与对数有关的复合函数值域问题
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
（2） y log 1 x 6 log 1 x 2. 3 3
1 1 （ 2） 递 增 区 间 为 ， ， 递 减 区 间 为 0， 。 + 27 27
答 案 ： （1） 递 增 区 间 为 - ， ， 递 减 区 间 为 3， ； -1 +
例 .已 知1 x 10， 且 xy =100， 求
2 2 2
(lgx) +(lgy) 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 并求其取最大值和最小值时相应 的 x和 y的 值 。
例 ： 设 f(x)=2（ log 2 x） 2 a log 2
2
1 x
b,
且x
1 2
时 ， f(x)有 最 小 值 8，
x
a 0且a 1；
; 函数的定义域为.
（2）y log 2
1
3 x 2 （1）当a 1时，函数的定义域为 log 2, ； 1 当0 a 1时，函数的定义域为 , log 2 ; (3) y log 2 ; x 1 3 2 （2） , ; (3) , 0 ; (4) 2 , .;
x x 2 x 1
( 2 )9 6 2
x x
指数、对数的单调性，奇偶性
, 2
例 ： 函 数 y log 1 6 x +12 的 递 增 区 间 是 _______.
2
例 ： 求 f (x) log 1 ( 3 2 x x )的 单 调 区 间 .
变 题 1： 已 知 函 数 f (x) （ (1)求 函 数 f (x)的 定 义 域 。 （ 2） 讨 论 f (x)的 奇 偶 性 （ 3） 求 证 f (x) 0
对数函数的图象与性质(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
题型三.对数型复合函数的奇偶性
例 3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且
a≠1)．
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
解：(2) 由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)，
关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
练习 3 判断函数f(x)＝lg
1
2 +1
+
的奇偶性
解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
1
（ 2 +1 +）
又f(－x)＝lg 2
＝lg
+1 −
（ 2+1 −）（ 2+1 +）
＝lg（
2
＝−lg（
+ 1 + ） = lg（
方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变
换得到的.
4.y＝f(x)的图象与y＝f(-x)的图象关于y轴对称，
y＝f(x)的图象与y＝-f(x)的图象关于x轴对称.
题型五.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，
且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称
对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，
而y＝logax的值域是y＝ax的定义域.
【新知拓展】
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域
和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函
数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：
对数函数中与二次函数有关的问题
对数函数中与二次函数有关的问题一、对数函数与二次函数的有关复合函数的单调性问题例1．求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log121211--=x x y )32(log 222212--=x x y ---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数例2.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-xa >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2例3.（天津卷）已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[ D ．]21,0(解析：已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称,则()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1log 2a, log 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a--≤，矛盾；当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a]，要求对称轴log 211log 22a a--≥，解得12a ≤,所以实数a 的取值范围是]21,0(,选D.二、对数函数与二次函数的有关复合函数的定义域、值域问题 例4 求下列函数的定义域、值域：（1）)52(log 22++=x x y （2）)54(log 231++-=x x y（3）)(log 2x x y a --=10(<<a解：（1）∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞（2）要使函数有意义，则须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log)54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y∴定义域为[-1,5]，值域为,2[+∞-（3）要使函数有意义，则须：⎩⎨⎧≥-->--)2(0)(log )1(022x x x x a由①：01<<-x由②：∵10<<a 时 则须 12≤--x x ，R x ∈ 综合①②得 01<<-x当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x∴41log)(log 2aa x x ≥-- ∴ 41logay ≥∴定义域为(-1,0)，值域为)41log[∞+，a例5、已知函数2log (1)(0,1)a y x m x a a =++≠（1） 若定义域为(,)-∞+∞，求m 的取值范围； （2） 若值域为(,)-∞+∞，求m 的取值范围. 解：（1）由题意知，210x mx ++ 对任意实数x 恒成立所以 240m ∆=- 解得：22m -（3） 设21v x mx =++，则log a y v =因为函数y 的值域是(,)-∞+∞， 所以240m ∆=-≥ 解得： 22m m ≥≤-或评注：这是一个由对数函数log a y v =与二次函数21v x mx =++复合而成的“对数型函数”的问题。
2.2.2 第2课时 对数函数的性质应用--第二章基本初等函数(I)《新课程同步进阶攻略(人教A版必修一》
第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三 反函数[填一填]函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a >1时同为增函数，0<a <1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543.法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 (1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解． [解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域： (1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]． [分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域． [解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 12 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)． (2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]． ∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ， 则y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)． 当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12. 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12. 类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围． [解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12 u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎨⎧a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g (x )的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g (x )>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝g (x ).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g (x )为增函数；若一增一减，则y ＝log a g (x )为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1，43 C.⎣⎡⎭⎫43，4D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y .∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x <0.∴log y 3<log x 3.∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x 的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x 的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12 (x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12 u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 12 8＝log 12 23＝log 12⎝⎛⎭⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0. ∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x ∈(－1,1)时，u 是x 的增函数，y 是ln u 的增函数，故函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递减区间是(1,3)． 5．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)使f (x )＝log a (a x －1)有意义，则a x －1>0，即a x >1.当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0，∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．(2)①当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a <1时，设x 1<x 2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。
对数型复合函数的单调区间解答题(2)
1．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =．(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间答案：解答：(1)∵(1)2f =，∴log 42(0,1)a a a =>≠，∴2a =． 由10,30,x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-． (2)22222()log (1)log (3)log (1)(3)log [(1)4]f x x x x x x =++-=+-=--+， ∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数．函数()f x 在上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在 ∴()f x 在区间2(1)当5a =时，求函数()f x 的定义域； (2)当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．答案：11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)(),4-∞.解答：(1)当5a =时，要使函数()f x 有意义，当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即 当15x <≤时，不等式①等价于10->，∴无解；当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即 综上，函数()f x 的定义域为11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)∵函数()f x 的定义域为R ，∴不等式1x -+当且仅当()()150x x --≥时取等号)a 的取值范围是(),4-∞.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题.3，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围． 答案：解答：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x x a ++>恒成立，(1x ≤)恒成立． 在(),1-∞上是增函数， ∴当1x =时，时，满足题意，即a 的取值范围为 4(0a >且1a ≠)在()1,+∞上的单调性，并予以证明． 答案：当1a >时，()f x 在()1,+∞上为减函数；当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上为增函数． 解答：，任取211x x >>，则∵11x >，21x >，∴110x ->，210x ->， 又∵12x x <，∴120x x -<．，即21u u <． 当1a >时，log a y x =是增函数，∴21log log a a u u <，即21()()f x f x <；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，∴21log log a a u u >，即21()()f x f x >． 当01a <<时， 5．已知函数()log (3)a f x ax =-(0a >且1a ≠).(1)当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.答案：3(0,1)(1,)2； (2)不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.解答：(1)由于3y ax =-为减函数，所以要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义，因此a 的取值范围是3(0,1)(1,)2； (2)由于3y ax =-为减函数，要使()f x 在[1,2]为减函数且最大值为1，则1a >，且max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=，又3y ax =-在[1,2]上需恒大于零，故不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.6 (1) (2)对于[2,4]x ∈，恒成立，求m 的取值范围. 答案：(1))证明见解答；(2)(0,15)(45,)+∞. 解答：(1)，解得1x <-或1x >， ∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞. 当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，(2)由[2,4]x ∈时， ①当1a >时，∴对[2,4]x ∈恒成立， ∴0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈ 则32()77g x x x x =-++-，∴当[2,4]x ∈时，'()0g x >， ∴()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==. ∴015m <<. ②当01a <<时，由[2,4]x ∈时，对[2,4]x ∈恒成立. ∴(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立. 设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈， 由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==，∴45m >. ∴m 的取值范围是(0,15)(45,)+∞.7．已知函数()()24log 23f x ax x =++. (1)已知()11f =,求()f x 单调递增区间;(2)是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由. 答案：(1)()1,1-；解答：(1)()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++, 2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-， 令()222314t x x x =-++=--+可得,当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-. (2)设存在实数a ,使()f x 最小值为0. 由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.8．已知函数()()()22lg 32215f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦，如果函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.答案：解答：令()()()2232215g x m m x m x =-++-+， 如果函数()f x 的值域为R ，则()g x 能取到任意的正数,当2320m m -+=时，即1m =或2.经验证当2m =时适合当2320m m -+≠时据二次函数知识知要使的函数值取得所有正在值只需23200m m ⎧-+>⎨∆≥⎩解之得综上可知满足题意的m 的取值范围是 9．已知函数mx x f x ++=)14(log )(2．(1)若)(x f 是偶函数，求实数m 的值；(2)当0>m 时，关于x 的方程上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．答案：解答： (1)若)(x f 是偶函数，则有)()(x f x f =-恒成立，即mx mx x x ++=-+-)14(log )14(log 22，即是x mx 22-=对R x ∈恒成立，故1-=m ；(2)当0>m 时，)14(log 2+=x y ，在R 上单增，mx y =在R 上也单增，所以mx x f x ++=)14(log )(2在R 上单增，且1)0(=f ；又)(x f 单增，得令4222++-=t t y ，又0>m ，故10(1)当7m =时，求函数()f x 的定义域；(2)若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．答案： (1) ),4()3,(+∞⋃--∞； (2) ]1-,(-∞解答：(1)不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<7211x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞；(2)不等式2)(≥x f 即R x ∈ 时，恒有R ，m m ,34≤+∴的取值范围是 ]1-,(-∞11．已知a ∈R ，函数 (1)当5a =时，解不等式()0f x >；(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设0a >，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案：()0,⎫+∞⎪⎭； (2)(]{}1,23,4；解答：(1)()0,⎫+∞⎪⎭． ，()()24510a x a x -+--=， 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．(3)当120x x <<时， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．即()2110at a t ++-≥，对任意因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间时，y故a 的取值范围为12(1)若函数内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数在区间[1，2]上的最小值．答案：(1)[)1,+∞；(2) 当1a ≥时，()min 0f x =.解答：(1)由已知，得上恒成立，即 又当 (2)当时，在(1，2)上恒成立， 这时在[1，2]上为增函数(1，2)上恒成立，这时在[1，2]上为减函数),1[)(+∞在区间x f )(x f ),1[0)(+∞≥'在x f 1≥a 0)(>'x f )(x f 0)1()(min ==∴f x f )(x f综上，在[1，2]上的最小值为③当13．已知函数22()lg (32)(1)1f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦的定义域为R ，求实数m 的取值范围．答案： 1m ≤或解答：∵函数()f x 的定义域为R ，∴对于任意x R ∈，恒有22(32)(1)10m m x m x -++-+>①若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为10>，符合题意，当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．②若2320m m -+≠，由题意得 222320(1)4(32)0m m m m m ⎧-+>⎨∆=---+<⎩，解得，即1m <或综上可得，m 的取值范围是1m ≤或 14．已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，且1)2()3(=-f f ．(1)若)52()23(+<-m f m f ，求实数m 的取值范围；(2)成立的x 的值． 答案：)(x f 0)(,1min =≥x f a 时解答：定义域0+∞（，）上单调递增，所以可得： 3202503225m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩，解得(2)15 (1)求函数)(x f 的定义域；(2)求函数)(x f 的值域.答案：(1)(p ,1)；(2)见解答：.解答：(1)要使求函数)(x f 有意义，则得1>x 且p x <， 又因为函数的定义域为非空数集，所以1>p ，所以函数)(x f 的定义域是(p ,1)；，其中p x <<1，，即31≤<p 时， 因为)(x h 在],1[p 上单调递减，且0)1(2)1(>-=p h ，0)(=p h ， 所以)1(log 1)1(2log )(22-+=-<p p x f ； ，即3>p 时， ，0)(=p h ， 所以当p x <<1时，时，即1-<p ，这与1>p 矛盾. 综上所述当31≤<p 时，函数)(x f 的值域是()()1log 1,2-+∞-p ；当3>p 时，函数)(x f 的值域是()]21log 2,(2-+-∞p .16 (1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若对于[2,4]x ∈，恒有成立，求m 的取值范围． 答案：(1)详见解答；(2)当1>a 时，150<<m ； 当10<<a 时，16>m ．解答：(1)解得11x x <->或所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ 函数()f x 为奇函数，证明如下：由(I)知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为所以函数()f x 为奇函数(2) 对[2,4]x ∈恒成立 当10<<a 时，对[2,4]x ∈成立．即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m << 同理当10<<a 时，，解得16m > 综上所述：当1>a 时，150<<m ,当10<<a 时，16>m17．已知函数2()lg(2)f x ax ax =++ (∈a R )．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．答案：(1) ()f x 的单调增区间为(2) 08a ≤<．解答：(1)当1a =-时，2()lg(2)f x x x =--+ 220x x --+>，即220x x +-<，解得：21x -<< 所以函数()f x 的定义域为(2,1)-设2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-，则()lg f x t =关于t 在(0,)t ∈+∞为增函数． 由复合函数的单调性，()f x 的单调区间与2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的单调区间一致．二次函数2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的对称轴为所以()t x 在所以()f x 的单调增区间为(2)当0a =时，()lg 2f x =为常数函数，定义域为R ，满足条件． 当0a ≠时，()f x 的定义域为R 等价于220ax ax ++>恒成立． 于是有2080a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：08a << 综上所述，实数a 的取值范围是08a ≤<．18．已知函数()ln(3)ln(3)f x x x =++-．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性；(3)若(21)()f m f m -<，求m 的取值范围．答案： (1)()3,3-；(2)函数()f x 为偶函数； 或12m <<． 解答：(1)303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，所以定义域为()3,3-； (2))()3ln()3ln()(x f x x x f =++-=-)(x f ∴为偶函数；(3)因为()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x=++-=- 可知)(x f 在]3,0[上为减函数，又为偶函数则原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-<-<-|||12|333123m m m m 解得或12m <<．。
高中数学-复合函数的值域
巩固训练
已知函数 f (x) loga[ax2 (3a 1)x 3] 的值域为 R ，求 a 的取值
课后作业
1、已知函数 f (x) x2 2 tan x 1, x [1, 3], ，当 时，求函数 f(x)的最大值与最小值 6
2、求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1]上的最大值 3、已知函数 f (x) ax2 2ax 1在区间[3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值
【变式训练】
1、已知函数 f（x）=log 2
x x
2 2
,
g
(
x)
log
2
(
x
2)
log
2
(
p
x),且
p＞2，设
F
(
x)
f (x) g(x)
（1）求 F(x) 的定义域
（2）求 F(x) 的值域
例 2、（耐克函数）求函数 f (x) x2 x a (a 0), x [1, 2] 的值域 x
4、 已知函数 y sin2 x a sin x a 1 的最大值为 2 ，求 a 的值 42
（2）求函数 y log 2 x log x (2x) 的值
例
3、（其它函数复合）求函数
y
x2
1 x2
2x
2 x
4(x
பைடு நூலகம்
1) 的值域 2
【变式训练】
已知函数 y＝(ex－3)2＋(e－x－3)2(a∈R，a≠0)，求函数 y 的最小值
【方法总结】 1、复合函数值域（最值）的求法一般用换元法，但换元时要注意中间变量的取值范围，换元后求新的函数的值域（最 值）即可 2、复合函数值域（最值）的考察一般分为两种：指、对数函数复合和其他函数复合，前一种为重点
对数型复合函数的单调区间解答题(3)
1．已知20.5()log ()f x x mx m =--．(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 答案：(1)0m ≥或4m ≤-；解答：(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，则()g x 取遍所有的正数，240,0m m m ∴∆=+≥∴≥或4m ≤-；(2)2．已知函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.答案： (2){3}(1,)-+∞.解答：令3x t =，则(0,)t ∈+∞，有且只有一个正实根t ，当10a -≠时，若0∆=，则3a =-或 时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为 若0∆>，则120t t <，解得1a >， 从而所求a 的范围是{3}(1,)-+∞.考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；(3)是否存在实数λ,使得不等式若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案： (1))1,1(-；(2))(x f 在定义域内单调递增；(3)解答：(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，111-==-=∴m m m （舍去），即或，故函数的定义域是)1,1(-； ，任取1121<<<-x x ，∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；由(1)，(2)知当θ=0时成立； sinθ=t,4(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在非负实数m 、n,的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．答案：(3)2,0==n m ．2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2()2()3y f x af x =-+)(a h m n解答：令 ,当,的定义域为，不成立； 当，R ，∴，解得，综上所述，，对称轴为，当 时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．由题意，知⎩⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20n m ，∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．m x mx u ++=22时0=m x u 2=），（∞+0时0≠m ⎩⎨⎧<-=∆>04402m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：(1)奇函数，证明见解答：；解答：(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称， ，∴()f x 为奇函数， 法1：当1a >时，设121x x <<，则()(()(1111x x +-又1a >，，()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令，所以12log log a a t t >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)，(),2∈-x n a①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，②当01a <<时，(0,)t a ∈，则，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()222g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；(2)()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩； (3)()1,3a ∈-． 解答：(1)2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()()222222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()22222212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦．当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，所有2min 1,2t a y a a =-=-++；当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．综上，()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >． 当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；当-11a <<时， 2min 20,11y a a a =-++>∴-<<；当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解 综上，()1,3a ∈-．7．已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数(1)求实数a 的值； (2)(3)的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围． 答案：(1)1a =；解答：(1)函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2，2)，又因为A 点在()f x 上，图象与直线b y 2=021b << ，故b 的取值范围为8．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，函数()y g x =(的图象上运动． (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的零点．(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 答案：解答：解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数在(1,2]上递减，在[2,4)上递增，当2m =时有最小值4，无最大值，∴t 有最小值∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值9 (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对于任意的[)()()1,,1x f x a x ∈+∞≥-恒成立，求a 的范围． 答案：(1)()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增； (2)2a ≤． 解答：， ()f x 在()1,+∞上递增；()()'0,1f x 在递增,()()()()''120,0,1f x f f x <=-<在上递减，所以()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增．(2) ()()()()()()1,1ln ,11ln 10x f x x x f x a x x x a x ≥=+≥-⇔+--≥由(1)知,()()'1,g x +∞在上递增,()()''12g x g a ≥=- 若20,2a a -≥≤即,()()[)'01,g x g x ≥+∞，在上递增,()()10,g x g ∴≥=所以不等式成立2a >若,存在()()001,,'0x g x ∈+∞=使得,当0[1,)x x ∈时,综上所述，2a ≤．10(1)当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若对任意的R x ∈，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}11|>-<x x x 或；解答： (1)，即2-<x，即1>x 综上所述，函数()x f 的定义域为{}11|>-<x x x 或 (2)11(1)(2)若关于x 的不等式()()2520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案： (1)7m =；解答：(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，所以 即227m =，7m =±； 得定义域为()7,7-．∴7m =． 是增函数，∴()f x 在()7,7-是增函数．又()f x 为奇函数，∴()()252f x ax f x a -->+，∴27257x a x ax -<+<--<对任意实数 []2,3x ∈恒成立；对于225x a x ax +<--，即()252x x a x -->+，20x +>，∴(23x ≤≤)， 设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，对于72x a -<+，()2h x x a =+在[]2,3上递增，∴()()min 2227h x h a ==+>-，则对于257x ax --<，即()2F 120x x ax =--<，∴()()F 2280F 3330a a =--<⎧⎪⎨=--<⎪⎩，则1a >-； 综上，a 的取值范围是 12．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x的一个上界．已知函数(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间(3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案： (1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-．解答：(1)因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即 ，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．(2)由(1)，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，上的值域为[3,1]--，所以|()|3g x ≤，故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞．(3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， ，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．。
对数函数中的复合函数问题
对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方49)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
对数函数常见题型
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；②()log a y x a =∈R ；③8log y x =；④ln y x =；⑤()log 2x y x =+；⑥42log y x =；⑦()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2 B ．2-C ．12-D ．12跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C 2D ．12题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()4f x x=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．无法确定跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)23．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,03．已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ )A ．2-B ．2C ．1D ．1-题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
对数型复合函数相关问题
令 =_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_ >0 ∴ _x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_>0 _x001A_−1_x001B_<0<2
=_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_
令 =−1 (4<<28)
−3<<−1
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_3_x001B__x001B__x001B__x001A_−1_x001B_ (4<<28) _x001B_
1，先求出函数定义域
01
1−_x001B__x001A_+3_x001B_><<1
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_2_x001B__x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4)_x001B_
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B_3_x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4+5)_x001B_
在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0当 0＜x＜1 时，y＞0
复合函数值域求解
复合函数单调性求解
）
01
单击添加标题
单击此处添加正文
02
单击添加标题
单击此处添加正文
对数型复合函数相关问题
∵ 底数 10>1
∴ = 为增函数
4.求出复合函数单调性
定义域
综上
= − −
在 −∞, −1 单调递减
在 3, +∞ 单调递增
= − −
练习
1
=
2
2
= log 1
2
2
(−
+ 4)
定义域
=
定义域
= log 1 (− 2 + 4)
2
综合题：求下列函数的定义域，值域，单调性
2
= log 3 (− + 4 + 5)
1.先求定义域
− 2 + 4 + 5 > 0
+1 −5 <0
−1 < < 5
2.求内函数
= − 2 + 4 + 5 的值域和单调性
2
= − + 4 + 5
= log ( − )( + )
= log 1 − 1
3
(4 < < 28)
令 = − 1 (4 < < 28)
3 < < 27 = log 1
3
−3 < < −1
= log 1 − 1
3
(4 < < 28)
= log ( − )( + )
1，先求出函数定义域
1− +3 >
∴ −3 < < 1
2，求出内函数t值域
= 1− +3
2
= −( + 1) + 4
06-专项拓展训练1 与对数函数有关的复合函数问题高中数学必修一北师大版
B. 在区间 1, +∞ 上单调递减
C. 的值域为 lg 3, +∞
D. 的图象关于点 1,3 对称
BC
)
3 > 0,
【解析】 对于A，由ቊ
得 > 1,所以函数 的定义域为
− 1 > 0,
1, +∞ ，所以A错误；对于B， = lg
3
−1
=
3
lg(
−1
+ 3),令 =
法正确的是( AB
)
A.若函数 的定义域为，则实数的取值范围是
1+ 5
, +∞
2
B.若函数 的值域为[−1, +∞)，则 = 2
C.若函数 在[2, +∞)上单调递增，则实数的取值范围是 0, +∞
D.若 = 0，则不等式 < 1的解集为
3
−∞,
2
【解析】 因为 的定义域为,所以关于的不等式
函数
4.（多选）[2024广东汕头联考]已知函数 = log 2
则( AB
)
A.函数 的图象与轴有两个交点
B.函数 的最小值为−4
C.函数 的最大值为4
D.函数 的图象关于直线 = 2对称
2
− log 2 2 − 3，
【解析】
令 = 0，即 log2
（2）求不等式 2 − 2 + 3 − 2 < 0的解集.
【解析】 由（1）可知，
=
=
2−
log
+2
4
+2
=
−2−+4
log
+2
专题5.7对数函数的定义(4个考点六大题型) 试卷及答案
专题5.7对数函数的定义（4个考点六大题型）【题型1 对数函数-解析式】【题型2 对数函数-定义域】【题型3 对数型复合函数-定义域】【题型4 对数函数-值域】【题型5 对数型复合函数-值域】【题型6 已知对数函数值域求参数】1．（2022春·天津·高二统考学业考试）函数()()3log 1f x x =-的定义城为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．R2．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）函数02()log (3)(2)f x x x =+++的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,2)(2,)--⋃-+∞ C ．(3,)-+∞D ．[3,2)(2,)-+∞3．（2023秋·新疆昌吉·高一新疆昌吉回族自治州第二中学校考期末）（多选）若函数)N=（高一校考期末）函数)()7,+∞)()1,7高二雅礼中学校考阶段练习）（多选）关于函数1lg1xx+-，下列．图像关于y轴对称)0,1A B=（A．∅(0, A B=2023春·浙江·）]0,1(2)若关于x 的方程()()log xa f x c a c =⋅-有唯一解，求c 的取值范围．10．（2023春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数()()()(log 3log 30a a f x x x a =--+>且)1a ≠.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若()11f =-，当[]1,1x ∈-时，求()f x 的值域.【题型6 已知对数函数值域求参数】(2)若函数()()()4g x f x b bf x=+-+在区间230,317⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为5，求实数b的取值范围.专题5.7对数函数的定义（4个考点六大题型）【题型1 对数函数-解析式】【题型2 对数函数-定义域】【题型3 对数型复合函数-定义域】【题型4 对数函数-值域】【题型5 对数型复合函数-值域】【题型6 已知对数函数值域求参数】a>且因为函数(f x 所以（2）因为()4f =-又0,a a >（2）(f x()log f x =2m ∴-<-实数m 的取值范围是【题型2 1．（2022春·天津·高二统考学业考试）函数()()3log 1f x x =-的定义城为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,∞+D ．R【答案】B【分析】根据对数的定义域求解即可.【详解】由题意10x ->，解得1x >，故函数()()3log 1f x x =-的定义城为()1,+∞. 故选：B2．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）函数02()log (3)(2)f x x x =+++的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,2)(2,)--⋃-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．[3,2)(2,)-+∞【答案】B【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.【详解】由题意知，30320x x x +>⎧⇒>-⎨+≠⎩且2x ≠-，)()1,+∞【分析】利用分数和对数有意义的条件可得()1lg f x x=)()1,+∞天津滨海新·高二统考期末）函数【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域1．（山东省威海市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知集合22{|log (2)}A x y x x ==--，则R ()N A =ð（ ）A ．{1012}-,,,B ．{1,1,2}-)N.{=)N0,1,2高一校考期末）函数[)1,7 1,7)()7,+∞)()，函数(2)求不等式()()22f x f -≥的解集. 【答案】(1)()4,8- (2)(]6,0-【分析】（1）根据()11f -=-求得a ，再根据对数的真数大于零即可得解； （2）根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）由题意可得()()()()3331log 14log 11log 11f a a -=-+-+=-+=-， 即()3log 12a +=，所以19+=a ，故8a =，从而4080x x +>⎧⎨->⎩，解得48x -<<，故()f x 的定义域为()4,8-；（2）由题意可得()()()332log 6log 6f x x x -=--+，()332log 6log 60f =-=， 因为()()22f x f -≥，所以()()33log 6log 60x x --+≥， 即()()33log 6log 6x x -≥+，则606066x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≥+⎩，解得60x -<≤， 故不等式()()22f x f -≥的解集为(]6,0-.【题型4 对数函数-值域】A B =（ A ．∅ 【答案】C【分析】求出集合【详解】{|A x y =}ln ,1x x =][)2,+∞可解得b 的值，3(1)b =-⨯-][)2,+∞．故答案为：2；(][)2,e 2,-+∞.2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）且1a ≠）在27⎤⎥⎦上的最大值为2(0, A B=], 1.9,1.9∈B ∈∉0,0A⋂=A B(,2=-A B∞故选：D.2．（2023春·为（）)()2,4，则上单调递减，所以黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）（多选）已知函数)R，则（(,3] x∈-∞∴-lg(4)x ∴lg(4-f x=即()故答案为：}()0,+∞）由()f x 根据方程log 1a ⎛+ ⎝}()0,+∞．高二校联考期末）已知函数判断函数的奇偶性，并说明理由；()()f x -=（2）()1log f =()(2log 3f x ∴=方法一：当x ∈2613x ⎛- +⎝()g x在[() g x ⎡∴∈⎢⎣【题型61．（2023·围是（)(,)a +∞，当,0)(0,)+∞；时，函数的定义域为()f x f -=正确；1a =时，令由复合函数的单调性可知(),1-∞-，故。
对数型复合函数的单调区间选择题(1)
1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A B C D 答案：A解答：因10<<a ,故函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数, 所以a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====,即a a =3)2(,应选A.2( ) A ．]2,(--∞ B ．),2[+∞- C ．]2,(-∞ D ．),2[+∞ 答案： A解答：当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), 故应选A. 3 A C 答案： A解答：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数．令t 1，故函数y x>1}．本题即求t=(2x -1)(x -1)在区间(-∞∪(1，+∞)上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为(1，+∞)， 4．8log 4log 2log 1)(32x x x x f +++=，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A ．BC ．)1,0(D ．),1(+∞ 答案： A解答：5A 答案：A解答：所以不等式6．已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(]4,4-B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(],4-∞ 答案：C解答：对数的底0.5∈(0，1)，得相应的对数函数是减函数，由此得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，且在[2，+∞)上t>0总成立，建立关于a 的不等式并解之，可得a 的取值范围．令23t x ax a =-+，∵0.5∈(0，1)，∴函数y=log0.5t 是关于t 的减函数结合题意，得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，又∵在(2，+∞)上t>0总成立，C. 7．函数()20.5log 65y x x =-+- 在区间(),1m m +上递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[]3,5B ．[]2,4C ．[]1,2D ．[]1,4 答案： C解答：令2650t x x =-+->，解得15x <<， 故函数的定义域为()1,5，且0.5log y t =，利用二次函数的性质求得函数2265(3)4t x x x =-+-=--+ 在定义域()1,5是的增区间为()1,3，故函数()20.5log 65y x x =-+-在区间()1,3上单调递减，根据函数()20.5log 65y x x =-+-在区间(,1)m m +上单调递减， 故有113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，故选C ．8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,3 答案：B 解答：函数由u y a log =，ax u -=6构成，因为0>a ，所以ax u -=6是减函数， 那么外层函数u y a log =就是增函数，所以1>a ，因为[]2,0为定义域的子集，所以当2=x 时，ax u -=6取得最小值， 所以02-6>a ，即3<a ，所以31<<a ．9．已知函数()f x =2(2)3,1log ,1a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围是 A ．(1,2)- B ．[1,2)- C ．(,1]-∞- D ． {1}- 答案：B 解答：当1x ≥时2log 0y x =≥,所以要使()f x 的的值域为R ,需满足()()23g x a x a =-+在1x <时的值域中包含所有负数,所以()2010a g -<⎧⎨≥⎩ ,解得12a -≤<,故选B.10．函数的单调递减区间为( )A. B. C.(),1-∞- D. 答案： C解答：由题意可得：求函数()()2ln 23f x x x =--的单调递减区间应满足：⎩⎨⎧<>--10322x x x 即⇒⎩⎨⎧<-<>113x x x 或1-<x ，所以应选C 11．已知函数()2log ,0f x x m n =<<，且()()f m f n = ，若函数()f x 在区间2[m ,n]上的最大值为2，则2m =( ) A ．14 B C ．32 D ．12答案： A解答：由题设知 因为2m m <且函数在()0,1上为减函数， 所以()()()2f mf m f n >=，所以，()2f m =2，所以，22log2m -= 故选A.11(,m n 为正整数)，值域为[0,2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有( )A ．1个B ．7个C ．8个D ．16个 答案： B解答：得，1x =；由得，4x =或()()2ln 23f x x x =--(),1-∞()1,+∞()3,+∞域为[0,2]，由于,m n 为正数对(,)m n 有7个，选.B12．已知函数()()ax x f a-=3log 在[]20，上是减函数，则a 的取值范围是 ()答案：A解答：因为0a >，所以()3u x ax =-为减函数，由复合函数单调性要求()log a f x u =在[]20，上为增函数，所以需要满足1a >，且当02x ≤≤时()30u x ax =->，即320a ->， 13( )A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C D答案： C解答：C 正确. 14．不等式1)2(log 22>++-x x 的解集为( )A.()0,2-B.()1,1-C.()1,0D.()2,1 答案：C 解答：要使原式有意义需满足：220x x -++>，解得12x -<<原式可化为222log (2)log 2x x -++>函数2log y x =在[0,)+∞是单调递增函数∴222x x -++>01x ∴<<12x -<<∴不等式22log (2)1x x -++>的解集为(0,1)故选C15，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是 ( )A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-答案：A解答： 若0a >，则若0a <，则22()log ()0log ()00110af a a a a a a -=->⇒-<⇒<-<⇒-<<； 综上得，选A16．已知函数20.5()log (4)f x x ax a =-+在),2[+∞单调递减，则的取值范围( )A.]4,(-∞B.),4[+∞C. [2,4]-D. (2,4]- 答案：D 解答：令24t x ax a =-+，则函数24t x ax a =-+在区间[2，+∞)内单调递增，且恒大于0，由此可得不等式，从而可求a 的取值范围. 故选D.17得到在()0,∞-，()+∞,0上是减函数，类比上述作法，研究xx y =()0>x 的单调性，则其单调增区间为( )A.()1,0B.()+∞,1 答案： C解答：a ()x f设()ln ln x h x x x x ==，因为 单调递增，所以函数xx y =()0>x 的单调增区间为18[0，1]，则a =( )D.2 答案： A解答：因为x x =1 19( )A ．(－∞，1)B ．(2，+∞)C ．(－∞D ．+∞) 答案： A解答：由232>0x x -+得：2x x ><或1，20．函数2234log ()y x x =--的单调增区间是( )A. (4,)+∞B. (,1)-∞-C.D. 答案： A解答： 因为函数2234log ()y x x =--，那么定义域x >4,x <-1,因此结合复合函数的性质可知，外层是增函数，内层的增区间为(4,)+∞，故选A 21．函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的单调减区间为( )A.B. C. D. 答案： C解答：因为函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的定义域-1<x<3,根据复合函数的单调性可孩子，单调减区间(1,3)，选C.22．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍，则a答案：A解答：由题意知)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上是减函数，所以max min ()()1,()(2)log 21a f x f a f x f a ====+,]1,1(-]1,(-∞)3,1[),1[+∞。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
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∴函数 y log 2 ( x 4) 的值域为[2, )
2
（2） y log 2 (3 2 x x )
2
解：令t
3 2x x ∴0 t 4 ∴y log 2 t (0 t 4)
2
则 t ( x 1)2 4 4
∵ y log 2 t 在 (0, ) 上是增函数 ∴log 2 t log ห้องสมุดไป่ตู้ 4 2
与对数函数有关的 复合函数值域问题
（第一课时）
高要一中数学组 袁则
教学目的：通过一些例题的讲解与练习， 对对数函数与二次函数的复合函数问题 进行学习，加深对函数的认识，能够对 一些有难度的题目进行分析解决。 教学难点：对复合函数的值域进行求解
a>1
Y
0<a<1
Y=logax
Y
图 像
Y=logax
t 4
∴函数 y 2
x2 4
的值域为 [16, )
新知学习
例1.求下列函数的值域 2 （1）y log 2 ( x 4) 解：令 t
x 4
2
则t
4
∴ y log 2 t (t 4) ∵y log 2 t 在 (0, ) 上是增函数 ∴log 2 t log 2 4 2
y log a t 在 (0, ) 上是减函数
1时 y log a t 在 (0, ) 上是增函数
∴ log a t log a 4
∴函数 y log a (3 2 x x 2 )的值域为(, log a 4]
《课堂小结》 1.对于 y log a f ( x)的值域的求法 （1）确定 f ( x)的值域 （2）利用对数函数的单调性，求出函数的值域 2.求复合函数值域问题的解决关键在于将 复合函数问题转化为简单基本函数问题， 要注意定义域对值域的影响。
2
∵y log 2 t在 (0, ) 上是增函数
∴ log 2 2 log 2 t log 2 4
即1 log 2 t 2
∴函数y log 2 (3 2 x x ), x [1,1 2] 的值域为 [1, 2]
2
（2）y log a (3 2 x x )(a 0, 且a 1)
1
O
1
x
O
x
（0， +） 值域：R 定义域： 过点（1，0），即x=1时,y=0
性 质
x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
在(0,+上是增函数
0<x<1时,y>0 x>1时,y<0
在(0,+上是减函数
y 2x
2
4
旧知练习
求函数 y 2
2
t
x2 4
的值域
t
解： 令t x 4 则 t 4 ∴ y 2 (t 4) ∵ y 2 在R上是增函数 ∴ 2 2 16
∴ 函数y log 2 (3 2 x x ) 的值域为(, 2]
2
练习：求下列函数的值域 2 （1） y log 2 (3 2 x x ), x [1,1 2]
.
解：令 t 3 2 x x 则 t ( x 1)2 4 ∴2 t 4 ∵x [1,1 2] ∴ y log 2 t (2 t 4)
2
解： 令 t 3 2 x x 则t ( x 1) 4 4 ∴0 t 4 ∴ y log a t (0 t 4)
2
2
①当0 a 1时
∴ log a t log a 4 2 ∴函数 y log a (3 2 x x ) 的值域为[log a 4, ) ②当a
作业：求函数 y log 1 ( x 4 x 5) 3 的值域
2