第五章Nyquist稳定判据

(6 2 10) j(3 3 ) (6 2 10)2 (3 3 )2
G(
j
(6 2
K(6 2 10) 10)2 (3 3 )2
j
(6 2
K(3 2 ) 10)2 (3 3 )2
G(
j
(6 2
K(6 2 10) 10)2 (3 3 )2
j
解释：
F(s) 1 G(s)H(s)
F(s)的极点是开环极点
(1) 开环稳定情况：
F(s)的零点是闭环极点
—[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围
F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定
(2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点
5.2 Nyquist 稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负 实部； 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是 在频率域内判定系统稳定性的准则； 与根轨迹分析方法类似：
• 不求取闭环特征根 • 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 • 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性
奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； 理论依据是复变函数中的柯西定理。
P=0
K ﹣1
w
P=1
﹣K ﹣1
w
P=2
w
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1，
K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。
均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点，
闭环稳定。
闭环不稳定。K＝1，
（奈氏判据第一条） 曲线穿过(-1，j0) ，临
K取任意值，均不 包围(-1，j0)点，有 2个不稳定闭环极 点。闭环不稳定。
(6 2
K(3 2 ) 10)2 (3 3 )2
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时，
终点：ω→∞
G( j K 0.1K G j) 0
分析 ： 当 3时，虚部为零。
3时，虚部为负， 3时，虚部为正。
把
3代入实部，求出Re[G(
j
2 3
K 28
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性
闭环特征多项式 F(s)=1+G(s)H(s) 奈魁斯特轨迹
界稳定。
(奈氏判据第二条)
习题已知开环传递函数为 ：
K
s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。
分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，若使系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
G(
j
j
2
K
j
5
j
1
K
K[(6 2 10) j(3 3 )]
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（1）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性
G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定
的。
（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]
右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围
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（-
1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为 G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
• 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包
×
×
×
×
逆包围一次 逆包围2次 不包围
不包围
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K
K
GH1
Ts
, 1
GH 2
, Ts 1
K 0
(1)
s
1 T
,开环稳定，p=0；
s
1 T
,开环不稳定,
p=1
(2) 画开环系统的极坐标图
﹣1
K 0
﹣K 0 ﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例 开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K
K
K
(1) GH T 2s2 2Ts 1 (2)GH T 2s2 2Ts 1 (3)GH T 2s2 2Ts 1
s(Ts 1)
D
改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）： 在原点取一小半圆，ε为半径，让 s e j,θ从-90°变化
到+90°。改进后的奈魁斯特轨迹图: s 0 0 0
当ε→无穷小时，在原点的小圆→0。因此，F(s)在右半平面 的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。
K=15
0.1K •
• K / 28
K=10
闭环系统稳定范围 10<K<28
K=35
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
[S] C
0+ B 0﹣ A
G(jω)H (jω)
例：G(s)H (s) K
围(-1，j0)点一次
• 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包
围(-1，j0)点一次
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （2）因为G(jω)H(jω)和G(-jω)H(-jω)共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以ω由-∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可 以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
围原点一次
F(s)的极点是开环极点； F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结