2020年安徽省淮南市高考数学二模试卷(理科)(带答案)

是纯虚数，则实数 a═（ ）
A. -1
B. 1
C. 4
3. 函数 y=-sinx|cosx|在[-π，π]上的图象大致是（ ）
D. -4
A.
B.
C.
D.
4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 ，则输出结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S17=S18，则在 a18，S35，a17-a19，
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（Ⅰ）（1）设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数 m，并将连续正常运行时 间超过 m 和不超过 m 的次数填入下面的列联表：
超过 m 不超过 m
改造前 a
b
改造后 c
d
（2）根据（1）中的列联表，能否有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正 常运行时间有差异？
22. 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为
，
，
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∴
，
设平面 BC1D 的一个法向量为
，则
，可取
，
又平面 ABC 的一个法向量为
，
设平面 BC1D 与平面 ABC 所成锐二面角为 θ，则
，
∴平面 BC1D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ．
19. 解：（Ⅰ）由题意可得： = ，c2=a2-b2，且
解得：a2=4，b2=2， 所以椭圆的方程为： + =1；
14. -
15.
16. 17. 解：（Ⅰ）∵sinA+2sinB= cosA，
∴sinB= cosA- sinA，
∴可得 sinB=sin（ -A），
∴B= -A，或 B+（ -A）=π⇒B= +A， ∵B 为锐角，
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∴B= -A，即 B+A= ，
∴C= ．
（Ⅱ）∵
，可得 cacos（π-B）=-8，
=ex+e-x-x2+2，则 h′（x）=ex-e-x-2x，
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设 φ（x）=h′（x），则 φ′（x）=ex+e-x-2≥0， 由于 x＜0，故 h′（x）在（-∞，0）上为增函数， ∴h′（x）＜h′（0）=0， ∴h（x）在（-∞，0）上为减函数， ∴h（x1）=f（x1）+f（-x1）＞h（0）=4， ∴f（x2）=4-f（x1）＜f（-x1）， 而 f（x）在 R 上为增函数， ∴x2＜-x1，故 x1+x2＜0，从而 f（x1+x2）＜0=2，即 f（x1+x2）＜2．
=，
（Ⅱ）由题意设直线 AB 的方程为：y=-x+n，联立
，整理可得：3x2-4nx+2
（n2-2）=0， 由△=（-4n）2-4×3×2（n2-2）＞0 可得 n2＜6，
设 A（x1，-x1+n），B（x2，-x2+n），则 x1+x2= ，x1x2=
，
又设 AB 的中点 M（x0，-x0+n），则 x0= = ，-x0+n= ，
∴
，
又 D 为 AA1 的中 点，
∴
，
=2 ．
∴
，
∴四边形 A1DFE 为平行四边形， ∴A1E∥DF， 又 DF 在平面 BC1D 内，A1E 不在平面 BC1D 内， ∴A1E∥平面 BC1D； （Ⅱ）作 A1O⊥AC 于点 O，由∠A1AC=60°，得∠AA1O=30°，
∴
，即 O 为 AC 的中点，
保障维护费为首项为 0.2，公差为 0.2 的等差数列，共 ξ 次维护需要的保障费为
万元，
故一个生产周期内保障维护 X 次的生产维护费为（0.1ξ2+0.1ξ+2）万元， 设一个生产周期内的生产维护费为 X 万元，则 X 可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4，
则
，
，
，
，
，
则 X 的分布列为：
X
2020 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x（x+1）≤2}，B={x||x-1|＞1}，则 A∩B=（
A. [-1，0）
B. [-2，0）
C. （0，1]
）
D. （0，2]
2. i 是虚数单位，复数
A.
B.
C.
D.
12. 定义在 R 上函数 f（x）满足
，且当 x∈[0，1）时，f（x）=1-|2x-1|．则
使得
在[m，+∞）上恒成立的 m 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知公比不为 1 的等比数列{an}，且 a32=a7，a6+2a4=3a5，则数列的通项公式
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，三内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 B 为锐角，且
sinA+2sinB= cosA．
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（Ⅰ）求 C； （Ⅱ）已知 a=2，
，求△ABC 的面积．
18. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB=∠C1CB=90°， ∠A1AC=60°，D，E 分别为 A1A 和 B1C1 的中点，且 AA1=AC=BC． （Ⅰ）求证：A1E∥平面 BC1D； （Ⅱ）求平面 BC1D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
S19-S16 这四个值中，恒等于 0 的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 为了得到正弦函数 y=sinx 的图象，可将函数
的图象向右平移 m 个单
位长度，或向左平移 n 个单位长度（m＞0，n＞0），则|m-n|的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
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7. 如图，网格纸上的小正方形的边长均为 1，粗线画的是一 个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A.
B. 2 C. 3
D.
8. 设
，则（ ）
A. a＜b＜c
B. c＜b＜a
C. b＜a＜c
D. c＜a＜b
9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项．已知甲同
学报的项目其他同学不报，则 4 位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD= ，E 是 BC 的中点，F点在边 CD上，且 CF=2FD，
2
2.2
2.6
3.2
4
P
故 E（X）=2• +2.2
=
万元，
21. （Ⅰ）解：f′（x）=ex-x+a，若 f（x）在 R 上为增函数，则 ex-x+a≥0 恒成立，即 ex-x≥-a
恒成立，设 F（x）=ex-x，则 F′（x）=ex-1， 当 x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0，当 x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0， ∴F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ∴F（x）≥F（0）=1，故-a≤1， ∴实数 a 的取值范围为[-1，+∞）； （Ⅱ）证明：若 a＞0，由（Ⅰ）知 f（x）在 R 上单调递增，由于 f（0）=2，已知 x1≠x2， f（x1）+f（x2）=4，不妨设 x1＜0＜x2， 设函数 h（x）=f（x）+f（-x），x＜0，则
若
，则∠DAB=（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
11. 双曲线 C：
的右支上一点 P 在第一象限，F1，F2 分别为双曲线 C 的左、
右焦点，I 为△PF1F2 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，直线 IF1，IF2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1+k2 的值等于（ ）
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（其中 α 为参数），
以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ+4cosθ=0． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 A，B 分别是曲线 C1，C2 上两动点且∠AOB= ，求△AOB 面积的最大值．
19. 已知椭圆 C：
的离心率是 ，原点到直线
的距离等于
，又知点 Q（0，3）． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若椭圆 C 上总存在两个点 A、B 关于直线 y=x+m 对称，且 3 • ＜28，求 实数 m 的取值范围．
20. 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术 改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单 位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
=
，
有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异； （II）120 天的一个生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期 内，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得 p= ，
设一个生产周期内需要 ξ 次维护，ξ～B（4， ），正常维护费为 0.5×4=2 万元，
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常
维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为 T 天（即从开工运行到第 kT
天（k∈N*）进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周
∴可得 cacosB=8， ∵a=2，可得：ccosB=4，①
又根据正弦定理
，及 A= -B，C= a=2，
可得：
，解得 csin（ -B）= ，可得 cosB- sinB= ，②
∴将①代入②，可得 2 csinB= ，可得 csinB=2 ，
∴S△ABC= acsinB=
18. 解：（Ⅰ）
如图 1，取线段 BC1 的中点 F， 连接 EF，DF， ∵E 为 B1C1 的中 点，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生
产周期内生产维护费的分布列及期望值．
21. 已知函数
．
（Ⅰ）若 f（x）为 R 上的增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 a＞0，x1≠x2，且 f（x1）+f（x2）=4，证明：f（x1+x2）＜2．
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由于点 M 在直线 y=x+m 上，所以 = +m，可得 n=-3m，代入 n2＜6，可得 9m2＜6，
解得-
，①
因为 =（x1，-x1+n-3）， =（x2，-x2+n-3），
所以
=2x1x2-（n-3）（x1+2）+（n-3）2=
-
+（n-3）2
=
，
由3
＜28，得 3n2-6n+19＜28，解得-1＜n＜3，
∵∠ACB=∠CC1B=90°， ∴BC⊥CA，BC⊥CC1， 又 CA∩CC1=C， ∴BC⊥平面 A1ACC1，从而有 BC⊥A1O， 又 A1O⊥CA，CA∩BC=C， ∴A1O⊥平面 ABC， 故可以点 O 为坐标原点，射线 OA，OA1 分别为 x 轴和 z 轴的正半轴，以平行于 BC 的直 线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 2， 令 AA1=AC=BC=2a，则
an=______． 14. 在（a+x）（1+x）5 展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为 8，则 a=______． 15. 过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B，交准线于点 P，交 y 轴于点 Q，
若
，则弦长|AB|=______．
16. 《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底 面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马 S-ABCD， SA⊥平面 ABCD，AB=1，AD=3，SA= ，BC 上有一点 E， 使截面 SDE 的周长最短，则 SE 与 CD 所成角的余弦值等 于______．
期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；
若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；
保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2 万元．现
制定生产线一个生产周期（以 120 天计）内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．
23 已知函数 f（x）=|x-m|+|x+ |（其中实数 m＞0）．
（Ⅰ）当 m=1，解不等式 f（x）≤3；
（Ⅱ）求证：f（x）+
≥2．
2020 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）
答案和解析
【答案】
1. B
2. A
3. B
4. B
5. C
6. B
7. C
8. A
9. C
13. 2n+1
10. C 11. B 12. D
所以-1＜-3m＜3，即-1
②，
由①②可得-
，
所以实数 m 的取值范围为（- ， ）．
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20. 解：（I）（1）由茎叶图的数据可得中位数 m=
，
根据茎叶图可得：a=5，b=15，c=15，d=5，
超过 m 不超过 m
改造前 5
15
改造后 15 5
（2）根据（1）中的列联表，K2=