勾股定理1.2勾股定理

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1.1.2验证勾股定理及其计算

合作探究
小组活动：请你利用自己准备的
四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.
有不同的拼法吗？
图1
1.1.2验证勾股定理及其计算.
图2
自主探究
b
a
a 1.如图，你能表示大正方形的面
c
cb
积吗？能用两种方法表示吗？
（1） (a b)2
c
c
b
a
（2） c 2 4 1 ab 2
a 图1 b
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
议一议观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
课外练习
1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC
方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ A )
解：在Rt△ABC中,由勾股定理, C
B
得 AC2=AB2+BC2，
AC2=902+1202，
AC=150(cm).
答:太阳能真空管AC长150 cm.
3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC 边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解：在Rt△ABF中,由勾股定理, A
从理论上验证了勾股定理.
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
1 ab 4 (b a)2 c2 2
∴ a²+b²=c²
图2
追溯历史
国内调查组报告
用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图。

关于“勾股定理”的60种证法

关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。

过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。

90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。

正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。

2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。

因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。

Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。

3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。

整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。

以勾股定理为例谈数学基础发展

以勾股定理为例谈数学基础发展1. 引言1.1 勾股定理的定义勾股定理是几何学中一个重要的定理，也被称为直角三角形的定理。

它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条斜边的平方之和。

换言之，设直角三角形的三条边分别为a、b、c（c为斜边），且a、b为两个直角边，那么有a² + b² = c²。

这个定理最早可以追溯到公元前6世纪的古希腊，由毕达哥拉斯及其学派首次发现并证明。

毕达哥拉斯学派认为这个定理是一种数学美，他们还发现了许多与此相关的几何性质。

勾股定理的发现可以说是人类数学思维的一大飞跃，奠定了几何学的基础。

勾股定理不仅仅用于解决数学问题，在实际生活中也有着广泛的应用。

在建筑、工程、物理学等领域，经常需要用到勾股定理来计算距离、角度等问题。

勾股定理的应用不仅方便实用，还展示了数学在现实生活中的重要作用。

勾股定理的定义简单明了，但背后蕴含着丰富的数学与几何学知识。

这个定理在数学基础发展史上占据着重要的地位，对后世数学发展产生了深远的影响。

1.2 勾股定理的历史勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的古希腊。

据说，古希腊的数学家毕达哥拉斯率先发现了这一定理，故此也被称为毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯是毕达哥拉斯学派的创始人，他的学派在古希腊数学史上有着重要的地位。

据史料记载，毕达哥拉斯曾经在一次旅行中发现了一个有趣的现象：当一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方时，这三条边的长度符合一种特殊的比例关系。

这一发现引起了毕达哥拉斯的兴趣，并且他开始探索这一现象背后的数学规律。

在毕达哥拉斯之后，许多数学家陆续发现了勾股定理，并且对其进行了证明和推广。

勾股定理不仅在古希腊得到了发展，而且在中国、印度、阿拉伯等地也有着重要的影响。

在欧洲文艺复兴时期，勾股定理的研究更是迎来了新的高峰，为后来几何学和三角学的发展奠定了坚实的基础。

勾股定理的历史可以追溯到几千年前，它是数学发展中的重要里程碑之一。

1.1.2探索勾股定理(教案)

”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的形状？”比如，我们常见到的墙角、桌面上的三角板等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生们充分发表自己的观点。从讨论成果来看，学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为缺乏自信或者不敢表达自己的看法。针对这个问题，我打算在以后的教学中多关注这部分学生，鼓励他们积极参与讨论。
（3）学会运用勾股定理解决实际问题，例如计算直角三角形的斜边长度或已知斜边长度求直角边的长度。
举例：在讲解勾股定理时，可以引用教材中的例子，如一个直角三角形，两直角边分别为3和4，求斜边长度。通过计算3²+4²=9+16=25，然后开方得到斜边长度为5，使学生理解并掌握勾股定理的应用。
2.教学难点
（1）理解并证明勾股定理：对于部分学生来说，理解直角三角形两条直角边与斜边之间的数量关系可能存在困难。因此，教师需要采用生动形象的方法，如实物操作、动画演示等，帮助学生突破这一难点。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索勾股定理的过程，让学生理解数学结论的严谨性，提高他们的逻辑思维水平；
2.培养学生的空间想象力和几何直观，通过观察和分析直角三角形的性质，发展学生对图形的认识和处理能力；
3.培养学生的数学建模素养，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，感受数学与现实生活的紧密联系；
1.1 .2探索勾股定理（教案）

《勾股定理》课件精品 (公开课)2022年数学PPT

C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= 17 .
（2）若c=13，b=12，则a= 5
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时勾股定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
导入新课
情景引入其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
0的相反数是___0__. 一个正数的相反数是一个负数。一个负数的相反数是一个正数。一个数的相反数是它本身的数是 __0____．
探究二相反数的几何意义
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观察这两个点具有怎样的特征？
-5
-a -1 0 1 a 5

【湘教版】八年级数学下册教案：1.2勾股定理

1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：(1)AC 的长；(2)S △ABC ； (3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12(cm)；(2)∵S △ABC ＝12CB ·AC ＝12×5×12＝30(cm 2)；(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝6013(cm)．方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，试求△ABC 周长．解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况：(1)当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC 的周长为32或42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于D 、F 点，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．解析：欲求AE ，需与BD 联系，连接AD ，由线段垂直平分线的性质可知AD ＝BD .可证△ADE 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE 的长．解：如图所示，连接AD .∵DF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝62，∴∠BAD ＝∠B ＝22.5°.∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE .由勾股定理得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴2AE 2＝(62)2，∴AE ＝622＝6.方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD ＋S△BCD，即12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的应用3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.。

北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.2 探索勾股定理(教案)

1.1.2 探索勾股定理1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜测、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.培养学生大胆探索,不怕失败的精神.【重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【难点】用拼图法验证勾股定理.【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).一、勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 -5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 -6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补〞的方法,而图1 - 6采用的是“割〞的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流. (2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚刚讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做〞,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做〞的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.二、勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A 表示小王所在位置,点C ,点B 表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C 是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300. 敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意局部面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏. 曾任美国总统的伽菲尔德在?新英格兰教育日志?上发表了他提出的一个勾股定理证明,如下图,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 1.以下选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.应选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如下图的图形,那么以下结论中正确的选项是 ( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,那么有c2=12应选A.3.如下图,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如下图,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪假设干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c 之间有什么关系?解析:根据图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.二、课后作业【根底稳固】1.我国古代数学家赵爽的?勾股圆方图?是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如下图).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如下图的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如下图.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书?周髀算经?中就有“假设勾三,股四,那么弦五〞的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,那么矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如下图,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,假设大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,那么a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如下图的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如下图,在平面内,把矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB =a ,BC =b ,BD =c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图〞,后人称其为“赵爽弦图〞(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.假设S 1+S 2+S 3=16,那么S 2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法〞给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法〞来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2.证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,那么DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab ,又∵S 四边形ADCB =S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE. 验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴a 2+b 2=c 2. 【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,那么(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.应选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.应选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如下图. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如下图,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,那么ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,那么a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.应选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,那么S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,那么BF =b-a ,∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABE +S ΔADE =12ab +12b 2+12ab ,又∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABD +S ΔBDE =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回忆,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理〞,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.随堂练习(教材第6页)解:因为OM 2=MN 2+NO 2=302+402=502,所以OM =50 km .因为OQ 2=OP 2+PQ 2=502+1202=1302,所以OQ =130 km .所以该沿江高速公路的造价预计是(50+130)×5000=900000(万元).答:该沿江高速公路的造价预计是900000万元.习题1.2(教材第6页)1.解:因为42+32=52,所以旗杆折断之前的高为5+3=8(m).2.解:因为S 梯形=12(a +b )·(a +b )=12(a 2+2ab +b 2)=12a 2+ab +12b 2,S 梯形=12ab +12ab +12c 2=ab +12c 2,所以12a 2+ab +12b 2=ab +12c 2,所以a 2+b 2=c 2.(这个方法与本节探索的方法思路一样,都是构造一个图形,利用两种方法计算该图形的面积,从而得到a 2+b 2=c 2)3.解:箱子能放进储藏室,因为0.82+0.52<1.22.古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位两尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?〔解析〕要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如下图.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如下图,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.设CD =x 尺,那么AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2. 解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结]建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。

勾股定理

内容
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两勾股定理：在任何一个直角三角形中，条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“ 平方。这个定理在中国又称为“商高定在外国称为“毕达哥拉斯定理” 理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理（又称商高定理，勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中斯定理）是一个基本的几何定理，国商代就由商高发现。国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理” 因此又称“百牛定理”。
伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，年一个周末的傍晚正在散步，欣赏黄昏的美景，正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和，先生，如果直角三角形的两条直角边分别为和4，那么斜边长为多少伽菲尔德答道：小男孩又问道：呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边呀分别为5和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？分别为和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方．的平方加上7的平方加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于的平方加上的平方．” 小男孩说：先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，。，伽菲尔德不再散步无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。中分别为A，B，斜边为C，那么 a²+b²=c²;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足a²+b²=c²;，还有变形公式： AB=根号（ a²+b²=c² ），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

1.1.2 勾股定理

敌方汽车速度为 : 300 30 m / s 108 km / h 10
直角三角形一直角边长为9,另两边长为连续的自然数,求直角三角形的周长和面积解:设其中一直角边长为x(x为自然数),则斜边长(x+1) 在直角三角形中,由勾股定理得: 建 92+x2=(x+1)2 模
解得 x=40 ∴ x+1=40 ab +(b-a)2 2
c
你还有其它拼法来证明吗？
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 ∴a2+b2=c2
证明方法三：总统证法
1、计算梯形的面积: （1）直接法： D b A a c C c b a B
（2）割补法：
2、建立等式并化简：
解:如图,在Rt△ABC中,由勾股定理得:
建立等式并化简： ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
c c
b c a
a
a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
你还有其它拼法来证明吗？
∴a2+b2=c2 ②你能利用它证明勾股定理吗？并与同伴交流。
证明方法二：
1、计算大正方形的面积: 2 c （1）直接法：
c c
a a b
（2）割补法： 4•ab/2+(b- a)2
1.1.2
探索勾股定理
知识回顾
A
勾弦股
B
C
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言 : ABC为Rt AB BC AC
2 2 2
(口答）求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144

勾股定理在三角形中的应用

勾股定理在三角形中的应用1. 什么是勾股定理？嘿，大家好！今天我们聊聊一个数学界的老朋友——勾股定理。

听上去是不是很高大上？其实它一点也不复杂，通俗点说，就是在直角三角形里，两个短边的平方和等于最长边的平方。

对，就是这样！是不是觉得很简单呢？1.1 勾股定理的基本概念我们来个简单例子吧。

想象一下你在草地上放一个直角三角形，直角在底边和高边的交点。

底边长3米，高边长4米。

那么，勾股定理告诉我们，最长的边，也就是斜边的长度，我们可以用数学公式来算出来：3² + 4² = 5²，结果是25。

对啦，斜边的长度是5米。

1.2 勾股定理的公式简单说，公式就是这样的：a² + b² = c²，其中c是斜边，a和b是直角三角形的两个短边。

记住了这个公式，你就可以解决很多实际问题了！2. 勾股定理的实际应用说到这里，大家可能会觉得勾股定理只是在课堂上用的东西，但实际上，它在生活中可是很有用的哦。

让我们看看几个实际的应用场景吧。

2.1 设计和建筑比如说你家要装修，墙壁的角度不一定是直角，但你可以用勾股定理来测量墙的对角线长度，从而确保墙面是正的。

你只需要测量两个边长，然后用勾股定理算出对角线的长度，如果算出来的长度和实际测量的差不多，那就万无一失了！2.2 导航与地图再比如说，你在使用导航的时候，有时候你需要知道两地的直线距离。

这时候，如果你知道两地之间的经纬度差，你可以用勾股定理来算出直线距离。

虽然现代的导航系统已经很智能，但了解这些基本的数学原理还是很有帮助的。

3. 勾股定理的趣味应用勾股定理不仅仅是一个数学公式，它还可以带来很多趣味的应用和发现。

我们来看几个有趣的例子。

3.1 运动中的应用你知道吗？在很多运动项目中，勾股定理都有用武之地。

比如在篮球比赛中，投篮的角度、距离等都是需要考虑的，特别是远距离投篮的时候。

你可以通过勾股定理来计算你离篮筐的直线距离，调整你的投篮角度和力度，提高你的命中率。

2018_2019学年八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗课件新版北师大版

编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
2 一定是直角三角形吗
Hale Waihona Puke .如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是
直角三角形.
2.满足a2+b2=c2的三个正整数 ,称为勾股数.
3.在下列四组数中,可以作为直角三角形三边长的是( B )
A.4,5,6
B.10,24,26
C.2,3,4
D.1,2,3
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A )
A.30,40,50 B.7,12,13
C.5,9,12
D.3,4,6
2.能与8,15组成一组勾股数的数是( C )
A.6 B.10
C.17 D.20
3.若三角形的三边长分别为6,8,10,则它的最短边上的高为
4.若三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,则当n= 2 三角形是一个直角三角形.
8. 时,该
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =________；（4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为．【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（）【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（）【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________；【例6】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．B ．C ．D ．7【例12】如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（）【例14】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

专题1.2 勾股定理章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题1.2 勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED D 的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到5AD ==，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：Q 在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，5AD \==，Q 四边形ABCD 是正方形，\正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F GS S S =+A B C DS S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，以AC 、BC 为直径作半圆1S和2S ，且122S S p +=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=，2222111()()()222228AC BC AC BC p p p p ´+´=´+=，解得，2216AC BC +=，则22216AB AC BC =+=，解得，4AB =，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于( )A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=，22231BC AB AC \=+=，231S BC \==．故选：B ．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．a =，b =，c =D ．4a =，5b =，3c =【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A 、222456+¹，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、(2(+2(=2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）a 、b 、c 为ABC D 三边，不是直角三角形的是( )A ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=B ．54a =，1b =，34c =C ．222a c b =-D ．8a k =，17b k =，15c k=【分析】利用勾股定理的逆定理判断B 、C 、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断A 选项．【答案】解：A 、::3:4:5A B C ÐÐÐ=Q ，\设3A x Ð=，则4B x Ð=，5C x Ð=，180A B C Ð+Ð+Ð=°Q ，即345180x x x ++=°，解得，15x =°，55157590x \=´°=°<°，故本选项错误；B 、2226810+=Q ，222a b c \+=，故本选项正确；C 、222a b c =-Q ，222a c b \+=，故本选项正确；D 、22281517k k k +=Q ，222a b c \+=，故本选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( )①如果0A B C Ð+Ð-Ð=，那么ABC D 是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ÐÐÐ=，则ABC D 是直角三角形；③，则ABC D 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC D 是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C Ð为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；③，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90°来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )A ．点A 、点B 、点CB ．点A 、点D 、点GC ．点B 、点E 、点FD ．点B 、点G 、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A 、213637AB =+=，2162541AC =+=，21910BC =+=，371041+¹，不可以构成直角三角形；B 、2161632AD =+=，293645AG =+=，2145DG =+=，32545+¹，不可以构成直角三角形；C 、2361652BE =+=，2252550BF =+=，2112EF =+=，50252+=，可以构成直角三角形D 、225934BG =+=，2361652BE =+=，29110GE =+=，341052+¹，不可以构成直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A ．20cmB ．13cmC ．14cmD ．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP 即可．【答案】解：如图展开，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C Ð=°，11052AC cm cm =´=，20BC cm =Q ，35PC BC =，12CP cm \=，由勾股定理得：13()AP cm ===，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A ．15 dmB ．17 dmC ．20 dmD ．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +´，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++´=，解得17x =．故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B ¢，则13138()AA cm ¢=+++=，6A B cm ¢¢=，根据两点之间线段最短，10AB cm ¢==．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A 厘米B ．10厘米C ．厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A ¢®，将圆柱展开，10PA cm ¢===，最短路程为10PA cm ¢=．故选：B ．【点睛】此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5），【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数\勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：2221c n n =++，21a n =+222b n n \=+，故答案为：222n n+【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26¼¼请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(1)n +，第二个是：(2)n n +，第三个数是：2(1)1n ++．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)¼可发现，23142-=，251122-=，271242-=请写出第5个数组：．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：Q ①3211=´+，242121=´+´，2521211=´+´+；②5221=´+，2122222=´+´，21322221=´+´+；③7231=´+，2242323=´+´，22523231=´+´+；④9241=´+，2402424=´+´，24124241=´+´+；⑤11251=´+，2602525=´+´，26125251=´+´+，故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD 的长．【答案】解：90ACB Ð=°Q ，3AC cm =，4BC cm =，5AB cm \=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC CD cm AB==g ．在Rt ACD D 中， 1.8AD cm ==．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰ABC D 中，已知AB AC =，BD AC ^于D ．（1）若48A Ð=°，求CBD Ð的度数；（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得CBD Ð的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长．【答案】解：（1）Q 在等腰ABC D 中，AB AC =，BD AC ^，ABC C \Ð=Ð，90ADB Ð=°，48A Ð=°Q ，66ABC C \Ð=Ð=°，42ABD Ð=°，24CBD \Ð=°；（2）BD AC ^Q ，90BDC \Ð=°，15BC =Q ，12BD =，9CD \=，设AB x =，则9AD x =-，90ADB Ð=°Q ，12BD =，22212(9)x x \+-=，解得，22518x =，即22518AB =．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在ABD D 中，90D Ð=°，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．【分析】先设CD x =，则9BD BC CD x =+=+，再运用勾股定理分别在ACD D 与ABD D 中表示出2AD ，列出方程，求解即可．【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+．在ACD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AC CD \=-，在ABD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AB BD \=-，2222AC CD AB BD \-=-，即22221017(9)x x -=-+，解得6x =，22210664AD \=-=，8AD \=．故AD 的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，16AB cm =，正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ^于点D ，求BD 的长．【分析】根据正方形的面积公式求得12BC cm =．然后利用勾股定理求得20AC cm =；则利用面积法来求BD 的长度．【答案】解：Q 正方形BCEF 的面积为2144cm ，12BC cm \==，90ABC Ð=°Q ，16AB cm =，\20AC cm ==．BD AC ^Q ，\1122ABC S AB BC BD AC D ==g g ，\485BD cm =．【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2的线段；（3）请你在图3为直角边的直角三角形．【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的ABCD，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．【答案】解：ABCD是一个周长为+三角形，ABCD的面积111 342413135222=´-´´-´´-´´=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10（2）①，②【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，的三角形，一共可画这样的三角形个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．=，【答案】解：（1）Q5\D即为所求，ABC如图1所示：（2）如图2所示：Q==，\D，DBCD，¼，ABC都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：2S c =Q 大正方形，2144()2S S S ab b a =+=´+-V 大正方形小正方形，2214()2c ab b a \=´+-，整理，得22222ab b ab a c +-+=，222c a b \=+．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上．（1）求证：90ABE Ð=°；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．【分析】（1）由全等三角形Rt ACB Rt BDE D @D 的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE D @D Q ，CAB DBE \Ð=Ð．90CAB ABC Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，1809090o o ABE \Ð=°-=．（2）由（1）知ABE D 是一个等腰直角三角形，212ABE S c D \=．又21()2ACDE S a b =+Q 梯形，212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c D D D =++=+梯形，\2211()22a b ab c +=+，即222a b c +=．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底´高2¸，和梯形的面积公式：（上底+下底）´高2¸证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将Rt ABC D 绕其锐角顶点A 旋转90°得到Rt ADE D ，连接BE ，延长DE 、BC 相交于点F ，则有90BFE Ð=°，且四边形ACFD 是一个正方形．（1）判断ABE D 的形状，并证明你的结论；（2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积；（3）求证：222a b c +=．【分析】（1）利用旋转的性质得出90BAE BAC CAE CAE DAE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，AB AE =，即可得出ABE D 的形状；（2）利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案；（3）利用四边形ABFE 面积等于Rt BAE D 和Rt BFE D 的面积之和进而证明即可．【答案】（1）ABE D 是等腰直角三角形，证明：Rt ABC D Q 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt ADE D ，BAC DAE \Ð=Ð，90BAE BAC CAE CAE DAE \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，又AB AE =Q ，ABE \D 是等腰直角三角形；（2）Q 四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，\四边形ABFE 的面积等于：2b ．（3）BAE BFEACFD S S S D D =+Q 正方形即：1122()()22b c b a b a =++-，整理：222()()b c b a b a =++-222a b c \+=．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出BAE BFE ACFD S S S D D =+正方形是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）ADE D 和ACB D 是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB Ð=°，求证：222a b c +=．【分析】连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S D D D D =+=+四边形即可求解．【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab D D =+=+Q 四边形．又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a D D =+=+-Q 四边形\221111()2222b abc a b a +=+-222a b c \+=【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC Ð=°．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC Ð的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，20AB cm =Q ，15BC cm =，\由勾股定理可得：25AC cm ===；（2）Q 在ADC D 中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC \+=，90ADC \Ð=°；（3）由（2）知，90ADC Ð=°，\四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm D D =+=´´+´´=，【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC Ð=°，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在Rt ADC D 中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC D 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD D 与Rt ABC D 的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，12AB =，9BC =，15AC \=，39CD =Q ，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC \D 为直角三角形，ACD ABCABCD S S S D D \=-四边形1122AC AD AB BC =´-´11153612922=´´-´´27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出ACD D 的形状是解答此题的关键．【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，12DC =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出90ACD Ð=°，然后根据四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，3AB =，4BC =，5AC \===，12DC =Q ，13AD =，222251225144169AC DC \+=+=+=，2213169AD ==，222AC DC AD \+=，ACD \D 是90ACD Ð=°的直角三角形，四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，1122AB BC AC CD =+g g 113451222=´´+´´630=+36=．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC ，构造出直角三角形是解题的关键．【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形ABCD 中，4AB BC CD AD ====，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 和CD 边上的点，且14CE BC =，F 为CD 的中点，问AEF D 是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出AE ，AF ，EF 的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：4AB BC CD AD ====Q ，4AB =，14CE BC =，1EC \=，3BE =，F Q 为CD 的中点，2DF FC \==，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，EF \==，AF ==，AE ==222AE EF AF \=+．AEF \D 是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，Q 旗杆垂直于地面，\旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，\旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC D 中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC D 中：90CAB Ð=°Q ，17BC =米，8AC =米，15AB \==（米)，Q 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD \=-´=（米)，6AD \===（米)，1569BD AB AD \=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A 、B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C 、D 两村的距离相等，如图，DA AB ^于点A ，CB AB ^于点B ，15DA km =，10CB km =，求土特产加工基地E 应建在距离A 站多少km 的地方？【分析】设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，再根据勾股定理得出2222DA AE BE BC +=+，进而可得出结论．【答案】解：设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，在Rt DAE D 中，222DA AE DE +=，在Rt EBC D 中，222BE BC CE +=，CE DE =Q ，2222DA AE BE BC \+=+，22221510(25)x x \+=+-，解得，10x =千米．答：基地应建在离A 站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 1.77)»【分析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB D Q 中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，1OB m \===；同理，Rt OCD D 中，2.6CD m =Q ， 2.40.5 1.9OC m =-=，1.77OD m \===»，1.7710.77()BD OD OB m \=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE D 的面积．【分析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB Ð=°，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =Q ，8BC cm =10AB cm\==Q 将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm \==，90DEB Ð=°1064BE cm\=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB D 中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE \D 的面积14362=´´=答：BDE D 的面积为26cm 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH Ð=°，3BF cm =，求FH 的长．【分析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，90FPH Ð=°，222FH PH PF \=+，222(9)3x x \=-+，5x \=，FH \的长是5cm ．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD ¢处，AD ¢交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA Ð=Ð，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \=，AD BC =，90B Ð=°，//AD BC ，DAC BCA \Ð=Ð．ADC D Q 与△AD C ¢关于AC 成轴对称ADC \D @△AD C ¢，DAC D AC \Ð=Ð¢，D AC ACB \Ð¢=Ð，AE EC \=；（2）2AB cm =Q ，4BC cm =，2CD cm \=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S D =g Q ，22.52 2.52AEC S cm D ´==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．。

勾股定理相关概念难点及答案解析

勾股定理
1. 勾股定理
1.1 勾股定理的概念
直角三角形两直角边 a、b 的
等于斜边 c 的
。（即：2
2
【答案】
平方和;平方
1.2 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是
的方法；
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
① 图形进过
后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
② 根据同一种图形的
不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法三：S
梯形
2

，

梯形
2∆
∆
2
1
2

1 2
，化简
2
A
.
得证
a
c
【答案】
S
正方形 EFGH
S
正方形 ABCD
a2
b2
B
c2 ；2
D
b
E
a
c
拼图；割补拼接；面积；4S∆
B
b
2
C
2
2. 勾股定理的逆定理
2.1 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系
，那么这个三角形是
。
【答案】
2
2
2 ;直角三角形;
2.2 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的
个命题叫做
。如果把其中一个叫做
【答案】
结论；题设；互逆命题；原命题；逆命题。
和
，这样的两
，那么另一个叫做它的
。
2.3 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为
a，b，c 为
常见的勾股数有
，即2

勾股定理500种证明方法

勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形的特殊关系。

在本文中，我将为您探讨勾股定理的500种证明方法。

通过这些证明方法，我们可以从多个角度深入理解勾股定理的本质和意义。

1. 证明方法一：几何法1.1 利用直角三角形的定义，假设三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边的长度为c。

1.2 利用勾股定理的定义，即a² + b² = c²。

1.3 通过绘制图形和证明几何命题，可得出结论。

2. 证明方法二：代数法2.1 假设a和b分别代表直角三角形的两条直角边长。

2.2 在等式a² + b² = c²两边同时开方，得到c = √(a² + b²)。

2.3 将a、b和c的值代入等式，验证等式的成立性。

3. 证明方法三：相似三角形法3.1 假设两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3.2 通过相似三角形的性质，得出AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为正常数。

3.3 利用勾股定理，可得AB² + BC² = AC²，DE² + EF² = DF²。

3.4 将相似三角形的性质代入等式，验证等式的成立性。

4. 证明方法四：三角恒等式法4.1 通过引入三角函数，将直角三角形的边长表示为三角函数的形式。

4.2 利用三角函数的基本性质和三角恒等式，将勾股定理的等式转化为三角恒等式的等式。

4.3 通过验证三角恒等式，证明等式的成立性。

5. 证明方法五：向量法5.1 假设向量a和b分别代表直角三角形两条直角边的向量表示。

5.2 通过向量的内积和模长的性质，得出a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间夹角。

5.3 通过向量的定义和勾股定理，将a·b和|a||b|cosθ的值代入等式，验证等式的成立性。

八年级下册数学勾股定理

八年级下册数学勾股定理勾股定理：一、介绍1.1 什么是勾股定理勾股定理是著名的几何定理，指三角形三边长数据满足勾股数组中的关系式。

它曾是古希腊数学大师达摩陀的名作，最早出现在《几何》一书中。

1.2 勾股定理的历史几何学钟爱者达摩陀(Diodorus Cronus，约公元前3世纪)可以说是勾股定理的发明者，他把这个定理称为“青蛙定理”。

在他后来的《几何》一书中，达摩陀把法老的儿子奥古斯都（c. 420−367）的工作进行了进一步的发展，最终完善了勾股定理。

1.3 勾股定理应用勾股定理可用来计算边长未知的三角形中任意一边，可以用来求三角形的角，或者确定两个给定的长度是否可以构成三角形；它还可以用来求平面图形的总面积、斜棱柱的体积等。

二、公式勾股定理用公式表达为：a2+b2=c2其中，a和b分别代表直角三角形的两个直角边长，c代表直角三角形的斜边长。

三、实际应用3.1 利用勾股定理求三角形的三边长勾股定理可以用来求三角形的三边长，只需满足一定条件就可以求出三边长。

例如，给定两边长a=3,b=4,则求c：根据勾股定理c2=a2+b2，所以c = √(32+42) = √25 = 5即 c=5。

3.2 利用勾股定理判断两边长是否构成三角形通过判断两边长的关系，我们可以利用勾股定理判断两边长是否可以构成三角形。

以 a=5,b=5 为例，由勾股定理可知，一个三角形的斜边长 c 必须大于它的两条直角边的长度的和，也就是 c>a+b，由题知 a=b=5，则 c不满足 c>a+b，因此边长 a=b=5 不能构成三角形。

四、实际案例来看一个案例，有一个三角形，它的底边是6厘米，高为4厘米。

要知道它的斜边长度是多少？把这个案例写成勾股定理的标准形式，即求 c，则有：a=6，b=4，即原三角形的底边、高分别是6厘米和4厘米，由勾股定理可知，c2=a2+b2，所以c = √(62+42) = √100 = 10即 c=10。