新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题七 选修4 第2讲

第2讲不等式选讲「考情研析」不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.核心知识回顾1.绝对值的三角不等式定理1：如果a，b是实数，则□01|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么□02|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)□01－c≤ax＋b≤c.(2)|ax＋b|≥c(c>0)□02ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．4．证明不等式的基本方法(1)□01比较法；(2)□02综合法；(3)□03分析法；(4)□04反证法；(5)□05放缩法．5．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥□01(ac＋bd)2，当且仅当□02ad ＝bc时，等号成立．热点考向探究考向1 绝对值不等式的解法及应用角度1绝对值不等式的解法例1(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a ∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<x有实数解，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，当x＜－1时，由f(x)＜0得－2(x＋1)＋(x－1)＜0，即－x－3＜0，得x＞－3，此时－3＜x＜－1，当－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0，即3x＋1＜0，得x＜－13，此时－1≤x＜－13，当x＞1时，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0，即x＋3＜0，得x＜－3，此时无解，综上，不等式的解集为{|x－3<x<－13.(2)∵f(x)＜x⇔2|x＋2|－x＜|x－a|有解，等价于函数y＝2|x＋2|－x的图象上存在点在函数y＝|x－a|的图象下方，由函数y＝2|x＋2|－x与函数y＝|x－a|的图象可知，a＞0或a＜－4.解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(3)用绝对值不等式的几何意义求解．(1)解关于x的不等式x|x＋4|＋3<0；(2)关于x的不等式|x|＋2|x－9|<a有解，求实数a的取值范围．解(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x＋4<0，－x(x＋4)＋3<0或⎩⎪⎨⎪⎧x＋4≥0，x(x＋4)＋3<0，解得x<－2－7或－3<x<－1，所以原不等式的解集是(－∞，－2－7)∪(－3，－1)．(2)令f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于x的不等式|x|＋2|x－9|<a有解等价于a>f(x)min.f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－18，x≥9，18－x，0≤x<9，18－3x，x<0，所以f(x)的最小值为9.所以a>9，即实数a的取值范围为(9，＋∞)．角度2绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例2(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤－x的解集；(2)若f(x)≤a2＋1恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x≤－2，－2x－1，－2＜x＜1，－3，x≥1，不等式f(x)≤－x即为⎩⎪⎨⎪⎧x≤－2，3≤－x或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<1，－2x－1≤－x或⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，－3≤－x，即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3，得x≤－3或－1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|x≤－3或－1≤x≤3}．(2)∵|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，∴f(x)≤|a＋2|，若f(x)≤a2＋1恒成立，则|a＋2|≤a2＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤－2，－a－2≤a2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧a>－2，a＋2≤a2＋1，解得a≤1－52或a≥1＋52，∴实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞.解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)<a 有解⇔f(x)min<a；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝2x＋1.(1)解关于x的不等式g(x)≥|x－1|；(2)如果∀x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，求实数c的取值范围．解(1)由题意可得，g(x)＝2x－1，所以g(x)≥|x－1|即2x－1≥|x－1|.①当x≥1时，2x－1≥x－1，解得x≥0，所以x≥1；②当x<1时，2x－1≥1－x，解得x≥23，所以23≤x<1.综上，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.(2)因为|2x－1|－c≥|x－1|，即c≤|2x－1|－|x－1|.令φ(x)＝|2x－1|－|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥1，3x－2，12≤x<1，－x，x<12，因为对∀x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，所以c≤φ(x)min，因为φ(x)min＝φ⎝⎛⎭⎪⎫12＝－12，所以c≤－12.考向2 绝对值不等式的证明例3 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1；(2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b ≥2. 解 (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1； ③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解． 综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)证法一：由绝对值三角不等式可得|x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0，∴a ＋b ＝2， ∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 证法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ， ∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |＝|x－(－a)|－|x－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a＋b，x≥b，2x＋a－b，－a≤x<b，－(a＋b)，x<－a，结合图象易得函数f(x)的最大值为a＋b，∴a＋b＝2.∴1a＋1b＝12(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋ba＋ab≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．(2019·延安市高考模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)≤56.解(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，即⎩⎨⎧x≥12，2x－1<x＋1或⎩⎨⎧0<x<12，1－2x<x＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，1－2x<－x＋1，解得12≤x<2或0<x<12或∅.所以不等式的解集为{x|0<x<2}．(2)证明：因为|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16， 所以f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56. 考向3 柯西不等式的应用例4 已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤ 3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)由柯西不等式得(a ＋b ＋c )2＝(1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋ 12)[(a )2＋(b )2＋(c )2]＝3，当且仅当1a ＝1b ＝1c，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，∴a ＋b ＋c ≤ 3.(2)证法一：∵43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1·(3a ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3a ＋1＝43a ＋1时取等号，∴43a ＋1≥3－3a .同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得，4⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝ 6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证法二：由柯西不等式得[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥⎝⎛3a ＋1·13a ＋1＋3b ＋1·13b ＋1＋3c ＋1·⎭⎪⎫13c ＋12＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，又a ＋b ＋c ＝1，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32.柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．(2019·南通市高三下学期模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3，求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值． 解 因为a ＋2b ＋4c ＝3，所以(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10， 因为a ，b ，c 为正数，所以由柯西不等式得，[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2， 当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2等式成立， 所以1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210，所以1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值是11＋6210，此时a ＝23－1027，b ＝152－177，c ＝8－527.真题押题『真题模拟』1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|－a . (1)当a ＝4时，求不等式f (x )>0的解集； (2)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝4时，f (x )＞0为|2x －1|＋2|x ＋1|>4， 当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4⇒x <－54； 当－1<x <12时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；当x ≥12时，2x －1＋2x ＋2>4⇒x >34.综上，f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.(2)由题意得|2x －1|＋2|x ＋1|>a 恒成立， a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，∴a <3. 2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，g (x )＝x 2－2x －1. (1)若m ，n ∈R ，不等式f (m )≥g (n )恒成立，求实数n 的取值范围； (2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，求证：a ＋1＋b ＋1≤2f (x ). 解 (1)由f (m )＝|m －1|＋|m ＋1|≥|(m －1)－(m ＋1)|＝2， ∴f (m )min ＝2，∴n 2－2n －1≤2，∴－1≤n ≤3， 所以n 的取值范围是[－1,3]．(2)证明：由(1)可知，2f (x )≥22，∴(a ＋1＋b ＋1)2＝a ＋b ＋2＋2(a ＋1)(b ＋1)≤4＋(a ＋1)＋(b ＋1)＝8， ∴a ＋1＋b ＋1≤22，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴a ＋1＋b ＋1≤2f (x ).3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1， 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3 ≥33(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.『金版押题』4．已知函数f (x )＝|2x －3|－|x ＋1|.(1)若不等式f (x )≤a 的解集是空集，求实数a 的取值范围；(2)若存在x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝|2x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4，x ≤－1，－3x ＋2，－1<x <32，x －4，x ≥32，y ＝f (x )的图象如图所示，易得f (x )min ＝－52.∵不等式f (x )≤a 的解集是空集， ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52.(2)∃x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立， 即2f (x )min ≤－t 2＋4|t |，由(1)知f (x )min ＝－52， ∴t 2－4|t |－5≤0，解得－5≤t ≤5， ∴t 的取值范围为[－5,5]．配套作业1．(2019·西安八校高三联考)已知a ，b 均为实数，且|3a ＋4b |＝10. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)因为102＝(3a ＋4b )2≤(32＋42)(a 2＋b 2)＝25(a 2＋b 2)， 所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a b ＝34， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝85或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－65，b ＝－85时取等号，即a 2＋b 2的最小值为4.(2)由(1)知|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立⇔|x ＋3|－|x －2|≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，－5≤4或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x <2，2x ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，5≤4⇔x <－3或－3≤x ≤32⇔x ≤32，所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≥5－x 对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2， ①当x ≥32时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2；②当1<x <32时，3－2x ＋x －1≥2,2－x ≥2，x ≤0，无解；③当x ≤1时，3－2x ＋1－x ≥2，∴3x ≤2，∴x ≤23.综上，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤23或x ≥2. (2)f (x )≥5－x 恒成立，即|2x －a |≥5－x －|x －1|恒成立， 令g (x )＝5－x －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ，x ≥1，4，x <1，则函数图象如图．∴a2≥3，∴a ≥6.3．已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围； (2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解(1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x≤2，7－2x，2<x<5，－3，x≥5，其对应图象如图所示．易知f(x)min＝－3，∴m≥－3，即m的取值范围为[－3，＋∞)．(2)x2－8x＋15＋f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－8x＋18，x≤2，x2－10x＋22，2<x<5，x2－8x＋12，x≥5，①x≤2，x2－8x＋18≤0，解集为∅.②2<x<5，x2－10x＋22≤0,5－3≤x<5.③x≥5，x2－8x＋12≤0,5≤x≤6.综上所述，不等式的解集为{x|5－3≤x≤6}．4．(1)解不等式：|2x－1|－|x|<1；(2)设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．解(1)当x<0时，原不等式可化为－2x＋x<0，解得x>0，所以x不存在；当0≤x<12时，原不等式可化为－2x－x<0，解得x>0，所以0<x<12；当12≤x时，原不等式可化为2x－1－x<1，解得x <2，所以12≤x <2.综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：因为|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，所以|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．5．(2019·益阳市高三4月模拟)已知f (x )＝|2x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，不等式f (x )>2x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >1，3x ，－12≤x ≤1，－x －2，x <－12，由f (x )≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，3x ≤2或⎩⎨⎧x <－12，－x －2≤2，解得x ∈∅或－12≤x ≤23或－4≤x <－12，所以不等式f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，23.(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，不等式f (x )>2x 等价于2x ＋1－|ax －1|>2x ，即|ax －1|<1，所以－1<ax －1<1，即0<ax <2.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以a <0，所以2x <a <0，又由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，得2x <－4，所以－4≤a <0，即a 的取值范围是[－4,0)． 6．已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解 (1)当m ＝－1时，f (x )＋f (－x )＝|x ＋1|＋|x －1|， 设F (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，2x ，x ≥1，当x <－1时，－2x ≥2－x ，解得x ≤－2； 当－1≤x <1时，2≥2－x ，解得0≤x <1； 当x ≥1时，2x ≥2－x ，解得x ≥1.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m 2.则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞，由题知不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，则1>－m2，解得m >－2，由于m <0， 故m 的取值范围是(－2，0)．7．(2019·宝鸡市高考模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若不等式f (x )<a 2＋6a 的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝|x －2|－|x ＋3|≤2可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，－x ＋2＋x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤2，－x ＋2－x －3≤2 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2－x －3≤2， 解得x ∈∅或－32≤x ≤2或x >2， 所以不等式f (x )≤2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－32. (2)因为|f (x )|＝||x －2|－|x ＋3||≤|x －2－x －3|＝5， 所以－5≤f (x )≤5，即f (x )min ＝－5；要使不等式f (x )<a 2＋6a 解集非空，需f (x )min <a 2＋6a ， 从而a 2＋6a ＋5>0，解得a <－5或a >－1， 所以a 的取值范围为(－∞，－5)∪(－1，＋∞)． 8．(2019·太原市高三模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)若存在实数x 0，使得f (x 0)≤5＋m －m 2成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足a 3＋b 3＝M ，证明：0<a ＋b ≤2.解 (1)∵f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|≤5， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|≤52， 由绝对值的几何意义可得x ＝－32和x ＝1时上述不等式中的等号成立，∴不等式f (x )≤5的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.(2)证明：由绝对值的几何意义易得 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|的最小值为3，∴3≤5＋m －m 2，∴－1≤m ≤2，∴M ＝2，∴a 3＋b 3＝2， ∵2＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，a 2－ab ＋b 2≥0，∴a＋b>0，∵2ab≤a2＋b2，∴4ab≤(a＋b)2，∴ab≤(a＋b)24，∵2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]≥14(a＋b)3，∴a＋b≤2，∴0<a＋b≤2.。