2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
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2.小题热身
(1)若集合 A={ x|- 2<x<1} ,B={ x|x<-1 或 x>3} ,则 A∩B= ( )
A.{ x|-2<x<-1}
B. { x|-2<x<3}
C.{ x|-1<x<1} 答案 A
D. { x|1<x<3}
解析 A∩B={ x|-2<x<-1} .
(2)设全集 U={ x|x∈N* ,x<6} ,集合 A={1,3} ,B={3,5} ,则 ?U(A∪B)等于 ()
() A.M N
B. N M
C.M= N
D.以上都不对
答案 A
解析
∵k4π+π4=2
k+1 8
π,k∈Z ,
k8π-π4=k-8 2π,k∈Z ,
π
π
∴任取 x∈ M,有 x∈ N,且 8∈N,但 8?M,
∴M N.
3.已知集合 A= { x|-2≤x≤5} ,B={ x|m+ 1≤ x≤ 2m-1} ,若 B? A,则实 数 m 的取值范围为 ________.
答案 (-∞, 3]
解析 因为 B? A,所以①若 B= ?,则 2m-1<m+1,此时 m<2.
2m-1≥m+1, ②若 B≠?,则 m+1≥- 2,
2m-1≤5.
解得 2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3. 条件探究 1 举例说明 3 中的集合 B 改为 “B={ x|m≤ x≤ m+1} ”,其余不 变,该如何求解?
A.{1,4} B. {1,5} C.{2,5} D.{2,4} 答案 D
解析 ∵U={1,2,3,4,5} ,A∪B={1,3,5} ,∴?U(A∪B)={2,4} .
【免费下载】高中数学步步高大一轮复习讲义文科第1讲 归纳与类比
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第十二章推理证明、算法初步、复数第1讲归纳与类比一、选择题1.观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( ).A.76 B.80 C.86 D.92解析 由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ).A.289 B.1 024C.1 225 D.1 378解析 观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{a n},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…,a n=a n-1+n.∴a1+a2+…+a n=(a1+a2+…1的正方体进行如下操作:第一步,将它分割成个小正方体,接着用中心和8个角的9个小正方体,构成新;第二步,将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都(1)图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块的通项公式;的表达式.行共有1+2+3+ (2)=+3,所以a 317×82,q =,131=,2n -13n -1。
2020版全国高考文科数学一轮复习讲义
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2020版全国高考文科数学一轮复习讲义第47课 推理与证明1.归纳推理的应用a .与数有关的归纳推理(1)(2018湖南长沙测试,5分)已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,按规律,第600个整数对为________.答案:(5,31)解析:由题意得,(1,1),两数的和为2,共1个;(1,2),(2,1),两数的和为3,共2个;(1,3),(2,2),(3,1),两数的和为4,共3个;(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),两数的和为5,共4个……由此猜想:和为n 的有序整数对有(n -1)个.∵1+2+…+(n -1)=()12n n -, ∴当n =33时,1+2+3+…+32=528,当n =34时,1+2+3+…+32+33=528+33=561,当n =35时,1+2+3+…+34=561+34=595.∵第595个整数对后面的有序整数对依次为(1,35),(2,34),(3,33),(4,32),(5,31),∴第600个整数对为(5,31).(2) (2016山东,5分)观察下列等式:⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2=43×1×2; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2=43×2×3;⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2=43×3×4; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2=43×4×5; …,照此规律,⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n +1-2=________.答案:43n (n +1)解析:观察等式右边的特点:均含有因数43,另外两个因数是序号n 和序号n 与1的和,∴第n 个等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n +1-2=43n (n +1).故答案为43n (n +1). b .与图形有关的归纳推理(3)(经典题,9分)如图47-2所示,图(1)是棱长为1的小正方体,图(2),(3)是由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,由上而下分别将第1层,第2层,…,第n 层的小正方体的个数记为S n ,解答下列问题:图47-2(Ⅰ)按照要求填表:(Ⅱ)S 10=________;(Ⅲ)S n =________. 答案:(Ⅰ)10 (Ⅱ)55 (Ⅲ) ()12n n - 解析:(Ⅰ)图(1)有1层,第1层正方体的个数为S 1=1;图(2)有2层,第2层正方体的个数为S 2=1+2;图(3)有3层,第3层正方体的个数为S 3=1+2+3;依次类推,第4个图有4层,第4层正方体的个数为S 4=1+2+3+4=10. (Ⅱ)由(Ⅰ)猜想:第10个图有10层,第10层正方体的个数为S 10=1+2+3+4+5+6+…+10=()1010+12⨯=55. (Ⅲ)由(Ⅰ)猜想:第n 个图有n 层,第n 层正方体的个数为S n =1+2+3+4+5+6+…+n =()12n n -. 2.类比推理的应用(4)(2019汇编,5分)下面给出的类比推理中,结论正确的有________.①若数列{a n }是等差数列, b n =1n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }也是等差数列;类比推出:若数列{c n }是各项都为正数的等比数列, d n =n c 1c 2…c n ,则数列{d n }也是等比数列;②a ,b 为实数,若a 2+b 2=0,则a =b =0;类比推出:z 1,z 2为复数,若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0;③若a ,b ,c ∈R ,则(ab )c =a (bc );类比推出:若a ,b ,c 为三个向量,则(a ·b )·c =a ·(b ·c );④在平面内,三角形的两边之和大于第三边;类比推出:在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;⑤若三角形周长为l ,面积为S ,则其内切圆半径r =2S l ;类比推出:若三棱锥表面积为S ,体积为V ,则其内切球半径r =3V S ;⑥P 为椭圆x 22b 2+y 2b 2=1(b >0)上异于左、右顶点A 1,A 2的任意一点,则直线P A 1与P A 2的斜率之积为定值-12.类比推出:P 为双曲线x 22b 2-y 2b 2=1(b >0)上异于左、右顶点A 1,A 2的任意一点,则直线P A 1与P A 2的斜率之积为定值12.答案:①④⑤⑥解析:①正确:在由等差数列的性质类比推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理乘法,由减法类比推理除法,由算术平均数类比推理几何平均数等.故我们可以类比推出:数列{d n }也是等比数列,这里若数列{c n }是各项都为正数的等比数列,设公比为q ,则d n =12n n c c c =111n n n c c q c q -=()()12311n n n c q ++++-=,故{d n }是公比为的等比数列;②错误:在复数集C 中,取z 1=1, z 2=i ,则满足z 21+z 22=0,但是不满足z 1=z 2=0,故错误;③错误:对于非零向量a ,b ,c ,因为(a·b )·c 与c 共线, a ·(b·c )与a 共线,所以当a ,c 不共线时,(a·b )·c =a ·(b·c )不成立;④正确:在四面体中,三个侧面的面积都大于在底面上投影的面积,而三个投影的面积之和大于或等于底面面积,故三个侧面的面积之和一定大于底面面积;⑤正确:设三棱锥的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径r ,所以V =13S 1r +13S 2r +13S 3r +13S 4r =13Sr ,所以内切球半径r =3V S ;⑥正确:设P (x 0,y 0),则x 202b 2-y 20b 2=1,所以y 20=12(x 20-2b 2). 因为A 1(-2b ,0),A 2(2b ,0),所以12PAPA k k =y 0x 0+2b ·y 0x 0-2b =y 20x 20-2b 2=12(x 20-2b 2)x 20-2b 2=12. 故结论正确的有①④⑤⑥.3.演绎推理的应用a .三段论推理(5)(经典题,5分)有一段“三段论”推理是这样的:函数f (x )在定义域内可导,如果 f ′(x 0)=0,那么x =x 0是函数f (x )的极值点.因为f (x )=x 3满足 f ′(0)=0,所以x =0是函数f (x )=x 3的极值点,以上推理中( )A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .结论正确答案:A解析:大前提“函数f (x )在定义域内可导,如果f ′(x 0)=0,那么x =x 0是函数f(x)的极值点”,不是真命题.正确的表述是“函数f(x)在定义域内可导,如果f ′(x0)=0,且满足在x=x0两侧f′(x)异号,那么x=x0是函数f(x)的极值点”.故选A.b.假言推理(6)(2017全国Ⅱ,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案:D解析:四人所知道的只有自己看到的成绩和老师所说的话及最后甲说的话.从而可以推理:给甲看乙、丙的成绩,甲不知道自己的成绩,说明乙、丙的成绩是一优一良.否则,假定乙、丙的成绩都是优,则甲的成绩是良;假定乙、丙的成绩都是良,则甲的成绩是优,那么甲就知道自己的成绩了.给乙看丙的成绩,上面已经推出乙、丙的成绩是一优一良,所以乙知道自己的成绩和丙的成绩,即乙知道两人的成绩.给丁看甲的成绩,因为乙、丙的成绩是一优一良,则甲、丁的成绩也是一优一良,丁看到甲的成绩,所以丁知道自己的成绩和甲的成绩,即丁知道两人的成绩.故选D.随堂普查练47 Ⅰ1.(2018山东一模,5分)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=⎩⎨⎧35,33=⎩⎨⎧7911,43=⎩⎨⎧13151719,…,仿此,若m 3的“分裂”数中有一个是73,则m 的值为________.答案: 9解析: 由题意,可得m 3的“分裂”数为m 个连续奇数,设m 3的“分裂”数中第一个数为a m ,则由题意可得a 3-a 2=7-3=4=2×2,a 4-a 3=13-7=6=2×3,…,a m -a m -1=2(m -1),以上m -2个式子相加可得a m -a 2=()()42222m m +--=(m +1)(m -2), ∴a m =a 2+(m +1)(m -2)=m 2-m +1(m ≥3,m ∈N),∴当m =9时,a 9=73,即73是93的“分裂”数中的第一个.∴m 的值为9.2.(2018吉林期中,5分)在△ABC 中,不等式1A +1B +1C ≥9π成立;在四边形ABCD 中,不等式1A +1B +1C +1D ≥162π成立;在五边形ABCDE 中,1A +1B +1C +1D +1E ≥253π成立.猜想在n 边形中,成立的不等式为( )A.1A 1+1A 2+…+1A n≥n π B.1A 1+1A 2+…+1A n≥n 2(n +1)πC.1A1+1A2+…+1A n≥n2(n-2)πD.1A1+1A2+…+1A n≥n2(n+2)π答案:C解析:通过观察,发现不等式左边为多边形的各个内角的倒数之和,右边的分子为边数的平方,分母为多边形的内角和,而n边形的内角和为(n-2)π,故猜想在n边形中成立的不等式为1A1+1A2+…+1A n≥n2(n-2)π.故选C.3.(2018安徽池州模拟,5分)分形几何学是美籍法国数学家曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图47-6则第12行的实心圆点的个数是()图47-6A.55个B.89个C.144个D.233个答案:B解析:设第n行中实心圆点的个数为a n,则a1=0,a2=1.当n≥3时,a n =a n-1+a n-2,故各行中实心圆点的个数依次为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,所以a12=89,即第12行中实心圆点的个数为89.4(经典题,5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.答案:1∶8解析:平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们高的比为1∶2,底面积的比为1∶4,故它们的体积比为1∶8.5.(2018商丘模拟,5分)下面三段话可组成“三段论”,则“小前提”是()①因为指数函数y=a x(a>1 )是增函数;②所以y=2x是增函数;③而y=2x是指数函数.A.①B.②C.①②D.③答案:D解析:三段话写成三段论是:大前提:因为指数函数y=a x(a>1)是增函数,小前提:而y=2x是指数函数,结论:所以y=2x是增函数.故选D.6.(2018广西南宁联考,5分)甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知丙的年龄比知识分子大,甲的年龄和农民不同,农民的年龄比乙小,根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B.甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C.甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D .甲是农民,乙是知识分子,丙是工人答案:C解析:由题意可知丙不是知识分子,甲不是农民,乙不是农民,所以丙是农民,丙的年龄比乙小,比知识分子大,所以乙不是知识分子,只能甲是知识分子,所以乙是工人,故选C.普查讲47 Ⅱ 直接证明与间接证明4.直接证明的两种基本方法a .分析法(7)(2018河南模拟,8分)设非等腰△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且A ,B ,C 成等差数列,用分析法证明:1a -b +1c -b =3a -b +c. 答案:见证明过程证明:要证明1a -b +1c -b =3a -b +c, 只要证明()()()2a c b a b c b +---=3a -b +c , 只要证明(a +c -2b )(a -b +c )=3(a -b )(c -b ),只要证明(a +c -b )2-b (a +c -b )=3(ac +b 2-bc -ab ),只要证明a 2+c 2-b 2=ac ,(5分)只要证明cos B =2222a c b ac+-=12, 只要证明B =60°,考虑到A +B +C =180°,所以只要证明A +C =2B ,即证A ,B ,C 成等差数列.因为A ,B ,C 成等差数列,故结论成立.(8分)b.综合法(8)(2017江苏,14分)如图47-9,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.图47-9求证:(Ⅰ)EF∥平面ABC;答案:见证明过程证明:在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.(3分)又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(5分)(Ⅱ)AD⊥AC.答案:见证明过程证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.(8分)因为AD⊂平面ABD,(9分)所以BC⊥AD,(10分)又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC,(13分)又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.(14分)c.分析法和综合法的综合应用(9)(经典题,12分)设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.答案:见证明过程证明:∵I=a+b+c,S=ab+bc+ca,∴I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S.故要证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,即只需证S≤a2+b2+c2<2S.(3分)欲证S≤a2+b2+c2,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0,即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0,即只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,显然成立,∴a2+b2+c2≥S.(7分)欲证a2+b2+c2<2S,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即要证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0,即要证a(a-b-c)+b (b-c-a)+c(c-a-b)<0.∵a,b,c为任意三角形的三边长,∴a>0,b>0,c>0,且a<b+c,b <c+a,c<a+b,∴a(a-b-c)<0, b (b-c-a)<0,c (c-a-b)<0,∴a(a-b-c)+b (b-c-a)+c (c-a-b)<0成立,∴a2+b2+c2<2S.综上可知,S≤a2+b2+c2<2S成立,于是原不等式成立.(12分)5.间接证明——反证法a .用反证法证明结论是否定形式的命题(10)(经典题,12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1+2,S 3=9+3 2. (Ⅰ)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ;答案: a n =2n +2-1,S n =n (n +2)解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2+1,3a 1+3d =9+32,解得d =2.(2分) ∴a n =a 1+(n -1)d =2+1+2(n -1)=2n +2-1,S n =n (a 1+a n )2=n (2+1+2n +2-1)2=n (n +2). 综上,a n =2n +2-1,S n =n (n +2).(5分)(Ⅱ)设b n =S n n (n ∈N *),求证:数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.答案:见证明过程证明:由(Ⅰ)知S n =n (n +2),∴b n =S n n =n + 2.(6分)假设数列{b n }中存在三项b p ,b q ,b r (p ,q ,r 互不相等)成等比数列,则b 2q =b p b r ,即(q +2)2=(p +2)(r +2),即q 2+22q +2=pr +2(p +r )+2,即(q 2-pr )+2(2q -p -r )=0.(9分)∵p ,q ,r ∈N *,∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2-pr =0,2q -p -r =0,∴22p r +⎛⎫ ⎪⎝⎭=pr ,即(p -r )2=0,∴p =r ,与p ≠r 矛盾, ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.(12分)b .用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的命题(11)(经典题,8分)若x >0,y >0且x +y >2,求证:1+y x <2和1+x y <2中至少有一个成立.答案:见证明过程证明:假设1+y x <2,1+x y <2均不成立,则1+y x ≥2,1+x y ≥2.(3分)又∵x >0,y >0,∴1+y ≥2x ,1+x ≥2y ,(5分)∴1+x +1+y ≥2y +2x ,∴x +y ≤2,这和已知条件x +y >2相矛盾,(7分)∴假设不成立,∴原命题成立.(8分)c .用反证法证明“唯一性”问题(12)(2018河南信阳模拟,12分)已知函数f (x )=ln x ,函数g (x )=1x .(Ⅰ)证明:函数F (x )=f (x )-g (x )在(0,+∞)上为增函数;答案:见证明过程证明:根据题意知F (x )=ln x -1x ,x >0.设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个数,且x 1<x 2,则F (x 1)-F (x 2)=ln x 1-ln x 2+1x 2-1x 1=ln x 1x 2+x 1-x 2x 1x 2.(3分) ∵x 2>x 1>0,∴0<x 1x 2<1,x 1-x 2x 1x 2<0,∴ln x 1x 2<0, ∴ln x 1x 2+x 1-x 2x 1x 2<0,即F (x 1)<F (x 2), ∴F (x )在(0,+∞)上是增函数.(6分)(Ⅱ)用反证法证明: f (x )=2的解是唯一的.答案:见证明过程证明:∵f (e 2)=ln e 2=2,∴f (x )=2的解是存在的.(7分)假设f (x )=2有两个不同的解x 1,x 2,x 1>0,x 2>0,则f (x 1)=f (x 2)=2,即ln x 1=ln x 2=2,(9分)∴ln x 1-ln x 2=0,即ln x 1x 2=0, ∴x 1x 2=1,即x 1=x 2,与x 1≠x 2矛盾,(11分) ∴f (x )=2的解是唯一的.(12分)d .用反证法证明条件较少型命题(13)(2018大连校级期中,8分)已知a 3+b 3=2,求证:a +b ≤2. 答案:见证明过程证明:(法一)假设a +b >2,则a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)>2(a 2-ab +b 2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1,∴1+ab>a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号,∴ab<1, (4分)∴a2+b2<1+ab<2,∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4,∴a+b<2.这与假设矛盾,故a+b≤2.(8分)(法二)假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,(4分)即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这与事实不符,从而a+b≤2.(8分)(法三)假设a+b>2,则(a+b)3>8,即a3+b3+3ab(a+b)>8.又∵a3+b3=2,∴2+3ab(a+b)>8,即3ab(a+b)>6,∴ab(a+b)>2.(4分)又∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2),∴ab>a2-ab+b2,即0>a2-2ab+b2,∴(a-b)2<0,这与事实不符,∴a+b≤2.(8分)随堂普查练47 Ⅱ1.(2018全国Ⅰ,12分)如图47-14所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.图47-14 (Ⅰ)证明:平面ACD⊥平面ABC;(Ⅱ)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.答案:(Ⅰ)见证明过程(Ⅱ)1解:(Ⅰ)证明:因为四边形ABCM是平行四边形,所以AB∥CM.又∠ACM=90°,所以∠BAC=90°,所以AB⊥AC.(2分)又AB⊥DA,AC∩DA=A,所以AB⊥平面ACD.(4分)而AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(6分)(Ⅱ)因为∠ACM=90°,AB=AC=3,所以AM=AD=BC=32+32=3 2.又因为BP=DQ=23DA,所以BP=23BC,AQ=13AD,则S △ABP =23S △ABC =23×12×3×3=3.(8分)又由(Ⅰ)知平面ACD ⊥平面ABC ,平面ACD ∩平面ABC =AC ,DC ⊥CA , 所以DC ⊥平面ABC .(10分)设三棱锥Q -ABP 的高为h ,则V Q -ABP =13·S △ABP ·h =13·S △ABP ·13DC =13×3×13×3=1.(12分)2.(2018吉黑两省八校联考,12分)(Ⅰ)当x >1时,求证:2x 2+1x 2>2x +1x >2x +1x; 答案:见证明过程证明:要证2x 2+1x 2>2x +1x ,只需证2x 4+1>2x 3+x ,即证2x 3(x -1)>x -1.∵x >1, 即x -1>0,∴只需证2x 3>1.∵x >1, ∴2x 3>2>1,故2x 2+1x 2>2x +1x 得证.(3分)令x =t ,∵x >1,∴t >1.∵2x 2+1x 2>2x +1x 对任意的x >1都成立, ∴2t 2+1t 2>2t +1t ,即2x +1x >2x +1x .从而2x 2+1x 2>2x +1x >2x +1x.(6分) (Ⅱ)若a <e ,用反证法证明:函数f (x )=x e x -ax 2(x >0)无零点.答案:见证明过程证明:假设当a <e 时,函数f (x )=xe x -ax 2(x >0)有零点,则f (x )=0在(0,+∞)上有解,即a =e xx 在(0,+∞)上有解.(7分)设g (x )=e xx (x >0),则g ′(x )=e x (x -1)x 2(x >0), 当0<x <1时, g ′(x )<0,∴g (x )在(0,1)上递减;当x >1时, g ′(x )>0,∴g (x )在(1,+∞)上递增.∴g (x )≥g (x )min =g (1)=e , ∴a ≥e ,但这与条件a <e 矛盾,故假设不成立,即原命题得证.(12分)3.(2018山东临沂期末,8分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),A ,B 是椭圆上不同的两个点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0,0).证明:-a 2-b 2a<x 0<a 2-b 2a .答案:见证明过程证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵线段AB 的垂直平分线与x 轴相交,∴AB 不垂直于x 轴,即x 1≠x 2.又交点为P (x 0,0),且|P A |=|PB |,∴(x 1-x 0)2+y 21=(x 2-x 0)2+y 22.①(2分)∵A ,B 在椭圆上,∴y 21=b 2-b 2a 2x 21,y 22=b 2-b 2a 2x 22.(4分) 将上式代入①,得2(x 2-x 1)x 0=(x 22-x 21)a 2-b 2a 2.∵x 1≠x 2,∴x 0=x 1+x 22·a 2-b 2a 2.②(6分)∵-a ≤x 1≤a ,-a ≤x 2≤a ,且x 1≠x 2,∴-2a <x 1+x 2<2a ,∴-a 2-b 2a <x 0<a 2-b 2a .(8分)4.(2018山西模拟,5分)现有3个命题:p 1:函数f (x )=lg x -|x -2|有2个零点;p 2:面值为3分和5分的邮票可支付任何n (n >7,n ∈N )分的邮资; p 3:若a +b =c +d =2, ac +bd >4,则a ,b ,c ,d 中至少有1个为负数. 那么,这3个命题中,真命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案:D解析:对于p 1 ,由图可知y =lg x 与y =||x -2 的图像有2个交点,所以函数f (x )=lg x -||x -2有2个零点, p 1正确;对于p 2 ,对n (n >7,n ∈N)可分三种情况, 即n =3k -1,n =3k ,n =3k+1,其中k∈Z且k≥3.因为3k-1=3(k-2)+5,3k=3k,3k+1=3(k-3)+5×2,所以n一定可以用整数个3和5的和表示,所以p2正确;对于p3,假设a≥0,b≥0,c≥0,d≥0 ,则ad+bc≥0, 由(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc=4,可得ad+bc=4-(ac+bd)<0,这与ad+bc≥0相矛盾,故假设不成立,所以p3正确,故选D.课后提分练47推理与证明A组(巩固提升)1.(经典题,5分)求方程35x⎛⎫ ⎪⎝⎭+45x⎛⎫⎪⎝⎭=1的解时,有如下解题思路:设函数f(x)=35x⎛⎫ ⎪⎝⎭+45x⎛⎫⎪⎝⎭,则函数f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,方程x6+x2=(2x+3)3+2x+3的解集为________.答案:{-1,3}解析:类比上述思路,设f(x)=x3+x,方程的左右两边均为(或可变形为)x3+x的形式.则f′(x)=3x2+1≥1恒成立,∴f(x)在R上单调递增.将方程x6+x2=(2x+3)3+2x+3变形为(x2)3+x2=(2x+3)3+2x+3,则f(x2)=f(2x+3),∴x2=2x+3,解得x=-1或x=3,∴方程的解集为{-1,3}.2.(2018 江西南昌调研,5分)已知13+23=262⎛⎫⎪⎝⎭,13+23+33=2122⎛⎫⎪⎝⎭,13+23+33+43=2202⎛⎫⎪⎝⎭,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=()A.8 B.9 C.10 D.11 答案:C解析:13+23=262⎛⎫⎪⎝⎭=2232⨯⎛⎫⎪⎝⎭,13+23+33=2122⎛⎫⎪⎝⎭=2342⨯⎛⎫⎪⎝⎭,13+23+33+43=2202⎛⎫⎪⎝⎭=2452⨯⎛⎫⎪⎝⎭,…由此归纳,可得13+23+33+43+…+n3=()212n n+⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为13+23+33+43+…+n3=3025,所以()212n n+⎛⎫⎪⎝⎭=3025,所以n2(n+1)2=(2×55)2=(2×5×11)2=(10×11)2,所以n=10,故选C.3.(2018云南名校月考,5分)美丽的“勾股树”是以一个直角三角形的每一边向外作正方形而得到的.如图47-1所示,图1是第1代“勾股树”,重复图1的作法,得到图2,为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为()图47-1A.2n-1;n B.2n-1;n+1 C.2n+1-1;n D.2n+1-1;n +1答案:D解析:当n =1时,正方形的个数为20+21=3; 当n =2时,正方形的个数为20+21+22=7; …,∴第n 代“勾股树”所有正方形的个数为20+21+22+…+2n =2n +1-1. ∵最大的正方形面积为1,∴当n =1时,由勾股定理知所有正方形的面积的和为2;当n =2时,由勾股定理知所有正方形的面积的和为3; …,∴第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为n +1. 故选D.4.(2018山西离石期中,12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n =2-S n (n ∈N *).(Ⅰ)求a 1,a 2,a 3,a 4的值并写出其通项公式;(Ⅱ)用三段论证明数列{a n }是等比数列.答案:(Ⅰ)a 1=1,a 2=12,a 3=14,a 4=18,a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1(n ∈N *) (Ⅱ)见证明过程解:(Ⅰ)∵a n =2-S n ,∴当n =1时,a 1=2-S 1=2-a 1,解得a 1=1; 当n =2时,a 2=2-S 2=2-a 1-a 2,解得a 2=12; 当n =3时,a 3=2-S 3=2-a 1-a 2-a 3,解得a 3=14; 当n =4时,a 4=2-S 4=2-a 1-a 2-a 3-a 4,解得a 4=18.(2分)观察可得,数列的前4项构成首项为1,公比为12的等比数列,由此猜想,这个数列的通项公式为a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1(n ∈N *).(4分)(Ⅱ)证明:∵对于数列{a n },若a na n -1=p (n ≥2),p 是非零常数,则{a n }是等比数列.(大前提)(7分)而数列{a n }满足a n =2-S n , ∴a n -1=2-S n -1(n ≥2), 两式相减得2a n =a n -1(n ≥2). 又∵a 1≠0,∴a n ≠0,∴a n a n -1=12(n ≥2). (小前提)(10分) ∴数列{a n }为等比数列.(结论)(12分)5.(2018宁夏月考,6分)已知函数f (x )对其定义域内的任意两个实数a ,b 满足:当a <b 时,都有f (a )<f (b ).用反证法证明f (x )=0至多有一个实根.答案:见证明过程证明:假设f (x )=0至少有两个根,不妨设其中两个根为x 1,x 2,且x 1<x 2,则f (x 1)=f (x 2)=0.(2分)∵当a <b 时,都有f (a )<f (b ), ∴f (x 1)<f (x 2),与f (x 1)=f (x 2)=0矛盾, ∴假设不成立,∴f (x )=0至多有一个实根.(6分)6.(2018广东统测,12分)(Ⅰ)已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,用分析法证明:a+b+c+abc1+ab+bc+ca<1;答案:见证明过程证明:因为0<a<1,0<b<1,0<c<1,所以欲证明a+b+c+abc1+ab+bc+ca<1,只需证明a+b+c+abc<1+ab+bc+ca,即证明(a-1)-b(a-1)-c(a-1)+bc(a-1)<0,即证明(a-1)(b-1)(c-1)<0.(5分)由0<a<1,0<b<1,0<c<1知该不等式成立,所以原不等式成立.(6分)(Ⅱ)已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,且abc>0,用反证法证明:a,b,c 都大于零.答案:见证明过程证明:假设a,b,c不都大于零,即至少有一个小于零或等于零,(7分) 又因为abc>0,所以a,b,c为两负一正.不妨假设a<0,b<0,c>0,所以a+b<0.因为a+b+c>0,所以c>-(a+b)>0,所以c(a+b)<-(a+b)2,(9分)所以ab+bc+ca=ab+c(a+b)<ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-(a2+b2+ab)≤-3ab<0,当且仅当a=b时取等号,(11分)与ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立,原命题正确.(12分)7.(2018吉林长春质检,5分)有甲、乙二人去看望张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问张老师的生日是________.答案:8月4日解析:根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可知甲拿的肯定不是5或者9,因为如果甲拿的5或者9,乙若拿的8或者6,则乙是知道的,所以可排除5月5日,5月8日,9月4日,9月6日,9月9日;同理根据乙听了甲的话后说的:“本来我不知道,但现在我知道了”可排除2月7日,8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以知道甲拿的肯定不是2,所以张老师生日为8月4日.B组(冲刺满分)8.(2018河北武邑中学期中,12分)设集合M={x||x|<1},在集合M中定义一种运算“*”,使得a*b=a+b1+ab.(Ⅰ)证明:(a*b)*c=a*(b*c);(Ⅱ)证明:若a∈M,b∈M,则a*b∈M. 答案:见证明过程证明:(Ⅰ)由已知得a*b=a+b1+ab,∴(a *b )*c =⎝⎛⎭⎪⎫a +b 1+ab *c =a +b1+ab +c 1+a +b 1+ab·c=a +b +c +abc 1+ab +ca +cb ;(3分)而a *(b *c )=a *⎝⎛⎭⎪⎫b +c 1+cb =a +b +c 1+cb 1+a ·b +c 1+cb =a +abc +b +c 1+cb +ab +ac ,∴(a *b )*c =a *(b *c ).(6分)(Ⅱ)由已知得||a <1,||b <1,要证a *b ∈M ,只需证⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +b 1+ab <1,即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 1+ab 2<1, 亦即证(a +b )2<(1+ab )2,只需证(ab )2-a 2-b 2+1>0, 而(ab )2-a 2-b 2+1=(a 2-1)(b 2-1).(10分) ∵||a <1,||b <1, ∴(a 2-1)(b 2-1)>0, ∴原命题成立.(12分)9.(2018全国Ⅱ,12分)已知函数f (x )=13x 3-a (x 2+x +1). (1)若a =3,求f (x )的单调区间; (2)证明: f (x )只有一个零点.答案:(1)f (x )的单调递增区间为(-∞,3-23),(3+23,+∞),单调递减区间为(3-23,3+23) (2)见证明过程解:(1)因为a =3,所以f (x )=13x 3-3(x 2+x +1),所以f ′(x )=x 2-6x -3=[x -(3+23)][x -(3-23)].(2分) 令f ′(x )>0,解得x <3-23或x >3+23,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,3-23),(3+23,+∞); 令f ′(x )<0,解得3-23<x <3+23,所以f (x )的单调递减区间为(3-23,3+23).(5分)综上, f (x )的单调递增区间为(-∞,3-23),(3+23,+∞),单调递减区间为(3-23,3+23).(6分)(2)证明:由于x 2+x +1>0,所以f (x )=0等价于x 3x 2+x +1-3a =0.(7分)设g (x )=x 3x 2+x +1-3a ,则g ′(x )=x 2(x 2+2x +3)(x 2+x +1)2≥0,当且仅当x =0时g ′(x )=0,所以g (x )在(-∞,+∞)上单调递增,故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.(10分)又f (3a -1)=13(3a -1)3-a [(3a -1)2+(3a -1)+1]=-6a 2+2a -13=-6⎝⎛⎭⎪⎫a -162-16<0,f (3a +1)=13(3a +1)3-a [(3a +1)2+(3a +1)+1]=13>0,故f (x )有一个零点.综上, f (x )只有一个零点.(12分)。
高中数学步步高大一轮复习讲义文科专题一PPT课件
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故 f(x)的单调递增区间为(-∞,
-1),(0,+∞),单调递减区
间为(-1,0).
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高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)=x(ex-1) 思维启迪 解析 思维升华
(2)f(x)=x(ex-1-ax),
-ax2.
令 g(x)=ex-1-ax,
(1)若 a=12,求 f(x)的单调区间; g′(x)=ex-a.
思维启迪 解析 思维升华
(2)解 2xln x≥-x2+ax-3, 则 设ha(≤x)2=ln2lxn+x+x+x+3x,3x(x>0), 则h′(x)=x+3x2x-1, ①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)
单调递减, ②当x∈(1,+∞)时,
h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4,对一切
-ax2. (1)若 a=12,求 f(x)的单调区间;
(2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a
求出 f′(x),分析函数的单 调性,得出结论.
的取值范围.
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高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)=x(ex-1)
-ax2. (1)若 a=12,求 f(x)的单调区间;
(2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a
若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时, g′(x)>0,g(x)为增函数,
的取值范围.
而 g(0)=0,
从而当 x≥0 时,g(x)≥0,
即 f(x)≥0.
若 a>1,则当 x∈(0,ln a)时, g′(x)<0,g(x)为减函数,
届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案15 导数的综合应用(2020年整理).pptx
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①求函数 y=f(x)在(a,b)内的
;
②将函数 y=f(x)的各极值与
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最
小值.
2.实际应用问题:首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式,再利用导数求出该函 数的最大值或最小值,最后回到实际问题中,得出最优解.
自我检测
1.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为
1 得 a≥ln x-x,令 g(x)=ln x-x,则 g′(x)= x-1,[2 分] 当 0<x<1 时 ,g′(x)>0; 当 x>1 时,g′(x)<0,[4 分] ∴x=1 是最大值点,g(x)max=g(1)=-1,∴a≥-1, ∴a 的取值范围为[-1,+∞).[6 分] (2)证明 由(1)知 g(x)=ln x-x≤g(1)=-1,∴ln x-x+1≤0.(注:充分利用(1)是快速解决 (2)的关键.)[8 分] 当 0<x<1 时,x-1<0,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+ln x-x+1≤0, ∴(x-1)f(x)≥0. 当 x≥1 时,x-1>0,f(x)=(x+1)ln x-x+1 =ln x+xln x-x+1
学案 15 导数的综合应用
导学目标: 1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导 数解决某些实际问题.
自主梳理
1.函数的最值
(1)函数 f(x)在[a,b]上必有最值的条件
如果函数 y=f(x)的图象在区间[a,b]上
,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).
【步步高】高考数学一轮复习讲义 第七章 7.2 一元二次不等式及其解法
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二次函数与二次不等式
例 2 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x
的解集为(1,3).
(1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式;
(2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围.
解 (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),
f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0,
一元二次不等式的解法
例 1 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
(1)先化简不等式为标准形式,再依据解集确定 a 的符号,然后利 用根与系数的关系列出 a,b 的方程组,求 a,b 的值. (2)所给不等式含有参数 c,因此需对 c 讨论写出解集.
变式训练 1 已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2- 4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A⊆∁RB,求实数 m 的取值范围. 解 由已知得:A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3], ∴mm- +22= ≥03, , ∴mm= ≥21, . ∴m=2. (2)∁RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵A⊆∁RB,∴m-2>3,或 m+2<-1, ∴m>5 或 m<-3.
算法过程为
3.上述不等式 ax2+bx+c>0 (<0)中的 a 均大于 0,若 a<0,则 可先进行转化,使 x2 的系数为正,但一定注意在转化过程中 不等号的变化.
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3+2 解 由已知得,数列{an}的通项公式
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 为 an=3n+2n-1=3n-1+2n,
-1,…,写出数列{an}的通项 ∴Sn=a1+a2+…+an
=(2+5+…+3n-1)+(2+22+…
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中,a1=1,
当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2n=anSn-12.
(1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=2nS+n 1,求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an=Sn-Sn-1 (n≥2) 后,再同除 Sn-1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3+2
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 先写出通项,然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解.
基础知识
题型分类
思想方法
∴S1n=1+2(n-1)=2n-1, ∴Sn=2n1-1. (2)∵bn=2nS+n 1=2n-112n+1
=122n1-1-2n1+1,
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
[数学]步步高大一轮复习讲义数学文科a版【答案解析】版-精品文档
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§1.1 集合的概念及其基本运算要点梳理1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2.(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n -1 2n -23.(1){x |x ∈A ,且x ∈B } {x |x ∈U ,且x ∉A } 基础自测 1.{2,4} 2.{x |0<x <1} 3.(2,3)4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,1,-12 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a +2=1,即a =-1时,(a +1)2=0,a 2+3a +3=1与a +2相同,∴不符合题意.当(a +1)2=1,即a =0或a =-2时,①a =0符合要求. ②a =-2时,a 2+3a +3=1与(a +1)2相同,不符合题意. 当a 2+3a +3=1,即a =-2或a =-1.①当a =-2时,a 2+3a +3=(a +1)2=1,不符合题意. ②当a =-1时,a 2+3a +3=a +2=1,不符合题意. 综上所述,a =0,∴2 013a =1.(2) ∵当x =0时,x =x 2-x =x 3-3x =0,∴它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合,则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2-x ,x 2-x ≠x 3-3x ,x ≠x 3-3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠-1且x ≠-2时,{x ,x 2-x ,x 3-3x }能表示一个有三个元素的集合. 变式训练 1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论:①若a =0,则A =R ;②若a <0,则A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <-1a ;③若a >0,则A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-1a <x ≤4a .(1)当a =0时,若A ⊆B ,此种情况不存在.当a <0时,若A ⊆B ,如图:,则⎩⎨⎧4a >-12-1a ≤2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <-8a >0或a ≤-12,又a <0,∴a <-8.当a >0时,若A ⊆B ,如图:,则⎩⎨⎧-1a ≥-124a ≤2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0,∴a ≥2.综上知,当A ⊆B 时,a <-8或a ≥2. (2)当a =0时,显然B ⊆A ;当a <0时,若B ⊆A ,如图:,则⎩⎨⎧4a ≤-12-1a >2,∴⎩⎪⎨⎪⎧-8≤a <0-12<a <0.又∵a <0,∴-12<a <0.当a >0时,若B ⊆A ,如图:,则⎩⎨⎧-1a ≤-124a ≥2,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0,∴0<a ≤2.综上知,当B ⊆A 时,-12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时,A =B ,由(1)、(2)知,a =2.变式训练 2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ={x |12≤x ≤3},当a =-4时,B ={x |-2<x <2},∴A ∩B ={x |12≤x <2},A ∪B ={x |-2<x ≤3}.(2)∁R A ={x |x <12或x >3},当(∁R A )∩B =B 时,B ⊆∁R A ,即A ∩B =∅.①当B =∅,即a ≥0时,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠∅,即a <0时, B ={x |--a <x <-a },要使B ⊆∁R A ,需-a ≤12,解得-14≤a <0.综上可得,实数a 的取值范围是a ≥-14.例4 A变式训练 4 6 {0,1,2,3}课时规范训练 A 组1.C2.C3.A4.-1或25.{(0,1),(-1,2)}6.187.解 由已知得A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2}.(1)∵A ∩B =[0,3],∴⎩⎪⎨⎪⎧m -2=0,m +2≥3.∴m =2.(2)∁R B ={x |x <m -2或x >m +2},∵A ⊆∁R B ,∴m -2>3或m +2<-1,即m >5或m <-3. 8.解 ∵M ={y |y =x 2,x ∈R }={y |y ≥0},N ={y |y =3sin x ,x ∈R }={y |-3≤y ≤3},∴M -N ={y |y >3},N -M ={y |-3≤y <0},∴M *N =(M -N )∪(N -M )={y |y >3}∪{y |-3≤y <0}={y |y >3或-3≤y <0}. B 组1.C2.B3.A4.A5.a ≤06.-37.(-∞,-3)8.解 由x -5x +1≤0,∴-1<x ≤5,∴A ={x |-1<x ≤5}.(1)当m =3时,B ={x |-1<x <3},则∁R B ={x |x ≤-1或x ≥3},∴A ∩(∁R B )={x |3≤x ≤5}. (2)∵A ={x |-1<x ≤5},A ∩B ={x |-1<x <4},∴有42-2×4-m =0,解得m =8. 此时B ={x |-2<x <4},符合题意,故实数m 的值为8.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件要点梳理1.判断真假 判断为真 判断为假2.(1)若q ,则p 若綈p ,则綈q 若綈q ,则綈p ,(2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 4.C 5.D 题型分类·深度剖析 例1 ②④ 变式训练1 ①③例2 解 (1)在△ABC 中,∠A =∠B ⇒sin A =sin B ,反之,若sin A =sin B ,∵A 与B 不可能互补(∵三角形三个内角和为180°),∴只有A =B .故p 是q 的充要条件.(2)易知,綈p :x +y =8,綈q :x =2且y =6,显然綈q ⇒綈p ,但綈p 綈q ,即綈q 是綈p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,∴p 是q 的必要不充分条件.(4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2,∴p ⇒q 但q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 变式训练2 ①④例3 证明 充分性:当a =0时,方程为2x +1=0,其根为x =-12,方程有一个负根,符合题意.当a <0时,Δ=4-4a >0,方程ax 2+2x +1=0有两个不相等的实根,且1a <0,方程有一正一负根,符合题意.当0<a ≤1时,Δ=4-4a ≥0,方程ax 2+2x +1=0有实根,且⎩⎨⎧-2a<01a >0,故方程有两个负根,符合题意.综上知:当a ≤1时,方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根. 必要性:若方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根. 当a =0时,方程为2x +1=0符合题意.当a ≠0时,方程ax 2+2x +1=0应有一正一负根或两个负根.则1a<0或⎩⎨⎧Δ=4-4a ≥0-2a <01a>0,解得a <0或0<a ≤1.综上知:若方程ax 2+2x +1=0至少有一负根,则a ≤1.故关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.变式训练3 证明 充分性:当q =-1时,a 1=S 1=p +q =p -1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1),当n =1时也成立,于是a n +1a n =p n(p -1)p n -1(p -1)=p (n ∈N *)即数列{a n }为等比数列.必要性:当n =1时,a 1=S 1=p +q ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1). ∵p ≠0,p ≠1,∴a n +1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p .∵{a n }为等比数列,∴a 2a 1=a n +1a n =p ,又S 2=a 1+a 2=p 2+q ,∴a 2=p 2-p =p (p -1),∴p (p -1)p +q =p ,即p -1=p +q .∴q =-1.综上所述,q =-1是数列{a n }为等比数列的充要条件.课时规范训练 A 组1.D2.B3.A4.充分不必要5.①③④6.[3,8)7.解 由题意p :-2≤x -3≤2,∴1≤x ≤5,∴綈p :x <1或x >5,q :m -1≤x ≤m +1,∴綈q :x <m -1或x >m +1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥1,m +1≤5.∴2≤m ≤4.8.解 设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2<0,a <0}={x |3a <x <a ,a <0},B ={x |q }={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0}={x |x 2-x -6≤0}∪{x |x 2+2x -8>0} ={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4或x >2}={x |x <-4或x ≥-2}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴綈q ⇒綈p ,且綈pD ⇒/綈q ,则{x |綈q x |綈p },而{x |綈q }=∁R B ={x |-4≤x <-2},{x |綈p }=∁R A ={x |x ≤3a 或x ≥a ,a <0}, ∴{x |-4≤x <-x |x ≤3a 或x ≥a ,a <0},则⎩⎨⎧ 3a ≥-2,a <0或⎩⎨⎧a ≤-4,a <0.综上,可得-23≤a <0或a ≤-4.B 组1.A2.C3.B4.⎝⎛⎭⎫34,1∪(1,+∞) 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3或48.解 (1)当a =12时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x -2x -52<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -94x -12<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94, ∴∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94,∴(∁U B )∩A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2+2>a ,∴B ={x |a <x <a 2+2}.①当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}.∵p 是q 的充分条件,∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a +1≤a 2+2,即13<a ≤3-52. ②当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意;③当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1a 2+2≥2,∴-12≤a <13.综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词要点梳理1.(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 2.(3)∀ ∃ (4)①含有全称量词 ②含有存在量词 基础自测1.所有的三角形都不是等边三角形 2.[-4,0] 3.①② 4.A 5.C 题型分类·深度剖析 例1 q 1,q 4变式训练1 解 (1)p ∨q :1是素数或是方程x 2+2x -3=0的根.真命题.p ∧q :1既是素数又是方程x 2+2x -3=0的根.假命题. 綈p :1不是素数.真命题.(2)p ∨q :平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p ∧q :平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题.(3)p ∨q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p ∧q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈p :方程x 2+x -1=0的两实根的符号不相同.真命题.例2 解 (1)綈p :∃x 0∈R ,x 20-x 0+14<0,假命题.(2)綈q :至少存在一个正方形不是矩形,假 命题.(3)綈r :∀x ∈R ,x 2+2x +2>0,真命题.(4)綈s :∀x ∈R ,x 3+1≠0,假命题. 变式训练2 解 (1)綈p :∃x >0,使x 2-x >0,为真命题.(2)綈q :∀x ∈R,2x +x 2>1,为假命题. 例3 解 ①若p 正确,则由0<⎝⎛⎭⎫12|x -1|≤1,得a >1.②若q 正确,则ax 2+(a -2)x +98>0解集为R .当a =0时,-2x +98>0不合题意,舍去;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a -2)2-4a ×98<0,解得12<a <8. ③∵p 和q 中有且仅有一个正确,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8,∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练3 解 ∵函数y =a x 在R 上单调递增,∴p :a >1,不等式ax 2-ax +1>0对∀x ∈R 恒成立,∴a >0且a 2-4a <0,解得0<a <4,∴q :0<a <4.∵“p ∧q ”为假,“p ∨q ”为真,∴p 、q 中必有一真一假.①当p 真,q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4,得a ≥4;②当p 假,q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4,得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).课时规范训练 A 组1.C 2.A 3.C 4.-22≤a ≤22 5.a >1 6.綈p 、綈q7.解 由命题p 为真知,0<c <1,由命题q 为真知,2≤x +1x ≤52,要使此式恒成立,需1c <2,即c >12,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则p 、q 中必有一真一假,当p 真q 假时,c 的取值范围是0<c ≤12;当p 假q 真时,c 的取值范围是c ≥1. 综上可知,c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )=x 2+2ax +4,由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,∴-2<a <2.又∵函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,∴3-2a >1,∴a <1. 又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1,,∴1≤a <2;(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2或a ≥2,a <1,,∴a ≤-2.综上可知,所求实数a 的取值范围为1≤a <2,或a ≤-2. B 组1.C 2.D 3.D 4.⎣⎡⎦⎤0,12 5.(-∞,1] 6.(-∞,-2]∪[-1,3) 7.①③ 8.解 由2x 2+ax -a 2=0得(2x -a )(x +a )=0, ∴x =a2或x =-a ,∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|-a |≤1,∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20+2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a =0,∴a =0或a =2,∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2. ∴命题“p 或q ”为真命题时,|a |≤2,∵命题“p 或q ”为假命题,∴a >2或a <-2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <-2}.§2.1 函数及其表示要点梳理1.(1)数集 任意 唯一确定 y =f (x ),x ∈A (2)定义域 值域 (3)定义域 值域 对应关系 (4)定义域 对应关系2.解析法 图象法 列表法3.都有唯一 一个映射4.函数 非空数集 基础自测1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-12,1,522.①②3.-1 104.23或-1题型分类·深度剖析 例1 (2)(3)变式训练1 解 (1)y =1的定义域为R ,y =x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},∴它们不是同一函数.(2)y =x -2·x +2的定义域为{x |x ≥2},y =x 2-4的定义域为{x |x ≥2或x ≤-2},∴它们不是同一函数.(3)y =x ,y =3t 3=t ,它们的定义域和对应关系都相同,∴它们是同一函数. (4)y =|x |的定义域为R ,y =(x )2的定义域为{x |x ≥0},∴它们不是同一函数.例2 (2) 变式训练2 (1)D (2)A 例3 C 变式训练3 B 例4 0 变式训练4 D 课时规范训练 A 组1.D2.D3.A4.65.16.-347.解 当x ∈[0,30]时,设y =k 1x +b 1,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=030k 1+b 1=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=115b 1=0,∴y =115x .当x ∈(30,40)时,y =2;当x ∈[40,60]时,设y =k 2x +b 2, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2+b 2=260k 2+b 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=110b 2=-2,∴y =110x -2.综上,f (x )=⎩⎨⎧115x , x ∈[0,30]2, x ∈(30,40)110x -2, x ∈[40,60].8.解 当f (x )≤0时,由x 2+2x -3≤0,可得-3≤x ≤1,此时,g (x )=0;当f (x )>0时,由x 2+2x -3>0可得x <-3或x >1,此时g (x )=f (x )=(x +1)2-4.∴g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0 (-3≤x ≤1)(x +1)2-4 (x <-3或x >1),其图象如图所示:B 组1.C2.D3.D4.②④5.(1)a (a 为正整数) (2)166.-27.[-4,2]8.解 (1)∵x =716时,4x =74,∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤74=1,g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=34,∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫34=[3]=3. (2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1,∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3,∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2,3≤16x -4<4.∴716≤x <12.§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式要点梳理1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π+π2,k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2.(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0,+∞) ⑤R ⑥[-1,1] ⑦R 基础自测1.[-1,2)∪(2,+∞)2.{x |-3<x <2}3.(0,+∞)4.x 2+1x 2-1(x ≠0)题型分类·深度剖析 例1 (1)⎝⎛⎭⎫-13,1 (2)(-1,1) 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0,34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[-1,1],∴12≤2x ≤2,即y =f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12,2,由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4.∴f (log 2x )的定义域是[2,4].变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4],(1)有0≤x 2≤4,∴-2≤x ≤2,故f (x 2)的定义域为[-2,2];(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x +1≤4,0≤x -1≤4,∴1≤x ≤3.故f (x +1)+f (x -1)的定义域为[1,3].例3 解 (1)(配方法) y =x 2+2x =(x +1)2-1,y =(x +1)2-1在[0,3]上为增函数,∴0≤y ≤15,即函数y =x 2+2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].(2)(分离常数法) y =x -3x +1=x +1-4x +1=1-4x +1,∵4x +1≠0,∴1-4x +1≠1,即函数的值域是{y |y ∈R ,y ≠1}.(3)方法一 (换元法) 令1-2x =t ,则t ≥0且x =1-t 22,于是y =1-t 22-t =-12(t +1)2+1,由于t ≥0,∴y ≤12,故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法) 容易判断函数y =f (x )为增函数,而其定义域应满足1-2x ≥0,即x ≤12,∴y ≤f ⎝⎛⎭⎫12=12,即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x |x ∈R ,x >0,且x ≠1},当x >1时,log 3x >0, 于是y =log 3x +1log 3x-1≥2log 3x ·1log 3x-1=1;当0<x <1时,log 3x <0,于是y =log 3x +1log 3x -1=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-log 3x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-log 3x -1 ≤-2-1=-3.故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).变式训练3 解 (1)方法一 (配方法) ∵y =1-1x 2-x +1,又x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34≥34, ∴0<1x 2-x +1≤43,∴-13≤y <1,∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫-13,1. 方法二 (判别式法) 由y =x 2-xx 2-x +1,x ∈R ,得(y -1)x 2+(1-y )x +y =0.∵y =1时,x ∈∅,∴y ≠1,又∵x ∈R ,∴Δ=(1-y )2-4y (y -1)≥0,解得-13≤y ≤1.综上得-13≤y <1,∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫-13,1. (2)方法一 (换元法):设13-4x =t ,则t ≥0,x =13-t 24,于是f (x )=g (t )=2·13-t 24-1-t =-12t 2-t +112=-12(t +1)2+6,显然函数g (t )在[0,+∞)上是单调递减函数,∴g (t )≤g (0)=112,因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,112. 方法二 (单调性法):函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134,当自变量x 增大时,2x -1增大,13-4x 减小,∴2x -1-13-4x 增大,因此函数f (x )=2x -1-13-4x 在其定义域上是一个单调递增函数,∴当x =134时,函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134=112,故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,112. 例4 解 (1)令x +1x =t ,则t 2=x 2+1x 2+2≥4,∴t ≥2或t ≤-2且x 2+1x2=t 2-2,∴f (t )=t 2-2,即f (x )=x 2-2 (x ≥2或x ≤-2).(2)令2x +1=t ,由于x >0,∴t >1且x =2t -1,∴f (t )=lg 2t -1,即f (x )=lg 2x -1 (x >1).(3)设f (x )=kx +b ,∴3f (x +1)-2f (x -1)=3[k (x +1)+b ]-2[k (x -1)+b ]=kx +5k +b =2x +17.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k =25k +b =17,即⎩⎪⎨⎪⎧k =2b =7.∴f (x )=2x +7. (4)∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,∴2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x .∴f (x )=2x -1x(x ≠0). 变式训练4 解 (1)令t =x +1,∴t ≥1,x =(t -1)2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,∴f (x )=x 2-1 (x ≥1).(2)设f (x )=ax 2+bx +c ,又f (0)=c =3,∴f (x )=ax 2+bx +3,∴f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a =44a +2b =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-1,∴f (x )=x 2-x +3. 课时规范训练 A 组1.C2.B3.C4.C5.(-∞,3]6.⎣⎡⎦⎤2,103 7.[-2,7] 8.解 (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),又f (0)=0,∴c =0,即f (x )=ax 2+bx ,又f (x +1)=f (x )+x +1.∴a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1.∴(2a +b )x +a +b =(b +1)x +1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1a +b =1,解得⎩⎨⎧a =12b =12,∴f (x )=12x 2+12x .(2)由(1)知y =f (x 2-2)=12(x 2-2)2+12(x 2-2)=12(x 4-3x 2+2)=12⎝⎛⎭⎫x 2-322-18, 当x 2=32时,y 取最小值-18,∴函数y =f (x 2-2)的值域为⎣⎡⎭⎫-18,+∞. B 组1.B2.C3.A4.(-1,-910)∪(-910,2] 5.22 6.2837.解 ∵f (x )=12(x -1)2+a -12.∴其对称轴为x =1,即[1,b ]为f (x )的单调递增区间.∴f (x )min =f (1)=a -12=1① f (x )max =f (b )=12b 2-b +a =b②又b >1,由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =3.∴a 、b 的值分别为32、3.8.解 (1)∵函数的值域为[0,+∞),∴Δ=16a 2-4(2a +6)=0,∴2a 2-a -3=0,∴a =-1或a =32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负,∴Δ=16a 2-4(2a +6)=8(2a 2-a -3)≤0.∴-1≤a ≤32.∴a +3>0,∴g (a )=2-a |a +3|=-a 2-3a +2=-⎝⎛⎭⎫a +322+174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤-1,32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤-1,32上单调递减,∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (-1),即-194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤-194,4.§2.3 函数的单调性与最值要点梳理1.(1)f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D2.(1)f (x )≤M (2)f (x 0)=M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)=M 基础自测 1.[1,4] 8 2.43,1 3.(-3,0) 4.A 5.C题型分类·深度剖析例1 (1)解 由2f (1)=f (-1),可得22-2a =2+a ,得a =23. (2)证明 任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=x 21+1-ax 1-x 22+1+ax 2=x 21+1-x 22+1-a (x 1-x 2)=x 21-x 22x 21+1+x 22+1-a (x 1-x 2)=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a . ∵0≤x 1<x 21+1,0<x 2<x 22+1,∴0<x 1+x 2x 21+1+x 22+1<1.又∵a ≥1,∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x )在[0,+∞)上单调递减.(3)解 任取1≤x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a , ∵f (x )单调递增,∴f (x 1)-f (x 2)<0,又x 1-x 2<0,那么必须x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a >0恒成立.∵1≤x 1<x 2⇒2x 21≥x 21+1,2x 22>x 22+1,∴2x 1≥x 21+1,2x 2>x 22+1.相加得2(x 1+x 2)>x 21+1+x 22+1⇒x 1+x 2x 21+1x 22+1>22,∴0<a ≤22. 变式训练1 (1)证明 任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). ∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.例2 解 令u =x 2-3x +2,则原函数可以看作y =12log u 与u =x 2-3x +2的复合函数.令u =x 2-3x +2>0,则x <1或x >2,∴函数y =212log (32)x x -+的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).又u =x 2-3x +2的对称轴x =32,且开口向上.∴u =x 2-3x +2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而y =12log u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y =212log (32)x x -+的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).变式训练2 解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数.由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数,∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).例3 (1)证明 方法一 ∵函数f (x )对于任意x ,y ∈R 总有f (x )+f (y )=f (x +y ),∴令x =y =0,得f (0)=0,再令y =-x ,得f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0, f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1-x 2).又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),因此f (x )在R 上是减函数. 方法二 设x 1>x 2,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2+x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在R 上为减函数. (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数,∴f (x )在[-3,3]上也是减函数, ∴f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f (-3)与f (3).而f (3)=3f (1)=-2,f (-3)=-f (3)=2,∴f (x )在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2. 变式训练3 解 (1)∵当x >0,y >0时,f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y ),∴令x =y >0,则f (1)=f (x )-f (x )=0.(2)设x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1,∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1,∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0,∴f (x 2)>f (x 1),即f (x )在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数.∴f (x )min =f (1)=0,f (x )max =f (16),∵f (4)=2,由f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y ), 知f ⎝⎛⎭⎫164=f (16)-f (4),∴f (16)=2f (4)=4,∴f (x )在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A 组1.B2.D3.A4.[3,+∞)5.①③6.(1,+∞)7.(1)证明 设x 2>x 1>0,设x 2-x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)-f (x 1)=⎝⎛⎭⎫1a -1x 2-⎝⎛⎭⎫1a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上是单调递增的.(2)解 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,又f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递增, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (2)=2.∴易得a =25. 8.解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 21-1<0,x 22-1<0.-1<x 1x 2<1,∴x 1x 2+1>0,∴(x 2-x 1)(x 2x 1+1)(x 21-1)(x 22-1)>0. 因此,当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),此时函数在(-1,1)上为增函数.B 组1.B2.B3.C4.(-∞,0)∪(1,3]5.a >0且b ≤06.[1,+∞)7.①③④8.解 (1)任取x 1,x 2∈[-1,1],且x 1<x 2,则-x 2∈[-1,1],∵f (x )为奇函数,∴f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)·(x 1-x 2),由已知得f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在[-1,1]上单调递增.(2)∵f (x )在[-1,1]上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧x +12<1x -1,-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1.∴-32≤x <-1.(3)∵f (1)=1,f (x )在[-1,1]上单调递增.∴在[-1,1]上,f (x )≤1.问题转化为m 2-2am +1≥1,即m 2-2am ≥0,对a ∈[-1,1]成立,下面来求m 的取值范围. 设g (a )=-2m ·a +m 2≥0.①若m =0,则g (a )=0≥0,对a ∈[-1,1]恒成立.②若m ≠0,则g (a )为a 的一次函数,若g (a )≥0,对a ∈[-1,1]恒成立,必须g (-1)≥0,且g (1)≥0, ∴m ≤-2,或m ≥2,∴m 的取值范围是m =0或m ≥2或m ≤-2.§2.4 函数的奇偶性与周期性要点梳理1.f (-x )=f (x ) f (-x )=-f (x ) 2.(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3.(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测1.132.②③3.-9 4.(-1,0)∪(1,+∞) 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9-x 2≥0x 2-9≥0,得x =±3,∴f (x )的定义域为{-3,3}.又f (3)+f (-3)=0,f (3)-f (-3)=0,即f (x )=±f (-x ).∴f (x )既是奇函数,又是偶函数. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 1+x ≥01+x ≠0,得-1<x ≤1.∵f (x )的定义域(-1,1]不关于原点对称,∴f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0|x +3|-3≠0,得-2≤x ≤2且x ≠0,∴f (x )的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.∴f (x )=4-x 2(x +3)-3=4-x 2x,∴f (x )=-f (-x ),∴f (x )是奇函数. 变式训练1 解 (1)由1-x1+x>0⇒-1<x <1,定义域关于原点对称.又f (-x )=lg 1+x 1-x =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-lg 1-x1+x =-f (x ),故原函数是奇函数. (2)由2+x2-x≥0且2-x ≠0⇒-2≤x <2,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. (3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x >0时,f (x )=x 2+x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2-x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2-x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2+x =f (x ),故原函数是偶函数.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x 2-2|-2≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴f (x )=lg (1-x 2)-(x 2-2)-2=-lg (1-x 2)x 2. ∵f (-x )=-lg[1-(-x )2](-x )2=-lg (1-x 2)x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数.例2 解 (1)令x =y =0⇒f (0)=0,令y =-x ,则f (x )+f (-x )=0⇒f (-x )=-f (x )⇒f (x )在(-1,1)上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2,而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1-x 21-x 1x 2<0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2>0,即当0<x 1<x 2<1时,f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,1)上单调递减.(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12-f ⎝⎛⎭⎫15=f ⎝⎛⎭⎫12+f ⎝⎛⎭⎫-15=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-151-12×5=f ⎝⎛⎭⎫13, 同理,f ⎝⎛⎭⎫13-f ⎝⎛⎭⎫111=f ⎝⎛⎭⎫14,f ⎝⎛⎭⎫14-f ⎝⎛⎭⎫119=f ⎝⎛⎭⎫15,∴f ⎝⎛⎭⎫12-f ⎝⎛⎭⎫111-f ⎝⎛⎭⎫119=2f ⎝⎛⎭⎫15=2×12=1. 变式训练2 解 ∵y =f (x )为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y =f (x )在(-∞,0)上也是增函数,且由f (1)=0得f (-1)=0.若f [x (x -12)]<0=f (1),则⎩⎨⎧x (x -12)>0x (x -12)<1即0<x (x -12)<1,解得12<x <1+174或1-174<x <0.若f [x (x -12)]<0=f (-1),则⎩⎨⎧x (x -12)<0x (x -12)<-1,由x (x -12)<-1,解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1+174或1-174<x <0}.例3 (1)证明 ∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解 ∵x ∈[2,4],∴-x ∈[-4,-2],∴4-x ∈[0,2],∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2=-x 2+6x -8,又f (4-x )=f (-x )=-f (x ), ∴-f (x )=-x 2+6x -8,即f (x )=x 2-6x +8,x ∈[2,4].(3)解 ∵f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1.又f (x )是周期为4的周期函数,∴f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7)=…=f (2 008)+f (2 009)+f (2 010)+f (2 011)=0,∴f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 011)=0. 变式训练3 2.5 课时规范训练 A 组1.B2.A3.B4.A5.-16.-1 7.-38.解 (1)当a =0时,f (x )=x 2,f (-x )=f (x ) ,函数是偶函数.当a ≠0时,f (x )=x 2+ax (x ≠0,常数a ∈R ),取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0;f (-1)-f (1)=-2a ≠0,∴f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f (1)=2,即1+a =2,解得a =1,这时f (x )=x 2+1x ,任取x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=(x 21+1x 1)-⎝⎛⎭⎫x 22+1x 2=(x 1+x 2)(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫x 1+x 2-1x 1x 2. 由于x 1≥2,x 2≥2,且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+x 2>1x 1x 2,∴f (x 1)<f (x 2), 故f (x )在[2,+∞)上是单调递增函数. B 组1.A2.C3.B4.(1)(2)(3) 5.0 6.②③⑤7.(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x =1对称,有f (x +1)=f (1-x ),即有f (-x )=f (x +2).又函数f (x )是定义在R 上的奇函数,故有f (-x )=-f (x ).故f (x +2)=-f (x ). 从而f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),即f (x )是周期为4的周期函数. (2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0. x ∈[-1,0)时,-x ∈(0,1],f (x )=-f (-x )=--x ,故x ∈[-1,0]时,f (x )=--x .x ∈[-5,-4]时,x +4∈[-1,0],f (x )=f (x +4)=--x -4.从而,x ∈[-5,-4]时,函数f (x )=--x -4.8.解 (1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0.(2)令x 1=x 2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=12f (1)=0.令x 1=-1,x 2=x 有f (-x )=f (-1)+f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16). 又f (x )在(0,+∞)上是增函数.∴0<|x -1|<16,解之得-15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |-15<x <17且x ≠1}.§2.5 二次函数要点梳理 1.(2)①ax 2+bx +c (a ≠0) ②a (x -m )2+n (a ≠0) ③a (x -x 1)(x -x 2) (a ≠0) 基础自测 1.2 2.[1,2] 3.6 4.(-∞,-2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 方法一 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),依题意有⎩⎨⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b24a =8,解之,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7,,∴所求二次函数为y =-4x 2+4x +7.方法二 设f (x )=a (x -m )2+n ,a ≠0,∵f (2)=f (-1),,∴抛物线对称轴为x =2+(-1)2=12.∴m =12,又根据题意函数有最大值为n =8,∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解之,得a =-4.∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 方法三 依题意知:f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),a ≠0.即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max =8,即4a (-2a -1)-a24a=8,解之,得a =-4或a =0(舍去).∴函数解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y =a (x -3)2+4,将(2,2)代入可得a =-2,∴y=-2(x -3)2+4,即x >2时,f (x )=-2x 2+12x -14.当x <-2时,即-x >2,又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=-2×(-x )2-12x -14, 即f (x )=-2x 2-12x -14.∴函数f (x )在(-∞,-2)上的解析式为f (x )=-2x 2-12x -14.(2)函数f (x )的图象如图:(3)由图象可知,函数f (x )的值域为(-∞,4].例2 解 (1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6],∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,∴要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.(3)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-6,6],且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +3,x ∈(0,6]x 2-2x +3,x ∈[-6,0],∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].变式训练2 解 f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -a 22-4a ,对称轴为x =a2,顶点为⎝⎛⎭⎫a 2,-4a . ①当a2≥1,即a ≥2时,f (x )在区间[0,1]上递增.∴y max =f (1)=-4-a 2.令-4-a 2=-5,∴a =±1<2(舍去).②当0<a 2<1,即0<a <2时,y max =f ⎝⎛⎭⎫a 2=-4a ,令-4a =-5,∴a =54∈(0,2). ③当a2≤0,即a ≤0时,f (x )在区间[0,1]上递减,此时f (x )max =f (0)=-4a -a 2.令-4a -a 2=-5,即a 2+4a -5=0,∴a =-5或a =1(舍去).综上所述,a =54或a =-5.例3 解 (1)由f (0)=1得,c =1.∴f (x )=ax 2+bx +1.又f (x +1)-f (x )=2x ,∴a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x ,即2ax +a +b =2x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =2,a +b =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-1.因此,f (x )=x 2-x +1.(2)f (x )>2x +m 等价于x 2-x +1>2x +m ,即x 2-3x +1-m >0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上单调递减,∴g (x )min =g (1)=-m -1,由-m -1>0得,m <-1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(-∞,-1). 变式训练3 解 (1)∵f (x )=x 2+mx +n ,∴f (-1+x )=(-1+x )2+m (-1+x )+n =x 2-2x +1+mx +n -m =x 2+(m -2)x +n -m +1, f (-1-x )=(-1-x )2+m (-1-x )+n =x 2+2x +1-mx -m +n =x 2+(2-m )x +n -m +1. 又f (-1+x )=f (-1-x ),∴m -2=2-m ,即m =2.又f (x )的图象过点(1,3), ∴3=12+m +n ,即m +n =2,∴n =0,∴f (x )=x 2+2x ,又y =g (x )与y =f (x )的图象关于原点对称,∴-g (x )=(-x )2+2×(-x ),∴g (x )=-x 2+2x . (2)∵F (x )=g (x )-λf (x )=-(1+λ)x 2+(2-2λ)x ,当λ+1≠0时,F (x )的对称轴为x =2-2λ2(1+λ)=1-λλ+1,又∵F (x )在(-1,1]上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1+λ<01-λ1+λ≤-1或⎩⎪⎨⎪⎧1+λ>01-λ1+λ≥1,∴λ<-1或-1<λ≤0.当λ+1=0,即λ=-1时,F (x )=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ的取值范围为(-∞,0]. 课时规范训练 A 组1.D2.A3.B4.y =12(x -2)2-1 5.0≤m ≤146.0或-17.解 f (x )=(x -a )2+a -a 2,当a <-1时,f (x )在[-1,1]上为增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)=1+3a =-2,f (1)=1-a =2⇒a =-1(舍去);当-1≤a ≤0时,⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a -a 2=-2,f (1)=1-a =2⇒a =-1; 当0<a ≤1时,⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a -a 2=-2,f (-1)=1+3a =2⇒a 不存在;当a >1时,f (x )在[-1,1]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=1+3a =2,f (1)=1-a =-2⇒a 不存在.综上可得a =-1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图象关于直线x =1对称. 而二次函数f (x )的对称轴为x =-b2a ,∴-b2a=1.① 又f (x )=x 有等根,即ax 2+(b -1)x =0有等根,∴Δ=(b -1)2=0.②由①②得b =1,a =-12.∴f (x )=-12x 2+x .(2)∵f (x )=-12x 2+x =-12(x -1)2+12≤12,如果存在满足要求的m ,n ,则必需3n ≤12,∴n ≤16.从而m <n ≤16<1,而x ≤1,f (x )单调递增,∴⎩⎨⎧f (m )=-12m 2+m =3mf (n )=-12n 2+n =3n ,可解得m =-4,n =0满足要求.∴存在m =-4,n =0满足要求. B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2,525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1,31277.[1,+∞)8.证明 (1)由于f (x )=x 2+(2t -1)x +1-2t .∴f (x )=1⇔(x +2t )(x -1)=0,(*)∴x =1是方程(*)的根,即f (1)=1,因此x =1是f (x )=1的实根,即f (x )必有实根. (2)当12<t <34时,f (-1)=3-4t >0,f (0)=1-2t =2⎝⎛⎭⎫12-t <0. f ⎝⎛⎭⎫12=14+12(2t -1)+1-2t =34-t >0,又函数f (x )的图象连续不间断.因此f (x )=0在区间(-1,0)及⎝⎛⎭⎫0,12上各有一个实根.§2.6 指数与指数函数要点梳理1.(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a - n a ± na ③a④a ⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)-a (a <0)2.(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1a m n 1na m ⑥0 没有意义 (2)①a r +s ②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0,+∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数 基础自测1.(1)x 23 (2)(a +b )34 (3)m 52 2.7 3.(-2,-1)∪(1,2) 4.3 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式=23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭+121500-⎛⎫ ⎪⎝⎭-105-2+1=23827⎛⎫- ⎪⎝⎭+12500-10(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679. (2)原式=5-2-1-(5-2)2=(5-2)-1-(5-2)=-1.(3)原式=1122323311233ba b a b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=3111111226333a b +-++--=ab -1. 变式训练1 解 (1)原式=1323⎛⎫⎪⎝⎭×1+()1342×142+(132×123)6-1323⎛⎫⎪⎝⎭=2+4×27=110. (2)令13a =m ,13b =n ,则原式=m 4-8mn 3m 2+2mn +4n 2÷⎝⎛⎭⎫1-2n m ·m =m (m 3-8n 3)m 2+2mn +4n 2·m 2m -2n=m 3(m -2n )(m 2+2mn +4n 2)(m 2+2mn +4n 2)(m -2n )=m 3=a . 例2 (1)D (2)0<a <1、b <0 (3)1 变式训练2 (1)A(2)解 函数y =|3x -1|的图象是由函数y =3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴 上方得到的,函数图象如图所示.当k <0时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图象无交点,即方 程无解;当k =0或k ≥1时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的 图象有唯一的交点,∴方程有一解;当0<k <1时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图象有两个不同交点,∴方程有两解. 例3 解 令t =a x (a >0且a ≠1),则原函数化为y =(t +1)2-2 (t >0). ①当0<a <1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎡⎦⎤a ,1a ,此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ,1a 上为增函数. ∴f (t )max =f ⎝⎛⎭⎫1a =⎝⎛⎭⎫1a +12-2=14,∴⎝⎛⎭⎫1a +12=16,∴a =-15或a =13. 又∵a >0,∴a =13.②当a >1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ,a ,此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ,a 上是增函数. ∴f (t )max =f (a )=(a +1)2-2=14,解得a =3(a =-5舍去). 综上得a =13或3.变式训练3 解 (1)当x <0时,f (x )=0,无解;当x ≥0时,f (x )=2x -12x ,由2x -12x =32,得2·22x -3·2x -2=0,看成关于2x 的一元二次方程,解得2x =2或-12,∵2x >0,∴x =1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝⎛⎭⎫22t -122t +m ⎝⎛⎭⎫2t -12t ≥0,即m (22t -1)≥-(24t -1),∵22t -1>0, ∴m ≥-(22t +1),∵t ∈[1,2],∴-(22t +1)∈[-17,-5], 故m 的取值范围是[-5,+∞). 课时规范训练 A 组1.B2.D3.D4.m <n5.16.12或327.-2。
2020年高考数学·第一轮专题复习讲义
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2020年第一轮高考数学专题复习第一讲:集合一、考纲导读(一)集合的含义与表示1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
(二)集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.(三)集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算。
根据考试大纲的要求,结合2009年高考的命题情况,我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.第1课时 集合的概念一、基础过关 <1>.集合1.集合是一个不能定义的原始概念,描述性定义为:某些指定的对象 就成为一个集合,简称 .集合中的每一个对象叫做这个集合的 .2.集合中的元素属性具有:(1) 确定性; (2) ; (3) .3.集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种,有限集常用 ,无限集常用 ,图示法常用于表示集合之间的相互关系.<2>.元素与集合的关系4.元素与集合是属于和 的从属关系,若a 是集合A 的元素,记作 ,若a 不是集合B 的元素,记作 .但是要注意元素与集合是相对而言的.<3>.集合与集合的关系5.集合与集合的关系用符号 表示.6.子集:若集合A 中 都是集合B 的元素,就说集合A 包含于集合B (或集合B 包含集合A ),记作 .7.相等:若集合A 中 都是集合B 的元素,同时集合B 中 都是集合A 的元素,就说集合A 等于集合B ,记作 .8.真子集:如果 就说集合A 是集合B 的真子集,记作 .9.若集合A 含有n 个元素,则A 的子集有 个,真子集有 个,非空真子集有 个.10.空集∅是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,∅是任何集合的 ,∅是任何非空集合的 ,解题时不可忽视∅.二、典型例题例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,试求集合A 的所有子集.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-,{|21|,2}A a =-,{5}U C A =,求实数a 的值.变式训练2:(1)P ={x|x2-2x -3=0},S ={x|ax +2=0},S ⊆P ,求a 取值?(2)A ={-2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m -1},B ⊆A,求m 。
高中数学步步高大一轮复习讲义文科压轴题目突破练解析几何
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则椭圆 E 的离心率为
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B.23 EvaluCa.tio32n only.D.13
eated解w析ith由A题sp意os可e知.S,lid∠eFs1fPoFr2 .是N直ET角3,.5且Client Profile 5.2.0 tan∠PCFo1Fp2=yr2ig,h∴t ||2PPFF0120||=4-22,0又1|1PFA1|s+p|oPFse2| Pty Ltd.
解析 设C点opPy(xr0i,ghy0t).20依0题4意 -2得01,1焦A点spFo(2s,e0),Pty Ltd.
x0+2=5, y20=8x0,
于是有 x0=3,y20=24;
a2+b2=4, a92-2b42=1, 由此解得 a2=1,b2=3, 因此该双曲线的渐近线方程是 y=±bax=± 3x.
0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是
(A )
A.(4,6)
B.[4,6)
C.(4,6]
D.[4,6]
解 析 因 为 圆 心 (3E,va-lu5)a到tio直n线on4lxy-. 3y - 2 = 0 的 距 离 为 eated|4×w3it-hC34oA×2+pspy-3ro2i5gs-eh.t2S|2l=i0d50e,4s -f2o0r1.N1EATsp3o.5seClPietyntLtPdr.ofile 5.2.0
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)讲二次函数性质再研究报告与幂函数
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第4讲二次函数性质的再研究与幕函数一、选择题i •下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(>.A. y=错误!(x€ R,且X M 0>B. y=错误!x(x€ R>3C. y = x(x€ R> D . y= —x (x€ R>解读对于f(x>= —x3,\f( —x>=—(—x>3= —(—X3>= —f(x>,.・f(x>= —x3是奇函数,又•十x3在R上是增函数,••• y= —x3在R上是减函数.答案D2. 已知幕函数y = f(x >的图像经过点错误!,则f(2> =( >A.错误!B. 4C.错误!D.错误!解读设f(x>= x a,因为图像过点错误!,代入解读式得:—错误!,二f(2> = 2—错误!=错误!.答案C3. 已知函数f(x> = e x—1,g(x>= —x2+ 4x—3,若有f(a> = g(b>,贝U b 的取值范围为(>.A. [2 —错误!,2 +错误!] B . (2—错误!,2 +错误!>C. [1,3] D . (1,3>解读f(a>= g(b>? e — 1 = — b + 4b—3? e —— b + 4b — 2 成立,故—b + 4b —2>0,解得2—错误! <b<2 +错误!.答案B4. 已知函数f(x> —错误!若f(a> + f(1> —0,则实数a的值等于(>.A. —3B.—1C. 1D. 3解读f(a>+ f(1> —0? f(a>+ 2—0?错误!或错误!解得a—一 3.答案A5 .函数f(x>= ax2+ bx+ c(a和>的图象关于直线x =—错误!对称.据此可推测,对任意的非零实数a, b, c, m n, p,关于x的方程nff(x>]2+ nf(x> + P= 0的解集都不可能是(>.A. {1,2} B . {1,4}C. {1,2,3,4} D . {1,4,16,64}解读设关于f(x>的方程mf(x>]2+ nf(x>+ p = 0有两根,即f(x>=t1或 f (X>= t2.而f(x>= ax2+ bx+ c的图象关于x=—错误!对称,因而f(x>= 11或f(x>= 12的两根也关于x =一错误!对称.而选项D中错误!諂错误!.答案D2 26. 二次函数f(x> = ax +bx+ c, a 为正整数,c> 1, a+ b+ c> 1,方程ax + bx + c= 0有两个小于1的不等正根,则a的最小值是(> .A. 3B. 4C. 5D. 6解读由题意得f(0> = c> 1, f(1> = a+ b+ c> 1.当a越大,y= f(x>的开口越小,当a越小,y = f(x>的开口越大,而y= f(x>的开口最大时,y= f(x>过(0,1>, (1,1>,贝U c= 1, a + b+ c= 1.a+ b = 0, a = —b,—错误!=错误!,又b —4ac>0, a(a —4>>0, a>4,由于a为正整数,即a的最小值为5.答案C二、填空题17. 对于函数y二x2, y= x 2有下列说法:①两个函数都是幕函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图像关于直线y二x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0>、(1,1> ;⑥两个函数的图像都是抛物线型.其中正确的有_________ .解读从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.答案①②⑤⑥8. 若二次函数f(x> = ax2—4x+ c的值域为[0, +^ >,贝U a, c满足的条件是解读由已知得错误!?错误!答案a>0, ac= 49. 方程X2—m灶1 = 0的两根为a、B,且a > 0,1 2,则实数m的取值范围是_________ .解读•••错误!••• m=B+错误!.V (1,2>且函数m= B+错误!在(1,2>上是增函数,• - 1 + 1V ITK 2+ 错误!,即m€ 错误!.答案错误!10. 已知f(x> = m(x—2m>(x+ m+ 3>, g(x> = 2X— 2.若同时满足条件:①? x€ R, f(x><0 或g(x><0;②? x€ ( — x,—4> , f(x>g(x><0,则m的取值范围是________ .解读当x<1 时,g(x><0,当x>1 时,g(x>>0,当x= 1 时,g(x>= 0, m= 0 不符合要求;当m>0时,根据函数f(x>和函数g(x>的单调性,一定存在区间[a , + x >使f(x>> 0且g(x>> 0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x>的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x>至少有一个零点小于—4,问题等价于函数f(x>有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1, 较小的零点小于—4,函数f(x>的两个零点是2m,—(m+ 3>,故m满足错误!或错误!解第一个不等式组得一4<m< —2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(一4,—2>.答案(—4,—2>、解答题11•设f(x>是定义在R上以2为最小正周期的周期函数•当一KXV1时,y= f(x>的表达式是幕函数,且经过点错误!.求函数在[2k —1,2k+ 1>(k€ Z>上的表达式.解设在[—1,1>上,f(x>= x n,由点错误!在函数图象上,求得n= 3.令x€ [2k—1,2k + 1>,贝U x—2k€ [—1,1>,f(x—2k>= (x—2k>l又f(x>周期为2,••• f(x> = f(x—2k> = (x —2k>3.即f(x> = (x—2k>3(k€ Z>.12. 已知函数f(x>=x2+ 2ax + 3,x € [—4, 6].(1>当a= —2时,求f (x>的最值;(2>求实数a的取值范围,使y = f(x>在区间[—4,6]上是单调函数;(3>[理]当a= 1时,求f(| x|>的单调区间.2 2解(1>当a= —2 时,f (x>=x —4x + 3= (x—2> —1,由于x€ [—4,6],•f(x>在[—4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,•f(x>的最小值是f(2> = —1,又f( —4>= 35,f(6> = 15,故f(x>的最大值是35.(2>由于函数f (x>的图像开口向上,对称轴是x= —a,所以要使f(x>在[—4,6]上是单调函数,应有一a< —4或一a>6,即a< —6 或a>4.(3>当a= 1 时,f (x>=x2+ 2x + 3,2•f(| x|> = x + 2|x| + 3,此时定义域为x € [—6,6],且f (X>=错误!•f(| x|>的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[—6,0].13. 设函数f (x>= ax2—2x+ 2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x>>0,求实数a的取值范围.解不等式ax2—2x+ 2>0等价于a>错误!,设g(x>=错误!,x € (1,4>,则g'(x> =错误!=错误!=错误!,当1<x<2 时,g'(x>>0,当2<x<4 时,g'(x><0,g(x>w g(2> =错误!,由已知条件a>错误!,因此实数a的取值范围是错误!.14•已知函数f(x> = x- k2+ k+ 2(k€ Z>满足f(2>vf(3>.(1>求k的值并求出相应的f(x>的解读式;(2>对于(1>中得到的函数f(x>,试判断是否存在q>0,使函数g(x> = 1 - qf(x> + (2q—1>x在区间[—1,2]上的值域为错误!?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.解(1> T f(2><f(3>,二f(x>在第一象限是增函数.故—k2+ k+ 2>0,解得—1<k<2.又••• k€ Z,「. k= 0或k= 1.当k= 0 或k= 1 时,—k2+ k+ 2 = 2,A f(x> = x2.(2>假设存在q>0满足题设,由(1>知2g(x> = —qx + (2q —1>x+ 1,x € [ —1,2].T g(2> = —1,二两个最值点只能在端点(一1,g( —1>>和顶点错误!处取得.而错误!一g( —1> =错误!一(2 —3q> =错误!> 0,—g(x>max =错误!= 错误!,g(x> min =g(—1>= 2 —3q= —4.解得q = 2,二存在q = 2满足题意.。
2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义
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2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1.集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.2.集合与元素的关系:若a属于A,记作a∈A;若b不属于A,记作b∉A.3.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.4.常用数集及其符号表示1.判断题(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.(×)(3)任何集合都有两个子集.(×)2.(1)已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为1或4.(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.(4)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=-2.解析:(1)∵-4∈A,∴x2-5x=-4,∴x=1或x=4.(2)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.(3)因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23-1=7.(4)∵A⊆B,∴a+3=1,∴a=-2.知识点二集合间的基本关系3.(必修1P12习题 1.1A组第5(2)题改编)若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下面结论中正确的是(D)A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A解析:因为22不是自然数,所以a∉A.4.满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析:集合A除含元素0,1,2外,还至少含有3,4,5中的一个元素,所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数,即为23-1=7.知识点三集合的基本运算1.集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A.5.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=(B) A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析:解法1:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2},故选B.解法2:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁R A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(3,+∞).解析:A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},∵A⊆B,B={x|x<a},∴a>3.1.集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);(4)若A⊆B,则有A=∅和A≠∅两种可能.2.集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n -1个真子集、2n -1个非空子集、2n -2个非空真子集.3.注意补集的两个性质∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B );∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B ).4.在解决含参数的集合问题时,要注意分类讨论和集合的互异性的应用.考向一 集合的概念【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4(2)设A ={2,3,a 2-3a ,a +2a +7},B ={|a -2|,2},已知4∈A 且4∉B ,则a 的取值集合为________.【解析】 (1)解法1:由x 2+y 2≤3知,-3≤x ≤3,-3≤y ≤ 3.又x ∈Z ,y ∈Z ,所以x ∈{-1,0,1},y ∈{-1,0,1},所以A 中元素的个数为3×3=9,故选A.解法2:根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x 2+y 2=3中有9个整点,即为集合A 的元素个数,故选A.(2)因为4∈A ,即4∈{2,3,a 2-3a ,a +2a +7}, 所以a 2-3a =4或a +2a +7=4. 若a 2-3a =4,则a =-1或a =4;若a +2a +7=4,即a +2a +3=0,a 2+3a +2=0,则a =-1或a =-2.由a 2-3a 与a +2a +7互异,得a ≠-1. 故a =-2或a =4.又4∉B ,即4∉{|a -2|,2},所以|a -2|≠4,解得a ≠-2且a ≠6.综上所述,a的取值集合为{4}.【答案】(1)A(2){4}(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时,往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论,并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x∉A},则B=(A)A.{1} B.{-2}C.{-1,-2} D.{-1,0}(2)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是(C)A.-1∉A B.-11∈AC.3k2-1∈A D.-34∉A解析:(1)若x=-1,则2-x=3∉A,此时-x=1;若x=0,则2-x=2∈A,此时不符合要求;若x=2,则2-x=0∈A,此时不符合要求.所以B={1}.(2)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k -1,得k=-103∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.考向二集合的基本关系【例2】(1)已知集合A={x|y=1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则()A.A B B.B A C.A⊆B D.B=A(2)已知集合A={x|x2-2 019x+2 018<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________.【解析】(1)易知A={x|-1≤x≤1},所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}.因此B A.故选B.(2)由x2-2 019x+2 018<0,解得1<x<2 018,故A={x|1<x<2 018}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可得a≥2 018.【答案】(1)B(2)[2 018,+∞)本例(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a 的取值范围是(-∞,1].解析:A ={x |1<x <2 018},B ={x |x ≥a },A ⊆B ,如图所示,可得a ≤1.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围为( B )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(0,1)D .(1,+∞)(2)已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞. 解析:(1)解法1:由题意知,A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}={x |0<x <1},B ={x |x 2-cx <0,c >0}={x |0<x <c }.由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1,故选B.解法2:A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}={x |0<x <1},取c =1,得B ={x |0<x <1},则A ⊆B 成立,可排除C 、D ;取c =2,得B ={x |0<x <2},则A ⊆B 成立,可排除A ,故选B.(2)因为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -342+716,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,2, 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716,2.又因为A ⊆B , 所以1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34.考向三 集合的基本运算方向1 集合的交、并、补运算【例3】 (1)(2018·天津卷)设全集为R ,集合A ={x |0<x <2},B ={x |x ≥1},则A ∩(∁R B )=( )A .{x |0<x ≤1}B .{x |0<x <1}C .{x |1≤x <2}D .{x |0<x <2}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U =R ,A ={x |2x (x -2)<1},B ={x |y =ln(1-x )},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}【解析】(1)因为B={x|x≥1},所以∁R B={x|x<1}.因为A={x|0<x<2},所以A∩(∁R B)={x|0<x<1},故选B.(2)A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},则∁U B={x|x≥1},阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.【答案】(1)B(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6) B.[1,2)C.[2,4) D.(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=∅,则p应该满足的条件是()A.p>1 B.p≥1C.p<1 D.p≤1【解析】(1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x |4x >2m}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >m 2,∵A ∩B 有三个元素,∴1≤m 2<2,解得2≤m <4,∴实数m 的取值范围是[2,4).(2)∵全集U =R ,集合A ={x |x >1},集合B ={x |x >p },∴∁U A ={x |x ≤1},又(∁U A )∩B =∅,∴p ≥1.【答案】 (1)C (2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提;二是对集合进行化简,有些集合是可以化简的,利用化简,可使问题变得简单明了,易于解决;三是注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.1.(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U =R ,集合A ={x |log 2x ≤2},B ={x |(x -3)(x +1)≥0},则(∁U B )∩A =( D )A .(-∞,-1]B .(-∞,-1]∪(0,3)C .[0,3)D .(0,3)解析:集合A ={x |log 2x ≤2}={x |0<x ≤4},集合B ={x |(x -3)(x +1)≥0}={x |x ≥3或x ≤-1}.因为全集U =R ,所以∁U B ={x |-1<x <3},所以(∁U B )∩A =(0,3),故选D.2.(方向2)设A ={x |(x -a )2<1},且2∈A,3∉A ,则实数a 的取值范围为1<a ≤2.解析:依题设得:⎩⎨⎧ (2-a )2<1,(3-a )2≥1,即⎩⎨⎧ 1<a <3,a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.3.(方向2)已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =-1,n =1.解析:A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1},由A ∩B =(-1,n ),可知m <1,则B ={x |m <x <2},画出数轴,可得m =-1,n =1.考向四 集合的新定义问题【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ={x ∈N |x 2-2x -3≤0},B ={1,3},定义集合A ,B 之间的运算“*”:A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },则A *B 中的所有元素之和为( )A .15B .16C .20D .21【解析】 由x 2-2x -3≤0,得(x +1)(x -3)≤0,又x ∈N ,故集合A ={0,1,2,3}.∵A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },∴A *B 中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.(2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.(3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x ∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是(B)A.7 B.10C.25D.52解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:易错点:忽略空集是任何集合的子集出错勿忘空集和集合本身.由于∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,任何集合的本身是该集合的子集,所以在进行列举时千万不要忘记.典例已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<x<m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为()A.[-1,2)B.[-1,3]C.[2,+∞) D.[-1,+∞)【易错分析】集合B为不等式2m-1<x<m+1的解集,但m 取值不同,解集也不同.当m+1≤2m-1时,集合B为空集,而空集是任何集合的子集,且是任何非空集合的真子集,求解时应分B=∅和B≠∅两种情况,结合数轴,讨论求解.【解析】由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,得-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.(1)当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2.(2)当B ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧ -3≤2m -1,m +1≤4,2m -1<m +1,解得-1≤m <2.综上,得m ≥-1.【答案】 D 易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B =A 或A ∪B =B 时,在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论,即分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论,并注意对端点值的检验.(2019·吉林长春检测)已知集合A ={x |ax -1=0},B ={x |1<log 2x ≤2,x ∈N *},且A ∩B =A ,则a 的所有可能取值组成的集合是( D )A .∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,14 解析:由A ∩B =A ,得A ⊆B .∵B ={x |1<log 2x ≤2,x ∈N *}={x |2<x ≤4,x ∈N *}={3,4}.当A =∅时,则方程ax -1=0无实数解,∴a =0,此时显然有A ⊆B ,符合题意;当A ≠∅时,则由方程ax -1=0,得x =1a .要使A ⊆B ,则1a =3或1a =4,即a =13或14.综上所述,a的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,14,故选D. 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一 命题及四种命题1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.1.对于命题“单调函数不是周期函数”,下列陈述正确的是(D)A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上三者都不正确解析:原命题可以改写为“若函数是单调函数,则函数不是周期函数”.其逆命题为“若函数不是周期函数,则函数是单调函数”,故选项A不正确;其否命题为“若函数不是单调函数,则函数是周期函数”,故选项B不正确;其逆否命题为“若函数是周期函数,则函数不是单调函数”,故选项C 不正确. 2.“若a ,b 都是偶数,则ab 是偶数”的逆否命题为若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数.解析:“a ,b 都是偶数”的否定为“a ,b 不都是偶数”,“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”,故其逆否命题为“若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数”.3.在命题“若m >-n ,则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是3.解析:原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.知识点二 充分条件与必要条件1.若p ⇒q 且q ⇒/p ,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件;若p ⇒q 且q ⇒p ,则p 是q 的充分必要条件,q 也是p 的充分必要条件.2.若A 、B 为两个集合,满足A B ,则A 是B 的充分不必要条件,B 是A 的必要不充分条件;若A =B ,则A 是B 的充分必要条件.4.(2018·天津卷)设x ∈R ,则“|x -12|<12”是“x 3<1”的( A )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:解法1:由|x -12|<12,得0<x <1,所以0<x 3<1;由x 3<1,得x <1,不能推出0<x <1.所以“|x -12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件.故选A.解法2:由|x -12|<12,得0<x <1,所以0<x 3<1,所以充分性成立;取x =-14,则|-14-12|=34>12,(-14)3=-164<1,所以必要性不成立.故选A.5.(选修2-1P12A 组第3题改编)在△ABC 中,“A >B ”是“sin A >sin B ”的( C )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由正弦定理知a sin A =b sin B =2R (R 为△ABC 外接圆半径).若sin A >sin B ,则a 2R >b 2R ,即a >b ,所以A >B ;若A >B ,则a >b ,所以2R sin A >2R sin B ,即sin A >sin B ,所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件.1.区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中,A是条件,B是结论.(2)“A的充分不必要条件是B”中,B是条件,A是结论.2.充要条件的两个特征(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.3.充要关系与集合的子集之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)},(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R,命题“若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知命题p:若a<1,则a2<1,下列说法正确的是()A.命题p是真命题B.命题p的逆命题是真命题C.命题p的否命题是“若a<1,则a2≥1”D.命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0,则x>0”的逆命题是“若x>0,则x2>0”,是真命题;否命题是“若x2≤0,则x≤0”,是真命题;逆否命题是“若x≤0,则x2≤0”,是假命题.综上,以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p:若a<1,则a2<1,如a=-2,则(-2)2>1,命题p为假命题,所以A不正确;命题p的逆命题是“若a2<1,则a<1”,为真命题,所以B正确;命题p的否命题是“若a≥1,则a2≥1”,所以C不正确;命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a≥1”,所以D 不正确.故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时,要注意词语的否定形式,如“都是”的否定应为“不都是”,“大于”的否定为“不大于”等.(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.②利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.(1)命题“若x2≠4,则x≠2且x≠-2”的否命题为(D)A.若x2=4,则x≠2且x≠-2B.若x2≠4,则x=2且x=-2C.若x2≠4,则x=2或x=-2D.若x2=4,则x=2或x=-2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2解析:(1)“若x2≠4,则x≠2且x≠-2”的否命题是“若x2=4,则x=2或x=-2”.故选D.(2)选项A,“若x>2,则(x-2)(x+1)>0”的逆命题为“若(x-2)(x +1)>0,则x>2”,因为由(x-2)(x+1)>0得到x>2或x<-1,所以是假命题;选项B,“若x2+y2≥4,则xy=2”的逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”是真命题;选项C,“若x+y=2,则xy≤1”的逆命,满足xy≤1,但不题为“若xy≤1,则x+y=2”;因为x=2,y=12满足x+y=2,所以是假命题;选项D,“若a≥b,则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,因为若c=0,a=1,b=2,满足ac2≥bc2,但不满足a≥b,所以是假命题.故选B.考向二充分条件与必要条件的判断【例2】(1)设等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,则“|q|=1”是“S6=3S2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)若集合A={x|x-x2>0},B={x|(x+1)(m-x)>0},则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6=3S2,得a1(1+q+q2+q3+q4+q5)=3a1(1+q),即q5+q4+q3+q2-2-2q=0,(q+1)2(q-1)·(q2+2)=0,解得q =±1,所以“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件,故选C.(2)因为p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1.因为綈q⇒綈p,但綈⇒/綈q,所以綈q 是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.故选A.(3)化简集合A={x|0<x<1},若m>1,则B={x|-1<x<m},此时A∩B≠∅,反之,若A∩B≠∅,则m>0,因(1,+∞)(0,+∞),故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(C)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知p:a<0,q:a2>a,则綈p是綈q的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)∵|a-3b|=|3a+b|,∴(a-3b)2=(3a+b)2,∴a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0,∴a⊥b;反之也成立.故选C.(2)当m<0时,由图象的平移变换可知,函数f(x)必有零点;当函数f(x)有零点时,m≤0,所以“m<0”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件,故选A.(3)因为綈p:a≥0,綈q:0≤a≤1,所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q,所以綈p是綈q的必要不充分条件.考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2-3”是“-1<x <4”的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[-1,0]C .[1,2]D .[-1,2](2)已知条件p :4x -1≤-1,条件q :x 2+x <a 2-a ,且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ,则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 C .[-1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤-2,12∪[2,+∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2-3是-1<x <4的必要不充分条件,∴(-1,4)⊆(2m 2-3,+∞),∴2m 2-3≤-1,解得-1≤m ≤1.故选A.(2)由4x -1≤-1,解得-3≤x <1;由x 2+x <a 2-a ,得x 2+x -a 2+a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ,可知p 是q 的必要不充分条件,即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集.设f (x )=x 2+x -a 2+a ,其大致图象如图,则⎩⎨⎧ f (-3)=-a 2+a +6≥0,f (1)=-a 2+a +2≥0,所以⎩⎨⎧ -2≤a ≤3,-1≤a ≤2,解得-1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时,一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中,使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A .a -1>bB .a +1>bC .|a |>|b |D .a 3>b 3(2)“直线x -y -k =0与圆(x -1)2+y 2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A .-1≤k <3B .-1≤k ≤3C .0<k <3D .k <-1或k >3解析:(1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于|1-0-k|<2,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子2集,故充分不必要条件可以是“0<k<3”.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点一简单的逻辑联结词1.命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.2.命题p且q、p或q、非p的真假判断1.(选修2-1P18B组改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为(B)A.1 B.2C.3 D.4解析:p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.2.已知命题p :若复数z 满足(z -i)(-i)=5,则z =6i ,命题q :复数1+i 1+2i的虚部为-15i ,则下面为真命题的是( C ) A .(綈p )∧(綈q )B .(綈p )∧qC .p ∧(綈q )D .p ∧q解析:由已知可得,复数z 满足(z -i)(-i)=5,所以z =5-i+i =6i ,所以命题p 为真命题;复数1+i1+2i =(1+i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=3-i 5,其虚部为-15,故命题q 为假命题,命题綈q 为真命题.所以p ∧(綈q )为真命题,故选C.知识点二 全称量词与存在量词1.全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“∀”表示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M 中任意一个x ,有p (x )成立”用符号简记为:∀x ∈M ,p (x ).3.含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M 中元素x 0,使p (x 0)成立”用符号简记为:∃x 0∈M ,p (x 0).4.含有一个量词的命题的否定3.命题p:∃x0∈R,x20-x0+1≤0的否定是(C)A.∃x0∈R,x20-x0+1>0 B.∀x∈R,x2-x+1≤0C.∀x∈R,x2-x+1>0 D.∃x0∈R,x20-x0+1<04.已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥e x”;命题q:“∃x0∈R,使得x20+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是[e,4].解析:若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由∃x0∈R,使得x20+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4].1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)(2019·石家庄模拟)命题p :若sin x >sin y ,则x >y ;命题q :x 2+y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A .p ∨qB .p ∧qC .qD .綈p(2)给定下列命题:p 1:函数y =a x +x (a >0,且a ≠1)在R 上为增函数;p 2:∃a ,b ∈R ,a 2-ab +b 2<0;p 3:cos α=cos β成立的一个充分不必要条件是α=2k π+β(k ∈Z ). 则下列命题中的真命题为( )A .p 1∨p 2B .p 2∧p 3C .p 1∨綈p 3D .綈p 2∧p 3 【解析】 (1)取x =π3,y =5π6,可知命题p 不正确;由(x -y )2≥0恒成立,可知命题q 正确,故綈p 为真命题,p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题.(2)对于p 1:令y =f (x ),当a =12时,f (0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫120+0=1,f (-1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1-1=1,所以p 1为假命题;对于p 2:a 2-ab +b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12b 2+34b 2≥0,所以p 2为假命题;对于p 3:由cos α=cos β,可得α=2k π±β(k ∈Z ),所以p3是真命题,所以綈p2∧p3为真命题.【答案】(1)B(2)D含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.(5)綈p真⇔p假;綈p假⇔p真.(2019·陕西质量检测)已知命题p:对任意的x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(D)A.p∧q B.綈p∧綈q C.綈p∧q D.p∧綈q解析:由指数函数的性质知命题p为真命题.易知x>1是x>2的必要不充分条件,所以命题q是假命题.由复合命题真值表可知p∧綈q是真命题,故选D.考向二 全称命题与特称命题【例2】 (1)若命题p :对任意的x ∈R ,都有x 3-x 2+1<0,则綈p 为( )A .不存在x 0∈R ,使得x 30-x 20+1<0B .存在x 0∈R ,使得x 30-x 20+1<0C .对任意的x ∈R ,都有x 3-x 2+1≥0D .存在x 0∈R ,使得x 30-x 20+1≥0(2)下列命题中为假命题的是( )A .∃α,β∈R ,sin(α+β)=sin α+sin βB .∀φ∈R ,函数f (x )=sin(2x +φ)都不是偶函数C .∃x 0∈R ,x 30+ax 20+bx 0+c =0(a ,b ,c ∈R 且为常数)D .∀a >0,函数f (x )=(ln x )2+ln x -a 有零点【解析】 (1)命题p :对任意的x ∈R ,都有x 3-x 2+1<0的否定为綈p :存在x 0∈R ,使得x 30-x 20+1≥0.故选D.(2)当α=0,β=π2时,sin(α+β)=sin α+sin β,A 为真命题;当φ=π2时,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=cos2x 是偶函数,B 为假命题;对于三次函数y =x 3+ax 2+bx +c ,当x →-∞时,y →-∞,当x →+∞时,y →+∞,又该函数的图象在R 上连续不断,故∃x 0∈R ,x 30+ax 20+bx 0+c =0,C 为真命题;当f (x )=0时,(ln x )2+ln x -a =0,则有a =(ln x )2+ln x =⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x +122-14≥-14,所以∀a >0,函数f (x )=(ln x )2+ln x -a有零点,D为真命题.综上可知选B.【答案】(1)D(2)B全称命题与特称命题的真假判断及其否定已知f(x)=e x-x,g(x)=ln x+x+1,命题p:∀x∈R,f(x)>0,命题q:∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0,则下列说法正确的是(C) A.p是真命题,綈p:∃x0∈R,f(x0)<0B.p是假命题,綈p:∃x0∈R,f(x0)≤0C.q是真命题,綈q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0D.q是假命题,綈q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0解析:f′(x)=e x-1,由f′(x)>0得x>0,由f′(x)<0得x<0,故当x=0时,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值,f(0)=e0-0=1-0=1>0,∴∀x∈R,f(x)>0成立,即p是真命题.g(x)=ln x+x+1在(0,+∞)上为增函数,当x →0时,g (x )<0,g (1)=0+1+1=2>0,则∃x 0∈(0,+∞),g (x 0)=0成立,即命题q 是真命题.綈p :∃x 0∈R ,f (x 0)≤0,綈q :∀x ∈(0,+∞),g (x )≠0.综上,只有选项C 正确.考向三 根据命题的真假求参数的取值范围【例3】 已知p :存在x 0∈R ,mx 20+1≤0,q :任意x ∈R ,x 2+mx +1>0,若p 或q 为假命题,求实数m 的取值范围.【解】 依题意知p ,q 均为假命题,当p 是假命题时,mx 2+1>0恒成立,则有m ≥0;当q 是真命题时,则有Δ=m 2-4<0,-2<m <2.因此由p ,q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0,m ≤-2或m ≥2,即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2,+∞).1.本例条件不变,若p 且q 为真,则实数m 的取值范围为(-2,0). 解析:依题意,当p 是真命题时,有m <0;当q 是真命题时,有-2<m <2,由⎩⎨⎧ m <0,-2<m <2,可得-2<m <0.2.本例条件不变,若p 且q 为假,p 或q 为真,则实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2).解析:若p 且q 为假,p 或q 为真,则p ,q 一真一假.当p 真q 假时⎩⎨⎧ m <0,m ≥2或m ≤-2,所以m ≤-2; 当p 假q 真时⎩⎨⎧ m ≥0,-2<m <2,所以0≤m <2.所以m 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).3.本例中的条件q 变为:存在x 0∈R ,x 20+mx 0+1<0,其他不变,则实数m 的取值范围为[0,2].解析:依题意,当q 是真命题时,Δ=m 2-4>0,所以m >2或m <-2.由⎩⎨⎧ m ≥0,-2≤m ≤2,得0≤m ≤2,所以m 的取值范围是[0,2].根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题:可转化为恒成立问题,特称命题转化为存在性问题.(2)含逻辑联结词问题:①求出每个命题是真命题时参数的取值范围;②根据题意确定每个命题的真假;③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是(C)A.(-12,-4]∪[4,+∞)B.[-12,-4]∪[4,+∞)C.(-∞,-12)∪(-4,4)D.[-12,+∞)解析:命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q 等价于-a4≤3,即a≥-12.由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).突破双变量任意性与存在性问题的策略典例 (1)已知函数f (x )=2x x +1,g (x )=a sin π6x -2a +2(a >0),若存在x 1,x 2∈[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________;(2)已知函数f (x )=x 2+2x +a 和g (x )=2x +x +1,对任意x 1∈[-1,+∞),总存在x 2∈R 使g (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________;(3)已知函数f (x )=x 2-2x +3,g (x )=log 2x +m ,对任意的x 1,x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立,则实数m 的取值范围是________;(4)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -m ,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是________.【解析】 (1)当x ∈[0,1]时,f (x )∈[0,1],g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-2a ,2-3a 2, 由题意得[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-2a ,2-3a 2≠∅. 若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-2a ,2-3a 2=∅, 则2-2a >1或2-3a 2<0,即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a ≤43.(2)因为f (x )=x 2+2x +a =(x +1)2+a -1,所以f (x )∈[a -1,+∞).因为g (x )=2x +x +1在[-1,+∞)上单调递增,所以g (x )∈[-2,+∞).由题意得a -1≤-2,所以a ≤-1,故实数a 的取值范围是(-∞,-1].(3)f (x )=x 2-2x +3=(x -1)2+2,当x ∈[1,4]时,f (x )min =f (1)=2,g (x )max =g (4)=2+m ,则f (x )min >g (x )max ,即2>2+m ,解得m <0,故实数m 的取值范围是(-∞,0).(4)当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m ,由f (x )min ≥g (x )min ,得0≥14-m ,所以m ≥14.故实数m 的取值范围是m ≥14.【答案】 (1)12≤a ≤43 (2)(-∞,-1](3)(-∞,0) (4)m ≥14已知函数f (x )=x +4x ,g (x )=2x +a ,若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,∃x 2∈[2,3],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围为( A )A .a ≤1B .a ≥1C .a ≤2D .a ≥2解析:由题意知f (x )min x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1≥g (x )min (x ∈[2,3]). 因为f (x )min =5,g (x )min =4+a ,所以5≥4+a ,即a ≤1,故选A.第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示知识点一函数与映射的概念1.函数的定义一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应;那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.2.映射的定义设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射.1.(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是(B)A.y=(x+1)2B.y=3x3+1C .y =x 2x +1D .y =x 2+1 解析:对于A ,函数y =(x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B ,定义域和对应法则都相同,是相等函数;对于C ,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D ,定义域相同,但对应法则不同,不是相等函数.2.(必修1P25B2改编)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( B )解析:A 中函数定义域不是[-2,2];C 中图象不表示函数;D 中函数值域不是[0,2].知识点二 函数的三要素及表示方法1.函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.3.表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.函数f (x )=2x-1+1x -2的定义域为( C ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:由题意得⎩⎨⎧ 2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0且x ≠2. 4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)=12. 解析:f (2)=-f (-2)=-[2×(-8)+4]=12.知识点三 分段函数若函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.5.(2019·陕西质量检测)设x ∈R ,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则函数f (x )=|x |sgn x 的图象大致是( C )解析:由符号函数解析式和绝对值运算,可得f (x )=x ,故选C.6.函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R ),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f (f (15))2解析:因为函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R ),所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,所以f (f (15))=f (f (-1))=f (12)=cos π4=22.1.函数是特殊的映射,是定义在非空数集上的映射.直线x =a (a 是常数)与函数y =f (x )的图象有0个或1个交点.2.函数定义域是研究函数的基础依据,对函数的研究,必须坚持定义域优先的原则.3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,必须用分类讨论的。
步步高文科高考数学一轮复习1
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§1.1 集合旳概念及其基本运算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素 (1)集合元素旳三个特征:__拟__定__性___、_互__异__性___、
__无__序__性___. (2)元素与集合旳关系是__属__于__或_不__属__于___关系,
用符号____或_____表达.
2 .
2
a
2.
综上知,当A B 时,a<-8或a≥2.
6分
(2)当a=0时,显然B A;
当a<0时,若B A,如图,
4 则 a
1 a
1 2, 2
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时,若B A,如图,
则4 a
1 a
2
1 2 ,
a a
2 . 2
0
a
2.
综上知,当B A时, 1 a 2
4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算旳常用措施,其中利用数轴图示法要尤其注意端点 是实心还是空心.
5.要注意A B、A∩B=A、A∪B=B、 这五个关系式旳等价性.
返回
B.{1,4,5}
(B )
C.{4,5}
D.{1,5}
解析 ∵A={1,2,3},B={2,3,4},
∴A∩B={2,3}.
又U={1,2,3,4,5},
∴ U(A∩B)={1,4,5}.
2.已知三个集合U,A,B及元素间旳关系如图所示,
则( UA)∩B等于
(A )
A.{5,6}
B.{3,5,6}
思想措施 感悟提升
措施与技巧
1.集合中旳元素旳三个性质,尤其是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验,要注重符号 语言与文字语言之间旳相互转化.
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章
![高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/4dff7ba602d276a200292ef6.png)
§3.1 导数的概念及运算1.函数y =f (x )从x 0到x 1的平均变化率Δy Δx =f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 2.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y =f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y =f (x )在x 0点的导数,通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)=lim x 1→x 0f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0).(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0). 3.函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )=lim Δx →f (x +Δx )-f (x )Δx ,则f ′(x )是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导数.4.基本初等函数的导数公式5. (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)若f (x )=a 3+2ax -x 2,则f ′(x )=3a 2+2x .( × ) (6)函数f (x )=x 2ln x 的导函数为f ′(x )=2x ·1x=2.( × )2.(2013·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________.答案 2解析 设e x =t ,则x =ln t (t >0),∴f (t )=ln t +t ∴f ′(t )=1t+1,∴f ′(1)=2.3.已知曲线y =x 3在点(a ,b )处的切线与直线x +3y +1=0垂直,则a 的值是( )A .-1B .±1C .1D .±3 答案 B解析 由y =x 3知y ′=3x 2,∴切线斜率k =y ′|x =a =3a 2. 又切线与直线x +3y +1=0垂直, ∴3a 2·(-13)=-1,∴即a 2=1,a =±1,故选B.4.如图所示为函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图像,那么y =f (x ),y =g (x )的图像可能是( )答案 D解析 由y =f ′(x )的图像知y =f ′(x )在(0,+∞)上单调递减,说明函数y =f (x )的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A ,C. 又由图像知y =f ′(x )与y =g ′(x )的图像在x =x 0处相交,说明y =f (x )与y =g (x )的图像在x =x 0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D. 5.已知点P 在曲线y =4e x+1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是________. 答案 [34π,π)解析 ∵y =4e x +1,∴y ′=-4e x(e x +1)2=-4e xe 2x +2e x +1=-4e x +1e x +2. ∵e x >0,∴e x +1ex ≥2,∴y ′∈[-1,0),∴tan α∈[-1,0). 又α∈[0,π),∴α∈[3π4,π).题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )=x 3在x =x 0处的导数,并求曲线f (x )=x 3在x =x 0处的切线与曲线f (x )=x 3的交点.思维启迪 掌握导数的定义,理解导数的几何意义是解决本题的关键. 解 f ′(x 0)=lim x →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0=lim x →x 0x 3-x 30x -x 0=lim x →x 0(x 2+xx 0+x 20)=3x 20. 曲线f (x )=x 3在x =x 0处的切线方程为y -x 30=3x 20·(x -x 0), 即y =3x 20x -2x 30,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 3,y =3x 20x -2x 30,得(x -x 0)2(x +2x 0)=0,解得x =x 0,x =-2x 0.若x 0≠0,则交点坐标为(x 0,x 30),(-2x 0,-8x 30);若x 0=0,则交点坐标为(0,0).思维升华 求函数f (x )的导数步骤: (1)求函数值的增量Δy =f (x 2)-f (x 1); (2)计算平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1;(3)计算导数f ′(x )=lim Δx→0ΔyΔx. (1)函数y =x +1x 在[x ,x +Δx ]上的平均变化率ΔyΔx=________;该函数在x =1处的导数是________.(2)若函数y =f (x )在区间(a ,b )内可导,且x 0∈(a ,b ),则lim h →0f (x 0+h )-f (x 0-h )h 的值为( )A .f ′(x 0)B .2f ′(x 0)C .-2f ′(x 0)D .0答案 (1)1-1x (x +Δx )0 (2)B解析 (1)∵Δy =(x +Δx )+1x +Δx -x -1x=Δx +1x +Δx -1x=Δx +-Δxx (x +Δx ).∴Δy Δx =1-1x (x +Δx ).y ′|x =1=lim Δx →0Δy Δx =0. (2)lim h →0f (x 0+h )-f (x 0-h )h =2×lim h →0f (x 0+h )-f (x 0-h )2h=2f ′(x 0). 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数:(1)y =e x ·ln x ; (2)y =x ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +1x 3; 思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. 解 (1)y ′=(e x ·ln x )′=e x ln x +e x ·1x=e x (ln x +1x).(2)∵y =x 3+1+1x 2,∴y ′=3x 2-2x3.思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;求下列函数的导数.(1)y =(x +1)(x +2)(x +3); (2)y =sin x 2(1-2cos 2x4);解 (1)方法一 ∵y =(x 2+3x +2)(x +3) =x 3+6x 2+11x +6,∴y ′=3x 2+12x +11.方法二 y ′=[(x +1)(x +2)]′(x +3)+(x +1)(x +2)(x +3)′ =[(x +1)′(x +2)+(x +1)(x +2)′](x +3)+(x +1)(x +2) =(x +2+x +1)(x +3)+(x +1)(x +2) =(2x +3)(x +3)+(x +1)(x +2) =3x 2+12x +11.(2)∵y =sin x 2(-cos x 2)=-12sin x ,∴y ′=(-12sin x )′=-12(sin x )′=-12cos x .题型三 导数的几何意义例3已知函数f (x )=x 3-4x 2+5x -4.(1)求曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求经过点A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程.思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点. 解 (1)∵f ′(x )=3x 2-8x +5,∴f ′(2)=1, 又f (2)=-2,∴曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y -(-2)=x -2,即x -y -4=0.(2)设切点坐标为(x 0,x 30-4x 20+5x 0-4),∵f ′(x 0)=3x 20-8x 0+5,∴切线方程为y -(-2)=(3x 20-8x 0+5)(x -2),又切线过点(x 0,x 30-4x 20+5x 0-4), ∴x 30-4x 20+5x 0-2=(3x 20-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或x 0=1,∴经过A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x -y -4=0,或y +2=0. 思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点:(1)当曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线垂直于x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x =x 0;(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程是y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(1)曲线y =x +sin x 在点(0,0)处的切线方程是________.答案 2x -y =0解析∵y =x +sin x ,∴y ′=1+cos x ,当x =0时,y ′=1+cos 0=2,故曲线y =x +sin x 在点(0,0)处的切线方程是y -0=2(x -0),2x -y =0.(2)已知函数f (x )=x 3-3x ,若过点A (0,16)且与曲线y =f (x )相切的切线方程为y =ax +16,则实数a 的值是( ) A .-3 B .3 C .6 D .9 答案 D解析 先设切点为M (x 0,y 0),则切点在曲线上,即y 0=x 30-3x 0,①求导数得到切线的斜率k =f ′(x 0)=3x 20-3,又切线l 过A 、M 两点,所以k =y 0-16x 0,则3x 20-3=y 0-16x 0,②联立①、②可解得x 0=-2,y 0=-2, 从而实数a 的值为a =k =-2-16-2=9.一审条件挖隐含典例:(12分)设函数y =x 2-2x +2的图像为C 1,函数y =-x 2+ax +b 的图像为C 2,已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a ,b 之间的关系; (2)求ab 的最大值.C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0,y 0))过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率: k 1=2x 0-2,k 2=-2x 0+a ↓(等价转换)(2x 0-2)(-2x 0+a )=-1① ↓(交点(x 0,y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0=x 20-2x 0+2y 0=-x 20+ax 0+b,即2x 20-(a +2)x 0+2-b =0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a +b =52↓(消元)ab =a ⎝⎛⎭⎫52-a =-⎝⎛⎭⎫a -542+2516 当a =54时,ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1:y =x 2-2x +2,有y ′=2x -2,[1分] 对于C 2:y =-x 2+ax +b ,有y ′=-2x +a ,[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0,y 0),由题意知过交点(x 0,y 0)的两切线互相垂直. ∴(2x 0-2)(-2x 0+a )=-1, 即4x 20-2(a +2)x 0+2a -1=0① 又点(x 0,y 0)在C 1与C 2上,故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0=x 20-2x 0+2y 0=-x 20+ax 0+b⇒2x 20-(a +2)x 0+2-b =0② 由①②消去x 0,可得a +b =52.[6分](2)由(1)知:b =52-a ,∴ab =a ⎝⎛⎭⎫52-a =-⎝⎛⎭⎫a -542+2516.[9分] ∴当a =54时,(ab )最大值=2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容:题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P (x 0,y 0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x =x 0处的导数值;(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数,而函数值f (x 0)是一个常量,其导数一定为0,即(f (x 0))′=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.2.求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0的值为( )A .e 2B .e C.ln 22D .ln 2答案 B解析 由f (x )=x ln x 得f ′(x )=ln x +1.根据题意知ln x 0+1=2,所以ln x 0=1,因此x 0=e.2.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( )A .-1B .-2C .2D .0 答案 B解析 f ′(x )=4ax 3+2bx , ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)=2, ∴f ′(-1)=-2.3.已知函数f (x )=12x 2+4ln x ,若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0,使得曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线与直线x +my -10=0垂直,则实数m 的取值范围是( ) A .[5,+∞) B .[4,5] C .[4,133] D .(-∞,4)答案 B解析f ′(x )=x +4x ,当1≤x 0≤3时,f ′(x 0)∈[4,5],又k =f ′(x 0)=m ,所以m ∈[4,5].4.曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x =1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12 答案 B解析 求导得y ′=3x 2,所以y ′=3x 2|x =1=3, 所以曲线y =x 3在点(1,1)处的切线方程为 y -1=3(x -1),结合图像易知所围成的三角形是直角三角形, 三个交点的坐标分别是(23,0),(1,0),(1,1),于是三角形的面积为12×(1-23)×1=16,故选B.5.已知f 1(x )=sin x +cos x ,f n +1(x )是f n (x )的导函数,即f 2(x )=f 1′(x ),f 3(x )=f 2′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N +,则f 2 015(x )等于( ) A .-sin x -cos x B .sin x -cos xC .-sin x +cos xD .sin x +cos x答案 A解析 ∵f 1(x )=sin x +cos x ,∴f 2(x )=f 1′(x )=cos x -sin x ,∴f 3(x )=f 2′(x )=-sin x -cos x ,∴f 4(x )=f 3′(x )=-cos x +sin x ,∴f 5(x )=f 4′(x )=sin x +cos x ,∴f n (x )是以4为周期的函数,∴f 2 015(x )=f 3(x )=-sin x -cos x ,故选A.二、填空题6.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=3x 2+2x ·f ′(2),则f ′(5)=________.答案 6解析 对f (x )=3x 2+2xf ′(2)求导,得f ′(x )=6x +2f ′(2).令x =2,得f ′(2)=-12.再令x =5,得f ′(5)=6×5+2f ′(2)=6.7.已知函数y =f (x )及其导函数y =f ′(x )的图像如图所示,则曲线y =f (x )在点P 处的切线方程是__________________.答案 x -y -2=0解析 根据导数的几何意义及图像可知,曲线y =f (x )在点P 处的切线的斜率k =f ′(2)=1,又过点P (2,0),所以切线方程为x -y -2=0.8.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 答案 [2,+∞)解析 ∵f (x )=12x 2-ax +ln x ,∴f ′(x )=x -a +1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )存在零点,x +1x -a =0,∴a =x +1x≥2.三、解答题9.求下列函数的导数.(1)y =x n lg x ;(2)y =1x +2x 2+1x 3; (3)y =sin x x n ; 解 (1)y ′=nx n -1lg x +x n ·1x ln 10=x n -1(n lg x +1ln 10). (2)y ′=(1x )′+(2x 2)′+(1x 3)′ =(x -1)′+(2x -2)′+(x -3)′=-x -2-4x -3-3x -4=-1x 2-4x 3-3x 4. (3)y ′=(sin x x n )′=x n (sin x )′-(x n )′sin x x 2n=x n cos x -nx n -1sin x x 2n=x cos x -n sin x x n +1. 10.已知曲线y =13x 3+43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程.解 (1)∵P (2,4)在曲线y =13x 3+43上,且y ′=x 2, ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x =2=4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(2)设曲线y =13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0,13x 30+43, 则切线的斜率为y ′|x =x 0=x 20.∴切线方程为y -⎝⎛⎭⎫13x 30+43=x 20(x -x 0),即y =x 20·x -23x 30+43. ∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 20-23x 30+43, 即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 20+4=0,∴x 20(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为x -y +2=0或4x -y -4=0.B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1.在函数y =x 3-9x 的图像上,满足在该点处的切线的倾斜角小于π4,且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A .0B .1C .2D .3答案 A解析 依题意得,y ′=3x 2-9,令0≤y ′<1得3≤x 2<103, 显然满足该不等式的整数x 不存在,因此在函数y =x 3-9x 的图像上,满足在该点处的切线的倾斜角小于π4,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A. 2.若函数f (x )=x 2+bx +c 的图像的顶点在第四象限,则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )=x 2+bx +c =⎝⎛⎭⎫x +b 22-b 24+c , 由f (x )的图像的顶点在第四象限得-b 2>0,∴b <0. 又f ′(x )=2x +b ,斜率为正,纵截距为负,故选A.3.(2013·广州调研)已知曲线C :f (x )=x 3-ax +a ,若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则a 的值为________.答案 278解析 设切点坐标为(t ,t 3-at +a ).由题意知,f ′(x )=3x 2-a ,切线的斜率为k =y ′|x =t =3t 2-a ,①所以切线方程为y -(t 3-at +a )=(3t 2-a )(x -t ).②将点(1,0)代入②式得,-(t 3-at +a )=(3t 2-a )(1-t ),解之得,t =0或t =32. 分别将t =0和t =32代入①式,得k =-a 和k =274-a , 由题意得它们互为相反数得a =278. 4.设函数f (x )=ax -b x,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0. (1)求f (x )的解析式;(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解 (1)方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3. 当x =2时,y =12.又f ′(x )=a +b x 2, 于是⎩⎨⎧ 2a -b 2=12,a +b 4=74, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =3.故f (x )=x -3x . (2)设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x 2知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=⎝⎛⎭⎫1+3x 20(x -x 0), 即y -⎝⎛⎭⎫x 0-3x 0=⎝⎛⎭⎫1+3x 20(x -x 0). 令x =0,得y =-6x 0, 从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0,-6x 0. 令y =x ,得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为S =12⎪⎪⎪⎪-6x 0|2x 0|=6.故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.5.设有抛物线C :y =-x 2+92x -4,过原点O 作C 的切线y =kx ,使切点P 在第一象限. (1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标.解 (1)设点P 的坐标为(x 1,y 1),则y 1=kx 1,①y 1=-x 21+92x 1-4,② ①代入②得x 21+(k -92)x 1+4=0. ∵P 为切点,∴Δ=(k -92)2-16=0得k =172或k =12. 当k =172时,x 1=-2,y 1=-17. 当k =12时,x 1=2,y 1=1. ∵P 在第一象限,∴所求的斜率k =12. (2)过P 点作切线的垂线,其方程为y =-2x +5.③将③代入抛物线方程得x 2-132x +9=0. 设Q 点的坐标为(x 2,y 2),即2x 2=9,∴x 2=92,y 2=-4.∴Q 点的坐标为(92,-4).。
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1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号
N
N*(或 N+)
Z
有理数集 Q
实数集 R
答案 (1)C (2)0 或98
解析 (1)∵2-3 x∈Z,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,
又∵x∈Z,∴x 值分别为 5,3,1,-1,
故集合 A 中的元素个数为 4.
(2)若 a=0,则 A=23,符合题意; 若 a≠0,则由题意得 Δ=9-8a=0,解得 a=98.
综上,a 的值为 0 或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数
2.集合间的基本关系 关系
子集
自然语言
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A,则 x∈B)
符号语言 A⊆B(或 B⊇A)
Venn 图
真子集 集合相等
集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B 互为子集
A B(或 B A) A=B
A.{-1,1,5}
B.{-1,5}
C.{1,5}
D.{-1}
答案 A
解析 ∵A={-1,5},B={-1,1},
∴A∪B={-1,1,5}.
3.已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( )
A.{-1,0,1,2}
B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}
D.{-1,0}
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A.
2
(2)因为{1,a+b,a}=0,ba,b,a≠0, 所以 a+b=0,得ba=-1, 所以 a=-1,b=1,所以 b-a=2. 题型二 集合的基本关系
【步步高】高三文科数学总复习讲义
例 2 (1)(2019·唐山一模)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足 A⊆B 的 B 的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知集合 A={x|x2-2 017x+2 016<0},B={x|x<a},若 A⊆B,则实数 a 的取值范围是__________________. 答案 (1)B (2)[2 016,+∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合 B 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共 4 个. (2)由 x2-2 017x+2 016<0,解得 1<x<2 016, 故 A={x|1<x<2 016}, 又 B={x|x<a},A⊆B,如图所示,
Venn 图
【知识拓展】 1.若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n-1. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. 3.A∩∁UA=∅;A∪∁UA=U;∁U(∁UA)=A.
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × ) (3)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1.( × ) (4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ ) (5)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ ) (6)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × )
答案 A
解析 因为 A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B={-1,0,1,2},故选 A.
4.(2019·天津)已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 A∩B 等于( )
A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}
1
【步步高】高三文科数学总复习讲义
1.(教材改编)若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A
答案 D
解析 由题意知 A={0,1,2,3},由 a=2 2,知 a∉A.
2.(教材改编)设 A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1},则 A∪B 等于( )
答案 D
解析 因为集合 B 中,x∈A,所以当 x=1 时,y=3-2=1;
当 x=2 时,y=3×2-2=4;
当 x=3 时,y=3×3-2=7;
当 x=4 时,y=3×4-2=10;
即 B={1,4,7,10}.
又因为 A={1,2,3,4},所以 A∩B={1,4}.故选 D.
5.已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________.
集、点集还是其他类型的集合;(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常
用于解决集合问题.
(1)(2019·临沂模拟)已知 A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是( )
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1∉A
B.-11∈A
C.3k2-1∈A(k∈Z)
D.-34∉A
(2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,则 b-a=________.
答案 2
解析 ∵A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4},
∴2∈{1,3,m},∴m=2.
题型一 集合的含义
例 1 (1)(2017·石家庄调研)已知集合 A={x|x∈Z,且2-3 x∈Z},则集合 A 中的元素个数为(
)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则 a=________.
3.集合的基本运算 运算 交集
并集
补集
自然语言 由属于集合 A 且属于集合 B 的 所有元素组成的集合
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合
由全集 U 中不属于集合 A 的所 有元素组成的集合
符号语言 A∩B={x|x∈A 且 x∈B} A∪B={x|x∈A 或 x∈B}
∁UA={x|x∈U 且 x∉A}