专训1 一元二次方程与三角形的综合的四种类型(含答案)

专训1一元二次方程与三角形的综合的四种类型名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一,常常与其他知识结合,其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种,主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及一元二次方程与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．

一元二次方程与三角形三边关系的综合

1．三角形的两边长分别为4和6,第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解,则第三边的长为() A．3B．4C．3或4D．无法确定

2．根据一元二次方程根的定义,解答下列问题．

一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm,第三边长为a cm(a为整数),且a满足a2－10a＋21＝0,求三角形的周长．

解：由已知可得4

当a＝5时,代入a2－10a＋21,得52－10×5＋21≠0,故a＝5不是方程的根．

同理可知a＝6,a＝8,a＝9都不是方程的根,a＝7是方程的根．(第二步)

∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．

上述过程中,第一步是根据_____________________________________________________ ____________________________,第二步应用的数学思想是__________,确定a值的大小是根据______________．

一元二次方程与直角三角形的综合

3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－14x＋48＝0的两个根,则这个直角三角形的斜边长为________．

4．已知a,b,c分别是△ABC的三边长,当m>0时,关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由．

一元二次方程与等腰三角形的综合

5．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.

(1)求证：无论k取任何实数值,方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长．

一元二次方程与动态几何综合

6．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝5 cm,BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．

(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积为4 cm2?

(2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度为5 cm?

(3)在(1)中,△PBQ的面积能否为7 cm2并说明理由．

(第6题)

答案

1．C

2．三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义

3．10

4．解：△ABC是直角三角形．理由如下：

原方程可化为(b＋c)x2－2max＋cm－bm＝0,

Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)．

∵m>0,且原方程有两个相等的实数根,

∴a2＋b2－c2＝0,即a2＋b2＝c2.

∴△ABC是直角三角形．

5．(1)证明：∵Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0,

∴无论k取任何实数值,方程总有实数根．

(2)解：解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0,得x1＝k,x2＝2.

∵△ABC为等腰三角形,

∴当a＝k＝1时,另一边长为2,此时,不能构成三角形；

当a＝1,k＝2时,△ABC的周长为5.

6．解：设P,Q运动的时间为x s,则由题意知AP＝x cm,BP＝(5－x) cm,BQ＝2x cm,CQ＝(7－2x) cm.

(1)S△PBQ＝1

2·PB·BQ＝

1

2×(5－x)×2x＝4.

解得x1＝1,x2＝4.

当x＝1时,5－1＞0,7－2×1＞0,满足题意；

当x＝4时,5－4＞0,7－2×4＜0,不满足题意,舍去．

故1 s后,△PBQ的面积为4 cm2

(2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2,

若PQ＝5 cm,则(5－x)2＋(2x)2＝25.

解得x1＝0(舍去),x2＝2.

故2 s后,PQ的长度为5 cm.

(3)不能．理由如下：仿照(1),得

1

2(5－x)·2x＝7,

整理,得x2－5x＋7＝0.

∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0,∴此方程无实数解．∴△PBQ的面积不能为7 cm2.