S4 S5的子群要点
第5节子群
近世代数
典型子群的实例:中心C
定义2.2 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明 ab1与G中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 注：对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可 交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它 9/14 的中心是{e}.
6/14
近世代数
子群判定定理2
定理2.2 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得 a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
近世代数
5.2 子群与生成子群
子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群Байду номын сангаас
3/14
近世代数
子群
定义2.1 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子 群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作H(G). 例如: nZ (n是自然数) 是整数加群(Z,+) 的子群.
则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群.
解 令A, B, C, D分别为
1 0 i 0 0 1 0 i 0 1 ， 0 i , 1 0 , i 0
第11讲第2章第8节子群
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。
3．交通通讯变化的影响 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ，出行 方式转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。
(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活 多。姿多彩
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
子群
（IV ）子群一、定义及例子定义☆设G 是群，则},|{)(G x xa ax G a G C ∈∀=∈=【称为群G 的中心（Center ）】，则G G C ≤)(二、判定方法判法1：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈∀∈∈∀∈-（逆元）（单位元）封闭H a H a H e H b a H ab 1,)(,, 判法2：H b a H ab G H G H ∈∀∈⇔≤⊆≠Φ-,,1则设判法3：H b a H ab G H H G H ∈∀∈⇔≤∞<⊆≠Φ,,||,则设【看来，有限集合只需要封闭就够了】·来生成。
决定的的因子的子群可以由则加群】生成，可以且的所有子群为则子群理论分类，设【按照有限阶循环群的的子群：][r n ]1[}|1|){(),(,0)(r r Z Z n r n r a G a G n a o Z n n n ≤≤=>=三、生成子群H S HS G S ⊆=⊆≠Φ)(S S S ,1），即并记为（生成的子群，子群为由的所有子群中，最小的称含、定义：设 ①子群的交是子群②子群的并未必是子群},1,|...{22211N n ti s si s s s S tn n t t ∈±=∈）中的元素、（·特别地⎩⎨⎧∞===∈==→=---)(,...},,,,,{...,)(},,...,,{}|{)()(}{},{2121a o a a e a a m a o a a e Z i a a S a a S m i ）【不好看】简记（Eg.S={a,b},且ab=ba（{a,b}）=(a,b)={a i b j |i,j ∈Z }例如在（Z ,+）,(2,3)={2Z+3Z }=2Z +3Z ={2n+3m|n,m ∈Z }=Z。
六阶群的结构：从三阶子群开始
六阶群的结构：从三阶子群开始六阶非循环群只有一种结构，由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。
我们已经做过论证，一个包含二阶子群的六阶非循环群必定由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。
如果一个六阶非循环群包含一个三阶子群，这个六阶群会有怎样的结构？根据子群的性质，六阶群能够包含的最高阶的子群是三阶子群。
一个三阶群有三个互不相同的群元：。
假定有一个六阶群包含了作为子群，那么，就必定存在一个群元并且。
用构造的左陪集，根据陪集的性质可以判断：接下来让我们仔细分析，一个包含三阶子群的六阶群的可能的结构。
为了得到这样的六阶群的结构，先在形式上列出这个六阶群的乘法表：在这个乘法表中，用红色标记的位置是未确定的。
我们要用这个乘法表分析这三个群元的性质，把那些未确定的位置确定下来。
我们从找这三个群元的逆开始。
我们知道，寻找互逆群元的方法很简单：在乘法表中找出一个单位群元，与这个单位群元所在行的标题列和所在列的标题行对应的一对群元互逆；我们还知道，乘法表的每一行和每一列只存在一个单位群元。
从上面列出的形式上的乘法表可以看出，第 1,2,3 行和第 1,2,3 列相交的左上角那一块区域已经存在单位群元，这块区域所对应的互逆群元是和，因此，我们只能在第4,5,6 行和第4,5,6 列相交的右下角那一块区域中寻找。
在这一块区域中，单位群元处于哪一个位置并未确定，我们的目的就是要找出这些位置。
先看第4 行，由于，两边取平方得出，因此，；同样的道理，由得出，从而。
因此，在这一行中只能有，于是，，，这样，第4 行就确定下来了。
再看第 5 行，由导致，两边右乘得，两边再右乘，利用得，由此进一步得到。
由于，由第 2 行马上可以判断：，这一行也就确定了。
对同时左乘和右乘得到，第 3 行又确定下来了。
对的两边左乘得到，两边再右乘或就得到，，于是，第 5 行也确定下来了。
有了上面的结果，对第6 行就不用再做分析了，直接用或就可以得到，两边再右乘或就得到，，这样就把这一行确定下来了。
第五章 3群与子群
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
所以b必定出现在对应于a的那一行中。 由定理5-3.2（独异点的运算表中没有两行或两列是相同的） 便可得出结论。
由定理5-4.7可知，当G分别为1、2、3阶群时， 运算都 只有一个定义方式(即不计元素记号的不同，只有一张定 义 运算的运算表，分别如表1、表2和表3所示)，于是可 以说，1、2、3阶的群都只有一个。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定义5-4.2 设〈G， 〉是群。 (1) 如 果 G 是 有 限 集 ， 则 称 〈G ， 〉 为 有 限 群 (Finite Group) ，G中元素的个数|G|通常称为该群的阶数(Order) ； (2) 如 果 G是 无 限 集， 则 称 〈G， 〉 为无 限 群 (Infinite Group) 。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
(3) 对n进行归纳。(an)-1=(a-1)n n=1时命题显然真。设n=k时，(a-1)k是ak的逆元，即(ak)-1=(a1)k，那么
ak+1 (a-1)k+1=ak (a*a-1) (a-1)k =ak (a-1)k=e
(a-1)k+1 ak+1=(a-1)k (a-1 a) ak =(a-1)k ak=e
若 j-i =1，则 e=a，即a是幺元，而幺元的逆元是其自身。
可结合性在S上自然满足。
故 S, 是群，即就是G,
的子群。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups) 的子群是：
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定理5-4.10 设 G,
正规子群与商群
G/H={a | a∈G }。
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定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法:
aH，bH∈G/H， aH·bH ={ah1bh2|h1，h2∈H}
是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH·H=H ·aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推2论0213/8/有6 限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End9
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
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例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0,1,2,,m1 }， 即整数模m的同余类群。
一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
§2.2 正规子群与商群
( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
(2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H
(4) a ∈G，有aHa-1= H
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(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
近世代数--13子群42页PPT文档
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
iI
iI
(集).
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§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
模8加法的包含5的子群
模8加法的包含5的子群摘要：一、模8 加法的概念二、5 的子群及其性质三、模8 加法中5 的子群的运算四、5 的子群在模8 加法中的应用正文：模8 加法是一种在模8 意义下的加法运算，它的运算对象是整数，运算结果也是一个整数。
这种加法可以简化很多整数运算问题，使得一些复杂的问题变得容易解决。
在模8 加法中，5 是一个重要的子群。
子群是群论中的一个概念，它是指群G 的一个子集H，满足H 中的元素经过群运算后仍然在H 中。
5 的子群可以表示为{5, 0, 1, 2, 3, 4}，它在模8 加法中具有很多特殊的性质。
首先，5 的子群的运算具有封闭性。
也就是说，子群中的任意两个元素相加，其结果仍然是子群中的元素。
比如，5 + 3 = 8，8 是子群中的元素；0 + 5 = 5，5 也是子群中的元素。
其次，5 的子群具有结合律。
也就是说，子群中的元素相加，不论加法的顺序如何，其结果都是相同的。
比如，(5 + 3) + 1 = 5 + (3 + 1)，结果都是8。
再次，5 的子群具有单位元。
单位元是指一个元素与其逆元的和等于1。
在模8 加法中，5 的单位元是5，因为5 + 5 = 10，10 除以8 的余数是2，2 就是5 的逆元。
最后，5 的子群具有逆元。
逆元是指一个元素与其逆元的和等于0。
比如，5 的逆元是3，因为5 + 3 = 8，8 除以8 的余数是0。
5 的子群在模8 加法中有着广泛的应用。
比如，我们可以用5 的子群来简化模8 加法的问题。
如果我们要计算a + b mod 8，其中a 和b 都是整数，我们可以先将a 和b 分别转换成5 的子群中的元素，然后进行加法运算，最后再将结果转换回模8 意义下的整数。
S5的子群
S5的子群赵俊锋;王飞;贾有【摘要】小阶数对称群在有限群论研究中具有重要的作用,但随着n的增大,结构也越复杂.文章利用传递与正规性计算出了S5的所有子群,并给出了严格的证明.【期刊名称】《长治学院学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】共轭类;n次对称群;长度【作者】赵俊锋;王飞;贾有【作者单位】忻州师范学院专科部,山西忻州,034000;长治学院,数学系,山西长治,046011;忻州师范学院,专科部,山西忻州,034000【正文语种】中文【中图分类】O211.4对称群在群论发展史上起着十分重要的作用，关于对称群Sn子群的研究，文献［1］研究了S4子群的个数。
文献［2］研究了对称群S4及其正规子群的若干性质。
但当n>4时，对Sn的研究大部分都是借助于计算机编程来实现的。
例如文献［3］利用计算机给出了S5所有幂零子群和可解子群，文献［4］［5］利用计算机研究了S5的基本性质，本文经过计算并通过严格的证明给出了S5的所有子群。
定理 S5共有156个子群，可分为19个共轭类：平凡子群有两个共轭类：｛1｝，｛S5｝长度都为1；2阶子群都同构于C2，可分为2个共轭类，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,长度为10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为15；3阶子群都同构C3，有1个共轭类，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为10；4阶子群有3个共轭类，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，长度为15；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15；｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，长度为 5；其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）（24）＞≌C2×C25阶子群都同构于C5，有1个共轭类，即：｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为 6；6阶子群有3个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；其中 S｛1，2，3｝≌S3，＜（12），（345）>≌C6，＜（12），（34），（345）>≌S38阶子群都同构于D8，有1个共轭类，即：｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，长度为 15；10阶子群都同构于D10，有1个共轭类，即：｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，长度为 6；12阶子群有两个共轭类，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5；｛（S｛1，2｝×S｛3，4，5｝）｝，长度为10；其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝×S｛3，4，5｝≌S2×S320阶子群都同构于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1个共轭类，｛＜（12345）（|2354）＞g|g∈S5｝，长度为 6；24阶子群都同构于S4，有1个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为 560阶子群有1个共轭类，即：｛A5｝，长度为1.证明由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，知S5中元素可分为7个共轭类，分别为：（｛1）｝；因为S5=120，由Largrange定理可知S5的子群的阶可能为：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
1.4群的各种子集
（2）陪集与子群没有公共元素 证明：假设左陪集与子群有公共元素
1 R j S S R j S S H
（S ）
1
与前提 R j H 矛盾
注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群 （3）陪集中没有重复元素 证明：若有重复元素
R j S R j S S S H
2
二、陪集和不变子群 1. 陪集（旁集）
定义：设群G的阶为g，有子群H的阶为h
H
G
Rj
H={S1,S2,...,Sh}, S1=E
任取群G中不属于子群H的元素Rj， 把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集 RjH={Rj,RjS2,...,RjSh} HRj={Rj,S2Rj,...,ShRj}, （R j G, R j H） 则RjH称为子群H的左陪集 HRj 右陪集
9
例：C4v群
子群 H1={E,C4,C42,C43} d=g/h=8/4=2 不变子群 左（右）陪集：{mx,my,σu,σv}
S R
E
C4 C42 C43
E
E
C4 C42 C43
C4
C4
C42 C43 E
C42
C42
C43 E C4
C43
C43
E C4 C42
mx
mx
σv my σu
my
my
σu mx σv
H G R1H
6
R2H
（5）群G中两元素R和T属于同一个左陪集的充要条件是
R 1T H
群G中两元素R和T属于同一个右陪集的充要条件是
TR 1 H
证明：充分性（左 到 右）
R 1T H
R 1TH H
结构化学基础课件 第四章 分子的对称性
②第二步，进行右上角的乘法， 分子进行 反映，N和H1保持不变，H2与H3互换位置，
再绕 轴旋转120度，则N还是不变，H2到H1 位置，H1到H2位置，H3回到原位置，两个操 作的净结果，相当于一个 镜面反映……可
写出右上角的九个结果。
③同理也可写出左下角的九个结果。旋转操 作和反映操作相乘，得到的是反映操作；两 个旋转操作相乘和两个反映操作相乘得到的 是旋转操作。
学时安排 学时----- 4学时
第四章.分子的对称性
对称 是一种很常见的现象。在自然界
我们可观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣 的水仙花、雪花、松树叶沿枝干两侧对称， 槐树叶、榕树叶又是另一种对称……在人工 建筑中，北京的古皇城是中轴线对称。在化 学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对 称性，有时会感觉这个分子对称性比那个分 子高，如何表达、衡量各种对称？数学中定 义了对称元素来描述这些对称。
I1 S2 i
S1
I
2
I2 S1
S2 I1 i
I3
S
6
C3
i
S3
I
6
C3
I4 S4
S4
I
4
I5 S10 C5 i
S5 I10 C5
I6 S3 C3 S6 I3 C3 i
负号代表逆操作，即沿原来的操作退回去的操作。
S4 S6
对称元 素符号
E Cn
I1n=iC1n 4.1.5.映轴和旋转反映操作
映轴S1n的基本操作为绕轴转3600/n， 接着按垂直于轴的平面进行反映，是C1n和 σ相继进行的联合操作：
S1n=σC1n
如果绕一根轴旋转2/n角度后立即对垂直于这根轴的一 平面进行反映，产生一个不可分辨的构型，那么这个轴就
循环群子群讲解学习
例 2 模 n 剩余类加群 Z n {[0],[1],[2], ,[n 1]} 中的运算是
“钟表加法”，易知 Z n 中每个元素[m]都是[1]的倍数: [m] [1][1] [1] m [1]
m
上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素， 使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法 群，所以用倍数 . 如果是乘法群，则应是方幂）。于是， 下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。
例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其 余元素的阶均无限．
例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是2， i与-i的阶都是4．
2．群中元素的阶的性质
性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。
循环群子群
二、群中元素的阶
前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利 用单位元e，引入另一个新概念。
1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等
式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的 m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。
证 事实上
（1） i,j G ,(i j) 3 i3j3 1 1 1 i j G .
（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）.
（3）0=1是G中的单位元.
（4）0的逆元是0，1与2互为逆元.
所以< G , ○ >为一个乘法群。不仅如此，我们还知：
0 1,1 2 3。
教学手段与方法
离散数学-5-4 群与子群
本课小结
群 有限群、无限群 置换 等幂元 子群
作业
已知：R*是非零实数集，在R*中定义运算⊙，
对任意的a、b∈R*，a⊙b＝ab/2
证明： <R* ,⊙>是一个群。 已知：设S= R-{-1}，S上定义运算为：
a b=a+b+ab
证明：<S，>是群。
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 称为S的一个置换。 例：集合S={a, b, c, d}置换为ab, bd, ca, dc 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
a b b d c a d c
定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。 其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。 再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
定理5-4.3 设<G，>是一个群，对于任意a,b,cG，如果a b = a c 或者b a = c a，则必有 b = c (消去律)。 证明：设a b＝a c,且a的逆元a-1，则有 a-1 (a b )＝ a-1 (a c ) (a-1 a ) b ＝ (a-1 a ) c eb ＝e c b＝c 当b a = c a时，可同样证得b = c 。
08 子群
第八节 不变子群与商群基本概念：不变子群，商群.重点、难点：不变子群的判定，不变子群与商群的关系.一 概念本节主要讨论一下一类重要的子群—不变子群. i.e.左右陪集均相等的子群.定义2.8.1 设N 是群G 的子群，若对G a ∈∀，均有Na aN =，则称N 是群G 的不变子群或正规子群,记作G N <.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.例1 ①G G < ； ②G e <}{①G a ∈∀，}{}{G g ga Ga G G g ag aG ∈===∈=②G a ∈∀，a ea ae ==例2 交换群G 的任何一个子群都是G 的正规子群.例3设G 是群.记},{)(ab ba G b G a G C =∈∀∈=，可以证明)(G C 为G 的一个子群，称为群G 的中心.①φ≠⇒∈)()(G C G C e②)()()()()()()()(,)(,1111G C ab ab g b ga b ag gb a bg a g ab G C b g b gb gb b g gb bg gaag G g G C b a ∈⇒=====⇒⎭⎬⎫∈⇒=⇒=⇒==∈∀⇒∈---- 易证G G C <)(.例 4 3S G =，则G N <)}132(),123(),1{(=.证 G N ≤)1( aN Na G a =∈∀,)2(. （Page74,例４）注 不变子群的定义中的“Na aN =”是指两个集合相等，而不是指“N n na an ∈∀=,”.二 判别准则先介绍集合乘积的概念定义2.8.2 设m S S S ,,,21Λ为群G 的m 个子集合，用记号},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m ΛΛΛ=∈=称为集合m S S S ,,,21Λ的乘积.定理2.8.1 设N 是G 的子群，则T.F.A.E. :（1）G N <；（2）N n G a N ana ∈∀∈∀∈-,,1；(3) G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1)(4) G a N aNa ∈∀=-,1； (5)N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.证 (1)⇒(2)：N n anaa n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,(2)⇒(3): 显然(3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ，故N aNa =-1(4)⇒(1)：aN aNe a aNa Na N aNaG a ===⇒=∈∀--)(,11(1)⇒(5)：显然 (5)⇒(1)：,G a ∈∀则Nb aN t s G b =∈∃..,Θ Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a prop =⇒≠⋂⇒⋂∈⇒⎭⎬⎫∈=∈2.7.2φ 故aN Na =,即G N <.注 由此判别定理可以导出许多关于不变子群的性质，这里不作介绍了.如1.G HN G N G H ≤⇒≤<,2.⎩⎨⎧⋂⇒G MN G N M G N G M <<<<, 3.正规子群不具有传递性，即3221,N N N N <<推不出31N N <，但有传递性2131321,N N N N N N N <<⇒⊆⊆4.,G H ≤记}|{)(Ng gN G g H N G =∈=三 商群下面讨论不变子群N 的所有陪集之集.定理2.8.2 设,G N <令}|{/G a aN N G ∈=，规定：N G bN aN N ab bN aN /,,)()()(∈∀=⋅则),/(⋅N G 是一个群，称为G 关于N 的商群.证 (1)• 是N G /的一个代数运算，即证与代表元的选取无关：假设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=⇒⎭⎬⎫==--Nn b b N n a a bN N b aN N a 21111111， 又Θ3111311..,n b b n t s N n Nb N b G N =∈∃⇒=⇒<于是N n n n b b b n b b a a b b a ab ∈=====-----323111*********)()(，从而N b a N ab )()(11=， ∴)()()()(11N b N a bN aN ⋅=⋅(2)),/(⋅N G 为一个群：(Ⅰ)封闭性：显然(Ⅱ)结合律：N G cN bN aN /,,∈∀，有N c ab cN N ab cN bN aN ))(()()(=⋅=⋅⋅N c ab N bc a N bc aN cN bN aN ))(())(())(()(===⋅⋅(Ⅲ)单位元：N G aN /∈∀，)()()()()()(eN aN N ae aN N ea aN N e ⋅====⋅ (Ⅳ)逆元：,/,/1N G N a N G aN ∈∃∈∀-使得)()()()()(111aN N a eN N aa N a aN ⋅===⋅---故),/(⋅N G 为一个群.注 商群N G /中一定要求“G N <”.（否则不知道是左陪集还是右陪集之集） 推论2.8.3 ]:[|/|N G N G =，特别地，当∞<||G 时，有||/|||/|N G N G =. 例5 设.,,N km G mZ N Z G ∈==< 则]}1[,],0{[/-=m mZ Z Λ，|]:[ .m/mZ=|ZNZ=作业：Page 74 第1题，第3题，第4题，第5题。
第5讲 群和子群
a0 e a n 1 a n a a n ( a 1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中 结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m a k a mk ( a m ) k a mk
<G , *>为半群 <G , *>为独异点 <G , *>为群
(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统<G, *>为群。
(2) G上运算*可结合：对所有的a, b, c∈ G有，(a*b)*c=a*(b*c)
一、半群、独异点和群
对群 <G , *>，
(1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。
(2) 若G是无限集，则称<G , *>为无限群 (infinite group)
若 G是有限集，则称<G , *>为有限群
(finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。
例1 (1) <I, +,0>是阿贝尔群，无限群 (2) 代数<Nk, +k, 0>是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。
(3)对任意a,b ∈S,因为b-1∈S,所以a * b =a* (b-1)-1 ∈S。
四、群同态
群同态的定义
设<G, *>和<H,⊙>是两个群, 映射h: G→H称为从<G,*>到<H,⊙>的、
群论中的群与子群概念
群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是关于集合上的运算的代数系统。
而群与子群则是群论中的两个基本概念。
首先，我们来谈谈群的概念。
群是由一个集合以及一个运算组成的代数结构。
这个运算满足四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素。
封闭性指的是任意两个元素进行运算后的结果仍然属于群的集合中。
结合性是指群中任意三个元素进行运算时，先进行其中两个元素的运算，再与第三个元素进行运算，结果应该与先将后两个元素进行运算后再与第一个元素进行运算的结果相等。
单位元素是指在群中存在一个特殊的元素，与群中的任意元素进行运算后，结果不变。
逆元素则是指群中的每个元素都有一个特殊的元素与之进行运算后，结果为单位元素。
群的例子有很多，例如，整数集合{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}构成了一个群，其中的运算是加法。
在这个群中，0是单位元素，任意整数n的逆元素是-n。
另一个例子是二阶对称群S2，它是由两个元素e和s组成，其中e是单位元素，s的平方等于e。
可以发现，群的定义非常广泛，不同的群可能有不同的性质和结构。
接下来，我们来讨论子群的概念。
子群是一个群的一个子集，同时也是一个群。
即子群继承了原群的运算，并且满足群的四个基本性质。
如果一个子集满足封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素这四个性质，那么我们就可以称它为原群的子群。
当然，子群中的单位元素和逆元素都是继承自原群中的。
子群在群论中有着重要的地位，它可以帮助我们研究群的结构和性质。
通过寻找原群的子群，我们可以将复杂的群分解为更简单的子群，进而更方便地分析群的性质。
有时候，我们可以通过子群的性质来推导出原群的性质，或者通过研究子群中的元素来了解原群的特点。
子群的例子也有很多。
例如，对于整数群，它的所有偶数构成的集合{…, -4, -2, 0, 2, 4, …}就是一个子群。
因为任意两个偶数相加还是偶数，单位元素是0，并且每个偶数的相反数依然是偶数。
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S4及其子群S4的元已知|S4|=24及S4的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C42+21( C42•C22)=9个，即：(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；3阶元：形式为（abc）,共有C43A22=8个，即：(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；4阶元：形式为（abcd）,共有C44A33= 6，即：(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；S4的子群因为|S4|=24，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为|24|=23×3，根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。
1阶子群：N1={（1）}，为一共轭类。
2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即：N2=<(12)>={（1），（12）}，N3=<(13)>={（1），（13）}，N4=<(23)>={（1），（23）} ，N5=<(24)>={（1），（24）} ，N6=<(14)>={（1），（14）} ，N7=<(34)>={（1），（34）} ，N8=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，N9=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，N10=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，其中N2至N7为一共轭类，N8至 N10为一共轭类。
3阶子群：由S4的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元可以组成一个子群，而S4的3阶元有6个，所以S4的3阶子群有3个，且为一共轭类，即：N11=<(123)>={（1），（123），（132）} ，N12=<(134)>={（1），（134），（143）} ，N13=<(124)>={（1），（124），（142）} ，N14=<(234)>={（1），（234），（243）} ，4阶子群：（循环群和非循环群）循环群：由S4的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S4的4阶元有三对互逆的元，故4阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：N15=<(1234)>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，N16=<(1324)>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，N17=<(1243)>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即：N18={（1），（12），（34），（12）（34）} ，N19={（1），（13），（24），（13）（24）},N20={（1），（14），（23），（14）（23）}，和N21={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故8阶子群有3个，且为一共轭类，即：N22={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），（14）（23）}，N23={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），（14）（32）}，N24={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），（13）（24）}，24阶子群：即N25=S4以上为S4里必存在的子群，下面讨论S4里可能存在的子群：6阶子群：因为S4包含着S3，故S4必有同构于S3的一类6阶子群，而同构于S3的S4的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S4的6阶子群有4个，且为一共轭类，即：N26={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，N27={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，N28={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，N29={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，12阶子群：若S4有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、4阶子群和3阶子群，经计算，S4的12阶子群只有一个，即：N30={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。
综上，S4共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理6知S4的1阶子群，N21，12阶子群和24阶子群为正规子群。
§3.2 S5的元已知|S5|=120及S5的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（abcde），（ab）（cd），（ab）（cde）其中a，b，c，d，e∈{1,2,3,4,5}1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）=(e),所以1阶元有1个，即单位元（1）；2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C52+21( C52C32)=25个，即：（12），(13),(14)，(15)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45),(12)(34)，(12)(35),(12)(45),(13)(24),(13)(25),(13)(45)(14)(23),(14)(25)(14)(35) (15)(23),(15)(24),(15)(34),(23)(45)，(24)(35),(25)(34)；3 阶元：形式为（abc）,共有C53A22=20个，即：（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，(145)， (152)，(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)，(254)，(345)，(354)；4阶元：形式为（abcd）,共有C54A33= 30，即：(1234)，(1235)，(1243)，(1245)，(1253)，(1254)，(1324)，(1325)，(1342)，(1345)，(1352)，(1354)，(1423)，(1425)，(1432)，(1435)，(1452)，(1453)，(1523)，(1524)，(1532)，(1534)，(1542)，(1543)，(2345)，(2354)，(2435)，(2453)，(2534)，(2543)；5阶元：形式为（abcde）,共有C55A44= 24，即：(12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)， (13245)，(13254)，(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)， (14325)，(14352)，(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)， (15423)，(15432)；6阶元: 形式为（ab）（cde）,共有C52C33A22=20，即：(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253), (15)(234)，(15)(243),(23)(145)，(23)(154) , (24)(135), (24)(153)，(25)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142), (45)(123)，(45)(132);§3.3 S5的子群因为|S5|=120，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20, 24,30,40,60,120，又因为|120|=23×3×5，根据sylow定理，S5必存在2阶、3阶、4阶、5阶和8阶子群，另S5有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。
下述S5的各个阶子群的情况：1阶子群：S5的一阶子群为平凡子群，只包含单位元（1），即H={(1)}。
12阶子群：由S5的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元，由定理2，可知另一个元必为2阶元，因为S5共有25个二阶元，所以S5共有25个2阶子群，其中分为两个共轭类，第一个共轭类为：=<(12)>={(1)，(12)}，H1=<(13)>={(1)，(13)}，H2H=<(14)>={(1)，(14)}，3H=<(15)>={(1)，(15)}，4=<(23)>={(1)，(23)}，H5=<(24)>={(1)，(24)}，H6=<(25)>={(1)，(25)}，H7=<(34)>={(1)，(34)}，H8H=<(35)>={(1)，(35)I，9=<(45)>={(1)，(45)}；H10第二个共轭类为：H11=<(12)(34)>={(1)，(12)(34)}，=<(12)(35)>={(1)，(12)(35)}，H12=<(12)(45)>={(1)，(12)(45)}，H13H=<(13)(24)>={(1)，(13)(24)}，14=<(13)(25)>={(1)，(13)(25)}，H15H=<(13)(45)>={(1)，(13)(45)}，16=<(14)(23)>={(1)，(14)(23)}，H17=<(14)(25)>={(1)，(14)(25)}，H18=<(14)(35)>={(1)，(14)(35)}，H19H=<(15)(23)>={(1)，(15)(23)}，20=<(15)(24)>={(1)，(15)(24)}，H21H=<(15)(34)>={(1)，(15)(34)}，22=<(23)(45)>={(1)，(23)(45)}，H23=<(24)(35)>={(1)，(24)(35)}，H24H=<(25)(34)>={(1)，(25)(34)}。