静力学_常见的力与静力平衡

s
N
其中μs 稱為靜摩擦係數，為沒有單位的比例常數，其值與接觸面的材質和
表面狀況有關，如下表所示為不同材料之間的靜摩擦係數。
材料
鋼與鋼 鋁與鋼 銅與鋼 黃銅與 銅與鑄 鐵弗龍與
鋼
鐵
鋼
靜摩擦 0.74 0.61 0.53 0.51 1.05 0.04 係數μs
至於有關靜摩擦力的成因以及物體運動之後又會受到什麼樣的摩擦力作 用，我們將這些進一步的細節留待第四章第四節再做討論。
3. 靜摩擦係數之測定： 如右圖所示，物體靜置於斜角θ可調整的粗糙斜 面上，物體所受的重力 W 鉛直向下，斜面作用於 物體的正向力 N ，方向垂直於斜面。若僅重力和 正向力作用於物體，則兩者的合力不為零，無法 平衡，故斜面必有靜摩擦力 f 作用於物體。
(1) 緩慢增加傾斜角θ，觀察當物體在斜面上開始 恰要下滑時的傾斜角θs 值。 ∵ Σ F ＝0 ∴ 平行斜面方向：f＝Wsinθ 垂直斜面方向：N＝Wcosθ 若物體與斜面之間的靜摩擦係數為μs 則 f fs,max＝μs N 即 W sinθμs W cosθ 得 tanθμs。
(2) 若傾斜角θ增大至某一角度θs，符合 tanθs＝μs 關係時，物體開始下滑。因此，透 過測量θs 的數值，我們便可利用此一簡便的實驗得到μs 的大小，且 0 μs∞。
(3) 若斜面的傾斜角θ'大於θs，使得 tanθ'＞μs，物體將往下滑動，無法維持靜力平衡。
範例 3 靜摩擦力
如右圖所示，木箱重量為 60 kgW，與地面之間 的靜摩擦係數為 0.40，一人欲拉動木箱，所需 的最小水平拉力量值為何？
(3)對木塊而言，受到三個力的作用，所以可求出正向力 N＝200 gw。這個正向 力來於磅秤，因此木塊給磅秤的反作用力也是 200 gw，就是磅秤讀數。
2 静摩擦力
1. 定義： 當相互接觸的兩個物體呈現相對靜止，但是存在著企圖作相對運動的 趨勢時，在接觸面之間會產生一個阻礙相對運動的力，此力就是靜摩 擦力，其方向和相對運動趨勢的方向相反。有時我們不得不利用這個 阻力，例如人在走路的時候，腳與地面會產生靜摩擦力，人向後施力， 產生一個向前的反作用力，這就是靜摩擦力的表現。
分析物體受力，要將物體從系統中抽離，只看物體本身的受力，才能簡化問題，
這種方法就是獨立物體法。圖中的系統已經達靜力平衡，所以不論看哪個物體，
都是達到靜力平衡、合力為零。
(1)受力圖如下： for 砝碼
for 木塊
N＋100＝300 ∴ N＝200（gw）
(2)砝碼僅受二力作用，故繩子張力往上，大小為 100 gw。 同一條繩子張力相同，所以對木塊而言，繩子張力仍為 100 gw，方向向上。
範例 5 靜摩擦力與靜力平衡
以一量值為 300 牛頓的水平推力作用在質量 5.0 公斤的書上，將它壓在一垂直的牆壁上，使它不 會下滑，如右圖。若書與牆壁之靜摩擦係數μs ＝0.20，求：（設 g＝9.8 m／s2） (1) 牆作用在書本之正向力量值。 (2) 牆作用在書本之摩擦力量值。 (3) 若推力一直減少，直到書本即將滑動前，推力量值為何？
平地
面上，當以 10 N 與 4 N 之水平推力，
同時
作用於左、右邊時，物體仍呈靜止狀態，如右圖所示；若此時突然
撤去 10 N 之推力後，則就物體之受力與運動狀態之敘述，何者正確？ （設 g＝10 m／s2 ）
(A)物體受到之摩擦力為 4 N (B)物體此時仍呈靜止狀態 (C)物體
所受合力為零 (D)物體與地面間之最大靜摩擦力必不比 6 N 小
3–6 靜力平衡與靜摩擦力
1 正向力
1. 正向力（Normal Force）：為兩物體接觸面間垂直的作用力，通常以符號 N 表示。
如圖(a)，若物體放置於水平的地面上，由於物體的重力方向向下，造成地面會施一相等量
值並垂直地面向上的 作用力與重力互相抵消，使物體不會陷入地面或掉下來，這個作用
力即為此情況下的正向力。若如圖(b)，則因 地面需多克服外力 F 垂直地面向下的分量
(1)
(2)
[答案] (1) N＝mg cosθ；(2) N＝mg cosθ＋F sinθ
如下圖所示
(1) N＝mg cosθ
(2) N＝mg cosθ＋Fsinθ
2. 正向力的方向：必和接觸點的切線（面）垂直
2 繩子張力
1. 繩子張力：當物體連接一條繩子，而繩子處於繃緊的狀態下，則物體會受到一個遠離本 身且沿著細繩方向的力，此即為繩子的張力。
τW＝W×
L 2
×sinθ
τ ＝F 梯子與牆面
梯子與牆面
×
L
×
cosθ
F
＝ 梯子與牆面
1 2
W tanθ
(2) F ＝ 梯子與地面W2＋（F来自）2梯子與牆面
＝
W
2＋（
1 2
W
tanθ）2
＝
W 2
tan2θ＋4
(3) 若人稍往上爬，梯子便開始下滑，則梯子受地面給它的最大靜摩擦力 fs,max（向左）
與正向力
N（向上）
fs,max＝F
＝ 梯子與牆面
1 2
W tanθ，N＝W
tanθ μs＝ 2 。
之值為何？
[答案]
1 1－tanθ
l 將轉動： 2
×
F
cosθ＝
l 2
×
W，
得 F cosθ＝W，
將滑動：F cosθ＝fs,max =μs N 其中 F cosθ＝W，N＝W－F sinθ＝W－W tanθ，
1 代入得μs＝ 1－tanθ 。
範例 9 靜力平衡
若一梯子長 L ，重量可不計，靠在牆與地上，如右圖所示。
(1) 螞蟻爬到最高處時，當時的下滑力與正向力的比值為多少？ (2) 螞蟻能夠爬升的最大高度為何（由碗底量起）？
[答案] (1) μs；(2) R（1－
1 1＋μs2 ）
(1) 在最高點時，下滑力＝fs,max＝μs
下滑力
N
N
＝μs
(2) 由ΣF＝0，N＝Wcosθ，
fs,max＝Wsinθ tanθ＝μs，
F sinθ，故此情況下的正向力 N＝mg＋F sinθ。同理，在圖(c)情況下，正向力 N＝mg－F sinθ。
(a) N＝mg
(b) N＝mg＋F sinθ
(c) N＝mg－F sinθ
範例 1 正向力判斷
若物體質量為 m，重量 W＝mg，所受外力為 F，則下列情形，斜面
施予物體的正向力的量值為何？（請以 m、g、F、θ表示）
(E)此時地面給物體的作用力量值為 6 N
[答案] ＡＢＣＤ (1) 原來：靜摩擦力（向左）fs＝10－4＝6（N）最大靜摩擦力，則後來
之施力＝4 N 仍比最大靜摩擦力小，故物體受 4 N 之靜摩擦力而保持靜止。 (2) 地面給物體的作用力＝ N2＋fs2 ＝ ( mg) 2＋fs2 ＝
（1 × 10）2＋42 ＝ 116 ＝2 29
2. 性質：
靜摩擦力會隨施力的增大而增大，並與外力完全抵銷。但是當外力超過最
大靜摩擦力時，物體會開始運動。由實驗顯示出，最大靜摩擦力 fs,max 和物
體的接觸面之特性有關，而當接觸面之材質選定後，此力大略與接觸物體
間的垂直正向力 N 成正比，但和接觸面積的量值無關。因此我們可以列出
f ＝μ s,max
所求 x＝R－Rcosθ＝R（1－
1 1＋μs2 ）
範例 8 摩擦力與靜力平衡
水平桌面上有一邊長為 的正方體，今在此立方體
的某垂直面（x-z 平面）的正中央繫一繩，以此繩 拉立方體，繩在 y-z 平面且與水平的 y 方向夾θ 角，如右圖所示。當拉力 F 逐漸增大時，發現正立方體開始滑動的同時 亦開始以 x 軸發生轉動。設桌面與立方體間的靜摩擦係數為μs，則μs
範例 2 獨立物體法
將一木塊靜置於一磅秤上測出重量 300 gw，若將此木塊 繫於細繩之一端，使細繩跨過一無摩擦之滑輪，另一端 懸吊 100 gw 的砝碼。求： (1) 畫出砝碼和木塊的受力圖。 (2) 細繩分別作用在砝碼和木塊的張力各為多少？ (3) 磅秤讀數若干？
[答案] (1) 見解析；(2) 各為 100 gw；(3) 200 gw
[答案] (1) 300（牛頓）；(2) 49（牛頓）；(3) 245（牛頓）
(1) 牆作用在書本之正向力 N＝F＝300 牛頓（與
書本之重量無關）
(2) 牆作用在書本之摩擦力 fs＝W＝mg＝5.0 ×
9.8＝49（牛頓）
(3)
推力 Fmin＝
W
μs
＝
49 0.20
＝245（牛頓）
範例 6 靜摩擦力
牆面光滑。一個重 W 的人立於梯的中間，試問：
(1) 梯子與牆的作用力量值為何？
(2) 梯子與地面的作用力量值為何？
(3) 若人稍往上爬，梯子便開始下滑，則梯子與地面之靜摩擦係數為何？
[答案] (1)
W tanθ 2 ；(2)
W 2
tan2θ＋4 ；(3)
tanθ 2
(1) 以梯子與地面接觸點處為支點
(1) 只要繩子處於緊繃狀態，繩上就會有張力。 (2) 張力的方向視參考點而定。例如圖中，雖然連接 A、B 的是同一條繩子，A 感受到繩
子張力方向向右，而 B 感受到繩子的張力方向則向左。 (3) ［兩個重要的假設］通常我們假定繩子具有下列性質：
○1 無質量：所以同一條繩子各點張力相同。 ○2 不伸縮：所以同一條繩子相連的各物體速度和加速度皆相同。
如右圖所示，傾斜角為 37。的固定斜面上放置重 2.0 kgw 的物體，物體和斜面之間的靜摩擦係數為 0.50。今沿 平行於斜面的方向上施力，使物體靜止在斜面上，則 此力的量值範圍為何？
[答案] 0.4 kgw ≤F ≤2.0 kgw