冀教版-数学-九年级上册-相似三角形典型例题

相似三角形

例题1 下列说法中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．

（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

例题2 已知：ABC ∆的三边长分别是3，4，5，与其相似的C B A '''∆的最大边长是15，求C B A '''∆面积C B A S '''∆

例题3 若ABC ∆与DEF ∆都是等边三角形．则ABC ∆与DEF ∆是否相似？为什么？ 例题4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．

（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

参考答案

例题1 分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则A A '∠∠＝︒='∠=∠︒=45,45B B ，设ABC ∆的三边为A.B.c ，C B A '''∆的边为

c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a a c c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽

C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．

解答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．

例题2 解答 2

22543=+， ∴ABC ∆为直角三角形

不妨设︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，5=AB

ABC ∆∽C B A '''∆，

∴∠=∠='∠Rt C C ，C B BC C A AC B A AB ''=''=''

3=AC ，4=BC ，5=AB ，15=''B A ，

∴9=''C A ，12=''C B ∴541292121=⨯⨯=''⋅''='''∆C B C A S C B A

说明 本题考查相似三角形的定义，解题关键是求出C A ''，C B ''的长

例题3 分析 要判断两个三角形是否相似，现在只能用相似三角形的定义．

解答 因为ABC ∆与DEF ∆都是等边三角形，所以

FD EF DE CA BC AB F E D C B A ====︒=∠=∠=∠=∠=∠=∠,,60. 于是

FD CA EF BC DE AB ==.从而ABC ∆∽DEF ∆.

说明 运用相似三角形的定义时，必须指出对应角相等、对应边成比例．

例题4 分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．

（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．

（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，

则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，

设ABC ∆的三边为A.B.c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,， ∴

a a c c

b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．

解答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．