江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研数学试题(含理科加试题) word版
江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研数学试题(含理科加试题)苏教版
江苏省栟茶高级中学高三年级第二次学情调研数 学 试 卷 2014.12.26第I 卷(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则AB = ▲ ． {}0,1,1-2．复数Z 满足|1|)1(i Z i -=+，是Z 的虚部为 ▲ ．22- 3． 抛物线24y x =-的准线方程是 ▲ ．116y =4．若ac ＞0且bc ＜0，直线0=++c by ax 不通过第 ▲象限．四5A ，B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ▲．56．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ▲．37．ABC ∆中，若53-sin =）（A π，512tan =+）（B π，则=C cos ▲ ． 6516 8．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+ (0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那()1f -= ▲ ．29． 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝()0λλ≠的一条渐近线方程是y ＝2x ，则离心率e 的值为___▲___．e =210．下列有关命题的说法正确的是 ▲ ．②③①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；②已知0>x 时，0)()1(<'-x f x ，若ABC ∆是锐角三角形，则)(cos )(sin B f A f >； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++>”． 11．已知(2,0)A -,(2,0)B ,点P 在圆()222(3)(4)0x y r r -+-=>上,满足22PA PB +=40，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是 ▲ ．()1,912．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ▲ ．()0,+∞13．O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= ▲ ． 2914．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数． 当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．解析：依题意()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递增，在(2,0)-和(2,)+∞上递减，当2x =±时，函数取得极大值54；当0x =时，取得极小值0．要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且只有6个不同实数根，设()t f x =，则20t at b ++=必有两个根1t 、2t ，则有两种情况符合题意：（1）154t =，且25(1,)4t ∈，此时12a t t -=+，则59(,)24a ∈--；（2）(]10,1t ∈，25(1,)4t ∈，此时同理可得9(,1)4a ∈--，综上可得a 的范围是599(,)(,1)244----． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量3(sin ,)4a x =，(cos ,1)b x =-．(1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围． 解析：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++……………6分（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32………………8分由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A …10分 因为a b>，所以4π=A …………………11分()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f …………………14分16． （本小题满分14分）在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3． 证明：（1）EF ∥平面ABC ；（2）直线BD ⊥直线EF ． 证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分所以EF ∥AC ， …………………………………3分 又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．………………………………………………………………6分 （2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， …………………………8分 又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ……………………………………10分 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………12分 又HF ∥AC ，所以直线BD ⊥直线HF ．…………………………………………………………14分 17．（本小题满分14分） 某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG∆NTMHGFEDCBA中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DN x m =，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域； （Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积． 解：（Ⅰ）作GH ⊥EF ，垂足为H ，因为DN x =，所以40,60NH x NA x =-=-， 因为,NH NAHG AM= 所以406010x x AM --=，所以6001040xAM x-=- ………………2分 过M 作//MT BC 交CD 于T ，则 MBCDWMBCT MTDN SS S =+1(40)60(60)2AM x AM =-⨯++⨯，所以600101(60)(60010)(40)6040240x x x y x x-+-=-⨯+⨯-- ()xx ---=4060524002………………………7分 由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,…………………………8分（Ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002x x x x y ，…………………10分所以当且仅当xx -=-4040040，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000， ……13分答：当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ．…………14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交ABCDEF MNG第17题椭圆于点P ．证明：OM OP ×为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c ==．∴b c ==，2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=． ………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）． ………………4分由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）． ……5分由 22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=．21284212k x k --=+， ∴2122412k x k-=+． ∴ 1124(2)12k y k x k =+=+，222244(,)1212k k P k k -++． ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k-+⋅=⋅+⋅==+++． 即OM OP ⋅为定值． （Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，∴0MQ DP ⋅=恒成立．由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k -=++． ∴202284(2)401212k kQM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++． 即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =． ∴ 存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．19．（本小题满分16分）已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--．（1）求()f x 的单调增区间和最小值；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值； （3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e>， 所以()f x 的单调增区间为1(,)e+∞，……………………………………………………2分 又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e上单调减， 当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e+∞上单调增，所以()f x 的最小值为11()f e e=-． …………………………………………………5分（2）因为()ln 1f x x '=+，21()32g x ax '=-， 设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-，与()g x 相切的直线方程为：2312(3)223y ax x ax e=---， 所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩ …………………………………………………………8分解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e =，所以26e a =． …………………………10分（3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标），所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分 当2k >时，有2:l (ln 1)y x x x =+-，1:l (ln 1)y x x =+，且2x >，所以两平行线间的距离d =12分令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-， 所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分令22()ln 2ln 2x t x x x =++，则2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++，所以当x x >时，()()t x t x >，………………………………………………………15分 所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？ ⑶设ln 1()xx g x e+=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ．解：⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=， 因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分 ⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分 ⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e +=，所以'1ln 1()xx x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1x x x x x e e-+⋅--<+． ……12分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+．① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 ． 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+．② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减， 所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<．综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+．即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分江苏省栟茶高级中学高三年级第二次学情调研第Ⅱ卷（理科加试）(总分40分，考试时间30分钟)21． （本小题满分10分）将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵． 解：解法1：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x y 2，所以M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4012⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14002． 解法2：由于M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4xy2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ⎩⎨⎧4x ＝x ′y 2＝y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′4y ＝2y ′，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即M 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14002． 22．（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．……………………5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4． ……………………10分23． （本小题满分10分）已知过定点F (0,2)的圆C 始终与直线2y =-相切．（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）AB 是（1）中轨迹的动弦，且AB 过F 点，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ ． 解：（1）易知轨迹为抛物线：x 2＝8y ；（2）因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16．(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x ．(6分)所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1． 所以AQ ⊥BQ ．(10分) 24． （本小题满分10分）设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点． （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）∵()()23x f x x ax b e -=++∴()()()()''32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()'0f x =得13x =，21x a =--∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠-（1）当4a <-时，213x a =-->，由()'0f x >得单增区间为：()3,1a --；由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；（2）当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()'0f x <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞；（2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3min min 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+ ()f x ∴在[0,4]上的值域为3[2(3),6]a e a -++ 易知，225()()4x g x a e =+在[0,4]上是增函数 ()g x ∴在[0,4]上的值域为2242525[,()]44a a e ++ 由于22251()6)()042a a a +-+=-≥（ 又要存在存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，∴必须且只须202525()(6)44a a a >⎧⎪⎨+-+<⎪⎩，解得03a << 所以，实数a 的取值范围为03a <<．。
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江苏省栟茶高级中学高三年级第二次模拟考试物理试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本题共10小题，每小题4分，共40一个正确选项，有的小题有多个正确选项，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分.1.在物理学发展史上，有一些定律或规律的发现，首先是通过推理论证建立理论，然后再由实验加以验证.下列叙述内容符合上述情况的是（）A.牛顿发现了万有引力，经过一段时间后卡文迪许用实验方法测出引力常量的数值，从而验证了万有引力定律B.爱因斯坦提出了量子理论，后来普朗克用光电效应实验提出了光子说C.麦克斯韦提出电磁场理论并预言电磁波的存在，后来由赫兹用实验证实了电磁波的存在D.汤姆生提出原子的核式结构学说，后来由卢瑟福用α粒子散射实验给予了验证2.如图所示，叠放在一起的A、B两物体在水平力F的作用下，沿水平面以某一速度匀速运动.现突然将作用在B上的力F改为作用在A上，并保持大小和方向不变，则A、B的运动状态可能为（）A.一起匀速运动B.一起加速运动C.A加速，B减速D.A加速，B匀速3.在高纬度地区，高空大气稀薄的地方常出现五颜六色的弧状、带状或幕状的极其美丽壮观的发光现象，这就是我们常听说的“极光”，它是由太阳发射的高速带电粒子受到地球磁场的影响，进入两极附近，撞击并激发高空中的空气分子和原子而引起的.假如我们在北极地区忽然发现高空出现了沿顺时针方向生成的紫色弧状极光，则关于引起这一现象的高速粒子的电性及弧状极光的弯曲程度的说法正确的是（）A.高速粒子带正电B.高速粒子带负电C.弯曲程度逐渐减小D.弯曲程度逐渐增大4.“轨道电子俘获”也是放射性同位素衰变的一种形式，它是指原子核（称为母核）俘获一个核外电子，其内部一个质子变为中子，从而变成一个新核（称为子核），并且放出一个中微子的过程.中微子的质量很小，不带电，很难探测到，人们最早就是通过子核的反冲而间接证明中微子的存在的.下面关于一个静止的原子核发生“轨道电子俘获”，衰变为子核并放出中微子的说法中正确的是（）A.母核的质量数等于子核的质量数B.母核的电荷数大于子核的电荷数C.子核的动量等于中微子的动量D.子核的动能大于中微子的动能5.氢原子的能级图如图所示，一群氢原子处于n=3的激发态，在向基态跃迁的过程中，下列说法中正确的是（）A.这群氢原子能发出三种频率不同的光，其中n=3能级跃迁到n=2能级所发出光的波长最短B.这群氢原子如果从n=3能级跃迁到n=1能级所发出光恰好使某金属发生光电效应，则从n=3能级跃迁到n=2能级所发出光一定不能使该金属发生光电效应现象C.用这群氢原子所发出的光照射逸出功为2.49 eV的金属钠，则从金属钠表面所发出的光电子的最大初动能可能为11.11 eVD.用这群氢原子所发出的光照射逸出功为2.49 eV 的金属钠，则从金属钠表面所发出的光电子的最大初动能可能为9.60 eV6.两细束平行光a 、b 的间距为Δ1x ，斜射到一块矩形玻璃砖的同一表面上.已知在玻璃中的传播速度a v ＞b v ，设经玻璃砖两次折射后的出射光线间距为Δa x 2x ，则下列说法正确的是（ ）A.Δ2x 可能等于零B.Δ2x 不可能小于Δ1xC.Δ2x 不可能等于Δ1xD.Δ2x 不可能大于Δ1x7.2018年10月某日上午，中国首颗业务型静止轨道（即同步轨道）气象卫星——“风云二号”由“长征三号甲”运载火箭成功送入预定轨道.下列关于这颗卫星在轨道上运行的描述，正确的是（ ）A.速度介于7.9 km/s ～11.2 km/sB.周期大于地球自转周期C.处于平衡状态D.加速度小于地面的重力加速度8.下列是热学的有关知识，说法中正确的是（ ）A.布朗运动反映了微粒中分子运动的不规则性B.对不同种类的物体，只要温度相同，分子的平均动能一定相同C.分子间距增大时，分子间的引力增大而斥力减小D.一定质量的气体，温度升高时，分子间的平均距离一定增大9.如图所示，一边长为h 的正方形线圈A ，其电流I 方向固定不变，用两条长度恒为h 的细绳静止悬挂于水平长直导线CD 的正下方.当导线CD 中无电流时,两细绳中张力均为T ，当通过CD 的电流为i 时，两细绳中张力均降为aT (0＜a ＜1＝,而当CD 上的电流为i ′时，细绳中张力恰好为零.已知长直通电导线的磁场的磁感应强度B 与到导线的距离r 成反比（即B =k /r ，k 为常数）.由此可知，CD 中的电流方向和电流之比i /i ′分别为（ ）A.向左1+aB.向右1+aC.向左1-aD.向右1-a10.如图所示是一列简谐横波t=0时刻的图象. 经过Δt =1.2 s 时间，恰好第三次重复出现图示的波形.根据以上信息，下面各项能确定的是 （ ）A.波的传播速度的大小B.Δt =1.2 s 时间内质点P 经过的路程C. t =0.6 s 时刻质点P 的速度方向D. t =0.6 s 时刻的波形图第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、本题共2小题，共20分，把答案填在题中的横线上或按题目要求作答.11.（8分）常用螺旋测微器的精度是0.01 mm.右图中的螺旋测微器读数为5.620 mm ，请你在刻度线旁边的方框内标出相应的数以符合给出的数.若另制一个螺旋测微器，使其精确度提高到0.018 mm ，而螺旋测微器的螺距仍保持0.5 mm 不变，可以采用的方法是 .12.（12分）在电学实验中由于电压表、电流表内阻的影响，使得测量结果总存在系统误差.某校课外研究性学习小组进行了消除系统误差的探究实验，下面就举两例：Ⅰ.（6分）某组设计了如图所示的电路，该电路能够测量电源E 的电动势和内电阻r ，E ′是辅助电源. A 、B 两点间有一灵敏电流计G .（1）补充下列实验步骤：①闭合开关S 1、S 2， 使得灵敏电流计的示数为零，这时，A 、B 两点U A 、U B 的关系是U A U B ，即A 、B 相当于同一点，读出电流表和电压表的示数I 1和U 1，其中I 1就是通过电源E 的电流.②改变滑动变阻器R 、R ′的阻值，重新使得________________，读出_______________.（2）写出步骤①②对应的方程式及电动势和内电阻的表达式_____________________ ______________________________________：.Ⅱ.（6分）某组利用如图所示的电路测定金属电阻率，在测量时需要用刻度尺测出被测金属丝的长度l ，用螺旋测微器测出金属丝的直径d ，用电流表和电压表测出金属丝的电阻x R .（1）请写出测金属丝电阻率的表达式：ρ=___________.（2）利用该电路进行实验的主要操作过程是：第一步：闭合电键S 1，将电键S 2接2，调节滑动变阻器R P 和r ，使电压表读数尽量接近满量程，读出这时电压表和电流表的示数U 1、I 1；请你接着写出第二步，并说明需要记录的数据：_________________________.由以上记录的数据计算出被测电阻x R 的表达式为x R =_______________________.活动总结：经过分析研究就可以看出该活动是十分有成效的，它们都可以消除系统误差，测量的是真实值.三、本题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题答案中必须明确写出数值和单位.13.（14分）在海滨游乐场有一种滑沙的娱乐活动.如图所示，人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始下滑，滑到斜坡底部B点后沿水平滑道再滑行一段距离到C点停下来，斜坡滑道与水平滑道间是平滑连接的，滑板与两滑道间的动摩擦因数均为μ=0.50，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，斜坡倾角θ=37°.（1）若人和滑块的总质量为m=60 kg，求人在斜坡上下滑时的加速度大小.（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）（2）若由于受到场地的限制，A点到C点的水平距离为s=50 m，为确保人身安全，假如你是设计师，你认为在设计斜坡滑道时，对高度应有怎样的要求？14.（14分）如图甲所示，ABCD abcd为一放于水平面上的长方体槽，上端开口，AB ba、CD dc面为两铜板，其他面为绝缘板，槽中盛满导电液体（设该液体导电时不发生电解）.现在质量不计的细铜丝的下端固定一铁球构成一单摆，铜丝的上端可绕O点摆动，O点在槽中心的正上方，摆球摆动平面与AB垂直.在两铜板上接上图示的电源，电源内阻可忽略，电动势E=8 V，将电源负极和细铜丝的上端点分别连接到记+忆示波器的“地”和“Y”输入端（记忆示波器的输入电阻可视为无穷大）.假设摆球在导电液中做简谐运动，示波器的电压波形如图乙所示.（1）求单摆的摆长（已知π2=10，g=10 m/s2）.（2）设AD边长为4 cm，则摆动过程中摆球偏离CD板的最大距离和最小距离（忽略铜丝对导电液中电场的影响）.15.（15分）在电场强度为E 的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示.几何线上有两个静止的小球A 和B （均可看作质点），两小球的质量均为m ，A 球带电荷量+Q ，B 球不带电.开始时两球相距L ，在电场力的作用下，A 球开始沿直线运动，并与B 球发生正对碰撞，碰撞中A 、B 两球的总动能无损失.设在各次碰撞过程中，A 、B 两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力.问：（1）A 球经过多长时间与B 球发生第一次碰撞？（2）第一次碰撞后，A 、B 两球的速度各为多大？（3）请猜测在以后A 、B 两球再次不断地碰撞的时间间隔会相等吗？并对猜测的结论进行论证.如果相等，请计算出时间间隔T ，如果不相等，请说明理由.16.（15分）如图所示，磁场的方向垂直于xOy 平面向里，磁感应强度B 沿y 方向没有变化,沿x 方向均匀增加,每经过1 cm增加量为 1.0×10-4 T ，即ΔxB ΔΔ=1.0×10-4 T/cm ，有一个长L =20 cm ，宽h =10 cm 的不变形的矩形金属线圈，以 v =20cm/s 的速度沿x 方向运动.求：（1）如果线圈电阻R =0.02 Ω，线圈消耗的电功率是多少？（2）为保持线圈匀速运动，需要多大外力？机械功率是多少？17.（16分）如图所示，滑块A1、A 2由轻杆连接成一个物体，其质量为M ，轻杆长为l .滑块B 的质量为m 、长为21l ，其左端为一小槽，槽内装有轻质弹簧，在弹簧的作用下，整个系统获得动能E k.弹簧松开后便从侧边离开小槽并远离木块，以后B 将在A 1、A 2间发生无机械能损失的碰撞.假定整个系统都位于光滑的水平面上，求物块B 的运动周期.18.（18分）常见的激光器有固体激光器和气体激光器，世界上发达国家已经研究出了自由电子激光器，其原理可简单用右图表示：自由电子经电场加速后，射入上下排列着许多磁铁的“孑孓”管中，相邻的两块磁铁的极性是相反的，在磁场的作用下电子扭动着前进，犹如孑孓在水中游动.电子每扭动一次就会发出一个光子（不计电子发出光子后能量的损失），管子两端的反射镜使光子来回反射，结果从略为透光的一端发射出激光.（1）该激光器发出的激光频率能达到X 射线的频率，功率能达到兆千瓦.若激光器发射激光的功率为P =6.63×118 W ，激光的频率为v =1016 Hz ，则该激光器每秒发出多少激光光子？（普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ）（2）若加速电压U =1.8×118 V,电子质量为m =9×10-31 kg ，电子的电量q =1.6×10-19C ，每对磁极间的磁场可看作是均匀的，磁感应强度为B =9×10-4 T ，每个磁极的左右宽度为L =30 cm ，垂直于纸面方向的长度为2L =60 cm ，忽略左右磁极间的缝隙，当电子在磁极的正中间向右垂直于磁场方向射入时，电子可通过几对磁极？物理参考答案与解析1.AC 本题以物理学史为核心命题，考查了学生对物理中一些定律或规律的发现经历的掌握情况.牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道引力常量G 的值.一百多年后，英国物理学家卡文迪许在实验室通过实验比较准确地测出了G 的数值，从而验证了万有引力定律，故A 正确.爱因斯坦提出了光子说，它是受到普朗克量子理论的启发，因此B 错误.麦克斯韦只是提出电磁场理论并预言了电磁波的存在，但无法用实验来证实，后来由赫兹用实验证实了电磁波的存在，故C 正确.汤姆生提出的是“枣糕模型”，因此D 错误.2.AC 本题以常见的运动模型为核心，考查了摩擦力、牛顿第二定律、隔离法与整体法的应用等知识.解决的关键是正确对两物体进行受力分析.开始，A 、B 一起匀速运动，说明地面和B 之间一定有摩擦力，大小等于F .但A 、B 之间一定没有摩擦力，没有摩擦力并不意味着二者之间的摩擦因数为零，A 、B 之间可以光滑也可以不光滑.如果A 、B 之间光滑，那么将力作用在A 上后，A 加速，B 受到地面的摩擦力作用而减速运动，故C 正确.如果A 、B 之间不光滑，二者仍看作一个整体，则二者仍匀速运动，故A 正确.3.AD 本题以常见的自然现象为背景命题，考查了地磁场、左手定则、带电粒子在磁场中的运动等知识点.极光在地球上看为顺时针方向，如果俯视则应为逆时针方向，在北极上空磁场方向为竖直向下，由左手定则可以判断粒子带正电.由于空气阻力的作用，粒子速度逐渐减小，其运动半径逐渐减小，因此弯曲程度逐渐增大，故选项A 、D 正确.4.ABC 本题以“轨道电子俘获”为背景进行命题，考查了原子物理知识.该过程的核反应方程式为m n A+01-e →m n 1-B+v （中微子），因此根据核反应中质量数和电荷数守恒可以判断A 、B 正确.在俘获过程中系统动量守恒，故C 正确.根据E K =mp 22和题中中微子的质量很小的信息可以知道D 错误.5.BD 本题以氢原子的能级图为背景进行命题，考查了氢原子的跃迁、光电效应、爱因斯坦的光电方程等知识.根据在跃迁过程中hv =E 2-E 1可以计算出各能级差的大小，就可判断频率的大小.已知从n =3能级跃迁到n =1时能级差最大，因此所发出的光的频率最大，若恰好使某金属能发生光电效应，则从n =3能级跃迁到n =2所发出的光一定不能发生光电效应.根据221mv =W hv -和13E E hv -=就可得D 正确.综上本题答案为BD.6.A 本题以玻璃砖为背景进行命题，考查了折射定律、折射率与速度的关系、平行玻璃砖的光线特点.本题要牢牢抓住折射率定律表达式和cn v =结合分析，思维要开阔，由于玻璃砖厚度不同，讨论出射光线和入射光线之间的间距Δx 大小比较，要从会出现的几种情况思考分析,得出结论.详细的解答为：cn v =，a v ＞b v ，a n ＜b n ，由sin i =n sin r 分析，a 光在玻璃砖上表面的折射角大于b 光在上表面折射角.若a 光在左，b 光在右，随着玻璃砖厚度的不同，可能Δx 2＜Δx 1，也可能Δx 2=0，a 、b 两光在玻璃砖内相交再折射出时，还可能Δx 2=Δx 1，若b 光在左，a 光在右，则Δx 2＞Δx 1，依次分析可知A 正确.7.D 本题以“风云二号”卫星为背景进行命题，考查了天体运动中的有关问题.由于“风云二号”为同步轨道，因此它的周期和地球自转的周期相等，速度一定比第一宇宙速度小，因此AB 错误.卫星在运动中受到万有引力的作用，万有引力提供向心力从而做圆周运动，因此C 错误.根据重力加速度的变化可以判断D 正确.8.B 本题以常见的热学概念为核心进行命题，考查了热学的基本概念.布朗运动反映的是液体分子的无规则运动，故A 错误.温度是分子平均动能的标志，与哪种物质无关，所以B 正确.分子间的引力和斥力都是随着距离的增大而减小的，所以C 错误.气体的温度升高，体积可能增大也可能减小，所以D 错误.9.C 本题以信息题的形式出现考查了电磁感应现象、安培力的计算、左手定则、受力分析等知识点.由题目中给出的信息可知，当CD 中通电流时，细绳中的张力减小，故正方形线圈受到的安培力的合力一定向上.当通过CD 的电流为i 时，对线圈进行受力分析，受到重力、向上和向下的安培力、细绳的拉力，故G +ilh hk aT ilh h k +=22①；当通过CD 的电流为i ′时，对线圈进行受力分析，受到重力、向上和向下的安培力、细绳的拉力，故G +Ih i hk Ih i h k '='2②；当通过CD 中无电流时，对线圈进行受力分析，受到重力和细绳的张力，故G=2T ③.解①②③可得i/i ′=(1-a )/1.10.ABD 本题以机械波的图象为核心命题，考查了波的传播速度、质点在某段时间内的路程、波形图等知识点.并且本题具有发散性，要求学生具有从图象中得到有关信息的能力.从图象中可知波长λ=8 m ，经过Δt =1.2 s 时间，恰好第三次重复出现图示的波形，因此可知周期T =0.4 s ，从而确定波速和Δt =1.2 s 时间内质点P 经过的路程为s =4A ×3=120 cm ，t =0.6 s 时由于不知波的传播方向，因此无法确定质点P 的振动方向，t =0.6 s=1.5 T ，因此可以确定t =0.6 s 的波形图.综上本题答案为ABD.11.【命题分析】 本题是考查螺旋测微器的读数和原理，尤其考查了学生对原理的理解，从而学生才能正确的改装螺旋测微器.由读数的方法就可以在方框中填入数字.如果知道了螺旋测微器的基本原理即它的螺距为0.5 mm ，即每转一周，螺杆就前进或后退0.5 mm ，将它分成50等份的圆周，则每旋转一份即表示0.01 mm ，因此，它可精确到0.01 mm.如果要使其精确度提高到0.018 mm ，那么就可采取将螺距分成100等份即可.答案：方框内数字为：5、15、10（顺序为从左向右，从上到下）.将可动刻度100等份（每空2分）12.【命题分析】 本题是比较创新的实验，是属于研究性学习实验，是在常规实验基础上的改进，主要考查的是测量电源电动势和内阻、测金属电阻率的实验原理及误差的消除方法.本题都是两次测量，利用消元法消除了电表内阻造成的系统误差，提高了实验的准确度.【解】Ⅰ.①调整滑动变阻器R 、R ′(2分)= （1分）②灵敏电流计的示数为零（1分） 电流表和电压表的示数I 2和U 2（1分）（2）E=I 1r +U 1，E =I 2r +U 2，解得E=U 1+I 1(U 2-U 1)/(I 1-I 2)，r =(U 2-U 1)/(I 1-I 2)（2分）Ⅱ.（1）πd 2Rx /4l （2分）（2）将电键S 2接1，只调节滑动变阻器r ，使电压表读数尽量接近满量程，读出这时电压表和电流表的示数U 2、I 2 （2分） U 1/I 1－U 2/I 2（2分）提示：由欧姆定律得U 1=I 1(R A +R P +R x )，U 2=I 2(R A +R P )，故R x =U 1/I 1－U 2/I 2.13.【命题分析】 本题是以海滨游乐园中游乐活动的新情景为核心命题，考查了牛顿第二定律、运动学等知识，并且第（2）问具有开放性.【解】（1）在斜坡上下滑时，由牛顿第二定律得mg sin θ-f =ma ①（1分）N -mg cos θ=0 ②（1分）f=μN ③（1分）解①②③得，a =g sin θ-μg cos θ=2 m/s2（2分）（2）设斜坡的最大高度为h ，滑至底端时的速度为v ,则v 2=2ah sin θ ④（1分）沿BC 段前进时的加速度a ′=μmg /m =μg ⑤（1分）沿BC 段滑行的距离L=v 2/2a ′ ⑥（1分）为确保安全要求，则L+h cot θ≤s ⑦（2分）④⑤⑥⑦联立解得h ≤25 m ，故斜坡的高度不应超过25 m.（2分）14.【命题分析】 本题以记忆示波器为核心命题，考查了学生的读图能力、理解能力和处理信息的能力，涉及到单摆、电路等知识.解决的关键是从图象上找出周期，然后根据单摆的周期公式进行计算.对于第（2）问，要理解记忆示波器的读数原理.【解】（1）由图乙可知单摆的周期为T =1 s （2分）由T =2πgl 得，l =22π4gT =0141012⨯⨯ m=0.25 m.（2分） （2）摆动过程中电压最大为6 V ，该电压与摆球偏离CD 板的距离Δl 成正比，有AD l l Δ=EU ，其中l AD =4 cm ，U =6 V ，E =8 V 解得Δl =3 cm此即为摆球偏离CD 板的最大距离.（3分）同理可得，摆球偏离CD 的最小距离为1 cm.（3分）15.【命题分析】 本题以带电粒子在电场中的运动为核心命题，考查了电场力做功、动量守恒、动能定理和利用数学方法解决物理问题的能力等.解题的难点在于猜测碰撞的时间间隔是否相等，然后利用不完全归纳的方法得出结论.当然还可以利用图象来计算出时间间隔.解决时关键点在于二者碰撞的过程中位移相等.【解】（1）对小球A 进行研究，根据牛顿第二定律和运动学的公式有，QE =ma ①（1分）L =21at 2 ②（1分） 解①②得t =QEml 2③（2分） （2）由动量守恒得，mv =mv 1+mv 2 ④（2分） 又由碰撞的过程中无机械能损失，得21mv 2=21mv 21+21mv 22，其中v 1为A 碰撞后的速度，v 2为B 碰撞后的速度 ⑤，（2分）解④⑤得，v 1=0，v 2=v ， ⑥（2分）又由动能定理，12mv 2=QEL ⑦（1分）故v 1=0，v 2=mQEL 2⑧（2分）（3）由（2）可知，A 、B 两球碰后速度交换，故21at 22=v 2t 2，∴t 2=a v 22， 第二次碰撞后A 球速度为v 2，B 球速度为v 3，所以v 3=at 2=2v 2，由位移关系得v 2t 3+21at 23=v 3t 3，∴t 3=2v 2a ⑨（2分） 依次类推，得v n -1t n +21at 2n =v n t n ，得t n =a v 22，所以T =a v 22=2QEml 2，故间隔相等.⑩（3分）16.【命题分析】 本题以矩形线框在磁场中的运动为核心命题，考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、功率、安培力、能量等知识点.解决的关键是求出电动势，然后根据电路知识解决.【解】（1）设线圈向右移动一距离Δx ，则通过线圈的磁通量变化为ΔΦ=h Δxx B ∆∆ L （2分）而所需时间为Δt =vx ∆（1分） 根据法拉第电磁感应定律可知感应电动势为E =t ∆∆Φ=hvL x B ∆∆=4×10-5 V （3分） 根据欧姆定律可知感应电流I=ER =2×10-3 A （2分）电功率P=IE =8×10-8 W （2分）（2）电流方向是沿逆时针方向的，导线dc 受到向左的力，导线ab 受到向右的力，两力大小不等，当线圈做匀速运动时，所受合力为零，因此需施加外力F 外，根据能量守恒定律得机械功率为P 机=P=8×10-8 W.（2分）根据P 机=F 外v 得F 外=vP 机=4×10-7 N （4分） 17.【命题分析】 本题以滑块模型为核心命题，考查了动量守恒、能量守恒、物体的往复运动等知识.此题最大的难点在于不能正确分析其运动的过程.【解】设弹簧松开后物体A 1A 2与滑块B 的速度各为V 和v ，则有MV +mv =0①（2分）12MV 2+12mv 2=E K ②（2分）若规定向右的方向为正方向，联立①②解得V =-)(2K m M M m E +③ v =)(2K m M M m E +④（2分） 当B 与A 2发生第一次碰撞后，A 1A 2与滑块B 的速度分别为V 1和v 1，则有MV 1+mv 1=MV +mv =0⑤（2分）12MV 21+12mv 21=21MV 2+21mv 2=E K ⑥（2分） 联立⑤⑥解得，V 1=)(2K m M M m E +⑦v 1=)(2K m M M m E +⑧（2分） 可见B 与A 2碰撞后，B 与A 1A 2的速度大小不变，只改变方向.同理，B 与A 1碰撞后也有同样的结果，即各自的速度大小不变，只改变方向.这说明B 与A 1A 2都以大小不变的速度做往返的运动，B 的运动周期等于B 与A 2连续两次碰撞的时间间隔，也就是B 与A 1A 2相向运动，共同运动21l 所经历的时间的2倍.（说明占2分） 即T =2×112/V v l + =)(2K m M E Mm +.（2分） 18.【命题分析】本题以激光器为核心进行命题，考查了光子的能量、电子在磁场中的运动、电场力做功、动能定理及空间几何关系.【解】（1）每个激光光子的能量E =h ν=6.63×10-34×1016 J=6.63×10-18 J （2分）设该激光器每秒发射n 个光子，则Pt=(nt)E ，（2分）所以n=P/E =6.63×118/6.63×10-18=1027（2分）（2）设电子经电场加速获得的速度为v ，由动能定理得，qU =mv 2/2，（2分）∴v=2qU/m= 10/9101.8101.62-314-19⨯⨯⨯⨯⨯m/s=8×118 m/s （2分）由电子在磁场中做圆周运动，设轨道半径为R ，则qvB =mv 2/R （2分）∴R=mv/qB =9×10-31×8×118/（1.6×10-19×9×10-4）m=0.5 m （2分）电子在磁极间的运动轨迹如图所示（俯视图），电子穿过每对磁极的侧移距离均相同，设为ΔL ，则ΔL =R -22L R - =0.5-223.05.0-=0.1 m （2分）通过的磁极个数n =L /ΔL =0.3/0.1=3（2分）。
三角函数模型
考点10 三角函数模型1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且，现在准备从A经过C到D 建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值.第1题图 FGQ6【考点】三角函数模型的实际应用.【解】(1)由题意得.(2)，令故当时，观光路线总长最大，最大值为(km).2．（15泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B 在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD 的周长为c km．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．第2题图 JSY27【考点】三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【解】（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴． （2）设∠BOM=θ，＜＜在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1－ON=OM=cosθ，∴，，当sinθ+cosθ=即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．第2题图 JSY283．（15连云港赣榆海头9月调研）如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆PH，HA，HB，HC构成，其底端三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），P，H，O三点相异且共线，PO与地面垂直．现要求点P到地面的距离恰为3m，记用料总长为L=PH+HA+HB+HC，设∠HAO=．（1）试将L表示为的函数，并注明定义域；（2）当的正弦值是多少时，用料最省？第3题图 cqn003【考点】球的体积和表面积．【解】（1）因PO与地面垂直，且三点A，B，C均匀地固定在半径为3m 的圆O上，则△AOH，△BOH，△CO H是全等的直角三角形，又圆O的半径为3，所以OH=3tan，AH=BH=CH=，…（3分）又，所以，…（6分）若点P，H重合，则，即，所以，从而，．…（8分）（2）由（1）知，所以，当=0时，，…（12分）令，，当时，＞0；当时，＜0；所以函数L在（0，）上单调递减，在上单调递增，…（15分）所以当，即时，L有最小值，此时用料最省．…（16分）4．（15江苏模拟（三））如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．第4题图 cqn4【解】（1）由题，，取BC中点M，连结OM．则，．∴．同理可得，．∴．即．∴当，即时，有．第4题图 cqn10（2），，．∴．∴∵，∴解得，列表得＋0－递增极大值递减∴当时，有．答：（1）当时，观光道路的总长l最长，最长为5km；（2）当时，鲜花种植面积S最大．5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为a的角形耕地，其中tan a=.在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为km，km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.第5题图 FGQ19【考点】解三角形的实际应用.【解】过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA.设AB=x，AC=y.因为P到AM，AN的距离分别为3，，即PE=3，PF=.由①因为tan a=，所以sin a=.所以②由①②可得. ③因为.当且仅当取“=”，结合③解得x=5，y=.所以有最小值15.答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为.第5题图 FGQ206.(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C)，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示 ).第6题图 FGQ50(1 )若圆盘半径为m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；(2 )过监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值.(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角 )【考点】直线与圆的位置关系.【解】(1 )过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，CA⊥AB第6题图 FGQ15∴监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小.在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=，在直角三角形BCE中，CE=，，tan∠CBE= ，∴tan∠ABE=tan(∠ABC+∠CBE )，∴监控摄像头最小水平视角的正切值为.(2 )当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大.在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，则直线BE方程为y=x，∴，∴圆C的半径最大为(m ).7.（15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．(1)假设DN=x(m)，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；(2)问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．第7题图 FGQ59【考点】解三角形的实际应用．【解】 (1)作GH⊥EF，垂足为H∵DN=x，所以NH=40－x，NA=60－x，∵，∴，∴过M作交CD于T，则有，可解得，由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈(0，30].第7题图 FGQ60(2)，所以当且仅当，即x=20∈(0，30]时，y取得最大值2000，答：当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2．8.（15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B 到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．第8题 Abc13【考点】解三角形的实际应用．【解】（1）由CD=x，则BD=x－0.5，BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理+－2xy cos60°=，化简得－xy+x－0.25=0，即x= ①记l=y+y+x－0.5+x=2y+2x－0.5=－0.5（y≥1.5）.（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y－1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+当且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．9.（15无锡市高三上学期期中试卷）如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一RNN-01 方案二RNN-02第9题图方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【答案】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈，则，…（2分）因为DE∥AC，所以∠E=α，，且，即，…（4分）°解得，…（6分）所以，所以当=1，即=45°时，有最小值．（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=，∈，则，解得，三角形CBE中，有，解得，…则等边三角形的边长为，…（14分）所以边长的最大值为，所以面积的最大值为．…（16分）10.（15南京一中等五校联考）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2（0＜2＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．第10题图 RNN-12【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【解】（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为、．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80，∴，∴．（2）∵∴，∴令t=1+sin∈（1，2），∴=，令m=∈（，1），=80（），∴m=时，有最大值10．第10题图 RNN-0711．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)第17题图 FGQ79【解】 如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝AC＝×10＝ (海里)．在中，因为∠DAB＝，所以BD＝AD×tan＝ (海里)．所以BC＝BD－CD＝(－)海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间(小时)，某国军舰到达C点所用的时间 (小时)．因为，所以中国海监船能及时赶到．。
江苏栟茶高级中学高三第一学期第二次阶段考试数学试卷评
江苏省栟茶高级中学高三第一学期第二次阶段考试数学试卷评分标准数 学I（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则=+y x ▲ . 4 2． 在平面直角坐标系xoy 中，直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的充要条件是 ▲ . 3=a3．用一组样本数据8，x ，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s = ▲ .2 4．阅读下列程序: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．105．函数y=22log (2)x x -的单调递增区间是 ▲ . )1,0(（写成]1,0( 也对） 6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则1log 2=y x 的概率为 ▲ . 1217．设函数()f x ={}{}(),()A x y f x B y y f x ====，则=B A ▲ . []4,5-8． 以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ▲ . 9 9．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm .100π. 10．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ▲ 256)4()4(22=-+-y x 11．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =．函数()s i n (2)(0,0f x A x A ϕϕπ=+><<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，则函数()f x 的解析式为 ▲ .()3sin(2)6f x x π=+。
江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第一次学情调研数学Word版含答案
2015届高三年级第一次学情检测数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,21A a =-+，集合{}4,3B =-，且{}3AB =，则a = ▲ ．2.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a = ▲ ．3.已知)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，则=-)4(f ▲ ．4.函数y =的定义域是 ▲ ．5.函数y x =+[]2,5x ∈的值域为 ▲ ．6.满足条件M ∪{1，2}={1，2，3}的集合M 的个数是 ▲ ．7.8.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，()x x x f 42-=那么，不等式()52<+x f 的解集是 ▲ ． 9.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =则,,a b c 按由小到大的顺序用“<”连接为 ▲ ．10.若方程229xx =-在区间())(1,Z k k k ∈+上有解，则所有满足条件的实数k 值的和为 ▲ ．11.已知函数f (x )f (a )f (－a ) = ▲ ．12. 已知函数2ln ,1()2,1x x f x x x a x ≥⎧=⎨++<⎩（a 为常数）的图象在点(1,0)A 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13. 已知实数a,b,c,d 满足ln 31a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ． 14.设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-,且在),0(+∞上()f x 'x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ ．二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）若函数2()2f x x =+，()41g x x =-的定义域都是集合A ，函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T . （1）若[]2,1=A ，求T S ；（2）若[]m A ,0=，且S T ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若对于A 中的每一个x 值，都有)()(x g x f =，求集合A ．16. （本小题满分14分）已知函数()f x 满足22()3()8f x f x ax x+-=-（R a ∈）. （1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（3）若函数)(x f 始终满足)()(2121x f x f x x --与同号（其中[)1212,3,,x x x x ∈+∞≠），求实数a 的取值范围．17. （本小题满分14分）已知函数)(x f =bx ax+2，在1=x 处取得极值2． (1)求函数)(x f 的解析式；(2)m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？ (3)若),(00y x P 为)(x f =b x ax +2图象上的任意一点，直线l 与)(x f =bx ax+2的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围．18．（本小题满分16分）某种出口产品的关税税率t 、市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p =2(1-kt )(x -b )2，其中k 、b 均为常数. 当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k 、b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq p q -=,=时，市场价格称为市场平衡价格. 当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．19．（本小题满分16分）设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-．（1）对于任意[2,2]a ∈-都有()()f x g x >成立，求x 的取值范围；（2）当0a >时对任意12,[3,1]x x ∈--恒有12()()f x ag x >-，求实数a 的取值范围； （3）若存在0R x ∈，使得0()0f x <与0()0g x <同时成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.（1）若3a =，求曲线()y f x =在()1,3P -处的切线方程； （2）若()f x 有零点,求实数a 的取值范围；（3）若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.2015届高三年级第一次学情检测数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．已知函数()()3log 31f x x =-，求()3f '．22．已知函数()212x f x e x -=-． （1）求函数()f x 的导数()f x '； （2）证明：2122x e x ->-．23．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知函数32()322f x x x x =-+-，请解答下列问题： （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标； （2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称．24．已知函数()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).若0x =为()f x 的极值点．解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭．2015届高三年级第一次学情检测数学参考答案一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1． 1 2．6- 3．2- 4. (][),13,-∞-+∞ 5. []3,7 6. 4 7.)37(，- 9. c<b<a 10.1- 11.12.33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 13.8 14. (,1]-∞ 二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）由题意可得，[]3,6S =，[]3,7T =，所以[]3,6ST =；………………………………4分（2）由题意可得，22,2S m ⎡⎤=+⎣⎦，[]1,41T m =--，因为S T ⊆，所以2241m m +≤-，所以2430m m -+≤可得13m ≤≤ ………………………………………………………………9分 （3）因为)()(x g x f =，所以2241x x +=-，可得1x =或3x =。
江苏省栟茶高级中学高三数学第二次调研测试【会员独享】
江苏省栟茶高级中学2012届高三第一学期第二次阶段考试数学必做部分试卷（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则=+y x ▲ . 2． 在平面直角坐标系xoy 中，直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的充要条件是 ▲ .3．用一组样本数据8，x ，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s = ▲ . 4．阅读下列程序: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．5．函数y=22log (2)x x -的单调递增区间是 ▲ .6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则1log 2=y x 的概率为 ▲ .7．设函数()f x ={}{}(),()A x y f x B y y f x ====，则=B A ▲ .8． 以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ▲ .9．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm . 10．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ▲ .11．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =．函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，则函数()f x 的解析式为 ▲ .12．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点， 若3BP PA =，||4OA =，||2OB =， 且OA 与OB 的夹角为60°，则OP AB ⋅＝ ▲ .13．如图，所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为 ▲ . .14．若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的值域恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．如果函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数，则实数m 的取值范围 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15．（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值. 16．（本小题满分14分）1．（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，AD F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，AC BDG =．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ；（Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积．17．（本小题满分15分）如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．18．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)（本题文科学生做，理科学生不做）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点Q 作直线QR ∥1AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.（本题理科学生做，文科学生不做）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)。
2015年3月2015届高三第二次全国大联考(江苏版)数学卷(正式考试版)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟；命题人：学科网大联考命题中心第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知复数201532i iz -=(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限． 2．已知全集U =N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是 ．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆22100x y x +-=的圆，则该双曲线的准线方程为 ．5．已知实数[3,9]x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．6．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104,S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为 ．7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x R ∈都有 (2)()f x f x +=-，当(02)x ∈， 时，()4x f x =，则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，090,2,1,AEF AE EF ∠===∠三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 ．9．已知函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,]2π上为增函数，且图象关于点π(3,0)对称，则ω的取值集合为 ．10．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =,则0x 的取值范围为 ．11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，则ABC ∆面积的最大值为 ． 13．设(,)P x y 为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点P 的坐标为 ．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，计90 分。
函数y=Asin(ωx+ψ)的图象、性质及其应用
考点4 函数y =A sin （ωx +ψ）的图象、性质及其应用1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）已知函数()2sin()(0)f x wx w ϕ=+>的图象关于直线π3x =对称，且π12为函数()f x 的一个零点，则w 的最小值为________.【考点】正弦函数的对称性与周期性. 【答案】2【分析】∵对称轴与对称中心最近为14周期，∴ππ12π23124w w-=⨯⇒=. 2．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知函数f (x )=2sin(2x +φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，2-). (1)求φ的值； (2)若f (2α)=65，π2-＜α＜0，求πsin(2)6α-的值.【考点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)∵函数f (x )=2sin(2x +φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，2-)， ∴f (π2)=2sin(π+φ)=2-，即sin φ=1. ∵0＜φ＜2π，∴φ=π2；(2)由(1)得，f (x )=2cos2x .∵f (2α)=65，∴cos α=35.又∵π2-＜α＜0，∴sin α=45-.∴sin2α=2sin αcos α=2425-，27cos22cos 125αα=-=-.从而πsin(2)6α-=sin2αcosπ6-cos2αsin π6=724350-.3．(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)已知函数π()sin(2)6f x x =+，若π()(0)2y f x ϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ=________.【考点】 正弦函数的奇偶性. 【答案】π3【分析】∵π()sin(2)6f x x =+∴ππ()sin[2()]sin(22)66y f x x x ϕϕϕ=-=-+=-+∵()y f x ϕ=-是偶函数 ∴ππ2π,62k k ϕ-+=+∈Z 从而解得ππ,26k k ϕ=--∈Z ∵π02ϕ<<，可解得π3ϕ=. 4．（江苏2015高考冲刺压轴卷）已知函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)A ω>>的部分图象如图所示，其中M 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭为图象与x 轴的交点，1,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为图象的最高点．(1)求,A ω的值； (2)若2π3f α⎛⎫=⎪⎝⎭，π,03α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．zl105第4题图【考点】考查函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象性质，同角三角函数基本关系，两角和的余弦公式.【解】（1）由1,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为图象的最高点知2A =，又点M 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭知函数()f x 的最小正周期114236T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∵2πT ω=∴πω=.(2)由（1）知，()π2sin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭由2π3f α⎛⎫=⎪⎝⎭得π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π,03α⎛⎫∈-⎪⎝⎭∴πππ666α-<+<,∴2ππ122cos 1sin 16693αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵πππcos cos 366αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴π22311261cos 332326α-⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 5．（徐州市2014届高考信息卷）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示．若()1f α=，π(0,)3α∈，则sin 2α= ．第5题图Zl064【考点】三角函数的图像和性质；三角函数求值；两角差的正弦公式。
江苏省栟茶高级中学高三数学试题(doc 9页)
江苏省栟茶高级中学高三数学试题(doc 9页)更多企业学院：《中小企业管理全能版》183套讲座+89700份资料《总经理、高层管理》49套讲座+16388份资料《中层管理学院》46套讲座+6020份资料《国学智慧、易经》46套讲座《人力资源学院》56套讲座+27123份资料《各阶段员工培训学院》77套讲座+ 324份资料《员工管理企业学院》67套讲座+ 8720份资料《工厂生产管理学院》52套讲座+ 13920份资料7.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①则与m异面；②、m是异面直线，；③若；④若，则其中真命题是①②④（填序号）．8．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为．9．设O是△内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为.10 ．已知函数，若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则此函数在递增的概率等于_______________．11．已知点P(x,y)满足条件y的最大值为8，则-6 .12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，已知，或写成，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.试在横线上将条件补充完整.13.设M是m、n、p分别是的最小值18．14．已知的各项排成如右侧三角形状，记个数，则结论①A（2，3）=16；②；③；④；其中正确的是①②③④（写出所有正确结论的序号）．二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤.15．（本小题满分14分）已知函数；（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；（Ⅱ）当时，且的最小值为2，求的值。
15.解：（Ⅰ）………………………………4分由，得：∴的单调递增区间为， (7)分（Ⅱ）∵∴∴………………………………11分∴的最小值为，∴=2 ………………………………14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD 中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；16.证明：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F , 又E是PC的中点，所以，EF∥AP………………………………4分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD ………………………………7分（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，,面PAD 面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，……9分又AP面PAD，∴AP⊥CD ……11分又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD ……13分又AP面PAD，所以，面PDC⊥面PAD (14)分17．（本小题满分14分）已知向量(m是常数), (Ⅰ)若是奇函数，求m的值;(Ⅱ)若向量的夹角为中的值，求实数的取值范围.17.解: (Ⅰ)由题知=,所以= …3分由题知对任意的不为零的实数, 都有,即=恒成立，所以. ………………………………6分(Ⅱ)由题知0,所以0,即, ………………………8分①当时，；………………………9分②当时，，所以或; ………………………11分③当时，，所以. ………………………13分综上, 当时，实数的取值范围是；当时, 实数的取值范围是或;当时, 实数的取值范围是. …………………………14分18 （本小题满分16分）已知等差数列{a n}中，.（1）求{a n}的通项公式；（2）调整数列{a n}的前三项a1、a2、a3的顺序，使它成为等比数列{b n}的前三项，求{b n}的前n项和.18.解：（1）由已知，得求得，∴{a n}的公差d=3…………………………………………………………2分∴a n=a1+(n－1)d=－2+3(n－1)=3n－5.………………………………………………………………6分（2）由（1），得a3=a2+d=1+3=4，∴a1=－2，a2=1，a3=4.依题意可得：数列{b n}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4或b1==4，b2=－2，b3=1………………8分（i）当数列{b n}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4时，则q=－2 ..………………………………12分（ii）当数列{b n}的前三项为b1=4，b2=－2，b3=1时，则.…………………16分19．（本小题满分16分）定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.19.解：（1）当时，因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。
江苏省南京市栟茶中学高三数学理模拟试卷含解析
江苏省南京市栟茶中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是（）A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟参考答案：D2. 已知集合，，若，则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 数列满足，，则的整数部分是（）A．1 B．2C．3 D．4参考答案：B考点：数列的裂项相消法及运用.【易错点晴】数列的通项和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以数列的递推关系式为背景考查的是数列的有关知识和不等式的性质及运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据题设与已知将其化为,进而求得,借助不等式的性质求得,使得问题获解.4. 若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28] D．（﹣4，28）参考答案：C【考点】二分法的定义．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：设f（x）=2x3﹣3x2+a，则f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，则f（x）=x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．5. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为A. B. C.或 D.或7 参考答案：C6. 已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A略7. 已知f（α）=，则f（）=（）A．B．C．D．﹣参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和化简，再求f（）的值．【解答】解：f（α）===．则f（）=cos=．故选D．8. 一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3， =λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．5参考答案：D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】=λ?=，由E，F，K三点共线可得，即可．【解答】解：∵=2， =3，∴=λ∴=，由E，F，K三点共线可得，∴λ=5故选：D．9. 已知=( )A． B． C． D．参考答案：C10. 已知函数，则f（5）的值为（）A． B．C．D． 1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n= ．参考答案：4或5【考点】数列与向量的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{x n}，{y n}是等差数列，设{x n}，{y n}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴x n=﹣20+n﹣1=n﹣21，y n=13+n﹣1=n+12，∴ =（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．故答案为4或5．【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.参考答案：由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1, 在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示：有三个不同的交点，a≤4故答案为：13. 运行如图的算法，则输出的结果是参考答案：2514. 已知一非零向量数列满足。
2015年江苏省南通市高三二模考试数学试题含答案
（第4题）南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3．【答案】1AA 1 B不CB 1不C 1不D 1不D不（第8题）BDC（第12题）AA BCDMNQ9． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点， 所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ， 故//CD 平面M． …… 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． ……4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，． 故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，πθ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=． ……6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )k θθ=--，整理得，()1sin cos 1k θθ=-， ……9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+- 22cos cos 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2πθ=时，min ()f θ=，此时实数k取最大值. ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的 右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即220006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． ……5分（2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b a c =，故22a c ac -=， …… 8分（第18题）所以210e e +-=，解得e ． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即22000()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). ……13分所以PF ==0c a x =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c=的距离为2a c c -，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数，当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t ，2t =； 当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t =第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)n n n n n n c c d b q q ++++---==，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+，同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，P所以P∠=， …… 3分又CPA CPB ∠=∠， 故△C∽△BCP ， …… 7分所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，…… 8分化为极坐标为()5π 23，．…… 10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=， 故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当a b c ==，即2a =，4b =，6c =时取“=”． ……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为24y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分 所以11k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， ……8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，（第22题）联立243371y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()82-，． ……10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种， 所a 3=01C 11+ C 2=；当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种， 所以a 4=02C 22+ C 2=． …… 4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……(()2π π3，f θ'f θ若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 1n =+，b 1n =-，则1n +B ∈，1n -A ∈，共2C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-； ……8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，12222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。
江苏省栟茶高级中学高考模拟考试(加试试卷)
绝密★启用前
某某省栟茶高级中学2008年高三全真模拟试卷
数 学（某某卷）
选做题部分
（时间30分钟，满分40分）
一、选答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤．
1.（选修4—2：矩阵与变换，本小题满分10分）已知曲线C ：1=xy
（I ）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；
（II ）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程。
2.(选修4—4：坐标系与参数方程，本小题满分10分)
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，
点M 的极坐标为(4，π2
)．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3 ，圆C 以M 为圆心、4为半径. （I ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(5分)
（II ）试判定直线l 和圆C 的位置关系.(5分)
A O E C （第4题）
二、必答题：本大题共2小题，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字 说明，证明步骤或演算步骤．
3．（本小题满分10分）
“五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路．
（I ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（II ）求选择甲线路的旅游团个数的期望．
4．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，
OB =OC =2，E 是OC 的中点．
（I ）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值；
（II ）求二面角A －BE －C 的余弦值．。
江苏省栟茶高级中学2019届高三第二次学情分析(数学)
江苏省栟茶高级中学2019届高三第二次学情分析（数学）一、填空题（本大题满分70分）1．设,A B 是非空集合，定义{|A B x A B ⨯=∈且}x A B ∉，已知{|02}A x x ≤≤ B={|0}y y ≥，则A B ⨯等于___________。
（2，+∞） 2．若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为___________。
34- 3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 40 人．4. 已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 为 。
85．已知函数)()(.ln )(,)1(56)1(88)(2x g x f x x g x x x x x x f 与则=⎩⎨⎧>+-≤-=两函数的图像的交点个数为 。
36．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是______________。
257．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，==cBb A sin ,60则。
23 8. 已知正数,a b 满足a b ab +=，则a b +的最小值为 。
49. 从集合22{(,)4,R, R}x y x y x y +≤∈∈内任选一个元素(,)x y ，则,x y 满足2x y +≥的概率为24ππ- 10．设向量,,a b c 满足0a b c ++=，()a b c -⊥且a b ⊥，若||1a =，则22||||a b +2||c += ．411. 正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为_______________。
参数方程
考点2 参数方程1. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)上，求PF 的值. 【考点】参数方程.【解】抛物线为24y x =，PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即距离为4.2. (江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为332122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数 )，圆C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【考点】极坐标与参数方程. 【解】(方法一)由332122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消掉参数t 得直线l 的普通方程为033x y -+=. ∵点P 在圆C ：3cos sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩上，设(3cos ,sin )P θθ+，从而点P 到直线l 的距离22π|232sin()||3cos 3sin 3|621(3)d θθθ--+-+==+-. ∴min 31d =-，即点P 到直线l 的距离的最小值为31-. (方法二)直线l 的普通方程为033x y -+=.由3cos sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得22(3)1x y -+=.∴圆C 的圆心坐标为(3,0)，半径为1.从而圆心C 到直线l 的距离为22|303|31(3)d -+==+-.∴点P 到直线l 的距离的最小值为31-.3. （徐州市2014届高考信息卷）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程为22x ty t=-⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，试求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程．【考点】参数方程、极坐标方程与普通方程的互化.【解】直线l 的普通方程为220x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=， ……………………5分 所以线段AB 的垂直平分线是过圆心(1,0)C 且与直线220x y +-=垂直的直线， 其方程为220x y --=，故线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为2cos sin 20ρθρθ--=．…………10分4．（南通市2015届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()204ρθπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且22AB =，求r 的值．【解】由2cos()204ρθπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离2d =，由222AB r d =-，则2r =．……………… 10分5. （15江苏模拟（三））已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．【解】（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0). 直线l 经过点(,0),4m m ∴=.（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++ 当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9； 当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.256. （15江苏高考压轴）已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．【解】由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-=.又由3212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 得330x y m -+=，因为直线l 与圆C 相切，所以23322m-+=得4323m =±，又0m ＞，所以432+3m =．7. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）若直线22x ty t =⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ）与圆cos sin x y aθθ=⎧⎨=+⎩（参数θ∈[0，2π），a 为常数）相切，求a 的值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【解】将直线22x ty t =⎧⎨=-⎩（t ∈R 为参数）化成普通方程为：2x +y －2=0，圆cos sin x y a θθ=⎧⎨=+⎩（0≤θ＜2π，θ为参数，a 为常数且a ＞0）普通方程为：221x y a +=（-）根据直线与圆相切知道圆心（0，a ）到直线的距离为半径1，列出关于a 的方程 1=25a -，a 为常数．∴a =25±，所求a 的值为：25±．8. （15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）已知直线1l ：153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）和直线2l ：x －y －23=0的交于点P ． （1）求P 点的坐标；（2）求点P 与Q （1，－5）的距离．【考点】直线的参数方程；两条直线的交点坐标．【解】（1）将153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入x －y －23=0得：t = 23，∴P （1+23，1）． （2）由Q （1，－5），得： |PQ |=22(23)643+=．9． (2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线2C .(1)求2C 的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .【解】(1)设P (x ，y )，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由于M 点在曲线1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩从而曲线2C 的参数方程为4cos ()44sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数． (2)曲线1C 的极坐标方程为=4sin ρθ， 曲线2C 的极坐标方程为=8sin ρθ. 射线θ＝π3与1C 的交点A 的极径为 1π=4sin 3ρ，射线θ＝π3与2C 的交点B 的极径为 2π=8sin 3ρ，所以|AB |＝|2ρ－1ρ|＝23.10． (2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩（是参数），直线l 的极坐标方程为πcos()236ρθ+=.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 【解】(1)∵直线l 的极坐标方程为πcos()236ρθ+=，∴ππ(cos cossin sin )2366ρθθ-=， ∴31=2322x y -. 即直线l 的直角坐标方程为3430x y --=.由2cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩得22143x y +=. 即曲线C 的普通方程为22143x y +=. (2)设点(2cos ,3sin )P αα， 则点P 到直线l 的距离23cos 3sin 4315cos()4322d αααϕ--+-==，其中1tan 2ϕ=. 当cos()1αϕ+=-时， max 15432d +=， 即点P 到直线l 的距离的最大值为15432+.。
江苏省栟茶高级中学高三统考热身训练(数学加试)
江苏省栟茶高级中学高三统考热身训练（数学加试）附加题部分（满分40分，考试时间30分钟）21.［选做题］在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2小题，每小题10 分，共计请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.（选修４－１：几何证明选讲）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC.（1）求证：FB=FC ；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，0120EAC ∠=，BC=6，求AD 的长.（1）∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD ＝∠DAC;∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC;……………（3分）∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ∴∠FBC ＝∠FCB ∴FB ＝FC. ………（5分）（2） ∵AB 是圆的的直径,∴∠90.ACD =︒1120,60,30.2EAC DAC EAC D ∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒……（7分）在Rt △ACB 中,∵BC=6 ∠BAC=60°∴AC=23 又在Rt △ACD 中，∠D=30°,AC=23 ∴AD=43 …………… （10分）B.（选修４－２：矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.解 （1）由题设条件，000cos 45sin 4522sin 45cos 45M -⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，FEDCBA':'2222Mx yx x xTy y yx y⎤-⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦，即有''22x yy x y⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')2x x yy y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C的方程为22''2y x-=。
江苏省扬州市栟茶高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
江苏省扬州市栟茶高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为A．1 B．-1 C．i D．-i参考答案：B2. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为A．1 : B．3 C．9 D．27参考答案：3. 已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是( )参考答案：C5. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形参考答案：B【考点】三角形的形状判断．【分析】设BC的中点为 D，由条件可得?2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．【解答】解：设BC的中点为 D，∵，∴?（2﹣2）=0，∴?2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选 B．6. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A． A=N*，B=N B． A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C． A={x|0＜x＜1}，B=R D． A=Z，B=Q参考答案：D略7. 已知函数满足，且当时，，则的大小关系是....参考答案：B略8. 已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2参考答案：A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．9. 某公司班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站坐车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B考点：几何概型试题解析：要使等车时间不超过10分钟，则到达时间为：7:50至8:00或8:20至8:30．所以故答案为：B10. 下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果和是两条平行直线的内错角，则B．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C．由圆的性质推测球的性质D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知则的值为．参考答案：16/17因为12. 若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为2x+y﹣1=0．参考答案：= ．参考答案：0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣2）=P（ξ＞2），得到曲线关于x=0对称，利用P（ξ＞2）=0.3，根据概率的性质得到结果．解答：解：因为P（ξ＜﹣2）=P（ξ＞2），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）==0.2故答案为：0.2．点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．14. 已知，且，∠AOB=60°，则=____；与的夹角为_____.参考答案：答案：2,15. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．参考答案：答案：90°16. 设实数满足不等式组,则的取值范围是__________.参考答案：[-1,1]17. 曲线在点(0,1)处的切线的方程为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2015年江苏省南通市高三二模考试数学试题及答案
南通市2015届高三第二次调研测试数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03．设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】0.026．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为▲ ．【答案】π27．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3． 【答案】19．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．AA 1B不CB 1不C 1不D 1不D（第8题）I ← 1While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．解1：()3a b a +=，()()3a b a b +-=，（1）×2-（2解2：AC BD ⋅-0AC AD ⋅=，得()0AC BD AD ⋅-=，即0AC BA ⋅=，射影得AC AD ⋅=2AC =3，AC =．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则由2PA AB =得10232x x x -=，10232y y y -=． 将A ，B 坐标代入圆1C 的方程，得222112220011(1)(6)5,21210()()().333x y x y x y ⎧++-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩此方程组有解等价于两方程对应的两圆有公共点，于是10105533-≤≤+，整理得525≤≤有解．令d=525d ≤≤有解．BDC（第12题）A当点1C 在圆2C 外时，min 30d r =-，max 30d r =+； 当点1C 在圆2C 内时，min 30d r =-，max 30d r =+． 于是305r +≥，|30|25r -≤，解得555r ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ． ……2分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． ……6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ．又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． ……8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． ……11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． ……14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ①写出所有等可能的基本事件；A BCDMNQ（第15题）②求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. ……2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． ……4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分（2）①有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1θ+b ，其中0πθ<<．（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值．解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- ……6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， ……2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+-⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=． ……6分 （2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， ……9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o s c o s 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-. ……11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=．列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k 取最大值 ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，．00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥．（1）若3a =，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切． 解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =． 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+． ……3分 又22001x y +=，所以204990x x +-=， 解得034x =或03x =-(舍去)． ……5分（2）当00x =时，220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， ……8分 所以210e e +-=，解得e ． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=．① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-，即2200()y x c a x ca =-+-+． ② 由①②得，22000()()()0x a b x a a x c ⎡⎤+---=⎣⎦，解得()2202a a ac c x c --=-（0x a =-舍去）. ……13分所以PF ==0c a x a =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切． ……16分（注：第（3）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径（第18题）公式扣1分）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． ……4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤；……6分 当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数． 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以此时a 不存在； 当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a ==----，，≥， 解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+．令()t f x a x x a =+=-，则()y f t ==t t a a --，4a >．第一步，()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <． ①若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；②若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a -->， ……14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根．所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． ……16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+-()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， ……3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． ……5分（2）①法1：因数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34，故{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 由（1）得，{}1n n c c d +--是等比数列，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， ……7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， ……7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分 ②假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<， 且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >， （*） 若1p m >+，则2p m +≥，结合（*）得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， （**）因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与（**）矛盾， 所以只能1p m =+． 同理，1r p =+．所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+， 由132n n b -=⋅得45=，矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点．求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠， ……3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BC P ， ……7分 所以AC AP =，即AP BC AC CP ⋅=⋅． ……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=， ……4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，P（第21 - A 题）所以AB 中点的横坐标为12524x x +=……8分 化为极坐标为()5π 23，． ……10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，……2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， ……6分 所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． ……10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：2228a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， ……6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， ……8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． ……10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， ……2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． ……4分 （2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，（第22题）联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， ……6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， ……8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． ……10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a 的表达式．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅．若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种．所以a 3=01C 11+ C 2=； ……2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅．若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种．所以a 4=02C 22+ C 2=． ……4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅．若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共22C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种．所以a n =02Cn -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-． ……8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=． 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 ……10分。
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江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研数学试题（含理科加试题） 2014.12.26 第I 卷(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则AB = ▲ ． {}0,1,1-2．复数Z 满足|1|)1(i Z i -=+，是Z 的虚部为 ▲ ．22- 3． 抛物线24y x =-的准线方程是 ▲ ．116y =4．若ac ＞0且bc ＜0，直线0=++c by ax 不通过第 ▲象限．四5．右顶点分别是A ，B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ▲．6．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ▲．7．ABC ∆中，若53-sin =）（A π，512tan =+）（B π，则=C cos ▲ ． 6516 8．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+ (0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -= ▲ ．29． 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝()0λλ≠的一条渐近线方程是y ＝2x ，则离心率e 的值为___▲___．e =10．下列有关命题的说法正确的是 ▲ ．②③①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；②已知0>x 时，0)()1(<'-x f x ，若ABC ∆是锐角三角形，则)(cos )(sin B f A f >； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++>”． 11．已知(2,0)A -,(2,0)B ,点P 在圆()222(3)(4)0x y r r -+-=>上,满足22PA PB +=40，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是 ▲ ．()1,912．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ▲ ．()0,+∞13．O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= ▲ ． 2914．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数． 当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．解析：依题意()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递增，在(2,0)-和(2,)+∞上递减，当2x =±时，函数取得极大值54；当0x =时，取得极小值0．要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且只有6个不同实数根，设()t f x =，则20t at b ++=必有两个根1t 、2t ，则有两种情况符合题意：（1）154t =，且25(1,)4t ∈，此时12a t t -=+，则59(,)24a ∈--；（2）(]10,1t ∈，25(1,)4t ∈，此时同理可得9(,1)4a ∈--，综上可得a 的范围是599(,)(,1)244----． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量3(sin ,)4a x =，(cos ,1)b x =-．(1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围． 解析：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++……………6分（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32………………8分由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A …10分因为a b>，所以4π=A …………………11分()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f …………………14分16． （本小题满分14分）在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3． 证明：（1）EF ∥平面ABC ；（2）直线BD ⊥直线EF ． 证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分所以EF ∥AC ， …………………………………3分 又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．………………………………………………………………6分 （2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， …………………………8分 又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ……………………………………10分 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………12分 又HF ∥AC ，所以直线BD ⊥直线HF ．…………………………………………………………14分 17．（本小题满分14分） 某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，NTMHGFEDCBA且EFG ∆中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场． （Ⅰ）假设()DN x m =，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域； （Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积． 解：（Ⅰ）作GH ⊥EF ，垂足为H ，因为DN x =，所以40,60NH x NA x =-=-， 因为,NH NAHG AM= 所以406010x x AM --=，所以6001040xAM x-=- ………………2分 过M 作//MT BC 交CD 于T ，则 MBCDWMBCT MTDN SS S =+1(40)60(60)2AM x AM =-⨯++⨯，所以600101(60)(60010)(40)6040240x x x y x x-+-=-⨯+⨯-- ()xx ---=4060524002………………………7分 由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,…………………………8分（Ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002x x x x y ，…………………10分所以当且仅当xx -=-4040040，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000， ……13分答：当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ．…………14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，ABCDEF MNG第17题交椭圆于点P ．证明：OM OP ×为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c ==．∴b c ==2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=． ………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）． ………………4分由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）． ……5分由 22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=．21284212k x k --=+， ∴2122412k x k-=+． ∴ 1124(2)12k y k x k =+=+，222244(,)1212k k P k k -++． ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k-+⋅=⋅+⋅==+++． 即OM OP ⋅为定值． （Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，∴0MQ DP ⋅=恒成立．由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k -=++． ∴202284(2)401212k kQM DP x k k k-⋅=-⋅+⋅=++． 即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =． ∴ 存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．19．（本小题满分16分）已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--．（1）求()f x 的单调增区间和最小值；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值； （3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e>， 所以()f x 的单调增区间为1(,)e+∞，……………………………………………………2分 又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e上单调减， 当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e+∞上单调增，所以()f x 的最小值为11()f ee=-． …………………………………………………5分 （2）因为()ln 1f x x '=+，21()32g x ax '=-，设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-，与()g x 相切的直线方程为：2312(3)223y ax x ax e=---， 所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩…………………………………………………………8分解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e =，所以26e a =． …………………………10分（3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标），所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分 当2k >时，有2:l (ln 1)y x x x =+-，1:l (ln 1)y x x =+，且2x >，所以两平行线间的距离d =12分令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-， 所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分令22()ln 2ln 2x t x x x =++，则2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++，所以当x x >时，()()t x t x >，………………………………………………………15分 所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？ ⑶设ln 1()xx g x e+=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ．解：⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=， 因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分 ⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分 ⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e +=，所以'1ln 1()xx x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1x x x x x e e-+⋅--<+． ……12分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+．① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 ． 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+．② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减， 所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<．综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+．即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分江苏省栟茶高级中学高三年级第二次学情调研第Ⅱ卷（理科加试）(总分40分，考试时间30分钟)21． （本小题满分10分）将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵． 解：解法1：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x y 2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14002． 解法2：由于M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4xy2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ⎩⎨⎧4x ＝x ′y 2＝y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′4y ＝2y ′，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即M 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1402． 22．（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．……………………5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4． ……………………10分23． （本小题满分10分）已知过定点F (0,2)的圆C 始终与直线2y =-相切．（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）AB 是（1）中轨迹的动弦，且AB 过F 点，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ ． 解：（1）易知轨迹为抛物线：x 2＝8y ；（2）因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16．(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x ．(6分)所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1． 所以AQ ⊥BQ ．(10分) 24． （本小题满分10分）设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点． （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）∵()()23x f x x ax b e -=++∴()()()()''32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()'0f x =得13x =，21x a =--∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠-（1）当4a <-时，213x a =-->，由()'0f x >得单增区间为：()3,1a --；由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；（2）当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()'0f x <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞；（2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3min min 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+ ()f x ∴在[0,4]上的值域为3[2(3),6]a e a -++ 易知，225()()4x g x a e =+在[0,4]上是增函数 ()g x ∴在[0,4]上的值域为2242525[,()]44a a e ++ 由于22251()6)()042a a a +-+=-≥（ 又要存在存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，∴必须且只须202525()(6)44a a a >⎧⎪⎨+-+<⎪⎩，解得03a << 所以，实数a 的取值范围为03a <<．。