冀教版-数学-九年级上册-相似三角形典型例题

合集下载

冀教版数学九年级上册(同步练习)《25.3 相似三角形》

《25.3 相似三角形》同步练习一、基础过关 1.如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F2.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（） A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶4D. 4∶13.已知四条线段是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（） A ．ad=bc B.bad b c a =++ C. d bc bd a -=-D ．2222dc b a =4..如图，已知//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A.32B.76C. 236D.6.下列四组图形中，不是相似图形的是（）7.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm8.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）二、综合训练9.如图，在△ABC中，DE∥BC,23DEBC,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为。

10.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________。

11.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是。

12.若0234x y z ==≠，则23x y z+= 。

2020-2021冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形

拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形基础闯关全练1．若△ABC ∽△ACD ，AB=1，AD=4，则AC=_________.2．如图所示，已知等腰△ABC ∽△BDC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AC AD 的值等于 ( )A.21B.215-C.1D.215+3．如图，已知AD=3 cm ，AC=6 cm ，BC=9 cm ，∠B= 36°，∠D=117°，△ABC ∽△DAC. (1)求AB 的长；(2)求∠BAD 的度数．能力提升全练1．一个三角形三边长之比为3:5:7．与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边长之和为 ( )A.24 cmB.21 cmC.13 cmD.9 cm2．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8．点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC.若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为__________．3．如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是_________.4．如图，△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，AB=4，DE =6，AM=5，求DN 的长．三年模拟全练选择题1．（2019湖北黄冈浠水期末，6，★☆☆）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，31AB AD =，AE=2 cm ，则AC 的长是( )A.2cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm2．（2018河北邯郸二模，10，★★☆）在△ABC中，AB= 24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( ) A．16 B．14 C．16或14 D．16或93．（2019河北沧州南皮四中月考，8，★★☆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm、5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，则它的另两边的长不可能是( )A.cm25、3 cm B.cm512cm58、C.cm35cm34、D.3 cm、4 cm五年中考全练一、填空题1．（2017辽宁本溪中考，17．★☆☆）如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD= ∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC 相似时，线段CE的长为_____．二、解答题2．（2018江西中考，14，★☆☆）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA =6，CD∥AB，BD 是∠ABC的平分线，BD交AC于点E．求AE的长．核心素养全练如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= -x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点⎪⎭⎫⎝⎛3534A，，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.25.3相似三角形基础闯关全练1.答案 2解析 ∵△ABC ∽△ACD ，∴AB :AC=AC : AD ，∵AB=1，AD=4，∴1：AC ＝AC ：4，∴AC ＝22．B ∵△ABC ∽△BDC ，∴，∴BC ²＝AC ·DC ，∵∠A = 36°，BD 平分∠ABC ，∴∠ABC =21×( 180°-36°) =72°，∠A= ∠ABD = 36°，∠BDC =∠C = 72°，∴BC = BD = AD ，∴AD ²=AC ·DC.设AC= 1 ，AD =x( 0＜x ＜1 ) ，则 x ²+x- 1= 0，解得，∵0＜x ＜1 ，∴，∴，故选 B. 3.解析 ∵ △ABC ∽△DAC ，∴∠DAC =∠B = 36°，∠BAC =∠D=117°，AB : DA=BC : AC.(1) ∵AD= 3 cm ，AC= 6 cm ，BC = 9 cm ，∴AB = 4.5 cm.(2) ∠BAD= ∠DAC+ ∠BAC= 36°+ 117° =153°.能力提升全练1．A 设其余两边的长分别是x cm ，ycm( x ＜y)，由题意得x:y ：21=3：5：7，解得x=9，y= 15，故其余两边的长的和为9+15= 24( cm).2．答案 56或3解析如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD= 90°，∴10AD AB BD 22=+=．当PD=DA=8时，BP= BD-PD=2．∵△PBE ∽△DBC ， ∴CD PE BD BP =，即6PE 102=．解得56PE =；当P'D=P'A 时，点P'为BD 的中点，∴P'E'=21CD=3．故答案为56或3．3．答案3≤AP ＜4解析如图所示，过P 作PD ∥AB 交BC 于D ，作PE ∥BC 交AB 于E ，则△PCD ∽△ACB ，△APE ∽△ACB ，此时0＜AP ＜4;如图所示，过P 作∠APF= ∠B 交AB 于F ，则△APF ∽△ABC ．此时0＜AP ≤4;如图所示，过P 作∠CPG=∠CBA 交BC 于G ．则△CPG ∽△CBA ．∴ＣＡPG CB CP =，当点G 与点B 重合时PG= CB ，AP 取到最小值．CB ²= CP ×CA ，即2²= CP ×4， ∴CP=1，AP=3，∴3≤AP ＜4．综上所述，AP 长的取值范围是3≤AP ＜4．故答案为3≤AP ＜4．4．解析 ∵△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，∴AB ＤＥ＝ＡＭＤＮ，又AB=4，DE=6，AM=5，∴DN= 7.5．三年模拟全练选择题1.C ∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵AE=2 cm ，∴AC=6 cm ，故选C ．2．D (1)当△ADE ∽△ACB 时，如图①．∴ACAD AB AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE= 16；(2)当△ADE ∽△ABC 时，如图②．∴AB AD AC AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9.故AE 的长为9或16.故选D ．3．D 分情况讨论：(1)若边长为2 cm 的边与边长为4 cm 的边相对应，则另两边的长分别为25cm 和3cm;(2)若边长为2cm 的边与边长为5 cm 的边相对应，则另两边的长分别为58cm 和512cm ；(3)若边长为2 cm 的边与边长为6 cm 的边相对应，则另两边的长分别为34cm 和35cm ．故选项A ，B ，C 正确．故选D ．五年中考全练一、填空题1．答案3或34解析 ∵△DCE 和△ABC 相似，∠ACD= ∠ABC ，AC=6，AB=4，CD=2，∴∠A= ∠DCE ，当△ABC ∽△CDE 时，有CE AC CD AB =，即CE 624=，解得CE=3；当△ABC ∽△CED 时，有ＣＤAC CE AB =，即２６＝ＣＥ4，解得34CE =．故答案为3或34，二、解答题2.解析 ∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ．∵AB//CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠D=∠CBD ，∴BC= CD ，∵BC=4，∴CD=4，∵AB//CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴CE AE CD AB =，∴CE AE 48=∴AE=2CE ， ∵AC=6=AE+CE ，∴AE=4．核心素养全练解析 (1)设直线AD 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，把点，D （0，1），代入y=kx+b(k ≠0），得解得∴直线AD 的解析式为y ＝21x+1． (2)∵△BOD 与△BCE 相似，且△BOD 是直角三角形，∴△BCE 也是直角三角形． ∵在△BCE 中，∠EBC 为锐角，∴△BCE 是直角三角形分两种情况：∠BCE= 90°或∠BEC= 90°.①如图1，过点C 作CE ⊥x 轴，交直线BD 于点E ．此时△BOD ∽△BCE ，∠BOD= ∠BCE=90°.图1将y=0代入y= -x+3得-x+3=0，∴x=3，∴C(3，0).将x=3代入y=21x+1，得y=21×3+1=25，∴E(3，25)．②如图2，过点C 作CE ⊥BD ，交直线AD 于点E ，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，图2此时△BOD ∽△BEC ，∠BOD= ∠BEC=90°，把y=0代入y=21x+1得21x+1=0，∴x=-2， ∴B(-2，0) ，OB=2．∵D(0，1)，∴OD=1．如图2，OB=2，OD=1，BC=5，BD=5.∵△BOD ∽△BEC ，∴BC EB BD OB =． ∴5EB52=．∴52EB =．∵ OD//HE ，∴△BOD ∽△BHE ，∴ＢＨBO BE BD HE OD ==，∴ ，∴HE=2，BH=4.∵DB=2．∴OH=2．∴E(2，2)．综上所述，当△BOD 与△BCE 相似时，点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛253，或(2，2)．。

09-25.5 相似三角形的性质九年级上册数学冀教版

（相似三角形对应高的比等于相似比）.，，，，，，，解得，的长为 .
5.[2021阜新中考]如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_____.
【解析】如图，分别过点，作直线，直线，垂足分别为点，，则，，，
，，，，，，，与的周长比为．
6.[2022杭州中考]如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，.已知四边形是平行四边形， .
知识点2 相似三角形的周长比等于相似比
4.[2023重庆中考A卷]若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是( )
B
A. B. C. D.
5.[2023邯郸期末]两个相似三角形的一组对应高的长分别是和，其中较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为( )
C
A. B. C. D.
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】，，分别是和的角平分线，，，故①正确，③不正确；，故②正确.
第2题图
2.[2021河北中考指南]如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则等于( )
B
A.2 B.3 C. D.
【解析】如图，由题意，易得. 为边上的中线，且易知为边上的中线，.，，，， .
（2）当点,分别为边,的中点时，判断与的数量关系,并证明你的结论.
解： .证明如下：点,分别为边, 的中点，，，，， .
（3）如图2，，连接并延长，分别交，于点， .
①已知点是的中点.求证： .
证明：，，，同理可得， .又点是的中点，， .
②已知，四边形的面积为42，求的面积.
解：，，，，，， .设，则 . 四边形的面积为42，，解得， .

第25章图形的相似解答题专题训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册 (含答案)

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》解答题专题训练（附答案）1．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE 于点H．（1）如图1，与△GHE相似的三角形是（直接写出答案）；（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．2．如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B ＝60°．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC＝AG•AD，求证：EG•CF＝ED•DF．4．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．5．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．6．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB 上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD．（1）求证：∠ACF＝∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB．8．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．9．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB 方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？10．如图，△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC 边上，Q、R落在BC边上．（1）求证：△APS∽△ABC；（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；（3）如AP：PB＝1：2，求矩形PQRS的面积．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．①计算小亮在路灯AD下的影长；②计算AD的高．13．如图正方形ABCD的顶点E，F是AD和CD上的动点，与AC交于P、Q两点，AB＝1．（1）当AB＝AQ＝CP时，①求∠EBF的度数；②求以BQ为边长的正方形面积；（2）当E，F在AD，CD上运动时，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，则△BEF面积的最小值为（直接写出答案）．14．如图，已知平行四边形ABCD，过点A作BC的垂线，垂足为点E，且满足AE＝EC，过点C作AB的垂线，垂足为点F，交AE于点G，连接BG．（1）如图1，若BG＝2，AB＝6，求AC的长度；（2）如图2，取BE的中点M，在EC上取一点N，使EN＝BE，连接AN，过点M作AN的垂线，交AC于点H，求证：BG＝2CH．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．16．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D 与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．17．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF ＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）求▱DEFG对角线DF的长；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．18．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．（1）求证：EF⊥BD．（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．（3）求OF的长度．19．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长．20．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF 交AD于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．参考答案1．（1）解：如图1中，∵GH∥AD，∴△GHE∽△ADE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△GHE∽△ADE∽△ABC，故答案为△ADE，△ABC．（2）解：∵GH∥BD，∴∠FGH∠DBF，∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，∴△BFD≌△GFH（ASA），∴BD＝GH，∵GH∥AD，∴＝＝＝，∴＝．（3）证明：如图2中，∵GH∥BD，∴＝，∵GH∥P A，∴＝，∵DH∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴PF∥AG，即PF∥AC．2．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°，∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AE＝3，∠B＝60°，∴BE＝，CE＝4﹣．在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，∴DE＝＝5．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DF＝，∴EF＝DE﹣DF＝．3．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，∴DE＝AE＝CE，∴∠ADE＝∠A，∴∠BCD＝∠ADE．又∠ADE＝∠FDB，∴∠FCD＝∠FDB．∵∠CFD＝∠DFB，∴△CFD∽△DFB，∴DF2＝BF•CF．（2）∵AE•AC＝AG•AD，∴＝．∵∠A＝∠A，∴△AEG∽△ADC，∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，∴＝．由（1）知：△CFD∽△DFB，∴＝，∴＝，∴EG•CF＝ED•DF．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EF A；（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EF A，∴，即，∴AE＝16.9，∴DE＝AE﹣AD＝4.9．5．（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∴△DFG∽△DEA，∴，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴，∴＝即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FDC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝90°，∵CF⊥BD，∴∠FDE+∠DFE＝90°，∴∠CDE＝∠DFE，又∴∠DEC＝∠CDF＝90°，∴△DEC∽△FDC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥BC，∴＝＝，∵△DEC∽△FDC，∴CE•CF＝CD2＝12，∴CF＝3，∴DF＝＝，∴BC＝AD＝2．7．证明：（1）∵CG2＝GE•GD，∴．又∵∠CGD＝∠EGC，∴△GCD∽△GEC．∴∠GDC＝∠GCE．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC．∴∠ACF＝∠ABD．（2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE．∴．又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC．∴．∴FE•CG＝EG•CB．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，∴∠BAG＝∠DEA，∴△ABG∽△EDA（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BFE，∴＝，∴AD＝BE，∴BC＝CE，∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．9．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分两种情况：①当时，即，解得：t＝2.4；②当时，即，解得：t＝；综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．10．（1）证明：∵四边形PQRS是矩形，∴PS∥QR，即PS∥BC，∴△APS∽△ABC；（2）解：∵四边形PQRS是正方形，∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR，∵AD是△ABC得高，即AD⊥BC，∴AM⊥PS，即AM是△APS的高，∵△APS∽△ABC，∴，设PS＝x，∵BC＝30，高AD＝18，∴AM＝18﹣x，∴，解得：x＝，∴它的边长为：；（3）解：∵四边形PSRQ是矩形，∴PQ⊥QR，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴PQ∥AD，∴△PBQ∽△ABD，∴PQ：AD＝BP：BA，∵AP：PB＝1：2，∴PQ＝AD＝×18＝12，∵△APS∽△ABC，∴PS：BC＝AP：AB＝1：3，∴PS＝BC＝10，∴矩形PQRS的面积为：PS•PQ＝10×12＝120．11．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠ECD＝∠B，∴∠FDC＝∠B，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDC，∴＝．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴＝．12．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．13．解：（1）①在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝AB＝AQ，∠BAC＝45°，∴∠AQB＝＝67.5°，同理∠CPB＝67.5°，∴∠EBF＝180°﹣∠AQB﹣∠CPB＝45°，②∵AB＝BC＝AQ＝CP＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝，∴PQ＝AQ+CP﹣AC＝2﹣，又∵∠BAP＝∠PBQ＝45°，∠AQB＝∠BQP，∴△ABQ∽△BPQ，∴＝，即BQ2＝AQ•PQ＝2﹣，故以BQ为边的正方形面积为2﹣；（2）如图，延长DC至点G，使CG＝AE，连接BG，在△ABE与△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝∠CBG+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°﹣∠EBF＝45°＝∠EBF，在△BEF与△BGF中，，∴△BEF≌△BGF（SAS），∴EF＝GF，在Rt△EDF中，EF2＝DE2+DF2≥2DE•DF，当且仅当DE＝DF时等号成立，此时EF2最小值＝2DE•DF，不妨设此时DE＝DF＝a，则AE＝CF＝1﹣a，EF＝GF＝CF+CG＝CF+AE＝2（1﹣a），由EF2＝DE2+DF2得：a+a2+[2（1﹣a）]2，即a2﹣4a+2＝0，解得a＝2﹣或a＝2+（舍去），∴EF2最小值＝2a2，∴EF最小值＝a∴△BEF面积的最小值＝△BCF面积的最小值＝BC•GF＝EF最小值＝﹣1，故答案为：﹣1．14．解：（1）∵AE⊥BC，AE＝EC，∵AB⊥CF，∴∠ABE+∠BAE＝∠ABE+∠BCF＝90°，∴∠BAE＝∠BCF，在△AEB和△CEG中，∴△AEB≌△CEG（ASA），∴BE＝GE，∴△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝BG＝2，在Rt△AEB中，∵AB＝6，∴AE＝＝4，∴AC＝AE＝8；（2）解法一：证明：取GE的中点K，连接KM，KC，∴GK＝KE，∵点M和点E为BN的三等分点，∴ME＝EN＝BM，∴KM为△BEG的中位线，∴KM∥BG，KM＝BG，由（1）知△AEB≌△CEG，∴BE＝GE，∴KE＝EN，∴∠KME＝∠GBE＝∠ACE＝45°，在△AEN和△CEK中，∴△AEN≌△CEK（SAS），∴∠EAN＝∠ECK，∵AN⊥HM，∴∠EAN＝∠HME，∴∠MCK＝∠HNE，在△MKC和△CHN中，∴△MKC≌△CHN（ASA），∴KM＝CH，∴BG＝2CH．解法二：过H作HK⊥BC于K，则△CHK是等腰直角三角形，∴CK＝HK，设AE＝EC＝a，EM＝EN＝b，HK＝KC＝x，∵AN⊥NH，∴∠EAN+∠ANE＝∠ANE+∠KMH＝90°，∴∠EAN＝∠HMN，∴△AEN∽△MKH，∴＝，∴＝，∴x＝b，∴BE＝2EM＝2HK，BG＝2CH．15．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．16．解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M∵∠ABG＝150°，BE⊥CB∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°∴∠MFB＝30°∵BF的长为2米，∴BM＝1米，MF＝米∵BE⊥CB，MF⊥BE∴BH∥MF∴△EBH∽△EMF∴＝又∵EB＝1.8米∴＝∴BH＝∵BE∥CD∴△HBE∽△HCD∴＝∵CB＝5∴＝∴CD＝15.8米∴大树CD的高度为15.8米．17．解：（1）如图1所示：连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；故▱DEFG对角线DF的长．（2）如图2所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，∵▱DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠AED＝∠BFE，又∵∠A＝∠EBF＝90°，∴△DAE∽△EBF（AA）∴，∴，解得：x＝1，或x＝2①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，如图3（甲）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠ABF＝90°，又∵BF＝1，AD＝2，∴在△ADE和△BEF中有，，∴△ADE≌△BEF中（SAS），∴DE＝EF，∴矩形DEFG是正方形；在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF∽△FHB，∴，HF＝，在△BPH和△GPF中有：，∴△BPH∽△GPF（AA），∴∴PF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴．②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，如图3（乙）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠EBF＝90°，∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：∴ED＝＝＝2，EF＝＝＝，∴∠ADE＝45°，又∵四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，∠EDG＝90°，∴DG＝，∠HDG＝45°，∴△DHG是等腰直角三角形，∴DH＝HG＝1，在△HGQ和△BCQ中有，∴△HGQ∽△BCQ（AA），∴，∵HC＝HQ+CQ＝2，∴HQ＝，又∵DQ＝DH+HQ，∴DQ＝1+＝，∵AB∥DC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝，综合所述，BP：QG的值为或．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵EF∥AC，∴EF⊥BD；（2）证明：∵EF∥AC，∴＝，＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CP，OA＝OC，∴＝，即＝，∴AO∥DP，∵AD∥CP，∴四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，∵四边形ACPD为平行四边形，∴CP＝AD＝BC，∴＝，∵AD∥BP，∴＝＝，∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，∵DO＝BD＝，∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴EF＝DE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．19．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．②∵△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴＝，∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠QDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分线段EF．（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x+×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．综上所述，PQ的长为或．20．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴＝，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DF＝AB＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴＝＝＝，∴＝．。

(全优)冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB 的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AB 2=AP•ACD.2、已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )A. B. C.D.3、如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )A.DE∥BCB.∠ADE=∠ACBC.D.4、下列各组图形一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等边三角形C.两个菱形D.两个矩形5、如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是( )A. BC∶ DE=1∶2B.△ ABC的面积∶△ DEF的面积=1∶2C.∠ A 的度数∶∠ D的度数=1∶2D.△ ABC的周长∶△ DEF的周长=1∶26、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于（）A.3 cmB.6 cmC.9cmD.12cm7、如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A. B. C. D.8、在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A.1:20B.1：20000C.1：200000D.1：20000009、如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分別与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（）A.连接BD，可知BD是△ABC的中线B.连接AE，可知AE是△ABC的高线 C.连接DE，可知 D.连接DE，可知S△CDE ：S△ABC＝DE：AB10、下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形11、如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE ：S△CAB=1：4．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④12、如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A.（0，0），2B.（2，2），C.（2，2），2D.（1，1），13、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A.7B.14C.21D.2814、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D. 米15、如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对.A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为________.17、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为________18、如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S 1=8，S3=2，S2=________.19、小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高1.75米，他的影长为2.0m，小刚比小明矮5cm，此刻小明的影长是________ m．20、如图，在矩形中，，，是的黄金分割点（），是上一点，将沿直线折叠，点落在边上的点处，再将沿直线折叠，点落在上的点处，则的长为________．21、如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：① ，② ，③ ，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有________．22、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为________．23、如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k ＝________．24、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为________.25、如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．求点P的坐标．28、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．29、如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．30、如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，求证：△DAF∽△AEB.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C4、B5、D6、B7、D8、D9、B10、C11、A12、B13、B14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

(基础题)【汇总】冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（）A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm2、如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E.若FG＝2，则AE的长度为( )A.6B.8C.10D.123、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边上的高，AC=2，AD=1，则BC的长是（）A.4B.3C.D.4、在△ABC和△A1B1C1中，下列命题中真命题的个数为（）（1）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（2）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（3）若AB=kA1B1， AC=kA1C1，（k≠0），∠A=∠A1，则△ABC∽△A1B1C1；（4）若S△ABC =S△A1B1C1，则△ABC∽△A1B1C1．A.1B.2C.3D.45、如图，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2，则S△DEF ：S△ABC为( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶97、如图，AB∥CD∥EF ， AC与BD相交于点E ，若CE=5，CF=4，AE=BC，则的值是（）A. B. C. D.8、若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），设AB=1，则PA的长约为（）.A.0.191B.0.382C.0.5D.0.6189、如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是（）A.1∶2B.1∶C.1∶4D.2∶110、如图，是的中位线，已知的面积为12，则四边形的面积为（）.A.3B.6C.9D.1011、下列说法正确的是（）A.相似多边形都是位似多边形B.有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似C.两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似D.所有的菱形都相似12、如图，直线l1∥l2∥l3，两直线AC和DF与l1， l2， l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（）A. B. C. D.13、如图，在□ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（）A. B. C. D.14、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE ：S△COB=4：9，则AE：EC为（）A.2：1B.2：3C.4：9D.5：415、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为( )A.（3，2）B.（－3，－2）或（3，2）C.（2，- ）D.（2，）二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是________．17、如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2．7米，观察者目高CD=1．8米，则树（AB）的高度为________米．18、若= = ，则=________．19、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=________ cm．20、如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是________．21、如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为________．22、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为________.23、如图，，如果，，，那么________．24、如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为__________。

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似相似三角形的判定(一)

13．(中考·甘肃天水)△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.
(1)如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP＝AQ 时，求证：△BC＝45°，AB＝AC.
∵AP＝AQ，∴BP＝CQ. ∵E 是 BC 的中点，∴BE＝CE. BE＝CE，
在△BPE 和△CQE 中，∠B＝∠C， BP＝CQ，
∴△BPE≌△CQE(SAS)．
13．(中考·甘肃天水)△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.
11．(2018·浙江杭州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∵AD 为 BC 边上的中线，∴AD⊥BC. ∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°. ∴△BDE∽△CAD.
7．如图，在△ABC 中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是( C )
A.AADB＝AACE C.DBCE＝AABE
B.ABCE＝BADD D.DBCE＝AADB
8．如图，点 E 是 AB 的中点，AC＝5，BD＝2，若∠A＝
∠CED＝∠B，则 AB 的长是( C )
A．7
B. 10
C．2 10 D．10

初中数学冀教版九年级上册第二十五章图形的相似25.5 相似三角形的性质-章节测试习题(2)

章节测试题1.【题文】如图，△ABC的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．【答案】6 cm．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，易得四边形DEHQ为矩形，∴QH＝DE，∵△ABC的面积为36cm2，∴AH•BC＝36，∴AH6，设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x＝3，∴DG＝2x＝6，即DG的长为6cm．2.【答题】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B. 若AD＝2，BD＝3，则AC 等于（）A. 5B. 6C.D.【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD，∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∵AC＞0，∴AC，选D.3.【答题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，选D.4.【答题】已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（）A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 9：4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴则这两个三角形的对应高的比为4：9．选B.5.【答题】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，∴这两个三角形的相似比为：1：3．选B.6.【答题】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A. 5：3B. 25：9C. 3：5D. 9：25【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴两三角形的相似比为5：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是25：9．选B．7.【答题】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：①△OBE≌△OCF；②△OGF∽△OFC；③BE2+DF2＝2OG•OC.其中正确的结论有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠OBC＝90°，∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴①正确；∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°，∴∠GOF＝∠FOC，∠OFG＝∠OCF，∴△OGF∽△OFC；∴②正确；∵△OBE≌△OCF，∴BE＝CF，而CB＝CD，∴CE＝DF，∴BE2+DF2＝CF2+CE2＝EF2，∵△OEF为等腰直角三角形，∴EF2＝OE2+OF2＝2OF2，∵△OGF∽△OFC，∴OF2＝OG•OC，∴BE2+DF2＝2OG•OC．∴③正确．选D．8.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P是BC边上一点，若△ABP与△DCP相似，则BP＝______．【答案】2或8或5【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABP与△DCP相似，①当时，AB＝4，AD＝10，∴，解得，BP＝2或BP＝8；②当时，∴BP＝PC＝5，综上所述：BP＝2或BP＝8或BP＝5．故答案为2或8或5．9.【答题】如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为______．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为10．10.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE 交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】设DE＝x．∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∴，∴DF，AF＝4，∵△ABF与△CEF的面积相等，∴•AF•AB•EC•DF，∴（x+2），∴x1，x2（舍去），故答案为．11.【答题】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为．12.【题文】求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．【答案】见解答.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF 的角平分线．求证：k.证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG∠BAC，∠EDH∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABGC∽△DEH，∴k．13.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．【答案】（1）见解答；（2）.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴．14.【答题】如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（）A. 2∶3B. 3∶4C. 9∶16D. 1∶2【答案】B【分析】本题考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案．【解答】∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，∴DE：BC=3：4，选B.15.【答题】如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴，选B．16.【答题】已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】∵C是线段BD的中点，BD=4，∴BC=CD=2，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴，∴，∴AB=4，选C．17.【答题】如图，在中，若，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．由DE∥BC可证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求得结果．【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得（cm）．选C．18.【答题】如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，选C．19.【答题】如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【解答】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，，∵AC=2，AD=1，，解得DB=3．选C．20.【答题】已知：如图，中，于，下列条件：（1）；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD BC. 其中一定能够判定是直角三角形的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD∽△CBA是解题的关键．对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．【解答】（1）∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC直角三角形；（3）=，则△ADC∽△BDA，∴∠CAD=∠ABD，又∵∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴该条件可以判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC，.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；选D．。

冀教版数学九上25.4《相似三角形的判定》

A．AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6 B．AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15 C．AB＝1，BC＝ 2，AC＝2，DE＝ 6，EF＝ 3，DF＝ 5 D．AB＝1，BC＝ 5，AC＝3，DE＝ 15，EF＝2 3，DF＝ 6
3．(4 分)△ABC 的三边长分别为 2， 10和 2，△A′B′C′的两边长
13．(10 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝12，点 E 在 AD 边上，且 AE＝8，EF⊥BE 交 CD 于点 F.
(1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求 EF 的长．
13.(1)∵∠AEB ＋ ∠ABE ＝ 90°， ∠AEB ＋ ∠DEF ＝ 90°， ∴∠ABE ＝ ∠DEF ，又 ∵∠A ＝ ∠D ＝ 90°， ∴△ABE∽△DEF
分别为 1 和 5，如果△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′第三边的长为( B )
2 A. 2
B. 2 C．2 D．2 2
4．(4 分)已知△ABC 的三边长分别为 6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF 的一边长为 4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角
形相似( C )
1．三条边对应成比例的两个三角形__相__似____，利用这个判断方法证明两个三角形相似时，注意对应关系，一般来说，相等角的对边是__对__应____边．
2．直角三角形相似的判定方法：一锐角相等的两直角三角形相似；两条直角边对应成比例的两直角三角形相似；斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似．
8．(10 分)如图，若∠A＝∠C，那么△OAB 与△OCD 相似吗？有 OA·OD＝OB·OC 吗？为什么？
∵∠AOB＝∠COD，又∠A＝∠C∴△OAB∽△OCD， ∴OOAC＝OODB∴OA·OD＝OB·OC

利用三边判定两个三角形相似和直角三角形相似的判定课件-2023-2024学年冀教版数学九年级上册

形，∴ ∠CBA = 60∘ ，∠CAB = 30∘ ，
∴ ∠ACB = 90∘ . ∵ BC = 1，AB = 2，
∴ AC = 3.∵ DE与AC的位置相同，
∴ DE = 3.当点F在F1 和F3 处时，
EF3 = DF1 = 1，DF3 = EF1 = 2，∴△ ABC ≌△ EF1 D，△ ABC ≌△ DF3 E；
当点F在F2 处时，△ ABC ∼△ F2 ED，相似比是
1
；当点F在F4 处时，△ ABC ∼△ F4 DE，相
3
1
似比是 .综上所述，使△ DEF与△ ABC相
3
似的点F有4个.
3.一题多解如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，则
45 ∘ .
∠1 + ∠2 =____
第3题图
【解析】解法一设正方形ABCD,CDEF,EFGH的边长都为a，则
∴ = − = ，
∴ : = : = : ，∴ △ ∼ △ .
25.4 相似三角形的判定
课时3 利用三边判定两个三角形相似和直角三角形相似的
判定
过能力学科关键能力构建
1.[2023石家庄长安区期末]依据图中所标注的数据，添加下列条件：
A.
B.
C.
B )
D.
【解析】解法一由小正方形的边长为1，得△ ABC的各边长分别为 2，
2， 10. A中三角形的三边长分别为 2， 5，3，不能与已知三角形的三
边长对应成比例，故两个三角形不相似；B中三角形的三边长分别为1，
2， 5，与已知三角形的三边长对应成比例，故两个三角形相似；C中
三角形的三边长分别为1， 5，2
1
为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方.其中，得

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案(2023年最新)

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知x：y=1：2，那么（x+y）：y等于（）A.2：2B.3：1C.3：2D.2：32、如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC3、如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=9：4，则BD：CD等于（）A.3：2B.9：4C.4：9D.2：34、如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是( )A. B. C.D.5、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.6、如图，线段AC和直线l分别垂直线段AB于点A，B．点P是线段AB上的一个动点，由A移动到B，连接CP，过点P作PD⊥CP交l于点D，设线段AP的长为x，BD的长为y，在下列图象中，能大致表示y与x之间函数关系的是（）A. B. C. D.7、如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是( )A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD 2＝BD·CDD.CD·AB＝AC·BD8、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A.（6，0）B.（6，3）C.（6，5）D.（4，2）9、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A. B. C.∠B=∠D D.∠C=∠AED10、已知，在中，点为上一点，过点作，分别交、于点、，点是延长线上一点，连接交于点，则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.11、如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）．A.(4，2)B.(4，4)C.(4，5)D.(5，4)12、如图，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ABD=∠C=90°，则添加下列条件仍不能判断△ABD∽△DCB的是（）A.AD∥BCB.AD⊥CDC.BD 2=AD·BCD.BD平分∠ADC13、已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm14、如图，△ABC∽△ADE，若AB＝9，AD＝3，DE＝2，则BC的长是（）A.4B.6C.8D.715、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠A；②＝；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CDA.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是________ ．17、如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=________．18、在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，则这栋楼的高度为________m.19、如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（-1，2），则点P的坐标为________．20、如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是________．（只填一个即可）21、如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝________ ．22、如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为________m．23、如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，则EF的长为________.24、在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF ：S△CBF是________.25、如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAn BnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A（0,4）,直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2．（1）求点D的坐标；（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．27、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．28、如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。

初中数学冀教版九年级上册第二十五章图形的相似25.6 相似三角形的应用-章节测试习题(1)

章节测试题1.【题文】某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了"望月阁"及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与"望月阁"底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和"望月阁"之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到"望月阁"顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达"望月阁"影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出"望月阁"的高AB的长度．【答案】见解答．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，解得：AB=99，答："望月阁"的高AB的长度为99m．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．2.【答题】如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是______米．【答案】8【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴，CD=8米，故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．3.【答题】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A．4.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48 mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80﹣x) mm，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48 mm．5.【答题】如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A. 32米B. 米C. 36米D. 米【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA. ∴，即，∴MN＝32（m），∴楼房MN的高度为32m．选A.6.【答题】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A.7.【答题】如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）m.A. 2B. 2C.D. 2【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6 m，∴AB（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF AB（m）．选C．8.【答题】如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A. 5mB. 6mC. 125mD. 4m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.7 m，AN＝25 m，BC＝0.14 m，∴EF5（m）．选A．9.【答题】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵A，D两个端点之间的距离为10 cm，∴BC＝15 cm，选C．10.【答题】如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）A. 60mB. 50mC. 40mD. 30m【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝40，选C．11.【答题】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为______米．【答案】7【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC＝7（米），故答案为7．12.【答题】如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为______米．【答案】2.5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作BF⊥OE于点F交CD于点G，根据题意得：AB＝CG＝OF＝1.5米，BF＝10米，BG＝5米，DG＝CD﹣CG＝2﹣1.5＝0.5米，∵DG∥EF，∴，∴，解得EF＝1，∴EO＝EF+OF＝1+1.5＝2.5（米），故答案为2.5．13.【答题】如图，小亮要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度AB＝1.6 m，BE＝1.4 m，DE＝14.7 m，则钟塔的高度CD为______m．【答案】16.8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝16.8 m，故答案为16.8．14.【答题】如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米．【答案】8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，∠CPD＝90°，QC＝4 m，QD＝16 m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC＝90°，∴∠C+∠QPC＝90°，而∠C+∠D＝90°，∴∠QPC＝∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴，即，∴PQ＝8，即旗杆的高度为8 m．故答案为8．15.【题文】某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32 m的点C处（即AC＝32 m），然后沿直线AC 后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5 m，CD＝3 m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）【答案】16 m．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴，∵DE＝1.5 m，CD＝3 m，AC＝32 m，∴，解得AB＝16，答：旗杆AB的高度为16 m．16.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即，解得x＝6.6.∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．17.【答题】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A. 1.2mB. 1.3mC. 1.4mD. 1.5m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，∴，解得AG＝1.2（m），选A．18.【答题】如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴，即，∴CD＝6cm．选C．19.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．20.【答题】《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C 往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A. 360步B. 270步C. 180步D. 90步【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．选A．。

冀教版-数学-九年级上册-相似三角形典型例题

冀教版数学九年级上册(同步练习)《25.3 相似三角形》

2020-2021冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形

09-25.5 相似三角形的性质九年级上册数学冀教版

第25章图形的相似 解答题专题训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册 (含答案)

(全优)冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似含答案

(基础题)【汇总】冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似含答案

冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似 相似三角形的判定(一)

初中数学冀教版九年级上册第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质-章节测试习题(2)