向量组的线性相关、行和秩

第六讲 向量组的线性相关和秩

一、何为线性组合和相关性：

1、线性组合：设有向量组A:1α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ,表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。

2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。

例1：判断向量组1α=310⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2α=160⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3α=475⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭的线性相关性。

解：令11κα+22κα+33κα=0，即123314167005κκκ⎛⎫⎛⎫

⎪⎪

⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

=0

由于A =314

167005

=85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解，

即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1α,2α,3α线性无关。

3、 定理1 向量组A:1α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组

A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。

4、 定理2 向量组1α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m 。 例2： 设

1α=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2α=201-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3α=012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，4α=122-⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭，

试讨论向量组1α,2α,3α,4α及1α,2α,3α的线性相关性。 解: 设

(1α,2α,3α,4α)=120112011012021311220013----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

可见R(1α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1α,2α,3α,4α线性无关；同时可得R(1α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1α,2α,3α线性无关。 注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1α,2α,3α线性无关。

5、向量组之间的等价关系和线性表示：

引例：已知向量组

1α=242⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 2α=121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, 3α=354⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，4α=140⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，问可否由1α,2α,3α线性表示

4α？

解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α,

可得方程组123213425214κκκ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=140⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

容易得出此方程无解，因此4α不能由1α,2α,3α线性表示。

注意：线性方程组11κα+22κα+…+m m κα=β有解的充分必要条件是向量β可以由向量组1α,2α,…,m α线性表示。

因此，由线性方程组有解的充分必要条件，可得：

定理3： 向量β可以由向量组A:1α,2α,…,m α线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩等于矩阵B=(1α,2α,…,m α, β)的秩。 定义：若向量组A:1α,2α,…,m α中的每一个向量i α均可由向量组β：

1β,2β,…,l β线性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示。若向量组A 与向

量组B 可相互线性表示，则称向量组A 与向量组B 等价。

定理4： 向量组β：1β,2β,…,l β能由向量组1α,2α,…,m α线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩等于矩阵B=(1β,2β,…,l β)的秩,即R(A)=R(A,B)

推论：向量组β：1β,2β,…,l β与向量组1α,2α,…,m α等价的充分必要条件是: R(A)=R(B)=R(A,B)

例3： 设1α=1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,2α=3113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1β=2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2β=1102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

,3β=3120⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,证明向量组1α,2α与向量组1β,2β,3β等价。

证： 记A=(1α,2α),B=(1β,2β,3β),根据上述定理4推论，只需证明R(A)=R(B)=R(A,B)

所以(A,B)=1

3213132131

10110211111102000001

31

2000000⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--

⎪ ⎪

→

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

可见，R(A)=R(B)=R(A,B)=2. 6、结论：

（1）含有零向量的向量组一定是相关的；

（2）一个向量组中有线性相关的部分组，则该向量组线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。 二、向量组的秩:

1、定义： 设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量1α,2α,…,r α ，满足(1) 向量组0A :1α,2α,…,r α线性无关；（2）向量组A 中任意r+1个向量(如果A 中有r+1个向量的话)都线性相关，则称向量组0A 是向量组的A 的一个极大无关向

量组（简称极大无关组）；极大无关组中向量的个数称为向量组的秩，记为A R 特别的，若向量组A 本身线性无关，则A 便是一个极大无关组；而只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.

极大无关组的特点：极大无关组是A 的部分值，且都是相互线性无关的，若在其中间加入任一剩余的向量便线性相关。

例4： 设1α=324⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,2α=617-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3α=452⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,4α=375⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

,5

α100⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

,求A 中一个极大无关组，并将余下向量用这个极大无关组线性表示。

解：A=（1α,2α,3α,4α,5α）=364312157047250-⎛⎫ ⎪-→ ⎪ ⎪--⎝⎭100337/15010116/1500106/5⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

所以R(1α,2α,3α)=R(1α,2α,3α,4α,5α)=3 所以1α,2α,3α为一个极大无关组，则

4α=31α+2α

5α=37/151α+16/152α+6/53α

三、结论：

（1）极大无关组不唯一(除A 本身无关)；

（2）极大无关组中向量个数都相同，并且等于R(A)； （3）极大无关组一定是等价的。