甘肃省天水一中2021届高三上学期第二次考试 数学(理)(含答案)
甘肃省天水一中2021届高三上学期第二次考试 数学(文)(含答案)
2．已知向量
AB
2,
2
，
AC
t,1
，若
AB
BC
2
，则
t
（
）
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
3．在等差数列{an}中，若，则（ ）
A．15
B．10
C．5
sin 3cos 4．已知 3cos sin
5 ，则 sin2
sincos
的值是（
D．1 ）
2 A． 5
2 B． 5
C．2
D． 2
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数
A．63
B．108
C．75
D．83
f x
7．已知函数
3
sin
2x
3
，则下列结论正确的是（
）
A．函数 f x 的最小正周期为 2
B．函数
f
x
的图象的一个对称中心为 6
,
0
C．函数
f
x
的图象的一条对称轴方程为
x
3
D．函数 f x 的图象可以由函数 y
3 cos 2x 的图象向右平移 12 个单位长度得到
sin A a 8．在△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin B c ，（b+c+a）（b+c-a）
=3bc，则△ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
9．已知正项等比数列
an
中 a9
9a7
，若存在两项 am
、 an
【详解】
甘肃省天水市重点高中2021届高三上学期第二次考试 数学(理)试题理数参考答案
参考答案1．B2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C11．B12．C 1314．115．10101617．（1）12t ≤-；（2）1t <-或12t >-.【详解】（1）x R ∀∈ ，20tx x t ++≤0t ∴<且2140t ∆=-≤，解得：12t ≤-p ∴为真命题时，12t ≤-（2）[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥[]2,16x ⇒∃∈，21log t x≥-有解[]2,16x ∈时，2111,log 4x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦∴当1t ≥-时，命题q 为真命题p q ∨ 为真命题且p q ∧为假命题p ∴真q 假或p 假q 真当p 真q 假时，有112t t <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得：1t <-；当p 假q 真时，有112t t ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得：12t >-；p q ∴∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或12t >-18．（1）21n a n =-，2n S n =；（2）221nn +【详解】（1）设1(1)n a a n d =+-，由题意得12410a d +=，149a d +=，11a =，2d =，所以21n a n =-，21(1)2n n n S na d n -=+=．（2）12211(21)(21)2121n n n c a a n n n n +===--+-+ ∴1211111113352121n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++．19．(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1+.【详解】(1)()2sin cos 21f x x x x =++sin 221x x =++2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==,令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z ,得71212k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z ,从而函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)在锐角ABC ∆中,由sin cos b A B=知,3B π=,则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62A ππ<<,从而242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为(1+.20．（1）3A π=；（2）【详解】（1）(),m b c = 且22m a bc =+ ，222b c a bc ∴+=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<< ，因此，3A π=；（2）由a =3A π=及余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()()()22222223324b c b c a b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯= ⎪⎝⎭，()22412b c a ∴+≤=，b c ∴+≤，当且仅当b c ==因此，ABC的周长的最大值为21．（1）12n n a -=；（2）12362n n n T -+=-.【详解】（1）当1n =时，111211a a a =-⇒=，当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为2的等比数列，所以()1*2N n n a n -=∈.（2）由（1）得1212n n n b --=，所以21135211222n n n T --=++++ ，2311352122222n n n T -=++++ ，两式相减得211121112222n n n n T --=++++- 11112112121121122212n n n n n n -----⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭-12212333222n n nn n --+=--=-.所以12362n n n T -+=-22．（1）(,0]-∞，（2）见解析【详解】解：（1）因为函数()f x 在区间()0,1上单调递增，所以()'fx ≥0在()0,1上恒成立，即()'21(1)a f x x x=-+-≥0，因为()0,1x ∈，所以a ≤2(1)12x x x x-=+-在()0,1上恒成立，令1()2g x x x =+-，()0,1x ∈，则2'2211()10x g x x x -=-=<，所以1()2g x x x=+-在()0,1上递减，所以()(1)0g x g >=所以当a ≤0时，()f x 在区间()0,1上单调递增，所以a 的取值范围(,0]-∞，（2）因为函数()f x 在x t =处取得极小值，所以()'0f t =，即()'21=0(1)a f t t t=-+-，得2(1)t a t-=，所以()1ln 1t f t t t -=+-()f x 的定义域为()0,11(),⋃+∞，()2'221(2)1(1)(1)a x a x f x x x x x -++=-+=--因为0a >，所以2(2)40a ∆=+->，设()'0f x =的两个根为1212,()x x x x <，解得1222,22a a x x +++==，由12122,1x x a x x +=+=，得1201x x <<<，所以当12(0,)(,)x x x ∈+∞ 时，()'0f x >；当12(,1)(1,)x x x ∈ 时，()'0f x <又因为()f x 在x t =处取得极小值，所以1t >，要证32()0f t t t-+<，只需证明12ln 0(1)t t t t -+<>成立即可，令()2l 1n 0(1)h t t t t t =-+<>，则2'222(1))101(t h t t t t-=--=-<，所以()h t 在(1,)+∞上为减函数，所以()(1)0h t h <=，所以32()0f t t t -+<。
甘肃省天水一中2021届高三上学期第一次考试数学(理)试题答案
理科参考答案1．B2．D3．A4．C5．D6．D7．B8．A9．A10．Cx 1，x 2∈（﹣∞，0]（x 1≠x 2），由（x 2﹣x 1）（f （x 2）﹣f （x 1））＞0，∴x 2＞x 1时，f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，0]为增函数，∵f （x ）为偶函数， ∴f （x ）在[0，+∞）为减函数，∵n +1＞n ＞n ﹣1≥0，∴f （n +1）＜f （n ）＜f （n ﹣1）， ∴f （n +1）＜f （﹣n ）＜f （n ﹣1）11．C 圆()()22:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()22:261D x y -+-=的圆心为()2,6，()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D ==，故PM PN +的最小值是1122C D r r --=.12．A 由条件可知函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同的零点，转化为()y f x =与log a y x =恰有6个不同的交点，()()2f x f x +=，∴()y f x =的周期2T =，且[)1,1x ∈-时，()3f x x =，log a y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数()y f x =和log a y x =的图象，①当1a >时，log a y x =的图象如图所示，y 轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，此时应满足log 51log 71a a<⎧⎨≥⎩，解得57a <≤；②当01a <<时，()y f x =与log a y x =在y 轴左侧有2个交点， 右侧有4个交点，此时应满足log 51log 71a a ≥-⎧⎨<-⎩ ，解得：1175a <≤； 综上可知，a 的取值范围是(]11,5,775⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．15 14．7 15．58. 16．13711110,,663a ⎛⎤-+⎡⎫∈ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦由于13a a <+， 当1013a a <<+≤，即203a <≤时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意； 当1123a a ≤<+≤，即513a ≤≤时，函数()f x 递增，显然不合乎题意； 当10123a a <<<+<，即2533a <<，可得221log log 3a a ⎛⎫ ⎪⎝≥+⎭-，解得213736a -+<≤，当11243a a <<<+<，即有523a <<， 由题意可得221log log 43a a ≥--⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得1126a ≤<， 当1243a a ≤<+<，即1123a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意； 综上可得a 的范围是13711110,,63⎛⎤-+⎡⎫⋃ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦， 故答案为：13711110,,63⎛⎤-+⎡⎫⋃ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦. 17．（1）3π；（2）6 18．（1）()*21n a n n N=-∈；（2）1131494nn n R -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由题意知：122144n n n n a n b ---==，所以012101214444n n n R --=++++，则1211012144444nn n n n R ---=++++， 两式相减得1211111311111111441144444434414n n n n n n nn n n R ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-- ⎪⎝⎭-131134n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此，1431131149494n n n n n R -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19．（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 20．（1）证明见解析；（2）90°．解：（1）连接AC ，交DM 于H ，连接NH ， ∵M 是AB 的中点，∴::1:2AM DC AH HC ==， ∵:1:2PN NC =，∴//PA NH ， ∵PA ⊄平面MND ，NH ⊂平面MND ， ∴//PA 平面MND ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,DA DC 在平面ABCD 内， ∴ ,PD DA PD DC ⊥⊥，∵四边形ABCD 为正方形，所以DA DC ⊥, ∴,,PD DA DC 两两垂直，∴建立如图所示的空间坐标系，则()0,0,6P ，()0,3,0C ，260,1,N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭．33,,02DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，260,1,3DN N ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,,02CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，260,2,3CN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DMN 的法向量为()000,,m x y z =，∴00003302260x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令01x =，则61,2,m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，∴33022620x y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，则()1,2,6n =， ∴0m n ⋅=，m n ⊥，即二面角D MN C --的大小为90°． 21．（1）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭解：（1）()2xf x m <⋅即122221x x x xm -+<⋅+-， ∴()()211112221221x x x x x m ->+=++--+，∵()221332212244x xx ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，1x =-时取等号，∴()21471133221x x +≤+=-+，∴73m >即m 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（2）()()()122x xf x k f x +⎡⎤=+-⎣⎦即1122221221x xxx x x k +--++=+-+-， ∴2121212x x x k ++-+=+，∴223220x x k -⨯+-=， ∵()()()122x xf x k f x +⎡⎤=+-⎣⎦有两个实数解，∴223220x x k -⨯+-=有两个的实数解，令2,0xt t =>，即2320t t k -+-=，有两个正的实数解.∴()9420k -->，20k ->， ∴124k -<<即k 的取值范围是1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．(1)由题意，直线l 的直角坐标方程为：+40x y -=，∴直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程：2220x y y +-=，曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=.(2)由题意设：(,)A A ρα，(,)B B ρα，由(1)得4cos sin A ραα=+，2sin B ρα=，1111sin (cos sin )(sin 2cos 2))244444B A OB OAρπααααααρ∴==+=-+=-+， 02πα<<，32444απππ∴-<-<，∴当242ππα-=，即38πα=时，sin(2)14πα-=,此时OB OA取最大值14. 23．（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析. （1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >． （2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即3m =，6n =时取等号． 所以不等式得证.。
甘肃省天水一中高三上学期第二次月考数学(理科)试卷有答案
A B=（6．函数A．B．C．D．，>><<a b c d00)[2)∞，．若等差数列{}n a的前1++b b1032n，则数列．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．51)12n﹣）函数1212n n -++-7221n n +-+422222n +++-2633PD BD a a a PB a==3254a a 是352=4a ∴⨯111,2,422n n n q q a -+>∴=∴==依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d =）12n n a +=不等式2log (n n T n ∈*N2n n λ-∴≤91)31n -=+（Ⅰ）2||x a -≤()2f x ≤的解集为（Ⅱ）()f x f +0x ∃∈R ，使得即0()f x +)(,)1+∞．甘肃省天水一中高三上学期第二次月考数学试卷（理科）解析1．【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．2．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．3．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．4．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα 和cosα的值，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（1，3），∴x=1，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，则===1，5．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．6．【分析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；∵y′=xcosx，∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．7．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C．D不正确；=﹣3，=﹣∴A不正确，B正确解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．8．【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，9．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．10．【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．11．【分析】由S n=n2，可得a1=1，a2=3．可得等差数列{a n}的公差d=2．可得a n．可得=n+，令f（x）=x+（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：由S n=n2，可得a1=1，1+a2=22，解得a2=3．∴等差数列{a n}的公差d=3﹣1=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==n+，令f（x）=x+（x≥1），f′（x）=1﹣=，当1≤x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增．∴n=3或4时，n+取得最小值7．12．【分析】由已知得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，求出S n后，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得通项a n，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．13．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点A（1，0）作AB垂直直线x+y﹣3=0，则|AB|的距离最小，则圆心A到直线x+y﹣3=0的距离d=，此时z=d2=2，14．【分析】把已知等式两边同时除以2n+1，可得数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由a n+1=2a n+3•2n，得，即，又，∴数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，则，∴．15．【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数．16．【分析】对4个选项，分别进行判断，即可判断命题的真假．【解答】解：①常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；，则③因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞即：＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞cosB，同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=＞1，正确；的前项和，则此数列的通项n n n111n n17．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．}的通项公式；n（2）由（1）得b n=，利用错位相减法可求得T n=5﹣．f x）函数()1212n n -++-7221n n +-+422222n +++-2633PD BD a a a PB a==2320．【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列{a n }的通项公式；数列{b n }为等差数列，公差d=1，可求数列{b n }的通项公式；（2）不等式nlog 2（T n +4）﹣λb n +7≥3n 化为n 2﹣n+7≥λ（n+1），可得对一切n ∈N *恒成立，利用不等式，即可得出结论．3254a a 是352=4a ∴⨯111,2,422n n n q q a -+>∴=∴==依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d =）12n n a +=不等式2log (n n T n ∈*N …91)31n -=+ 22．【分析】（1）直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣），利用ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．2242223．【分析】（Ⅰ）若不等式f （x ）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a 的值；2（Ⅰ）2||x a -≤()2f x ≤的解集为[0,4]，⎧⎨⎩（Ⅱ）()f x f +0x ∃∈R ，使得即0()f x +)(,)1+∞。
天水市第一中学2021届高三数学上学期第一学段考试试题理含解析
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
10
合计
45
（1)请完成上面 列联表；并判断是否有99％的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,其中每周线上学习时间不足5小时的人数为 ，求 的分布列及其数学期望．
A. 60B。63C. 66D。 69
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入函数 结合 求得 即可得解。
【详解】 ，所以 ,则 ，
所以， ,解得 。
故选：C。
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
7。 已知在 中， ，判断 的形状为（ ）.
A。 等腰三角形B. 直角三角形
则 的取值范围为 ，
此时， 的图象在 四个不同的交点，
方程 在 有四个不同的解，
所以 的取值范围是 ，
故选:A.
【点睛】函数的性质以及函数零点问题是高考的高频考点，函数零点的几种等价形式:函数y=f(x)-g（x）的零点 函数y=f(x）-g（x）在x轴的交点 方程f（x）—g(x）=0的根 函数y = f（x)与y = g(x)的交点。
【答案】（1） ;（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据2bsinA＝ acosB+asinB，利用正弦定理得到 ，再根据 求解.
(2)在△ABC中，利用余弦定理求得c,再由S△ABD＝ ，求得BD，然后在△ABD中，由余弦定理求解.
甘肃省天水一中高三第一学期第二次段考(数学理).doc
甘肃省天水一中高三第一学期第二次段考（数学理）一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N =（ ）A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = （ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C.324．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 （ ）A ．(k ∈B ． (k ∈C ．((2)k ∈-+∞，，∞D ．((3)k ∈-+，∞5.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ （ ） A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++７．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-８．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则 （ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD.c ＜b ＜a9．若椭圆12222=+ny m x 经过（3,1）点，则22n m + 的最小值 （ ）A. 12B. 16C. 18D. 0、△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边边长分别是a b c 、、，若2a b = ，A=2B ，则cosB= （ ） （A ）（B（C（D11. 已知),,(155R c b a acb ∈=-，则有 （ ） A. ac b 42> B. ac b 42≥ C. ac b 42< D. ac b 42≤12 ．数列{}n a 中， !2007n a nn =，则n a 取最大值时，n 等于 （ ）A.和B.和C.和D.和二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上１3．数4522++=x x y 的值域是14.设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则y x z 3-=的最小值15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 .16.对一切实数x,不等式()01124≥+-+x a x 成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 １７.（本小题满分１０分）在ABC ∆中，的对边，分别为角C B A c b a ..,,272cos 2sin 42=-+A C B （１）求A ∠的度数； （２）的值求若c b c b a ,,3,3=+=１８.（本小题满分１０分）12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………解关于ｘ的不等式()121≥++x x a１９. （本小题满分１２分）已知圆Ｃ：044222=-+-+y x y x ，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆Ｃ截得弦AB,且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分１２分） 都设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
甘肃省天水市第一中学2021届高三数学上学期第二次考试试题 理(含解析)
甘肃省天水市第一中学2021届高三数学上学期第二次考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】 因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. “1x >”是“||0x >”的充分不必要条件C. 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A 正确； 由“||0x >”的充要条件为“0x ≠”,可得B 正确；由“且”命题的真假可得C 错误；由特称命题的否定为全称命题可得D 正确，得解. 【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”,即A 正确；对于选项B, “||0x >”的充要条件为“0x ≠”,又“1x >”是“0x ≠”的充分不必要条件,即B 正确；对于选项C, p q ∧为假命题，则p 、q 至少有1个为假命题,即C 错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥”,即D 正确, 故选:C .【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.3.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α，n m n α⊂⇒ 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 【解析】①m α⊂，n α⊂，m β，n β，则α与β可能相交，①错；②n m ，n α⊂，则m 可能平面α内，②错；③αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m α，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4.若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ） A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝16， ∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718. 故选：A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．5.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1 B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6.若直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A.12B. 4C. 9D.14【答案】C 【解析】【分析】由圆的标准方程可得，圆22(1)(2)4x y +++=的直径长为4，由题意可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，则1a b +=，0,0ab ，再结合重要不等式求()a b +⋅41()a b+的最小值即可. 【详解】解：将圆的一般方程222410x y x y ++++=，化为标准式可得22(1)(2)4x y +++=，结合直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，即2220a b --+=，则1a b +=，0,0ab ，则41a b +=()a b +⋅41()a b +=445529b a b aa b a b++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号，故选：C .【点睛】本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系，重点考查了重要不等式及运算能力，属中档题.7.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，AA 1⊥底面ABC ，且AB =2， AA 1=1，则直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）2510 155【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角，再根据直角三角形求结果. 【详解】取A 1B 1中点M ，连C 1M,BM,因为在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，所以底面A 1B 1C 1是等边三角形， 从而C 1M ⊥A 1B 1,因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥底面A 1B 1C 1，即AA 1⊥C 1M ，从而C 1M ⊥平面ABB 1A 1，因此1C BM ∠为直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角,因为2111315125,3sin5C B C M C BM =+==∴∠==,选C.【点睛】本题考查线面角，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 36π+B. 66π+C. 312π+D. 12【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.9.,x y 满足约束条件20,{220,220.x y y x x y +-≤-+≥-+≥若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A. 12或1-B. 1或12-C. 2或1D. 2或1-【答案】B 【解析】试题分析:由2z y ax =-得，2y ax z =+，作出可行域如下图所示，当22a =或21a =-时，即1a =或12a =-时，2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，故选B.考点：线性规划.10.已知函数()()2730323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数a 的取值范围为( ) A. (]0,1 B. (]0,2 C. []1,2D. []2,9【答案】B 【解析】 【分析】分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a 的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()733f x x =+， 由30x -≤≤，可得()[]4,3f t ∈-，当0x >时，()()222314f x x x x =-++=--+， 由03x <≤，可得()[]0,4f x ∈，∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立， 46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x . 11.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλ=++，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 重心 B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB B AC C t ==，所以()1OP OA AB AC tλ=+⋅+，而2AB AC AD +=，所以()1AB AC tλ⋅+表示与AD 共线的向量AP ，而点D 是BC 的中点，即P 的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A. 考点：平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且313n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+______．【答案】83【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得2201212171512121a a a a Sb b b b T ++==++，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，由等差数列的性质，可得121220121211217151212121()221()2a a a a a a Sb b b b b b T +++===+++， 又313n n S n T n +=+， 所以2202171521321182133a a Sb b T +⨯+===++.故答案为83【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质与前n 项和公式，即可得出结果. 14.已知12,e e→→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b→方向上的投影为______ ． 【答案】32【解析】 【分析】 可知这样即可求出 a b ⋅ 及b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值． 【详解】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．15.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若180A C +=︒，6AB =，4BC =，5CD =，5AD =，则四边形ABCD 面积是______．【答案】106【解析】 【分析】在ABD ∆，BCD ∆中，利用余弦定理可得6060cos A -=4141cos C -， 再结合180A C +=︒可得1cos 5A =，再结合三角形面积公式可得11sin sin 22ABD BCDS S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯，将值代入运算即可. 【详解】解：连接BD ，在ABD ∆中，2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-， 在BCD ∆中，2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-， 所以6060cos A -=4141cos C -， 因为180A C +=︒， 所以cos cos A C =-， 所以1cos 5A =， 则26sin A =， 所以四边形ABCD 面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯ 126126654510622=⨯⨯+⨯⨯= 故答案为：6【点睛】本题考查了余弦定理及三角形的面积公式，重点考查了解三角形及运算能力，属中档题.16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】5003π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，则,6,22x x OI IE ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则22OC =224223OP =-=()(222232RR =+，解得3R =，外接球的体积343Vπ==三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数列{}n a的各项均为正数，52a，4a，64a成等差数列，且满足2434a a=．(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)设()()1111nnn naba a++=--，*n N∈，求数列{}n b的前n项和n S．【答案】（Ⅰ）a n=1()2n（n∈N*）（Ⅱ）1-n1121+-【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，(Ⅱ)先化简n b，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：（Ⅰ）设公比为q，则0,q>因为52a，4a，64a成等差数列，所以24a=52a+64a，即211202q q q q=+>∴=因为2434a a=，所以111111114()()2222n nna q a a-=∴=∴=⋅=（Ⅱ）b n=()()1111nn naa a++--=()()nn n122121+--=n121--n1121+-，n∈N*，∴数列{b n}的前n项和S n=2112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+23112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+…+n n1112121+⎛⎫-⎪--⎝⎭=1-n1121+-，n∈N*．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=．（1）求C 的大小； （2）若c =ABC ∆周长的最大值．【答案】（1）23C π=；（2）2． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222a b c ab +-=-，再结合余弦定理可得1cos 2C =-，再求C 即可；（2）由正弦定理化边为角可得l 2sin 2sin A B =++l 2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由03A π<<利用三角函数值域的求法即可得解.【详解】解：（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=. ∴由已知，得(2)(2)2222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅， 即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=. （2）3c =，sin sin a bA B∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 333A A A ππ=+++sin 3cos 3A A =++2sin 33A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，232sin 33A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭23≤+，故ABC ∆周长的最大值为23+.【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33-【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz .由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，2222PA ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.已知点()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点()1,3P -,若12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在4(,)99x ππ∈内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin(3)3f x x π=-；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)由角ϕ的终边经过点()1,3P -可得3πϕ=-，由12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π可得周期23T π=得3ω∴=，即可求出函数的解析式；（2）先解得()f x 在4(,)99x ππ∈的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得m 的值. 试题解析：（1）角ϕ的终边经过点(1,3)P -，tan 3ϕ=-，02πϕ-<<，3ϕπ∴=-．由12()()4f x f x -=时,的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=．∴()2sin(3)3f x x π=-(2）4(,)99x ππ∈∴3(0,)3x ππ-∈，∴0sin(3)13x π<-≤．设()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在（0，1] 内有两个不同的解．∵-m = 3t 2-t ，t ∈(0, 1]． 作出曲线C ：y = 3t 2-t ，t ∈ (0, 1)与直线l ：y = -m 的图象．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2． ∴当时，直线l 与曲线C 有两个公共点．∴m 的取值范围是：.考点：函数的图象、二次函数图象、一次函数图象.【思路点晴】第一问考查了三角函数的定义、函数性质．由题意很容易求出()f x 的解析式。
甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第三阶段考试试题 理(含解析)
甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第三阶段考试试题 理（含解析）一、选择题 1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =（ ） A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B ．【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5AB =，故选B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．2.若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. a b b c +≥-B. ac bc ≥C. 20c a b>-D.()20a b c -≥【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c 的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性.【详解】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立；对C ，当0c 时不成立，故C 也不一定成立；对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 故选D.【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.3.下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p ：∀x∈R，x 2+x+1＞0，则¬p：∃x 0∈R，x 02+x 0+1≤0． B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件． C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．D. 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选C.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S =A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果. 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为5,则椭圆22221x y a b +=的离心率为( ) A.12B.33C.32D.22【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线离心率可求得224a b =，代入椭圆方程中，根据椭圆222c a b =-可构造出离心率，化简得到结果.【详解】由双曲线离心率得：22222514a b b a a +=+=，解得：224a b = ∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率2224342b b e b -== 故选：C【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A. ()62k x k Z ππ=-+∈ B. ππ122k xk ZC. ()62k x k Z ππ=+∈ D. ()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A 【解析】 【分析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+, 即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 故选A.【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=（ ） A. 1- B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 12B. 36C. 24D. 72【答案】A 【解析】试题分析：由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥．底面三角形两直角边分别为3、4，棱锥高为 6.则棱锥体积为113461232V =⨯⨯⨯⨯=．故A 正确．考点：1三视图；2棱锥体积公式．10.已知()()4,0,0,4A B -,点C 是圆222x y +=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A. 8 B. 42 C. 12D. 62【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，只需求出C 到直线AB 的距离最大值即可得结果. 【详解】由两点间距离公式可得42AB =, 由两点式可得直线AB 方程为40x y -+=,圆心()0,0到直线40x y -+=的距离d ==,圆的半径r =所以点C 到直线AB 距离的最大值为d r +=，ABC ∆面积的最大值为1122AB ⨯⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质、点到直线距离公式的应用以及解析几何求最值，属于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.11.函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（ ） A. 221m e e <-++B. 221m e e >-+C. 221m e e >-++D.221m e e <-+【答案】C 【解析】 【分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由()0h x =得22121(0)e m x ex x x=+-++>，令()22s x 121(0)e x ex x x =+-++>，则222()212()(2)e x es x x e x e x x+'=+--=-+,所以当x e >时，2()0,()(21,)s x s x e e '>∈-++∞,当0x e <<时，2()0,()(21,)s x s x e e '<∈-++∞,因此当221m e e >-++时，函数()()()h x f x g x =-有两个零点，选C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )11C. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a-+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 二、填空题13.已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_____．【答案】94【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】解：作出x，y满足约束条件33040x yx yx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的对应的平面区域如图：由2z x y=+得2y x z=-+，平移直线2y x z=-+，由图象可知当直线2y x z=-+经过点A时，直线的纵截距最小，此时z最小，由330x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得33,44A⎛⎫⎪⎝⎭，此时3392444z=⨯+=，故答案为94．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.动点M椭圆22:12xC y+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NP NM=.则点P的轨迹方程______.【答案】222x y+=【解析】【分析】设()00,M x y，(),0N x，(),P x y，根据题意列出等式，然后根据M在椭圆22:12xC y+=上，代入即得．【详解】解：令()00,M x y，(),0N x，(),P x y则(),NP x x y=-，()00,NM y=2NP NM=()()00,20,x x y y∴-=2x xy y-=⎧⎪∴⎨=⎪⎩即22x xy y=⎧⎪∴⎨=⎪⎩代入2212xy+=可得22122x y+=即222x y+=故答案为222x y+=【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，属于基础题．15.已知在直角梯形ABCD中，AB AD⊥，CD AD⊥，224AB AD CD===，将直角梯形ABCD沿AC折叠，使平面BAC⊥平面DAC，则三棱锥D ABC-外接球的体积为__________．【答案】323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC-如图所示，由条件可得在底面ACB∆中，90,22ACB AC BC∠=︒==．取AB的中点O，AC的中点E，连OC,OE．则122OA OB OC AB====.∵DA DC=,∴DE AC⊥.∵平面BAC⊥平面DAC,∴DE⊥平面DAC,∴DE OE⊥.又11=2,222DE AC OE BC===∴2OD =. ∴2OA OB OC OD ====.∴点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，球半径为2. ∴3432=233V ππ⨯=球．答案：323π． 点睛：（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB 的中点O ，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可．（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化．16.已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】21n a n =- 【解析】 【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式. 【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题. 三、解答题17.已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解．【答案】（1）[,]36ππk πk π-++,k Z ∈；（2）512x π=或1112π=x【解析】 【分析】先将()f x 进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得x 的范围即可.（2）令()0f x =，解得x 的值，对k 进行赋值，使得x 落在(]0,π内，即得结果.【详解】()22cos cos sin f x x x x x =+- cos22sin 26x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭（1）由222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈（2）由()0f x =得2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：26x k ππ+=，即122k x ππ=-+,k Z ∈ ∵(]0,x π∈，∴512x π=或1112x π=． 【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是基础题．18.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，b c +=ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）ABC S ∆=【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到()2sin cos sin B A A C ⋅=+，再由三角形的内角间的关系得到2sin cos sin B A B ⋅=，解得1cos 2A =，进而得到结果；（Ⅱ）结合余弦定理得到()2222cos a b c bc bc A =+--，代入参数值得到6bc =，根据三角形面积公式得到结果即可.【详解】（Ⅰ）根据正弦定理，2cos 2sin sin cos cos sin cos b c C B C Ca A A A--=⇔=， 整理得2sin cos B A ⋅= cos sin sin cos C A C A ⋅+⋅， 即()2sin cos sin B A A C ⋅=+，而A C B π+=-，所以2sin cos sin B A B ⋅=，解得1cos 2A =， 又()0,A π∈，故3A π=；（Ⅱ）根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-= ()222cos b c bc bc A +--，又a =b c +=3A π=，故(221222bc bc =--⨯，解得6bc =，所以11sin 6sin 2232ABC S bc A π∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA PD =，AD PB =，90APD ∠=︒，60BAD ∠=︒，点O 为AD 的中点.（1）求证：OB ⊥平面PAD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；3【解析】 【分析】（1）求出,OB OP 和BP 的数量关系，根据勾股定理可证OB OP ⊥，又ABD ∆是正三角形，所以OB AD ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理，可证OB ⊥平面PAD ；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量所成的余弦值，从而可以求出平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值.【详解】（1）证明：连结OP ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒， 故AD AB BD ==，又O 为AD 的中点，故OB AD ⊥. 在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==. 设2AD PB a ==，则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OB OP ⊥.（也可通过POB AOB △≌△来证明OB OP ⊥）， 又因为OPAD O =，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ；（2）因为AD PO ⊥，AD OB ⊥，BO PO O =，所以AD ⊥平面POB ，又PO ⊂平面POB ，所以PO AD ⊥.由（1）得OB ⊥平面PAD ，又OP ⊂平面PAD ，故有OP OB ⊥，又由AD OB ⊥， 所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直.故以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴如图建系.设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()0,3,0B，()0,0,1P所以()0,3,1PB =-，()2,0,0,BC AD ==-，()0,3,0,OB =， 由（1）知OB ⊥平面PAD ，故可以取与OB 平行的向量()0,1,0n =作为平面PAD 的法向量.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则2030m BC x m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令1y =，所以()0,1,3=m .设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为θ，而1cos cos ,2m n m n m nθ⋅=<>==则3sin 2θ=，所以平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，空间向量法求二面角，属于综合题．21.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】分析：（1）由条件得a,c ，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得12k k +为定值.详解：（1）．，椭圆的方程为（2）设直线的方程为：，联立直线l 的方程与椭圆方程得：（1）代入（2）得：化简得： (3)当时，即，即时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得：，所以，，则，12k k +所以为定值．点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化. 22.已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 实数b 的值为e .(2)211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程，与2y ax e =-+对照后可得b e =．（2）问题可转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解，令()11ln 4h x x x =-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，结合导数可得()()221124minh x h e e==-，故得实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 详解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞，∵()ln xf x ax b x =-+， ∴()2ln 1'ln x f x a x-=-. ∴()'f e a =-， 又()e f e ae b =-+,∴所求切线方程为()()y e ae b a x e --+=--， 即y ax e b =-++.又函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+， ∴b e =.所以实数b 的值为e . （2）由题意得()00001ln 4x f x ax e e x =-+≤+， 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-则当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p xx ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<. 所以()'0h x <，所以()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h ee e e≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理．解题时注意常用的结论：若()a f x >有解，则()min a f x >；若()a f x <有解，则()max a f x <．当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立．。
2020-2021学年甘肃省天水一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x 2+2x −3}，B ={−2,0，2，3}，M =A ∩B ，则M 的子集共有( )A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则t =( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则a 5+a 9=( )A. 15B. 10C. 5D. 14. 已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α−sinαcosα的值是( )A. 25B. −25C. −2D. 25. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >b >0，则下列结论错误的是( )A. 1a <1bB. log 2(a −b)>0C. a 12>b 12D. 3a >3b6. 一个等比数列{a n }的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A. 63B. 108C. 75D. 837. 已知函数f(x)=√3sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象的一个对称中心为(π6,0) C. 函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π3D. 函数f(x)的图象可以由函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度得到8. △ABC 中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinAsinB =ac ，(b +c +a)(b +c −a)=3bc ，则△ABC 的形状为( )A. 等边三角形B. 等腰非等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 65410. 已知点P(x,y)在曲线C ：x 2+y 2−2x =0上，则x −2y 的最大值为( )A. 2B. −2C. 1+√5D. 1−√511. 已知函数f(x)定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意x 1≠x 2∈(−4,0)，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0；②f(x)=−f(x +4)；③y =f(x +4)为偶函数，则( )A. f(2019)>f(15)>f(2)B. f(15)>f(2)>f(2019)C. f(2)>f(15)>f(2019)D. f(2)>f(2019)>f(15)12. 已知函数f(x)=e x +ax −3，其中a ∈R ，若对于任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2，都有x 2⋅f(x 1)−x 1⋅f(x 2)<a(x 1−x 2)成立，则a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2,+∞)C. (−∞,3]D. (−∞,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数z =21+i ，则|z|=______．14. 已知实数x ，y ，则{x ≤1,x +y −2≥0,x −y +2≥0,则z =2x −y 的最大值为______．15. 已知等差数列{a n }前n 项和S n ，且S 2019>0，S 2020<0，若a k a k+1<0，则k 的值为______．16. 如图，在△ABC 中，cos∠BAC =14，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，AD =√152，则△ABC 的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0．(1)若p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18.已知在等差数列{a n}中，a2+a4=10，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；(2)若c n=2a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19.设函数f(x)=(sinx+cosx)2+√3sin(2x+5π2)．(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3asinA =bcosB，求f(A)的取值范围．20.在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量m⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m⃗⃗⃗ |2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，求△ABC的周长的最大值．21.若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n顶和T n．a n+lnx−1(a∈R)．22.已知函数f(x)=ax−1(1)若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；<0．(2)若a>0，函数f(x)在x=t处取得极小值，证明：2f(t)−t+3t答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|x 2+2x −3≥0}={x|x ≤−3或x ≥1}，B ={−2,0，2，3}， ∴M =A ∩B ={2,3}， ∴M 的子集共有：22=4个． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可求出M ，然后根据子集个数的计算公式即可得出M 的子集个数．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,−1)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以2t −4−2=2，解得t =4． 故选：B ．利用已知条件，求出数量积的两个向量，然后利用数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算与应用，考查计算能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ， 若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则有a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a 11+a 12+a 13=3a 12=12，变形可得a 2=1，a 12=4， 则d =a 12−a 212−2=4−110=310，而a 5+a 9=2a 7=2(a 2+5d)=2×(1+5×310)=5， 故选：C ．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的性质可得a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a11+a12+a13=3a12=12，变形可得a2=1，a12=4，求出公差d，又由a5+a9= 2a7=2(a2+5d)，计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵sinα+3cosα3cosα−sinα=5，∴tanα+33−tanα=5，∴tanα=2．∴sin2α−sinαcosα=sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α=tan2α−tanα tan2α+1=4−24+1=25，故选：A．由已知条件求出tanα值，化简sin2α−sinαcosα=tan2α−tanα tan2α+1，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α−sinαcosα变形为sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α是解题的难点．5.【答案】B【解析】解：令a=2，b=1，得选项B错误，故选：B．根据特殊值法判断即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．6.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60−48=12，∴第三个n项的和为：12248=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n 项的和和第二个n 项的和，求得第三个n 项的和，进而把前2n 项的和加上第三个n 项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n 项的和．解题的关键是利用等比数列每k 项的和也成等比数列的性质．7.【答案】D【解析】解：对于函数f(x)=√3sin(2x +π3)，它的周期为2π2=π，故A 错误； 当x =π6时，求得f(x)=32，故f(x)的图象的对称中心不会是(π6,0)，故B 错误； 令x =π3，求得f(x)=0，故f(x)的图象的对称轴不会是x =π3，故C 错误； 把函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y =√3cos(2x −π6)=√3sin(2x +π3)的图象， 故选项D 正确， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵(b +c +a)(b +c −a)=3bc ， ∴(b +c)2−a 2=3bc ， ∴b 2+c 2+2bc −a 2=3bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，A ∈(0,π)，∴A =π3，∵△ABC 中，由正弦定理得：asinA =bsinB ， ∴sinAsinB =ab ，又sinAsinB =ac ， ∴ab =ac ，∴b=c，综合可知三角形为等边三角形．故选：A．把(b+c+a)(b+c−a)=3bc整理课求得b2+c2−a2和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cos A的值，进而取得A，同时利用正弦定理和sinAsinB =ac整理后可知b=c，最后可判断出三角形的形状．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，所以m+n=5，m>0，n>0，m≠n，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+nm+16mn)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16mn且n+m=5即m=1，n=4时取等号，故选：A．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设x−2y=t，则有x=2y+t，可以看成一条直线，将其代入圆的方程x2+y2−2x=0中，可得5y2+(4t−4)y+t2−2t=0，则有△≥0，可得t2−2t−4≤0，解−√5+1≤t≤√5+1；则x−2y的最大值为√5+1；故选：C．根据题意，设x−2y=t，将其代入圆的方程中，变形，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，把几何问题转化为代数问题是解题的关键，是中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈(−4,0)，当x1<x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，则函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，若f(x+4)=−f(x)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故(4,8)上也递增，若y=f(x+4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=4对称，∵f(2)=f(6)，f(15)=f(1)=f(7)，f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=f(5)，又由函数f(x)在区间[4,8]上为增函数，则有f(2019)<f(2)<f(15)．故选：B．根据题意，由①分析可得函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，由②分析可得函数f(x)的周期为8，由③分析可得函数f(x)的图象关于直线x=−4和x=4对称，进而分析可得f(2)=f(6)，f(15)=f(7)，f(2019)=f(5)，结合函数在[4,8]上的单调性，分析可得答案．本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．将不等式变形为：f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，构造函数ℎ(x)=f(x)+ax，转化为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，都有x2⋅f(x1)−x1⋅f(x2)<a(x1−x2)成立，∴不等式等价为f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，令ℎ(x)=f(x)+ax，则不等式等价为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，即函数ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数；ℎ(x)=e x+ax−3+ax，则ℎ′(x)=xe x−e x+3−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立；∴xe x−e x+3−a≥0；即a−3≤xe x−e x恒成立，令g(x)=xe x−e x，∴g′(x)=xe x>0；∴g(x)在[1,+∞)上为增函数；∴g(x)>g(1)=0；∴3−a≥0；∴a≤3．∴a的取值范围是(−∞,3]．故选：C．13.【答案】√2【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．【解答】解：∵复数z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i．∴|z|=√12+(−1)2=√2．故答案为：√2．14.【答案】1第11页，共17页【解析】解：由z =2x −y 得y =2x −z作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 最大， 由{x =1x +y −2=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×1−1=1，∴目标函数z =2x −y 的最大值是1． 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．15.【答案】1010【解析】解：等差数列{a n }中，S 2019=2019×(a 1+a 2019)2>0，所以a 1+a 2019>0，即2a 1010>0，即a 1010>0， 同理S 2020=2020×(a 1+a 2020)2<0，所以a 1+a 2020<0，即a 1011<0， 所以a 1010⋅a 1011<0， 又因为a k a k+1<0， 所以k =1010． 故答案为：1010．利用等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质可得a 1010>0，a 1011<0，结合a k a k+1<0，可求k 的值．本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，掌握等差数列的性质是解题的关键，属于基础题．16.【答案】√15【解析】解：设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC．∵BD=3DC，AD=√152，∴S△ABD=34S△ABC，∴12AB⋅ADsinθ=34×12×AB⋅ACsin∠BAC，∴AC=83sinθ，同理AB=8sin(∠BAC−θ)，∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=8√153sinθsin(∠BAC−θ)=8√153sinθ(√154cosθ−14sinθ)=5sin2θ+√153cos2θ−√153=√153(√15sin2θ+cos2θ)−√153=√153[4sin(2θ+φ)−1]，(其中tanφ=√1515)，∵0<θ<∠BAC，∴当2θ+φ=π2时，sin(2θ+φ)max=1，∴(S△ABC)max=√15．故答案为：√15．设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC=1 2AB⋅AC⋅sin∠BAC=√153[4sin(2θ+φ)−1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴当t=0时，x≤0，与x∈R矛盾，舍去；当t<0且△=1−4t2≤0，解得t≤−12．∴p为真命题时，t≤−12．第12页，共17页第13页，共17页(2)∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，，即，∴∃x ∈[2,16]，t ≥−1log 2x 有解．又x ∈[2,16]时，−1log2x∈[−1,−14]，∴t ≥−1，∴q 为真命题时，t ≥−1．∵p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真， 当p 假q 真，有{t ≥−1t >−12解得t >−12； 当p 真q 假，有{t <−1t ≤−12解得t <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，t <−1或t >−12．【解析】(1)利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可． (2)求出命题q 成立时，t 的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18.【答案】解：(1)设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }中，a 2+a 4=10，a 5=9． 所以{a 2+a 4=10a 5=9，整理得{2a 1+4d =10a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n =1+2(n −1)=2n −1． 则S n =1+3+5+⋯+(2n −1)=n(1+2n−1)2=n 2．(2)由(1)得c n =2an ⋅a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，所以T n =1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)首先利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式和数列的和；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x +1=sin2x +√3cos2x +1第14页，共17页=2sin(2x +π3)+1，所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π；令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； (2)在锐角△ABC 中，由√3a sinA =b cosB，利用正弦定理得√3bsinB=bcosB ， 所以tanB =√3，其中A ∈(0,π)， 所以B =π3； 由{0<A <π20<2π3−A <π2， 得π6<A <π2， 所以2A +π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2A +π3)∈(−√32,√32)，所以2sin(2A +π3)+1∈(1−√3,1+√3)， 即f(A)的取值范围是(1−√3,1+√3)．【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间； (2)利用正弦定理求出tan B 和B 的值，再利用三角恒等变换求出f(A)的取值范围． 本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m ⃗⃗⃗ |2=a 2+bc ， 可得b 2+c 2=a 2+bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3．(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b+c)2，当且仅当b=c时取等号，∴(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3∴△ABC的周长为a+b+c≤√3+2√3=3√3．【解析】(1)根据向量的模和余弦定理即可求出，(2)利用余弦定理和基本不等式即可求出．本题考查了余弦定理和基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1①，当n=1时，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=2a n−1−1②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，所以a na n−1=2(常数)，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以a n=1×2n−1=2n−1．(2)由于b n=2n−1a n =(2n−1)⋅(12)n−1，所以T n=1×120+3×(12)1+⋯+(2n−1)⋅(12)n−1①，1 2T n=1×121+3×(12)2+⋯+(2n−1)⋅(12)n②，①−②得：12T n=1+2(12+14+⋯+12n−1)−(2n−1)⋅12n=1+2×12(1−12n−1)1−12−(2n−1)⋅12n，整理得T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．第15页，共17页22.【答案】解：(1)∵函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，即f′(x)=−a(x−1)2+1x≥0，∵x∈(0,1)，∴a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，则g′(x)=1−1x2<0，故g(x)在(0,1)递减，g(x)>g(1)=0，故a≤0时，f(x)在(0,1)递增，故a的取值范围是(−∞,0]；(2)证明：∵函数f(x)在x=t处取极小值，故f′(t)=0即f′(t)=−a(t−1)2+1t=0，即a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a(x−1)2+1x=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，∵a>0，∴△=(a+2)2−4>0，设f′(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)，解得：x1=a+2−√a2+4a2，x2=a+2+√a2+4a2，由x1+x2=a+2，x1x2=1，得0<x1<1<x2，故x∈(0,x1)，(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1,1)，(1,x2)时，f′(x)<0，∵f(x)在x=t处取得极小值，故t>1，要证2f(t)−t+3t <0，只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t<0(t>1)，则ℎ′(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t2<0，故ℎ(t)在(1,+∞)递减，ℎ(t)<ℎ(1)=0，故2f(t)−t+3t<0．【解析】(1)求出函数的导数，问题转化为a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，问题转化为只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)第16页，共17页<0(t>1)，根据函数的单调性证明即可．成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．第17页，共17页。
甘肃省天水一中2021届上学期高三年级第一学段考试数学试卷(理科)
甘肃省天水一中2021届上学期高三年级第一学段考试数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2．已知函数2()1xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数()f x 在(,1)-∞上是增函数 C ．函数()f x 的图象关于直线＝1对称D ．函数()f x 的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB1()f x x =()'f x 12()()''<f x f x 12,x x 120x x <<210x x <<120x x <<210x x <<ααcos 1sin 2+=α=2tanα21- B.2 C 21 D 315．已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线23x π=对称 B ．关于直线6x π=对称C ．关于点2-03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数Itt 的单位：天的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I *t =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．697．已知在ABC 中，22tan tan A a B b=，判断ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“log 5log 5a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<10．若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上 A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -=11．已知函数()ln ||f x x =£¬2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ） A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞12．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．命题“0x R ∃∈，00x ex <”的否定是_______________14．曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积为__________ 15．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______．16．设x 、y 是常数，且满足()()()()3312018*********x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y +的值是________ 三、解答题（第17题10分；第18--22题每小题12分，共70分） 17．已知函数()()22sin cos f x x x x =++（1）求它的单调递增区间；（2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域18．已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是21a -，4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）()*11n n n b n N a a +=∈{}n b 项和n T 19．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin Aa cos Ba sin B ． （1）求B ；（2）设b ＝，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD＝2，求AD 的长． 20．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望． （下面的临界值表供参考）（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）21．设()13ln 122f x a x x x =+-+曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值 （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间和极值22．已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()'f x 为()f x 的导数，且()()g x f x '=证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点； ()2()2f x（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈）参考答案一、选择题1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B 11．A【解析】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果 【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解， 只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点，0m <不合题意，当0m >时，20mx >,当()ln 01f x x x =>⇒>， 即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切， 即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m =，则有()()20000111,ln ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m =，解得12m e=， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点，则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解， 所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选A 12．C【解析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a << 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+ 故选：C 二、填空题13．x R ∀∈，x e x ≥ 14．－15．2316．2 三、解答题17．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(1⎤-⎦（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为2⎛⎤- ⎥⎝⎦()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦ 18．（1）21n a n =+；（2）()323n nT n =+（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵6336a a d -==，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，∴3113a a -=+，2111a a -=+，416a a =+， ∵31a -是21a -，4a 的等比中项，∴()()232411a a a -=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a = ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+ （2）由（1）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭∴1212n n T b b b =++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。
2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学(理)试题Word版含答案
2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -26．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4C. D.8．已知函数，且，则（）A. B. C. D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.17．（12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、 12、3 13、 14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。
甘肃省天水一中2021届高三上学期第二次考试数学(理)试题 答案
参考答案1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．B 12．C1314．1 15．1010 1617．（1）12t ≤-；（2）1t <-或12t >-. 【详解】（1）x R ∀∈，20tx x t ++≤0t ∴<且2140t ∆=-≤，解得：12t ≤- p ∴为真命题时，12t ≤- （2）[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥[]2,16x ⇒∃∈，21log t x≥-有解 []2,16x ∈时，2111,log 4x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦∴当1t ≥-时，命题q 为真命题p q ∨为真命题且p q ∧为假命题 p ∴真q 假或p 假q 真当p 真q 假时，有112t t <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得：1t <-； 当p 假q 真时，有112t t ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得：12t >-； p q ∴∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或12t >- 18．（1）21n a n =-，2n S n =；（2）221n n + 【详解】（1）设1(1)n a a n d =+-，由题意得12410a d +=，149a d +=，11a =，2d =， 所以21n a n =-，21(1)2n n n S na d n -=+=．（2）12211(21)(21)2121n n n c a a n n n n +===--+-+ ∴1211111113352121n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++． 19．(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1-+.【详解】(1)()2sin cos 1f x x x x =+sin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z , 得71212k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z , 从而函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k kk ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ; (2)在锐角ABC ∆中,cos b B=知,3B π=, 则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62A ππ<<,从而242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 故()f A的取值范围为(1.20．（1）3A π=；（2）【详解】（1）(),m b c =且22m a bc =+，222b c a bc ∴+=+， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 0A π<<，因此，3A π=；（2）由a =3A π=及余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()()()22222223324b c b c a b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯= ⎪⎝⎭， ()22412b c a ∴+≤=，b c ∴+≤b c ==因此，ABC 的周长的最大值为21．（1）12n n a ；（2）12362n n n T -+=-. 【详解】（1）当1n =时，111211a a a =-⇒=，当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为2的等比数列，所以()1*2N n n a n -=∈. （2）由（1）得1212n n n b --=，所以 21135211222n n n T --=++++，2311352122222n n n T -=++++， 两式相减得211121112222n n n n T --=++++- 11112112121121122212n n n n n n -----⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭- 12212333222n n nn n --+=--=-.所以12362n n n T -+=- 22．（1）(,0]-∞，（2）见解析【详解】解：（1）因为函数()f x 在区间()0,1上单调递增，所以()'fx ≥0在()0,1上恒成立， 即()'21(1)a f x x x=-+-≥0， 因为()0,1x ∈，所以a ≤2(1)12x x x x-=+-在()0,1上恒成立， 令1()2g x x x =+-，()0,1x ∈，则2'2211()10x g x x x -=-=<， 所以1()2g x x x=+-在()0,1上递减，所以()(1)0g x g >= 所以当a ≤0时，()f x 在区间()0,1上单调递增，所以a 的取值范围(,0]-∞，（2）因为函数()f x 在x t =处取得极小值，所以()'0f t =，即()'21=0(1)a f t t t=-+-， 得2(1)t a t-=，所以()1ln 1t f t t t -=+- ()f x 的定义域为()0,11(),⋃+∞，()2'221(2)1(1)(1)a x a x f x x x x x -++=-+=-- 因为0a >，所以2(2)40a ∆=+->，设'0f x 的两个根为1212,()x x x x <，解得122222a a x x +-+==， 由12122,1x x a x x +=+=，得1201x x <<<，所以当12(0,)(,)x x x ∈+∞时，()'0f x >；当12(,1)(1,)x x x ∈时，()'0f x < 又因为()f x 在x t =处取得极小值，所以1t >，要证32()0f t t t-+<，只需证明12ln 0(1)t t t t -+<>成立即可， 令()2l 1n 0(1)h t t t t t=-+<>，则2'222(1))101(t h t t t t-=--=-<， 所以()h t 在(1,)+∞上为减函数，所以()(1)0h t h <=， 所以32()0f t t t -+<。
2021-2022年高三上学期第二次考试数学(理)试题
天水一中xx 级xx ——xx 第一学期第二次考试数学试题（理科）王传刚 张硕光学生注意：1. 本试卷分第I 卷(选摔题)和第II 卷(非选摔题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.2021年高三上学期第二次考试数学（理）试题一 、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的)1、已知全集U=R,集合，则集合等于 ( )A. B. C. D. 2、设⎩⎨⎧<+≥-=)8()],4([)8(,2)(x x f f x x x f 则的值为( )A ．6B ．C ．D ．3、设0.213121log 3,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知a<b 函数，若命题，命题q:g(x)在 (a ，b) 内有最值，则命题p 是命题q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、已知，则 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）6、设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ）7、设为等比数列的前项和，已知，则公比（ ）()()()()4328A B C D8.已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数 的最小值为( )A.5B. 7C. 12D. 139．如图是函数在一个周期内的图像，M 、N 分别是最大、最小值点，且，则A • w 的值为( )A. B. C. D.10. 如右图,在△中,,是上的一点,若,则实数的值为( ) A. B C. 1 D. 311．在三角形ABC 中，B=600，AC=, 则AB+2BC 的最大值为( ) A ．3 B. C. D. 212.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为( ) A ． B ． C ． D ．（2，4）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则的最小值是 ．14、已知向量()()1*1,,,,,nn n n p a mq a m n N m ++==∈为正常数，向量，且则数列的通项公式为 。
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天水市一中2018级2020--2021学年度第二次考试试题数学（理）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合{|{2023}A x y B ===-,,,,，M A B = ，则M 的子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个2．已知向量()2,2AB =，(),1AC t =，若2AB BC ⋅=，则t =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．在等差数列中，若，则（ ）{a n }A ．15B ．10C ．5D ．14．已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25B ．25-C ．2D ．2-5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b >>，则下列结论错误的是（ ）A ．11a b <B ．2log ()0a b ->C ．1122a b>D ．33ab>6．一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（）A ．63B ．108C ．75D ．837．已知函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D ．函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A aB c =，（b+c+a ）（b+c-a ）=3bc ，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n +的最小值为（ ）A ．5B ．215C ．516D ．65410. 已知点(),P x y 在曲线C ：2220x y x +-=上，则2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．－2C．1+D．111．已知函数()f x 定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意12(4,0)x x ≠∈-，都有2121()()f x f x x x ->-；②()(4)f x f x =-+；③(4)y f x =+为偶函数，则（ ）A ．(2019)(15)(2)f f f >>B ．(15)(2)(2019)f f f >>C ．(2)(15)(2019)f f f >>D ．(2)(2019)(15)f f f >>12． 已知函数()3xf x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞二、填空题（每小题5分，共20分）13．若复数21i z =+，则||z =________.14．已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．15．已知等差数列{}n a 前n 项和n S ，且201920200,S S ><，若10k k a a +<，则k 的值为________16．如图，在中1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则的面积的最大值为______.三、解答题（第17题10分；第18--22题各小题12分，共70分）17．已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t ++≤.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q：[2,16]x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围.18．已知在等差数列{}n a 中，2410a a +=，59a =.（1）求数列{}n a 的通项公式，写出它的前n 项和n S ；（2）若12n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．设函数()()25sin cos 22f x x x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos b B =,求()f A 的取值范围.20．在中，角A 、B 、C 所对的边长是a 、b 、c ，向量(),m b c =，且满足22m a bc=+ .（1）求角A 的大小；（2）若a =的周长的最大值.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设，求数列{}n b 的前n 项和n T .b n =2n ‒1a n22．已知函数l ()1()1n af x a x R x =+-∈-（1）若函数()f x 在区间()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，函数()f x 在x t =处取得极小值，证明：32()0f t t t -+<.参考答案1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．B 12．C1314．1 15．1010 1617．（1）12t ≤-；（2）1t <-或12t >-.【详解】（1）x R ∀∈ ，2tx x t ++≤0t ∴<且2140t ∆=-≤，解得：12t ≤-p ∴为真命题时，12t ≤-（2）[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥[]2,16x ⇒∃∈，21log t x ≥-有解[]2,16x ∈时，2111,log 4x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦∴当1t ≥-时，命题q 为真命题p q ∨ 为真命题且p q ∧为假命题 p ∴真q 假或p 假q 真当p 真q 假时，有112t t <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得：1t <-；当p 假q 真时，有112t t ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得：12t >-； p q ∴∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或12t >-18．（1）21n a n =-，2n S n =；（2）221nn +【详解】（1）设1(1)n a a n d=+-，由题意得12410a d +=，149a d +=，11a =，2d =，所以21n a n =-，21(1)2n n n S na d n -=+=．（2）12211(21)(21)2121n n n c a a n n n n +===--+-+A ∴1211111113352121n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++．19．(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1-.【详解】(1)()2sin cos 21f x x x x =++sin 221x x =++2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==,令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z ,得71212k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z ,从而函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)在锐角ABC ∆中,cos b B =知,3B π=, 则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62A ππ<<,从而242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为(1+.20．（1）3A π=；（2）【详解】（1）(),m b c =且22m a bc=+ ，222b c a bc ∴+=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<< ，因此，3A π=；（2）由a =3A π=及余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()()()22222223324b c b c a b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯= ⎪⎝⎭，()22412b c a ∴+≤=，b c ∴+≤，当且仅当b c ==因此，ABC A的周长的最大值为21．（1）12n n a -=；（2）12362n n n T -+=-.【详解】（1）当1n =时，111211a a a =-⇒=，当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为2的等比数列，所以()1*2N n n a n -=∈.（2）由（1）得1212n n n b --=，所以21135211222n n n T --=++++ ，2311352122222n n n T -=++++ ，两式相减得211121112222n n nn T --=++++- 11112112121121122212n n n n n n -----⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭-12212333222n n n n n --+=--=-.所以12362n n n T -+=-22．（1）(,0]-∞，（2）见解析【详解】解：（1）因为函数()f x 在区间()0,1上单调递增，所以()'f x ≥0在()0,1上恒成立，即()'21(1)a f x x x =-+-≥0，因为()0,1x ∈，所以a ≤2(1)12x x x x -=+-在()0,1上恒成立，令1()2g x x x =+-，()0,1x ∈，则2'2211()10x g x x x -=-=<，所以1()2g x x x =+-在()0,1上递减，所以()(1)0g x g >=所以当a ≤0时，()f x 在区间()0,1上单调递增，所以a 的取值范围(,0]-∞，（2）因为函数()f x 在x t =处取得极小值，所以()'0f t =，即()'21=0(1)a f t t t=-+-，得2(1)t a t -=，所以()1ln 1t f t t t -=+-()f x 的定义域为()0,11(),⋃+∞，()2'221(2)1(1)(1)a x a x f x x x x x -++=-+=--因为0a >，所以2(2)40a ∆=+->，设()'0f x =的两个根为1212,()x x x x <，解得12x x ==由12122,1x x a x x +=+=，得1201x x <<<，所以当12(0,)(,)x x x ∈+∞ 时，()'0f x >；当12(,1)(1,)x x x ∈ 时，()'0f x <又因为()f x 在x t =处取得极小值，所以1t >，要证32()0f t t t -+<，只需证明12ln 0(1)t t t t -+<>成立即可，令()2l 1n 0(1)h t t t t t =-+<>，则2'222(1))101(t h t t t t -=--=-<，所以()h t 在(1,)+∞上为减函数，所以()(1)0h t h <=，所以32()0f t t t -+<。