第2章 初等模型

前任美国参谋长联席会议主席，Maxwell D. Taylor将军为美国战略核力量提出如下核威慑目标：
军 备 竞 赛 背 景
战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们应 当承担一项威慑苏联的特殊任务，使之怯于采取任何形式的 战略核冲突。为了使威慑效力达到最大限度，它们必须能够 在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足够 的敌方目标，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导人 十分敏感的有效政府、社会和经济，从而消灭苏联。
取k1/k2 =16
Q2
8h 1
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
结果分析
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
• 通过旋转的方式调整椅子的位置
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
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评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
y0 0
y0 y f ( x) y0 x
x
x0
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一枚 导弹，导弹未被摧毁的概率。
sx枚导弹未摧毁，y–x枚导弹未被攻击。 y0=sx+y–x y= y0+(1-s)x y=y0/s
x=y
y0=sy
y<x<2y
y0 =
乙的x–y个被攻击2次，s2(x–y)个未摧毁； y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁 s2(x–y)+ y0=s2y s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s ) 2 s
x=2y
y=y0/s2
精细 模型
x<y, y= y0+(1-s)x x=y, y=y0/s
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变
y
, ym ) P( xm
甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变 x减小，甲安全线 x=g(y)向y轴靠近 PP´
y0 0
P(xm,ym)
y=f ( x)
x=g(y)
x0
x
xm , ym ym xm
甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少
模型解释
• 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标
( x , y仍为双方核导弹的数量 )
双方威慑值减小，残存率变小 乙安全线 y=f(x) y0减小 y下移且变平
残存率变小 y增加且变陡 y y=f ( x)
模 型 假 设
以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略：
• 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹， 给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹 只能攻击对方的一枚核导弹。 摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击 精度和另一方的防御能力决定。
车速 (英里/小时) (英尺/秒) 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v2
车速 (英里/小时) 20 刹车时间 （秒） 1.5
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 Fm
2
d d1 d 2
d1 t1v
且F与车的质量m成正比
d 2 kv
P
P(xm,ym)
P
x=g(y)
P P ? P P ?
y0 0
x0
x
双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析
2.4
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
C
C´
O

D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
为了实现Taylor将军提出的目标，他陈述了以下 内容： 我们需要的武器数量将足以摧毁这个体系内部若干
特定目标。作为一个安全因素，我们应当增添额外的武器， 以求补偿在第一次打击中可能蒙受的损失以及武器性能的不 确定性。总的武器需求量应当大体上少于我们现在的军火库 中可供使用的数量。
问题
• 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。 • 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个 数量受哪些因素影响。 • 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
实际房间通过天花板、墙壁、地面等损失的热量更多。
双层窗的功效不会如此之大
§ 2.5
实物交换
y yo•
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图：
常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则 不同 反 司机 制动系统 反应时间 应 状况 灵活性 距 车速 离 常数
刹 车 距 离
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 最大制动力与车质量成正比， 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数 热量传播只有传导，没有对流
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
图 的 模 型
y
y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数
x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数
当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭 甲方工业、交通中心等目标所需导弹数 双方 y y y0 x 安全区 乙安全区 y=f(x) 乙安全线 y1 y0 0 y=f ( x) P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
2
d t1v kv
模 型 d t1v kv
参数估计
2
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒
• 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 （英尺） 42（44） 73.5（78） 116（124） 173（186） 248（268） 343（372） 464（506） 计算刹车距离 （英尺） 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8 刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
y0 1 s x y<x<2y, y s(2 s ) 2 s
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率
y0 y0 x=a y, y a x / y s s
y x=y y=f ( x) y0 x=2y
a~交换比(甲乙导弹数量比)
y是一条上凸的曲线
y0变大，曲线上移、变陡
第二章
2.1
初等模型
椅子能在不平的地面上放稳吗
2.2 汽车刹车距离
2.3 2.4 核军备竞赛 双层玻璃窗的功效
2.5 实物交换 2.6 启帆远航
§2.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;
模 型 假 设
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
Q1 Q2
l d
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量 Q1 1 , h 作最保守的估计，
s变大，y减小，曲线变平
0
x
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 平衡点PP´
y0 y=f ( x) P(xm,ym) x=g(y) y
, ym ) P( xm
xm , ym ym xm
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
30
40 50
1.8
2.1 2.5
60
70 80
3.0
3.6 4.3
车速（英里/小时）
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 则”
0~10 10~40
40~60
60~80
t（秒）
1
2
3
4
§2.3
军 备 竞 赛 背 景
核军备竞赛
几乎所有的现代战争都以反复无常的军备竞赛作为 前导。有力的证据表明,强国之间的军备竞赛,以军事能 力方面的迅速提升为特征,是战争的预警指示器。在一 篇1979年的文章中,加拿大British Columbia大学的 Michael Wallace研究了在1816～1965年间99件国际争 端。他发现,有反复军备竞赛在前的28次争端中,23次升 级为战争,而没有军备竞赛先行的71次争端中,只有3次 导致战争。 前苏联和美国在冷战时期致力于核军备竞赛,那时, 政治和军事战略家们问道：对于苏联核武库在数量和技 术改进方面的种种变化，美国应当如何反应？为回应此 难题，多少武器是充足的？
§2.2 汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： • 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
背 景 与 问 题
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
用英文默数 “1001，1002”
• 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。