定积分计算例题

第5章 定积分及其应用

（一）、单项选择题

1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。

A ．

()()x f dx

x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡⎰ C. ()()x f dx

x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D. ()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡'⎰ 3．⎰

⎰→x x

x tdt

tdt

sin lim

的值等于( ).

A.-1

B.0

C.1

D.2 4．设x x x f +=3

)(，则

⎰

-2

2

)(dx x f 的值等于（ ）。

A ．0 B.8 C. ⎰

2

)(dx x f D. ⎰2

)(2dx x f

5．设广义积分

⎰

+∞

1

dx x α收敛，则必定有（ ）。

A.1-<α

B. 1->α

C. 1<α

D. 1>α

6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ⎰

2

1

ln B.

dy e e x ⎰

2

C.dy y ⎰

2

ln 1ln D.

()d x e x

⎰-2

1

2

8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A.

()[]dy y y ⎰--1

1

B.

()[]dx x x ⎰

-+-21

1

C.

()[]dy y y ⎰

--210

1 D.()[]dx x x ⎰

+--1

1

9．由e x x y x y e

===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为

（ ）。 A.dx x x e ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

+1

log ln B.dy x x e ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+1log ln C.dx x x e ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-1log ln D.dy x x e ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A.

⎰

-1

1

2dx x B.

⎰

1

2dx x C.

⎰

1

dy y D.⎰

1

2

dy y

11．由1,2==y x y 围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.

⎰1021ydy π B.⎰

1

22

1

dy x π C.⎰

1

0ydy π D.

⎰1

2

dy y π 12．由0,1,===y x x y 围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.⎰

1

ydy π B.

⎰

1

2dx x C.

⎰

1

2dy y π D.⎰

1

0xdx π

13．由x y x y ==,2围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.

(

)

⎰-10

2dx x x π B.

(

)

⎰-1042dx x x π C.

(

)

⎰-10

2dx x x π D.

(

)

⎰-104dx x x π

14．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 。

A.⎰

3

2dx x ρ B.

()⎰+2

1

2dx x ρ

C.⎰

1

dx x ρ D.

()⎰+3

2

1dx x ρ

（二）、判断题 1．⎰

=b

a

dx x f 0])([

' （ ）

2．定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。 （ ） 3．⎰⎰⎰+=+b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 （ ）

4．0,1,1==-=y x e y x

所围城的图形面积为⎰

-1

)1(dx e x 。（ ）

5．

⎰---=1

1

4

3

2dx e 。 （ ） 6．曲线x y sin =在［0，2π］上与ｘ轴围成平面图形的面积为⎰

π

20

sin xdx （ ）

7．用微元法求量Q 时，Q 的微元()dx x f dQ =中dx ，是微符号，无任何实际意义。（ ） （三）、填空题

1.曲线1,0,2===y x x y ，所围 成的图形的面积可用定积分表示为 。 2．已知()dt t x x

⎰

=

2sin ϕ，则()x ϕ' 。

3．3

2

2arcsin lim

x

t x x ⎰→ 。

4．

dx x x

⎰

-+1

1

21

sin 。

5．

()d x x ⎰+4

54

2

sin 1ππ

的值的范围 。