四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
四川省成都市2022届数学高二第二学期期末监测试题含解析
四川省成都市2022届数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．用数学归纳法证明：“1(12)(123)(123)n +++++++++++L L (1)(2)6n n n ++=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是（）A ．(1)2k k + B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)122k k k k +++⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L D ．(1)(2)2k k ++2．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．3．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜34．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<5．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=6．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升B ．三升C ．四升D ．五升7．求函数21y x x =-- ）A ．[0，+∞）B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158，+∞） 8．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 31357则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+必过 A ．()2,2 B ．()1.5,4C ．()1,2D ．()1.5,010．61(2)x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．192B ．192-C ．160D ．160-11．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分的含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得8152ii x==∑，81228i i y ==∑，821478ii x ==∑，811849i i i x y ==∑，则y 对x 的回归方程是( )A ．$y ＝11.47＋2.62xB ．$y ＝－11.47＋2.62xC ．$y ＝2.62＋11.47xD ．$y ＝11.47－2.62x12．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ） A ．16B ．C ．13D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图所示是世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系．利用散点图中的数据建立的回归方程为ˆ 3.19388.193yx =+，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差_________．15．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径 为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为__ _16．若对一切实数x ，不等式220x a x -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知2341()nx x+ 展开式中的倒数第三项的系数为45， 求：（1）含3x 的项； （2）系数最大的项．18．设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a bb a +++的最小值. 19．（6分）某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．（含20）的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．20．（6分）设函数21()2ln ()2f x x ax x a R =-+∈在1x =时取得极值． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．21．（6分）已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.22．（8分）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和n （*N n ∈）个人口低于200万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415. （1）求n 的值；（2）若一次抽取4个城市，则：①假设取出小城市的个数为X ，求X 的分布列和期望； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】解：∵n k =时，左边最后一项为(1)1232k k k ++++⋯⋯+=， 1n k =+时，左边最后一项为(1)(2)123..(k 1)2k k +++++⋯++=，故选：D ． 【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式 3．A 【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A. 4．B 【解析】试题分析：由题意得：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，即f （x ）=f （2-x ）成立， 所以函数的对称轴为x=1，所以f （3）=f （-1）． 因为当x ∈（-∞，1）时，（x-1）f ′（x ）＜0，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（-∞，1）上单调递增．故选B ．考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。
成都数学高二下期末测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）A ．66B ．66±C ．62D ．62± 2．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．32 B ．23 C ．6 D ．1523．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin 23A B A B +=+=，则角C 等于（ ）A ．150B ．120C ．60D ．304．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．25．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为A ．2B ．1C ．12D ．146．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ）A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．a ，b 为两边的三角形面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积7．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．12 9．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ= B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴10．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形11．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．33 B ．33- C ．539 D ．69- 12．若()2sinsin sin 777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的 个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．10013．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ）A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1- D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称14．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形15．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512πC ．6πD ．56π 二、填空题16．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____．17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）1821sin8+-_________.19．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b a 在b 方向上的投影是__________．20．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．21．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤．（3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=． 请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）22．若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________．23．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.24．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________．25．在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.三、解答题26．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.27．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.28．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值.（1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 29．已知(1,2),(2,2),(1,5)a b c ==-=-．若a b λ-与b c +平行，求实数λ的值．30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈.（1）求证：函数()cos 3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos 3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．B5．B6．A7．D8．B9．C10．C12．C13．A14．C15．B二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力18．【解析】原式因为所以且所以原式19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：22．【解析】依题设由∥得解得23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为224．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=， ∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．D解析：D【解析】【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ． 【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单3．D解析：D【解析】【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=， 2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =.故选：D【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x ）取最大值2,故|MN|的最大值为2,故选B 5．B 解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于12BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A7．D 解析：D【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D.考点：三角恒等变形公式. 8．B解析：B【解析】【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)23cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.9．C解析：C【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位，可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==，()2f ϕ=-不正确，故选C. 10．C解析：C【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形. 考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.11．C解析：C【解析】【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数， 而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余 都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.13．A解析：A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数2111()cos cos 2cos 2sin(2)22262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，11()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．C解析：C 【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.15．B解析：B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈，因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力解析：2【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．18．【解析】原式因为所以且所以原式 解析：2sin 4-【解析】原式2cos42sin4cos4==+-，因为53442ππ<<，所以cos40<，且sin4cos4<，所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-．19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.22．【解析】依题设由∥得解得解析：34-. 【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34λ=-. 23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：12【解析】由题意得,1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=， 0b c ⋅=,即()()()2111111022b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.24．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想解析：垂心 【解析】 【分析】根据向量运算,用,,HA HB HC 表示出向量,,CA AB BC ,可得HC AB ⊥,从而可得. 【详解】因为BC HC HB =-,CA HA HC =-,AB HB HA =- 所以2222)(()HC HA HB HB HA HC +=--+ 整理得()0HC HB HA ⋅-=,0HC AB ⋅=,即AB HC ⊥; 同理可得AC HB ⊥,BC HA ⊥. 所以可知H 为垂心. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.三、解答题 26． （Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭14cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.27．(1)45；(2). 【解析】【分析】 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.28．（1）(,1]2-；（2. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)123x π-<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．29．18【解析】 【分析】a b λ-与b c +用坐标表示，根据向量的平行坐标关系，即可求解.【详解】解：由题意得(12,22)a b λλλ-=-+，(1,3)b c +=， 因为a b λ-与b c +平行，所以(12)3(22)1λλ-⋅=+⋅， 解得18λ=． 因此所求实数λ的值等于18． 【点睛】本题考查平行向量的坐标关系，属于基础题.30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】 【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数；（3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】 （1）()()()()()2112coscoscos cos 333333x x x xf x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112coscoscos1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+- ∴()cos3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数. 证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+. 所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=， 所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确. 如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴()()()21h x h x h x +=+- ∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦ ∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。
四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含解析)
成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本堂考试120分钟，满分150分．3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1i)3i z +=-，则z =（ ）A ．BCD 2．函数()(3)e xf x x =-的单调增区间是（ ）A ．(,2)-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2,)+∞3．关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本点的中心；②相关系数r 越大，线性相关程度越强；③决定系数2R 越接近1拟合效果越好；④随机误差平方和越小，拟合效果越好．其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设1cos 662a =︒︒，2sin13cos13b =︒︒，c =）A ．a b c>>B ．a b c<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．在空间直角坐标系中，(0,0,0)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,3)C ，三角形ABC 重心为G ，则点P 到直线AG 的距离为（ ）A ．67B C D6．已知点(A ，抛物线2:4C y x =上有一点()00,P x y ，则202||2y PA +的最小值是（ ）A ．10B ．8C ．5D ．47．有5名大学生到成都市的三所学校去应聘，若每名大学生至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）A ．390B ．150C ．90D ．4208．双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，，右支上一点P 满足12PF PF ⊥，直线l 平分12F PF ∠，过点1F ，2F 作直线l 的垂线，垂足分别为A ，B ．设O 为坐标原点，则OAB △的面积为（ ）A．B．C．D ．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9．若“[4,6]x ∃∈，210x ax -->”为假命题，则实数a 的取值可以为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．510．我国5G 技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G 关键技术试验、5G 技术方案验证和5G 系统验证三个阶段．2020年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G 手机的实际销量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份编号x 12345销量y （部）5096a185227若y 与x 线性相关，且求得回归直线方程为ˆ455yx =+，则下列说法正确的是（ ）A ．142a =B ．y 与x 的相关系数为负数C ．y 与x 正相关D ．2022年7月该手机商城的5G 手机销量约为365部11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足132f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数，(21)f x +为奇函数，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．4133f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若“12x <<”是“|2|1x m -<”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________．13．若7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ ，则0127a a a a ++++ 的值为__________．14．若数列{}n a 满足111n n d a a +-=，（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列．已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320222022x x x x ++++= ，则92014x x +的最大值为__________．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量4sin ,m A ⎛= ⎝ ，1cos ,2cos 22n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f A m n =⋅ ，π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求函数()f A 的最小值；（2）若()0f A =，a =b c +=，求ABC △的面积．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，224PA BC AD AB ====，AD ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，E 、F 分别是棱PB 、PC 的中点．（1）证明：//DF 平面ACE ；（2）求平面ACE 与平面PAD 的夹角的正弦值．17．（本小题满分15分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．（1）请补全22⨯列联表，试根据小概率值0.05α=的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；体育活动合计性别课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男女合计（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X ﹐求X 的分布列、数学期望和方差．附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点1F 的动直线l 交E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，且l 不与x 轴垂直，2ABF △的周长为2AF 与E 交于另一点C ，直线2BF 与E 交于另一点D ，点P 为椭圆E 的下顶点，如图．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．19．（本小题满分17分）定义运算：m n mq np p q =-，已知函数ln 1()1x x f x a -=，1()1g x x=-．（1）若函数()f x 的最大值为0，求实数a 的值；（2）若函数()()()h x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()121220h x h x a x x --+<-；（3）证明：222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷 参考答案：1．A【分析】利用复数的运算性质求出共辄复数，再求模即可．【详解】因为(1i)3i z +=-，所以23i (3i)(1i)34i i 34i 112i,1i (1i)(1i)22z ----+--=====-++-，所以12i z =+，z ==，故C 正确．故选：A ．2．D【分析】对函数求导，根据导函数的正负，确定函数的单调递增递减区间即得．【详解】由()(3)e xf x x =-求导得，()(2)e xf x x '=-，则当2x >时，()0f x '>，即函数()(3)e xf x x =-在(2,)+∞上单调递增；当2x <时，()0f x '<，即函数()(3)e x f x x =-在(,2)-∞上单调递减，故函数()(3)e xf x x =-的单调递增区间为(2,)+∞．故选：D ．3．C【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可．【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；对于②，相关系数r 的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；对于③，决定系数R 越接近1拟合效果越好，故③正确；对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．故选：C ．4．C【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可．【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 242a =︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，sin26b =︒，sin 25c ====︒，因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，故a c b <<．故选：C ．5．B【详解】在空间直角坐标系中，(0,0,0)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,3)C ，三角形ABC 重心为G ，所以12,,133G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,0,0)PA =，22,,133AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以PA 在AG上的投影为：PA AG AG⋅== 所以点P 到直线AG=．故选：B ．6．B【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化22||2(||||)22y PA PF PA +=+-，再利用数形结合求最值．【详解】已知抛物线2:4C y x =上有一点()00,P x y ，则2004y x =，即2004y x =．又243>⨯，故(A 在抛物线2:4C y x =的外部，则()()220002||2||2||21|224y y PA PA x PA x PA ⎛⎫+=+=+=++- ⎪⎝⎭∣，因为抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，则0||1PF x =+，故()2002||21||22(||||)22y PA x PA PF PA +=++-=+-．由于||||||PF PA AF +≥，当A ，P ，F 三点共线（P 在A ，F 之间）时，||||PF PA +取到最小值||5AF ==，则202||2(||||)22y PA PF PA +=+-的最小值为2528⨯-=．故选：B ．【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可．【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有35A 60=种，若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有1143435322C C C A 180A =种，若5人都被录用，满足条件的录用情况有1122335453332222C C C C A A 150A A +=种，由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390．故选：A ．8．D【分析】根据给定条件，求出2a ，结合几何图形及双曲线定义可得OAB △的面积212S a =得解．【详解】由双曲线222:1(0)5x y C a a -=>=，解得220a =，令直线1F A 交2PF 的延长线交2PF 于Q ，直线2F B 交1PF 于N ，则1PA FQ ⊥，2PB F N ⊥，由PA 平分12F PF ∠，且1290F PF ∠=︒，得112245PFQ PQF PF N PNF ∠=∠=∠=∠=︒，则1||PA PF =，2||PB PF =，||||||2AB PA PB a =-==，显然A ，B 分别为线段1FQ ，2F N 的中点，而O 是12F F 的中点，于是//OA PQ ，1//OB PF ，145OAB APQ APF OBA ∠=∠=︒=∠=∠，即90AOB ∠=︒，||||||OA OB AB a ===，所以OAB △的面积2211||1022S OA a ===．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题求出OAB △面积的关键是作出点Q ，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得||AB =．【分析】根据条件，将问题转化成即1x a x -≤在[]4,6恒成立，令1()f x x x=-，利用其单调性，求出()f x 的最大值，即可求解．【详解】因为“[4,6]x ∃∈，210x ax -->”为假命题，所以[4,6]x ∀∈，210x ax --≤恒成立，即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[4,6]x ∈．令1()f x x x =-，易知1()f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以max 135()(6)666f x f ==-=，所以356a ≥．故选：ABC ．10．AC【分析】对A ，根据样本中心在回归直线上即可求解；对B ，从表格数据看，y 随x 的增大而增大，即可判断；对C ，因为y 与x 正相关，所以y 与x 的相关系数为正数，故可判断；对D ，将月份编号7x =代入到回归直线即可求解判断．【详解】对A ，1234535x ++++==，509618522755855a ay +++++==，因为点(),x y 在回归直线上，所以55845355a+=⨯+，解得142a =，所以选项A 正确；对C ，从表格数据看，y 随x 的增大而增大，所以y 与x 正相关，所以选项C 正确；对B ，因为y 与x 正相关，所以y 与x 的相关系数为正数，所以选项B 错误；对D ，2022年7月对应的月份编号7x =，当7x =时，ˆ4575320y=⨯+=，所以2022年7月该手机商城的5G 手机销量约为320部，所以选项D 错误．故选：AC ．11．AD【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B ，利用特殊值代入判断A ，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C ，根据函数的关系式和单调性判断D ．【详解】因为132f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数，111133()(1)2222f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇔-=+⇔=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故函数图象关于直线12x =对称，(21)f x +为奇函数，(21)(21)(1)(1)f x f x f x f x -+=-+⇔-+=-+，函数图象关于(1,0)对称，对于D ，()(1)(1)f x f x f x =-=-+，(2)(1)()f x f x f x +=-+=，故2是函数的周期，函数为周期函数，故D 正确；对于A ，(21)(21)f x f x -+=-+，令0x =，(1)(1)f f =-，故(1)0f =，又(0)(11)(1)0f f f =-==，故A 正确；对于C ，131222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，即函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，函数图象关于(1,0)对称，故函数在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，故函数在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数不是偶函数，故C 错误；对于B ，124333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，故选：AD ．【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；12．【详解】由|2|1x m -<，得2121m x m -<<+，因为“12x <<”是“|2|1x m -<”的充分不必要条件，所以集合{12}x x <<∣是集合{2121}x m x m -<<+∣的真子集，所以211212m m -≤⎧⎨+≥⎩（不同时取等号），解得112m ≤≤，所以实数m 的取值范围为112m ≤≤．故答案为：112m ≤≤．13．128【详解】令0x =，得701272128a a a a ++++== ．14．2【分析】根据调和数列，可得{}2n x 为等差数列，即可根据等差数列求和公式得22920142x x +=，进而利用不等式即可求解．【详解】数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，故221n n x x d +-=，所以{}2n x 为等差数列，由222212320222022x x x x++++= ，所以()2212022202220222xx +⨯=，故22120222x x +=，所以22920142x x +=，故22920149201422x x x x +=≥，故920141x x ≤，由于()222920149201492014920142224x x x x x x x x +=++=+≤．当且仅当92014x x =时等号成立，故92014x x +的最大值为2．故答案为：2．15．【详解】（1）ππ()4sin cos cos sin 2cos 233f A m n A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 222sin 23A A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．因为π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,363A ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以当π4π233A -=，即5π6A =时，()f A有最小值（2）因为()0f A =，所以π2sin 203A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2π3A k -=，k ∈Z ，因为π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π3A =．由正弦定理，2sin sin sin b c a B C A====，所以sin 2b B =，sin 2c C =．又因为sin sin B C +=，所以22b c +=，得b c +=，由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+-，所以3bc =．所以11sin 322ABC S bc A ==⨯=△．16．【详解】（1）如图所示，连接EF ．因为E ，F 分别是棱PB ，PC 的中点，所以//EF BC ，2BC EF =．因为//AD BC ，2BC AD =，所以//EF AD ，EF AD =，所以四边形ADFE 是平行四边形，则//AE DF ．因为AE ⊂平面ACE ，DF ⊂/平面ACE ，所以//DF 平面ACE ．（2）因为AD ⊥平面PAB ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，AD AB ⊥，又因为PA AB ⊥，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AP ，AD的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可得(0,0,0)A ，(2,0,4)C ，(1,2,0)E ，(2,0,4)AC = ，(1,2,0)AE =．设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z = ，则240,20,n AC x z n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令2x =，得(2,1,1)n =--．因为PA AB ⊥，AB AD ⊥，PA AD A = ，所以AB ⊥平面PAD ．平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)AB m ==．设平面ACE 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,n m n m n m θ⋅====．故sin θ==，即平面ACE 与平面PAD17．【详解】（1）依题意，列出22⨯列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男302050女401050合计7030100零假设为0H ：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，因为220.05100(30102040)1004.762 3.8415050703021x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为202505=，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为25，由题意得2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则4422()C 155kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，可得04042281(0)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，131422216(1)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222422216(2)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31342296(3)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，40442216(4)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：X 01234P816252166252166259662516625X 的数学期望为28()455E X np ==⨯=，X 的方差为2224()(1)415525D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．18．【分析】（1）利用椭圆的第一定义和离心率，求解椭圆方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，2AF 的方程为11(1)1y y x x =--，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD 过定点，则该定点在x 轴上，即可得到定点坐标7,05⎛⎫⎪⎝⎭；【详解】（1）由椭圆定义可知122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF △的周长为4a =，所以a =，所以c a =，所以1c =，又2221b a c =-=，所以椭圆的方程：2212x y +=．（2）（ⅰ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则直线2AF 的方程为11(1)1y y x x =--，则1111x x y y -=+，由11221112x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，221111112210x x y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以211322211111121212y y y x x y x y --==-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为221112x y +=，所以221122x y +=，所以2113123y y y x =-，故13123y y x =-，又111133311111134112323x x y x x y y y y x x ---=+==+=--，同理，24223y y x =-，2423423x x x -=-，由A ，1F ，B 三点共线，得121211y yx x =++，所以211221x y x y y y -=-，直线CD 的方程为43111431342323y y y x y x x x x x ⎛⎫---=- ⎪---⎝⎭，由对称性可知，如果直线CD 过定点，则该定点在x 轴上，令0y =得，()()()()()1431431433423y x x x y y x x y y --+--=--()()21211121212112134343423232323232323x x y y y x x x x x y y x x x ⎛⎫⎛⎫----+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪--⎝⎭()()()()()()()()1221121221211212122134344372323325y x y x y y x y x y y x y x y y x y x y --+--+-===----+-，故直线CD 过定点7,05⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a 的值即可；（2）条件等价于()0h x '=有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a 的范围，要证()()121220h x h x a x x --+<-，即证22212ln 0x x x -+<，令1()2ln (1)x x x x x ϕ=-+>求导确定函数()x ϕ的单调性，证明结论．（3）利用（1）结论可得则当1n >时，22211111ln 1111n n n n n⎛⎫⎛⎫+<+-=<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，进而利用裂项相消求和证明结论．【详解】（1）由题意知：()ln 1f x a x x =-+，()1(0)af x x x∴'=->，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减，不存在最大值．②当0a >时，由()0f x '=得x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '>；(,)x a ∈+∞，()0f x '<，∴函数()y f x =的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．max ()()ln 10f x f a a a a ∴==-+=，1a ∴=．（2）1()()()ln h x f x g x a x x x=+=-+ ，22211()1a x ax h x x x x -+-'∴=--=，“函数()h x 存在两个极值点1x ，2x ”等价于“方程22211()10a x ax h x x x x -+-'=--==有两个不相等的正实数根”；故212124010a x x x x a ⎧∆=->⎪=⎨⎪+=>⎩，解得2a >．()()11221212121211ln ln a x x a x x h x h x x x x x x x -+-+--=--()()()21122112121212ln ln ln ln 2x x a x x x x a x x x x x x x x --+-+-==---，要证()()121220h x h x a x x --+<-，即证1212ln ln 1x x x x -<-，121x x = ，不妨令1201x x <<<，故1211x x =<，由1212ln ln 1x x x x -<-得22212ln 0x x x -+<，令1()2ln (1)x x x x xϕ=-+>，222222121(1)()10x x x x x x x x ϕ-+---'=--==<在(1,)+∞恒成立，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0x ϕϕ<=．()()121220h x h x a x x -∴-+<-成立．（3）由（1）知，ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，∴当1n >时，22211111ln 1111n n n n n ⎛⎫⎛⎫+<+-=<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，222111111111ln 1ln 1ln 1111232231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++⋯++<-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⋯+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题．。
四川省成都市四川金堂中学高二数学理下学期期末试卷含解析
四川省成都市四川金堂中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则当时，的展开式中常数项为（）A. B. C.D.参考答案：C略2. 如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为（）A．B． C． D．参考答案：B3. 命题“若，则”的逆否命题是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则参考答案：A4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个参考答案：A略5. 若，，则与的关系（）A B C D参考答案：B6. 各项均为正数的等比数列的前n项和为S n，若S n=2,S3n=14,则S4n等于（）（A）80（B）30 (C)26 (D)16参考答案：B7. 使不等式2x﹣4＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞2 B．x＞3 C．x＞1 D．x∈{1，2}参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出不等式，结合集合的包含关系求出充分必要条件即可．【解答】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，不等式成立的一个充分不必要条是：x＞3，故选：B．8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为A． B. C. D．参考答案：C9. 直线恒过定点，且点在直线（）上，则的最小值为A． B． C．D．参考答案：B先求出定点，再将代入直线，得到关于m、n的关系式，由基本不等式得：=解：直线恒过定点，把A代入直线得：，所以=，则的最小值为。
故选B。
考点：基本不等式．10. 已知一组数据…的平均数，方差，则数据，，…的平均数和标准差分别为（）A. 15，36B. 22，6C. 15，6D.22，36参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线y=x3－2x2－4x+2在点（1，－3）处的切线方程是。
四川省成都市高二下学期期末数学试卷(文科)
四川省成都市高二下学期期末数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一上·长宁期中) 已知集合A={（x，y）|3x﹣y=7}，集合B={（x，y）|2x+y=3}，则A∩B=________．2. （1分）(2020·如皋模拟) 复数z满足 (其中为虚数单位)，则z的虚部为________.3. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写；④在上为增函数．其中正确的命题的序是：________．4. （1分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有________ 个5. （2分） (2019高一上·厦门月考) 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则 ________；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则 ________.6. （1分） (2018高一上·四川月考) 已知幂函数的图象经过点，则 =________.7. （1分） (2016高一上·铜陵期中) 已知f（x）= ，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=________8. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为________．9. （1分）(2018·长宁模拟) 若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为________．10. （1分） (2017高一下·苏州期末) 已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=________．11. （1分） (2016高二上·南通开学考) 已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是________．12. （1分） (2019高一上·台州期中) 已知函数是定义在上的偶函数，若在上为增函数，且满足，则的取值范围是________．13. （1分） (2016高一上·盐城期中) 函数f（x）=﹣x2+2x﹣3，x∈[0，2]的值域是________14. （1分） (2015高三上·舟山期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a4﹣a2=8，a3+a5=26．记Tn= ，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 已知复数其中i为虚数单位．（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．16. （10分） (2019高一上·南昌月考) 已知，（1）化简；（2）若，求的值.17. （10分）(2018·南昌模拟) 函数的部分图象如图所示.（1）求及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.18. （10分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%．（1）从2015年起，经过x 年的研发资金为y 万元，写出y 关于x 的函数解析式；（2）从哪一年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元？（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）19. （5分）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，求满足的所有x之和．20. （5分）已知关于x的函数．（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-，求b、c；（2）设当x∈（， 3）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤2，求实数b的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共45分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。
2019-2020学年四川省成都市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，看出复数的对应的点的坐标，得到点的位置．解：，对应的点是（﹣2，1），故选：B．3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．2【分析】由分段函数f（x）＝，由内向外依次求函数值即可．解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，故选：D．4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．37【分析】根据随机数表直接求解即可．解：第6行第9列的数开始向右读，依次为39，17，37，23，35，则第5个编号是35．故选：C．5．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．【分析】可以求出导函数，然后将x换上即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解：由q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，∴1+k2＝4，∴k＝±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．解：椭圆+＝1的焦点（±5，0），所以双曲线﹣＝4（a＞0，b＞0）的焦点坐标（±2，0），双曲线﹣＝1离心率为2，所以，可得a＝1，则b＝＝＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1+＝．故选：B．9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π【分析】由三视图知，该几何体是一个球切除两个八分之一几何体的剩余部分，再根据球的半径即可求得表面积．解：由三视图，该几何体是球体切除两个八分之一几何体的剩余部分，球的半径为2．切除部分：O﹣PAB；O﹣PCD，如图：即原几何体的表面积为S＝×4π×27+×π×24＝18π．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）【分析】将曲线C的参数方程，求得其普通方程，并求得其取值范围，利用直线与抛物线的位置关系，即可求得实数k的取值范围．解：对于曲线C：x＝1+sin2θ＝（sinθ+cosθ）2＝y2，因为0≤4+sin2θ≤2，，联立方程组，消去x，整理得ky2﹣y+k＝6，由题意，该方程在上有两个不同的解，有y1+y2＝∈，y＝k（x+1）恒过点（﹣1，6），它与点之间连线的斜率是，因此，，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，结合单调性及偶函数的定义即可比较大小．解：由f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2|﹣x|+3＝﹣x2+2|x|+7＝f（x）可得f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3在（0，1）递增，（1，+∞）上单调减，又ln5﹣1＝ln，1﹣ln2＝ln，且，所以f（ln3）＞f（ln2）＞f（e），故选：A．12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e【分析】运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求最值．解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，若k≤0，则f′（x）＞4，可得f（x）在（0，+∞）递增，故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣3，则≥﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，则的最小值是﹣e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为12.3．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出，然后代入x＝8，求解即可．解：由题意可得＝＝3.5，＝＝3.5，可得＝﹣0.5．当x＝8时，＝1.7×8﹣0.5＝12.3．故答案为：12.3．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1＝0．【分析】求出切点坐标和切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．解：易知f（0）＝1，切点为（0，1）．f′（x）＝﹣4e x，所以k＝f′（0）＝﹣2．即2x+y﹣1＝5．故答案为：2x+y﹣1＝0．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．【分析】根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；综上可得：会中国象棋的是乙，故答案为：乙．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．【分析】根据题意，|OQ|＝c．设∠PF1F2＝θ，则，在△PF1F2中，利用余弦定理，即可求得椭圆的离心率的取值范围．解：记PF1的中点为Q，连接OQ，因为Q在x2+y2＝a2﹣b2＝c2，所以|OQ|＝c．所以|PF2|＝2c，|PF3|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得＝＝，所以0＜（a﹣c）2≤（a﹣c）c，由e＜1，所以e≥1﹣e，所以＝，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．【分析】（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图列出方程组，能求出m，n，由此能补全各年龄段人数频率分布直方图；（Ⅱ）根据条件从年龄在[30，35）段选取3人，从年龄在[35，40）段选取2人，然后求出从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，基本事件总数n和选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m，再求出选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．解：（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图得：，补全各年龄段人数频率分布直方图如下：（Ⅱ）从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m＝＝6，∴选取的7名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率p＝＝＝．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+4ax+b，由f′（﹣1）＝0，f（﹣1）＝0，解得：；则f′（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），故f（x）在[﹣1，﹣）递减，在（﹣，1]递增，而f（﹣5）＝0，f（1）＝4，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值是4．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC ⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）利用V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD求解．【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，得BE2＝AB2+AE5﹣2AB•AE•cos60°＝．在图②中，有AE⊥BE，∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，∴平面ABE⊥平面ABC；∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．∴V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD＝＝．故三棱锥P﹣ABD的体积为．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．【分析】（Ⅰ）反解x，y，根据（x，y）满足圆方程，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）设出点P的坐标（m，n），用m，n表示出M，N两点的坐标，再求三角形面积，即可得到结果．解：（Ⅰ）圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：，即，即曲线C的方程为．故可得m2+4n6＝4，故直线PB方程为：，令y＝4，同理直线PA方程为：，令x＝0，故M点坐标为，＝＝故△ABM与△BMN的面积之和为2．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）两次求导，由导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）（lnx+ax+1），x∈[，e2]，将问题转化为函数h（x）的零点个数问题，显然x＝1是函数h（x）的一个零点，当x≠1时，求方程lnx+ax+1＝0根的个数，常数分离，构造t（x）＝﹣，x∈[，e2]，利用导数判断函数t（x）的单调性与最值，即可a的取值范围，进而判断零点个数．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）lnx的定义域为（0，+∞）．f’（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，f’（1）＝0，所以f（x）（6，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．则函数f（x）与g（x）图象的公共点个数即为函数h（x）的零点个数．当x≠1时，lnx+ax+1＝0，即a＝﹣，则t′（x）＝，故t（x）在[，1）上单调递减，在（3，e2]上单调递增，又t（）＝e8，t（e2）＝﹣，综上可得﹣1＜a≤﹣时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为3；a≤﹣1或a＞e2时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y ﹣5＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，根据，整理得ρ2＝6ρcosθ，（Ⅱ）把直线的参数方程，代入x2+y6＝6x，所以，t1t2＝﹣5，所以+＝＝．。
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·琼海期中) 已知集合 ,那么 =（）A . {2,4}B . {0,2,4}C . {1,2,3,4,5}D . {2,4,6}2. （2分） (2019高二上·衡阳月考) 是虚数单位，复数的虚部（）A . 2B . -2C .D .3. （2分） (2020高二下·宜宾月考) 从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是（）A . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐4. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于（）A . 45B . 60C . 35D . 505. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知实数满足，则的最大值与最小值之和为（）A . -21B . -2C . -1D . 16. （2分）(2020·福建模拟) 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·新课标Ⅰ·理) 函数的图像在点处的切线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·银川模拟) 执行如图所示的程序框图，则当输入的分别为3和6时，输出的值的和为（）A . 45B . 35C . 147D . 759. （2分）若，则A . a>b>cB . a>c>bC . b>a>cD . c>b>a10. （2分）(2017高一上·济南月考) 如图所示，在三棱锥中，，下列结论不正确的是（）A . 平面平面B . 平面平面C . 平面平面D . 平面平面11. （2分） (2019高一上·四川期中) 已知，那么=（）A . 3B .C . 4D .12. （2分） (2020高二上·桂平期末) 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且，则的面积是（）A . 5B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·拉萨期末) 已知向量 =（2，1）， =（x，2），若∥ ，则x=________．14. （1分）(2020·河南模拟) 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，且，，成等比数列，，则 ________．15. （1分）(2018·吕梁模拟) 中，、、角的对边为、、，其中，若，，，则等于________．16. （1分） (2017高二上·如东月考) 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·上海期末) 如图，我国的海监船在D岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东方向与它相距16海里的处有一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．18. （10分） (2017高二下·深圳月考) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式: ，其中．19. （10分） (2020高二下·上海期中) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面， , , 分别为的中点，点M在线段上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若M为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．20. （10分）(2017·漳州模拟) 已知椭圆的左，右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．21. （10分）(2020·陕西模拟) 已知函数， .（1）证明：当时，；（2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围.22. （10分）(2017·邯郸模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 ， C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23. （10分） (2019高三上·新疆月考) 已知定义在R上的函数f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求证：≥3．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学(理)期末试卷【含答案】
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学（理）期末试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则（ ）【答案】A【解析】由题意得：，，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍=⋂B A }3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D {1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A []2{|-40}1,4B x x x =≤==⋂B A }3,2,1{z (3425z i i i ⋅-=+z 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭525z i ⋅=+25z i =+2,15⎛⎫⎪⎝⎭4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A的等腰直角三角形,高为2..故外接球表面积.故选：A 5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是( ) . A ．B ．C ．D ．【答案】D解析 由已知，，则，所以为上的奇函数.8π6π4π823π2222+2=2222224482S R πππ⎛=== ⎝⎭()11122x x f x -+=-e xy =(2ln 1y x x =+2y x =tan y x =()111=22x x f x -+-x ∈R ()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-()f x R设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A ；B 选项中令，则，所以为奇函数.设为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除C ；D 选项中在上不是单调函数.排除D. 故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. B. C. D.()112x f x -=()2112x f x +=-()1f x R ()2f x R ()()()12f x f x f x =+R e x y =()(2ln 1f x x x =+()()(2ln 1f x x x -=-+-+2ln1x x ==++(()2ln 1x x f x -+=-()f x ()21u x x x =+()u x ln y u =(2ln 1y x x =++()111=22x x f x -+-2y x =tan y x =R ()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++()f x ()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++i v vx a =+()i v v x a =+i v a x v =+()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选A.7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，，则的值为（ ） A B C D 【答案】A【解析】因为，，所以，若，，所以不符合， 所以， 所以. 是结束输出vi ≥0?i =i -1i =n -1输入n ，a n ，x开始v =a n输入a i否()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩i v vx a =+xOy α00(,)P x y (,0)2απ∈-3cos()65πα+=0x 334-433-334±433±(,0)2απ∈-3cos()65πα+=(,)636πππα+∈-(0,)66ππα+∈33cos()65πα+>>(,0)63ππα+∈-4sin()65πα+=-03341334cos cos ()66552x ππαα-⎡⎤==+-=-⨯=⎢⎥⎣⎦8． 已知，给出下列四个命题：； ；； ； 其中真命题的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D解析 画出的可行域如图所示.对于命题,在点处, ,则是假命题; 对于命题,在点处, 取最大值为,,故是真命题; 对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,,故是假命题; 对于命题,在点处,,故是真命题.故选D.9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
【精选试卷】成都市数学高二下期末经典测试题
一、选择题1．(0分)[ID ：13891]已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 2．(0分)[ID ：13890]已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．153．(0分)[ID ：13885]O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形4．(0分)[ID ：13848]已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ5．(0分)[ID ：13919]函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．(0分)[ID ：13914]若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的 个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．1007．(0分)[ID ：13913]已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：13908]已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．439．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-10．(0分)[ID ：13905]已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．(0分)[ID ：13835]已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（）A ．25-B ．3C ．3-D ．2512．(0分)[ID ：13834]已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 13．(0分)[ID ：13833]设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．34B ．23C ．43D ．3214．(0分)[ID ：13832]如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b + 15．(0分)[ID ：13829]已知A ，B 2的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ） A 2＋1B 61 C ．2＋1D 6 +1二、填空题16．(0分)[ID ：14027]已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是__________．17．(0分)[ID ：14006]在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________.18．(0分)[ID ：13979]已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b 3，则a 在b 方向上的投影是__________．19．(0分)[ID ：13974]已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________. 20．(0分)[ID ：13973]已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．21．(0分)[ID ：13972]仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤． （3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）22．(0分)[ID ：13960]已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）．定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．23．(0分)[ID ：13947]已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距，则ω值为__________． 24．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3π，则|2|a b -=__________．25．(0分)[ID ：13939]已知()()2,1,,3a b λ=-=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是___________．（用集合表示）三、解答题26．(0分)[ID ：14089]已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos (1tan tan )1A B A B -=-，c =，ABC ∆（1）求C 的大小； （2）求+a b 的值.27．(0分)[ID ：14072]已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 28．(0分)[ID ：14052]已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且139,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项；(2)设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和S n .29．(0分)[ID ：14032]设函数()sin(2)16f x x π=++.(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域;(2)ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3()2f A ==,求sin C . 30．(0分)[ID ：14034]设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A9．B10．D11．D12．C13．D14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶17．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等18．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影19．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力20．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为25．【解析】∵向量与的夹角为钝角∴即；解得即的取值范围是故答案为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.3．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B.考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．4．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=，∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）．又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=，∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]，故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．8．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．9．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=-∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.10．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．11．D解析：D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.13．D解析：D 【解析】 【分析】由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.【详解】 由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，则()423k k N ππω*=∈， 即32k ω=，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值32，故选D. 【点睛】本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.14．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴12AE AC =∵O 是BE 边的中点 ∴1()2AO AB AE =+ ∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b == ∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．15．A解析：A 【解析】 【分析】先由题意得到==OA OB 3AOB π∠=，以O 为原点建立平面直角坐标系，设A θθ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】依题意，得：==OA OB因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠，AOB ∠＝1，得：3AOB π∠=，以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A （2cos θ，2sin θ），则B （2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭） 或B （2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭） 设C （x ，y ）， 当B （2cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭）时， 则OA CB +＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，得：222cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝1，即点C 在1为半径的圆上，A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的距离为：22 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2｜AC ｜的最大值为2＋1 当B （2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭）时，结论一样． 故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二、填空题16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶解析：1-【解析】 【分析】以BC 所在直线为x 轴建立坐标系，设P x y （，） ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+关于x y ， 的表达式，配方即可得出结论． 【详解】以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，斜边22BC =，则022020A B C -（，），（，），（，），设P x y （，），则2222PB PC PO x y PA x y （，），（，），+==--=-∴()22222 2222221PA PB PC x y x y ⋅+=+-=+-（，∴当202x y ==，时，()PA PB PC ⋅+取得最小值-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．17．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等解析：0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.18．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力【解析】 分析：先化简2sincos cos 1242C C π+=得到2C π=，再化简2sin sin sin B A C =得到1sin 2A =.详解：因为2sincos cos 1242C C π+=，所以1-2cos 1222C C +=,所以cos(cos 0,cos 0(cos =222222C C C C -=∴=舍）或，因为0C π<<,所以2C π=,所以A+B=2π. 2sin sin sin B A C =因为，所以22cos sin ,sin sin 10,sin A A A A A =∴+-=∴=因为sinA>0,所以sin A =.. 点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.20．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求解析：17-【解析】分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用2cos 212sin 1212cos sin sin θθθθθ-=++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，43,cos 55y x sin r r θθ∴====， 那么216712cos 212sin 1252543491212cos 7125525sin sin θθθθθ-⨯--====-+++⨯⨯，故答案为17-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,(0,5)a b ⊗=．（2）∵(5,0)a b =⊗，∴5mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵5a <，5b <，∴22222525m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-.23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得解析：π【解析】由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4x k πωπ-=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 122y =；当251,4k x πω==， 222y =-，如图所示，由勾股定理得()()()22221213y y x x -+-=，解得ωπ=.24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为 3【解析】【分析】 【详解】由已知得到向量a ，b 的数量积为1cos 32a b π⋅==，所以222|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.25．【解析】∵向量与的夹角为钝角∴即；解得即的取值范围是故答案为 解析：()3,66,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】∵向量a 与b 的夹角为钝角，∴()0 2310a b λ⎧⋅<⎪⎨⨯--⋅≠⎪⎩，即230 6λλ-<⎧⎨≠-⎩；解得3 26λλ⎧<⎪⎨⎪≠-⎩，即λ的取值范围是()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭，故答案为()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.三、解答题 26． （1）3C π=；（2）3【解析】 【分析】(1)通过切化弦的思想结合两角和的余弦公式可得()1cos 2A B +=-，即1cos 2C =，结合C 的范围即可得C 的值;(2)通过三角形的面积可计算出3ab =，通过余弦定理可计算出225a b +=，两者相结合即可得+a b 的值. 【详解】(1)∵sin sin 2cos cos 11cos cos A B A B A B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴2cos cos 2sin sin 1A B A B -=- ∴()1cos 2A B +=-， ∴1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.(2)由(1)知3C π=，又因为1sin 2ABC Sab C =，1sin 23ab π=，所以2ab =， 由余弦定理得:222232cos23a b ab a b π==+-+-，即225a b +=， 所以()222+29a b a b ab +=+=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用，“切化弦”思想是化简求值中常见的方法，属于中档题.27．（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线.【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ，则(,2)c a λλλ==， 又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±， 故2,4c 或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 28．(1)a n ＝n . (2)S n ＝2n ＋1－2.【解析】【分析】【详解】(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++， 解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2=2n a n n b =，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝()21212n --＝2n ＋1－2. 点评：掌握等差、等比数列的概念及前n 项和公式是此类问题的关键．29．（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2【解析】【分析】（1）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】（1）0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 21226x π⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （2）3()sin 2162f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， 1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0,A π<<132666A πππ∴<+<， 5266A ππ∴+=， 即3A π=, 2a =由正弦定理得：2A B ==，sin 2B ∴=， 203B π∴<<，则4B π=，sin sin[()]sin()sin cos cos sin 34343434C πππππππππ∴=-+=+=+==【点睛】本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.30．（1）证明见解析，ABC ∆的面积为5（2）(),102f AB AC S ==， (),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积【解析】【分析】（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ⋅=，从而证明出AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ∆的面积；（2）根据新定义的运算，计算出(),f AB AC 的值，然后找到与ABC ∆的面积的关系，得到答案.【详解】（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =，所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=，所以0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥.22AC ==，22AB ==11522S AB AC === （2）因为()1221,f a b x y x y =-而()2,1AB =-，()2,4AC =， 所以()(),221410f AB AC =⨯--⨯=，所以(),2f AB AC S =所以(),f a b表示以a，b为邻边的平面四边形的面积.【点睛】本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题.。
四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题【含答案】
2023～2024学年度下期高二期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．42．若()665432165432101x a x a x a x a x a x a x a +=++++++，则654321a a a a a a -+-+-0a +=（）A ．1-B ．1C ．64D ．03．已知在四面体O ABC -中，,,3,,1a OA OB OC OM MA N b c ====为BC 的中点，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=（）A ．3B ．34C ．12D ．134．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5761322a a a ，，成等差数列，则10482a a a a ++（）A ．3B ．6C ．9D ．185．若函数()2ln (0,0)f x ax b x a b =+>>在点()()1,1f 处的切线的斜率为1，则11a b+的最小值为（）A ．12B．2+C．3+D．6．某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为（）A ．52B ．60C ．72D ．3607．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》中，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列{}n a 的前四项分别为:2,3,8,17，则下列说法错误的是（）A ．0n a >B ．11192a =C ．数列{}n a 是单调递增数列D ．数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最大项8．已知直线y kx =与双曲线()2222:10x yC b a a b-=>>分别相交于A B ，两个不同的点，P是双曲线上不同于A B ，的一点，设直线AP BP ，的斜率分别为12k k ，，则当)3ee 2.7b a≈取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）ABC ．53D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为1214,0,0n S a a a >+=，则（）A ．80a =B ．1n na a +<C ．79S S <D ．当0n S <时，n 的最小值为1610．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，现给出定义:设()f x '是函数()f x 的导数，()''f x 是()f x '的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()(),x f x 为函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数()321132f x x x =+，则（）A ．函数()f x 有三个零点B ．函数()f x 有两个极值点C ．点11,212⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心D ．方程()1010f x -=有三个不同的实数根11．已知数列{}n a的通项公式为n a =，前n 项积为n S ，则下列说法正确的是（）A ．在数列{}n a 中，10a 是最大项B ．在数列{}n a 中，9a 是最小项C ．数列{}n S 单调递减D ．使n S 取得最小值的n 为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为13．已知数列{}n a 满足()()1221122,n n na n a a a a n +⎧+⎪===⎨⎪⎩，为奇数，，，为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n项和，则10S =14．已知关于x 的不等式()()2e xx ax a x -<-∈R (其中1a <)的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足54219S a =+，12,,a a 7a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .16．某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员，占比20%，“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员，占比50%，“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员，占比30%，现对会员进行水果质量满意度调查.根据调查结果得知，1号会员对水果质量满意的概率为122号会员对水果质量满意的概率为335，号会员对水果质量满意的概率为23.(1)随机选取1名会员，求其对水果质量满意的概率;(2)从会员中随机抽取2人，记抽取的2人中，对水果质量满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，O D ，分别是1AB CC ，的中点.(1)证明://OD 平面11AC B ;(2)若1160AC OA BAA ∠⊥=，，且12,AB AA AC BC ====，求直线11B C 与平面11AA C 所成角θ的正弦值.18．已知点P 为椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>上任一点，椭圆的短轴长为，离心率为22.(1)求椭圆W 的标准方程;(2)若点Q 是抛物线2:4C x ay =的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点O ，试判断2211OPOQ+是否为定值?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.19．已知函数()()()e ln 1ln 0xf x x x a a =-++->.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程；(2)若()()1f x a x ≥+恒成立，求a 的取值范围；(3)求证:()()()*111tan11tan 1tan 1tan 1ln 123f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++->+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N1．A【分析】先根据等差数列求和公式化简即得.【详解】{}n a 是等差数列，可得()1111611101111511222dS a a d a ⨯=+=+==,所以62a =.故选：A.2．D【分析】利用赋值法，将=1x -代入可求得结果.【详解】令=1x -，则()6654321011a a a a a a a -+=-+-+-+，所以65432100+-++=--a a a a a a a ，故选：D 3．B【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.【详解】111111224422MN ON OM OC OB OA a b c =-=+-=-++，又MN xa yb zc =++ ，所以141212x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以34x y z ++=.故选：B4．C【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.【详解】若等比数列{}n a 的各项均为正数，所以公比0q >，且57613,,22a a a 成等差数列，可得654765765111122323232a a a a a a a q a q a q ⨯=+=+=+，，,即得()()2223230310,q q q q q q =+--=-+=，，可得3q =，932104117182119a a a q a q q a a a q a q++===++.故选：C.5．C【分析】根据题意，(1)21f a b '=+=，结合基本不等式求最值.【详解】根据题意，()2ln (0,0)f x ax b x a b =+>>，则2()bf x a x'=+，(1)21f a b '=+=，因为0,0a b >>，所以()1111223332b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1a ==-时，等号成立,所以11a b+的最小值为3+.故选：C 6．B【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可.【详解】5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，人数分配为2,1,1,1,可得111223215533C C C C =C A ,若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则可得2353C A =60.故选：B.7．D【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列{}1n n a a +-的通项公式，从而可得数列{}n a 是单调递增数列，则0n a >，A 、C 不符合题意；再利用累加法计算可判断B ；借助基本不等式判断D.【详解】设该数列为{}n a ，则12342,3,8,17a a a a ====；由二阶等差数列的定义可知，2132431,5,9a a a a a a -=-=-=⋅⋅⋅，所以数列{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，公差4d =的等差数列，即143n n a a n +-=-，所以10n n a a +->，即数列{}n a 是单调递增数列，10a >，则0n a >，A 、C 不符合题意；所以21324311,5,943n n a a a a a a a a n +-=-=-=⋅⋅⋅-=-，，，将所有上式累加可得2211222n a a n n n n +=+-=-+，所以11192a =，即该数列的第11项为11192a =，B 不符合题意；由于2255n a n n =-+，则52555n a n n n =+-≥=，当且仅当52n n =，即2n =时，等号成立，但由于*n ∈N ，2132,22a a ==即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最小值为32，而当1n >时，na n单调递增，所以无最大值，D 符合题意.故选：D.8．C【分析】联立方程求出,A B 的坐标，通过运算得到2122b k k a =)3e e 2.7ba≈，令(),1b x x a =>，设()3e ,11x y x x =>-，利用导数研究函数最值，从而得b a 的值，即可求解.【详解】将y kx =代入双曲线方程22221x ya b-=中，整理得()222222b a kx a b -=，得222222a b x b a k=-，设()()1100,,,A x y P x y ，则()222111222,,a b B x y x b a k --=-，()222222022102222,b x a a b k y y b a k a-==-，所以()()()()()222222022222201010112222220101010222b x a a b k y y y y y y a b a k k k a b x x x x x x x b a k ---+--===-+---，()()()222222422022420222b x a b a k a b k a x a b b a k -----=()()2222222220022222002222b b x a k x a b b aa x ba x a kb --==--33e e1bb aab a=-，令(),1b x x a =>，设()3e ,11x y x x =>-，则()()()()333223e 1e e 3411x xx x x y x x ---'==--，当413x <<时，0'<y ，所以函数单调递减，当43x >时，0'>y ，所以函数单调递增，则当43x =时，函数取得最小值，此时43b a =，所以2222221619b c a e a a-===-，解得2259e =，所以53e =.故选：C ．【点睛】关键点点睛：直线方程与曲线方程联立后通过运算得到2122b k k a=，从而令(),1b x x a =>，设()3e ,11x y x x =>-，利用导数研究最值.9．ABD【分析】对于A ，由等差数列性质即可判断；对于B ，由公差的定义即可判断；对于C ，作差结合公差小于0即可判断；对于D ，只需注意到178********a a a a a a a a >>>=>=->>=->> ，由此即可判断.【详解】对于A ，由题意214802a a a +==，故A 正确；对于B ，8111077n n a a ad a a +-=-==-<，其中d 为等差数列的公差，即1n n a a +<，故B 正确；对于C ，()()7989820S S a a a d d -=-+=-+=->，即79S S >，故C 错误；对于D ，由题意178********a a a a a a a a >>>=>=->>=->> ，从而当*15,N n n ≤∈，0n S ≥，且()1611680S a a =+<，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】利用导数研究()f x 的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A ；根据极值点的定义即可判断B ；根据拐点的定义即可判断C ；根据数形结合的思想即可判断D.【详解】由()321132f x x x =+得()()2,21f x x x f x x ''='=++，令()()010,01f x x f x x ''<⇒-<⇒<-或0x >，所以()f x 在(1,0)-单调递减，在(,1)-∞-、(0,)+∞单调递增.A ：因为12(1)0,(0)0,(2)063f f f -=>=-=-，所以()f x 在(2,1)--存在1个零点，故()f x 在R 上有2个零点，故A 错误；B ：()f x 的极大值点为=1x -，极小值点为0x =，所以()f x 有2个极值点，故B 正确；C ：令()210f x x '+'==，得12x =-，11212f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11,212⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的拐点，进而是()f x 的对称中心，故C 正确；D ：因为()f x 的极大值为1(1)6f -=，极小值为(0)0f =，作出直线110y =与函数()f x 的图象，如图，由图可知，直线110y =与函数()f x 的图象有3个交点，所以方程1()10f x =有3个不同的实根，故D 正确.故选：BCD11．ABD【分析】判断数列{}n a 的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B 选项，再根据项与1的大小关系判断n S 的单调性及最值判断C ，D 选项即可.【详解】1n a =+9n ≤时n a 随着n 的增大越来越小且小于1，当10n ≥时n a 随着n 的增大越来越小且大于1，则前n 项中最大项为10a ，最小项为9a ，故A ，B 选项正确；当19n ≤≤时，*011,,n a n <=<∈N当10n ≥时，*10911,,n a n S S =+∈>N ,所以数列{}n S 不是单调递减，C 选项错误；前n 项积n S 取得最小值时n 为9，故D 选项正确.故选：ABD.12．20【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】二项式61(x x+展开式的通项公式为662166C C r r r r rr T x x x ---+=⋅=，令620r -=，解得3r =，所以61()x x+展开式的常数项为36C 20=.故答案为：2013．77【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可.【详解】因为当n 为奇数时21n n a a +=+为等差数列，公差为1，11a =,1357954511152a a a a a ⨯++++=⨯+⨯=;当n 为偶数时22n n a a +=为等比数列，公比为2，22a =,()52468102126212a a a a a -++++==-;所以()()101392410156277S a a a a a a =+++++++=+= .故答案为：77.14．3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】不等式2()e x x ax a -<-可转化为()2e (1)()x f x x a x g x =<-=，利用导数研究函数()f x 的性质，数形结合分析当不等式()()f x g x <解集中恰有两个整数时a 应满足的条件，列不等式组求解即可.【详解】不等式2()e x x ax a -<-可转化为2e (1)x x a x <-，设()2e x f x x =（x ∈R ），则)e ()2(1x f x x =+'，令()01,()01f x x f x x '<⇒<>'-⇒>-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且()21ef --=，()00f =，且当x →-∞时，()f x →-∞，作出()f x图象，如图所示，令()()1g x a x =-，()10g =，则直线()g x 恒过定点(1,0).要使()()1f x a x <-恰有两个整数解，由图可知0a ≤不合题意，所以01a <<，两个整数解为1,2--，则()()()()()()2211334e 2234e 31122e 2e 3346e 3e2a g f a g f a a g f a a ------⎧<⎪⎧⎧->-->-⎪⎪⎪->-⇒->-⇒<⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤--≤-⎩⎩⎪≥⎩，解得3234,2e 3e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即实数a 的取值范围为3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数()f x 的性质，数形结合分析当不等式()()f x g x <解集中恰有两个整数时满足()()()()()()221133g f g f g f ⎧->-⎪->-⎨⎪-≤-⎩，即为所求.15．(1)43n a n =-(2)41n n T n =+【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出43n a n =-.（2）利用裂项相消法求出数列{}n b 前n 项和n T .【详解】（1）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足54219S a =+，12,,a a 7a 成等比数列，依题意得()()112111545261926a d a d a d a a d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+=+⎩，化简得1134194a d a d +=⎧⎨=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，43n a n ∴=-.（2）1111()(43)(41)44341n b n n n n ==--⨯+-+，则1111111111111(1)()()()(1)4545949134434144141n nT n n n n =-+-+++-=-=-+++ .16．(1)35(2)分布列见解析；()65E X =【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解；（2）由题意知3(2,)5X B ，利用二项分布求出对应的概率，列出X 的分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A ：随机选取1名会员，其对水果质量满意.则1323()0.20.50.32535P A =⨯+⨯+⨯=；（2）X 的可能取值为0,1,2，则3(2,5X B ，0022324(0)C ()()5525P X ===，11123212(1)C ()()5525P X ===，2202329(2)C ()()5525P X ===，所以X 的分布列为X012P4251225925所以36()255E X np ==⨯=.17．(1)证明见解析7【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，可得四边形1OEC D 为平行四边形，则有1//OD C E ，利用线面平行的判定定理可证得//OD 平面11AC B ；（2）可证得1A O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线11B C 与平面11A AC 所成的角正弦值.【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，∵O ，E 分别是AB ，1AB 的中点，D 为1CC 的中点，∴11111////,2OE BB DC OE BB DC ==，∴四边形1OEC D 为平行四边形，则1//OD C E ．∵OD ⊄平面11AC B ，1C E ⊂平面11AC B ，∴//OD 平面11AC B ．（2）连接OC ，∵160BAA ∠=︒，12AB AA ==,∴1BAA 为正三角形，∴1A O AB ⊥，∵1A O AC ⊥，且AC AB A ⋂=都在面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ，而OC ⊂面ABC ，故1A O CO ⊥，由2,AB AC BC ===，易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CO AB ⊥，1A O CO⊥以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，12,AB AA AC BC ====()1,0,0A，()1A ，()0,0,1C ，()1,0,0B -，由11BC B C =，可得()111,0,1B C = ，且()111,0,1AC AC ==-，()1AA =- ，设平面11A AC 的法向量为(),,m x y z =，∴11100A C m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x =m =，设直线11B C 与平面11A AC 所成的角为θ，则111142sin 7m B C m B C θ⋅==，即直线11B C 与平面11A AC 所成的角正弦值为427．18．(1)22112y x +=(2)2211OPOQ+为定值，且定值为2．【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆的焦点坐标求出m 的值，代入即可求出椭圆的标准方程；（2）设(),P P P x y ，(),1Q Q x -，因为以PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，得到PQ Py x x =，再利用两点间的距离公式代入2211OPOQ+化简计算即可.【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为2.，所以222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以1c b a ==，所以椭圆W 的标准方程为22112y x +=；（2）由（1）知抛物线C 的标准方程为24x y =，其准线方程为：1y =-，设(),P P P x y ，(),1Q Q x -，因为以PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，所以0P x ≠，所以0P Q P x x y -=，即PQ Py x x =，所以222222222111111P P P P P PPx y x y x y OP OQ x ++=+=+++，又因为2221PPx y +=，22122PPx y =-，所以222222221112112222PP PP PP PP x x x x x x y x +++===++-+，所以2211OPOQ+为定值，且定值为2．【点睛】方法点睛：两点间距离公式中点的坐标应用椭圆方程转化为一个未知量即可得出定值.19．(1)10x y -+=(2)(]0,1(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；（2）构造函数()ln g t t t =+（0t >），将原不等式转化为e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，即g(e )((1))x g a x ≥+，利用导数研究()g t 的单调性可得e ()1xa h x x ≤=+在(1,)-+∞上恒成立，结合导数求出min ()h x 即可；（3）根据不等式11tan i i >、111ln(1)2n n+++>+ ，对不等式11(tan 1)ni f i =-∑进行放缩，即可证明.【详解】（1）当1a =时，()e ln(1)x f x x x =-++，则1()e 1(1)1x f x x x '=-+>-+，所以(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=；（2）不等式()(1)f x a x ≥+等价于e ln(1)(1)ln x x x a x a -++≥++，即e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，设()ln g t t t =+（0t >），则1()10g t t'=+>，所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，由e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，得g(e )((1))x g a x ≥+，则e (1)xa x ≥+，即e1xa x ≤+在(1,)-+∞上恒成立，设e ()(1)1xh x x x =>-+，则2e ()(1)x x h x x '=+，令()010,()00h x x h x x ''<⇒-<<>⇒>，所以()h x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1h x h ≥=，即实数a 的取值范围为(0,1]；（3）先证：11tan nn>①和111ln(1)2n n+++>+ ②，①：设函数π()tan (0)2v x x x x =-<<，则21()10cos v x x'=->，所以函数()v x 在π(0,)2上单调递增，且()00v =，所以()0v x >，即tan 0x x ->，得tan x x >，令1x n=，得11tan n n >；②：设函数1()u x x=，在区间(,1)k k +上的面积可以通过矩形近似估计，即111d k kx x k+<⎰，所以2311211111d d d 12n nx x x x x x n++++<+++⎰⎰⎰，又()111d ln 1n x n x +=+⎰，所以111ln(1)2n n+++>+ .11tan 1tan 111111(tan 1)e ln(tan 11)tan 1ln e ln(tan )tan 1ln nn f a a n n n n n---=--++--=-+--，所以()111tan11tan 1tan 1tan 123f f f f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1tan 111111111(tan 1)[e ln(tan )tan 1ln ][tan ln(tan )1]n n n i i i i f a i i i i -====-=-+-->--∑∑∑，又11tan i i>，所以11111111[tan ln(tan )1](ln 1)(ln 1)nnni i i i i i i i i ===-->--=+-∑∑∑11(1ln11)(ln 21)(ln 1)2n n =+-++-+++- 11(1)(ln1ln 2ln )2n n n =+++++++- 1112n >+++ ，又111ln(1)2n n+++>+ ，所以()1111[tan ln(tan )1ln ]ni i n i =-->+∑，即()()()*111tan11tan 1tan 1tan 1ln 123f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++->+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是根据不等式e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++构造函数()ln g t t t =+（0t >），利用导数导数研究()g t 的单调性解决恒成立问题；第（3）问的关键是根据11tan n n >、111ln(1)2n n+++>+ ，对不等式11(tan 1)ni f i =-∑巧妙放缩.。
四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
2023~2024学年度下期高中2022级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5亮米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的值为（ ）A.9 B.8 C.7D.62.已知函数，则在点处的切线的斜率为（）A.3 B.2 C.1 D.-13.已知函数，则（ ）A.B.C.D.的大小关系不确定4.的展开式中的系数是（）A.10 B.-10 C.5D.-55.已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（ ）()3!C 2!n n n =-n ()2sin f x x x =+()f x ()0,0P ()1,0e x x f x a b +=->>()()f a f b >()()f a f b <()()f a f b =()(),f a f b ()6()x y x y +-43x y ()32f x ax bx cx d =+++A.B.C. D.6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足若，则的取值可以为（）A.1 B.3 C.6 D.77.2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有（）A.90种 B.150种 C.300种 D.540种8.已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（）A.4 B.6 C.7 D.5二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.奇数项的二项式系数和为64B.第6项和第7项二项式系数相等C.第4项系数为280D.系数最大的是第6项10.某班一天上午有5节课，现要安排语文､数学､政治､英语､物理5门课程，下列说法正确的是（）A.数学不排在第1节，物理不排在第5节共有96种排法B.按语文､数学､英语的前后顺序（不一定相邻）一定共有20种排法C.语文和英语必须相邻共有48种排法D.数学和物理不相邻共有72种排法11.甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n 次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ）A. B.0,0a b <>0,0a c <>0,0a b ><0,0a c ><{}n a 11,,,25,n n n n n a a a m a a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩为偶数为奇数54a =m {}n a n n S ()()*21n n S n a n =+∈N11a =()55541a +7(12)x +()*Nn P n ∈10P =3736P =C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.设随机变量的方差，则的值为__________.13.袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为__________.14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16.（15分）如图，三棱柱中，为正三角形，，为的中点，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（15分）某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动.（1）求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率；（2）用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望.18.（17分）()13232n n P P n -+= (20241)4P >x ()2D x =(31)D x +3717()()2123e 2x f x x ax ax =--+a {}n a 121,a a =1a 4a {}n a {}n b 22nn n b a =+{}n b n n S 111ABC A B C -ABC 1112,AB AA A AC A AB ∠∠===O BC 11AO =1A O ⊥ABC 1BAA 1CAA 123456,,,,,B B B B B B 1234,,,G G G G A B A 1B 1G X B X已知函数.（1）讨论函数的单调区间：（2）若函数有两个不同的零点，①求的取值范围，②证明：.19.（17分）已知椭圆，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）线段是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：（3）若椭圆上点，求面积的取值范围.()2ln 1,x f x ax a x+=-∈R ()()g x xf x =()f x 12,x x a ()2124a x x +>2222:1(0)x y D a b a b +=>>()2,1D A 22:2O x y +=D B O C y ,E F D BC CA ⋅BC CA ⋅()()000,2A x y x …AEF。
四川省成都市十局学校高二数学理下学期期末试卷含解析
四川省成都市十局学校高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与圆C:x2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条参考答案：C2. .函数的图象大致是（）A. B.C. D.参考答案：A【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；因为时，所以排除D,故选A3. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．4. 若复数，复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于36cm2与49 cm2之间的概率为( )A． B． C． D．参考答案：B6. 不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为( )A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}参考答案：B【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选B．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．7. 在等比数列中，，=24，则=（）A．48 B．72 C．144 D．192参考答案：D8. 函数的值域为（）A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]参考答案：C9. （）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据定积分的几何意义，即可求出结果.【详解】因为表示圆面积的一半，所以.故选A【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记定积分的几何意义即可，属于基础题型.10. 已知命题p：x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题，其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线上一点P到右焦点的距离为1，则点P 到原点的距离是．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程，求出实轴长，焦距的长，利用已知条件求解即可．【解答】解：双曲线的实轴长为：6，焦距为：8，双曲线上一点P到右焦点的距离为1，满足c﹣a=1，所以P为双曲线右顶点，可得点P到原点的距离是：3．故答案为：3．12. 已知点，，直线上有两个动点M,N，始终使，三角形的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设,,,则（）A、B、C、D、参考答案：C略13. 定积分＝________.参考答案：＋2略14. 已知，则＝参考答案：略15. 零点的个数为参考答案：416. 已知正实数x ，y，z满足x+y+z=1，++=10，则xyz的最大值为．参考答案：又条件可得z=1﹣（x+y），设xy=a，x+y=b，则xyz=，设f（b）=，利用导数判断f（b）的单调性，计算极值，根据b的范围得出f（b）的最大值．解：∵x+y+z=1，∴z=1﹣（x+y），∴，即=10，设xy=a，x+y=b，则0＜a＜1，0＜b＜1，∴，化简得a=．∴xyz=xy=a（1﹣b）=（1﹣b）?=．令f（b）=，则f′（b）=，令f′（b）=0得﹣20b3+47b2﹣36b+9=0，即（4b﹣3）（5b﹣3）（1﹣b）=0，解得b=或b=或b=1（舍），∴当0＜b＜或时，f′（b）＞0，当时，f′（b）＜0，∴f（b）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，∴当b=时，f（b）取得极大值f（）=．又f（1）=0，∴f（b）的最大值为．故答案为．17. 在等差数列{a n}中，若a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9=1，则有．参考答案：【考点】类比推理．【分析】根据类比的方法，和类比积，加类比乘，由此类比即可得出结论．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a10=0，有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N*）成立，∴在等比数列{b n}中，若b9=1，则有等式．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022届四川省成都市高二下数学期末考试试题含解析
2022届四川省成都市高二(下)数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +∈+∈，则n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22xn-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）A ．2B ．1C ．22D ．123．设集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．[1,)+∞C ．()0,1D ．(01]，5．设随机变量ξ～N （μ，σ2），函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ） A ．1B ．4C ．2D ．不能确定6．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④B ．①③④C ．②③④D ．①②④7．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ） A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．13B ．2C ．-3D ．12-9．已知复数满足，则的虚部为（ ）A ．-4B ．C ．4D ．1052，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25B 45C ．3D ．411．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记x 表示该自由职业者平均每天工作的小时数，y 表示平均每天工作x 个小时的月收入.x （小时）2 3 4 5 6 y （千元）2.5344.56假设y 与x 具有线性相关关系，则y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点( ) A ．()3,3B ．()3,4C ．()4,4D ．()4,512．己知变量x ，y 的取值如下表： x 3 4 5 6 y2.5344.5由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A ．5.95B ．6.65C ．7.35D ．7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,2,a λ=v ，()2,2,1b =-v ，若4cos ,9a b =v v ，则实数λ的值为________.14．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台． 15．若随机变量ξ的分布列如表所示，则()21D ξ-=______.16．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围． 18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，动点P 满足OP aOM =u u uv u u u u v（0a >且1a ≠），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为(2,)3π，射线θα=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为4+a 的值.19．（6分）已知函数()1212xxa f x -⋅=+是R上的奇函数(a 为常数)，()22g x x x m =-+，m R ∈. （1）求实数a 的值；（2）若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-成立，求证实数t 的取值范围.20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin cos 0m ρθρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．21．（6分）如图，1l ,2l 是经过小城O 的东西方向与南北方向的两条公路，小城P 位于小城O 的东北方向，直线距离52OP km =.现规划经过小城P 修建公路AB (A ,B 分别在1l 与2l 上)，与1l ,2l 围成三角形区域AOB .(1)设BAO θ∠=，02πθ<<,求三角形区域AOB 周长的函数解析式()L θ;(2)现计划开发周长最短的三角形区域AOB ，求该开发区域的面积.22．（8分）如图所示，在边长为8的正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，D 、H 、G 为垂足，若将ABC ∆绕AD 旋转180o ，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】由题意可得0028xx +=，令()28xf x x =+-，由()()20,30f f <>，可得0(2,3)x ∈，再根据0(,1)x n n ∈+，即可求解n 的值.【详解】有题意可知0x 是方程28x x +=的解，所以0028xx +=，令()28xf x x =+-，由()()220,330f f =-=，所以0(2,3)x ∈，再根据0(,1)()x n n n N +∈+∈，可得2n =，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及函数的零点的判定定理的应用，其中解答中合理吧方程的根转化为函数的零点问题，利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2||mn c =，计算得到答案.【详解】12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22x n-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-112PF F F ⊥，故()222||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =2121||||||c c c e e m n mn =⋅==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 3．D 【解析】 【分析】根据交集定义求解． 【详解】 由题意．故选D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．4．B 【解析】 【分析】求f （x ）的导数f ′（x ），利用f ′（x ）判定f （x ）的单调性，求出f （x ）的单调增区间，即得正实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）1xax -=+lnx （a ＞0）， ∴f ′（x ）21ax ax -=（x ＞0），令f ′（x ）＝0，得x 1a =，∴函数f （x ）在（0，1a ]上f ′（x ）≤0，在[1a ，+∞）上f ′（x ）≥0，∴f （x ）在（0，1a ]上是减函数，在[1a，+∞）上是增函数；∵函数f （x ）在区间[1，+∞）内是增函数， ∴1a≤1，又a ＞0，∴a ≥1， ∴实数a 的取值范围是[1，+∞）； 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题． 5．B 【解析】试题分析：由题中条件：“函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点， 即二次方程x 2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4， ∵函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5， ∴P （ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4， 故选B ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 6．D 【解析】【分析】画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假. 【详解】画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，可得(201867)(0.67)0.67f f ==.，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 7．B 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有3232A A =12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有222322C A A =12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B ．8．A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到i 、S 的值，可得答案 【详解】第1次执行循环体后：3S =-，2i =； 第2次执行循环体后：12S =-，3i =； 第3次执行循环体后：13S =，4i =； 第4次执行循环体后：2S =，5i =； 经过4次循环后，可以得到周期为4，因为20205054=，所以输出S 的值为13，故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题． 9．D 【解析】 试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 10．C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 11．C 【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果. 详解：因为23456 2.534 4.564,455x y ++++++++====，所以线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点()4,4, 选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y . 12．B 【解析】 【分析】先计算数据的中心点，代入回归方程得到ˆa，再代入9x =计算对应值. 【详解】34564.54x +++==2.534 4.53.54y +++==数据中心点为(4.5,3.5)代入回归方程ˆˆ3.50.7 4.50.35a a =⨯+⇒= $0.70.35y x =+当9x =时，y 的值为6.65 故答案选B 【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2或1227-. 【解析】 【分析】由公式4cos ,9a b a b a b ⋅==⋅r rr r r r 结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=r Q ，()2,2,1b =-r ，246a b λλ⋅=+-=-r r ，25a λ=+r ，3b =r ，24cos ,953a b a b a b λ⋅===+⨯⋅r rr r r r ，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-.故答案为2或1227-. 【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14．30； 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等. 【详解】抽到乙种型号的吊车台，则，解得：.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样. 15．114【解析】 【分析】先由分布列，根据概率的性质求出a ，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果. 【详解】由分布列可得：2114a a ++=，解得12a =， 所以()11111012444E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，因此()22211111191251110142444432646416D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()2112124D D ξξ-=⋅=. 故答案为：114.【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.16．52【解析】【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。
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四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2017·安庆模拟) 设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁UA等于（）
A . {1，2}
B . {1，4}
C . {2，4}
D . {1，3，4}
2. （2分） (2019高三上·浙江期末) 双曲线的焦点坐标为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2018·淮北模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A . 11
B . 9
C . 7
D . 5
4. （2分）已知直线l∥平面α ，P∈α ，那么过点P且平行于直线l的直线
A . 只有一条，不在平面α内
B . 有无数条，不一定在平面α内
C . 只有一条，且在平面α内
D . 有无数条，一定在平面α内
5. （2分）已知等边△ABC的两个顶点A（0，0），B（4，0），且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是（）
A . y=﹣x
B . y=﹣（x﹣4）
C . y= （x﹣4）
D . y= （x+4）
6. （2分）已知，则“”是“”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
7. （2分） (2019高一上·平坝期中) 假如国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 200 km的某地，他应付的邮资是（）
A . 5.00元
B . 6.00元
C . 7.00元
D . 8.00元
8. （2分） (2017高二上·集宁月考) 直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
9. （2分）已知动点P在曲线上移动，则点与点P连线中点的轨迹方程是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）设，，，则（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共7题；共7分)
11. （1分）以C（4，﹣6）为圆心，半径等于4的圆的方程为________．
12. （1分）(2017·舒城模拟) 若三个非零实数：x（y﹣z）、y（z﹣x）、z（y﹣x）成等比数列，则其公比q=________．
13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 若满足约束条件则的取值范围为________．
14. （1分） (2019高一下·上海月考) 函数的最小正周期是________．
15. （1分） (2019高一上·盘山期中) 已知，若，则实数的取值范围是________.
16. （1分） (2019高三上·平遥月考) 已知正方形的边长为1，，，，则
________.
17. （1分） (2016高一上·虹口期末) 设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是________．
三、解答题 (共5题；共50分)
18. （10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知2tanA=．
（Ⅰ）若b2+c2﹣a2+mbc=0，求实数m的值；
（Ⅱ）若a=，求△ABC周长L的最大值．
19. （10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1
（Ⅱ）求证：AC⊥BC1
（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．
20. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知Sn为等比数列{an}的前n项和•且S4=S3+3a3 ， a2=9．
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
21. （10分） (2017高二上·广东月考) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
22. （10分）已知函数，．
（1）当时，证明：为偶函数；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、
22-2、
22-3、
第11 页共11 页。