
即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。
教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。
第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。
然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。
第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。
教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。
第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。
然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。
第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。
例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。
学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。
第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。
最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。
教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。
通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。
然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。
因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。
函数的零点与方程的解+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
. . .
8
.
6
.
4
.
2
.
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法
苏教版高中数学必修第一册8.1.1函数的零点【授课课件】
8.1.1 函数的零点
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．
()
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．
()
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
A 易知 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又 f(－ 3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以 f(x)在(－3，－1)内有零点，即方 程 ax2＋bx＋c＝0 在(－3，－1)内有根，同理方程 ax2＋bx＋c＝0 在(2,4) 内有根．故选 A．
8.1.1 函数的零点
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解 8.1.1 函数的零点
8.1.1 函数的零点
1
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3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解函数的零点的概念以及函 1．通过零点的求法，培养数学运算 数的零点与方程根的关系．(重点) 和逻辑推理的素养． 2．会求函数的零点．(重点、难点) 2．借助函数的零点与方程根的关 3．掌握函数零点的存在定理并会 系，培养直观想象的数学素养． 判断函数零点的个数．(难点)
8.1.1 函数的零点
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求函数的零点 求函数 fx的零点时，通常转化为解方程 fx＝0，若方程 fx＝0 有实数根，则函数 fx存在零点，该方程的根就是函数 fx的零点； 否则，函数 fx不存在零点.
第10讲 函数的图像
5
m 的取值范围是
0, 2
.
③ 4.[教材] 函数 y= |1-������2|的图像大致 .(号)
图 1-10-1
课堂考点探究
变式题 分别画出 解:(1)先画出函数 y=x2-4x+3 的图像,再将其 x 轴下方的图像翻
下列函数的图像:
折到 x 轴上方,如图①所示.(2)y=2������+1=2- 1 的图像可由 y=-1的
得到曲线 C1,而且曲线 C1 与函数 g(x)的图像关于
y 轴对称,则 g(x)的解析式为
A.g(x)=e2-x C.g(x)=ex
( C)
B.g(x)=ex-2 D.g(x)=e-x
探究点二 识图与辨图的常见方法
例2
函数 f(x)=x2-
1 2
������
的图像大致是
(B
)
图 1-10-2
微点2 性质检验法
B.y=2|x|-2 D.y=2|x|-x2
图1-10-10
微点2 求不等式的解集
例 6 已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,
A f(x)=
cos π������,������∈ 0, 1 ,
2
2������-1,������∈
1 2
,
+
∞
则不等式 f(x-1)≤1的解集为(
,
2
)
A.
1 4
,
第10讲 函数的图像
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;
②化简函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共38张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
第10课时函数与方程
第10课时：函数与方程编者：郭红霞审核：曹金凤班级_________第一部分预习案学号_________一、知识回顾姓名_________ 1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把_ ______称函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)(3)函数零点的判定(零点的存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条的曲线，且，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系3. 二分法对于在区间[a，b]上且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意：函数的零点不是点，而是；二、基础训练1．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．2．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．3. 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．4．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．5．若函数f(x)惟一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内：①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是________(将标号填入横线上)．三、我的疑惑第二部分探究案问题1．函数零点的判断判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．问题2. 二次函数的零点问题关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时：(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解．问题3. 函数零点的应用1. 若关于x的方程22x＋2x a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围_________．2．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是__________．3. 函数f (x )＝x 3－3x －a 在(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是__________．4. 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．我的收获第三部分 训练案 （见附页）。
第10讲 导数解答题之零点问题(解析版)
第10讲 导数解答题之零点问题1．已知函数()(1)axf x ln x x a=+-+，a 是常数，且1a ． （Ⅰ）讨论()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：213(1)2131ln n n n <+<++，n N +∈． 【解析】证明：（Ⅰ）22221(2)/()1()(1)()a x x a a f x x x a x x a -+=-=++++， 解()0f x '=得0x =，或22x a a =- ①1a =时，2/()(1)xf x x =+，若(1,0)x ∈-，()0f x '<，()(0)0f x f >=，若(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()(0)0f x f >=．()f x 有一个零点，②12a <<时，2120a a -<-<，由上表可知，()f x 在区间2(2a a -，)+∞有一个零点0x =，2(2)(0)0f a a f ->=，又2211ax a a aa a x a x a a a -=--=++--， 任取1(1,1)aat e-∈--，()011a a f t a a <+=--， ()f x 在区间2(,2)t a a -有一个零点，从而()f x 有两个零点，③2a =时，22/()0(1)(2)x f x x x =>++，()f x 在(1,)-+∞上单调递增，有一个零点0x =，④2a >时，220a a ->，由上表可知，()f x 在区间2(1,2)a a --有一个零点0x =，在区间2(2a a -，)+∞有一个零点，从而()f x 有两个零点，（Ⅱ）证明：取2a =，由（1）知2()(1)2xf x ln x x =+-+在(1,)-+∞上单调递增， 取*1()x n N n =∈，则1()(0)0f f n >=，化简得12(1)21ln n n +>+，取32a =，由（1）知3()(1)23x f x ln x x =+-+在区间3(,0)4-上单调递减， 取*13(,0)()14x n N n =-∈-∈+，由()(0)f x f >得311(1)112()31n ln n n -+->+-++， 即*13(1)()31ln n N n n +<∈+，综上，213(1)2131ln n n n <+<++，*n N ∈ 2．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a '=+-=+-，令()0f x '=，解得：1x ln a =，当()0f x '>，解得：1x ln a >，当()0f x '<，解得：1x ln a<，1(,)x ln a ∴∈-∞时，()f x 单调递减，1(x ln a ∈，)+∞单调递增；当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a'=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a，)+∞是增函数；（2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点， 当0a >时，2()(2)x x f x ae a e x =+--， 当x →-∞时，20x e →，0x e →，∴当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞，2x e →+∞，且远远大于x e 和x ，∴当x →∞，()f x →+∞，∴函数有两个零点，()f x 的最小值小于0即可，由()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a ，)+∞是增函数，21111()()()(2)0min f x f ln a a ln a a a a ∴==⨯+-⨯-<，1110ln a a ∴--<，即1110ln a a+->， 设1t a=，则()1g t lnt t =+-，(0)t >， 求导1()1g t t '=+，由g （1）0=，11t a∴=>，解得：01a <<， a ∴的取值范围(0,1)．方法二：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a'=+-=+-，令()0f x '=，解得：x lna =-， 当()0f x '>，解得：x lna >-， 当()0f x '<，解得：x lna <-，(,)x lna ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，(,)x lna ∈-+∞单调递增； 当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a'=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在(,)lna -∞-是减函数，在(,)lna -+∞是增函数； （2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点，②当0a >时，由（1）可知：当x lna =-时，()f x 取得最小值，11()()1min f x f lna ln a a=-=--， 当1a =，时，()0f lna -=，故()f x 只有一个零点， 当(1,)a ∈+∞时，由1110ln a a-->，即()0f lna ->， 故()f x 没有零点， 当(0,1)a ∈时，1110ln a a--<，()0f lna -<， 由422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>， 故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点，假设存在正整数0n ，满足03(1)n ln a >-，则00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->->，由3(1)ln lna a->-，因此在(,)lna -+∞有一个零点． a ∴的取值范围(0,1)．3．已知函数2()()x f x ex e e ax =-+，a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由题1()(2)x f x x e a +'=+，x R ∈， （1）当0a 时，120x e a ++>，∴当(,0)x ∈-∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增；（2）当02ea -<< 时，(2)10ln a --<，∴当(x ∈-∞，(2)1)ln a --时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增，当((2)1x ln a ∈--，0)时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增；（3）当2ea =-时，1()(2)0x f x x e a +'=+恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；（4）当2ea <-时，(2)10ln a -->，∴当(,0)x ∈-∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增，当(0x ∈，(2)1)ln a --时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减， 当((2)1x ln a ∈--，)+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增； （Ⅱ）当0a =时，()()x f x ex e e =-，有唯一零点1x =，不符合题意； 由（Ⅰ）知：①当0a >时，故(,0)x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，(0)0f e =-<，∴函数()f x 必有两个零点；②当02ea -<< 时，故(x ∈-∞，(2)1)ln a --时，函数()f x 单调递增，((2)1x ln a ∈--，0)时，函数()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增，又2((2)1)2((2)1)((2)1)0f ln a a ln a a ln a --=---+--<，∴函数()f x 至多有一个零点；③当2ea =-时，函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有一个零点；④当2ea <-时，故(,0)x ∈-∞时，函数()f x 单调递增，(0x ∈，(2)1)ln a --时，函数()f x 单调递减，((2)1x ln a ∈--，)+∞时，函数()f x 单调递增，又(0)0f e =-<，∴函数()f x 至多有一个零点； 综上所述：当0a >时，函数()f x 有两个零点． 4．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-， 可得()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a 时，由()0f x '>，可得1x >；由()0f x '<，可得1x <，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）；②当0a <时，（如右下图）若2e a =-，则()0f x '恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2ea <-时，由()0f x '>，可得1x <或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-． 即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增； 在(1，(2))ln a -递减；若02ea -<<，由()0f x '>，可得(2)x ln a <-或1x >；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<． 即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增； 在((2)ln a -，1)递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a >时， ()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增，且f （1）0e =-<，x →+∞，()f x →+∞；当x →-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a >恒成立， ()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)x f x x e =-，所以()f x 只有一个零点2x =； ③当0a <时，若2ea <-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增， 又当1x 时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2ea -时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增， 在((2)ln a -，1)单调减，只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x 时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．5．已知函数2()[(2)]x f x e ax a x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()(1)(21)x f x ae e '=-+， ①若0a ，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减． ②若0a >，则由()0f x '=得，x lna =-．当(,)x lna ∈-∞-时，()0f x '<；当(,)x lna ∈-+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(,)lna -∞-上单调递减，在(,)lna -+∞上单调递增． （2）若0a ，()f x 至多有一个零点，不符合题意； 若0a >，当x lna =-时，()f x 取得最小值1()1f lna lna a-=-+． ①当1a =时，()0f lna -=，()f x 只有一个零点；②当1a >时，()0f lna ->，()f x 没有零点；③当1a <时，()0f lna -<．又42(2)(2)20f ae a e ---=+-+>，故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点．设整数N 满足3(1)N ln a >-，则()(2)20N N N N f N e ae a N e N N =+-->->->，故()f x 在(,)lna -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围是(0,1)． 6．已知函数31()4f x x ax =++，()g x lnx =- ()i 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；()ii 用{min m ，}n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(0)g x x >，讨论()h x 零点的个数．【解析】解：2()()3i f x x a '=+．设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(P x ，0)，则0()0f x =，0()0f x '=，∴3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得012x =，34a =-． 因此当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；()ii 当(1,)x ∈+∞时，()0g x lnx =-<，∴函数()h x min ={()f x ，()}0g x <，故()h x 在(1,)x ∈+∞时无零点．当1x =时，若54a -，则f （1）504a =+， ()h x min ∴={f （1），g （1）}g =（1）0=，故1x =是函数()h x 的一个零点； 若54a <-，则f （1）504a =+<，()h x min ∴={f （1），g （1）}f =（1）0<，故1x =不是函数()h x 的零点；当(0,1)x ∈时，()0g x lnx =->，因此只考虑()f x 在(0,1)内的零点个数即可．①当3a -或0a 时，2()3f x x a '=+在(0,1)内无零点，因此()f x 在区间(0,1)内单调，而1(0)4f =，f （1）54a =+，∴当3a -时，函数()f x 在区间(0,1)内有一个零点，当0a 时，函数()f x 在区间(0,1)内没有零点．②当30a -<<时，函数()f x在内单调递减，在内单调递增，故当x =()f x 取得最小值14f =．若0f >，即304a -<<，则()f x 在(0,1)内无零点．若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)内有唯一零点．若0f <，即334a -<<-，由1(0)4f =，f （1）54a =+， ∴当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)内有两个零点．当534a -<-时，()f x 在(0,1)内有一个零点． 综上可得：54a <-时，函数()h x 有一个零点．当34a >-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，函数()h x 有三个零点．7．已知函数21()(),()4lnxf x x a a Rg x x x=-+-∈=． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线，（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，设函数(){()h x max xf x =，()}(0)xg x x >，当03a <<时，讨论()h x 零点的个数．【解析】解：（1）设曲线()y f x =与x 轴相切与点0(x ，0)，则00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩，即20020201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴01234x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴当34a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线． （2）令211()()4f x xf x x ax ==-+-，1()()(0)g x xg x lnx x ==>，则1(){()h x max f x =，1()}g x ，21()3f x x a '=-+，由1()0f x '=，得x =∴当x ∈时，1()0f x '>，1()f x 为增函数；当x ∈)+∞时，1()f x '为减函数， 03a <<，01∴<， ①当10f <，即304a <<时，()h x 有一个零点； ②当10f =，即34a =时，()h x 有两个零点； ③当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即3544a <<时，()h x 有三个零点； ④当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪=⎩，即54a =时，()h x 有两个零点； ⑤当11(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即534a <<时，()h x 有一个零点， 综上，304a <<或534a <<时，()h x 有一个零点； 当34a =或54a =时，()h x 有两个零点； 当3544a <<，()h x 有三个零点． 8．已知函数21()4f x x a x=-+-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）设函数()()g x xf x =，讨论()g x 在区间(0,1)上零点的个数．【解析】解：（1）21()4f x x a x =-+-的导数为21()24f x x x '=-+， 设切点为0(x ，0)，可得0()0f x =，0()0f x '=， 即200104x a x -+-=，0201204x x -+=， 解得012x =，34a =； （2）31()()4g x xf x x ax ==-+-，2()3g x x a '=-+，01x <<， 当3a 时，2()30g x x a '=-+>，()g x 在(0,1)递增，可得1(0)04g =-<，g （1）504a =->，()g x 有一个零点； 当0a 时，()0g x '<，()g x 在(0,1)递减，(0)0g <，g （1）0<，()g x 在(0,1)无零点； 当03a <<时，()g x在递增，在，1)递减， 可得()g x 在(0,1)的最大值为14g ， ①若0g <，即304a <<，()g x 在(0,1)无零点； ②若0g =，即34a =，()g x 在(0,1)有一个零点； ③若0g >，即334a <<，(0)0g <，g （1）54a =-， 当3544a <<时，()g x 在(0,1)有两个零点； 当534a <时，()g x 在(0,1)有一个零点； 综上可得，34a <时，()g x 在(0,1)无零点； 当34a =或54a 时，()g x 在(0,1)有一个零点； 当3544a <<时，()g x 在(0,1)有两个零点． 9．已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()sin x g x e x =-，若()()(()2)h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）222121()2a x ax f x x x x-+'=+-=，0x >，△28a =-， ①当△280a =-即222a -时，()0f x '恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，②当△280a =->时，即a >或a <-时，方程2210x ax -+=的两根分布为1x ，2x =()i 当a >时，10x =>，20x >，结合二次函数的性质可知，x ∈时，()0f x '>，函数单调递增，(x ∈ 时，()0f x '<，函数单调递减，当x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数单调递增，()ii a <-10x =<，20x =<， 结合二次函数的性质可知，(x ∈ 0，)+∞时，()0f x '>，函数单调递增，（2）因为()sin x g x e x =-，则()cos x g x e x '=-，当0x >时，1x e >，cos 1x ，则()cos 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上单调递增且(0)10g =>， 故()g x 在(0,)+∞上没有零点，因为1()()(()2)()()h x g x f x x g x alnx x=-=-+有两个零点， 所以1()F x alnx x=+在0x >时有两个零点， 21()ax F x x -'=，0x >， 当0a 时，()0F x '<，故()F x 在(0,)+∞上单调递减，最多1个零点，不合题意；当0a >时，易得，函数()F x 在1(0,)a 上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增， 又0x →时，()F x →-∞，x →+∞时，()F x →+∞，故1()0F a alna a=-<， 解可得，a e >．综上可得，a 的范围(,)e +∞．10．已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有且仅有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解析：（1）当1a =时，()(1)1x f x e ln x =-+-，1()1x f x e x '=-+，1x >-， 显然()f x '在(1,)-+∞单调递增，且(0)0f '=，∴当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴在0x =处取得极小值(0)0f =，无极大值．（2）函数()f x 有两个零点，即()0f x =有两个解，即()(1)(1)x x ae ln ae ln x x +=+++有两个解，设()h t t lnt =+，则1()10h t t'=+>，()h t 单调递增， 1(1)x ae x x ∴=+>-有两个解，即1(1)xx a x e +=>-有两个解． 令1()(1)x x s x x e +=-，则()xx s x e '=-， 当(1,0)x ∈-时，()0s x '>，()s x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0s x '<，()s x 单调递减． (1)0s -=，(0)1s =，当0x >时()0s x >，01a ∴<<．。
人教版高数必修一第8讲：函数的零点与二分法(学生版)
函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
第10讲放缩法赋值找零点(原卷版)
第10讲放缩法赋值找零点在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下：1 .直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如/(0)⑴，/(e)等.2 .参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如/⑴=0e"+31nα,这时，无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号.3 .双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号.参数放缩赋值法参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下：第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用臼费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤.第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点，则往大放缩.第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围.【例1】函数/(x)=gογ2+2χ+(2-q)∙lnx,若曲线Uy=∕(x)在点x=l处的切线/与C有且只有一个公共点，求正数”的取值范围.【例2】函数/(x)=In0r(αeR).若方程/(x)=f有解，求〃的取值范围.【例3】已知函数f(x)=αe*+%2(°eR),若/(χ)在R上有且只有一个零点，求。
的取值范围.【例4】函数/(x)=InX-αv,其中α≤'为实数，求/(x)的零点个数，并证明你的结论.双量最值放缩赋值法如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值，结合函数单调性来判定函数的符号.【例1】设函数∕")=e2x-Hnx,讨论广。
函数的零点课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
如图①（不满足“连续”）和图②（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上不存在零点.
①
②
③
④
（2）函数零点存在定理只是给出了存在零点的充分条件，不是必要条件，即在［a，b］上不满足“连续”“异号”
这两个条件的函数y＝f（x），在区间（a，b）上依然可能存在零点.如图③（不满足“连续”）和图④（不满足“异
【解析】（1）易知f（x）＝2x+3x的图象是连续不断的，且 f（x）为增函数.
23
5
∵ f（-2）＝2-2+3×（-2）＝- 4 <0，f（-1）＝2-1+3×（-1）＝-2<0，
f（0）＝20+3×0＝1>0，∴ f（-1）·f（0）<0，∴ f（x）的零点所在区间为（-1，0）.
（2）∵ f（x）在（1，2）上单调递增，f（1）＝1-a，f（2）＝2-2，
（3）对称轴位置：对称轴直线x＝-2与区间端点的位置关系；
（4）区间端点函数值的符号.
高中数学
必修第一册
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示例 若关于x的方程x2-4x+a＝0有两个不相等的正根，则a的取值范围为
（0，4）
.
【解析】（方法1）∵ 方程x2-4x+a＝0有两个不相等的正根，设为x1，x2，
> 0,
A. 1
B. 2
C. 3
2 + 2 − 3, ≤ 0,
（2）函数f（x）＝
的零点个数为
− 2 + ln , > 0
2
D. 4
.
【解析】（1）（方法1）∵ 函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，
10零点定理
3.4.4、零点1、零点的概念：对于函数(),y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f x =，那么就把x c =叫做函数(),y f x x D =∈的零点．函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的解，也就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标．2、零点的求法：求函数的零点一般采用二分法：所谓二分法即通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值的方法． 二分法的理论依据是零点定理．3、零点定理及其推论：零点定理：如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．零点定理的推论：特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．例1 求函数2231211x x y x x-=+---的零点．例2 对于函数()(21)31g x k x k =+-+，（1）若1x =是其零点，求k 的值；（2）若在区间[1,0]-上存在零点，求k 的取值范围．例 3 用二分法求函数32()231828f x x x x =--+在区间(1,2)内的零点（精确到0.1）例 4 已知函数22(31)91y mx m x m =--+-，若它在区间(1,2)中仅有一个零点，求实数m 的取值范围．例5 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求实数a 的取值范围．练习1、函数2()23f x x x =--的零点是_________．2、命题“函数()f x 的零点可以有无穷多个”是_________命题（用“真”或“假”填空）．3、若函数3()23f x x ax =+-的一个零点为1-，则实数a 的值为_________．4、若函数()1f x kx =+在区间(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是_________．5、函数3221y x x x =--+在区间(2,3)上的零点是_________．（精确到0.1）6、若函数()f x 为偶数，且在定义域上存在零点，则零点的个数一定为偶数，此命题是______命题（用“真”或“假”填空）．7、函数32()1f x x x x =-+-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、函数3()2f x x x =+-的零点是（ ）A ．1B ．1或2-C ．1或2D ．1或2±9、下列函数中，无零点的函数是（ ）A ．2()31f x x x =+-B ．()f x =C ．3()2f x x x =-D ．42()1f x x x =++10、函数21y ax a =++在[1,1]-上无零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-或13a >- B ．1a <- C ．13a >- D ．0a = 11、用二分法求32()452169140f x x x x =-+-在区间(1,2)内的零点（精确到0.1）．12、已知函数2=+-在区间(1,0)()23f x kx kx-上仅有一个零点，求实数k的取值范围．13、函数2=+-在R上无零点，求实数a的取值范围．()1f x ax ax。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
10 第10讲 函数与方程
第10讲函数与方程1．函数的零点[注意]函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yA．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是方程x 12－⎝⎛⎭⎫12x＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝⎛⎭⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点个数．在同一个坐标系中作出两个函数的图象(图略)，可得交点个数为1.已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋m ），x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是____________．解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，所以m ＝－1，所以f (f (4))＝f (log 23)＝2log 23＝3. 答案：3已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)【解析】 因为f ′(x )＝1x ＋2x 2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法1．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0所以f (－1)·f (0)<0.2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2) C．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2的图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：所以函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x <0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2，或x ＝0(舍去)．所以当x <0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (2)＝e 2－4>0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.函数零点的应用(师生共研)(1)(数形结合思想)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.(2)因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点， 所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝(2x －12)2－14，因为x ∈[－1，1]，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 所以⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－14，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法1．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.2．(2019·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，0. 答案：⎝⎛⎦⎤－14，0直观想象——求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.【答案】 B本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |， 设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的平行折线系， 折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.[基础题组练]1．(2019·福州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.2．函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间可以是( ) A ．(0，1) B ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C.函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，所以函数f (x )的零点所在的区间可以是(1，2)．故选C.3．(2019·辽宁大连模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.5．(2019·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝⎛⎭⎫13x的零点是－2，则实数m ＝________． 解析：依题意有f (－2)＝m ＋⎝⎛⎭⎫13－2＝0，解得m ＝－9. 答案：－96．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：37．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．8．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a<0.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·郑州市第一次质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，故选A.2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)，若当0<a <b 时，f (a )＝f (b )，则1a ＋1b 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D.14解析：选B.因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），所以f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，则1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.3．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5.故k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)4．(应用型)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是____________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是以2为周期的周期函数，又f (x )为偶函数，故函数在[－2，3]上的图象如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a 满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即25<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫25，235．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．6．(创新型)已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。
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第10集函数的零点
函数的零点问题常常可以分成三类问题：一是判断函数零点所在的区间，由零点存在定理完成；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数，求参数的取值范围。
已知函数的零点，求参数的取值范围常用的方法有以下几种：
（1）直接法：直接解方程，求得根，或者通过解不等式确定参数的取值范围。
（2）分离参数法：先将参数进行分离，转化为求函数的值域问题加以解决。
（3）数形结合法：先对解析式进行改写，在同一坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求得参数的取值范围。
一·套路
二·脑洞
本题首先根据自变量的取值范围，分离参数，转化为函数的值域问题；然后分离常数得到两个对勾函数，将问题转化为对勾函数与直线的交点问题；最后作出函数的图象，通过数形结合求得参数的取值范围。
值得说明的是，对勾函数是高考中的热点，因此，对于对勾函数的图象和性质务必十分熟悉。
当然本题不采用分离常数得到对勾函数，而借助导数求解也是可以的。
三·迁移。