巧求三角形内角平分线所在直线方程

巧求三角形内角平分线

所在直线方程

江苏如东第一职业高级中学 季 勇

在平面解析几何中,求三角形内角平分线,是作为“两直线夹角”这一知识点出现的题型.传统的解法有两种,都比较复杂,笔者从向量的加法这一角度出发,得出一种巧妙的求解方法. 原题 如图,已知

△ABC 的三个顶点

的坐标分别为A (1,4)、 B (5,7)、C (7,4−),求:A ∠

为叙述方便,记BAD ∠=,DAC αβ∠=. 1 利用直线夹角公式进行求解（传统方法） 1.1 传统的两种解题方法

解法１依题意,AD k 存在,且αβ=, (51)/(74)4/3AB k =−−=, (71)/(44)3/4AC k =−−−=−,

tan ()/(1)AB AD AB AD k k k k α=−+. tan ()/(1)AD AC AD AC k k k k β=−+, ∵tan tan αβ=,

∴()/(1)AB AD AB AD k k k k −+ =()/(1)AD AC AD AC k k k k −+.

将4/3AB k =, 3/4AC k =−代入上式,解得1/7AD k =−,或7AD k =(由所画图形看出,直线AD 的倾斜角大于90°,故将此根舍去).

∴A ∠的内角平分线AD 所在直线方程:4(1/7)(1)y x −=−−,即7290x y +−=.

解法2 直线AB 的方程为:(1)/(51)x −− (4)/(74)y =−−,即34130x y −+=,同理可以求得直线AC 的方程为:43160x y +−=,

∵34(4)30×+−×=,

∴AB AC ⊥,即90BAC ∠=o ,AD 是

BAC ∠的内角平分线,45BAD ∠=°.

依题意AD 所在的直线的斜率存在,设为k ,则直线AD 的方程为4(1)y k x −=−, 即 40kx y k −+−=, 由

cos4534k °=+,

解得1/7k =−或7k =,由所画图形看出,直线AD 的倾角大于90°,∴将k =7舍去.

∴(1/7)41/70x y −−++=,

即7290x y +−=为所求A ∠的内角平分线AD 所在直线方程.

1.2 关于两种传统解法的说明

(1) 关于解法2,有一种类似的解法,即不需要判断 90BAC ∠=°, 而只需据 cos =α cos β,利用夹角公式同样可以求得k 的值; (2) 两种解法,只是利用了两条直线夹角的两种不同的公式而已,其解题思路大同小异;

(3) 两种解法中,都存在一个“排异”问题,即求出来的直线AD 的斜率有两个解,有一个解是不符合题意的,这给解题增加了难度. 2 利用向量加法进行求解（此法较为巧妙） 2.1 方法的理论根据

定理 若AB AC =uuuu v uuuuv ,AB AC ≠uuu v uuuv ,AP AB =uuu v uuu v

AC +uuuv

,则是AP 是BAC ∠的平分线.

这个定理的结论由四边形ABPC 是菱形很容易得到,这里证明从略. 2.2 利用向量加法的一种解法

解法3 如图,(51,74)(4,3)AB =−−=uuu v

,

(7AC =uuuv 1,44)(6,8)−−−=−,/m AB AB =+uuuu

v uuu v /(4/5,3/5)(3/5,4/5)(7/5,1/5)AC AC =+−=−uuuuv

u u u v 为AD 的方向向量,∴AD 所在直线方程为 (1)/(7/5)x −=(4)/(1/5)y −−,即729x y +− 0=.

2.3 对解法３的回顾

解法3解决了两大问题:一是避免了在解题过程中出现增根;二是减少了解题步骤和运算量.基于这两点,解法3显示出了它的实用性.

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