量纲分析相似理论
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流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
5 相似理论与量纲分析
第五章 相似理论与量纲分析实际工程中，由于流体粘性的存在和边界条件的多样性，流动现象极为复杂，往往难以通过解析的方法求解。
此时，不得不依赖实验研究。
通常，实际工程或实物（统称原型）的尺寸太大，直接进行实验会耗费大量的人力和物力，有时甚至难以实现。
因此，大多数实验都是在比原型小的模型上进行的（称为模型实验）。
通过模型实验，得出实验结果，进而预测原型中将要发生的流动现象。
那么怎样才能保证模型与原型有相同的流动规律呢？这就是相似理论要研究的问题。
量纲分析则是在观测流动现象的基础上，建立流动各影响因素的正确关系。
§5.1 相似理论5.1.1 流动相似为了保证模型流动（用下标m 表示）与原型流动（用下标p 表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。
1. 几何相似几何相似是指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。
如图5-1所示，有图5-1 几何相似l pm 3p 3m 2p 2m 1p 1m k l ll l l l l l ===== （5-1） p3m3p2m2p1m1θθθθθθ===，， （5-2）式中k l 称为长度比尺，则面积比尺2l 2p 2m p m A k l l A A k === （5-3）体积比尺3l 3p3m p m V k l l V V k === （5-4）2. 运动相似运动相似是指模型和原型流动的速度场相似，即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。
如图5-2所示，有图5-2 运动相似u pm p2m2p1m1k u uu u u u ==== （5-5） 式中k u 称为速度比尺。
由于各对应点速度成同一比例，因此相应断面的平均速度必然有同样的比尺u pmv k v v k ==（5-6） 将t l v=代入上式，得tlm p p m p p m m p m v k k t l t l t l t l v v k ==== （5-7）式中p m tt t k =称为时间比尺。
量纲分析和相似理论
1960年第十一届国际大会通过了国际单位制（SI） ，在国际制单位 中，国际制单位分为三类：⑴基本整单理p位pt ；⑵导出单位；⑶辅助单位。
1)基本单位 第十一届国际计量大会（1954年）和第十四届计量大会，决定
选取七个有严格定义的单位作为国际单位制的基本单位。这七个单 位是：米 (长度)﹑千克(质量)﹑秒(时间)﹑安培(电流强度)﹑开尔文 (热力学温度)﹑摩尔(物质的量)和坎德拉(发光强度)，它们在量纲上 是彼此独立的，这七个国际单位称为基本单位。
（4）初始条件的相似： 物理现象一方面 取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的 初始条件，因此要求模型与原型在初始时刻的 运动参数相似。包括初始几何位置、质点的位 移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和 原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时 刻保持一定的比例，并且运动方向一致。
整理ppt
（5）边界条件的相似：
导出量纲由基本量纲组合表示，如： 加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT。
无量纲量： 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单
纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。例如角度， 可以用弧长和半径的值来度量，其单位可用弧度表示。但由于与基 本量纲无关，故角度是无量纲的。
频率 压强 应力
[T-1] [ML-1T-2] [M-1T-2]
弹性系数
[ML-1T-2]
整理ppt
第二节 量纲分析
量纲和谐性原理：量纲和谐性原理又被称为量纲一 致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理现 象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程 中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。
• 物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程， 式中的每项的量纲应该相同，并应采用同一度量 单位。
1)基本单位 第十一届国际计量大会（1954年）和第十四届计量大会，决定
选取七个有严格定义的单位作为国际单位制的基本单位。这七个单 位是：米 (长度)﹑千克(质量)﹑秒(时间)﹑安培(电流强度)﹑开尔文 (热力学温度)﹑摩尔(物质的量)和坎德拉(发光强度)，它们在量纲上 是彼此独立的，这七个国际单位称为基本单位。
（4）初始条件的相似： 物理现象一方面 取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的 初始条件，因此要求模型与原型在初始时刻的 运动参数相似。包括初始几何位置、质点的位 移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和 原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时 刻保持一定的比例，并且运动方向一致。
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（5）边界条件的相似：
导出量纲由基本量纲组合表示，如： 加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT。
无量纲量： 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单
纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。例如角度， 可以用弧长和半径的值来度量，其单位可用弧度表示。但由于与基 本量纲无关，故角度是无量纲的。
频率 压强 应力
[T-1] [ML-1T-2] [M-1T-2]
弹性系数
[ML-1T-2]
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第二节 量纲分析
量纲和谐性原理：量纲和谐性原理又被称为量纲一 致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理现 象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程 中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。
• 物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程， 式中的每项的量纲应该相同，并应采用同一度量 单位。
第七章 相似理论与量纲分析
满足的条件
第七章 相似理论与量纲分析
5
一、几何相似（空间相似）geometry similarity
定义：两流动的对应边长成同一比例，对应角相 等。 模型流动用下标 m表示model 引入尺度比例系数
进而，面积比例系数 体积比例系数
lm1 lm 2 Cl l p1 l p 2
原型流动用下标 p表示prototype
5 m 6 1.45 10 Vm Re 3 10 36.25 m s 78 lm 65
第七章 相似理论与量纲分析
20
管道沿程损失系数自模现象：
第七章 相似理论与量纲分析
21
§7-3 量纲分析法
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知 规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析， 将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲 参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关 系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降 低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。 提议用量纲分析的是瑞利(L.Reyleigh,1877),奠 定理论基础的是布金汉(E.Buckingham,1914)
书中例9.2讲了如何解决这个问题。
第七章 相似理论与量纲分析
17
普遍而言： 由Fr数相等
由Re数相等
Vm lm Cl Vp lp Vm m l p m 1 V p p lm p Cl
m Vm Cl Cl3 2 为保证两数同时相等，应有 p Vp
设Cl = 0.1,νp= 0.1 cm2/s(空气)，应有νm=0.00032 cm2/s。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实 现完全相似。(可以采用不同种类的流体做实验) 造船业上的惯常方法是：保证Fr数为主作模型实 验，然后根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为 近似相似。
第七章 相似理论与量纲分析
5
一、几何相似（空间相似）geometry similarity
定义：两流动的对应边长成同一比例，对应角相 等。 模型流动用下标 m表示model 引入尺度比例系数
进而，面积比例系数 体积比例系数
lm1 lm 2 Cl l p1 l p 2
原型流动用下标 p表示prototype
5 m 6 1.45 10 Vm Re 3 10 36.25 m s 78 lm 65
第七章 相似理论与量纲分析
20
管道沿程损失系数自模现象：
第七章 相似理论与量纲分析
21
§7-3 量纲分析法
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知 规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析， 将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲 参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关 系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降 低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。 提议用量纲分析的是瑞利(L.Reyleigh,1877),奠 定理论基础的是布金汉(E.Buckingham,1914)
书中例9.2讲了如何解决这个问题。
第七章 相似理论与量纲分析
17
普遍而言： 由Fr数相等
由Re数相等
Vm lm Cl Vp lp Vm m l p m 1 V p p lm p Cl
m Vm Cl Cl3 2 为保证两数同时相等，应有 p Vp
设Cl = 0.1,νp= 0.1 cm2/s(空气)，应有νm=0.00032 cm2/s。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实 现完全相似。(可以采用不同种类的流体做实验) 造船业上的惯常方法是：保证Fr数为主作模型实 验，然后根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为 近似相似。
量纲分析与相似理论
为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度因次， 如ρ、V、d ③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物
理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
1
x4
x a1 1
x b1 2
x c1 3
2
x5
x a2 1
x b2 2
x c2 3
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
们确定所有动力学量的比例尺。
•几何相似是运动相似和动力相似 的前提； •动力相似是决定流动相似的主要 因素； •运动相似是几何相似和动力相似 的表现。
§4-4 流动相似的准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
模型采用同oxing流体，则将导致 Cl 1 ，失去了模型试验的价值。
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F (1, 2,, nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
1
x4
x a1 1
x b1 2
x c1 3
2
x5
x a2 1
x b2 2
x c2 3
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
们确定所有动力学量的比例尺。
•几何相似是运动相似和动力相似 的前提； •动力相似是决定流动相似的主要 因素； •运动相似是几何相似和动力相似 的表现。
§4-4 流动相似的准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
模型采用同oxing流体，则将导致 Cl 1 ，失去了模型试验的价值。
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F (1, 2,, nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
相似理论和量纲分析
b
两机翼几何相似
3
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相 等，则它们的夹角必相等。
由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应 体积也分别互成一定比例，即
• 面积比尺
kA
A A
l2 l2
kl2
• 体积比尺
kV
V V
l3 l3
kl3
4
正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在 流体力学模型实验中，一般采用正态模型。 变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比 尺和宽度比尺，如天然河道的模型。
14
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿
数必定相等即 Ne Ne;反之亦然。这便是由
牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的
动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是， 可得：
一、重力相似准则
二、粘性力相似准则 三、压力相似准则 四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则
kv 1/ kl
要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。 31
相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根 本无法进行。
近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实 验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程
起主导作用的相似准则（决定性准则），而忽略那些对 流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则），达到
力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯
数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则，又称韦伯相似准则。
26
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。
牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。
12-第12讲 相似理论与量纲分析
(b)
结合上述结果(a)和(b)，要求原型与模型所用的流体运动粘度之比为
l3 / 2
(c)
如果长度比例尺 l 4 ， 则要求原型流体运动粘度与模型流体运动粘度之比为 8 ， 这在 实际工程研究中是很难满足的。 由此看出，要想使流动完全相似是很难办到的，相似准则数越多，模型实验的设计越 困难，甚至根本无法满足。在工程实际中，模型试验往往只能满足部分相似准则，称之为局 部相似。这种近似的模型试验，是根据对流动现象的分析，以及相似准则的物理意义，使原 型与模型之间满足重要的相似准则。 比如对于管中流动等以粘性为主的流动， 应满足雷诺相 似准则；而对于船舶或明渠类等以重力为主的流动，应满足富鲁德相似准则。 另外还可采用自模化的特性和稳定性来简化模型设计。例如在有压粘性管流中，当雷 诺数大到一定数值后， 管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化， 阻力系数与雷诺数无
119
相等，即 Ne0 Nem ；反之亦然，这就是牛顿相似准则。 1、 重力相似准则（富鲁德准则） 在（5-8）中，取 F 为重力， F Mg ，要求原型与模型之间满足重力相似，则有
F Vg l 3 g gl Ne 2 2 2 2 2 2 2 l u l u l u u
121
关，此时雷诺准则已失去作用，流动进入自动模化区，此时不必考虑模型的雷诺数与原型的 雷诺数是否相等，只要模型与原型所处同一模化区即可。 第4节 量纲分析 量纲分析的基本原理是量纲的和谐性。 比如要问 1 马力等于多少牛顿？你会认为很荒唐， 因为马力和牛顿的单位 （量纲） 不同， 一个是功率的单位， 一个是力的单位， 是无法比较的。 再比如，问 1 公里等于多少立方米，会觉得这个问题更荒唐。两个量能进行比较的前提是它 们的量纲（单位）相同，这就是量纲的和谐性原理，当然，两个无量纲的量是可以无条件相 互比较的。 欧拉 （Euler） 在 1765 年首先提出了物理量的单位与量纲的和谐性问题； 瑞利 （Rayleigh） 在 1822 年提出了量纲和谐性原理，并在 1877 年利用量纲分析方法给出了一些物理关系式； 后来白金汉（Buckingham）在 1914 年提出了无量纲参数的白金汉定理，又称为 定理。 任何一个物理方程中各项的量纲必定是相同的， 这便是物理方程量纲和谐性原则。 既然 物理方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可将该方程 化为无量纲的方程。量纲分析方法正是依据物理方程量纲和谐性原则，从量纲分析入手，找 出相关物理量之间最基本的关系， 这也是探索流动规律的重要方法， 量纲分析方法的核心是 定理。 1、 基本量纲与导出量纲 物理量的单位叫量纲， 物理量的单位分基本单位和导出单位， 物理量的量纲也相应的分 为基本量纲和导出量纲。 基本量纲是不能从别的量纲推导出来的， 而导出量纲是可以从别的 量纲推导出来的。 但哪些量纲作为基本量纲并没有一定的标准， 只是一个习惯和方便的问题。 流体力学中常取长度 L、时间 T 和质量 M 为基本量纲；在与温度有关的流体力学问题中，还 要增加温度的量纲 为基本量纲。由基本量纲组成的单位称为导出量纲，任一物理量 N 的 量纲表示为 dim N 。 力学中的基本量纲一般定为三个， 关于三个基本量纲的选取有一定的要求， 即要求基本 量纲必须具有独立性，其中任何一个都不能从其余的基本量纲导出。例如长度、时间和速度 三个显然是不成的，因为速度可以由长度和时间导出，不是独立的。 有了基本量纲后， 其他物理量的量纲可以从该物理量的定义推导出来。 例如选定长度 L、 质量 M 和时间 T 为基本量，则动力粘度 的量纲应为
第七章 量纲分析与相似理论
2. 定理法 (布金汉法)
若物理方程为
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成 为(n – m)个无量纲 ) 0
x5 x4 1 a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Cu up um
Cu Cl Ct
速度比尺 加速度比尺
Cv
vp vm
时间比尺
Ct tp tm
C Ca l2 am Ct
ap
重力加速度比尺
Cg
gp gm
1
三、动力相似
两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小 成比例 ，即
力的比尺
CF Tp Tm Gp Gm Pp Pm Ep Em Sp Sm Ip Im
F Km a v b R c
根据量纲和谐性，有
dim F MLT K M LT L
2 a 1 b c
M :1 a
L :1 b c
a 1
T : 2 b
b2 c 1
F Km v2 / R
例7-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速 vc 与管径 d 、流体密度 和粘度 有关，试用瑞利 法求出它们之间的关系式。
Fp Fm CI
Ne
C Cl3Ca C Cl2 Cv2
力的比尺 CF
Fp Fm
F l 2v2
2 2 pl p vp 2 2 mlm vm
牛顿相似准则是两 个流动动力相似的 充分与必要条件
(Ne ) p (Ne )m
Fp
2 2 pl p vp
量纲分析相似理论
ρu 2 d 1 = π′ = σ π
韦伯(Weber)数
惯性力 ρu 2 d ρu 2 d 2 We = = = σ σd 表面张力
一、相似的基本理论
相似理论
相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 彼此相似的现象， 相似第一定律 彼此相似的现象 必相等。 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似第二定律 关系对两个现象是相同的。 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 假定两个现象服从同一个函数关系， 相似第三定律 假定两个现象服从同一个函数关系 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”
＝4－3＝1个无量纲π项
0
0
= MT M L L L T
y z
−3 x
d
−z
σ
M
0 1 1 = M0+ xT − 2− z1 y + z −3 x = M 0T 0 L0 L Lx = 11, z = −2, y = −1 -3 1 0 − T
π=
-1σ
0
0
-2
ρu 2 d
相似准则举例－ 相似准则举例－液滴破碎
1 相似变换法
（2）无量纲化方程 ）
∂u ∂v v + + =0 ∂x ∂r r 1 ∂p µ ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u ∂u ∂u u +v =− + + + ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂r 2 r ∂r ∂x ∂r ∂v ∂v 1 ∂p µ ∂ 2 v ∂ 2 v 1 ∂v u +v =− + + + ∂x ∂r ρ ∂r ρ ∂x 2 ∂r 2 r ∂r
4 量纲分析和相似理论
导出量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 3、量纲公式: dimq= Lα Tβ Mγ 几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
4、无量纲数（纯数，如相似准数）：量纲一的量 α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点：1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； 2）具有客观性； 3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。
n个物理量
充要条件
Π定理 方 法 选m个独立 基本量 量纲分析方法等 m个独立 基本量
组成n-m个 独立Π数
n-m个导出量
π定理的解题步骤：
1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个 物理量及其关系式f(x1,x2, ……xn)=0 2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量 纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量， 而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。 3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量 组成的π表达式 4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的 指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数。π参数分子分母可以相互交 换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 5）写出描述现象的关系式 或显解一个π参数，如： 或求得一个因变量的表达式。
工程单位制
大小 单位制 国际单位制
物理量 基本量纲 类别 量纲 导出量纲
英
制
量纲幂次式
常用量
速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩
dim v LT
1
dim g LT 2
量纲分析和相似理论
1 + a = 0,−1 − 3a + b + c = 0,−1 − b = 0 a = −1, b = −1, c = −1, π 2 =
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量纲分析与相似理论
11
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
工程流体力学 第7章 量纲分析与相似理论
相似的矩形上去。即为：
l h
l h
l*
类似地，对流场也可引入相似准则。在流场几何相似中，
以弦翼长c或c’为特征尺度，即为：
r c
r c
r*, s c
s c
s*
在流场运动相似中，若取来流速度U为特征速度，可得：
v U
v U
v
§7-4 常用的相似准则数
一、Re数（雷诺数）
Re数为纪念英国工程师雷诺而命名，定义为：
二、F而命名，定义为：
三、Eu数（欧拉数）
Fr V gl
Eu数为纪念瑞士数学家欧拉而命名，定义为：
Eu
四、Sr数（斯特劳哈尔数）
p
V
2
Sr数为纪念捷克物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）而命名
，定义为：
Sr l V
§7-4 常用的相似准则数
工程流体力学 第七章 量纲分析与相似理论
§7-1 量纲分析简介
一、概念
量纲分析是确定相似准则的一种主要方法。它通过揭示物 理量量纲之间存在的内在联系，对物理现象作定性或半定量分 析。量纲分析法不仅用于指导模型实验，而且为理论分析提供 重要信息，是研究新现象、开发新领域中行之有效的分析手段 ，广泛应用于包括流体力学在内的许多学科领域中。
1、几何相似，即所有对应尺度成比例 2、时间相似，即所有对应的时间间隔成比例 3、运动相似，即所有对应点上的速度（加速度）方向一 致，大小成比例 4、动力相似，即所有对应点上的对应力方向一致，大小 成比例。
§7-3 流动相似与相似准则
二、相似准则
相似的矩形具有共同的性质，例如对角线与边的夹角均为
α=arctanhl，只要分析其中一个矩形的性质，就可推广到其他
相似理论与量纲分析
• 在无粘性圆柱绕流中
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
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P pA pl p ~ 2 2 2 Eu I Va l
通常，对流动起作用的是液流中两点压强差△p， 而不是某点的压强p。故欧拉数常写为：
2
Eu
p
2
注意：压力场的相似不是两个流动相似的原 因，而是两个流动相似的结果。Eu准则不 是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr) 得到满足，则该准则必定满足。
定义：两流动的速度场相似,即两个流 动的对应时刻对应点的速度方向相同,大 小成比例。 p C 引入速度比例系数 m m lm / t m 由于 p l p / t p
因此
Cl C Cl Ct1 l m t m Ct
lp tp
Ct
tp tm
运动相似需要建立在几何相似基础上.因此 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。故运动相似也就被称之为时间相似。
C Cl2C2
Fp
Fm 或 2 2 2 2 p l p p mlm m
Fp
式中：
F Ne 2 2 l
是一个无量纲数
因此，两个流动相似的重要标志是它们的牛顿准则 数相等：即
Ne p Nem
二、雷诺准则 对于有压流动，粘性力是主要作用力。 粘性力比尺
CT
Tp Tm
CP
Pp Pm
ห้องสมุดไป่ตู้
p p Ap pm Am
C pC l
2
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI， 即 C pCl2 C Cl2C2
Cp 1 pm
即
C C 即
2
pp
p
2 p
2 mm
即 Eu p Eu m
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
综上所述，动力相似可以用相似准则数表 示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似 准数均相等。
§9.3 模型实验
两流动相似应满足 的条件
一
几何相似（空间相似）
定义： 两流动流场的几何形状相似,即两 流动的对应长度成比例，对应角度相等。 引入尺度比例系数
Cl lp lm
模型流动用下标
m表示
原型流动用下标p 表示
进而，面积比例系数
CA
Ap Am
Cl2
体积比例系数
CV Vp Vm
Cl3
二
运动相似（时间相似）
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
I Va l l ~ Re 2 du T A dy l
3 2
三、佛汝德准则 对于具有自由表面的流动，重力是主要 的作用力。 重力比尺
CG
Gp
Gm
mp g p
mm g m
C C l C g
3
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
运动学物理量的比例系数都可以表示为长度比 尺和时间比尺的不同组合形式。
如：
Ca ap am
p m
tp tm
C Ct1 Cl Ct 2
C Cl2Ct1
Vp CQ Vm
的单位是m2/s
tp tm
CV Ct1 Cl3Ct1
Q的单位是m3/t
三 动力相似（受力相似）
C C l3C g C Cl2C2
即
C 2 C g Cl 即 1
p
2
g pl p
2
m
即Fr p Fr m
g m lm
佛汝德数的物理意义
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
I Va l ~ 3 Fr G mg l g gl
2 2 2
四、欧拉准则 作用在两流动对应点上的动水总压力之 比为：
相似理论与 量纲分析
流体力学的研究方法中实验研究既是 理论分析的依据，同时也是检验理论的准 绳，具有很重要的作用。 本章将探讨其理论基础： 相似理论 量纲分析
§1
相似理论基础
为使模型流动能表现出原型流动的主 要现象和特性，并从模型流动上预测出原 型流动的结果，就必须使两者在流动上相 似，即两个流动的对应时刻对应点上同名 物理量具有各自的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似 、 运动相似、 动力相似 。
三种相似之间的联系：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据; 动力相似是决定两个流动相似的主导因素; 运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§2
相似准则
相似准则:几何比尺、运动比尺和动力比尺之间由 力学基本定律规定了的一定的约束关系。 一、牛顿相似准则 两流动动力相似要求对应点处液体质点所受各种 力大小成比例。 粘性力、重力、动水压力等是企图改变流体运动 状态的力；而惯性力是企图维持液体运动状态 的力，液体流动的变化是惯性力和其它各种力 相互作用的结果。
惯性力 则惯性力之比：
I ma Va
Va p CI Va m
C Cl2C2
另一企图改变流体运动状态的力为F，其比尺为CF。 由动力相似有如下关系：CF=CI
即：
Va p CF CI Va m
2 2 pl p p 2 2 Fm mlm m
CM
Fl m
pp pm
C Cl C
压强p 功率N
Cp
CF 2 C C CA
1 2 3
C N CM Ct C Cl C
动力粘度
C C Cl C v
综上所述，要使模型流动和原型流动相 似，需要两者在时空相似的条件下受力相 似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。
定义：两流动的对应点上质点所受F的方向 相同,大小成比例。 引入力比例系数 C F
p F
Fm
3
也可写成
C F CmCa (C Cl )(Cl Ct ) C Cl C
2
2
2
力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、 速度比尺的不同组合形式，如： 力矩M Fl p 3 2
pA m A
du p p dy p
dum m dym
C C Cl C
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
C C Cl C C C l2C 2
即
C Cl 1 C
p l p m lm 即 p m
即Re p Re m
雷诺数的物理意义