2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年广东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则

，则

y=y=x+

y=

y=x+

+

4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个

B

个球的取法有

22

x+y+

=0

=，所以

6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）

对应的平面区域如图：

﹣x+x+

﹣，经过点x+的截距最小，

，解得）

×=，

7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），

﹣=1 B

﹣=1 ﹣=1 ﹣=1

：﹣e=

，=3

所求双曲线方程为：﹣

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）

9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．

﹣•

﹣=

=1

二项式（的系数为=6

10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．

11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．

，可得或B=，结合a=C=及正弦定理可求

sinB=

或B=

B=，A=

由正弦定理可得，

B=，与三角形的内角和为

12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）

=40

13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）

=20，则P=．

q=p=，

故答案为：．

14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标

为A（2，），则点A到直线l的距离为．

），对应的直角坐标方程为：

，

=

故答案为：

15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8．

OP=，

OP=BC=

OD

三、解答题

16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．

（1）若⊥，求tanx的值；

（2）若与的夹角为，求x的值．

）若⊥，则•=0

）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求）若⊥

•（，﹣sinx﹣

sinx=cosx

）∵||=1||=1•（，﹣=

与的夹角为

•=|||=，

cosx=，

），

，

∈（﹣）

=

+=

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；

（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

）中样本的均值

）由平均值公式得=

[=

．∴∈

名工人中年龄在+s

名工人中年龄在+s之间所占百分比为

18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．

（1）证明：PE⊥FG；

（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

PE==，

PDC==

=3

AP===5

PAC=

19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．

．∴，

∴

20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

联立方程组

，

，其中﹣＜

）=，其中＜

，﹣，

联立方程组，

±，

的端点（，±±

的取值范围为（﹣，}

21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．

（1）求a3的值；

（2）求数列{a n}的前n项和T n；

（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．

﹣

=

﹣

﹣﹣

，