新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题七 选修4 第2讲

第2讲不等式选讲

「考情研析」不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.

核心知识回顾

1.绝对值的三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则□01|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么□02|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c(c>0)□01－c≤ax＋b≤c.

(2)|ax＋b|≥c(c>0)□02ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．

(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．

(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．

4．证明不等式的基本方法

(1)□01比较法；(2)□02综合法；(3)□03分析法；

(4)□04反证法；(5)□05放缩法．

5．二维形式的柯西不等式

若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥□01(ac＋bd)2，当且仅当□02ad ＝bc时，等号成立．

热点考向探究

考向1 绝对值不等式的解法及应用

角度1绝对值不等式的解法

例1(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a ∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)

解(1)当a＝1时，f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，

当x＜－1时，由f(x)＜0得－2(x＋1)＋(x－1)＜0，即－x－3＜0，得x＞－3，此时－3＜x＜－1，

当－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0，

即3x＋1＜0，得x＜－1

3，此时－1≤x＜－1

3

，

当x＞1时，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0，

即x＋3＜0，得x＜－3，此时无解，综上，不等式的解集为{|x－3

(2)∵f(x)＜x⇔2|x＋2|－x＜|x－a|有解，等价于函数y＝2|x＋2|－x的图象上存在点在函数y＝|x－a|的图象下方，

由函数y＝2|x＋2|－x与函数y＝|x－a|的图象可知，a＞0或a＜－4.

解绝对值不等式的步骤和方法

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点．

②划区间、去绝对值号．

③分别解去掉绝对值的不等式．

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法求解不等式

用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

(3)用绝对值不等式的几何意义求解．

(1)解关于x的不等式x|x＋4|＋3<0；

(2)关于x的不等式|x|＋2|x－9|

解(1)原不等式等价于

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＋4<0，

－x(x＋4)＋3<0

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＋4≥0，

x(x＋4)＋3<0，

解得x<－2－7或－3

所以原不等式的解集是(－∞，－2－7)∪(－3，－1)．

(2)令f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于x的不等式

|x|＋2|x－9|f(x)min.

f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧3x－18，x≥9，

18－x，0≤x<9，

18－3x，x<0，

所以f(x)的最小值为9.

所以a>9，即实数a的取值范围为(9，＋∞)．

角度2绝对值不等式恒成立(或存在性)问题

例2(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤－x的解集；

(2)若f(x)≤a2＋1恒成立，求a的取值范围．

解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|，

即f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧3，x≤－2，

－2x－1，－2＜x＜1，

－3，x≥1，

不等式f(x)≤－x即为

⎩⎪

⎨

⎪⎧x≤－2，

3≤－x

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧－2

－2x－1≤－x

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧x≥1，

－3≤－x，

即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3，

得x≤－3或－1≤x≤3，

所以不等式的解集为{x|x≤－3或－1≤x≤3}．

(2)∵|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，

∴f(x)≤|a＋2|，

若f(x)≤a2＋1恒成立，则|a＋2|≤a2＋1，

即

⎩⎪

⎨

⎪⎧a≤－2，

－a－2≤a2＋1

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧a>－2，

a＋2≤a2＋1，

解得a≤

1－5

2

或a≥

1＋5

2

，

∴实数a的取值范围是

⎝

⎛

⎦

⎥

⎤

－∞，

1－5

2

∪

⎣

⎢

⎡

⎭

⎪

⎫

1＋5

2

，＋∞.

解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化