2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(理科)(带答案)
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-1＜x≤3}，B={x|lg x＞0}，则A∩B等于（）A. （-1，1）B. （1，3）C. （0，3]D. （1，3]2.设i是虚数单位，若复数z满足z•i=4-9i，则其共轭复数=（）A. -9-4iB. -9+4iC. 9-4iD. 9+4i3.设，，n=log a（1-a），，则m，n，p的大小关系是（）A. n＞m＞pB. m＞p＞nC. p＞n＞mD. n＞p＞m4.函数f（x）=sin x+（x∈R）的最小值是（）A. B. C. D.5.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.在如图的程序框图中，若n=2019，则输出y=（）A. 0B.C.D.7.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a cos B+b cos A=2cos C，c=1，则角C=（）A. B. C. D.8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. 2 D.9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）图象的一部分如图所示．若A，B，D是此函数的图象与x轴三个相邻的交点，C是图象上A、B之间的最高点，点D的坐标是（，0），则数量积=（）A.B.C.D.10.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是边长为2，且一个内角为60°的菱形，俯视图是正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. 16B. 8C. 4D. 811.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A, B，则A, B两点之间的距离是A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-2，]C. [-]D. [-2，-]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（m，1），=（3，3）．若（），则实数m=______．14.2019年3月18日晚，某校高一年级举行“校园歌手卡拉OK大奖赛”，邀请了七位评委为所有选手评分．某位选手演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所示，按照比赛规则，需去掉一个最高分和一个最低分，则该选手最终所得分数的平均分为______．15.在四面体ABCD中，AB=CD=，BC=DA=，CA=BD=，则此四面体ABCD外接球的表面积是______．16.关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，经统计数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，由此估计π的近似值是______（用分数表示）．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.记S n，q分别为等比数列{a n}的前n项和与公比，已知a2=9，S3=-21，|q|＞1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{S n}的前n项的和．18.公历4月5日为我国传统清明节，清明节扫墓我们都要献鲜花，某种鲜花的价格会随着需求量的增加而上升．一个批发市场向某地商店供应这种鲜花，具体价格统计如下表所示日供应量x（束）384858687888单位y（元）16.818.820.722.42425.5日供应量x与单价y之间的关系；（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（I）的判断结果以及参考数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）该地区有6个商店，其中4个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以下，2个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以上，则从这6个商店个中任取2个进行调查，求恰有1个商店对这种鲜花的需求量在60束以上的概率．参考公式及相关数据：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．（ln x i•ln y i）（ln x i）（ln y i）（ln x i）275.324.618.3101.419.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上），使平面APQ⊥平面BPQC．D，E分别是PQ，BC的中点．（Ⅰ）证明：PQ⊥平面ADE；（Ⅱ）若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥A-PBCQ的体积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（1，），焦距长2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不垂直于坐标轴的直线L与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．设O为坐标原点，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．21.设函数g（x）=te2x+（t+2）e x-1，其中t∈R．（Ⅰ）当t=-1时，求g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若t是非负实数，且函数f（x）=g（x）-4e x-x+1在R上有唯一零点求t的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为原点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（）．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最小值为2，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+2．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）；（Ⅱ）设g（x）=|2x-a|+|2x+3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B={x|x＞1}；∴A∩B=（1，3]．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由z•i=4-9i，得z=，故=-9+4i，故选：B．利用复数的四则运算计算出z后即可求共轭复数．本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵；∴，；∴；∴n＞p＞m．故选：D．根据作差比较即可得出，根据对数函数的单调性即可得出m，n，p的大小关系．考查作差比较法的运用，配方法的运用，以及对数函数的单调性．4.答案：C解析：解：f（x）=，=，又因为,当sin x=-1，即x=2k（k∈Z）时，，故选：C．首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二次函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.答案：A解析：解：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行，则，解得λ=-3或λ=1，又“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行”的充分不必要条件，故选：A．由直线平行的判定得：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行，则，解得λ=-3或λ=1，由充分必要条件得：“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平行”的充分不必要条件，得解．本题考查了直线平行的判定及充分必要条件，属简单题．6.答案：C解析：解：流程图的作用是计算函数y=cos的值，其中n≤4，而n的初始值为2019，由程序框图中的判断可知，若n＞5，则需要减去5，直至小于5为止，因2019=2015+4，故y=cos=．故选：C．流程图的作用是计算函数y=cos的值，其中n≤4，利用2019=2015+4可计算输出值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：B解析：解：因为c=1，故：a cos B+b cos A=2cos C=2c cos C，由正弦定理可以得到：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cosC，故：sin C=2sin C cosC，因C∈（0，π），所以sin C＞0，故cos C=，因C∈（0，π），故C=．故选：B．把题设中的边角关系化为a cos B+b cos A=2c cos C，利用正弦定理和两角和的正弦公式可得sin C=2sin C cosC，从该方程中可得C的值．在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式，本题属于基础题．8.答案：D解析：解：双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的方程后利用圆心到其距离为可得，从该式可求离心率．圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和两个向量数量积公式，属于基础题．由函数的图象可得f（x）的解析式，求出A、B、C的坐标，从而可以求出数量积的值．【解答】解：设f（x）=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0），由图象可知A=2，且f（0）=2sinφ=1，故sinφ=，∴φ=．再根据五点法作图可得•+φ=2π，又φ=，∴，∴f（x）=2sin（2x+），A（-，0）、B（，0）、C（，2）．∴•=（，0）（，2）=，故选：D．10.答案：A解析：解：由三视图可知，原几何体为两个正四棱锥的组合体，其中正四棱锥的高为，底面正方形的边长为2，故斜高为2，组合体的表面积为：，故选：A．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．11.答案：B解析：解：设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），当0＜x＜1时，f′（x）=-，当x＞1时，f′（x）=，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），故l1：y=-（x-x1）-ln x1，整理得到y=-x-ln x1+1，l2：y=（x-x2）+ln x2，整理得到y=x-1+ln x2，所以A（0，1-ln x1），B（0，ln x2-1），|AB|=|2-ln（x1x2）|，因l1⊥l2，故x1x2=1，所以|AB|=2，故选：B．设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），利用两直线垂直得到x1x2=1，求出l1与l2的方程，可得A，B的坐标后可得|AB|的值．对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0在（-∞，+∞）内恒成立，即在（-∞，+∞）内恒成立．∴在（-∞，+∞）内恒成立．sin x=t，t∈[-1，1]．则有在[-1，1内恒成立．∴，∴∴．故选：C．给寂函数的单调性，可利用求导转化为不等式恒成立问题．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求．13.答案：5解析：解：因为（），故（）•=0，即3m+3-18=0，故m=5，故答案为：5．由（），可得（）•=0，利用数量积的坐标运算可得m=5．向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，．特别地，两个非零向量，垂直的充要条件是．14.答案：85解析：解：去掉最高分93，去掉最低分79，该选手所得分数的平均分为80+（4+4+6+4+7）=80+5=85，故答案为：85．根据茎叶图中的数据，去掉最高分和最低分后计算余下各数的平均数即可．本题考查茎叶图及样本均值，结合平均数的公式是解决本题的关键，比较基础．15.答案：14π解析：解：将该几何体补成如图所示的长方体：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，所以a2+b2+c2=14，所以长方体的外接球（即四面体ABCD的外接球）的直径为，其表面积为14π．故答案为：14π．根据对棱长相等可将四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表面积．几何体的外接球问题，应该先考虑如何确定球的球心，再把球的半径放置在可解的平面图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把几何体补成规则的几何体，通过规则几何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径．16.答案：解析：解：每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可用如图所示的正方形区域表示，数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）需满足x+y＞1，x2+y2＜1，可用如图所示的阴影部分区域表示，设“数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）===，又数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，故答案为：．由钝角三角形的求法及几何概型中的面积型得：每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可用如图所示的正方形区域表示，数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）需满足x+y＞1，x2+y2＜1，可用如图所示的阴影部分区域表示，设“数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）===，又数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，得解．本题考查了钝角三角形的求法及几何概型中的面积型，属中档题．17.答案：解：（I）由题设可得a1q=9，a1+a1q+a1q2=-21，解得q=-3，或q=-．由|q|＞1，可得q=-3．则a1=-3．故{a n}的通项公式为a n=（-3）n；（II）由（I）可得S n==-+×（-3）n，所以{S n}是以-为首项，-3为公比的等比数列，{S n}的前n项的和为T n==-+×（-3）n．解析：（I）列出关于a1，q的方程组，解出a1，q的值后可得通项公式；（II）利用等比数列的前n和公式可得所求之和．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．18.答案：解：（Ⅰ）根据表中数据可知，选择y=ax b作为日供应量x与单价y之间的回归方程更合适；（II）对y=ax b两边同取对数得，ln y=b ln x+ln a；令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，∴b==又因为=b+ln a，所以=×+ln a，∴ln a=1，即a=e；故所求的回归方程为y=e．（III）由题已知，4个商店每日对这种鲜花的需求量在60束以下，记为a，b，c，d，2个商店对这种鲜花的需求量在60束以上，记为E，F，则任取2个商店，所有的基本事件为ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15个，其中满足条件的有8个．所以所求的概率为P=．解析：（I）根据表中数据可得合适的回归方程；（II）对y=ax b两边同取对数，令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，利用参考数据及公式可计算该线性回归方程从而得到要求的非线性回归方程；（III）利用枚举法可求得概率．本题考查了非线性回归方程的计算与应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.答案：证明：（I）连接AD，DE，AE，在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ．又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE⊥PQ．而AD∩DE=D，所以PQ⊥平面ADE．解：（II）因为平面APQ⊥平面BPQC，AD⊥PQ，所以AD⊥平面PBCQ，连结BD，则d2=AD2+BD2．设AD=x，DE=（E为BC的中点），于是BD2=DE2+BE2=（）2+．∴d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=+=2（x-）2+，当x=时，d min=．此时四棱锥A-PBCQ的体积为==．解析：（I）连接AD，DE，AE，可证AD⊥PQ，DE⊥PQ，从而可证PQ⊥平面ADE．（II）设AD=x，DE=（E为BC的中点），则计算可得d2=2（x-）2+，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥A-PBCQ的体积．线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：（I）由题意知c=．又因为+=1，即+=1，解得b2=1，a2=4．故椭圆C的标准方程是+y2=1．（II）设直线l的方程为y=kx+b（k≠0），联立消去y得，（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，△=16（4k2-b2+1）．设P（x1，kx1+b），Q（x1，kx1+b），则x1+x2=-，x1x2=．于是k PN+k QN=+=，由∠ONP=∠ONQ，知k PN+k QN=0．即：2kx1x2-（4k-b）（x1+x2）-8b=2k•-（4k-b）•（-）-8b=+-8b=0，得b=-k，△=16（3k2+1）＞0，故动直线l的方程为y=kx-k，过定点（1，0）．解析：（I）利用待定系数法可求椭圆的标准方程．（II）设直线l的方程为y=kx+b（k≠0），联立消去y后利用韦达定理化简k PN+k QN=0，从而得到b=-k即直线过（1，0）．求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等．直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2，x1+x2或y1y2，y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可解定点、定值、最值问题．21.答案：解：（I）当t=-1时，g（x）=-e2x+e x-1．由g′（x）=-2e2x+e x=e x（1-2e x）=0，得x=-ln2．∴g（x）的单增区间是（-∞，-ln2），单减区间是（-ln2，+∞）．极大值是g（-ln2）=-，无极小值．（II）函数f（x）=g（x）-4e x-x+1=te2x+（t-2）e x-x，x∈R．当t＞0时，由f′（x）=2te2x+（t-2）e x-1=（te x-1）（2e x+1）=0，得x=-ln t．f（-ln t）是极小值，∴只要f（-ln t）=0，即ln t-=0．令F（t）=ln t-+1，则F′（t）=＞0，F（t）在（0，+∞）内单增．∵F（1）=0，∴当0＜t＜1时，F（t）＜F（1）=0；当t＞1时，F（t）＞F（1）=0．实数t的值是1．当t=0时，f（x）=-2e x-x．f（x）为R上的减函数，而f（1）=-2e-1＜0，f（-2）=2-2e-2＞0，∴f（x）有且只有一个零点．故实数t的值是1或0．解析：（I）求出导数后讨论导数的符号可得函数的单调区间和极值．（II）分t＞0和t=0两种情况，结合函数的单调性和零点存在定理可得t的值．本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22.答案：解（I）曲线C1：x+y-m+1=0；曲线C2的极坐标方程为=4（sinθ+cosθ），即ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得C2：（x-2）2+（y-2）2=8（II）因为曲线C2的半径r=2，若点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，P，Q两点间距离的最小值为2，即圆C2的圆心到直线C1的距离4，=4，解得m=-3或m=13．解析：（I）消去参数后可得C1的普通方程，利用可得C2的直角方程．（II）利用PQ的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出m．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（I）不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）等价于|x-2|+|x-1|＞3，①当x＞2时，原不等式即为2x-3＞3，解得x＞3，∴x＞3；②当1＜x≤2时，原不等式即为1＞3，解得x∈∅，∴x∈∅；③当x≤1时，原不等式即为-2x+3＞3，解得x＜0，∴x＜0；∴不等式解集为{x|x＜0或x＞3}．（II）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成立，则{y|y=g（x）}⊆{y|y=f（x）}，∵g（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，当且仅当（2x-a）（2x+3）≤0时取等号，又f（x）=|x-2|+2≥2，∴|a+3|≥2，∴a≥-1或a≤-5，∴a的取值范围（-∞，-5]∪[-1，+∞）．解析：（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解．（Ⅱ）由题意可设{y|y=g（x）}⊆{y|y=f（x）}，求出两个函数的值域后可得实数a的取值范围．本题考查了用零点分段法解不等式与等式的有解或恒成立问题，转化为函数值域的包含关系是解决本题的关键，属于中档题．。
2020年高考数学二模试卷(理科)
2020年高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）如果，那么（）A . 0⊆AB . {0}∈AC . ∅∈AD . {0}⊆A2. （2分）(2017·郎溪模拟) 若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A . ﹣4B .C . 4D .3. （2分） (2018高二上·六安月考) 已知“ ，”的否定是（）A . ，，B . ，，C . ，，D . ，，4. （2分）已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（）A .B .C .D . 65. （2分） (2017高二下·雅安开学考) 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A . 6B . 21C . 156D . 2316. （2分）(2017·铜仁模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 16π﹣B . 16π﹣C . 8π﹣D . 8π﹣7. （2分） (2017高二下·河北期中) 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·静安模拟) 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A . 336种B . 320种C . 192种D . 144种10. （2分） (2016高二下·长治期中) 与椭圆C： =1共焦点且过点（1，）的双曲线的标准方程为（）A . x2﹣ =1B . y2﹣2x2=1C . ﹣ =1D . ﹣x2=111. （2分）长方体ABCD—中，AB=2，AD=2，，则点D到平面的距离是（）A .B .C .D . 212. （2分）(2016·韶关模拟) 已知，则f（﹣1+log35）=（）A . 15B .C . 5D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在二项式（﹣x2）4展开式中含x3项的系数是________．14. （1分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是________ 米．15. （1分） (2015高三上·河北期末) 对于数列{an}，定义Hn= 为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1 ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为________ ．16. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 函数f（x）=x3﹣3x的极小值为________．三、解答题： (共7题；共50分)17. （5分） (2016高二上·潮阳期中) △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．18. （10分）抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．（1）若抛掷一次，求E（X）和D（X）；（2）若抛掷10次，求E（X）和D（X）．19. （5分） (2016高二上·重庆期中) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：A1C1=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1 ，∠BCC1=120°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20. （5分） (2016高三上·平阳期中) 已知椭圆C： =1的左顶点为A（﹣3，0），左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0（m∈R）的圆心M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．21. （15分）(2017·南通模拟) 已知函数，，其中e为自然对数的底数．（1）求函数在x 1处的切线方程；（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2017·常宁模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．23. （5分）(2017·三明模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；（II）当x∈R时，f（x）≥a2﹣a﹣13，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2020届安徽省淮南市高三第二次模拟考试理科数学试题
绝密★启用前淮南市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 已知集合{}{}(1)2,11A x x x B x x =+≤=->，则A ∩B=A. [1,0-)B. [2,0-)C. (0,1]D. (0, 2] 2．i 是虚数单位，复数22a i z i+=+是纯虚数，则实数a = A. 1- B. 1 C. 4 D. 4- 3．函数sin cos y x x =- 在[,]ππ-上的图象是4. 在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为A. 15 B ．25 C ．35 D ．455.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 17=S 18 ，则在a 18 ，S 35 ，a 17 -a 19 ， S 19 -S 16 这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 x6．为了得到正弦函数y =sin x 的图象，可将函数sin()3y x π=+的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（m>0，n>0），则m n -的最小值是 A. 3π B. 23π C. 43π D. 53π 7．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.32B. 2C. 3D. 928.设61215111245log ,log ,log a b c ===，则 第7题图 A. a <b<c B. c <b <a C. b<a <c D. c <a<b9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于 A. 118 B. 332 C. 29 D. 89 10. 在平行四边形 ABCD 中， AB=2AD 3E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且CF =2FD ，若172AE BF ⋅=-u u u r u u u r ，则∠DAB = A. 30° B. 60° C.120° D.150°11. 双曲线C : 221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，F 1，F 2 分别为双曲线C 的左、右 焦点，I 为△PF 1F 2 的内心，若内切圆I 的半径为1，直线IF 1，IF 2 的斜率分别为k 1，k 2 ， 则k 1 +k 2 的值等于 A.38 B. 38- C. 58- D. 5812. 定义在R 上函数 f (x)满足1(1)()2f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()121f x x =-- . 则使得1()16f x ≤在[,)m +∞上恒成立的m 的最小值是 A. 72 B. 92 C. 134 D. 154第 II 卷（非选择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 题~第23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）13. 已知公比不为 1 的等比数列{}n a ,且236457,23a a a a =+= ,则数列的通项公式_______n a =14．在5()(1)a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =_________.15．过抛物线 y 2 =4x 焦点F 的直线交抛物线于点 A 、B ，交准线于点P ，交 y 轴于点Q ，若PQ FB =u u u r u u u r ，则弦长______AB = .16．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”. 现有阳马S-ABCD , SA ⊥平面 ABCD ，AB =1, AD=3，SA 3= . BC 上有一点E ，使截面 SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于 __________________. 第16题图三、解答题：（本大题满分 60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ ABC 中，三内角 A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin A=2sin B 3= cos A .（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）已知a =2，8AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，求△ ABC 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ACB=∠C 1CB =90 °，∠A 1AC=60 °，D ，E 分别为 A 1A 和B 1C 1的中点，且AA 1 =AC=BC ．（Ⅰ）求证： A 1E //平面BC 1D ；（Ⅱ）求平面BC 1D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．第18题图19.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，原点到直线1x y a b+=的距离等于233，又知点Q(0，3)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C上总存在两个点 A、B关于直线 y =x +m对称，且3QA·QB<28，求实数m 的取值范围．20.（本小题满分12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m的次数填入下面的列联表：试写出a，b，c，d的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护,工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（k N *）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期（以120 天计）内的维护方案：T =30，k =1,2,3,4 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周 期内生产维护费的分布列及期望值.21.（本小题满分12分） 已知函数21()1,2x f x e x ax a R =-++∈ . （Ⅰ）若 f (x)为R 上的增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若a>0，12x x ≠，且 f (x 1 ) +f (x 2) =4，证明： f (x 1+x 2 ) <2.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）
2020年安徽省淮南市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年安徽省淮南市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.若集合A={x|-1＜x≤3}，B={x|lg x＞0}，则A∩B等于（）A. （-1，1）B. （1，3）C. （0，3]D. （1，3]2.设i是虚数单位，若复数z满⾜z?i=4-9i，则其共轭复数=（）A. -9-4iB. -9+4iC. 9-4iD. 9+4i3.设，，n=log a（1-a），，则m，n，p的⼤⼩关系是（）A. n＞m＞pB. m＞p＞nC. p＞n＞mD. n＞p＞m4.函数f（x）=sin x+（x∈R）的最⼩值是（）A. B. C. D.5.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平⾏”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件6.在如图的程序框图中，若n=2019，则输出y=（）A. 0B.C.D.7.在△ABC中，三内⾓A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a cos B+b cos A=2cos C，c=1，则⾓C=（）A. B. C. D.8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离⼼率等于（）A. B. C. 2 D.9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）图象的⼀部分如图所⽰．若A，B，D是此函数的图象与x轴三个相邻的交点，C是图象上A、B之间的最⾼点，点D的坐标是（，0），则数量积=（）A.B.C.D.10.如图，⼀个空间⼏何体的正视图、侧视图都是边长为2，且⼀个内⾓为60°的菱形，俯视图是正⽅形，那么这个⼏何体的表⾯积为（）A. 16B. 8C. 4D. 811.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A, B，则A, B两点之间的距离是A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-2，]C. [-]D. [-2，-]⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知向量=（m，1），=（3，3）．若（），则实数m=______．14.2019年3⽉18⽇晚，某校⾼⼀年级举⾏“校园歌⼿卡拉OK⼤奖赛”，邀请了七位评委为所有选⼿评分．某位选⼿演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所⽰，按照⽐赛规则，需去掉⼀个最⾼分和⼀个最低分，则该选⼿最终所得分数的平均分为______．15.在四⾯体ABCD中，AB=CD=，BC=DA=，CA=BD=，则此四⾯体ABCD外接球的表⾯积是______．16.关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李⽼师组织100名同学进⾏数学实验教学，要求每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，经统计数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，由此估计π的近似值是______（⽤分数表⽰）．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.记S n，q分别为等⽐数列{a n}的前n项和与公⽐，已知a2=9，S3=-21，|q|＞1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{S n}的前n项的和．18.公历4⽉5⽇为我国传统清明节，清明节扫墓我们都要献鲜花，某种鲜花的价格会随着需求量的增加⽽上升．⼀个批发市场向某地商店供应这种鲜花，具体价格统计如下表所⽰⽇供应量x（束）384858687888单位y（元）16.818.820.722.42425.5⽇供应量x与单价y之间的关系；（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（I）的判断结果以及参考数据，建⽴y关于x的回归⽅程；（Ⅲ）该地区有6个商店，其中4个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以下，2个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以上，则从这6个商店个中任取2个进⾏调查，求恰有1个商店对这种鲜花的需求量在60束以上的概率．参考公式及相关数据：对于⼀组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为=，=．（ln x i?ln y i）（ln x i）（ln y i）（ln x i）275.324.618.3101.419.正三⾓形ABC的边长为a，将它沿平⾏于BC的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上），使平⾯APQ⊥平⾯BPQC．D，E分别是PQ，BC的中点．（Ⅰ）证明：PQ⊥平⾯ADE；（Ⅱ）若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最⼩时，四棱锥A-PBCQ的体积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（1，），焦距长2．（Ⅰ）求椭圆C的标准⽅程；（Ⅱ）设不垂直于坐标轴的直线L与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．设O为坐标原点，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．21.设函数g（x）=te2x+（t+2）e x-1，其中t∈R．（Ⅰ）当t=-1时，求g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若t是⾮负实数，且函数f（x）=g（x）-4e x-x+1在R上有唯⼀零点求t的值．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（其中t为参数）．以坐标原点O为原点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为sin（）．（Ⅰ）写出曲线C1的普通⽅程和曲线C2的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最⼩值为2，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+2．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）；（Ⅱ）设g（x）=|2x-a|+|2x+3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成⽴，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B={x|x＞1}；∴A∩B=（1，3]．故选：D．可求出集合B，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由z?i=4-9i，得z=，故=-9+4i，故选：B．利⽤复数的四则运算计算出z后即可求共轭复数．本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵；∴，；∴；∴n＞p＞m．故选：D．根据作差⽐较即可得出，根据对数函数的单调性即可得出m，n，p的⼤⼩关系．考查作差⽐较法的运⽤，配⽅法的运⽤，以及对数函数的单调性．4.答案：C解析：解：f（x）=，=，⼜因为,当sin x=-1，即x=2k（k∈Z）时，，故选：C．⾸先通过三⾓函数关系式的变换，把函数的关系式变形成⼆次函数的形式，进⼀步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的变换，⼆次函数的性质的应⽤，主要考察学⽣的运算能⼒和转换能⼒，属于基础题型．5.答案：A解析：解：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏，则，解得λ=-3或λ=1，⼜“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏”的充分不必要条件，故选：A．由直线平⾏的判定得：直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏，则，解得λ=-3或λ=1，由充分必要条件得：“λ=-3”是“λ=-3或λ=1”的充分不必要条件，即“直线2λx+（λ-1）y=1与直线6x+（1-λ）y=4平⾏”的充分不必要条件，得解．本题考查了直线平⾏的判定及充分必要条件，属简单题．6.答案：C解析：解：流程图的作⽤是计算函数y=cos的值，其中n≤4，⽽n的初始值为2019，由程序框图中的判断可知，若n＞5，则需要减去5，直⾄⼩于5为⽌，因2019=2015+4，故y=cos=．故选：C．流程图的作⽤是计算函数y=cos的值，其中n≤4，利⽤2019=2015+4可计算输出值．本题考查了程序框图的应⽤问题，解题时应模拟程序框图的运⾏过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：B解析：解：因为c=1，故：a cos B+b cos A=2cos C=2c cos C，由正弦定理可以得到：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cosC，故：sin C=2sin C cosC，因C∈（0，π），所以sin C＞0，故cos C=，因C∈（0，π），故C=．故选：B．把题设中的边⾓关系化为a cos B+b cos A=2c cos C，利⽤正弦定理和两⾓和的正弦公式可得sin C=2sin C cosC，从该⽅程中可得C的值．在解三⾓形中，如果题设条件是边⾓的混合关系，那么我们可以利⽤正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或⾓的关系式，本题属于基础题．8.答案：D解析：解：双曲线的渐近线的⽅程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的⽅程后利⽤圆⼼到其距离为可得，从该式可求离⼼率．圆锥曲线中的离⼼率的计算，关键是利⽤题设条件构建关于a，b，c的⼀个等式关系．⽽离⼼率的取值范围，则需要利⽤坐标的范围、⼏何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和两个向量数量积公式，属于基础题．由函数的图象可得f（x）的解析式，求出A、B、C的坐标，从⽽可以求出数量积的值．【解答】解：设f（x）=A sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0），由图象可知A=2，且f（0）=2sinφ=1，故sinφ=，∴φ=．再根据五点法作图可得?+φ=2π，⼜φ=，∴，∴f（x）=2sin（2x+），A（-，0）、B（，0）、C（，2）．∴?=（，0）（，2）=，故选：D．10.答案：A解析：解：由三视图可知，原⼏何体为两个正四棱锥的组合体，其中正四棱锥的⾼为，底⾯正⽅形的边长为2，故斜⾼为2，组合体的表⾯积为：，故选：A．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，⼏何体是由两个底⾯正⽅形的正四棱锥组合⽽成，求出正四棱锥侧⾯积，即可求解．本题考察三视图，要求根据三视图复原⼏何体，注意复原前后点、线、⾯的关系．11.答案：B解析：解：设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），当0＜x＜1时，f′（x）=-，当x＞1时，f′（x）=，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），故l1：y=-（x-x1）-ln x1，整理得到y=-x-ln x1+1，l2：y=（x-x2）+ln x2，整理得到y=x-1+ln x2，所以A（0，1-ln x1），B（0，ln x2-1），|AB|=|2-ln（x1x2）|，因l1⊥l2，故x1x2=1，所以|AB|=2，故选：B．设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2）），利⽤两直线垂直得到x1x2=1，求出l1与l2的⽅程，可得A，B的坐标后可得|AB|的值．对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核⼼是切点的横坐标．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=x-sin2x+a cos x在（-∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0在（-∞，+∞）内恒成⽴，即在（-∞，+∞）内恒成⽴．∴在（-∞，+∞）内恒成⽴．sin x=t，t∈[-1，1]．则有在[-1，1内恒成⽴．∴，∴∴．故选：C．给寂函数的单调性，可利⽤求导转化为不等式恒成⽴问题．含参数的不等式的恒成⽴问题，优先考虑参变分离，把恒成⽴问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可⽤函数的单调性或基本不等式来求．13.答案：5解析：解：因为（），故（）?=0，即3m+3-18=0，故m=5，故答案为：5．由（），可得（）?=0，利⽤数量积的坐标运算可得m=5．向量的数量积有两个应⽤：（1）计算长度或模长，通过⽤；（2）计算⾓，．特别地，两个⾮零向量，垂直的充要条件是．14.答案：85解析：解：去掉最⾼分93，去掉最低分79，该选⼿所得分数的平均分为80+（4+4+6+4+7）=80+5=85，故答案为：85．根据茎叶图中的数据，去掉最⾼分和最低分后计算余下各数的平均数即可．本题考查茎叶图及样本均值，结合平均数的公式是解决本题的关键，⽐较基础．15.答案：14π解析：解：将该⼏何体补成如图所⽰的长⽅体：设长⽅体的长、宽、⾼分别为a，b，c，则，所以a2+b2+c2=14，所以长⽅体的外接球（即四⾯体ABCD的外接球）的直径为，其表⾯积为14π．故答案为：14π．根据对棱长相等可将四⾯体补成长⽅体，长⽅体的外接球就是四⾯体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表⾯积．⼏何体的外接球问题，应该先考虑如何确定球的球⼼，再把球的半径放置在可解的平⾯图形中，如果球⼼的位置不易确定，则可以把⼏何体补成规则的⼏何体，通过规则⼏何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径．16.答案：解析：解：每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可⽤如图所⽰的正⽅形区域表⽰，数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）需满⾜x+y＞1，x2+y2＜1，可⽤如图所⽰的阴影部分区域表⽰，设“数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）”为事件A，由⼏何概型中的⾯积型公式可得：P（A）===，⼜数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，故答案为：．由钝⾓三⾓形的求法及⼏何概型中的⾯积型得：每位同学随机写下⼀个实数对（x，y），其中0＜x＜1，0＜y＜1，可⽤如图所⽰的正⽅形区域表⽰，数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）需满⾜x+y＞1，x2+y2＜1，可⽤如图所⽰的阴影部分区域表⽰，设“数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）”为事件A，由⼏何概型中的⾯积型公式可得：P（A）===，⼜数字x、y与1可以构成钝⾓三⾓形三边的实数对（x，y）为28个，所以，所以，得解．本题考查了钝⾓三⾓形的求法及⼏何概型中的⾯积型，属中档题．17.答案：解：（I）由题设可得a1q=9，a1+a1q+a1q2=-21，解得q=-3，或q=-．由|q|＞1，可得q=-3．则a1=-3．故{a n}的通项公式为a n=（-3）n；（II）由（I）可得S n==-+×（-3）n，所以{S n}是以-为⾸项，-3为公⽐的等⽐数列，{S n}的前n项的和为T n==-+×（-3）n．解析：（I）列出关于a1，q的⽅程组，解出a1，q的值后可得通项公式；（II）利⽤等⽐数列的前n和公式可得所求之和．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等⽐数列的和，则⽤分组求和法；如果通项是等差数列与等⽐数列的乘积，则⽤错位相减法；如果通项可以拆成⼀个数列连续两项的差，那么⽤裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则⽤并项求和法．18.答案：解：（Ⅰ）根据表中数据可知，选择y=ax b作为⽇供应量x与单价y之间的回归⽅程更合适；（II）对y=ax b两边同取对数得，ln y=b ln x+ln a；令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，∴b==⼜因为=b+ln a，所以=×+ln a，∴ln a=1，即a=e；故所求的回归⽅程为y=e．（III）由题已知，4个商店每⽇对这种鲜花的需求量在60束以下，记为a，b，c，d，2个商店对这种鲜花的需求量在60束以上，记为E，F，则任取2个商店，所有的基本事件为ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15个，其中满⾜条件的有8个．所以所求的概率为P=．解析：（I）根据表中数据可得合适的回归⽅程；（II）对y=ax b两边同取对数，令v=ln x，u=ln y，得u=bv+ln a，利⽤参考数据及公式可计算该线性回归⽅程从⽽得到要求的⾮线性回归⽅程；（III）利⽤枚举法可求得概率．本题考查了⾮线性回归⽅程的计算与应⽤问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.答案：证明：（I）连接AD，DE，AE，在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ．⼜因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE⊥PQ．⽽AD∩DE=D，所以PQ⊥平⾯ADE．解：（II）因为平⾯APQ⊥平⾯BPQC，AD⊥PQ，所以AD⊥平⾯PBCQ，连结BD，则d2=AD2+BD2．设AD=x，DE=（E为BC的中点），于是BD2=DE2+BE2=（）2+．∴d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=+=2（x-）2+，当x=时，d min=．此时四棱锥A-PBCQ的体积为==．解析：（I）连接AD，DE，AE，可证AD⊥PQ，DE⊥PQ，从⽽可证PQ⊥平⾯ADE．（II）设AD=x，DE=（E为BC的中点），则计算可得d2=2（x-）2+，从⽽可得d何时最⼩并能求得此时四棱锥A-PBCQ的体积．线⾯垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由⾯⾯垂直得到，注意线在⾯内且线垂直于两个平⾯的交线．⽴体⼏何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到⽬标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：（I）由题意知c=．⼜因为+=1，即+=1，解得b2=1，a2=4．故椭圆C的标准⽅程是+y2=1．（II）设直线l的⽅程为y=kx+b（k≠0），联⽴消去y得，（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，△=16（4k2-b2+1）．设P（x1，kx1+b），Q（x1，kx1+b），则x1+x2=-，x1x2=．于是k PN+k QN=+=，由∠ONP=∠ONQ，知k PN+k QN=0．即：2kx1x2-（4k-b）（x1+x2）-8b=2k?-（4k-b）?（-）-8b=+-8b=0，得b=-k，△=16（3k2+1）＞0，故动直线l的⽅程为y=kx-k，过定点（1，0）．解析：（I）利⽤待定系数法可求椭圆的标准⽅程．（II）设直线l的⽅程为y=kx+b（k≠0），联⽴消去y后利⽤韦达定理化简k PN+k QN=0，从⽽得到b=-k即直线过（1，0）．求椭圆的标准⽅程，关键是基本量的确定，⽅法有待定系数法、定义法等．直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，⼀般可通过联⽴⽅程组并消元得到关于x 或y的⼀元⼆次⽅程，再把要求解的⽬标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2，x1+x2或y1y2，y1+y2，最后利⽤韦达定理把关系式转化为若⼲变量的⽅程（或函数），从⽽可解定点、定值、最值问题．21.答案：解：（I）当t=-1时，g（x）=-e2x+e x-1．由g′（x）=-2e2x+e x=e x（1-2e x）=0，得x=-ln2．∴g（x）的单增区间是（-∞，-ln2），单减区间是（-ln2，+∞）．极⼤值是g（-ln2）=-，⽆极⼩值．（II）函数f（x）=g（x）-4e x-x+1=te2x+（t-2）e x-x，x∈R．当t＞0时，由f′（x）=2te2x+（t-2）e x-1=（te x-1）（2e x+1）=0，得x=-ln t．f（-ln t）是极⼩值，∴只要f（-ln t）=0，即ln t-=0．令F（t）=ln t-+1，则F′（t）=＞0，F（t）在（0，+∞）内单增．∵F（1）=0，∴当0＜t＜1时，F（t）＜F（1）=0；当t＞1时，F（t）＞F（1）=0．实数t的值是1．当t=0时，f（x）=-2e x-x．f（x）为R上的减函数，⽽f（1）=-2e-1＜0，f（-2）=2-2e-2＞0，∴f（x）有且只有⼀个零点．故实数t的值是1或0．解析：（I）求出导数后讨论导数的符号可得函数的单调区间和极值．（II）分t＞0和t=0两种情况，结合函数的单调性和零点存在定理可得t的值．本⼩题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒与创新意识，考查函数与⽅程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核⼼素养，体现综合性、应⽤性与创新性．22.答案：解（I）曲线C1：x+y-m+1=0；曲线C2的极坐标⽅程为=4（sinθ+cosθ），即ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得C2：（x-2）2+（y-2）2=8（II）因为曲线C2的半径r=2，若点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，P，Q两点间距离的最⼩值为2，即圆C2的圆⼼到直线C1的距离4，=4，解得m=-3或m=13．解析：（I）消去参数后可得C1的普通⽅程，利⽤可得C2的直⾓⽅程．（II）利⽤PQ的最⼩值得到圆⼼到直线的距离，从⽽可求出m．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（I）不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）等价于|x-2|+|x-1|＞3，①当x＞2时，原不等式即为2x-3＞3，解得x＞3，∴x＞3；②当1＜x≤2时，原不等式即为1＞3，解得x∈?，∴x∈?；③当x≤1时，原不等式即为-2x+3＞3，解得x＜0，∴x＜0；∴不等式解集为{x|x＜0或x＞3}．（II）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g（x1）=f（x2）成⽴，则{y|y=g（x）}?{y|y=f（x）}，∵g（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，当且仅当（2x-a）（2x+3）≤0时取等号，⼜f（x）=|x-2|+2≥2，∴|a+3|≥2，∴a≥-1或a≤-5，∴a的取值范围（-∞，-5]∪[-1，+∞）．解析：（Ⅰ）利⽤零点分段讨论可得不等式的解．（Ⅱ）由题意可设{y|y=g（x）}?{y|y=f（x）}，求出两个函数的值域后可得实数a的取值范围．本题考查了⽤零点分段法解不等式与等式的有解或恒成⽴问题，转化为函数值域的包含关系是解决本题的关键，属于中档题．。
淮南市2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷
B. 60
C.120
D.150
11.
双曲线 C :
x2 9
y2 16
1 的右支上一点 P 在第一象限， F1 ， F2 分别为双曲线 C 的左、右
焦点，I 为△ PF1F2 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，直线 IF1 ，IF2 的斜率分别为 k1 ，k2 ，
则 k1 + k2 的值等于
3
A.
1. 已知集合 A x x(x 1) ≤ 2 ， B x x 1＞1 ，则 A∩B=
A. [1，0)
B. [2，0)
C. (0，1]
2． i
是虚数单位，复数
z
a 2i 2i
Hale Waihona Puke 是纯虚数，则实数 aA. 1
B. 1
C. 4
3．函数 y sin x cos x 在 π ，π 上的图象是
D. (0，2] D. 4
第1页,共6页
4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 x 4 ，则输出结果为 5
1
A.
B． 2
C． 3
D． 4
5
5
5
5
5. 设公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn .若 S17 S18 ，则在 a18 ， S35 ， a17 a19 ，
S19 S16 这四个值中，恒等于 0 的个数是
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横
线上）
2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020届淮南二模理科数学试题参考答案
数学试题答案（理科）第5 页（共 9 页）
则 ~ B(4，1 ) ， 4
分
…………7
（正常维护费为 0.5 4 2 万元， 保障维护费为 0.2 ( 1) 0.1 2 0.1 万元.
2 故一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为 0.1 2 0.1 2 万元.）
…………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分.
22．（本小题满分 10 分）选修 4–4 坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由条件知消去参数 得到曲线 C1 的普通方程为 x 32 y2 9 .
因 4 cos 0 可 化 为 2 4 cos 0 ， 又 2 x2 y2 , cos x ， 代 入 得
x2 y2 4x 0 ，于是曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 y2 4x 0 .
………5 分
（Ⅱ）由条件知曲线 C1, C2 均关于 x 轴对称，而且外切于原点 O ，
数学试题答案（理科）第7 页（共 9 页）
不妨设
A 1,
0
2
，则
B
2 ,
2
，
因曲线 C1 的极坐标方程为 6 cos ，
13. an 2n1
.14. a 1 2
| AB | 9
.15.
2
16． cos SEF 2 . 4
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60 分. 17.（本小题满分 12 分）
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B. 1 C. 4 D.3.函数在上的图象大致是A.B.C.D.4.在如图所示的算法框图中，若输入的，则输出结果为A. B. C. D.5.设公差不为0的等差数列的前n项和为若，则在，，，这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.为了得到正弦函数的图象，可将函数的图象向右平移m个单位长度，或向左平移n个单位长度，则的最小值是A. B. C. D.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.B. 2C. 3D.8.设，则A. B. C. D.9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于A. B. C. D.10.在平行四边形ABCD中，，E是BC的中点，F点在边CD上，且，若，则A. B. C. D.11.双曲线C：的右支上一点P在第一象限，，分别为双曲线C的左、右焦点，I为的内心，若内切圆I的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于A. B. C. D.12.定义在R上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的m的最小值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知公比不为1的等比数列，且，，则数列的通项公式______．14.在展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为8，则______．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若，则弦长______．16.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马，平面ABCD，，，，BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若B为锐角，且．Ⅰ求C；Ⅱ已知，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，，，D，E分别为和的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的离心率是，原点到直线的距离等于，又知点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线对称，且，求实数m 的取值范围．20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度单位：天数据，并绘制了如茎叶图：Ⅰ设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入下面的列联表：超过m不超过m改造前a b改造后c d根据中的列联表，能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：，kⅡ工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T天即从开工运行到第kT天进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为万元次；保障维护费第一次为万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元．现制定生产线一个生产周期以120天计内的维护方案：，，2，3，4．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值．21.已知函数．Ⅰ若为R上的增函数，求a的取值范围；Ⅱ若，，且，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；Ⅱ设点A，B分别是曲线，上两动点且，求面积的最大值．23.已知函数其中实数．Ⅰ当，解不等式；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，或，．故选：B．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由是纯虚数，得，即．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当时，，所以，排除选项C．故选：B．根据函数在上是奇函数，排除选项A，D；再根据时，排除选项C．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程，如下；，；，；，；，；，；所以x的值呈现以4为周期的特点，当时，输出结果与时结果相同，为．故选：B．模拟程序的运行过程，得出x的值呈现以4为周期的特点，由此求得时输出结果．本题考查了程序框图的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5.答案：C解析：解：设的首项为，公差为d，由，即，得，，，所以，．，．故选：C．设的首项为，公差为d，由，即，得，可得：，，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，即，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，即，所以的最小值为．故选：B．直接利用三角函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：A解析：解：，，；；；．故选：A．利用换底公式可得出，，容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．9.答案：C解析：解：有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，位同学所报选项各不相同的概率．故选：C．基本事件总数，4位同学所报选项各不相同包含的基本事件个数，由此能求出4位同学所报选项各不相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：C解析：解：如图，结合条件可得，，则，又因为，即有，所以，解得，所以，故选：C．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，代入相关数据即可．本题考查平面向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，属于中档题目．11.答案：B解析：解：如图所示：可设、，设内切圆与x轴的切点是点H，、分别与内切圆的切点分别为M、N，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故，解得．由双曲线C：的，，，由题意可得I的纵坐标为1，即，又，，可得，故选：B．首先推出I的横坐标为a，由双曲线的方程可得a，b，c，求得内心I的坐标，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．12.答案：D解析：解：解：时，；时，，，时，，，时，，，令或者；故或，所以m的最小值为，故选：D．根据条件一步步转化到时，，，画出图象，即可求解结论．本题主要考查抽象函数解析式的求解，分段函数，数形结合思想，属于中档题目．13.答案：解析：解：公比不为1的等比数列，且，，，解得，，数列的通项公式．故答案为：．利用等比数列通面公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：设；令，则，令，则得，，即，求得．故答案为：．给展开式中的x分别赋值1，，可得两个等式，两式相加，再除以2得到答案．本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减，属于基础题15.答案：解析：解：设直线AB的方程为，，，联立得，，把代入得，，把代入得，，，，解得，点B在抛物线上，，，而，由抛物线的定义可知，．故答案为：．设直线AB的方程为，，，将其与抛物线的方程联立，写出两根之和，然后分别把和代入可得点P和Q的坐标，由于，借助平面向量的线性坐标运算可解得，再将其代入到抛物线方程即可求得k的值，最后利用抛物线的定义求得焦点弦的长度．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还涉及平面向量的线性坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：将平面ABCD沿BC折至，使SBC与共面，连接交BC于E，连接ED，此时周长最短，作交AD于F，则或其补角即为所求角，在中，求得，由得，在中，求得，在中，，故SE与CD所成角的余弦值等于．故答案为：．【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点E，然后利用平移法作出异面直线所成的角，不难求解．此题考查了侧面展开找最值，异面直线所成角，线面垂直等，难度适中．17.答案：解：Ⅰ，，可得，，或，为锐角，，即，．Ⅱ，可得，可得，，可得：，又根据正弦定理，及，，可得：，解得，可得，将代入，可得，可得，．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B为锐角，可求，即可求解C的值；Ⅱ利用平面向量数量积的运算结合，可得，又根据正弦定理及已知可求，联立可求，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ如图1，取线段的中点F，连接EF，DF，为的中点，，又D为的中点，，，四边形为平行四边形，，又DF在平面内，不在平面内，平面；Ⅱ作于点O，由，得，，即O为AC的中点，，，，又，平面，从而有，又，，平面ABC，故可以点O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图2，令，则，，，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面ABC的一个法向量为，设平面与平面ABC所成锐二面角为，则，平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．解析：Ⅰ先根据，可知四边形为平行四边形，由此，进而得证；Ⅱ先证明平面ABC，由此可以O为坐标原点，射线OA，分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面ABC的法向量，再利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，，且，解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ由题意设直线AB的方程为：，联立，整理可得：，由可得，设，，则，，又设AB的中点，则，，由于点M在直线上，所以，可得，代入，可得，解得，因为，，所以，由，得，解得，所以，即，由可得，所以实数m的取值范围为解析：Ⅰ由椭圆的离心率及原点到直线的距离及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ由题意设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，及判别式大于0，可得参数的范围，进而求出AB中点的坐标，而中点在直线上，代入可得参数的关系，再求以，再由题意可得m的范围．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，和数量积的应用，属于中档题．20.答案：解：由茎叶图的数据可得中位数，根据茎叶图可得：，，，，超过m不超过m改造前515改造后155根据中的列联表，，有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，正常维护费为万元，保障维护费为首项为，公差为的等差数列，共次维护需要的保障费为万元，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，则，，，，，XX2 4P故E万元，解析：Ⅰ由茎叶图里面的数据得到中位数m，列出表格如下图，根据的二维联表求出判断即可；天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，设一个生产周期内需要次维护，，故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，写出分布列，求出数学期望即可．本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图求中位数等，考查数学运算能力和实际应用能力，中档题．21.答案：Ⅰ解：，若在R上为增函数，则恒成立，即恒成立，设，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，故，实数a的取值范围为；Ⅱ证明：若，由Ⅰ知在R上单调递增，由于，已知，，不妨设，设函数，，则，则，设，则，由于，故在上为增函数，，在上为减函数，，，而在R上为增函数，，故，从而，即．解析：Ⅰ依题意，恒成立，即恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可；Ⅱ设函数，，利用导数可知在上为减函数，则，进而得，再结合函数的单调性即得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为其中为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．Ⅱ由Ⅰ得：曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，设，，所以，当时，面积的最大值为6．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用极径的应用和三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，则等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为；Ⅱ证明：由函数其中实数，可得，当且仅当时，上式等号成立．于是原不等式成立．解析：Ⅰ可得，由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ可结合绝对值不等式的性质和基本不等式，化简即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
安徽省淮南市2020届高三第二次模拟考试理科数学试题
求实数 m 的取值范围．
数学试题（理科）第4页（共 6 页）
20.（本小题满分 12 分） 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后
的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据， 并绘制了如下茎叶图：
（Ⅰ）（1）设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数 m ，并将连续正常运行时间超
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周
数学试题（理科）第5页（共 6 页）
期内生产维护费的分布列及期望值. 21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ex 1 x2 ax 1 ， a R . 2
（Ⅰ）若 f (x) 为 R 上的增函数，求 a 的取值范围；
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横
线上）
13. 已 知 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 an , 且 a32 a7 ， a6 2a4 3a5 , 则 数 列 的 通 项 公 式
0.001
（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.
10.828
k
3.841 6.635
工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护
费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为 T 天（即从开工运行到第 kT 天（ k N * ）
进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护
安徽省淮南市2020届高三第二次模拟考试理科数学试题(含答案)
淮南市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。
2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可选用铅笔在答题卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 已知集合{}{}(1)2,11A x x x B x x =+≤=->，则A∩B=A. [1,0-)B. [2,0-)C. (0,1]D. (0, 2] 2．i 是虚数单位，复数22a i z i+=+是纯虚数，则实数a = A. 1- B. 1 C. 4 D. 4- 3．函数sin cos y x x =- 在[,]ππ-上的图象是4. 在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为A. 15 B ．25 C ．35 D ．455.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 17=S 18 ，则在a 18 ，S 35 ，a 17 -a 19 ， S 19 -S 16 这四个值中，恒等于0的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 x6．为了得到正弦函数y =sin x 的图象，可将函数sin()3y x π=+的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（m>0，n>0），则m n -的最小值是A. 3π B. 23π C. 43π D. 53π 7．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.32B. 2C. 3D. 928.设61215111245log ,log ,log a b c ===，则 第7题图 A. a <b<c B. c <b <a C. b<a <c D. c <a<b9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于A. 118B. 332C. 29D. 89 10. 在平行四边形 ABCD 中， AB=2AD =23，E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且CF =2FD ，若172AE BF ⋅=-u u u r u u u r ，则∠DAB = A. 30° B. 60° C.120° D.150°11. 双曲线C : 221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，F 1，F 2 分别为双曲线C 的左、右 焦点，I 为△PF 1F 2 的内心，若内切圆I 的半径为1，直线IF 1，IF 2 的斜率分别为k 1，k 2 ， 则k 1 +k 2 的值等于A.38 B. 38- C. 58- D. 5812. 定义在R 上函数 f (x)满足1(1)()2f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()121f x x =-- . 则使得1()16f x ≤在[,)m +∞上恒成立的m 的最小值是 A. 72 B. 92 C. 134 D. 154第 II 卷（非选择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22 题~第23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）13. 已知公比不为 1 的等比数列{}n a ,且236457,23a a a a =+= ,则数列的通项公式_______n a =14．在5()(1)a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =_________.15．过抛物线 y 2 =4x 焦点F 的直线交抛物线于点 A 、B ，交准线于点P ，交 y 轴于点Q ，若PQ FB =u u u r u u u r ，则弦长______AB = .16．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”. 现有阳马S-ABCD , SA ⊥平面 ABCD ，AB =1, AD=3，SA 3= . BC 上有一点E ，使截面 SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于 __________________.第16题图三、解答题：（本大题满分 60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ ABC 中，三内角 A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin A=2sin B 3= cos A .（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）已知a =2，8AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，求△ ABC 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ACB=∠C 1CB =90 °，∠A 1AC=60 °，D ，E 分别为 A 1A 和B 1C 1的中点，且AA 1 =AC=BC ．（Ⅰ）求证： A 1E //平面BC 1D ；（Ⅱ）求平面BC 1D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．第18题图19.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率是22，原点到直线1x ya b+=的距离等于23，又知点Q(0，3)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线y =x +m对称，且3QA·QB<28，求实数m的取值范围．20.（本小题满分12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m的次数填入下面的列联表：试写出a，b，c，d的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护,工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（k ∈N *）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护 周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期（以120 天计）内的维护方案：T =30，k =1,2,3,4 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周 期内生产维护费的分布列及期望值.21.（本小题满分12分） 已知函数21()1,2x f x e x ax a R =-++∈ . （Ⅰ）若 f (x)为R 上的增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若a>0，12x x ≠，且 f (x 1 ) +f (x 2) =4，证明： f (x 1+x 2 ) <2.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
淮南市2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题
3
A.
B. 3
C. 5
5
D.
8
8
8
8
12. 定义在 R 上函数 f (x) 满足 f (x 1) 1 f (x) ，且当 x 0 ，1 时， f (x) 1 2x 1 .
2
则使得 f (x) 1 在m ，+ 上恒成立的 m 的最小值是
16
A. 7 2
B. 9 2
C. 13 4
D. 15 4
D
于
.
B
EC
第 16 题图
三、解答题：（本大题满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分）
在△ ABC 中，三内角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c ，若 B 为锐角，且
sin A 2sin B 3 cos A .
（Ⅰ）求 C ；
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横
线上）
13. 已 知 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 an , 且 a32 a7 ， a6 2a4 3a5 , 则 数 列 的 通 项 公 式
（Ⅱ）已知 a 2 ， AB BC 8 ，求△ ABC 的面积.
18.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，ACB C1CB 90 °，A1AC 60 °，D ，E 分 别为 A1A 和 B1C1 的中点，且 AA1 AC BC ．
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=
，
有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异； （II）120 天的一个生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期 内，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得 p= ，
设一个生产周期内需要 ξ 次维护，ξ～B（4， ），正常维护费为 0.5×4=2 万元，
∴可得 cacosB=8， ∵a=2，可得：ccosB=4，①
又根据正弦定理
，及 A= -B，C= a=2，
可得：
，解得 csin（ -B）= ，可得 cosB- sinB= ，②
∴将①代入②，可得 2 csinB= ，可得 csinB=2 ，
∴S△ABC= acsinB=
18. 解：（Ⅰ）
如图 1，取线段 BC1 的中点 F， 连接 EF，DF， ∵E 为 B1C1 的中 点，
∵∠ACB=∠CC1B=90°， ∴BC⊥CA，BC⊥CC1， 又 CA∩CC1=C， ∴BC⊥平面 A1ACC1，从而有 BC⊥A1O， 又 A1O⊥CA，CA∩BC=C， ∴A1O⊥平面 ABC， 故可以点 O 为坐标原点，射线 OA，OA1 分别为 x 轴和 z 轴的正半轴，以平行于 BC 的直 线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 2， 令 AA1=AC=BC=2a，则
由于点 M 在直线 y=x+m 上，所以 = +m，可得 n=-3m，代入 n2＜6，可得 9m2＜6，
解得-
，①
因为 =（x1，-x1+n-3）， =（x2，-x2+n-3），
所以
=2x1x2-（n-3）（x1+2）+（n-3）2=
-
+（n-3）2
=
，
由3
＜28，得 3n2-6n+19＜28，解得-1＜n＜3，
保障维护费为首项为 0.2，公差为 0.2 的等差数列，共 ξ 次维护需要的保障费为
万元，
故一个生产周期内保障维护 X 次的生产维护费为（0.1ξ2+0.1ξ+2）万元， 设一个生产周期内的生产维护费为 X 万元，则 X 可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4，
则
，
，
，
，
，
则 X 的分布列为：
X
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（其中 α 为参数），
以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ+4cosθ=0． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 A，B 分别是曲线 C1，C2 上两动点且∠AOB= ，求△AOB 面积的最大值．
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常
维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为 T 天（即从开工运行到第 kT
天（k∈N*）进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周
23 已知函数 f（x）=|x-m|+|x+ |（其中实数 m＞0）．
（Ⅰ）当 m=1，解不等式 f（x）≤3；
（Ⅱ）求证：f（x）+
≥2．
2020 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）
答案和解析
【答案】
1. B
2. A
3. B
4. B
5. C
6. B
7. C
8. A
9. C
13. 2n+1
10. C 11. B 12. D
19. 已知椭圆 C：
的离心率是 ，原点到直线
的距离等于
，又知点 Q（0，3）． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若椭圆 C 上总存在两个点 A、B 关于直线 y=x+m 对称，且 3 • ＜28，求 实数 m 的取值范围．
20. 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术 改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单 位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
2
2.2
2.6
3.2
4
P
故 E（X）=2• +2.2
=
万元，
21. （Ⅰ）解：f′（x）=ex-x+a，若 f（x）在 R 上为增函数，则 ex-x+a≥0 恒成立，即 ex-x≥-a
恒成立，设 F（x）=ex-x，则 F′（x）=ex-1， 当 x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0，当 x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0， ∴F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ∴F（x）≥F（0）=1，故-a≤1， ∴实数 a 的取值范围为[-1，+∞）； （Ⅱ）证明：若 a＞0，由（Ⅰ）知 f（x）在 R 上单调递增，由于 f（0）=2，已知 x1≠x2， f（x1）+f（x2）=4，不妨设 x1＜0＜x2， 设函数 h（x）=f（x）+f（-x），x＜0，则
若
，则∠DAB=（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
11. 双曲线 C：
的右支上一点 P 在第一象限，F1，F2 分别为双曲线 C 的左、
右焦点，I 为△PF1F2 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，直线 IF1，IF2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1+k2 的值等于（ ）
=，
（Ⅱ）由题意设直线 AB 的方程为：y=-x+n，联立
，整理可得：3x2-4nx+2
（n2-2）=0， 由△=（-4n）2-4×3×2（n2-2）＞0 可得 n2＜6，
设 A（x1，-x1+n），B（x2，-x2+n），则 x1+x2= ，x1x2=
，
又设 AB 的中点 M（x0，-x0+n），则 x0= = ，-x0+n= ，
∴
，
又 D 为 AA1 的中 点，
∴
，
=2 ．
∴
，
∴四边形 A1DFE 为平行四边形， ∴A1E∥DF， 又 DF 在平面 BC1D 内，A1E 不在平面 BC1D 内， ∴A1E∥平面 BC1D； （Ⅱ）作 A1O⊥AC 于点 O，由∠A1AC=60°，得∠AA1O=30°，
∴
，即 O 为 AC 的中点，
A.
B.
C.
D.
12. 定义在 R 上函数 f（x）满足
，且当 x∈[0，1）时，f（x）=1-|2x-1|．则
使得
在[m，+∞）上恒成立的 m 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知公比不为 1 的等比数列{an}，且 a32=a7，a6+2a4=3a5，则数列的通项公式
14. -
15.
16. 17. 解：（Ⅰ）∵sinA+2sinB= cosA，
∴sinB= cosA- sinA，
∴可得 sinB=sin（ -A），
∴B= -A，或 B+（ -A）=π⇒B= +A， ∵B 为锐角，
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∴B= -A，即 B+A= ，
∴C= ．
（Ⅱ）∵
，可得 cacos（π-B）=-8，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生
产周期内生产维护费的分布列及期望值．
21. 已知函数
．
（Ⅰ）若 f（x）为 R 上的增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 a＞0，x1≠x2，且 f（x1）+f（x2）=4，证明：f（x1+x2）＜2．
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A.
B. 2 C. 3
D.
8. 设
，则（ ）
A. a＜b＜c
B. c＜b＜a
C. b＜a＜c
D. c＜a＜b
9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．已知甲同
学报的项目其他同学不报，则 4 位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD= ，E 是 BC 的中点，F点在边 CD上，且 CF=2FD，
期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；
若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；
保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2 万元．现
制定生产线一个生产周期（以 120 天计）内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，三内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 B 为锐角，且
sinA+2sinB= cosA．
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（Ⅰ）求 C； （Ⅱ）已知 a=2，
，求△ABC 的面积．
18. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB=∠C1CB=90°， ∠A1AC=60°，D，E 分别为 A1A 和 B1C1 的中点，且 AA1=AC=BC． （Ⅰ）求证：A1E∥平面 BC1D； （Ⅱ）求平面 BC1D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
S19-S16 这四个值中，恒等于 0 的个数是（ ）
A. 1
B. 2