高等代数(第三版)19

f (x) g(x)h(x)
这里
g(x) b0 b1x bk xk , h(x) c0 c1x cl xl ,
并且设 f (x)g(x) c0 c1x ci j xi j cnm xnm. 如果 f (x)g(x) 不是本原多项式, 那么一定存在一个
素数p , 它能整除所有系数 c0 , c1,cmn .
第一章 多项式
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
s 其中r,s互素，那么必有s | an,r | a0.
特别，如果f( x )的首项系数an = 1, 那么f( x )的有理根都是整根，而且是 a0的因子.
第一章 多项式
证
由于 r
s
是f (x)的一个根, 所以
f( x ) = ( x - r )q( x ) , s
这里q (x)的一个有理系数多项式. 我们有
一、本原多项式 二、整系数多项式有理根的求法 三、有理系数不可约多项式
第一章 多项式
一、本原多项式
若是一个整系数多项式f (x)的系数互素, 那么f (x)叫 作一个本原多项式.
定理10 (高斯引理) 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.
证 设给了两个本原多项式
f (x) a0 a1x ai xi am xm , g(x) b0 b1x bj x j bn xn ,
系数
a0
,ai
1以及b
j
1
,,
b0
都被p整除.因此乘积
aib
也
j
须被p整除.但p是一个素数,所以p必须整除 ai或bj .
这与假设矛盾.
第一章 多项式
定理11 如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较 低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成 次数较低的整系数多项式的乘积.
证 设 f ( x ) = g( x )h( x ) ,
+
a
是一个
0
整系数多项式，如果有一个素数p使得
( 1) p/|a n ;
( 2 ) p|a n -1 , a n - 2 , L , a 0 ; ( 3 ) p 2 /| a 0 那么多项式f (x)在有理数域上不可约.
第一章 多项式
证 如果多项式f (x)在有理数域上可约,那么f (x)可以 分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:
( x - r ) = 1( sx - r ),
s
s
所以，( s x - r ) | f( x )
因为s和r互素，所以sx – r 是一个本原多项式.由上 推论，
第一章 多项式
f( x)
= ( sx -
r ) ( bn -
xn- 1
1
+
L
+ b0)
其中，bn - 1, L , b0都是整数，比较两边系数，
的所有系数,也不能整除g
(x)的所有系数.令 ai 和b
各
j源自文库
是f (x)和g (x)的第一个不能被p 整除的系数.
考察f (x)g (x)的系数 ci j . 有
ci j a0bi j ai1bj1 aibj ai1bj1 ai jb0.
这个等式的左端p整除.根据选择 ai和b j的条件,所有
a f1( x ) = r s g1( x )h1( x ) 由定理1 0 , g1( x ) , h1( x ) 是本原多项式，从而 rs= ± a, 即r s 是一个整数,则 f(x )=(r s g1( x ) )h1( x ) r s g1( x ) 与h1( x ) 都是整系数多项式，且次数 都低于f ( x )的次数.
第一章 多项式
推论 设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x) 是本原多项式，如果f( x) = g( x) h( x) ,其中 h(x)是有理系数多项式，那么h(x)一定 是整系数多项式
第一章 多项式
二、整系数多项式有理根的求法
定理12 设f (x ) = anx n + an- 1x n- 1 + L + a0 是一个整系数多项式， 而 r 是它的一个有理根，
a n = s bn - 1, a 0 = - r b0, 因此，
s | an , r|a0 .
第一章 多项式
例1 求多项式
f (x) 3x4 5x3 x2 5x 2
的有理根.
解
这个多项式的最高次项系数3的因数 1,3,常数项 – 2的因数 1,2. 所以可能的有理根是 1,2, 1 , 2 .
33
我们可验证 ± 1, 2不是f ( x )的根.
第一章 多项式
应用综合除法:
– ２|３ 5 1 5 – ２ –６ 2 –6 2
3 –1 3 –１ 0 所以 – 2 是f (x) 的一个根. 同时我们得到
f( x ) = ( x + 2) ( 3x 3 - x 2 + 3x - 1) .
容易看出，- 2不是( 3x 3 - x 2 + 3x - 1)的根，
所以 - 2不是f ( x )的重根.
1 |3 3
第一章 多项式 3
－1 3
2 3
－1
－2
32 3
－１
至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除 下去就知道, 1 不是g(x) 的根,所以它也不是f (x)的
3 根. 再作综合除法:
1 3 -1 3 -1
3
101
3030
所以 1 是g(x)的一个根,因而它也是f (x)的一个根,
g( x ) 和h( x ) 是有理系数多项式，且 ?( g( x ) ) 抖( f ( x ) ) , ( h( x ) ) < ?( f ( x ) )
令f ( x ) = af1( x ) g( x ) = r g1( x ) , h( x ) = s h1( x )
第一章 多项式
这里，f1( x ) , g1( x ) , h1( x ) 都是本原多项式， a 是整数，r , s 是有理数.因此
3
容易看出,
1 不是f
(x) 的重根.
3
第一章 多项式
同理，? 2 均不是3x 2 3的根，所以也不是 3
f( x )的根，从而，f( x )的有理根只有 - 2，1 . 3
第一章 多项式
三、有理系数不可约多项式
定理13 (Eisenstein判断法)
设f( x )
=
anxn
+ a n - 1x n - 1 + L