第十六节动力学基本方程、动量定理、动量矩定理
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理论力学动量定理和动量矩定理研究课件ppt1
5-2-3 质心运动定理
y
由质心运动定理 FOy A
x
O
maC x mi xi FO x
FOx
B
G
而 故
l
l
mxC m1 FO x mxC
cos ωt
2
lω2
2
m2l cos ωt m3 ( m1 2 m2 2 m3
( l cos ωt )cos ωt
2
)
当 ωt π 时，
lω2
( mg π R )2 (2 mv )2 v
与 v 成 角,
tg -1 Img
2 mv
5-2-3 质心运动定理
1.定理
p m vC
dp dt
m aC
F e
①描述了质系质心运动与外力主矢的关系。 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。 ③ m aC mi ai
) 0.8
故 α 0.4rad/s2
Lz 不变，J z 变化， 变
5-2 质点系动量定理
z
l
rA
A
5-2-3 质心运动定理
3.曲柄滑槽机构。已知 ,OA l, BG l ，G为导杆
2 重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 m1 ,m2 ,m3 。试求支
座O动约束力。
A
O
G
B
5-2 质点系动量定理
•若考虑
有何变化?
1
•5-2 质点系动量定理
v mμg c ••当如杆 何端求A图没示离嘴开角墙6个角螺时拴m，拉AB力杆?的速度瞬心在Cv点，
，在任意 角位置时，有
空中降落伞很快达到vm
理论力学动力学部分3动量矩定理
x2
rdx
=
-2
1 2 1 -2
x2
m l
dx
=
1 12
ml 2
ò ò J y¢ =
l (x¢)2 r dx¢ =
0
l 0
( x¢) 2
m l
dx¢
=
1 3
ml 2
三 动量矩定理
18
[例] 图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆
板对其直径轴的转动惯量。
解：设板的密度为ρ。将圆板分成无数
同心的单元圆环，则单元圆环的质量
三 动量矩定理
26
6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的转动。
刚体在相对运 动中对质心的 动量矩定理
r dHC dt
r M
e C
JC
d 2j dt 2
MC
应用质心运动定理和相 对质心动量矩定理得刚 体平面运动微分方程
Mx&&C Fix
M&y&C Fiy
dt
=
Mr
C
(
Fri e
)
=
Mr
e C
4
三 动量矩定理
25
讨讨 论论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质 心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动 量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有 关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心 的动量矩守恒。
局部守恒： M x (F ) = 0 则: M x (mv) = 常量
1
三 动量矩定理
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
上一页 下一页
例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
上一页 下一页
( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
上一页 下一页
三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
物理力学公式
物理力学公式
物理力学公式是：
1、动量矩定理：F=ma（合外力提供物体的加速度）;
2、动能定理：W=1/2mV^2-1/2mv^2（合外力做的功等于物体的动能的改变量）;
3、动量定理：Ft=mV-mv（合外力的冲量等于物体动量的变化量）。
从牛顿运动微分方程组推导出来的具有明显物理意义的定理，计有动量定理、动量矩定理、动能定理、质心运动定理等四个。
动力学的基本内容
质点动力学、质点系动力学、刚体动力学，达朗伯原理等。
以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论、陀螺力学、外弹道学、变质量力学以及正在发展中的多刚体系统动力学等（见振动，运动稳定性，变质量体运动，多刚体系统）。
质点动力学有两类基本问题:一是已知貭点的运动，求作用于质点上的力，二是已知作用于质点上的力，求质点的运动，求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力。
理论力学_12.动量矩定理
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
例3 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
r
i
i
m iv
C
ri ) m i v
i
rC m i v i
ri m i v i
i
rC m v C
ri m i v
其中 L C ri m i v i 为质点系相对质心C的动量矩。 （注意：vi为质点的绝对速度。） 即 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩， 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
L z J z m 2 vr 1 2 ( m1r
2
J ，z
1
m1r ；
2
v r
m 2 vr
1 2
m 1 m 2 ) rv
系统所受外力对转轴z的矩为
M z ( Fi
(e)
) M
(e)
O
Fr M
O
f m 2gr
dL dt
z
M z (Fi
)
d 1 ( m m 2 ) rv M 2 1 dt
例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。
O1 B C
vr vr
vr
L O L O 1 rO 1 m v O 1 3 mv r R l 3 m l 0 3m (vr R l 0 )
理论力学,动力学,动量矩定理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO rC mvC ri mi vri
y
y
rC mvC LC
C
rC
ri ri
x
x
rC mvC LC
O
质系对固定点O的动量矩 等于将质系动量集中于质心对 于O的动量矩与其对质心的动 量矩的矢量和。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解：取整体为研究对象，进行受力
分析和运动分析 dLO M O ( Fi E ) dt
其 中 LO J M O PR
代入动量矩定理， PR2 得 ：a PR2 JO g
Mf
W FOy
FOx
P J PR vR ( )v g R g
lO r p r mv
§1 动量矩
一、动量矩的定义及计算 （一）质点的动量矩 2. 对任意固定轴z的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
lO
d xy
lz pxy d mvxy d
lz lO cos
量纲：ML2/T
以质系上其 注意： LC ri mi vri
LC
它点为基点，则 mi (vi vC ) r i 质系对固定点的 动量矩不具备上 ri mi v i 述形式！
例3：均质杆OC质量为m1，长为l，C端铰接一半径为r，质
量为m2的均质圆轮,轮在圆弧槽内纯滚动。图示瞬时杆的角 速度为，试求系统对点O的动量矩。
C
rC
ri
x
rC mi vri ri mi vC rC mi vri ( mi ri) vC
LO rC mvC ri mi vri
y
y
rC mvC LC
C
rC
ri ri
x
x
rC mvC LC
O
质系对固定点O的动量矩 等于将质系动量集中于质心对 于O的动量矩与其对质心的动 量矩的矢量和。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解：取整体为研究对象，进行受力
分析和运动分析 dLO M O ( Fi E ) dt
其 中 LO J M O PR
代入动量矩定理， PR2 得 ：a PR2 JO g
Mf
W FOy
FOx
P J PR vR ( )v g R g
lO r p r mv
§1 动量矩
一、动量矩的定义及计算 （一）质点的动量矩 2. 对任意固定轴z的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
lO
d xy
lz pxy d mvxy d
lz lO cos
量纲：ML2/T
以质系上其 注意： LC ri mi vri
LC
它点为基点，则 mi (vi vC ) r i 质系对固定点的 动量矩不具备上 ri mi v i 述形式！
例3：均质杆OC质量为m1，长为l，C端铰接一半径为r，质
量为m2的均质圆轮,轮在圆弧槽内纯滚动。图示瞬时杆的角 速度为，试求系统对点O的动量矩。
C
rC
ri
x
rC mi vri ri mi vC rC mi vri ( mi ri) vC
动量方程和动量矩方程 能量方程
dE动
2 dm 2 C 2 dm1C12 = − 2 2 dm 2 = (C 2 − C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 = dm 2 u 2 − dm1u1
= dm(u 2 − u1 )
3．位能增量 dE位
dE 位 = dm 2 gH 2 − dm1 gH 1
= dm( H 2 − H 1 ) g
( ρ 2 C 2 A2 dt )C 2 x − ( ρ1C1 A1 dt )C1x = m(C 2 x − C1x dt )
式中 m = ρ1C1 A1 = ρ 2 C 2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、 介绍பைடு நூலகம்量方程、动量矩方程 能量方程及其应用
三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 动量定理应用到流体的运动。取图 2—2所示的由流管两个横截面 、2和该两 所示的由流管两个横截面1、 和该两 所示的由流管两个横截面 截面之间流管的侧表面组成控制区， 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 在之间流体的动量不变， 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量， 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为 出动量变化量在 坐标方向的投影为
2 dm 2 C 2 dm1C12 = − 2 2 dm 2 = (C 2 − C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 = dm 2 u 2 − dm1u1
= dm(u 2 − u1 )
3．位能增量 dE位
dE 位 = dm 2 gH 2 − dm1 gH 1
= dm( H 2 − H 1 ) g
( ρ 2 C 2 A2 dt )C 2 x − ( ρ1C1 A1 dt )C1x = m(C 2 x − C1x dt )
式中 m = ρ1C1 A1 = ρ 2 C 2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、 介绍பைடு நூலகம்量方程、动量矩方程 能量方程及其应用
三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 动量定理应用到流体的运动。取图 2—2所示的由流管两个横截面 、2和该两 所示的由流管两个横截面1、 和该两 所示的由流管两个横截面 截面之间流管的侧表面组成控制区， 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 在之间流体的动量不变， 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量， 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为 出动量变化量在 坐标方向的投影为
动量定理
即 xC1 xC 2
m2 a m1b m2 (a l s) m1 (b s) m2 m1 m2 m1 m2l s m2 m1 y a
x
m2 g m1 g
b
s
x
PAG 22
m2 g m1 g
Northeastern University
PAG 23
O
p0
PAG 7
Northeastern University
§10-1
动量与冲量
二、冲量 — 力在某段时间内积累的作用效果
物体在力的作用下引起的运动变化： ⑴ 与力本身有关（大小和方向）； ⑵ 与力作用时间的长短有关。
用机车牵引车子 人沿铁轨推车子
PAG 8
Northeastern University
PAG 5
Northeastern University
§10-1
动量与冲量
rC mi ri m
质心公式的矢量形式
d rC d ri m mi dt dt mvC mi vi
p mi vi mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积；
PAG 6
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上 所有外力的矢量和。
PAG 11
Northeastern University
§10-2
动量定理
e dp d e Fi (mi vi ) Fi dt dt
e e d p Fi dt dI i — 动量定理的微分形式
PAG 14
Northeastern University
§10-2
动量定理
y
理论力学1动量定理
K K 0
K 2x K 1x 0
K 2y K 1y 0 K 2z K 1z 0
通过上面的讨论看出:只有外力才能使质 点系的动量发生变化，而内力不能改变 整个质系的动量;但是，内力可以改变质 点系内部分质点的动量.对仅受内力作用 的质点系，如果其中某一部分的动量发 生变化，则另一部分的动量也必然变化.
Σmi z i Σmi y i zC yC Σmi Σmi
rC xC i yC j zC k mi xi i mi yi j mi zi k mi ri mi ri rC M Σmi Σmi
即为质心的坐标公式，而其矢径为：
由质系的动量定理: dK
MaC F
而 K S Ft
(W N p1 p2 )t
时对管壁的 附加动反力为：
N ρ Q(v 2 v1 ) (W p1 p2 ) N ρQ(v 2 v 1 )
上式即为流体对管壁的全反力。 动反力 静反力 例题见教材. 其投影式为：
N x ρ Q(v 2x v 1x ) N y ρ Q(v 2y v 1y )
或
dK F dt
即为质点系动量定理 的微分形式
K 2 K1 Fdt S
t2
即为质点系动量定理的积分形式
将上式投影到直角坐标系上有:
K 2x K1x S x K 2y K 1y S y
K 2z K 1z S z
若在运动过程中，作用在质点系上的合力恒为0，则该质点系动量 守恒: 2 1 若在运动过程中，作用在质点系上的合力在某轴上的投影恒为0， 则该质点系在该轴上动量守恒:
§3. 质心运动定理 质点系的动量
动力学基本方程课件
——在运动中，相互靠一定的联系而联 接在一起的一群质点，如曲柄连杆机构中， 曲柄，连杆及滑块都个为一质点，整体为一 质点系。
精
6
二、动力学基本方程
1.动力学基本定律
第一定律：牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都保持其静止的和匀速直线运动
的状态，直至它受到其它物体的作用而被迫改 变这种状态时为止。
（这里所说的物体应理解为没有转动或其 转动可以不计的平动物体，即质点）
τ，n，b分别为轨迹的切线、法线及次法线轴。
精
26
特殊情形： （1）如果质点沿平面曲线运动，那么曲线上
的点的密切面都在该平面上。 （2）如果质点作直线运动，则只要第一式。
利用以上三种形式的直线运动微分方程， 原则上就能解决有关质点运动学的所以问题， 至于在具体应用时宜选取什么形式的运动微分 方程，则需要根据具体的问题而定。
精
41
由第1式知：v＝常量， 由第3式得：
将TF值代入第2式得：
m
dv dt
F
0
m
v2 r
Fn
FT
sin 600
0
Fb
mg
FT
cos 600
即重物的速度为2.1m/s。
又悬线上的张力应与重物所受的拉力大小 相等，其值为19.6kN
精
42
例 套管A重FP，因受细绳牵引，而沿垂直杆 向上滑动。细绳过小滑轮B而绕在鼓轮上，滑 轮与杆的水平距离为L，当鼓轮匀角速转动时，
（将各力代入微分方程求解）
精
32
例: 汽车的质量m=1500 kg, 以匀速v=36km/h 在 一段向上弯曲的圆弧路面上行驶，已知圆弧半径 R＝100m，求汽车所受路面对它的法向反力的最 大值。
动力学公式汇总
第 1 页/共 3 页理论力学——动力学重点公式汇总张工培训：湖南陆工1、牛顿第二定律记住：哪个方向用第二定律，就考虑哪个方向的作使劲就行了。
2、动量定理平移刚体的动量：定轴转动刚体的动量： （Vc 为质心的速度） 注重：动量方向与速度方向相同，故速度方向相反的两个质点的动量会抵消部分。
常力的冲量： 动量定理：注：应用时均是某个方向的应用。
3、动量矩定理平移刚体的动量矩： （Vc 为质心的速度，逆为正）定轴转动刚体的动量矩： 刚体的转动惯量：（注：均针对质心C ） 1）等截面的均质细长杆（质量为m ，长度为l ）2）厚度相等的均质薄圆板（质量为m ，半径为R ）3）厚度相等的均质薄圆环（质量为m ，半径为R ）转动惯量的平行移轴定理：动量矩定理：x x F ma =yy F ma =zz F ma =mvk =∑==ci i mv v m k FtS =SFt mv mv ==-12d mv L c z ±=zz wIL =2121ml I C =221mR I C =2mR I C =2md I I zC z +=)()(00F m dtmv dm =质点（系）对某固定点（轴）的动量矩对时光的一阶导数，等于作使劲对该点的力矩。
刚体绕定轴转动时的动量矩定理可写为：4、动能定理力的功：重力的功： 弹性力的功：平移刚体的动能： 定轴转动刚体的动能： 动能定理： 5、达朗贝尔原理 平移刚体的惯性力主矢： 平移刚体的惯性力主矩： 定轴转动刚体的惯性力主矢：定轴转动刚体的惯性力主矩： 6、质点的直线振动周期： 圆频率： 频率：等效刚度系数：并联（特征：弹簧的变形量总是相等）串联（特征：变形量可不一样）频率比：等于1时，发生共振，振幅最大。
zz zz M dtd I M I ==22ϕε221mv T =221ωz I T =2,121222121W mv mv =-FSW =)()(2121z z mg z z P W -=-=)(22221δδ-=kW c I Ma F -=0=C I M nC C C RI Ma Ma Ma F --=-=τεz Iz I M -=km T πωπ220==mk=0ωmk Tf ππω21210===21k k k +=21111k k k+=ωωλ=欲知注册工程师考试（公共基础）更多更专业的学习内容，请担心“张工注册工程师基础类——zhanggongjichu。
第16章动力学基本定理
16.1 动量定理
动量和动量定理从不同侧面表示了质点和质点 系的运动与其受力之间的关系，动量概念的物 理意义更明确，可以更深入地帮助我们理解物 体机械运动的某些特性。并帮助我们解决动力 学的一些力与运动问题。
第6页，共32页。
16.1.1 动量和冲量
1．动量
(1) 质点的动量 运动着的子弹，质量虽小，但速度很大，它能射人或穿过阻碍它的物体；
锻锤打击锻件时，锻锤下落速度比子弹小很多，但质量很大，当它碰到 锻件时也能产生很大的打击力使锻件变形。可见质点运动的强弱不仅与 质点的速度有关，而且还与它的质量有关。我们把质点的质量与它的速 度的乘积称为质点的动量。动量是物体机械运动强弱的一种量度。
第7页，共32页。
16.1.1 动量和冲量
2．冲量 甲、乙两人同时用同样的力在同样的道路上，沿直线各推一小车，
与外力的划分是相对的，随考察对象选取的不同而改变。例如，以整个列车为考察 对象，则机车与车厢之间相互作的力是内力，但如果单独以车厢为考察对象，机车 作用在车厢上的力就成了外力了。
第10页，共32页。
16.1.3 质点系动量守恒定理
第11页，共32页。
16.2 动量矩定理
16.2.1 动量矩 16.2.2 动量矩定理
第3页，共32页。
第16章 动力学基本定理
16.1 动量定理 16.2 动量矩定理 16.3 动能定理 16.4 动力学问题的综合 16.5 实训与练习
第4页，共32页。
16.1 动量定理
16.1.1 动量和冲量 16.1.2 动量定理 16.1.3 质点系动量守恒定理
第5页，共32页。
Q & A? Thanks!
第32页，共32页。
动量矩定理ssb
Mx(mv) = y ( mvz） z（mvy) My(mv) = z（mvx ） x（mvz) Mz(mv) = x (mvy） y（mvx)
一、质点动量矩
§12-1
动 量 矩
二、质点系的动量矩
1. 对点的动量 矩 质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点 O 的动量主矩或动量矩。用 LO 表示，有
LO rC mvC LC
z z' A
rr vr v
LC (rri mi vri )
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩 上式即平面运动刚体对固定点O的动量矩计算公式 可以证明
x O
rC
vC
vC
C
y'
x'
y
在质心平动坐标系下，
质点系的绝对动量对质心C的动量矩 即
LC ( rri mi vi ) ( rri mi v ri )
= 相对动量对质心C的动量矩。
§12-1
动 量 矩
证明
五、质点系对固定点O的动量矩的另一种表示 坐标系 Cx y z ,它以质心的速度 vC 运动。 设质点系内任一质点 A 在这平动坐标系中 的相对速度是vr ,该点的绝对速度 v=ve+vr=
过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心 C 为原点，取平动
定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量
矩定理
d [ M z (mv )] M z ( Fi ( e ) ) dt
例题 12-1
§12-2 动 量 矩 定 理
d [ M z (mv )] M z ( Fi ( e ) ) dt
例题 12-1
由于动量矩和力矩分别是
第十六章 动力学普遍定理
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16.3动量矩定理
3、转动惯量 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体对轴z的转动惯 量等于刚体内所有各质点的质量与其对该轴的转动半径r的平方的乘 积之总和，写成
I z mi ri2
或
I z r 2 dm
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16.3动量矩定理
转动惯量永远是正值，它的大小决定于刚体的质量、质量的分布 和转轴的位置。同一刚体对于不同轴的转动惯量一般并不相同。 工程上常把刚体的转动惯量表示为整个刚体的质量m与某一特征 长度的平方的乘积，即
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16.2动量定理
（16-8）表明：质点系的动量在任一固定轴上的投影对时间的导 数，等于作用在质点系上所有外力在同一轴上的投影的代数和。 动量定理可用来求解速度及外力(包括不做功外力)的问题。 现讨论两种特殊情形。 (1)若R三0，则由式(16—7)知K=常矢量。即：如作用在质点系上的所有 外力的矢量和恒等于零，则质点系的动量保持不变。 （2）若Rx三0，则由式(16—8)知Kx=常矢量。即：如作用在质点系上的 所有外力在X轴上的投影的代数和恒等于零，则质点系的动量在该轴 上的投影保持不变。
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16.2动量定理
定理表明，质点系的内力不能改变整个质点系的动量，只能引 起质点系中各质点的动量的变化；要改变整个质点系的动量只能依靠 外力。例如人在车箱内用力推箱壁并不能加快车的行驶速度。 在解题时，常应用动量定理的投影形式。
dK x Rx dt
dK y dt Ry
dK z Rz dt
考虑到
Lz M z (mv)
（16-20）可写为
dLz M z ( Fi ( e ) ) dt
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转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
+ +
m2 m2
y2
m1 + m2
= =
m2 e cost
m1 + m2
m2 e sint
m1 + m2
上式对t求二阶导数，得
d 2 xc dt 2 d 2 yc dt 2
于速度v，即 F = mv ，其中 m为比
例系数 。求活塞相对于液压缸的
运动规律。
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解：把活塞抽象为质点
d2x m dt2
=
-F或m
dv dt
=
-mv
dv = -kv(k = m )
dt
m
v dv = - t kdt
v0
x
v
dx =
0
0
t 0
v0e-
kt
dt
解得x = v0 (1- e-kt )
若 F = 0，则 mv =常矢量，质点的动量守恒。
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二、质点系的动量定理
1. 质点系的质心及动量
xc =
mi xi M
yc =
mi yi M
Mvcx = mivix
Mvcy = miviy
求导，得
或M vc = P
2. 质点系的动量定理
上一页 下一页
d d(m tivi)=
上一页 下一页
例3 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大 三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) = 0 水平方向Px =常量。
运动分析，设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va =v +vr
=
m1
a
+
l 2
+
m2
a
M
m1 + m2
y a
s
当人到B点时，小车在 A'B' 位置
A’
A
xc'
=
m1
a
-
s
+
l 2
+
m2
(a
m1 + m2
-
s
+l)
由于 xc = xc' = 常量，故
m1
a
+
l 2
+
m2a
=
m1 a
-
s
+
l 2
+
m2 (a
-
s
+l)
m1 + m2
m1 + m2
解得 s = m2l m1 + m2
求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物（抽象为质点）为研究对象
②受力分析如图所示
③列微分方程
v2 m
=T
- G cosj
l
T = m(g cosj + v2 )
l
j v T
当j = 0时，v = v0,T Tmax
Tmax
=
m(g
+
v02 l
)
上一页 下一页
例2 液压减振器的活塞在获得初速度 vo后作直线运动。活塞的阻力F正比
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (-v)+mvax =0
M (-v)+m(vrx -v)=0
\vrx = M +m Srx = M +m vm Sm
\
S
=
m M+
m
S
rx
=
m M+
m
(a
-
b)
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பைடு நூலகம்
第三节 质心运动定理
上一页 下一页
将 P = M vc 代入质点系动量定理，得
( ) dM vc=dp=F (e)或 M ac=F (e)
上一页 下一页
l
B’
B
x
上一页 下一页
例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量 为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心
O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
称为质点的运动微分方程。
1.直角坐标形式
max
=
m
d2x dt 2
=
Fx
may
=
m
d2y dt 2
=
Fy
maz
=
m
d2z dt 2
=
Fz
2.自然形式
Fx、 Fy 、 Fz 分别为 F 在x、y、z轴上
的投影 ；ax 、 ay 、 az分别为质点的加 速度在x、y、z轴上的投影 。
mat
=
m
d 2s dt 2
(i)
F+ i
(e)
F i
式中，F
(i i
)
——质点系内各质点之间的相互作用力。
即内力，
(i)
F
=
0
i
F
( i
e)——作用于第i个质点上的外力。
设P = mi vi ，则
d P =
(e)
F
=
F (e) ——质点系的动量定理
dt
i
投影形式
dpx dt
=
F (e) x
dpy dt
=
F (e) y
若 F (e) = 0质点系动量守恒。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
xc =
mi xi
=
Ft
man
=
v2 m
r
=
Fn
Fτ、Fn分别 F为在切向和法向的投影
上一页 下一页
应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类 基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力； ②已知作用于质点上的力，求质点的运动。
例1 桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平
横离梁为作l。匀突速然运刹动车，，速重度物为因惯v0性，绕重悬物挂中点心O向至前悬摆挂动点，距
k
得v
=
dx dt
=
v0e-kt
第二节 动量定理
上一页 下一页
一、质点的动量定理
1. 质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。
2. 质点的动量定理：
由动力学基本方程 ma = F ，得
d (mv) = F dt 质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。 即为质点的动量定理。
下一页
第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
上一页 下一页
第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
第一节 动力学基本方程 第二节 动量定理 第三节 质心运动定理 第四节 动量矩定理 第五节 刚体定轴转动微分方程
第一节 动力学基本方程
上一页 下一页
将动力学基本方程（ ma = F ）表示为微分形式的方程，
dt dt
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质 点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。
投影形式
M
d 2 xc dt 2
= Fx(e )
M
d 2 yc dt 2
=
F
(e
y
)
若 Fx(e) = 0, 则 acx = 0, vcx =常量，质心沿x方向速度不变；
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
+ +
m2 m2
y2
m1 + m2
= =
m2 e cost
m1 + m2
m2 e sint
m1 + m2
上式对t求二阶导数，得
d 2 xc dt 2 d 2 yc dt 2
于速度v，即 F = mv ，其中 m为比
例系数 。求活塞相对于液压缸的
运动规律。
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解：把活塞抽象为质点
d2x m dt2
=
-F或m
dv dt
=
-mv
dv = -kv(k = m )
dt
m
v dv = - t kdt
v0
x
v
dx =
0
0
t 0
v0e-
kt
dt
解得x = v0 (1- e-kt )
若 F = 0，则 mv =常矢量，质点的动量守恒。
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二、质点系的动量定理
1. 质点系的质心及动量
xc =
mi xi M
yc =
mi yi M
Mvcx = mivix
Mvcy = miviy
求导，得
或M vc = P
2. 质点系的动量定理
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d d(m tivi)=
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例3 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大 三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) = 0 水平方向Px =常量。
运动分析，设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va =v +vr
=
m1
a
+
l 2
+
m2
a
M
m1 + m2
y a
s
当人到B点时，小车在 A'B' 位置
A’
A
xc'
=
m1
a
-
s
+
l 2
+
m2
(a
m1 + m2
-
s
+l)
由于 xc = xc' = 常量，故
m1
a
+
l 2
+
m2a
=
m1 a
-
s
+
l 2
+
m2 (a
-
s
+l)
m1 + m2
m1 + m2
解得 s = m2l m1 + m2
求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物（抽象为质点）为研究对象
②受力分析如图所示
③列微分方程
v2 m
=T
- G cosj
l
T = m(g cosj + v2 )
l
j v T
当j = 0时，v = v0,T Tmax
Tmax
=
m(g
+
v02 l
)
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例2 液压减振器的活塞在获得初速度 vo后作直线运动。活塞的阻力F正比
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (-v)+mvax =0
M (-v)+m(vrx -v)=0
\vrx = M +m Srx = M +m vm Sm
\
S
=
m M+
m
S
rx
=
m M+
m
(a
-
b)
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பைடு நூலகம்
第三节 质心运动定理
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将 P = M vc 代入质点系动量定理，得
( ) dM vc=dp=F (e)或 M ac=F (e)
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l
B’
B
x
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例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量 为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心
O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
称为质点的运动微分方程。
1.直角坐标形式
max
=
m
d2x dt 2
=
Fx
may
=
m
d2y dt 2
=
Fy
maz
=
m
d2z dt 2
=
Fz
2.自然形式
Fx、 Fy 、 Fz 分别为 F 在x、y、z轴上
的投影 ；ax 、 ay 、 az分别为质点的加 速度在x、y、z轴上的投影 。
mat
=
m
d 2s dt 2
(i)
F+ i
(e)
F i
式中，F
(i i
)
——质点系内各质点之间的相互作用力。
即内力，
(i)
F
=
0
i
F
( i
e)——作用于第i个质点上的外力。
设P = mi vi ，则
d P =
(e)
F
=
F (e) ——质点系的动量定理
dt
i
投影形式
dpx dt
=
F (e) x
dpy dt
=
F (e) y
若 F (e) = 0质点系动量守恒。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
xc =
mi xi
=
Ft
man
=
v2 m
r
=
Fn
Fτ、Fn分别 F为在切向和法向的投影
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应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类 基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力； ②已知作用于质点上的力，求质点的运动。
例1 桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平
横离梁为作l。匀突速然运刹动车，，速重度物为因惯v0性，绕重悬物挂中点心O向至前悬摆挂动点，距
k
得v
=
dx dt
=
v0e-kt
第二节 动量定理
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一、质点的动量定理
1. 质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。
2. 质点的动量定理：
由动力学基本方程 ma = F ，得
d (mv) = F dt 质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。 即为质点的动量定理。
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
第一节 动力学基本方程 第二节 动量定理 第三节 质心运动定理 第四节 动量矩定理 第五节 刚体定轴转动微分方程
第一节 动力学基本方程
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将动力学基本方程（ ma = F ）表示为微分形式的方程，
dt dt
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质 点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。
投影形式
M
d 2 xc dt 2
= Fx(e )
M
d 2 yc dt 2
=
F
(e
y
)
若 Fx(e) = 0, 则 acx = 0, vcx =常量，质心沿x方向速度不变；
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。