2019年全国研究生考试数学(三)真题

全国硕士研究生入学统一考试数学试题全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧== 而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+, 202040202B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1)(--E A =.(5) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(6) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,0EX EY == ,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 曲线21x xe y = ( )(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. (2) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在1x =处连续，则0)1(=ϕ是()f x 在1x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4) 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ，则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件A 和B ( )(A) 若φ≠AB ，则,A B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则,A B 有可能独立.(C) 若φ=AB ，则,A B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则,A B 一定不独立.(6) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )(A) X 与Y 一定独立. (B) (X ,Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂ 五 、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤ 六、(本题满分9分)设1a >，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，()t a 最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)设()y f x =是第一象限内连接点(0,1),(1,0)A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式. 八、(本题满分8分)设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I)：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II)：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a 为何值时，向量组(I)与(II)不等价？设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ， )()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称作事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】2e【详解】方法1：xx x 20)]1ln(1[lim ++→，属于∞1型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首先凑成重要极限形式：()200002ln(1)1ln(1)2ln(1)2lim lim 2lim[1ln(1)]lim 1ln(1)xx x x x x x x x xx xx x e e e →→→→+⋅++=++=++==方法2：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=2ln[1ln(1)]0lim x x x e++→=2ln[1ln(1)]2ln(1)limlim2x x x x xxeee →→+++==(注意：l n[1ln(1)]ln(1)x x +++:)(2)【答案】)21(21--e【分析】对称区间上的定积分，有0()2()()()0()a a aaaf x dx f x dxf x f x dx f x --⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰当为偶函数当为奇函数【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11+012x xe dx -=⎰102x xde -=-⎰112[]xx xe e dx --=--⎰=)21(21--e ．(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x xa dx dy+⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A ．2AB A B =+⇒222AB B A E E -=-+⇒E E A B E A 2)(2)(=---⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(，所以 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100．(5) 【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(6)【答案】6【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式()cov(,)()()E XY X Y E X E Y =+． 涉及公式：(1)22()()[()]D X E X E X =-，(2)()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++(3)XY ρ=【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，1cov(,)212XY X Y ρ==⨯=．所以 222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++()()()2cov(,) 6.D X Y D X D Y X Y =+=++=方法2：由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得：222()(2)E X Y E X XY Y +=++222()EX E XY EY =++42()E XY =+再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅，得2)(Y X E +()()42[(,)]Cov X Y E X E Y =++⋅由方差定义的公式，有22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，再由相关系数的定义XY ρ=得，cov(,)XY X Y ρ=2)(Y X E +42420.52 6.XY ρ=+=+⨯⨯=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：lim (),()x f x c c →±∞=为常数，y c =为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-，y kx b =+为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且00lim ,lim x x x x y y +-→→=∞=∞，则0x x =为曲线的一条垂直渐近线．【详解】1．y x ±∞→lim 极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2．1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，2221212001lim()lim1lim 0u u x x u u e u xe x u x e u uu -→∞→→--=-=:， 所以曲线有斜渐近线y x =．3．在0x =处21xxe y =无定义，且1222111ln 000lim lim lim lim xxx e xx xx x x x xe ee e ++++→→→→====∞，故 0x =为铅直渐近线．故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选()D ．(2)【答案】()A【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可．32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ+++→→→--=⋅=++⋅=--， 32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ---→→→--=-⋅=-++⋅=---， 由于()f x 在1x =处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以.0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ故应选()A ．(3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(4)【答案】(C)【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和．【详解】因为矩阵A 相似于B ， 又1B P AP -=，所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-，于是，矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似. 同理有()111P A E P P AP P EP B E ----=-=-所以，矩阵A E -与矩阵B E -相似. 又因为相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--， 所以有秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C)．(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系．当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有AB ≠∅． 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的．AB ≠∅推不出{}{}{}P AB P A P B =⋅， 因此推不出,A B 一定独立，排除(A);若AB =∅，则{}0P AB =，但{}{}P A P B 是否为零不确定，{}{}{}P AB P A P B ≠. 因此(C)，(D) 也不成立，故正确选项为(B)．(6)【答案】C ．【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．有结论如下：① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布．如果X Y 与都服从正态分布，甚至X Y 与是不相关，也并不能推出(,)X Y 服从二维正态分布．② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布． ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关． 【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D)．故正确选项为(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+- 令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r r r t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则000sin cos cos cos ttt t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【详解】()f t 的驻点即满足()f t 的一阶导数为零的点，它是关于a 的函数．由0ln )(=-='a a a t f t ，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aa a t -= 求()t a 的最小值，即求函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值， 22211111ln ln ln ln ln 1ln ln ln ()0(ln )(ln )(ln )a a aa a a a a a t a a a a a ⋅---'=-=-=-=得唯一驻点.e e a =当e e a >时，lnln 0,1lnln 0a a >-<，从而0)(>'a t ，这时()t a 单调递增；当e e a <时，lnln 0,1lnln 0a a <->，从而0)(<'a t ，这时()t a 单调递减. 因此当e a e =时()t a 为最小值，此时ee t e 11)(-=为极小值，也是最小值．七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可． 【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+，1()CBM x S f t dt =⎰ 所以 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ． 两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=，即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简，当0≠x 时，得211()()x f x f x x x -'-=，即211.dy x y dx x x--⋅=利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰ =]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx xx x +-⎰ Bx=.12Cx x ++曲线过点(1,0)B ，故0f =（1），代入，故有20C +=，从而2C =-． 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f八【详解】(1) 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到，即)()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈再T 时刻将数量为A 的该商品销售完，得0A kT -=，即Ak T=．因此， ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 由于()y t 随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T 0)(1表示(函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-ba dx x f ab .)(1)． 所以，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断．一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可．【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换，有),,,,(321321βββαααM =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a M M M (第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a M M M ． (1) 当1-≠a 时，有行列式12310a ααα=+≠，秩(3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解． 所以321,,βββ可由向量组(I)线性表示．同样，行列式12360βββ=≠，秩(3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组(II)线性表示．因此向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββαααM ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201M M M ． 由于秩(321,,ααα )≠秩(),,1321βαααM ，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 因此，向量组(I)与(II)不等价． 【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ =3， 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 即向量组(I)与(II)不等价．【评注2】 向量组(I)与(II)等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论．十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A . 又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简．【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆．于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A ．两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*⇒αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ，由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1(由式(1)，(2)解得1=b 或2-=b ；由式(1)，(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bbA +=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2-=b 时，.4=λ【评注】本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂．一般来说，见到*A ，首先应想到利用公式E A AA =*进行化简．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论．【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量1, ,0, .A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==，需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示. 显然，若有(){}E XY P AB =，(){}(){},E X P AE Y P B ==以及=，=即可，这只需定义1,,0, .A X A ⎧=⎨⎩ 若出现若不出现 1,0, .B Y B ⎧=⎨⎩若出现,若不出现 【详解】 (1) 由题给ρ的定义，可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==，而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件．(2) 考虑随机变量X 和Y :1,0,A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 1,0,B Y B ⎧=⎨⎩若出现若不出现由条件知，X 和Y 都服从01-分布：{}{}01~X P A P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，{}{}01~.Y P B P B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由离散型随机变量的数字特征，(){}1ni i i i E X x P X x ==⋅=∑，()()()22D X E X EX =-易见 (){}E X P A =，(){}E Y P B =；(){}{}D X P A P A =， (){}{}D Y P B P B =; 由协方差的定义()()(){}{}{}(,).Cov X Y E XY E X E Y P AB P A P B =-=-因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数．于是由二随机变量相关系数的基本性质1ρ≤，所以题目中定义的 .1≤ρ。