中考数学专题第22题

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中考数学第22题解题技巧

中考数学第22题解题技巧中考数学第22题是一道典型的解决实际问题的应用题，要求考生根据给定的条件，通过数学方法解决问题。

接下来，我将结合具体题目以及解题技巧，详细介绍如何解答这道题目。

首先，让我们先来看看这道题目的具体题意。

【题目】某学校有一个小广场，形状是一个边长为10米的正方形。

学校要在小广场的四个角各建一个菜园，然后再在小广场的四条边各种一圈花坛，花坛和小广场都是正方形。

已知小广场的面积是(x+2)平方米，花坛与小广场的面积比是1:3。

求菜园和花坛的面积之和。

【解题思路】这道题目可以用数学方法来解决。

首先，我们需要明确一些基本的数学概念。

正方形是一种特殊的四边形，四条边长度相等，每个内角都是90°。

正方形的面积等于边长的平方。

在解题过程中，我们需要根据已知条件构建方程，并进行求解。

接下来，我将从以下几个步骤出发，详细介绍解答这道题目的思路。

【步骤一：明确已知条件】根据题目给定的信息，我们可以得到以下已知条件：1.小广场的形状是一个边长为10米的正方形；2.小广场的面积是(x+2)平方米；3.花坛与小广场的面积比是1:3。

【步骤二：构建方程】在解题过程中，我们需要根据已知条件构建方程。

根据题目中的信息，我们可以得到以下方程：(1)小广场的面积：10^2 = (x+2)^2；(2)花坛与小广场的面积比：花坛面积/小广场面积= 1 / 3。

【步骤三：求解方程】有了方程后，我们就可以进行求解了。

首先，我们可以解方程(1)来确定小广场的面积。

10^2 = (x+2)^2100 = (x+2)^2开方，得到x+2 = 10x = 8因此，小广场的面积为(8+2)^2 = 10^2 = 100平方米。

接下来，我们可以根据已知条件中的花坛与小广场的面积比来求解菜园和花坛的面积。

花坛面积/小广场面积= 1 / 3花坛面积=小广场面积* (1/3)花坛面积= 100 * (1/3)花坛面积= 100 / 3平方米最后，我们可以计算菜园和花坛的面积之和。

上海中考2023 数学22题

2023年上海中考数学第22题解析22．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【分析】
（1）根据打九折列出算式，计算即可；
（2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：y=0.9（x-0.30）；
（3）当x=7.30，可得y=6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜（x-y）元，计算求解即可．
【解答】
解：（1）由题意知，1000×0.9=900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y=0.9（x-0.30），
整理得y=0.9x-0.27，
∴y关于x的函数解析式为y=0.9x-0.27；
（3）当x=7.30时，y=0.9×7.30-0.27=6.30，
∵7.30-6.30=1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．。

2020年中考数学第22题四边形专题训练含答案

2020年浙江省绍兴市中考数学第22题四边形专题训练1.（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE 的长；（2）如图，在（1）的条件下，连结AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长.2.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点.（1）求证：△ADE≌△ABF.（2）求△AEF的面积.3.小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°.（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论.（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB 与BC的数量关系.4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF.则线段BE和AF数量关系________.（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值.5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点c重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；（2）猜想与发现：在(1)的条件下，请判断DM，MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM，MN的数量关系是________；结论2：DM，MN的位置关系是________；（3）拓展与探究：如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）当EF⊥BD时，求AE的长.7.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，则对角线BD的长为________；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；________（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.直接写出AE的长为________.8.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC.（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长.9.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，点E在边CD上移动连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′CE，点B、C的对应点分别为点B′、C′（1）当点E与点C重合时，设B′C′与AD的交点为F，若AD＝4DF，则AD＝________（2）若AD＝6，B′C′的中点记为P，则DP的取值范围是________10.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2.在AB的垂直平分线上是否存在点P使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由.11.现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F.（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积.12.（1）【问题探究】如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF.线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线.①求证：△ABE≌△DAF.②判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由.（2）【问题探究】如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G.若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为________.13.已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF＝90°（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积.14.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.②若AC⊥BD，求证：AD=CD.（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.15.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.16.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC．（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC．17.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE.F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC.（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC.18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF（1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形.19.如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH.（1）①求证：△ADE≌△BAG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值.20.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.①若点G为DE的中点，求FG的长.②若DG＝GF，求BC的长.（2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.答案1. （1）解：∵AB ＝AC ＝2，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝ 2√2 ，∵四边形DEFG 是正方形，∴DE ＝DG ＝GF ＝EF ，∠DGF ＝∠EFG ＝90°，∴∠BGD ＝∠CFE ＝90°，∴∠B ＝∠BDG ＝45°，∠C ＝∠CEF ＝45°，∴BG ＝DG ， CF ＝EF ，∴BG=FG=FC=DE ，∴DE ＝ 13 BC ＝2√23 .（2）解：∵DE ∥BC ，∴ MN GF =AN AF =AE AC =DE BC ， ∴ 2√23=13 ，∴MN ＝2√29（3）解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝∠C ＝36°，∵BA ＝NB ，∴∠ANB ＝∠BAN ＝72°，∵AM ＝AN ，∴∠AMN ＝∠ANM ＝72°，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAN ＝36°，∴BM ＝AM ＝AN ，设MN ＝x ，则AN ＝AM ＝BM ＝2﹣x.∵△NAM ∽△NBA ，∴AN 2＝NM •NB ，∴（2﹣x ）2＝2x ， ∴x ＝3﹣ √5 或3+ √5 （舍弃） ∴MN ＝3﹣ √5 .2. （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠D=∠B=90°，DC=CB ，∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE= 12 DC ，BF= 12 BC ，∴DE=BF ，在△ADE和△ABF中，{AD=AB∠B=∠DDE=BF，∴△ADE≌△ABF（SAS）（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF= 12×4=2，CE=CF= 12×4=2，∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣12×4×2﹣12×4×2﹣12×2×2=63. （1）证明：∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝90°（2）解：如图②，连接AC，BD，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD =12 AC =12BD，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴OE =12AC，∴OE =12BD，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE（3）解：如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，由（2）知，∠BED＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，过点B作BF⊥AE于F，∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，∴AB＝2BF，AF＝√3 BF，∴AE＝2 √3 BF，∴AE＝√3 AB，∴BC＝√3 AB.4.（1）BE＝AF（2）解：成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立（3）AE的最大值为3.5. （1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，CE=CF。

上海中考数学第22题解题方法

上海中考数学第22题解题方法上海中考数学第22题是一个函数题，要求在规定的坐标系中，用线段来表示一个函数的图像。

解题时，可以按照以下步骤进行思考和操作：1.理解题意：通读题目，理解题意。

题目中给出了一个函数的定义和一张坐标系图。

要求我们根据函数的定义来画出函数的图像。

2.理解函数定义：首先，我们需要理解函数的定义。

函数定义给出了自变量（x）和函数值（y）之间的关系。

函数定义中给出了x的取值范围和对应的y值。

注意到函数定义中涉及到绝对值、分段函数等情况，需要根据x的取值范围进行分析。

3.确定函数的定义域：首先，通过函数定义中的限制条件确定函数的定义域。

从函数定义来看，x的取值范围是在[-7,4]之间。

即-7 ≤ x ≤ 4。

这就是函数的定义域。

4.分析函数的性质：根据函数的定义和给出的x的取值范围，我们需要分析函数的性质。

首先，考虑函数的图像是否是连续的。

根据函数的定义，可以看出函数在x = -7和x = 4两个点上可能有断点，可以通过分段定义的方式进行判断。

5.分段定义函数：根据函数定义的不同情况，我们可以将函数分为几段进行讨论。

在[-7,4]的取值范围内，可以将函数分为三段，分别是：x ≤ -2, -2 < x ≤ 3, x > 3。

6.画出函数的图像：根据分段定义的结果，可以对不同的x范围内画出函数的图像。

首先，取x = -7，可以根据函数定义中的表达式得到y的值。

同样地，取x = -2和x = 4，可以得到函数在这两个点上的函数值。

根据分段函数的定义，我们可以将这些点连接起来，画出函数的图像。

7.考虑特殊情况：在函数的定义域内，我们需要考虑特殊情况，比如在x = -2和x = 3的位置上，观察函数是否存在不连续点。

对于这题的函数，我们发现在x = -2的位置上，函数是连续的，而在x =3的位置上，存在一个开放圆点。

在作图时，可以用空心圆表示这个点，表示这个点不在函数的定义范围内。

中考数学专题复习22一元二次方程试题

22一元二次方程时间：2022.4.12 单位：……*** 创编者：十乙州专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 〔m－1〕x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接方法、因式分解法、配方法及公式法，在详细的解题过程中，应结合详细的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x2+1＝3 x.例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是〔〕 A.x ＝0 B.x 1＝0，x 2＝3 C. 1210,3x x == D. 13x = 例4 解方程x 2－2x －2＝0.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这局部内容主要考察方程的一根求字母的值，或者者是根与系数及判别式相联络的问题.例5 解以下方程，将所得到的解填入下面表格中：〔1〕通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？〔2〕一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0〔p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0〕来说，是否也具备〔1〕中你所发现的规律？假如具备，请你写出规律，并说明理由；假如不具备，请举出反例.例6 假设a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，那么由此可得求得以下代数式的值恒为常数的是〔〕A.abB. baC.a+bD.a－b专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据详细问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进展取舍.例7 农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2021年政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2021年校舍改造的投入资金是8050.9万元，假设设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，那么根据题意列方程得 .二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 假如〔2m+2n+1〕〔2m+2n－1〕＝63，那么m+n的值是 .例9 解方程〔3x+2〕2－8〔3x+2〕+15＝0.例10 解方程〔x+2〕〔x+3〕〔x－4〕〔x－5〕＝44.例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.例12 假设实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，那么m+n+p的值是〔〕A.－1B. 0 C例13 解方程3x2+11x+10＝0.例14 解方程〔x－1994〕〔x－1995〕=1996×1997.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，那么平均每年下降的百分率是 .中考真题精选一、选择题1.关于x 的一元二次方程〔a －1〕x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，那么实数a 的值是〔〕A 、－1B 、0C 、1D 、－1或者12.假设一元二次方程式ax 〔x ＋1〕＋〔x ＋1〕〔x ＋2〕＋bx 〔x ＋2〕＝2的两根为0．2，那么|3a ＋4b |之值为何〔〕A ．2B ．5C ．7D ．83.关于方程式88〔x ﹣2〕2=95的两根，以下判断何者正确〔〕 A 、一根小于1，另一根大于3 B 、一根小于﹣2，另一根大于2C 、两根都小于0D 、两根都大于24. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=5.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1〔a ，m ，b 均为常数，a ≠0〕，那么方程2(2)0a x m b +++=的解是 .6.1是关于x 的一元二次方程〔m ﹣1〕x 2+x+1=0的一个根，那么m 的值是〔〕 A 、1B 、﹣1C 、0D 、无法确定7.以下方程中是关于x 的一元二次方程的是〔〕A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=8.假设x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．那么m 的值是〔〕A.6B.5C.2D.﹣6二、填空题1.关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，那么m = ，另一个根是． 2. 假设x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，那么a 的值是______. 3.一元二次方程x 2+5x+6=0的根是．一、选择题1.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=2.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，假设灰色三角形面积为421平方公分，那么此方格纸的面积为多少平方公分〔〕A 、11B 、12C 、13D 、143.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班一共送了2070张相片，假如全班有x 名学生，根据题意，列出方程为〔〕A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= 4.亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，以下所列方程正确的选项是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a5.某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值到达了72万元．假设求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x ，依题意可列方程〔〕 A ．72〔x +1〕2=50 B ．50〔x +1〕2=72C ．50〔x ﹣1〕2=72D ．72〔x ﹣1〕2=506.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，假设平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．那么n 的值是〔〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题1.某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为．2. “十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的主要动力． 2021年全全年旅游总收入大约1000亿元，假如到2021年全全年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为__________．3. 某小区2021年屋顶绿化面积为2000平方米，方案2021年屋顶绿化面积要到达2880平方米．假如每年屋顶绿化面积的增长率一样，那么这个增长率是．4.据调查，某2021年的房价为4000元/m 2，预计2021年将到达4840元/m 2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为〔〕 A ．4000(1+x )=4840 B ．4000(1+x )2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=48405.某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，假如每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是．6.线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．假设正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．那么AE的长为________________．7.“十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的丰要动力．2021年全全年旅游总收入大约l000亿元，假如到2021年全每年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为．8.某城居民最低生活保障在2021年是240元，经过连续两年的增加，到2021年进步到345.6元，那么该城两年最低生活保障的平均年增长率是 .9.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．假设矩形的面积为4m2，那么AB的长度是m〔可利用的围墙长度超过6m〕．10.某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．假设两次降价的百分率一样，设这个百分率为x，那么可列出关于x的方程为．11.如图〔1〕，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路〔横向与纵向垂直〕，把耕地分成假设干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图〔2〕的考虑方式出发列出的方程是．三、解答题1.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进展挑选分成甲级干果与乙级干果后同时开场销售．这批干果销售完毕以后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开场销售至销售的第x天的总销量y1〔千克〕与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开场销售至销售的第t天的总销量y2〔千克〕与t的关系为y2=a t2+b t，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3y221 44 69〔1〕求a．b的值；〔2〕假设甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，那么卖完这批干果获得的毛利润是多少元？〔3〕问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？〔说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计〕2.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋〞，某加快了廉租房的建立力度．2021年政府一共HY2亿元人民币建立了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年一共累计HY9.5亿元人民币建立廉租房，假设在这两年内每年HY的增长率一样．〔1〕求每年政府HY的增长率；〔2〕假设这两年内的建立本钱不变，求到2021年底一共建立了多少万平方米廉租房．3.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？4.某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P〔个〕与每个书包销售价x〔元〕满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：假如要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？5.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某HY门统计，2021年底该汽车拥有量为75万辆，而截止到2021年底，该的汽车拥有量已达108万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为了保护城环境，缓解汽车拥堵状况，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2021年初起，该此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量一样，请你估算出该从2021年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．6.国家HY公布的?商品房销售明码标价规定?，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率；〔2〕某人准备以开盘均价购置一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？7.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某HY门统计，2021年底全汽车拥有量为15万辆，而截止到2021年底，全的汽车拥有量已达21.6万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为保护城环境，缓解汽车拥堵状况，从2021年初起，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该从2021年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量一样，请你计算出该每年新增汽车数多不能超过多少万辆．8.：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14=0的两个实数根．〔1〕当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；〔2〕假设AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？9.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？10.某为争创全国文明卫生城，2021年政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2021年投入的资金是2420万元，且从2021年到2021年，两年间每年投入资金的年平均增长率一样.〔1〕求该对区绿化工程投入资金的年平均增长率；〔2〕假设投入资金的年平均增长率不变，那么该在2021年需投入多少万元？11.解方程：0)10553(|4|222=--+--y x y x ．12.知识背景：来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地场出售时，基地要求“杨梅〞用双层上盖的长方体纸箱封装〔上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图〕〔1〕实际运用：假如要求纸箱的高为，底面是黄金矩形〔宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6〕，体积为．①按方案1〔如图〕做一个纸箱，需要矩形硬纸板A 1B 1C 1D 1的面积是多少平方米？ ②小明认为，假如从节材料的角度考虑，采用方案2〔如图〕的菱形硬纸板A 2B 2C 2D 2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．〔2〕拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅〞，但他感觉〔1〕中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．13.汽车产业是我支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2021年我某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2021年，该品牌汽车的年产量到达10万辆．假设该品牌汽车年产量的年平均增长率从2021年开场五年内保持不变，那么该品牌汽车2021的年产量为多少万辆？14.随着经济的开展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的进步员工当年的月工资．尹进2021年的月工资为2000元，在2021年时他的月工资增加到2420元，他2021年的月工资按2021到2021年的月工资的平均增长率继续增长．〔1〕尹进2021年的月工资为多少？〔2〕尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2021年6月份的月工资刚好购置假设干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2021年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购置了甲、乙两种工具书各一本，并把购置的这两种工具书全部捐献给西部山区的．请问，尹进总一共捐献了多少本工具书？15.请阅读以下材料：问题：方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍。

2020年中考数学第22题应用题复习专题(有答案)

武汉市中考数学第22题复习专题1.我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y 元．写出y与m之间的函数关系式，并写出商店能获得最大利润的进货方案；（3）由于市场浮动，A型电动自行车的进货价格下调a（100＜a＜300）元，此时商店能获得最大利润为14400，求a值．2.为迎接军运会，武汉市政府启动了梁子湖水质提升方案，其中治理所需的部分原料450吨由某公司存放于甲、乙两个仓库，如果运出甲仓库所存原料的30%，乙仓库所存原料的20%，那么乙仓库剩余的原料与甲仓库剩余的原料一样多．(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m吨原料到工厂，求出总运费w关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围)；(3)若在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，w的变化情况．3．某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B 两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．（1）请填写下表CD总计（吨）A（吨）200B（吨）x300合计（吨）240260500（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．4．某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．（I）根据题意，填写下表：游泳次数方式一的总费用（元）101501517520……x方式二的总费用（元）90135…（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（Ⅲ）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．5、（10分）某企业拥有一条生产某品牌酸奶的生产线，已知该酸奶销售额为4800元时的销量比相售额为800元时的销量要多500瓶。

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦CD ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C D二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB 是O 的直径，位于AB 两侧的点C ，D 均在O 上，30BOC ∠=︒，则ADC ∠= 度．15．（2024·北京·中考真题）如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠= ︒16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为．21．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为．22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为 .三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长． 28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长．30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒ 45A ∠=BOC ∴∠故选：C ．2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出2AOD E ∠=∠．由圆周角定理得到270AOD E ∠=∠=︒，由邻补角的性质求出18070110BOD ∠=︒−︒=°．【详解】解：35E ∠=︒，270AOD E ∴∠=∠=︒，18070110BOD ︒∴∠=−︒=︒．故选：D ．3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧，故选：C ．4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD 的长；设圆心为O ，连接OB ，在Rt OBD △中，可用半径OB 表示出OD 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【详解】解：∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴直线CD 经过圆心，设圆心为O ，连接OB ．Rt 根据勾股定理得：222OD BD OB +=，即：)2221020OB OB −+=，解得：25OB =；5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到90ACB ∠=︒，同弧或等弧所对的圆周角相等得到60CDB A ∠=∠=︒，进一步计算即可解答．【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60CDB ∠=︒，60A CDB ∴∠=∠=︒，9030ABC A ∴∠=︒−∠=︒，故选：A ．8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒ 【详解】解：ABC ∠是圆周角，与圆心角12AOC ∠=又四边形ABCD 是O 的内接四边形，180ADC =︒，又180CDE ADC ∠+∠=︒，64CDE ∴∠=∠︒，故选：A ．9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定，再结合特殊角的正弦值，求出O 的OC 为半径，12AD ∴=ABC =∠AOC ∴∠=在ADO △sin AOD ∠sin AD OA ∴=，即O 的半径为5OP =>∴点P 在O 外，故选：C ．12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒ 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC ，由AB 是O 的直径得到90ACB ∠=︒，根据圆周角定理得到20CAB BEC ∠=∠=︒，得到9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒，再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解：如图，连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BEC ∠=︒，∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180110ADC ABC ∠=︒−∠=︒，故选：B13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C 2 D 并延长交O 于点F ()SAS ADC EBC ≌，再利用圆周角定理得到函数即可求解．【详解】解：延长AB 并延长交O 于点F∵四边形ABCD 内接于O ，∴ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒︒，DAB ∠是O 的直径，90DCB =︒DCB 是等腰直角三角形，BCAD∴()SAS ADC EBC ≌ACD ECB ∠=∠，AC 2AB AD +=2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB是O的直径，位于AB两侧的点C，D均在O上，30∠=︒，BOC ∠=度．则ADC是O的直径，位于均在O上，∠BOC=︒，15075︒；15．（2024·北京·中考真题）如图，O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若35∠=︒，则C∠=D︒【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到AB CD ⊥，由BC BC =得到35A D ∠=∠=︒，故903555C ︒︒∠=−=︒．【详解】解：∵直径AB 平分弦CD ，∴AB CD ⊥，∵BC BC =，∴35A D ∠=∠=︒，∴903555C ︒︒∠=−=︒，故答案为：55．16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴180BOC ∠=︒−∠117．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒−︒=︒，故答案为：65．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．可证明(ASA ABD AED ≌BCE ∽△，得到BE AB 【详解】解：延长AC ，BD AB 是O 的直径，90ADB ADE ∴∠=∠=︒，∠AD 平分BAD ∴∠=又∵AD =∴(ASA ABD AED ≌25BD DE ∴==，45BE =，10AB =，25BD =，AD ∴=DAC ∠=又∵BAD ∠∴BAD ∠ADB ∠=ABD BEC ∴∽，BE BC AB AD∴=， 451045BC ∴=， 8BC ∴=，19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是．【答案】90︒/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠，结合三角形内角和定理，可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠，由此即得答案．【详解】A ∠是BC 所对的圆周角，BOC ∠是BC 所对的圆心角，2BOC A ∴∠=∠，180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=︒，2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=︒，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=︒，22180A OBC ∴∠+∠=︒，90A OBC ∴∠+∠=︒．故答案为：90︒．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为．，设O 的半径为Rt OED 中，由勾股定9=，在Rt AEC 中，由勾股定理即可求解．设O的半径为Rt OED中，由勾股定理得：r，解得：=5==5,OA OE=+AE OA OERt AEC中，由勾股定理得：故答案为：321．（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，2⊥，AB=，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE AB 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．【详解】解：AB为直径，的长为正整数时，时，即DE为直径，∵22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为 .与C在ABC 内部时，与C 相切于点在ABC AE 最小，分别画出图形，求出结果即可．90=︒，CA 9045︒=︒，在平面内旋转，与C 相切于点在ABC 内部时，则CD AE ⊥，∴90ADC CDE ∠=∠=︒，∴22231AD AC CD =−=−∵AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最大值为AE 与C 相切于点在ABC 外部时，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =−=−=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒−=︒∠∠∴18045CED CEA =︒−=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最小值为故答案为：三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答） Rt OCE 中，利用勾股定理求解即可；，利用垂径定理等可得出BF =Rt Rt CEO OFB ≌，得出，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接AD ，证明CEO ADB ∽，得出ABD ∠，然后利用平行线的判定即可得证【详解】（1）解∶∵OC OB =，()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒−∠， 2BOC BCE ∠=∠，)90BCE BCE ∠=︒−∠即O 的半径为2）证明：法一：过∴12BF BD =， ∵2BD OE =∴OE BF =，又OC OB =，OEC ∠=∠()Rt Rt HL CEO OFB ≌，COE OBF =∠，BD OC ∥；法二：连接AD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴22AD AB BD =−=∴1OC CE OE ===，∴CEO ADB ∽，COE ABD ∠=∠，BD OC ∥．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．在ABC中．AB OA==2=AC ABAC的长为26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE是O的直径，点A在O上，点C在BE的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长． BE 是O 的直径，OA OB =ABC ∴∠EAC ∠=CAE ∴∠=CAE ∴∠+OAC ∴∠OA 是O 的半径，是O 的切线；）解：EAC ∠=ABC EAC ∽△，CE AC， 4，，AD 平分BAD \?∴BD DE =BD DE ∴=BE 是O 的直径，90BDE ∴∠=︒，22DE BD ∴==27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长．【答案】(1)作图见详解的值，在直角BCM 中运用勾股定理即可求解．()1Rt BCM Rt BB M HL ≌，1CM B M =，Rt AMW 中，53WM ==AM CM =−是直径，90ACB =︒，Rt ABC 中，2x =（负值舍去）36x ==，Rt BCM 中，【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）． Rt AHP 中，利用正切的定义求出1）证明：如图，连接Rt AHP 中，AH PH， tan606︒=⨯，APH APB −∠29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得30CAB ∠=︒，即可得90ABD??，进而可证得结论；（2）连接OC ，证明OBC △为等边三角形，求得120AOC ∠=︒，利用弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 60D ABC ∠=∠=︒，9030CAB ABC ∴∠=︒−∠=︒，18090ABD CAB D ∴∠=︒−∠−∠=︒，BD ∴是半圆O 的切线；（2）解：如图，连接OC ，,60OC OB CBA =∠=︒，OCB ∴为等边三角形，COB ∴∠=180AOC ∴∠=120360AC l ∴=30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．的长，设O 的半径为OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，为O 的切线，BE ，为O 的直径，90ADC =︒，∴四边形BHDE 为矩形，BE ；）由（1）知四边形设O 的半径为Rt AOH △解得：3r =即：O 的半径为31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．DE CFDE CF为O的切线．）过点C作CHACB为等腰直角三角形，42，AH=22【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．是O 的半径；是O 的切线；）解：∵C ∠=132CD =DE ，180BDO =︒−∠33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示））根据题意得出ABC 是等边三角形，则CE =，设BD ，证明(AAS AFB CDB ≌①当D 在BC 上时，在AD 上截取证明CAB DEB ∽，ABE V AB ⊥于点F ，得出2AB BC =进而即可得出结论；②当D AG ，证明CAB DAG ∽，CAD BAG ∽，同①可得AB =∴ABC 是等边三角形，则∵O 是ABC 的外接圆，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD BC ⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形，120CDB ∠=︒DBC =∠=在Rt BDE △中，∴cos30BE BD =︒⋅=∴3BC =，∵AD 是直径，则ABD ?∵AB AB =∴60ADB ACB ∠=∠=∴DBF 是等边三角形，∴BF BD =，则BFD ∠∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB CDB ∠=∴ABC 是等边三角形，则在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠∠=∠= ∴(AAS AFB CDB ≌AF CD =，AD BD AD DF −=−AD BD CD −=；3）解：①如图所示，当在AD 上截取DE BD =∵AB AB =∴ACB ADB ??又∵,CA CB DE DB ==∴CAB DEB ∽，则∠AB BC EB BD =即AB BC =又∵ABC EBD ∠=∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ∽Rt BCF 中，sin 2BC α⋅=∴2sin2AB BC α=⋅ ∴2sin 2AD BD CD α−=，即②当D 在AB 上时，如图所示，延长∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴180GDA ACB ∠=∠=又∵,CA CB DG DA ==∴CAB DAG ∽，则∴AC AB AD AG =即AC AB =又∵CAB DAG ∠=∠CAD BAG ∠=∠∴CAD BAG ∽CD AC BG AB=， BG BD DG BD =+=同①可得2sin AB AC =⋅CD AC ==34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．可证明ADG AEF ∽，CDA △60AFE =︒，∽，，ADG AEF，=∠，ABD ACDBGD，∽，∵ADG AEFAD GD=，AE EFAD AE=，GD EFAC AE=，BD EF=，AE AC。

中考数学第22题专题训练(圆及平行四边形)

22题如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．娄底市卷（2016）如图，将等腰∠ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到∠A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：∠BCF∠∠BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．邵阳市卷（2016）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE，求证：AE=CF．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．第17题图（1）求证：△AOD ≌△BOC ；（2）求证：AD ∥BC ．如图，在中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，连接AF ，CE . 求证：AF =CE .如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE=CD ；（2）连接BF ，若BF∠AE ，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。

（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度。

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O,(1) 求证：△AEO≌△CDO；（2）若∠OCD=30°，AB=3,求△ACO的面积；如图，A，P，B，C是半径为8的∠O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：∠ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。

备战2021年四川中考数学必考专题 22 解直角三角形(解析版)

备战2021年四川中考数学必考专题22 解直角三角形一．选择题（共3小题）1．（2019•绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（）A．B．C．D．【点拨】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【解析】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ﹣5sinθ＝5，∴cosθ﹣sinθ，∴（sinθ﹣cosθ）2．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．2．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C，则sin B的值为（）A．B．C．D．【点拨】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在R t△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD，∴AB2，∴sin B．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB 的长是解题的关键．3．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x ＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．【点拨】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K 为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．【解析】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO，∴，∴OE，∴AE，作EH⊥AB于H．∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH，∴AH，∴tan∠BAD，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二．填空题（共4小题）4．（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．【点拨】根据正弦的定义解答．【解析】解：在Rt△ABC中，sin A，故答案为：．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．5．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【点拨】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．6．（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解析】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a a，∴AD a，∴cos（α+β）．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．7．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C．则AB边的长为．【点拨】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C，∴，∴CH，∴AH，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH，故答案为．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题）8．（2019•内江）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）【点拨】作AE⊥BC于E，设BE＝x，利用正切的定义用x表示出EC，结合题意列方程求出x，计算即可．【解析】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE，设BE＝x，在Rt△ABE中，tan BAE，则AE x，∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE x，由题意得，BE+CE＝120，即x+x＝120，解得，x＝60（1），∴AD＝CE x＝180﹣60，∴DC＝180﹣60，答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【点拨】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．10．（2019•广元）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．（以下结果保留根号）（1）求B，C两处之间的距离；（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．【点拨】（1）作CE⊥AB于E，则∠C EA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90，∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，得出△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，得出CE＝AE，∠BCE＝30°，由直角三角形的性质得出CE BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE x，AE＝BE+AB ＝x+90，得出方程x＝x+90，解得：x＝4545，得出BC＝2x＝9090即可；（2）作DF⊥AB于F，则DF＝CE x＝135+45，∠DBF＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝2DF＝270+90，即可得出结果．【解析】解：（1）作CE⊥AB于E，如图1所示：则∠CEA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，∴CE＝AE，∠BCE＝30°，∴CE BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE x，AE＝BE+AB＝x+90，∴x＝x+90，解得：x＝4545，∴BC＝2x＝9090；答：B，C两处之间的距离为（9090）海里；（2）作DF⊥AB于F，如图2所示：则DF＝CE x＝135+45，∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF＝270+90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为3（小时）；答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3）小时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．11．（2019•眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．【点拨】由i EC2＝CD2，解得DE＝20m，EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB ＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，tan∠ADG，代入即可得出结果．【解析】解：在Rt△DEC中，∵i，DE2+EC2＝CD2，CD＝20，∴DE2+（2DE）2＝（20）2，解得：DE＝20（m），∴EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，∵tan∠ADG，∴，解得：x＝50+30．答：楼AB的高度为（50+30）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．12．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【点拨】（1）由题意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD40，AD AH＝2020，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（2020）海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【点拨】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE，∴AE，∴BE＝300，又BF＝DE＝x，∴CF＝414﹣x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝DF，即：300414﹣x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键．14．（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）【点拨】过A作AH⊥BC于H，过E作E G⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH，求得BG＝BH﹣HG，得到FG，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．【解析】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝97，∴S梯形ABFE（2+97）×9，∴共需土石为200＝900（95）立方米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C（结的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【点拨】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．【解析】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）【点拨】设AM＝x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题意列方程，解方程得到答案．【解析】解：设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM，则EM x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据： 1.4， 1.7）【点拨】（1）由∠HFE＝45°知HE＝EF＝10，据此得BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5；（2）设DE＝x米，则DG x米，由∠GFD＝45°知GD＝DF＝EF+DE，据此得x＝10+x，解之求得x的值，代入CG＝DG+DC x+1.5计算可得．【解析】解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DE tan60°DE，设DE＝x米，则DG x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴x＝10+x，解得：x＝55，∴CG＝DG+DC x+1.5（55）+1.5＝16.5+525，答：教学楼CG的高约为25米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84. 1.41， 1.73）【点拨】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．【解析】解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE 1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB0.6（m），答：AB的长约为0.6m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（）A ．1B ．12C ．13D ．14（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23. （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠BCA 的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·PA ，只需证明PE 2= PF ·PA . 证△PEF ∽△PAE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：1PC =12（1PA +1PB ）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A 级1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .（四川省竞赛试题）PD（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2（辽宁省中考试题）MD CBAC（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，则两圆组成的圆环的面积为（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，若AB =12，CD =9，则MD =（）A ．3B ．3 3C ．6D ．6 38．如图，⊙O 的直径AB =10，E 是OB 上一点，弦CD 过点E ，且BE =2，DE =22，则弦心距OF 为（） A ．1 B ． 2C ．7D ． 3（包头市中考试题）B（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AD =6，AE =62，求DE 的长.（南京市中考试题）10．如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知：BE 2=DE ·EA .求证：（1）PA =PD ；（2）2BP 2=AD ·DE .（天津市中考试题）11．如图，△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC .已知⊙O 过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G .求证：AD ⊥BF .（全国初中数学联赛试题）（第11题图）（第12题图）12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A . 连结CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连结BD 并延长交边AC 于点F.（1）求证：AD ·AC =DC ·EA ；（2）若AC =nAB （n 为正整数），求tan ∠CDF 的值.（太原市竞赛试题）B 级1．如图，两个同心圆，点A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若AX ·AY =8，则圆环的面积为（） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于A ，PA =8，直线PCB 交圆于C 、B ，且PC =4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC =α，∠ACB =β. 连结AB 、AC ，则sin αsin β的值等于（） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4（黑龙江省中考试题）βαPAD CB（第1题图）（第2题图）（第3题图）3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（）A ．23 B ．22 C ．556 D ．5544．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=12，PC=10cm，求△BCD 的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是⌒BC的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）PA DCEACB（第7题图）（第8题图）8．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB BD =PCCD .（四川省竞赛试题）9．如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在的直线的解析式分别为：y =43x 和y =32534+-x .D 、E 分别为边OC 和AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，其交点为Q ．（1）求证：点Q 为△COP 的外心；（2）求正方形OABC 的边长；（3）当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．（河北省中考试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10．如图，已知BC 是半圆O 的直径，D 是 ⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E . （1）求证：AC ·BC =2BD ·CD ；（2）若AE =3，CD =25，求弦AB 和直径BC 的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）专题22 与圆相关的比例线段例 1 设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24. 例2 C例3 1 提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，. 例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△P AE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.例 6 解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线∴，即.解法二：如图2，联结PO 交ST 于D ，则PO ⊥ST .联结SO ，作OE ⊥PB 于E ，则E为AB 的中点，于是.∵C ，E ，O ，D 四点共圆，∴.∵Rt △SPD ∽Rt △OPS ，∴，∴，即.A 级 1. 2. 提示：△BDE ≌△CFE ，DE =EF ，OF =FE =ED ，设OF =x ，则OA =OD =3x ，AE =5x ，由，得，∴. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)，△AED ∽△ABE ，=.设DE =，BE =2x ，而，解得x =.∴DE =. 10.（1）略（2）.可得PB =BD =PD ，∴PB =PD =DC ，∴又∵BD CD =AD DE ，∴. 11.作DE ⊥AC 于E ，则AC =AE ，AG =DE .由切割线定理得，故,即.∵AB =5DE ，∴,于是.又∠BAF =∠AED =90°，∴△BAF ∽△AED ，于是又∠ABF =∠EAD . ∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD ⊥BE. 12. ⑴如图，连接AD ，AE. ∵∠DAC=∠DAE ，∴△ADC ∽△EAC AD EAAD AC DC EA DC AC⇒=⇒•=•. ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA ，∴tan ∠CDF=tan ∠DEA=AD AE .由⑴知=AD DC AE AC ，故tan ∠CDF= DCAC.由圆的切割线定理知2AC DC EC =•，而EC=ED+DC ，则()2AC DC DC ED =+.又AC=nAB ，ED=AB ，代入上式得()22n AB DC DC AB =+，即222n 0DC AB DC AB +•-=，故2114n =2DC -+.显然，上式只能取加号，于是214n 1n DC DC tan CDF AC AB +-∠==.B 级1. B2. B3. C4. A5. 提示：1=2AD CD AC tanB CDDB BC===.设AD=x ，则CD=2x ，DB=4x ，AB=5x ，由△PAC ∽△PCB 得，1=2PA AC PC CB =，∴PA=5，又2PC PA PB =•，即()210=555x +，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴1362BCDSCD DB =•=. 6. ⑴略. ⑵连接FB ，证明PF=PE ，∠BFA=∠AFC.7. ⑴能.连接BC ，作∠ACE=∠B ，CE 交AB 于E. ⑵ PB 与⊙O 相切. ⑶C 是PE 的中点.8. 连接OA 、OB 、OC ，则2PA PD PO PB PC =•=•，于是，B 、C 、O 、D 四点共圆，有△PCD ∽△POB ，则=PC PO POCD OB OC= ①，又由POC ∽△PBD 得PO PB OC BD = ②，由①②得PB PCBD CD=. 9. ⑴略 ⑵ A （4,3），OA=5. ⑶P （3，94）. 10. ⑴延长BA ，CD 交于点G ，由Rt △CAG ∽Rt △BDC ，得AC CG BD BC =，即AC BC BD CG •=•，又12DG CD CG ==，故2AC BC BD CG •=•. ⑵由Rt △CDE ∽Rt △CAG ，得CE CDCG AC =，即2545=，解得CE=5，从而AG= ()()222245354CG AC +=--=，GA GB GD GC •=•，即()442545AB +=⨯，解得AB=6，()222261035BC AB AC =+==++.11. 延长AD 交⊙O 于E ，连接PE 、BE 、CE ，∵PA 为⊙O 的切线，PO ⊥AE ，∴PE=PA ，12AD DE AE ==，易证△PAB ∽△PCA ，△PEB ∽△PCE ，∴,AB PA EB PE AC PC EC PC ==，则AB EB AC EC=，即AB EC AC EB •=•，由托勒密定理得=AB EC AC EB AE BC •+••. ∴=AB EC AC EB AD BC •+••，即AB BC AC BC AD EC AD EB==，，有∵∠BAE=∠BCE ，∠CAD=∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，△CAD ∽△CBE ，则△ABD ∽△CAD ，∴AD CD BD AD =，故2AD BD CD =•.。

专题22 二次函数与实际问题：增长率问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题22 二次函数与实际问题：增长率问题一、单选题1．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（） A ．7.9(12)y x =+ B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++【答案】C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．2．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为x ，则该工厂3月份的产值y 与x 之间的函数解析式为（）A ．()5001y x =+B ．()25001y x =+C ．2500y x x =+D ．2500y x x =+【答案】B【分析】月增长率是x ，3月份的产值等于1月份的产值乘()21x +．【详解】解：1月份产值是500万元，增长率是x ，则2月份产值是()5001x +万元，3月份产值是()25001x +万元， ∴()25001y x =+．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y ＝x 2＋aB ．y ＝a （1＋x ）2C ．y ＝（1﹣x ）2＋aD ．y ＝a （1﹣x ）2 【答案】B【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程．【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车a （1+x ）2辆，则y=a （1+x ）2．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．4．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x 倍，两年后产品年产量y 与x的函数关系是( )A ．y=20（1﹣x ）2B ．y=20+2xC ．y=20（1+x ）2D ．y=20+20x 2+20x 【答案】C【解析】由题意，得一年后该产品的年产量应为：20+20x =20(1+x )∴两年后该产品的年产量应为：[20(1+x )]+[20(1+x )]x =20(1+x )2∴故两年后该产品年产量应为∴y =20(1+x )2或y =20x 2+40x +20 (一般形式).故本题应选C.5．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，关于代数式300（1+x ）2下列说法正确的是（）A ．2007年已有的绿化面积B ．2008年增加的绿化面积C ．2008年已有的绿化面积D ．2007、2008年共增加的绿化面积【答案】C【分析】利用“增长后的量=增长前的量⨯（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，写出代数式2300(1)x +的实际意义即可.【详解】2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，代数式2300(1)x +表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积故选：C.本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键.6．某工厂2017年产品的产量为a 吨，该产品产量的年平均增长率为x （0x >），设2019年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．2(1)y a x =-B ．2(1)a y x =+ C ．2(1)y a x =+D ．2(1)(1)y a a x a x =++++【答案】C【分析】经过两次增长，变化后的量=变化前的量×（1+增长率）2，代数题目数据即可得出关系式.【详解】解：根据题意得2(1)y a x =+，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用——增长率问题，熟记增长率问题的关系式是解题的关键.7．一辆新汽车原价20万元，如果每年折旧率为x ，两年后这辆汽车的价钱为y 元，则y 关于x 的函数关系式为（） A ．220(1)y x =+B ．220(1)y x =-C ．()201y x =+D ．220y x =+【解析】【分析】一年后的价格为20(1-x)∴两年后的价格为20(1-x) (1-x).【详解】解∴由题意可知两年后的价格为220(1)x -∴则列出方程为：220(1)y x =-【点睛】理解两年后的价格是以一年后的价格为基础是本题的关键.8．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ∴ A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x【答案】A【详解】一年后的本息和为500(1+x )∴这也是第二年的本金，所以两年后的本息和y =500(1+x )2.故选A.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，关键在于找到本息和的等量关系，要注意的是第二年的本金为第一年的本息和.9．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．y ＝100（1﹣x ）2B ．y ＝100（1+x ）2C ．y ＝2100(1)x + D ．y ＝100+100（1+x ）+100（1+x ）2【答案】B【解析】根据题意，由“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”得：y 关于x 的函数关系式为y=100（1+x ）2.故选B ．点睛：本题主要考查列二次函数解析式，得到2017年产量的等量关系是解决本题的关键．10．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 的函数关系为（ ∴A ．2(1)y a x =-B ．2(1)y a x =-C ．22(1)y a x =-D ．2(1)y a x =-【答案】D【解析】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)∴第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2∴y=a(1−x)2.故选D.11．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y ＝x 2+aB ．y ＝a(x －1)2C ．y ＝a(1－x)2D ．y ＝a(l+x)2【答案】D【分析】本题是增长率的问题，基数是a 元，增长次数2次，结果为y ，根据增长率的公式表示函数关系式．【详解】解：依题意，得y=a （1+x ）2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．12．你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%∴即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．∴1+x∴2=1110 B ．x+2x=1110 C ．∴1+x∴2=109 D ．1+2x=109【答案】C【详解】解：设票股价的平均增长率x .则290%(1)1x +=，即210(1)9x +=，故选C二、解答题13．某公司的生产利润原来是(0)a a >万元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长率都是x ，写出利润y 与增长的百分率x 之间的函数解析式，它是什么函数？【答案】见解析．【分析】根据增长率的问题，基数是a 元，增长次数2次，结果为y ，根据增长率的公式表示函数关系式．【详解】依题意，得：22(1)2(0)y a x ax ax a a =+=++>，此函数是二次函数.【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．14．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A 、B 两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A 型充电桩需3.5万元，安装一个B 型充电桩需4万元，且A 型充电桩的数量不多于B 型充电桩的一半.求A 、B 两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A 、B 两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x ，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A 型充电桩a 个，则安装B 型充电桩()200a -个，所需资金为w 万元，列不等式，求出a 的范围，再求出w 的函数解析式，进而可求出答案.【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x ，根据题意得：22560(1)25603200x +=+，解得:10.550%x ==，2 2.5x =-（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）设安装A 型充电桩a 个，则安装B 型充电桩()200a -个，所需资金为w 万元.根据题意，得:1(200)2a a -，解得:2663a ≤， 3.54(200)0.5800w a a a =+-=-+，∴0.50-<，∴w 随a 的增大而减小.∴a 为整数，∴当66a =时，w 最小，最小值为0.566800767-⨯+=（万元）.此时，200134a -=.答：A 、B 两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.15．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y （袋)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x ≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请求出y 与x 之间的函数关系式；（2）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y 与x 之间的函数关系式为80560y x =-+；（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【分析】（1）根据每天的销售量y （袋)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，可设y kx b =+，再将 3.5x =，280y =； 5.5x =，120y =代入，利用待定系数法即可求解；（2）根据每天的利润=每天每袋的利润⨯销售量-每天还需支付的其他费用，列出w 关于x 的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设y kx b =+．将 3.5x =，280y =； 5.5x =，120y =代入，得 3.52805.5120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得80560k b =-⎧⎨=⎩．则y 与x 之间的函数关系式为80560y x =-+．（2）由题意得：(3)(80560)80w x x =--+-2808001760x x =-+-280(5)240x =--+．∴3.5≤x ≤5.5，∴当5x =时，w 有最大值为240．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．16．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．17．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度/∴植物每天高度增长量/mm这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．【答案】（1）；（2）－1∴；（3）．【解析】试题分析：（1）根据表中数据可知应选择二次函数，再根据待定系数法求解即可；（2）先把（1）中求得的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；（3）根据“实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm”可得“植物每天高度增长量超过25mm”，再根据表中数据的特征即可作出判断.（1）选择二次函数，设，得，解得∴关于的函数关系式是．不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数；（2）由（1），得，∴，∴，∴当时，有最大值为50．即当温度为－1∴时，这种植物每天高度增长量最大．（3）．考点：二次函数的应用点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大. 18．某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大?并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支，)(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元【答案】（1）182y x =-+；（2）2110432z x x =-+-，当10x =万元时，最大月获利为7万元．（3）销售单价应定为8万元．【解析】试题分析:∴1）设直线解析式为y=kx+b ，把已知坐标代入求出k∴b 的值后可求出函数解析式；∴2）根据题意可知z=411yx y --，把x=10代入解析式即可；∴3）令z=5，代入解析式求出x 的实际值．试题解析：（1）设y kx b =+，它过点56{48k b k b=+=+∴ 解得：1{28k b =-=∴ 182y x ∴=-+ ∴2∴()2114118411104322z yx y x x x x ⎛⎫=--=-+--=-+- ⎪⎝⎭∴当10x =万元时，最大月获利为7万元．∴3）令5z =∴ 得21510432x x =-+-∴ 整理得：220960x x -+=解得：18x =∴212x =由图象可知，要使月获利不低于5万元，销售单价应在8万元到12万元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使月获利不低于5万元，销售单价应定为8万元．19．某市在城中村改造中，需要种植A 、B 两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A 、B 两种树苗的成本价及成活率如表：设种植A 种树苗x 棵，承包商获得的利润为y 元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工．【答案】(1)y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）．(2)购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．(3)安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工．【解析】试题分析：（1）由购买A种树苗x棵，可得出购买B种树苗（3000﹣x）棵，根据“总利润=报价﹣购买A 种树苗钱数﹣购买B种树苗钱数”即可得出y关于x的函数关系式；（2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，即可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，根据每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵且同时完工，可列出关于m的分式方程，解分式方程求出m的值，检验后即可得出结论．试题解析：（1）根据题意，得：购买B种树苗（3000﹣x）棵，∴y与x之间的函数关系式为y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）．（2）根据题意，得：90%x+95%（3000﹣x）≥93%×3000，解得：x≤1200，∴y=12x+30000中k=12＞0，∴当x=1200，3000﹣1200=1800时，y取最大值，最大值为44400．答：购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．（3）设安排m 人种植A 种树苗，则有（40﹣m ）人种植B 种树苗，根据题意，得：12006m =18003(40)m -，解得：m=10．经检验，m=10是分式方程的解，且符合实际，此时40﹣10=30（人）．答：安排10人种植A 种树苗，30人种植B 种树苗，恰好同时完工．【考点】一次函数的应用．三、填空题20．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．【答案】a （1+x ）2【解析】试题分析：∴一月份新产品的研发资金为a 元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，∴2月份研发资金为(1)a x +，∴三月份的研发资金为2(1)(1)(1)y a x x a x =++=+．故答案为2(1)a x +．考点：根据实际问题列二次函数关系式．21．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的关系表示为___________∴【答案】250(1)y x =+【分析】如果起始是a ,增长率是b ,第一个月以后是a+ab=a (1+b);第二个月是a (1+b)2.【详解】第二个月是50（1+x),第三个月是50(1+x)2所以答案为y=50(1+x)2【点睛】考查了增长率问题．22．我市2017年平均房价为6500元/m 2.若2018年和2019年房价平均增长率为x ，则预计2019年的平均房价y （元/m 2）与x 之间的函数关系式为_______________.【答案】()265001y x =+【分析】首先根据题意可得2018年的房价=2017年的房价×(1+增长率)，2019年的房价=2018年的房价×(1+增长率)，由此可得2019年的平均房价y 与x 之间的函数关系式.【详解】解：由题意得：26500(1)y x =+ 故答案为：26500(1)y x =+【点睛】本题考查了二次函数增长率问题，解决本题的关键是熟练掌握增量率模型.23．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是______．【答案】22001y x =+（）或2200400200y x x =++ 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x 表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．【详解】解：设增长率为x ，则五月份的营业额为：200(1)y x =+，六月份的营业额为：22202004002(1)000x x y x +==++；故答案为：2200(1)y x =+或2200400200y x x =++.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）=a （1±x ）2．增长用“+”，下降用“-”．24．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A 、B 两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B 商品的数量比A 商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A 商品正打九折销售，而B 商品的价格提高了20%，小明决定将A 、B 产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．【答案】312.【分析】设A 商品的单价为x 元/件，则B 商品的单价为（27﹣x ）元/件，计划购买A 商品a 件，则B 商品为（a +2）件，根据题中等量关系可列出关于x 的方程，用含a 的式子表示出x ，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a 的值，易求x 的值.【详解】设A 商品的单价为x 元/件，则B 商品的单价为（27﹣x ）元/件，计划购买A 商品a 件，则B 商品为（a +2）件，根据题意可得：0.9x ×（a +2）+1.2×（27﹣x ）×a ＝xa +（27﹣x ）（a +2）+8，∴x ＝62 5.40.3 3.8a a --+， ∴a ≥3，a +2≥3，a +a +2≤25，x ，a 均为整数，∴a ＝10，x ＝10∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，故答案为：312.【点睛】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.25．某工厂第一年的利润是40万元,第三年的利润是y 万元,则y 与平均年增长率x 之间的函数关系式是___________.【答案】240(1)y x =+【分析】本题是关于增产率的问题，根据增产率可由第一年的利润得到第二年和第三年的利润．【详解】解：设增产率为x ，∴第一年的利润是40万元，∴第二年的利润是40（1+x ），∴第三年的利润是40（1+x ）（1+x ），即40（1+x ）2；∴240(1)y x =+（x ＞0）．故答案为：240(1)y x =+.【点睛】根据增产率由第一年的利润可知第二年和第三年的利润，寻找等量关系准确列出函数关系式．26．某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是______________．【答案】)0(2040202>++=x x x y【解析】【分析】本题是关于增产率的问题，根据增产率可由第一年的利润得到第二年和第三年的利润．【详解】解：设增产率为x ，因为第一年的利润是20万元，所以第二年的利润是20（1+x ），第三年的利润是20（1+x ）（1+x ），即20（1+x ）2，依题意得函数关系式：y=20（1+x ）2=20x 2+40x+20 （x ＞0）故答案为y=20x 2+40x+20 （x ＞0）．【点睛】根据增产率由第一年的利润可知第二年和第三年的利润，寻找等量关系准确列出函数关系式．27．某产品年产量为30台，计划今后每年比前一年的产量增长率为x ，试写出两年后的产量y 台与x 的函数关系式：________∴【答案】230(1)y x =+【分析】根据题意表示出一年后的产量y 台与x 的函数关系式，进而得出两年后的产量y 台与x 的函数关系式．【详解】∴某产品年产量为30台，计划今后每年比前一年的产量增长率为x∴∴一年后的产量y 台与x 的函数关系式为：y=30∴1+x∴∴∴两年后的产量y 台与x 的函数关系式为：y=30∴1+x∴∴1+x∴=30∴1+x∴2∴故答案为y=30∴1+x∴2∴【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出一年后的产量y 台与x 的函数关系式是解题关键．28．已知某农机厂第一个月水泵的产量为100台，若平均每月的增长率为x ，则第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系式是________∴【答案】2y 100(1x)=+【分析】设每月增长率为x ，据题意可知第三个月的产量为100∴1+x∴2台∴由此即可解答∴【详解】∴第一个月水泵的产量为100台，平均每月的增长率为x∴∴第三个月的产量为100∴1+x∴2台，∴y=100∴1+x∴2∴故答案为y=100∴1+x∴2∴【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a∴1±x∴2=b∴29．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x ＞0)，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数解析式是_____．【答案】y=10（x+1）2【解析】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y 关于x 的函数解析式是y=10（x+1）2.故答案为y=10（x+1）230．某纸箱厂第1年的利润为50万元，如果每一年比上一年的利润增长率相同，都是x ，则第3年的利润为____万元．【答案】50（1+x ）2【解析】试题分析：根据题意可知：第2年的利润为：50(1+x)万元，第3年的利润为：50(1+x)(1+x)=()2501x +万元．。

中考数学复习考点题型专题练习22 与二次函数相关的压轴题

中考数学复习考点题型专题练习专题22 与二次函数相关的压轴题解答题1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，14a）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣14a上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣14a叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= 12a ，例如，抛物线y＝12x2，其焦点坐标为F（0，12），准线方程为l：y＝﹣12．其中MF=MN，FH=2OH=1．(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段AB 分为两段AC 和CB ，使得其中较长一段AC 是全线段AB与另一段CB 的比例中项，即满足：AC AB ＝BC AC 这个数称为“黄金分割”把点C 称为线段AB 的黄金分割点．如图4所示，抛物线y ＝14x 2的焦点F （0，1），准线l 与y 轴交于点H （0，﹣1），E 为线段HF 的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点．当MHMF请直接写出△HME 的面积值．2．（2022·江苏无锡）已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·山西）综合与探究：如图，二次函数213442y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m ．过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)当CEP △是以PE 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)连接AC ，过点P 作直线l AC ∥，交y 轴于点F ，连接DF ．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P ，使得CE FD =，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·四川宜宾）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，其顶点为点D ，连结AC ．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，将点D 向下平移5个单位得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PF PM +的最小值．5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线2=-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移y x c后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线2=-+交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是y x c否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线2=-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公y x c共点时，请直接写出拋物线2y x c=-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．B（A在6．（2022·广西玉林）如图，已知抛物线：22y x bx c与x轴交于点A，(2,0)B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线1x=，P是第一象限内抛物线上的任一点．2(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OC 的中点，则POD 能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P 作x 轴的垂线与线段BC 交于点M ，垂足为点H ，若以P ，M ，C 为顶点的三角形与BMH 相似，求点P 的坐标．7．（2022·广西）已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)求点A ，点B 的坐标；(2)如图，过点A 的直线:1l y x =--与抛物线的另一个交点为C ，点P 为抛物线对称轴上的一点，连接PA PC 、，设点P 的纵坐标为m ，当PA PC =时，求m 的值；(3)将线段AB 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN ，若抛物线2(23)(0)y a x x a ++≠=-与线段MN 只有一个交点，请直接写出．．．．a 的取值范围．8．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标； (3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线2y ax 2x c =++的对称轴是直线1x =，与x 轴交于点A ，()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为点M ，DM 交直线BC 于点N ，是否存在这样的点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F ，使以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022·湖南长沙）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M Nh -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． (1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式； (2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； (3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．11．（2022·湖北武汉）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段CB x ∥轴，交该抛物线于另一点B ．(1)求点B 的坐标及直线AC 的解析式：(2)当二次函数223y x x =--的自变量x 满足2m x m +时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值：(3)平移抛物线223y x x =--，使其顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．12．（2022·内蒙古通辽）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若12PBCABCS S =，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．13．（2022·山东烟台）如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，对称轴为直线1x =-，顶点为点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA ，DC ，CB ，CA ，如图①所示，求证：DAC BCO ∠=∠； (3)如图②，延长DC 交x 轴于点M ，平移二次函数2y x bx c =-++的图象，使顶点D 沿着射线DM 方向平移到点1D 且12CD CD =，得到新抛物线1y ，1y 交y 轴于点N ．如果在1y 的对称轴和1y 上分别取点P ，Q ，使以MN 为一边，点M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标．15．（2022·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为；(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．16．（2022·湖南）如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，3CE=．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF 向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与BOC∆相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点．若过点Q的直线9:()4l y kx m k=+<与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH GK+为定值．17．（2022·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax c a=+≠与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2,0)，顶点C的坐标是(0,4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记AOG MOG ，的面积分别为12,S S ．当122S S =，且直线CN AM ∥时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；(3)如图2，直线BM 与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得27OH OG -=．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线443y x =--分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线2518y x bx c =++恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是()0,6，将ACO △绕着点C 逆时针旋转90°得到ECF △，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP EP +取最小值时，点P 的坐标．19．（2022·辽宁锦州）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,(4,0)A B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -，点P 在抛物线上，连接,BC BP ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记DCE 的面积为1S ，DBP 的面积为2S ，当12S S 时，求点P的坐标；(3)如图2，若点P 在第二象限，点F 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与线段BC 交于点G ，当90PBC CFG ∠+∠=︒时，求点P 的横坐标．20．（2022·辽宁）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A 和(1,0)B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接OD 交AC 于点N ，当DNON的值最大时，求点D 的坐标；(3)P 为抛物线上一点，连接CP ，过点P 作PQ CP ⊥交抛物线对称轴于点Q ，当3tan 4PCQ ∠=时，请直接写出点P 的横坐标．21．（2022·辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++经过点127,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点．(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD AB⊥，垂足为D，作PE x⊥轴，垂足为E，交AB于点F，设PDF的面积为1S，BEF的面积为2S，当1249 25SS=时，求点P坐标；(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m=++（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．23．（2022·海南）如图1，抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、，并交x 轴于另一点B ，点(,)P x y 在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图2，作,CG CP CG ⊥交x 轴于点(,0)G n ，点H 在射线CP 上，且CH CG =，过GH 的中点K 作KI y ∥轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直接写出点G 的坐标．24．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y 轴上是否存在点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；∥轴，分别交BC、x轴于(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ y点M、N，当PMC△中有某个角的度数等于OBC∠度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．25．（2022·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++（b，c是常数）经y x bx c过点(1,0)A，点(0,3)B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围；(3)若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．①求m 的值；②以PA 为边作等腰直角三角形PAQ ，当点Q 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q 的坐标．26．（2022·黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax b =+经过点521,28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,28B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点D 在该抛物线上，点D 的横坐标为2-，过点D 向y 轴作垂线，垂足为点E ．点P 为y 轴负半轴上的一个动点，连接DP 、设点P 的纵坐标为t ，DEP 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，连接OA ，点F 在OA 上，过点F 向y 轴作垂线，垂足为点H ，连接DF 交y 轴于点G ，点G 为DF 的中点，过点A 作y 轴的平行线与过点P 所作的x 轴的平行线相交于点N ，连接CN ，PB ，延长PB 交AN 于点M ，点R 在PM 上，连接RN ，若35CP GE =，2PMN PDE CNR ∠+∠=∠，求直线RN 的解析式．27．（2022·湖北宜昌）已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 由直线BC 平移得到，与y 轴交于点()0,E n ．四边形MNPQ 的四个顶点的坐标分别为()1,3M m m ++，()1,N m m +，()5,P m m +，()5,3Q m m ++．(1)填空：=a ______，b =______；(2)若点M 在第二象限，直线l 与经过点M 的双曲线ky x=有且只有一个交点，求2n 的最大值；(3)当直线l 与四边形MNPQ 、抛物线22y ax bx =+-都有交点时，存在直线l ，对于同一条直线l 上的交点，直线l 与四边形MNPQ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线22y ax bx =+-的交点的纵坐标．①当3m =-时，直接写出n 的取值范围；②求m 的取值范围．28．（2022·四川达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数22y ax bx =++的图象经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接BC ，在该二次函数图象上是否存在点P ，使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l 为该二次函数图象的对称轴，交x 轴于点E ．若点Q 为x 轴上方二次函数图象上一动点，过点Q 作直线AQ ，BQ 分别交直线l 于点M ，N ，在点Q 的运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．29．（2022·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB 交于点()0,4A -，()4,0B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方拋物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．30．（2022·江苏苏州）如图，在二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求OBC ∠的度数；(2)若ACO CBD ∠=∠，求m 的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围．。

中考九年级数学22题解题技巧

中考九年级数学22题解题技巧
中考九年级数学22题一般有一定的难度，不过第一问都比较简单，第二问则属于拉分的题目。

22题除了考察三角形的相似和全等、直角三角形中的计算，还穿插一些别的知识点的考察，对同学们的能力要求较高，所以同学们一定要熟记常用的知识点。

这一题的辅助线相当的重要，几种基本的辅助线类型如下：
1连接切点与圆心。

2过圆心做切线垂线（1、2都是用来证切线的，比较简单）。

3将直径所对的角补全。

4做垂线。

剩下的辅助线大多就是连接原有的点，具体连哪个需要根据我们求的来倒推。

2020年浙江省绍兴市中考数学第22题四边形专题训练含答案

2020年浙江省绍兴市中考数学第22题四边形专题训练1.（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE的长；（2）如图，在（1）的条件下，连结AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长.2.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点.（1）求证：△ADE≌△ABF.（2）求△AEF的面积.3.小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°.（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论.（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系.4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF.则线段BE和AF数量关系________.（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值.5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点c重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；（2）猜想与发现：在(1)的条件下，请判断DM，MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM，MN的数量关系是________；结论2：DM，MN的位置关系是________；（3）拓展与探究：如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）当EF⊥BD时，求AE的长.7.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，则对角线BD的长为________；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；________（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.直接写出AE的长为________.8.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC.（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长.9.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，点E在边CD上移动连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′CE，点B、C的对应点分别为点B′、C′（1）当点E与点C重合时，设B′C′与AD的交点为F，若AD＝4DF，则AD＝________（2）若AD＝6，B′C′的中点记为P，则DP的取值范围是________10.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2.在AB的垂直平分线上是否存在点P使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由.11.现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F.（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积.12.（1）【问题探究】如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF.线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线.①求证：△ABE≌△DAF.②判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由.（2）【问题探究】如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G.若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为________.13.已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF＝90°（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积.14.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.②若AC⊥BD，求证：AD=CD.（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.15.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.16.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC．（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC．17.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE.F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC.（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC.18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF（1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形.19.如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH.（1）①求证：△ADE≌△BAG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值.20.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.①若点G为DE的中点，求FG的长.②若DG＝GF，求BC的长.（2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.答案1. （1）解：∵AB ＝AC ＝2，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝ 2√2 ，∵四边形DEFG 是正方形，∴DE ＝DG ＝GF ＝EF ，∠DGF ＝∠EFG ＝90°，∴∠BGD ＝∠CFE ＝90°，∴∠B ＝∠BDG ＝45°，∠C ＝∠CEF ＝45°，∴BG ＝DG ， CF ＝EF ，∴BG=FG=FC=DE ，∴DE ＝ 13 BC ＝2√23 .（2）解：∵DE ∥BC ，∴ MN GF =AN AF =AE AC =DE BC ， ∴ 2√23=13 ，∴MN ＝2√29（3）解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝∠C ＝36°，∵BA ＝NB ，∴∠ANB ＝∠BAN ＝72°，∵AM ＝AN ，∴∠AMN ＝∠ANM ＝72°，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAN ＝36°，∴BM ＝AM ＝AN ，设MN ＝x ，则AN ＝AM ＝BM ＝2﹣x.∵△NAM ∽△NBA ，∴AN 2＝NM •NB ，∴（2﹣x ）2＝2x ， ∴x ＝3﹣ √5 或3+ √5 （舍弃） ∴MN ＝3﹣ √5 .2. （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠D=∠B=90°，DC=CB ，∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE= 12 DC ，BF= 12 BC ，∴DE=BF ，在△ADE和△ABF中，{AD=AB∠B=∠DDE=BF，∴△ADE≌△ABF（SAS）（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF= 12×4=2，CE=CF= 12×4=2，∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣12×4×2﹣12×4×2﹣12×2×2=63. （1）证明：∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝90°（2）解：如图②，连接AC，BD，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD =12 AC =12BD，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴OE =12AC，∴OE =12BD，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE（3）解：如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，由（2）知，∠BED＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，过点B作BF⊥AE于F，∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，∴AB＝2BF，AF＝√3 BF，∴AE＝2 √3 BF，∴AE＝√3 AB，∴BC＝√3 AB.4.（1）BE＝AF（2）解：成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立（3）AE的最大值为3.5. （1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，CE=CF。

2023年中考数学压轴题专题22 二次函数与新定义综合问题【含答案】

专题22二次函数与新定义综合问题【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．（1）当n＝0时．①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝．11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：①c的取值范围；②直接写出∠EMN的度数．12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q 点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为，点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q 称为“靶点”．（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a ＝，b＝，c＝；（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P 的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是；（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x 轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA ＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．特例感知“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；（1）下列结论正确的是（填序号）．①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；③抛物线y1，y2，y3有两个交点．形成概念把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线y n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，y n．抛物线y n与x轴的交点为A n，B n．探究问题（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，y n都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．②抛物线y n的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△A n B n∁n是直角三角形？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．③当n≥4时，抛物线y n与x轴的左交点A n，与直线y＝3的一个交点为D n，且点D n不在y轴上．判断A n A n+1和D n D n+1是否相等，并说明理由．20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y ＝x 2+2x ﹣3中，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴G （0，﹣3）；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，t 2+t ﹣1），N （t ，0），∴NM ＝﹣t 2﹣2t +3，DM ＝t 2+t ﹣1﹣（t 2+2t ﹣3）＝﹣t 2﹣t +2，∴＝＝；（3）存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y ＝x 2+2x ﹣3的对称轴为直线x ＝﹣1，∵E 点与H 点关于对称轴x ＝﹣1对称，∴E （﹣2，﹣1），设F （x ，0），①当EG ＝EF 时，∵G （0，﹣3），∴EG ＝2，∴2＝，解得x ＝﹣2或x ＝﹣﹣2，∴F （﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG ＝FG 时，2＝，此时x 无实数根；综上所述：F 点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（，）是函数y ＝x 图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y ＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y ＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；当抛物线经过点B时，n＝1；∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（√）；②y＝﹣2x+2（√）；③y＝x2（×）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2不是“极差常函数”，（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±（不合题意，舍去）；③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝3或﹣1；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c ＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的＝x的根为：x1＝x2系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，∴m＝，整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，∴m＝3或﹣1；故答案为：﹣1；3或﹣1；（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1•x2＜3，∴﹣3＜＜3，∵a＞0，∴a＞，∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，∴．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，解得：x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y＝中，令x＝，解得：x＝2，∴A（2，2），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为4，∴×|b|×|2﹣b|＝4，当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，解得b＝﹣4，当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，解得：b＝8，综上所述，b的值为﹣4或8．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．。

全国各地中考数学试题分类汇编(第2期)专题22 等腰三角形(含解析)

等腰三角形选择题1. （2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B ．2.（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，D 为线段BC′上一动点，则AD+CD 的最小值是（）A ．4B ．32C ．23D ．2+3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．【分析】连接CC′，连接A′C 交y 轴于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C 的长度，从而得出结论．【解答】解：连接CC′，连接A′C 交l 于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，如图所示．∵△ABC 与△A′BC′为正三角形，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°， ∴A′C=2×23A′B=23．故选C ．3.（2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣ （x ﹣ 3 ）2+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选A．4.（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．5. （2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。

2025中考数学二次函数压轴题专题练习22 胡不归模型(学生版+解析版)

专题22胡不归模型一、知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP矿这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1)胡不归问题，（2)阿氏固．本文简单介绍“胡不归“模型【故丰介绍l从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据＇，两点之间线段最短＂，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？(“胡“同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？A VZ R驿道［棋型建立）如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI'在直线MN上运动的速度为忆，且冈＜忆，A、BAC BC为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使－－＋—－的值最小V2 V,MBA V2 CN（问题分析）AC B C l V V了三(B C+t AC]，记k=t即求BC+kAC的最小值．（问题解决I构造射线AD使得sin乙D儿'V=k,CH/ A C=k, CH=kAC.M A勺、＂、、,'CCH、、、令si11a＝一＝k H、、AC、、、、、、忽CH=kAC BN将问题转化为求B C+CH最小值，过B点作BH上AD交J\1N于点C,交A D于H，点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．B，，，，M A义”、、、、、、、'佥H、、、、、艾N（棋型总结】在求形如“PA+kP矿的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“1刃＋肘功”型问题转化为“PA+PC'型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段石如图， 6.ABC中，AB=AC=IO,ta叭＝2,BE_I_AC于点E,D是线段BE上的一个动点，则CD+—-BD的晟5小值是A8c乔（分析）本题关键在于处理”__:_BD",考虑tanA:o2,t,. ABE三边之比为1:2✓5,石上AB交AB于H点，则DH=－-BD,5石sin乙钮E—，故作D H5A Ac8c问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD+DH=CH= 8£=4✓5【小结1本题简单在于题目已经将B A线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线D H即可斛决问题，若稍作改变，将图形改造如下·B二三则需自行构造a,如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关锭所在．B二三渗石，l sina＝一－B夕AIII、、I、$IIIIIIHIIcI三、中考真题演练I.(2023山东中考真题）已知抛物线y=-x2+b入＋c与x轴交于A,B两点，与y轴交千点C(0,4)，其对称轴为x=－一．3y A｀l�l(1)求抛物线的表达式：(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段BC千点E,图2F，过点F作FG..lx轴，垂足为G,求FG＋丘F P的最大值．2.(2023黑龙汀绥化中考真题）如困，抛物线Y,＝少:2+bx+c的图象经过A(-6,0),8(-2,0), C(0,6)三点，且一次函数y＝虹＋6的图象经过点B.-8 -7l广X-8-7I 2(l)求抛物线和一次函数的解析式．(3将抛物线Y,=a.,\2 +bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线Y2，此抛物线的图象与X轴交于M,N两点(M点在N点左侧）．点P是抛物线Y2上的一个动点且在过线NC下方已知点P的横坐标为m.过点P作PD上NC于点D求m为何值时，CD+�PD有最大值，最大值是多少？2(2023四川内江中考真题）如图，在平面丑角坐标系中，抛物线y=w.2+b入＋c与x轴交千B(4,0),C(-2,0) 两点与y轴交于点A(0,-2)I •(I)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作轴的平行线交AB千点K,过点P作y轴的平行线l交r轴于点D,求与－PK+PD的最大值及此时点P的坐标；24.(2023天津中考真题）已知抛物线y=-入2+bx+c(b,c为常数，c>I)的顶点为P,与X轴相交于A,bB两点（点A在点B的左侧），与Y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m,且－c<m＜一，过点M2作C,垂足为N(I)若b=-2,c=3.＠求点P和点A的坐标；＠当仙V＝石时，求点M的坐标；(2)若点A的坐标为（气',0)，且MPII A C,当A N+3M N=9✓2时，求点M的坐标k5. (2023福建泉州模拟预测）如图，已知抛物线y=�(x+2)(x-4)(k为常数，且k>O)与X轴从左至右8§依次交千A,8两点，与Y轴交于点C,经过点B的宜线y=－—-x+b与抛物线的另一交点为D.y yX备用图(I)若点D的横坐标为－5,求抛物线的函数表达式；(2)在（l)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒l个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？6.(2023广西柳州二模）已知抛物线y＝少:2+b入＋c(a丑0)过点A(LO),8(3,0)两点，与Y轴交于点C, OC=3,。

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中考专题第22题---反比例函数综合
1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数)0(≠=
m x
m
y 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B 的坐标；
（3）在x 轴上求点E ，使△ACE 为直角三角形．
2、如图所示，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标(0，4)，点P 为双曲线y ＝6
x
(x ＞0)上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段 PE 、PF.
（1）平移直线AB 和双曲线y ＝6
x
(x ＞0)相交于M 、N 两点，x M ＜x N 连接MN ，MN=2AB, 求M 、N 的坐标;
（2）将线段AB 绕点A 顺时针方向旋转90°，交双曲线y ＝
6
x
(x ＞0)于点Q ，求Q 点的坐标；（3）当PE 、PF 分别与线段AB 交于点C 、D 时，则AD·BC 的值为．
O y x A
B
P 21题图
3、如图，双曲线k
y x
=
(x ＞0)经过点A (1，6)、点B (2，n )，点P 的坐标为(t ，0)，且－1≤t ＜3，求△P AB 的最大面积；
4、矩形ABCO 如图放置，点A ，C 在坐标轴上.点B 在第一象限，一次函数y=kx-3的图象过
点B ，分别交x 轴、y 轴于点E 、D ，已知C(0，3)且S △BCD =12. (1) 求一次函数表达式； (2) 若反比例函数x
k
y =过点B ，在其第一象限的图象上有点P ，且满足S △CBP =32S △DOE ,
求出点P 的坐标；
(3) 连接AC ，若反比例函数x
k
y =的图象与△ABC 的边总有两个交点，直接写出m 的取值范围。

5、如图，点A (1,6)和点M (m ，n )都在反比例函数(0)k y k x
=>的图像上.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当m =3时，求直线AM 的解析式，并求出△AOM 的面积；
(3)如图2，当1m >时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试
判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由.
6、如图，已知点A ，D 在反比例函数)0(>=
a x
a
y 的图象上，点B ，C 在反比例函数)0(<=
b x
b
y 的图象上，AB∥CD∥y 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=，CD=2，AB 与CD 的距离为3，则b a -的值是
第6题图
x
y
B
D
O
A
C
y
5题图（1）
27题图（2）
5题图
7将正方形x
=（x ＞0（1x
=（（2x
=（有交点.的取值范围；D′的坐标为 .
（3）x
=（
8、如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第二象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y= 图象的两支上，且PB ⊥y 轴于点C ，PA ⊥x 轴于点D ，AB 分别与x 轴、y 轴相交于点E 、F ．已知B （1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求证：AE=BF ；（3）当四边形ABCD 的面积为4时，直接写出点P 的坐标．
第7题图
B
A'。