第五章Nyquist稳定判据
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第五章Nyquist稳定判据
a G( j a ) H ( j a ) 1
G( j a ) H ( j a ) 1, G( j a ) H ( j a ) 180 0
可求解出一对虚根 j a 。
此时，系统输出和输入的幅值比为1，相位差为-180°。
例5-6
开环传递函数如下： GH
• • •
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
s 0 : G( j j ) j ( A'点),
s 0 : G( j j ) j ( B'点）
A
D × C
GH
K G( s) H ( s) s(Ts 1)
B
G( e ) H ( e )
j
j
0
K
e (T e 1) 0
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
5.5Nyquist稳定判据
由于F（jw）与 G（jw）H（jw）这两个矢量之间相差1，
所以可以直接用系统开环的Nyquist轨迹来判断稳定性。
4、总结：
Nyquist稳定判据（系统稳定的充要条件）
①系统开环稳定，G j H j Nyquist曲线 不包围 1, j 0 点，系统闭环后稳定。 ②若系统开环不稳定，有q个特征根都在S
N S S 2n S n S p1 S p2 0
2 2
① 1 A
稳 定 1 状 2 态 p p1 2
Im
不 稳 j j 定 1 Re 状 2 0 0 p p2 1 态
2
Im
B
Re
N j 2
:0
A 20 1 2 1 (2 ) 2 1 (5 ) 2
0 tg 1 tg 1 2 tg 1 5
A 0 20 A 0
0 0 270
四、“穿越”与系统稳定性的判 定 （1）
2
:0
称米哈伊洛夫稳定定理
二、Nyquist稳定判据
1、开环特征方程式与闭环特征方程式的关系
FS 1 GSHS
F
KNS 令 G SHS DS
S
D S KN DS
S
DB DK
S S
K1 S S1 S S 2 S S n K 2 S p1 S p2 S pn
2
③无论开环稳定或不稳定，若闭环不稳定， 则系统闭环后在右半平面根的个数为Z ,则
Z q 2 N q 2( N N )
N ：开环 Nyquist曲线在实轴 (,1) 段的正 穿越次数， N 负穿越次数。
5-3 Nyquist稳定判据
由于G(s)H(s)曲线的对称性，因此可以用系统的开环频率 特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的包围情况来判断。
设特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的逆时针包围次数为N 则R=2N（注意补充积分环节Nyquist围线上小1/4圆的象） 也可用G(j)H(j)曲线对(-∞, -1)实轴段的穿越计算N
3
5.3.1 预备知识
1. 幅角原理
s：复变量; F(s)：复变量s的有理函数
对于s平面上一条不通过F(s)任何奇点的连续封闭曲 线Γ，在F(s)平面必存在一条封闭曲线ΓF与之对应j
F
F(s)平面
F (s )
F
映射关系
4
( s z1 )( s z2 ) 设 F ( s) ( s p1 )( s p2 )
终点
A() 0
() 270
20
与实轴交点
52(10 4 2 ) j52 (9 2 ) G( j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
(9 2 ) 0 0, 3
52(10 4 2 ) G(3 j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
5
Im[F(s)] [F(s)]
F
F(s)
s沿Γ顺时针运动一周时
(s z1 ) (s p1 ) 2
(s z2 ) (s p2 ) 0
即ΓF不包围F(s)平面上的原点
F ( s) 0
6
幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和 P个极点，当s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面 上，对应的闭合曲线ΓF逆时针包围原点的圈数
第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第五章频域法-奈奎斯特稳定判据2009
K s(s + 1)(0.1s + 1)
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
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机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
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机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
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第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
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机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
第五章(2)Nyquist稳定判剧
3.Bode图判断 1)无开环极点的判断(V=0) N=N+-NZ=P-2N 2)有开环极点的判断(V≠0) N 先逆时针补画,然后再判断.向上补画V90逆时针 .
180
0
N
N
N
例5.4 Bode图判断
P=0,V=0 P=0,V=1
180 0
180
0
N
N 1)无开环极点的判断(V=0) 2)有开环极点的判断 (V≠0) N=N+-N-=0 先向上补画V90. Z=P-2N=0 N+=1,N-=1 N=N+-N-=0 Z=P-2N=0
s lim e
0
j
当ε从0ˉ沿小半圆变到0+时，θ按逆时针方向 旋转了π，G(s)H(s)在其平面上的映射为
G( s) H ( s)
K j s lim e
0
(T s 1)
j
m
s
j 1 n v v i 1
( s 1)
i
j s lim e 0
５.４ 频率稳定性判据
奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统 闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用 Bode图. 教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其 应用. 教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用 教学难点: 完整Nyquist图的绘制.
F ( s) ( s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而 其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭 曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2π弧度， 而其他各相量的相角变化为零。
频率稳定判据(2)
若闭环系统不稳定，则闭环在右半s平面的极点数为 Z=P-2N
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
第五节 Nyquist稳定判据
幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(S)在S 平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F平面上 对应于封闭曲线Γ的像ΓF 将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为：
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
Nyquist 稳定判据
K 习题5-7 已知开环传递函数为 ：s 2 s 5 s 1
试画出系统极坐标图,并确定闭环稳定条件。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，如果系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j H ( j ) j 2 j 5 j 1 K K [ (6 2 10) j ( 3 3 )] 2 3 (6 10) j ( 3 ) (6 2 10) 2 ( 3 3 ) 2
F ( s) 1 G( s)H ( s)
开环传递函数G(s)H(s)的一般形式为：
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 G( s)H ( s) a n s n a n 1 s n 1 ... a1 s a0 bm s m n bm 1 s m 1 n ... b1 s 1 n b0 s n a n a n 1 s 1 ... a1 s 1 n a 0 s n
( s 1.5 j 2.44)( s 1.5 j 2.44) ( s 1)( s 2)
[s]
﹣j0.577
[F(s)] 1.12
零点：-1.5±j2.44 极点：-1，-2
[s]
× ×
j
K ( s s1 )( s s2 ) ( s s z ) 0 F ( s) 1 G( s)H ( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s p p )
0 G ( s ) H ( s ) bm 当s 趋向无穷大时，有 lim s an nm 1 lim F ( s ) 1 lim G ( s ) H ( s ) bm s s nm 1 a n nm nm
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
φ(s) = G(s) = M (s)
1+ G(s)H (s) M (s) + N(s)
设辅助函数：F (s) = 1+ G(s)H (s) = N (s) + M (s) N (s)
☻F(s)的极点是系统的开环极点，一般是已知的；
☻F(s)的零点是系统的闭环极点。
8
辅助方程：F(s) = 1+ G(s)H(s) = N(s) + M (s) N(s)
圆s
=
R⋅e jθ
,R
→ ∞,θ
=
π
2
~
−π
2
Ⅲ部分负虚轴ω = −∞ → 0−
Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆
s
= r ⋅ejβ ,r
→ 0, β
= −π
2
~
π
2
下面讨论对于这种奈魁斯特 路径的映射Gk ( jω ) ：
1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏 图Gk ( jω)，关于实轴对称；
ω = ∞+
Ⅰ
ω = 0+
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω =Байду номын сангаас0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
杨金显
yangjinxian@.c n
河南理工大学电气工程与自动化学院1
1+ G(s)H (s) M (s) + N(s)
设辅助函数：F (s) = 1+ G(s)H (s) = N (s) + M (s) N (s)
☻F(s)的极点是系统的开环极点，一般是已知的；
☻F(s)的零点是系统的闭环极点。
8
辅助方程：F(s) = 1+ G(s)H(s) = N(s) + M (s) N(s)
圆s
=
R⋅e jθ
,R
→ ∞,θ
=
π
2
~
−π
2
Ⅲ部分负虚轴ω = −∞ → 0−
Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆
s
= r ⋅ejβ ,r
→ 0, β
= −π
2
~
π
2
下面讨论对于这种奈魁斯特 路径的映射Gk ( jω ) ：
1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏 图Gk ( jω)，关于实轴对称；
ω = ∞+
Ⅰ
ω = 0+
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω =Байду номын сангаас0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
杨金显
yangjinxian@.c n
河南理工大学电气工程与自动化学院1
Nyquist稳定性判定
开环Nyquist曲线在(-1,j0)点以左穿过负实轴 ➢负穿越——相位角减小的穿越 ➢正穿越——相位角增大的穿越 ➢半次穿越—开环Nyquist曲线从(-1,j0)点以左的负实轴开始的穿越
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
第五章 系统的稳定性
例5.6
Im
P=0
ω=+∞ K 1
-1 0
ω=0
Re
5.3 Nyquist稳定判据
Im
P=0
-1
ω=+∞
0
K2 ω=0
Re
(a)
N=0，P=0 → P=2N 稳定
(b)
N=-1，P=0 → P≠2N 不稳定
开环增益K的增大不利于系统的稳定性。
第五章 系统的稳定性
例5.7
P=1 Im
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
开环Nyquist曲线不封闭，无法准确判断其包围(-1,j0)点的圈数
解决的办法：
作辅助曲线
以无穷大为半径，从Nyquist曲线的起始端沿逆时针方向绕 过ν×90°作圆弧和实轴相交，这个圆弧就是辅助曲线。
ν——开环传递函数中含有积分环节的个数
第五章 系统的稳定性
例5.9 P=0 Im
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
第五章 系统的稳定性
例5.6
Im
P=0
ω=+∞ K 1
-1 0
ω=0
Re
5.3 Nyquist稳定判据
Im
P=0
-1
ω=+∞
0
K2 ω=0
Re
(a)
N=0，P=0 → P=2N 稳定
(b)
N=-1，P=0 → P≠2N 不稳定
开环增益K的增大不利于系统的稳定性。
第五章 系统的稳定性
例5.7
P=1 Im
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
开环Nyquist曲线不封闭，无法准确判断其包围(-1,j0)点的圈数
解决的办法：
作辅助曲线
以无穷大为半径，从Nyquist曲线的起始端沿逆时针方向绕 过ν×90°作圆弧和实轴相交，这个圆弧就是辅助曲线。
ν——开环传递函数中含有积分环节的个数
第五章 系统的稳定性
例5.9 P=0 Im
5.4.1nyquist图稳定判据及其相对稳定性
第五章线性系统的频域分析法5.4 线性系统稳定性分析对数幅相图——Nichols图纵坐标为20lg|G(jω)| ，单位为dB，线性分度。
横坐标为∠G(jω)，单位为度, 线性分度。
Nichols图的绘制过程：先绘制出Bode图，再由其绘制Nichols图。
多用于控制系统校正。
)1)(10(100)(++=s s s s G )1)(11.0(100)(++=s s s s G 例：已知系统开环传递函数为解:(1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
5.4 Nyquist稳定判据和相对稳定性稳定判据：代数判据—Routh判据判断工程实用的图解法判据—Nyquist稳定性判据和Bode图稳定性判据判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在S平面右半平面有否闭环极点。
幅角定理设F(S)是复变量S的单值连续解析函数（除S平面上的有限个奇点外）。
S平面上的某一封闭曲线D的内部包含了F(S)的P个极点和Z个零点（包含重根点），且曲线D不通过F(S)任何一个零点和极点。
当S按顺时针方向沿封闭曲线D连续的变化一周时，曲线F(S)在复平面上也按顺时针方向包围原点N=Z-P圈此处定义N为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。
由于系统闭环稳定性与S 平面右半平面中的闭环特征根的数量有关。
故如果选取a)s 平面封闭曲线D 为顺时针包含整个S 平面右半平面的曲线b)F(S)选为F(S)=1+G(s)H(s)()()11()B s F s G(s)H(s)A s =+=+F (s )的极点为开环系统的极点，F (s )的零点为闭环极点则有：有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）假设S平面右半平面包含了F(S)的P个极点和Z个零点，即封闭曲线D包围了F(S)在S右半平面的P个极点和Z个零点根据幅角定理，系统稳定⇒F(S)在S右半平面的零点数Z=0⇒F(S)顺时针包围原点的次数满足N=Z-P=-P。
第4讲_5.5奈奎斯特稳定判据
2014-12-22 第五章 频率响应 16
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
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无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例 开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K
K
K
(1) GH T 2s2 2Ts 1 (2)GH T 2s2 2Ts 1 (3)GH T 2s2 2Ts 1
(6 2
K(3 2 ) 10)2 (3 3 )2
在正频范围内计算ω>0：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确定起始点：ω=0时，
终点：ω→∞
G( j K 0.1K G j) 0
分析 ： 当 3时，虚部为零。
3时，虚部为负， 3时，虚部为正。
把
3代入实部，求出Re[G(
j
2 3
K 28
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
界稳定。
(奈氏判据第二条)
习题已知开环传递函数为 ：
K
s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。
分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，若使系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
G(
j
j
2
K
j
5
j
1
K
K[(6 2 10) j(3 3 )]
解释：
F(s) 1 G(s)H(s)
F(s)的极点是开环极点
(1) 开环稳定情况：
F(s)的零点是闭环极点
—[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围
F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定
(2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点
G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性
闭环特征多项式 F(s)=1+G(s)H(s) 奈魁斯特轨迹
围(-1，j0)点一次
• 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包
围(-1，j0)点一次
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （2）因为G(jω)H(jω)和G(-jω)H(-jω)共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以ω由-∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可 以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
围原点一次
F(s)的极点是开环极点； F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结
K=15
0.1K •
• K / 28
K=10
闭环系统稳定范围 10<K<28
K=35
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
[S] C
0+ B 0﹣ A
G(jω)H (jω)
例：G(s)H (s) K
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（1）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性
G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定
的。
（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]
右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围
（-
1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。
5.2 Nyquist 稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负 实部； 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是 在频率域内判定系统稳定性的准则； 与根轨迹分析方法类似：
• 不求取闭环特征根 • 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 • 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性
奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； 理论依据是复变函数中的柯西定理。
(6 2 10) j(3 3 ) (6 2 10)2 (3 3 )2
G(
j
(6 2
K(6 2 10) 10)2 (3 3 )2
j
(6 2
K(3 2 ) 10)2 (3 3 )2
G(
j
(6 2
K(6 2 10) 10)2 (3 3 )2
j
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为 G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
• 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包
P=0
K ﹣1
w
P=1
﹣K ﹣1
w
P=2
w
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1，
K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。
均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点，
闭环稳定。
闭环不稳定。K＝1，
（奈氏判据第一条） 曲线穿过(-1，j0) ，临
K取任意值，均不 包围(-1，j0)点，有 2个不稳定闭环极 点。闭环不稳定。
s(Ts 1)
D
改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）： 在原点取一小半圆，ε为半径，让 s e j,θ从-90°变化
到+90°。改进后的奈魁斯特轨迹图: s 0 0 0
当ε→无穷小时，在原点的小圆→0。因此，F(s)在右半平面 的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。
×
×
×
×
逆包围一次 逆包围2次 不包围
不包围
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K
K
GH1
Ts
, 1
GH 2
, Ts 1
K 0
(1)
s
1 T
,开环稳定，p=0；
s
1 T
,开环不稳定,
p=1
(2) 画开环系统的极坐标图
﹣1
K 0
﹣K 0 ﹣1,j0