【2021】第7章 第5节 空间向量的运算及应用 Word版含答案

第五节空间向量的运算及应用

[考点要求] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

(对应学生用书第130页

)

1．空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．

- 1 -

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

5.空间位置关系的向量表示

- 1 -

- 1 -

l 1⊥l 2

n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m

l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m

α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β

n ⊥m ⇔n ·m ＝0

[常用结论]

1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →

(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线．

2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，

n·b ＝0.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )

(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编

1．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6