【2021】第7章 第5节 空间向量的运算及应用 Word版含答案
空间向量的运算及其应用(含答案)
空间向量的运算及应用知识梳理数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23方法归纳1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．[练一练]1．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1) D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) 解析：选A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直．2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 答案：90°3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M 10,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1A M ＝11,,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，DN ＝10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN |1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.答案：90°空间向量在立体几何中的应用角度一 利用空间向量证明平行或垂直如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点． (1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ，∴BM ∥平面D 1AC . (2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0， ∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C . [解题通法]利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直：(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．（3）设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.角度二 异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．例1．在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510解析：选A建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 11,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， B (0，－1,0)，D 111,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1AF ＝1,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1BD ＝11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD | 1AF ||1BD |＝3010. 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，M 11,,12⎛⎫⎪⎝⎭，C (0,1,0)，N 11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴AM ＝10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，CN ＝11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.设直线AM 与CN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝25. 答案：25[解题通法]1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．3．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.角度三 直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.例．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解析：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，P A ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC ，n ⊥AM可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33答案：33[解题通法]利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．(3)求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． [针对训练](2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1. 角度四 求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．例：1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ ＝(1，－1,0)，所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . (2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP ＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CB ＝0，n ·BP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP ＝0，m ·PQ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，x 1－y 1＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155，故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. [解题通法]利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．(3)利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 针对练习(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD ＝(－23，2,0)，∴BD ·AP ＝0，BD ·AC ＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·BP ＝0.由(1)知，BP ＝(－23，0,3)， ∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12，∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.。
空间向量的应用(附答案)
空间向量的应用一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=12．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，空间四边形OABC 中，=a ，=b ，=c ，点M 在OA 上，且OM=MA ，N 为BC 中点，则等于（ ）A ．﹣a+b+ c B ．a ﹣b+ cC ．a+b ﹣ cD ．a+b ﹣ c4．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x+y+z，则（x ，y ，z ）为（ ） A ．（，，） B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）5．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量、、、是（ ）A ． 有相同起点的向量B ． 等长的向量C ． 共面向量D ． 不共面向量6．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．D．8．（2004•黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．9．（2007•湖北）设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）10．（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC 的距离为（）A．1B．C．D．211．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A．B．1C．D．12．在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是（）A．7B．8C．9D．1013．一个n棱锥的所有侧面与底面所成二面角都为30°，若此棱锥的底面积为S，则它的侧面积为（）A．B．C．D．14．正四棱锥的底面边长等于2，侧面与底面成60°的二面角，此四棱锥体积为（）A．9B．12 C．15 D．1815．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D ﹣ABC的外接球的体积的最小值是（）A．B．C．D．与α的值有关的数16．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（）A．1B．2C．3D．417．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°18．如图，直线l是平面α的斜线，AB⊥α，B为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°19．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．20．如图，∠C=90°，AC=BC，M，N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B 为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2007•安徽）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=_________（用a，b，c表示）22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N，设，，，则向量=_________（用表示）23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ，则λ=_________．24．已知点M在平面ABC内，对空间任意一点O，有2A=X M﹣B+4C，则x=_________．25．A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_________26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=_________．三．解答题（共4小题）27．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．28．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．29．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．30．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．2012年10月胡金朋的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=1考点： 棱柱的结构特征；空间向量的加减法。
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案.docx
空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共血向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的处标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算1、向量的几何运算（1）向量的数量积:已知向量〜匸，贝U |〜| | r | 〜f 叫做f f 的数量积，记作一］，即〜工| 1 | Hi 十工a.b | 幺 | • |・cos <a,b > a.b a ・b a ・b =|纠・|纠・ccs <a,b空间向量数量积的性质:①乳汨W|cos<N@>；f f ② 丄bo /・D = 0.③ 问“怎（2）向量共线定理：向量万（&工0）与方共线，当且仅当有唯一一个实数2,使b=Aa ・2、向量的坐标运算（］）若4（兀1，乃，习），直（兀2丿2，?2）,则=（兀2 一兀1‘尹2 一乃‘习一习）一个向暈在肓 •角处标系小的朋标等于表示这个向量的有向线段的终点的处标减去起点的处标。
°）十若纟=（鬥卫2，他）乜=（$』2，鸟）'」、"：+ 了=（两+$卫2+玄,色±劣a-b-（两一对卫2 —玄，他一鸟） Aa =（兄知兄勺，兄色）（久e R ） a ・b = + a 2b 2 +a 现 a H b V 》a 】--JI 对,a? —=丸鸟（久 w 氏）a 丄b O + a 2b 2 + a 曲=0 | a |= +拧 +_ ab _丨引•丨纠侷+勺? +宓2 J 辭+鸟2 +鸟2a 禹 + a 2b 2 + （3）夹角公式:二、空间向量在立体几何中的应用2.利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明・3 •利用空间向量证明垂直问题f f f f对于垂直问题，一般是利用“丄b^a-b=O 进行证明；4. 利用空间向量求角度（1） 线线角的求法： _ _设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为s 、b,则直线AB 耳CD 所成的角为 打“代 山恳丨（线线角的范围［0： 90°］） wTC COS —=F -- =F —Ml I 纠（2） 线面角的求法：- 是直线'的方向向量，则直线/与平面°所成的角为 .|殛.；| arc sin 二=——亠\AB\-\n\5. 利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设n =（x,y, z ）,利川n 与平面内的两个不共线的向a, b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取 其一组解，即得到平面°的一个法向量（如图）。
空间向量及其运算(解析版)
第1讲 空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4. 掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示. 2.几个常见的向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ； 分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1 空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2 空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3 共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4 空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D. 0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】 解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定； 假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A. ；B. ；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面； C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面； 对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是( ) A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0A C A B A A -=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++=，221113AC A B =，∴22111()3()AC A B =，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110A C AB =，故B 正确； 1ACD ∆是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA =，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键． 由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量． 【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7. （池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有； 若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】 解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误； 若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t = ．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC =++，且P ，A ，B ，C 四点共面，∴31148t ++=18t ∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为 ．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得：0PA BC =．由E 是棱AB 中点，可得1()2PE PA PB =+，代入PE BC ，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥， 可得：0PA BC =．E 是棱AB 中点，∴1()2PE PA PB =+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC =+=+=⨯⨯⨯︒=-． 故答案为：1-．10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量 化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又， 所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． （2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解：111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=． B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ=，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a <，b >，再由平方关系求出sin a <，b >的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >， 故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，22121()||||x y y b a b +>=-， 即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗2222212222211)y y x y y +=++22121221)||x y y x y x y +-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．。
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由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
1.1、空间向量及其运算(解析版)
1.1、空间向量及其运算考点一、空间向量的概念理解1、下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同答案：D 解析：A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.2、下列说法中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量AB 和CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C ．在空间中，任意两个单位向量都相等D ．零向量与任意向量平行答案：D解析：A 项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A 错误；B 项：若非零向量AB 和CD 是共线向量，则AB 和CD 平行或者重合，故A 、B 、C 、D 四点不一定在同一条直线上，B 错误；C 项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C 错误；D 项：零向量与任意向量平行，D 正确，故选：D.3、(多选)下列命题中为假命题的是（ ）A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案：BCD解析：对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．故选：BCD4、下列说法中正确的是（ ）A ．若a b =，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a b =C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=答案：B解析：对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A 错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B 正确.对于C,减法结合律指的是()()a b c a b c --=--,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C 错误.对于D 满足AB AD AC +=的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D 错误.综上可知,正确的为B 故选:B5、给出下列命题： ①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ①空间任意两个单位向量必相等；①对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =；①在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中假．命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D 解析：对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误；对于①，单位向量的方向不一定相同，故①错误；对于①，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故①错误；对于①，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同 则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故①错误.故选：D.6、下列命题中，假命题是（ ）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案：D解析：A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.7、下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；①若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>； ①若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；①AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.①错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.①正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.①错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合. 故选：C8、在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；①若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；①若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；①已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++．其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A解析：平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故①错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故①错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故①错．故选:A ．考点二、共线共面问题1、设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案：－8解析：121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=- 又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩， 解得8k =-.故答案为：－82、在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =--B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=答案：C解析：对于A 选项，由于11111--=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以,,,M A B C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++=得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面.故选：C3、,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ①111234OD OA OB OC =++； ①111OD OA OB OC 235=++； ①111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______答案：①解析：对于①111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①①①不满足共面定理的条件.故答案为：①4、设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．答案：1解析：因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-，故1x y z ++=.故答案为：15、对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面解析：因为623OP OA OB OC =++，所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-，即23AP PB PC =+，根据共面向量基本定理，可得AP ，PB ，PC 共面，所以，P ，A ，B ，C 四点共面．故选：B ．6、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．111333OM OA OB OC =++ C ．1123OM OA OB OC =++D ．2OM OA OB OC =--答案：B 解析：若111333OM OA OB OC =++， 故可得1111110333333OM OA OM OB OM OC -+-+-= 即1110333AM BM CM ++=， 则AM BM CM =--，故AM AM AB AM AC =-+-+ 整理得1133AM AB AC =+ 又因为,AB AC 共面，故可得,,AM AM AM 共面，而其它选项不符合，即可得,,,A B C M 四点共面.故选：B.7、已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ） A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断答案：B解析：由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.8、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.答案：证明见解析.解析：设1,,AB a AD b AA c ===，①112A E ED =，123A F FC =， ①11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ①123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ①1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ①25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 9、已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任意一点，若1()3OP OA OB OC =++，试判断向量PA ，PB ，PC 是否共面，并判断点P 是否在平面ABC 内． 答案：见解析解析：因为3OA OB OC OP ++=，所以()()OA OP OP OB OP OC BP CP -=-+-=+，即PA BP CP PB PC =+=--，所以向量PA ，PB ，PC 共面.因为PA ，PB ，PC 有共同的起点P ，且A ，B ，C 三点不共线，所以P ，A ，B ，C 共面，即点P 在平面ABC 内.10、已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内.答案：（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内.解析：（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，①()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--，故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.考点三 空间向量的线性运算1、如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则（ ）A ．0EF GH PQ →→→→++=B ．0EF GH PQ →→→→--=C ．0EF GH PQ →→→→+-=D ．0EF GH PQ →→→→-+=答案：A解析：由题图观察，,,EF GH PQ →→→平移后可以首尾相接，故有0EF GH PQ →→→→++=.故选：A.2、如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 答案：A解析：11BM BB B M =+，12c BD =+，()12c BA BC =++，1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.3、如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC +； （2）AB AD AA '++；（3）12AB AD CC '++； （4）()13AB AD AA '++． 答案：（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；解析：（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示； （4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；4、如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '-； （2）AA AB BC '++；（3）AB AD B D ''-+； （4）AB CF +．答案：（1）AD '；（2）AC '；（3）0；（4）AE解析：（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+=；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''=；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''=；（4）AB CF AB BE AE +=+=.5、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +； （2）111AB BC C C++； （3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-． 答案：（1）11AB BA AA +=；（2）1111AB BC C C AC ++=；（3）AM BM CB AC --=；（4）1102AA AB AM +-=． 解析：（1）11AB BA AA +=． （2）111111111AB BC C C A B BC C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．6、已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：（1）AB BC CD →→→++；（2）1()2AB BD BC →→→++； （3）1()2AG AB AC →→→-+． 答案：（1）AD →；（2）→AG ；（3）MG →.解析：(1)如图所示，AB BC CD AC CD AD →→→→→→++=+=.(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH .因为M ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以MG ＝BH ，MG ①BH ，所以BMGH 为平行四边形， 所以1()2BD BC BH BM BG →→→→→+=+=， 从而1()2AB BD BC AB BG AG →→→→→→++=+=. (3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ，连接SM ，AM ，MN ，则易证得ASMN 为平行四边形， 所以1()2AB AC AS AN AM →→→→→+=+=， 所以1()2AG AB AC AG AG MG →→→→→→-+=-=. 7、如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：（1）AB ＋BC ＋CD ；（2）AB ＋GD ＋EC ．答案：（1）AD （2）AF .解析：（1）AB ＋BC ＋CD AD =（2）因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．所以,BE EC EF GD ==所以AB ＋GD ＋AB EF BE AF EC =++=8、如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．答案：（1）,,AD A D B C ''''；（2）,,,DA CB C B D A ''''；（3）,,,,D C CD A B BA FE ''''解析：（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C ''''；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A ''''；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE ''''.考点四 、数量积1、如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（ ）A ．1B C D ．3 答案：C解析：11AC AB BC CC =++， 2222211111()222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC ∴=++=+++⋅+⋅+⋅， 因此有：21111112cos602cos602cos606AC AB BC BC CC AB CC ︒︒︒=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，所以1AC 的长.故选：C ．2、已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定 答案：B解析：如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.3、在底面是正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BB =， 113A AD A AB π∠=∠=，则1A C =（ ）AB C D ．2 答案：A 解析：因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是正方形，1AB =，12BB =，113A AD A AB π∠=∠=， 则111111111AC AC C C A D A B A A=+=++， 所以()211111111111AC A D A B A A A D A B A A =++=++ 222111111111111111222A D A B A A A D A B A D A A A B A A =+++⋅+⋅+⋅111111111111cos 2cos 2cos A D A B A D A A AA D A B A A AA π=+∠+∠===. 故选：A. 4、如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF BA ⋅=___________.答案：14解析：设,,AB a AC b AD c ===，则1a b c ===且两两夹角为60︒所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ()11222c a EF BD AD AB -==-= ，BA AB a =-=-所以()()211224EF BA c a a c a a -⋅=-⋅-=⋅=-故答案为：145、已知球O 内切于正四面体A BCD -，且正四面体的棱长为线段MN 是球O 的一条动直径（M ，N 是直径的两端点），点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点，则PM PN ⋅的最大值是__． 答案：8解析：由正四面体棱长为1，由题意，M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON +=，1OM ON ⋅=-，则()()()222011PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+-=-，当点P 在正四面体顶点时，2PO 最大，且最大值为9，则21PO -的最大值为8，故答案为：8．6、若平面向量,a b 为单位向量，12a b ⋅=， 空间向量c 满足||23c =，2a c ⋅=，3b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值为___________．答案：3解析：()2222221212121222c t a t b c c t a t b t a t b t t a b --=-⋅++++⋅ 221212121246t t t t t t =--+++2221243882433t t t -⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即21283c t a t b --≥，当且仅当2182,33t t ==取等号即12c t a t b --的最小值为=故答案为：37、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中14,2,4,AB AD AA ===1160,BAA DAA AB AD ∠∠==⊥，E 为1CC 的中点，则AE =___________.答案：6解析：设1,,,AB a AD b AA c →→→→→→===因为0,8,4,a b a c b c →→→→→→⋅=⋅=⋅= 所以2222211||24AE a b c a b c →→→→→→→⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭236,a b a c b c →→→→→→+⋅+⋅+⋅= 解得 6.AE →=故答案为：68、如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．答案：解析：由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=，||229CD ∴=故答案为9、如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝所成的二面角为120︒，测得从C D 、到库底与水坝的交线的距离分别为30DA =米、40CB =米，AB =距_______米.答案：70解析：由题意，,DA AB CB AB ⊥⊥，DC DA AB BC =++，2222222DC DA AB BC DA AB DA BC BC AB ∴=+++⋅+⋅+⋅，30DA =米，40CB =米，AB =120︒，290012001600023040cos 6049000DC ∴=++++⨯⨯=+⨯，||70DC ∴=米.故答案为：70.10、已知P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任意一点，则AP AC ⋅的最大值为______. 答案：2解析：由题意画出图形，如图所示，因为||||cos ,AP AC AP AC AP AC ⋅=⋅<>，且||cos ,AP AP AC ⋅<>是向量AP 在AC 上的投影， 所以当P 在棱C 1C 上时，投影最大，所以AP AC ⋅的最大值为22||(12AC ==. 故答案为：211、已知四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，则BC AG ⋅=_______. 答案：14解析：因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点， 所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：14. 12、如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅； （2）AB '的长； （3）AC '的长．答案：（1）10；（2（3解析：（1）1cos6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯=； （2）AB AA A B ''''=+， ()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+=，61AB '=，即AB '（3）AC AC CC AB AD AA '''=+=++， ()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 85AC '∴=AC '.13、如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅； （5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．答案：（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 解析：四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角， 又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.14、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB ＝AD ＝A A '＝1，①A 'AD ＝①A 'AB ＝①BAD ＝60°，求：（1）A C '的长；（2）B D 的长.答案：（1；（2.解析：（1）22222()222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC '''''=++=+++⋅+⋅+⋅ ＝1＋1＋1＋2×1×1×12＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝6.①A C '＝AC '＝.（2）22222()222BD BA BC BB BA BC BB BA BC BC BB BA BB '''''=++=+++⋅+⋅+⋅) ＝1＋1＋1＋2×1×1×(－12)＋2×1×1×12＋2×1×1×(－12)＝2.①BD '。
高等代数空间向量习题答案
高等代数空间向量习题答案高等代数空间向量习题答案在高等代数学习中，空间向量是一个重要的概念。
它是指在三维空间中的一个有方向和大小的量。
空间向量的运算和性质是我们学习的重点之一。
在学习过程中，我们经常会遇到一些习题，需要通过运算和推理来求解。
下面我将给出一些高等代数空间向量习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求两个向量的和与差设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a + b和a - b的结果。
解答：a +b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)a -b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)2. 求两个向量的数量积设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a · b的结果。
解答：a ·b = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 323. 求两个向量的向量积设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a × b的结果。
解答：a ×b = (2 × 6 - 3 × 5, 3 × 4 - 1 × 6, 1 × 5 - 2 × 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)4. 求两个向量之间的夹角设向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求a和b之间的夹角。
解答：首先计算a · b和|a| × |b|的值：a ·b = 32|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √77然后利用向量的数量积公式计算夹角θ：cosθ = (a ·b) / (|a| × |b|)θ = arccos[(a · b) / (|a| × |b|)]= arccos(32 / (√14 × √77))通过计算，可以得到夹角θ的近似值。
第01讲 空间向量及其运算(解析版)
第01讲 空间向量及其运算课程标准课标解读1．理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断..知识点01 空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，⋯表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB ，其模记为|a |或AB．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1e相反向量相反相等a 的相反向量：-aAB 的相反向量：BA相等向量相同相等a =b【微点拨】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．例1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB ，CD 满足AB >CD ，且AB 与CD 同向，则AB >CD；③若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0 ，则AB ，CD为相反向量；④AB =CD的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB ，CD 为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. AB +CD =0 ，得AB =-CD ，且AB ，CD 为非零向量，所以AB ，CD为相反向量.④错误. 由AB =CD ，知AB =CD ，且AB 与CD同向但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例2.向量a ,b互为相反向量，已知b =3，则下列结论正确的是()A.a =bB.a +b为实数0C.a 与b方向相同D.a =3【答案】D 【分析】根据相反向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，向量a ,b 互为相反向量，可得a=b ，且方向相反，所以C 不正确，可得a =-b ，所以A 不正确；可得a +b =0 ，所以B 不正确；又由b =3，所以a=3.故选：D .知识点02 空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法OB =OA +OC=a +b 减法CA =OA -OC=a -b加法运算律①交换律：a +b =b +a②结合律：(a +b )+c =a +(b +c )(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ=0时，λa =0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ．b ．分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ．【微点拨】空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．例3.若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =mOA +nOB，其中m +n =1，则()A.P ∈ABB.P ∉ABC.点P 可能在直线AB 上D.以上都不对【答案】A【分析】由已知化简可得AP =nAB ，即可判断.【详解】因为m +n =1，所以m =1-n ，所以OP =(1-n )OA +nOB ，即OP -OA =n (OB -OA )，即AP =nAB ，所以AP 与AB 共线．又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .故选：A .例4.已知向量a ,b ，且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是()A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【分析】计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论.【详解】∵BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，∴BD =BC +CD =2a +4b ，又AB =a +2b ，所以BD =2AB ，即AB ⎳BD ，而AB ,BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线，A 选项正确；AC =-4a+8b ，显然AC ,BC ,CD 两两不共线，选项B ，C ，D 都不正确.故选：A知识点03 向量共线问题共线向量：(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a =λb ．(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP =λa ．【微点拨】利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．例5.如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱C 1D 1，BB 1的中点，记AB =a ,AD =b,AA 1 =c ，则EF =()A.EF =12a +b +cB.EF =32a +b +32cC.EF =12a -b -12cD.EF =-12a +b +12c【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】EF =EC 1 +C 1F =12AB +C 1B 1 +B 1F =12a +-b +-12c =12a -b -12c.故选：C例6.设e 1 ,e 2 是空间两个不共线的向量，已知AB =e 1 +k e 2 ，BC =5e 1 +4e 2 ，DC =-e 1 -2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k =________．【答案】1【分析】先根据点共线得到向量共线AD =λAB ，再利用向量的线性运算列方程求解即得结果.【详解】依题意，CD =e 1 +2e 2，故AD =AB +BC +CD =e 1 +k e 2 +5e 1 +4e 2 +e 1 +2e 2 =7e 1 +k +6 e 2 ，A ，B ，D 三点共线，可设AD =λAB ，则7e 1 +k +6 e 2 =λe 1 +k e 2，所以7=λk +6=kλ，解得k =1．故答案为：1.知识点04向量共面问题共面向量：(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p =x a +y b ．(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y )，使AP =xAB +yAC或对空间任意一点O ，有OP =OA +xAB +yAC．【微点拨】证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA =λPB 成立．(2)对空间任一点O ，有OP =OA +tAB(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP =xOA +yOB(x +y =1)．解决向量共面的策略：(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP =xAB +yAC 或OP =xOA +yOB +zOC ，x +y +z =1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．例7.下列条件中，使点P 与A ,B ,C 三点一定共面的是()A.PC =13PA +23PBB.OP =13OA +13OB +13OCC.OP =OA +OB +OCD.OP +OA +OB +OC =0【答案】AB【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面⇔PC =xPA +yPB (x +y =1)⇔OP =xOA +yOB +zOCx +y +z =1 ，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于A ：∵OC -OP =13OA -OP +23OB-OP ，∴OC -OP =13OA -13OP +23OB -23OP ，∴23OP +13OP -OP =13OA +23OB -OC =0 ，故OC =13OA +23OB ，故A 、B 、C 共线，故P 、A 、B 、C 共面；或由PC =13PA +23PB 得：PA ，PB ，PC 为共面向量，故P 、A 、B 、C 共面；对于B ：13+13+13=1，故P 、A 、B 、C 共面；对于C ：由OP =OA +OB +OC，1+1+1=3≠1，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面.对于D ：由OP +OA +OB +OC =0，得OP =-OA -OB -OC ，而-1-1-1=-3≠1，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面.故选：AB ．【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件⇔PC=xPA +yPB (x +y =1)⇔OP =xOA +yOB +zOCx +y +z =1 ，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.知识点05空间向量数量积的运算空间向量的数量积：(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ．即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0．(2)常用结论(a ，b 为非零向量)①a ⊥b ⇔a ·b =0．②a ·a =|a ||a |cos 〈a ，a 〉=|a |2．③cos 〈a ，b 〉=a ∙ba b ．(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )交换律a ·b =b ·a分配律a ·(b +c )=a ·b +a ·c【微点拨】在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．(4)代入公式a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．例8.三棱锥A BCD 中，AB =AC =AD =2，∠BAD =90°，∠BAC =60°，则AB ⋅CD等于( )A.-2B.2C.-23D.23【答案】A 【详解】试题分析：∵CD =AD -AC ∴AB ·CD =AB ·AD -AC =AB ·AD -AB ·AC=0-2×2×cos60°=-2知识点06垂直问题、夹角问题、距离问题当a ⊥b 时，a ∙b =0．夹角公式：cos θ=a ⋅b a ∙ba=(x ,y ,z )，向量的模：|a |=a 2=x 2+y 2+z 2【微点拨】用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉=a ∙ba b求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a =|a |2，所以|a |=a ⋅a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |=a ±b2=a 2±2a ⋅b +b 2．(3)可用|a ·e |=|a ||cos θ|(e为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．例9.如图所示，已知P 是ΔABC 所在平面外一点，PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,PA ⊥PB ，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ΔABC 的垂心．【答案】证明见解析【分析】根据垂直关系得数量积为0，进而得PA ⊥平面PBC ，可得AH ⋅BC =0，得AH ⊥BC ，同理可证BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，从而得证.【详解】∵PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,PA ⊥PB ，∴PA ⋅PC =0，PB ⋅PC =0，PA ⋅PB =0，PA ⊥平面PBC ，∴PA ⋅BC=0．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴PH ⋅BC =0，PH ⋅AB =0，PH ⋅AC =0，∴AH ⋅BC =PH -PA ⋅BC =PH ⋅BC -PA ⋅BC=0，∴AH ⊥BC ．同理可证BH ⊥AC ，CH ⊥AB ．∴H 是ΔABC 的垂心．例10.如图，在空间四边形OABC 中，OA =8，AB =6，AC =4，BC =5，∠OAC =45°，∠OAB =60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．【答案】3-225【解析】【分析】由BC =AC -AB 求出OA ⋅BC ，再由cos OA ,BC =OA ⋅BCOABC求解即可.【详解】∵BC =AC -AB∴OA ⋅BC =OA ⋅AC -OA ⋅AB =OA ⋅AC cos OA ,AC -OA ⋅AB cos OA ,AB =8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-162∴cos OA ,BC =OA ⋅BCOA BC =24-1628×5=3-225∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3-225【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的减法运算以及数量积运算得出OA ⋅BC，进而求出异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．例11.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =AC =1,∠ACD =90°,将△ACD 沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60°角,求B ,D 间的距离.【答案】2或2【分析】由题意先得到BD =BA +AC +CD ，然后两边平方根据数量积可得|BD |2，进而可得|BD |，即为所求的两点间的距离．【详解】∵∠ACD =90°，∴AC ⋅CD =0．同理AC ⋅BA=0．∵在三棱锥A -BCD 中，AB 与CD 成60°角，∴<BA ,CD >=60°或<BA ,CD>=120°．又BD =BA +AC +CD ，∴BD 2=BD ⋅BD =BA 2+AC 2+CD 2+2BA ⋅AC +2BA ⋅CD +2AC ⋅CD=3+2×1×1×BA ⋅CD ．当<BA ,CD >=60°时，BD 2=4；当<BA ,CD >=120°时，BD 2=2．∴BD =2或BD=2|，即B ，D 间的距离为2或2．【点睛】在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算可得所求结果．在本题中容易出现的错误是误认为BA ,CD的夹角为60°，而忽视另一种情形，解题时一定要分清两直线的夹角和向量夹角的关系．考法011.给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC =A 1C 1 ；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中，必有AB +AD =AC.其中正确命题的序号是________.【答案】①②【分析】根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.【详解】①正确；②正确，因为AC 与A 1C 1 的大小和方向均相同；③a =b ，不能确定其方向，所以a 与b的方向不能确定；④只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB +AD =AC.综上可知，正确命题为①②.故答案为:①②考法022.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式：(1)AB +BA 1 ； (2)AB +B 1C 1 +C 1C ；(3)AM -BM -CB ；(4)12AA 1+AB -AM ．【答案】(1)AB +BA 1 =AA 1 ；(2)AB +B 1C 1 +C 1C =A 1C ；(3)AM -BM -CB =AC ；(4)12AA 1+AB -AM =0 ．【分析】(1)利用向量加法的三角形法则即可求解.(2)由AB =A 1B 1 ，利用向量加法的三角形法则即可求解.(3)利用向量减法的运算法则即可求解.(4)利用向量加法、减法的运算法则即可求解.【详解】(1)AB +BA 1 =AA 1 ．(2)AB +B 1C 1 +C 1C =A 1B 1 +B 1C 1 +C 1C =A 1C ．(3)AM -BM -CB =AM +MB +BC =AC ．(4)12AA 1+AB -AM =BM +AB +MA =AB +BM +MA =0 ．考法033.已知a =13，b =19，a +b =24，则a -b=________．【答案】22【分析】先由a +b 的平方求出a ⋅b ，再求a -b 的平方.【详解】因为a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2=132+2a ⋅b+192=242，所以2a ⋅b =46,a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2=132-46+192=484，故a -b =22．故答案为:224.(多选题)在四面体P -ABC 中，以上说法正确的有()A.若AD =13AC +23AB ，则可知BC =3BDB.若Q 为△ABC 的重心，则PQ =13PA +13PB +13PCC.若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PB ∙AC =0D.若四面体P -ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ,BC 的中点，则MN =1【答案】ABC【分析】作出四面体P -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，∵AD =13AC +23AB ，∴3AD =AC +2AB ，∴2AD -2AB =AC -AD ， ∴2BD =DC，∴3BD =BD +DC =BC 即∴3BD =BC ，故A 正确；对于B ，∵Q 为△ABC 的重心，则QA +QB +QC =0，∴3PQ +QA +QB +QC =3PQ ∴(PQ +QA )+(PQ +QB )+(PQ +QC )=3PQ ,∴PA +PB +PC =3PQ即∴PQ =13PA +13PB +13PC ，故B 正确；对于C ，若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PA ∙BC +PC ∙AB=0，∴PA ∙BC +PC ∙(AC +CB )=0,∴PA ∙BC +PC ∙AC +PC ∙CB =0∴PA ∙BC +PC ∙AC -PC ∙BC =0,∴(PA -PC )∙BC +PC ∙AC =0∴CA ∙BC +PC ∙AC =0,∴AC ∙CB +PC ∙AC =0∴AC ∙(PC +CB )=0，∴AC ∙PB =0，故C 正确；对于D ，∴MN =PN -PM =12(PB +PC )-12PA=12(PB +PC -PA )∴MN =12PB +PC -PA =12PA -PB -PC∵PA -PB -PC =PA 2+PB 2+PC 2-2PA ∙PB -2PA ∙PC +2PC ∙PB =22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=22∴MN=2，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考法045.如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：(1)E ，F ，G ，H 四点共面;(2)BD ⎳平面EFGH ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)由共面向量定理得证.(2)用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：(1)如图所示，连接BG ，则EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH ，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH =AH -AE =12AD -12AB =12(AD -AB )=12BD ，且E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD ．又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH ．6.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM =kAC 1 ，BN =kBC(0≤k ≤1)，判断向量MN 是否与向量AB ，AA 1共面．【答案】向量MN 与向量AB ，AA 1 共面．【分析】由MN =AN -AM ，再分别将AN ，AM 表示为AN =(1-k )AB +kAC ，AM =k (AA 1 +AC )，最后用共面向量定理可判断.【详解】∵AN =AB +BN =AB +kBC =AB +k (AC -AB )=(1-k )AB +kAC ．AM =kAC 1 =k (AA 1 +AC )，∴MN =AN -AM =(1-k )AB -kAA 1 ，∴由共面向量定理知向量MN 与向量AB ，AA 1共面．基础过关练⒈在下列结论中：①若向量a ,b 共线，则向量a ,b所在的直线平行；②若向量a ,b 所在的直线为异面直线，则向量a ,b一定不共面；③若三个向量a ,b ,c 两两共面，则向量a ,b ,c共面；④已知空间的三个向量a ,b ,c ，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x ，y ，z 使得p =xa +yb +zc．其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A 【分析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P -ABC 中，PA ,PB ,PC两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，a ,b ,c需不共面才成立，故④错．故选:A ．⒉已知O 为空间任意一点，若OP =34OA +18OB +18OC ，则A ,B ,C ,P 四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断【答案】B【分析】由空间向量共面定理的推论可得，若OP =aOA +bOB +cOC，满足a +b +c =1，则A ,B ,C ,P 四点共面可判断.【详解】由空间向量共面定理的推论若OP =aOA +bOB +cOC，满足a +b +c =1，则A ,B ,C ,P 四点共面，∵OP =34OA +18OB +18OC ，而34+18+18=1，故A ,B ,C ,P 四点共面.故选：B .⒊已知i 与j 不共线，则存在两个非零常数m ，n ，使k =m i +n j 是i ，j ，k共面的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理及充分条件、必要条件的概念判断.【详解】若i 与j 不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数m 、n ，使k =m i +n j ，所以 k与i ，j共面；若存在两个常数m ，n ，使k =m i +n j，m ，n 不一定非零．故选:A .⒋如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则()A.EF +GH +PQ =0B.EF -GH -PQ =0C.EF +GH -PQ =0D.EF -GH +PQ =0【答案】A【分析】通过相等向量进行平移，将EF ,GH ,PQ平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.【详解】由题图观察，EF ,GH ,PQ 平移后可以首尾相接，故有EF +GH +PQ =0.故选：A .⒌ ．如图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB =a ，AD =b ，AA =c ，则下列与向量A C 相等的表达式是()A.-a +b +cB.-a -b +cC.a -b -cD.a +b -c【答案】D 【分析】利用空间向量的运算求解即可.【详解】在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，A C =A A +AB +BC =a +b -c .故选：D .⒍已知非零向量a ,b 不平行，且a =b ，则a +b 与a -b 之间的关系是()A.垂直B.同向共线C.反向共线D.以上都可能【答案】A【分析】作a +b 与a -b 的数量积即可.【详解】因为a +b ⋅a -b =a 2-b 2=a 2-b 2=0，所以a +b 与a -b垂直．故选:A⒎已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则a ⋅c =0，且b ⋅c =0是l ⊥α的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线面垂直的判定与性质定理，若l ⊥平面α，则有a ⋅c =0，b ⋅c =0；若a ⎳b ，则反之不对．【详解】若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ⊥b ，所以a ⋅c=0，b ⋅c =0；反之，若a ⎳b ，则c ⊥a ，c ⊥b，并不能保证l ⊥平面α．故选：B⒏若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n =λa +μb λ,μ∈R ,λμ≠0 ，则()A.m ⎳nB.m ⊥nC.m ,n既不平行也不垂直 D.以上三种情况都可能【答案】B【分析】由条件可以得到m ⋅n =0，即可选出答案.【详解】因为m ⋅n =m ⋅λa +μb =λm ⋅a +μm ⋅b =0，所以m ⊥n.故选：B能力提升练⒐(多选)设a ,b ,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是()A.(a ⋅b )c -(c ⋅a )b =0B.a =a ⋅aC.a 2∙b =b 2∙aD.(3a +2b )⋅(3a -2b )=9a 2-4b 2【答案】BD 【分析】根据平面向量数量积的运算律判断．【详解】因为数量积不满足结合律，故A 不正确；由数量积的性质可知B 正确，C 中结论不一定成立，D 运算正确．故选：BD ．⒑在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1 的是()A.AA 1 -B 1C 1 +D 1C 1B.AB +BC +CC 1C.AB -C 1C +B 1C 1D.AA 1 +DC +B 1C 1【答案】BCD 【分析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.【详解】如图所示：A.AA 1 -B 1C 1 +D 1C 1 =AA 1 +DA +D 1C 1 =DA 1 +A 1B 1 =DB 1 ≠AC 1 ，故错误；B.AB +BC +CC 1 =AC +CC 1 =AC 1 ，故正确；C.AB -C 1C +B 1C 1 =AB +CC 1 +B 1C 1 =AB +BB 1 +B 1C 1 =AC 1 ，故正确；D.AA 1 +DC +B 1C 1 =AA 1 +A 1B 1 +B 1C 1 =AC 1 ，故正确.故选：BCD .⒒若a ,b ,c是空间任意三个向量，λ∈R ，下列关系中，不成立的是()A.|a +b |=|b -a |B.(a +b )⋅c =a ⋅(b +c)C.λ(a +b )=λa +λbD.b =λa【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有a ⊥b ，即a ⋅b =0时，都有|a +b|=|b -a |，A 不成立；由数量积的运算律有(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ，a ⋅(b +c )=a ⋅b +a ⋅c ，a ⋅b 与b ⋅c不一定相等，B 不成立；向量数乘法则，C 一定成立；只有a ,b 共线且a ≠0 时，才存在λ，使得b =λa，D 这成立．故选：ABD ．⒓(多选)若a ,b ,c不共面，则()A.b +c ,b -c ,a共面 B.b +c ,b -c ,2b共面C.b +c ,a ,a +b +c共面D.a +c ,a -2c ,c共面【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.【详解】∵2b =(b +c )+(b -c )，∴b +c ,b -c ,2b 共面，故B 正确；∵a +b +c =(b +c )+a，∴b +c ,a ,a +b +c 共面，故C 正确；∵a +c =(a -2c )+3c ，∴a +c ,a -2c ,c 共面，故D 正确.对于A 选项，若设b +c =λb -c +μa ，则b +c =λb -λc +μa得λ=1-λ=1μ=0，故无解，因此b +c ,b -c ,a不共面.故选：BCD .【点睛】本题考查了空间向量的基本定理.⒔给出下列命题：①若|a |=|b |，则a =b 或a=-b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|=|b |；③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC =A 1C1；④若空间向量m ,n ,p 满足m =n ,n =p ，则m =p．其中正确命题的序号是________．【答案】②③④【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可.【详解】对于①，向量a 与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|=|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC =A 1C1，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知④正确．故答案为：②③④⒕如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=F ，若AF =xAB +yAD +zAA 1 ，则x +y +z =___________.【答案】2【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，AF =AB +BB 1 +B 1F =AB +BB 1 +12B 1D 1 ,再将A 1D 1 转化为AD ，以及将A 1B 1 转化为AB ,BB 1 =AA 1 ,总之等式右边为AB ，AD ，AA 1 ,从而得出x =y =12，z =1.【详解】因为AF =AB +BB 1 +B 1F =AB +BB 1 +12B 1D 1=AB +BB 1 +12A 1D 1 -A 1B 1=AB +BB 1 +12AD -12AB=12AB +12AD +AA 1 ，又AF =xAB +AD +zAA 1，所以x =y =12，z =1，则x +y +z =2.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将AF =xAB +AD +zAA1作为转化的目标，从而得解.⒖已知e 1,e 2,e 3是空间单位向量，e 1⋅e 2=e 2⋅e 3=e 3⋅e 1=12，若空间向量a 满足a =xe 1+ye 2x ,y ∈R ，a =2，则a ⋅e3 的最大值是___________.【答案】233【分析】由a 2=4可构造出符合基本不等式的形式，求得x +y 2的范围；根据向量的数量积运算可求得a ⋅e 3=12x +y ，利用x +y 2的范围可求得所求最大值.【详解】∵a =xe 1+ye 2 =2，∴a 2=x 2e 21+2xye 1⋅e 2+y 2e 22=x 2+y 2+xy =x +y 2-xy =4，显然，当xy >0时，x +y 2最大；当x >0，y >0时，xy =x +y 2-4≤x +y 22(当且仅当x =y 时取等号)，∴x +y 2≤163；当x <0，y <0时，xy =-x -y =x +y 2-4≤-x -y 22=x +y 24(当且仅当-x =-y ，即x =y 时取等号)，∴x +y 2≤163；综上所述：x +y 2≤163；∵a ⋅e 3=xe 1+ye 2 ⋅e 3=xe 1⋅e 3+ye 2⋅e 3=12x +y ，∴a ⋅e 3 =12x +y =12x +y 2≤233，∴a ⋅e 3 的最大值为233.故答案为：233.【点睛】关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.⒗如图，四面体ABCD 中，M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，已知AG =23AM ，(1)NM =12(NB +NC )；(2)NM =DB +12AC ；(3)NG =13(NA +NB +NC )；(4)存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．则其中正确的结论是_______．(把你认为是正确的所有结论的序号都填上)．【答案】(1)(3)【分析】(1)由于M 是线段BC 的中点，可得NM =12(NB +NC)；(2)取CD 的中点E ，连接EN ，EM ．而NM =NE +EM =12AC +12DB，即可判断出；(3)利用NG =NM +MG ，MG =13MA =13NA -NM，及(1)即可得出；(4)由于M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，AG =23AM，可得NG 与平面DBC 不平行，得出不存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．【详解】解：(1)∵M 是线段BC 的中点，∴NM =12(NB +NC)，正确；(2)取CD 的中点E ，连接EN ，EM ．则NM =NE +EM =12AC +12DB，因此不正确；(3)NG =NM +MG =NM +13MA =NM +13NA -NM =23×12NB +NC +13NA =13NB +NC +NA，因此正确；(4)∵M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，AG =23AM，∴NG 与平面DBC 不平行，∴不存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．综上可得：只有(1)(3)正确．故答案为：(1)(3)．培优拔尖练⒘已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ，且OA =OB =OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【答案】证明见解析【解析】【分析】设OA =a ,OB =b ,OC =c，∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ，根据题意，结合向量的四边形法则，可得OG =12OM +ON =14a +b +c ,BC=c -b ，即可求得OG ⋅BC =0 ，即可得证.【详解】证明：设OA =a ,OB =b ,OC =c ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ，则a =b =c.因为G 是MN 的中点，所以OG =12OM +ON =1212OA +12OB +OC =14a +b +c ,BC =c -b 所以OG ⋅BC =14a +b +c ⋅c -b =14a ⋅c -a ⋅b +b ⋅c -b 2+c 2-b ⋅c=14a 2⋅cos θ-a 2⋅cos θ-a 2+a 2 =0 所以OG ⊥BC ，即OG ⊥BC .⒙已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)AB +BC +CD ；(2)AB +12(BD +BC )；(3)AG -12(AB +AC )．【答案】(1)AD ；(2)AG ；(3)MG.【分析】利用空间向量的加减法及数乘运算化简即可.【详解】解：(1)如图所示，AB +BC +CD =AC +CD =AD.(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH .因为M ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以MG =BH ，MG ∥BH ，所以BMGH 为平行四边形，所以12(BD+BC )=BH +BM =BG ，从而AB +12(BD +BC )=AB +BG =AG .(3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ，连接SM ，AM ，MN ，则易证得ASMN 为平行四边形，所以12(AB+AC )=AS +AN =AM ，所以AG -12(AB +AC )=AG -AG =MG .【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，在处理向量加法时往往需要结合利用平行四边形法则，借助线段中点实现化简.⒚如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E =2ED 1 ，F 在对角线A 1C 上，且A 1F=23FC ，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【分析】设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c，利用几何图形中各线段对应的向量，结合空间向量加减、数乘的几何意义，判断EF =λEB成立，结论即得证.【详解】设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c ，∵A 1E =2ED 1 ，A 1F =23FC ，∴A 1E =23A 1D 1 ，A 1F =25A 1C ，而A 1D 1 =AD =b ∴A 1E =23b ，A 1F =25(AC -AA 1 )=25(AB +AD -AA 1 )=25(a +b -c ).∴EF =A 1F -A 1E =25a -23b -c ,又EB =EA 1 +A 1A +AB =a -23b -c ,∴EF =25EB ，即E ，F ，B 三点共线.【点睛】关键点点睛：根据空间向量线性运算的几何意义，判断E ，F ，B 三点所构成向量是否存在m =λn 关系，即可证三点共线.⒛已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM =13OA +13OB +13OC .(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】(1)MA ,MB ,MC 共面；(2)点M 在平面ABC 内.【分析】(1)由向量的线性关系可得OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，由向量减法有MA =-MB -MC ，由空间向量共面定理，知MA ,MB ,MC 共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】(1)由题意，知：3OM =OA +OB +OC ，∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，即MA =BM +CM =-MB -MC ，故MA ,MB ,MC 共面得证.(2)由(1)知：MA ,MB ,MC 共面且过同一点M .所以M ,A ,B ,C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.·21·。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题07 空间向量及运算(解析版)
立体几何与空间向量07 空间向量及运算一、具体目标：理解空间向量的概念，空间向量的加法、减法和数乘的几何意义、空间向量的基本定理、 空间向量的数量积的定义及其性质．掌握空间向量的坐标表示及其运算、两点距离公式、模长公式、数量积公式、夹角公式、法向量、空间向量的坐标运算、会运用空间向量的坐标运算求空间的角和距离．利用空间向量进行平行、垂直的证明以及探究性问题的探讨. 二、知识概述：(1) 空间向量的概念；空间向量的加法、减法、数乘；空间向量定理（共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理）；空间向量的数量积．（2）选定空间不共面的三个向量作基底，并用它们表示出指定的向量，是空间向量坐标运算的基础，这也是学习空间向量的基本要求．（3）首尾连接若干向量若能构成封闭图形，则其和为零向量；有关点共线问题可以用a //b ⇔a ＝λb ),(R b ∈≠λ0；有关点共线问题可转化为向量共面问题，关键是找到R y x ∈，，使p ＝x ⋅a ＋y ⋅b 或OP OM x MA y MB =+⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（4）数量积公式a ⋅b ＝|a ||b |cos<a ，b >是求空间角的有力工具，其产生的性质a ⊥b ⇔a ⋅b ＝0是证明线线垂直的重要方法；而性质a 2＝|a |2可使向量用于距离计算或证明.（5）在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象．（6）建立空间直角坐标系的一般条件是：所给的图形中有三条两两垂直且相交的直线，则取其交点为坐标原点，以这三条线分别为轴建立空间直角坐标系．（7）求空间任一点A 的坐标的一般方法：过A 作z 轴的平行线交xoy 平面于B ，过B 分别作x 、y 轴的平行线，分别交y 、x 轴于C D 、，则由OD 、OC 、BA 的长度和方向便可求得点A 的坐标．（8）夹角公式：若()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则121212222222111222cos ,a b x y z x y z=++⋅++rr ．（9）常用公式：已知123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则：()112233,,a b a b a b a b +=+++r r;=-()112233,,a b a b a b =---; ||a =r 已知123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，【考点讲解】若//,则()112233,,0a b a b a b b λλλ===≠r r;若b a ⊥,则112233=0a b a b a b ⋅+⋅+⋅. （10）法向量定义：如果直线α平面⊥l , 取直线l 的方向向量为n ，则向量n 叫作平面α的法向量 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离. 平面法向量的求法第一步(设):设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z). 第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩第三步(解):把z 看作常数,用z 表示x 、y.第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n 的坐标. 1.【2018·全国卷Ⅱ】在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，【真题分析】GFE D CBA所以AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 【答案】C2.【2019优选题】已知向量()1,0,1a =-r ，则下列向量中与a r 成60o的是( )A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-【解析】本题考点是空间向量数量积与空间向量的坐标运算.对于A 选项中的向量()11,0,1a =-u r，1111cos ,2a a a a a a ⋅===-⋅r u rr u r r u r ，则1,120a a =o r u r ；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-u u r，2221cos ,2a a a a a a ⋅===⋅r u u rr u u r r u u r ，则2,60a a =o r u u r ； 对于C 选项中的向量()30,1,1a =-u u r，2321cos ,2a a a a a a ⋅===-⋅r u u rr u u r r u u r ，则2,120a a =o r u u r ； 对于D 选项中的向量()41,0,1a =-u u r ，此时4a a =-u u r r ，两向量的夹角为180o.故选B.【答案】B3.【2019优选题】如图，已知空间四边形ABCD 的每条边长及对角线均为a ，E F G 、、分别为AB AD 、、DC 的中点，则GE GF ⋅u u u r u u u r等于（ ）A ．41-a 2B ．21-a 2C ．41a 2D ． 21a 2【解析】设=AB a ，=b ，=AD c ,则===||||||c b a a ，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=a 2,)(21DB CA FE GF GE +=+=)(21c a b -+-=,=GF b 21-，GE GF ⋅u u u r u u u r )(21c a b -+-=1()2b ⋅-41=a 2 ．【答案】C4. 【2019优选题】如图，F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EBD ．E 与B 重合【解析】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立坐标系，设正方体的棱长为2， 则D (0，0，0)，F (0，1，0)，D 1(0，0，2)，设E (2，2，z )，则D 1F →＝(0，1，－2)，DE →＝(2，2，z )， 因为D 1F →·DE →＝0×2＋1×2－2z ＝0，所以z ＝1，所以B 1E ＝EB .【答案】A5.【2019优选题】在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32B.22C.104D.64【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0，0)，所以sin α＝|cos 〈n ，AD →〉|＝322＝64.【答案】D6.【2019优选题】已知空间三点11(0,1,0),(1,,),(3,,0)22A B m C m ---，当m ＝ 时， 有BC AB ⊥，若A B C 、、三点在同一直线上，则m ＝ ． 【解析】),1,2(,,21,1m m m ---=⎪⎭⎫⎝⎛--=，若⊥，则21(2)02AB BC m m ⋅=--+-=u u u r u u u r ，2111,05222±-=∴=-+∴m m m若A 、B 、C 三点共线，则0,2121)2(1==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-∴⋅=m m m m BC AB λλλλλ，． 【答案】0,2111±-． 7.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME=12B1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(12)A M =--u u u u r ，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r ．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m ， 所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n 所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --． 8.【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u r u u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意． 所以，线段CF的长为87．1.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
空间向量及其运算(讲义及答案)
1 / 10空间向量及其运算（讲义）➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________．扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：①PA PB λ−−→−−→=；②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→−−→−−→=+；③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→−−→−−→=++=（）． （2）共面向量定理如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________．扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面：①MP x MA y MB −−→−−→−−→=+；②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→=++；③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→−−→−−→−−→=++++=（④PM −−→∥AB −−→（或PA −−→∥MB −−→或PB −−→∥AM −−→）． （3）空间向量基本定理l如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________．其中，__________叫做空间的一个基底．二、空间向量的线性运算类比平面向量三、空间向量的坐标运算a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）：a+b=____________________，a-b=_____________________，λa=_____________________；a b⋅=__________________，a=____________________；cos<a，b>=__________________=__________________；a∥b⇔__________⇔__________________；a⊥b⇔__________⇔__________________．四、空间位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任AB为直线l的方向向量．意两点，则称−−→AB平行的任意__________也是直线的方向向量．与−−→（2）平面的法向量①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量．②确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______________．2/ 103 / 102. 空间位置关系的向量表示➢ 精讲精练1. 如图，在空间四边形ABCD 中，若G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC −−→−−→−−→++=（ ）A ．BC −−→B ．CG −−→C ．AG −−→D ．12BC −−→4 / 10GDBAE OABCD第1题图 第2题图2. 如图，在四面体OABC 中，设OA −−→=a ，OB −−→=b ，OC −−→=c ，若D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则−−→OE =___________．（用a ，b ，c 表示）3. 已知向量a ，b ，若2AB −−→=+a b ，56BC −−→=-+a b ，72CD −−→=-a b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D4. 下列条件：①OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=+-； ②111532OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=++；③MA MB MC −−→−−→−−→++=0；④OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→+++=0．能推出M ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）5 / 105. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一个单位正交基底，{a +b ，a -b ，c }是空间的另一个基底，若向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为31(3)22-，，，则p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为 _________________．6. 已知a =(x ，4，1)，b =(-2，y ，-1)，c =(3，-2，z )，且a ∥b ，b ⊥c ． （1）x =_______，y =_________，z =_________； （2）a +c 与b +c 所成角的余弦值为______________．7. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，若E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF −−→⋅DC −−→=（ ）A ．14B ．14-CD．DCBA FE第7题图 第8题图8. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，若E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则−−→AE ⋅AF −−→=（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 26 / 109. 若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，则下列结论正确的是（ ）A ．若l ⊥α，则a ⊥nB ．若l ∥α，则a ∥nC ．若a ∥n ，则l ⊥αD ．若a ⋅n =0，则l ⊥α10. 已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)三点，n =(1，1，1)， 则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是（ ） A ．垂直 B ．不垂直 C ．平行D ．以上都有可能11. 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则下列能使l ∥α的是（ ）A ．a =(1，0，0)，n =(-2，0，0)B ．a =(1，3，5)，n =(1，0，1)C ．a =(0，2，1)，n =(-1，0，-1)D ．a =(1，-1，3)，n =(0，3，1)12. 已知平面α，β的法向量分别为a =(1，1，2)，b =(x ，-2，3)，若α⊥β，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．3D ．413. 已知AB −−→=(2，2，1)，AC −−→=(4，5，3)，则平面ABC 的单位法向量是7 / 10________________．14. 如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱111ABC A B C -的顶点C 与原点O 重合，顶点A ，1C ，B 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，若AC =12CC BC =，则直线1BC 与直线1AB 的夹角的余弦值为（ ）A．5B．3C．5D ．3515. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，B 1D 1的中点，求证：EF ⊥A 1D ．B 1D 1C 1A 1D CBAE F8 / 1016. 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点． （1）求证：AG ∥平面BEF ；（2）在棱BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．GFEABC DA 1C 1D 1B 19 / 10【参考答案】➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理2. （1）a=λb（2）不共线，唯一，p =x a +y b （3）p =x a +y b +z c ，{a ，b ，c } 三、空间向量的坐标运算(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)，(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)，(λa 1，λa 2，λa 3)a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a b a b ⋅b =λa ，3121231230b b b a a a a a a λ===≠（，，）0a b ⋅=，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0四、空间位置关系1. （1）非零向量（2）垂直，00n a n b ⋅⋅=⎧⎨=⎩2.2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= 1212120x x y y z z ++=，2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，）2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= ➢ 精讲精练 1. C10 / 102.111244a b c ++ 3. A 4. ①③ 5. (1，2，3)6. （1）2，4-，2；（2）219- 7. B 8. C 9. C 10. A 11. D 12. B13. (13，23-，23)或(13-，23，23-)14. A 15. 证明略16. （1）证明略；（2）M 为BB 1的中点，证明略。
2021版高考数学苏教版一轮教师用书：7.5 空间向量的运算及应用 Word版含答案
第五节空间向量的运算及应用[最新考纲] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．向量表示坐标表示数量积 a ·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23位置关系向量表示直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为ml ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，mα∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0[常用结论]1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线．2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面．3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面． ( )(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( )(3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ( )[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 C [∵α⊥β，则u ·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0， ∴t ＝5.]2.在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c A [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .]3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A ．(－1,1,1)B ．(1，－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33C [设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.]4．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝ . 26 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即－8＋6＋x ＝0，∴x ＝2. ∴b ＝(－4,2,2)，∴|b |＝16＋4＋4＝2 6.]考点1 空间向量的线性运算 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝ .56[连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA→＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13， 因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.]2.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. [解](1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算． 考点2 共线(共面)向量定理的应用证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线 空间四点(M ，P ，A ，B )共面 PA →＝λPB →且同过点PMP →＝xMA→＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB → 对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .[证明](1)连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12()BC →＋BD →＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →.由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(1)本例(2)在证明中运用了向量共线定理及线面平行的判定定理． (2)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．1.已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2A[∵a ∥b ，∴设b ＝x a ，∴⎩⎨⎧x λ＋1＝6，2μ－1＝0，2x ＝2λ，解得⎩⎨⎧μ＝12，λ＝2，或⎩⎨⎧μ＝12，λ＝－3.故选A.]2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于 ．657[∵a 与b 不共线，故存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.故填657.] 考点3 空间向量数量积的应用(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．(2)空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.如图所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． [解](1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC →1|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明：∵AC→1＝a＋b＋c，BD→＝b－a，∴AC→1·BD→＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0. ∴AC→1⊥BD→，∴AC1⊥BD.(3)BD→1＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD→1|＝2，|AC→|＝3，BD→1·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈BD→1，AC→〉＝BD→1·AC→|BD→1||AC→|＝66.∴AC与BD1夹角的余弦值为6 6.对于不方便建立空间直角坐标系的题目，常常借助基向量及数量积的定义求解；倘若建系方便，则通过坐标法求解．[教师备选例题]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G 分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EG→·BD→.[解] 设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12＝12. 如图，已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .[解](1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →| ＝1－02＋0－12＋1－02＝ 3.(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， 所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →， 即A 1B ⊥C 1M .考点4 利用向量证明平行与垂直 1.利用空间向量证明平行的方法线线平行 证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角，求证：(1)CM ∥平面PAD ； (2)平面PAB ⊥平面PAD .[解](1)证明：由题意知，CB ，CD ，CP 两两垂直，以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD .(2)法一：由(1)知BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)， 设平面PAB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB ⊥平面PAD .法二：取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →.∴BE ⊥DA . 又PA ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面PAD . 又∵BE ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .点M 的求解是本例的难点，求解的方式有两种：一是在平面BCP 中借助直角三角形中的边角关系求解，二是借助向量共线定理利用PB →＝4PM →求解．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．[解] 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a .(1)证明：A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1. 因为B 1E →·AD 1→＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此B 1E →⊥AD 1→， 所以B 1E ⊥AD 1.(2)存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)， 再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. 因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →， 得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，则平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →， 有a2－az 0＝0，解得z 0＝12.所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.。
空间向量及其运算 知识点+例题+练习
教学过程自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为教学效果分析教学过程棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题教学效果分析教学过程例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．教学效果分析教学过程1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5.在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把教学效果分析直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为________．6.如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号)8.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．二、解答题(共42分)9.如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．自主梳理1．(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ，使b ＝λa (4)OM →＋xMA →＋yMB →1 (5)x e 1＋y e 2＋z e 32．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R )a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2自我检测 1.16 －32解析 ∵a ∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.2．－12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97. 4．①③解析 ①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →， 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 课堂活动区例1 解题导引 欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明 如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析 设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底， 则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →||CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明 如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (1,1,0)， E (0,0,1)，B (0,0,0)， 设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE → ＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解 由(1)知|MN →|＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE . 则点N 、E 的坐标分别为 ⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)， ∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →， 即AM ⊥DF ，AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，且DF ，BF 在平面BDF 内， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解 设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫4，－94，0.在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa ) ＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →，⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．②③④ 2．锐角解析 如图，∵DB →·DC →＝(AB →－AD →)·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →－AD →·AC →＋AD →2＝AD →2>0，同理，BD →·BC →>0，CD →·CB →>0.∴△BDC 为锐角三角形．3．60° 解析如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∴EF 与BC 1所成的角是60°. 4．16解析 由PC →＝λ1P A →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.5．211 解析过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211. 6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析 设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，y 2. ∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y 24＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(3分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(7分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z . 而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(10分)∴M (0,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(14分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， AM →＝(－1,0,1)．(4分)∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，。
空间向量及其运算(含答案解析)
空间向量与立体几何知识梳理1、共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使___________推论：A 、P 、B 三点共线⇔______________________中点公式．1()2OP OA OB =+ 2、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y使__________推论：空间一点P 位于平面ABC 内⇔_______________________________________3、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使________________________4、向量的数量积：______________________________________ 特别的，_______,__________⇔⊥=∙b a a a 数量积的运算律：（1）_____________________(2)___________________________(3)___________________________5、),,(),,,(321321b b b a a a ==，则______________;____________;__________==-=+λ如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角；(2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) 例3图____________________==∙b aA.OC OB OA OM --=2B. 213151++= C.0=++MC MB MA D.0=+++OC OB OA OM2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--135,1312 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±135,1312 3.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］ 5.若a 与b 是垂直的，则a ²b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( )A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( )A.0B.25C.221 D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝，b ＝，则a +b 对应的点为( ) A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854B.8569arcsinC.85854arccos -π D.90° 12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = .14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 . 15.已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点坐标为 .16.已知a ＝｛8,-1,4｝，b ＝｛2,2,1｝，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为 .三、能力提高17.已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且与α所成的角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 之间的距离.18.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、B 1C 1中点，若AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，试用向量法求： (1)CF E A 与1的夹角的大小.(2)直线A 1E 与FC 所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O 是平面AC 外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第11课 空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或 3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.5. B 当a ⊥b 时，a ²b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21²b ∴a ∥b . 7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)， ∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ， ∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=221 9.B ∵a ⊥b ∴1²m +5²2-2(m +2)=0. ∴m =6.10.B CA =(-1,0,-2),CB =(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ²b )=2222242)3()2(24322+∙-+-+⨯-⨯=-85854854-=. 12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立. 13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0, ∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43 cos 〈a , b 〉=22222222-=∙-=∙-b a .∴a ,b 所夹的角为43π. 15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95 S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°， 〈BD CA ,〉＝１２０°，∴|CD |2= 2)(++=∙BD AB BD CA AB CA BD ∙+∙+∙++2222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2.∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4).由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4).(1)令CF E A 与1的夹角为θ，则cos θ1716-=. ∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716.(2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 171619.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)，AD ²F D 1＝(-1，0，0)²(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴²D 1＝(0，1，21)²(0，21，-1)＝21-21＝0.∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-= =2[])22()22(()(-+-=-+-=11111111)()(D A B A OD OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.本资料来源于《七彩教育网》。
空间向量的运算及应用
一、基础小题 1．给出下列命题： ①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； ②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面； ③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； ④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存 在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc.
θ，则
cosθ＝||AA→FF|·|CC→11EE||＝3
5
＝ 5
35，∴异面直线
AF 与 C1E 所成角的余弦值为 35，故选 B．
8．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M，N 分别是 CD，PC 的中点，并且 PA＝AD＝1．在 如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.
三、模拟小题
11．(2020·成都诊断)如图所示，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B ＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向
量是( )
A．－12a＋21b＋c
B．21a＋12b＋c
C．－21a－12b＋c 答案 A
D．12a－21b＋c
标为( )
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
答案 B
解析 设 O 为坐标原点，因为点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点， 所以E→F＝O→F－O→E，O→F＝12(O→A＋O→D)，O→E＝12(O→B＋O→C)．所以E→F＝12(O→A＋ O→D)－12(O→B＋O→C)＝12(B→A＋C→D)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12(－ 4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
21年高考数学空间向量的运算及应用
返回
( ×)
(2)若两条不重合的直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)，
v2＝(－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行．
(√ )
(3)已知―A→B ＝(2,2,1)， ―A→C ＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量
是
n
0＝±13，－23，32
.
(√)
(4)若 n 1，n 2 分别是平面 α，β 的法向量，则 n 1⊥n 2⇔α⊥β. ( √ )
返回
3.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A1B1C1，点M，N分别在AC1
和BC上，且满足
―→ AM
＝k
―→ AC1
，
―→ BN
＝
k
―→ BC
(0≤k≤1)．判断向量
―→ MN
是否与
向量―A→B ，―AA→1 共面． 解：∵―AM→＝k―AC→1 ，―B→ N ＝k―B→C ， ∴―M→N ＝―M→A ＋―A→B ＋―B→ N ＝k―C1→A ＋―A→B ＋k―B→C ＝k(―C1→A ＋ ―B→C )＋―A→B ＝k(―C1→A ＋B―1→C1)＋―A→B ＝kB1A―→＋―A→B ＝―A→B －k―AB→1 ＝―A→B －k(―AA→1 ＋―A→B )＝(1－k)―A→B －k―AA→1 ，
故|b|＝ －42＋22＋22＝2 6.
6．已知 a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a ，b ，
65 c 三向量共面，则实数 λ 等于____7____．
解析：由题意，可设 a＝xb＋yc， 故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，
－x＋7y＝2， 即4x＋5y＝－1，
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第五节空间向量的运算及应用
[考点要求] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
(对应学生用书第130页
)
1．空间向量的有关概念
名称定义
空间向量在空间中，具有大小和方向的量
相等向量方向相同且模相等的向量
相反向量方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量平行于同一个平面的向量
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
- 1 -
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.空间位置关系的向量表示
- 1 -
- 1 -
l 1⊥l 2
n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m
l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m
α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β
n ⊥m ⇔n ·m ＝0
[常用结论]
1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线．
2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，
n·b ＝0.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )
(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
1．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6。