第1讲 直线与圆(作业)

第1讲直线与圆
A组基础题组
1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知圆(x-1)2+y2=1被直线x-y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶5
3.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )
A.(x+1)2+y2=2
B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=2
D.(x-1)2+y2=8
4.(2017南昌第一次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cos∠AOB=()
A. B.- C. D.-
5.(2017合肥第一次教学质量检测)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
6.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是.
7.过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程
为.
8.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则|MP|= .
9.已知圆C过点P(1,1),且圆C与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.
B组提升题组
1.若过点A(1,0)的直线l与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与直线x+2y+2=0的交点为N,则|AM|·|AN|的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
2.(2017湖南湘中名校高三联考)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是.
3.已知点M(-1,0),N(1,0),曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知m≠0,设直线l1:x-my-1=0交曲线E于A,C两点,直线l2:mx+y-m=0交曲线E于B,D两点.当CD的斜率为-1时,求直线CD的方程.
4.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 因为两直线平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又当a=1,b=4时,满足ab=4,但是两直线重合,故选C.
2.A (x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线的距离d==,所以较短弧所对的圆心角为,较长弧所对的圆心角为,故两弧长之比为1∶2,故选A.
3.A 直线x-y+1=0与x轴的交点坐标为(-1,0),因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d==,则圆C的方程为(x+1)2+y2=2,故选A.
4.D 解法一:因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d==,所以弦长|AB|=2=2.
在△AOB中,由余弦定理得cos∠AOB===-.
解法二:取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB,且∠AOB=2∠AOD,又圆心到直线的距离d==,即|OD|=,所以cos∠AOD==,故cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=2×-1=-.
5.B 当直线l的斜率不存在时,计算出弦长为2,符合题意;
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有
=1,解得k=-,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选B.
6.答案-4
解析将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线
x+y+2=0的距离d==,又r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.
7.答案2x-4y+3=0
解析易知当CM⊥AB时,∠ACB最小,直线CM的斜率为k CM==-2,从而直线l的斜率为k l==,其方程为y-1=,即2x-4y+3=0.
8.答案 3
解析圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标为(1,2),半径r=2,因为圆上存在两点关于直线l对称,所以直线l:x+my+1=0过点(1,2),所以1+2m+1=0,得m=-1,|MC|2=(1+1)2+(2+1)2=13,r2=4,所以|MP|==3.
9.解析(1)设圆心C(a,b),则
解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
令x=cos θ,y=sin θ,
则·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2=2sin-2,
所以·的最小值为-4.
10.解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2.
①当此切线在两坐标轴上的截距为零时,设此切线方程为y=kx,
由=,得k=2±,
∴此切线方程为y=(2±)x.
②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时,设此切线方程为x+y-a=0,由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.
∴此切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上,此切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得|PO|2=|PM|2=|PC|2-|CM|2,即+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上,
当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,
此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2x+y=0.
解方程组得
故使|PM|取得最小值时,点P的坐标为.
B组提升题组
1.B 圆C的方程化成标准方程可得(x-3)2+(y-4)2=4,故圆心为C(3,4),半径为2,则可设直线l的方程为kx-y-k=0(k≠0),由得N,又直线CM与l垂直,得直线CM的方程为
y-4=-(x-3).
由
得M,
则|AM|·|AN|
=·=××=6.故选B.
2.答案[2+2,+∞)
解析因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离d==1,即|m+n|=,两边平方并整理得m+n+1=mn≤,即
(m+n)2-4(m+n)-4≥0,解得m+n≥2+2,所以m+n的取值范围为[2+2,+∞).
3.解析(1)(坐标法)设曲线E上任意一点的坐标为(x,y),
由题意得=·,
整理得x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3为所求.
(2)(参数法)由题意知l1⊥l2,且两条直线均恒过点N(1,0).
设曲线E的圆心为E,则E(2,0),设线段CD的中点为P,
连接EP,ED,NP,则直线EP:y=x-2.
设直线CD:y=-x+t,
由解得点P,
由圆的几何性质,知|NP|=|CD|=,
而|NP|2=+,|ED|2=3,|EP|2=,
解得t=0或t=3.
所以直线CD的方程为y=-x或y=-x+3.
4.解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为
+=.。