函数单调性的证明题

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高三数学函数的单调性和最值典型例题解析之一

高三数学函数的单调性和最值典型例题解析1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.2. 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减. （2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-，由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD4.定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差：任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 5.已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。

【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。

【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。

函数的单调性+奇偶性(含答案)

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的表达式为（）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

函数的单调性的判断与证明练习题含答案

函数的单调性的判断与证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ) A.y =x 4B.y =2−xC.y =x +cos xD.y =−x 122. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是( ) A.y =x 3+1 B.y =x +1xC.y =−1xD.y =x|x|3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=−2x +1 B.f (x )=1x C.f (x )=lg (x −1) D.f (x )=x 24. 已知函数f(x)=3x −(13)x ，则f(x)( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为( ) A.y =2x B.y =−2x 2C.y =1xD.y =x6. 已知函数f(x)=3x −(13)x，则f(x)（） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数7. 已知函数f (x )={x 2−ax,x ≥2,a x−1−2,x <2满足对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.(1,4]B.(1,+∞)C.(1,2]D.[2,4]8. 给定下列函数，其中在区间(0,1)上单调递增的函数是（） A.y =−12x 2B.y =|x 2−2x|C.y =(12)x+1D.y =x +1x9. 函数f (x )=e x +e −xe x −e −x 的部分图象大致是( )A. B.C. D.10. 已知函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,若f (2−t )>f (t )，则实数t 的取值范围是( )A.(−∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，且f (1)=1，函数f (x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，对于任意x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019 f (x 1)−x 22019 f (x 2)x 1−x 2>0成立．则f(x)≤1x 2019的解集为( )A.[−1,1]B.(−∞,−1]∪[1,+∞)C.(−∞,−1]∪(0,1]D.(−2019,2019)12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( ) A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]13. 函数f(x)=|x−3|的单调递增区间是________.14. 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.15. 已知f(x)=x2+(b−2)x是定义在R上的偶函数，则实数b=________，此函数f(x)的单调增区间为________．16. 已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.17. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域为R，值域是[0,1]；有无数个解；②方程{x}=12③函数{x}是奇函数；④函数{x}是增函数．正确命题的序号是________.18. 若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．19. 已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________.20. 已知f(x)=2x.x2+1(1)判断f(x)在[−1, 1]的单调性，并用定义加以证明；(2)求函f(x)在[−1, 1]的最值.21. 已知函数f(x)=−2x+1是定义在R上的奇函数．2x+a(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明．22. 已知f(x)=x，x∈(−2,2).x2+4(1)用定义证明函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)若f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．+m(m∈R)是奇函数．23. 已知函数f(x)=12x+1(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的单调性（不用证明）；(3)求不等式f(x2−x)+f(−2)<0的解集．24. 已知a>0，函数f(x)=1．1+a⋅3x(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明；(2)设g(x)=f(x)f(−x)，若对任意x∈[−1,1]，g(x)≥f(2)恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性的判断与证明练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分） 1.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明利用导数研究函数的单调性【解析】利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD 中函数的单调性，利用导数研究C 中函数的单调性即可得到答案. 【解答】解：A ，函数y =x 4在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，不满足题意； B ，y =2−x=(12)x在定义域内单调递减，不满足题意；C ，∵ 函数y =x +cos x 的定义域为R ，且y ′=1−sin x ≥0， ∴ 函数y =x +cos x 在其定义域上单调递增，满足题意；D ，y =−x 12在定义域内单调递减，不符合题意. 故选C . 2. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解. 【解答】解：对于A ，设f (x )=x 3+1，f(−x)=−x 3+1≠−f (x )，不是奇函数，故不符合题意；对于B ，由题设知函数为奇函数，在(−1,0)，(0,1)单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，故不符合题意；对于C ，函数为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)分别单调递增，故不符合题意；对于D ，y =x |x |={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意. 故选D . 3.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】对于A:f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B:f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C:f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D:f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D . 【解答】解：对于A ，f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B ，f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C ，f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D ，f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选D . 4.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性. 【解答】解：易知函数f(x)的定义域为R ， f(−x)=(13)x−3x =−f(x)，所以为奇函数.因为y =(13)x 在R 上是减函数，所以y =−(13)x 在R 上是增函数，又y =3x 在R 上是增函数，所以函数f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可. 【解答】解：对于A ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故A 不满足题意；对于B ，函数y =−2x 2为偶函数，故B 不满足题意；对于C ，函数y =1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，故C 不满足题意；对于D ，函数y =x 为奇函数，且在R 上是增函数，故D 满足题意. 故选D . 6. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R ，所以f(−x)=3−x −(13)−x =(13)x −3x =−[3x −(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y =3x 在R 上是增函数，y =(13)x在R 上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数．故选A ． 7. 【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的应用【解析】由已知可得函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a 的取值范围．【解答】解：∵ 对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，故函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a 2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a ∈(1,2].故选C ． 8.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A ，y =−12x 2为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线x =0，所以y =−12x 2在区间(0,1)上单调递减；对于B ，当x ∈(0,1)时，y =|x 2−2x|=−x 2+2x ，因为抛物线y =−x 2+2x 的对称轴是直线x =1，且开口向下，所以函数y =|x 2−2x|在区间(0,1)上单调递增；对于C ，y =(12)x+1=12⋅(12)x，因为0<12<1，所以函数y =(12)x+1在区间(0,1)上单调递减；对于D ，y =x +1x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数y =x +1x 在区间(0,1)上单调递减．故选B ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数图象的作法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知函数的定义域为{x|x ≠0}，定义域关于原点对称，由于f (x )+f (−x )=e x +e −xe x −e −x +e −x +e xe −x −e x =e x +e −x −e −x −e −xe x −e −x=0，即f (−x )=−f (x )，所以y =e x +e −xe x −e −x 是奇函数，排除选项B ；因为y =e x +e −x e x −e −x=1+2(e x )2−1=1+2(e 2)x −1在(0,+∞)上为减函数，排除选项D ；当x =1时，f (1)=1+2e 2−1>0，排除选项C ．故选A ．10.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】【解答】解：根据题意知，函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,当x ≥0时，f (x )=−x 2−4x =−(x +2)2+4，则函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，有f (x )≤f (0)=0. 当x <0时，f (x )=x 2−4x =(x −2)2−4，则函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，有f (x )>f (0)=0. 综上可得函数f (x )在R 上为减函数. 若f (2−t )>f (t )，则2−t <t ，解得t >1，即实数t 的取值范围为(1,+∞)．故选D . 11.【答案】 C【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】首先确定函数f (x )的奇偶性，再构造新函数g(x)=x 2019f(x)，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式. 【解答】解：由于f(x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，则f (x )的图象关于点(0,0)中心对称，即函数f (x )在定义域上为奇函数，令g (x )=x 2019f (x )，则g (−x )=(−x )2019f (−x )=x 2019f (x )=g (x )，所以g (x )为偶函数，又x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019f (x 1)−x 22019f (x 2)x 1−x 2>0，即可得函数g (x )在(0,+∞)为增函数，由奇偶性与单调性的关系可得：函数g (x )在(−∞,0)为增函数，又g (1)=12019×f (1)=1，g (−1)=(−1)2019×f (−1)=−1×[−f (1)]=1 由f(x)≤1x 2019，当x >0时，x 2019f(x)≤1=g (1)，所以0<x ≤1；当x <0时，x 2019f(x)≥1=g (−1)，所以x ≤−1.综上可得：x∈(−∞,−1]∪(0,1].故选C.12.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）13.【答案】[3,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14.【答案】[18,13) 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据分段函数的单调性可得{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a ，解不等式组即可求解．【解答】由题意知，{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a解得{a <13a ≥8a >0，所以a ∈[18,13)故答案为：[18,13)15.【答案】 2,(0, +∞) 【考点】偶函数函数单调性的判断与证明【解析】f(x)＝x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，进而求解．【解答】解：f(x)=x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，则b =2，于是f(x)=x 2，单调增区间为(0, +∞)．故答案为：2；(0, +∞). 16.【答案】 a <−1 【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.17.【答案】②【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断. 【解答】解：①函数{x}的定义域是R，但是0≤x−[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①错误；，②∵{x}=x−[x]=12∴x=[x]+1，2∴x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；③∵函数{x}的定义域是R，而{−x}=−x−[−x]≠−{x}，{−x}=−x−[−x]≠{x}，∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；④函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．综上所述，②正确.故答案为：②．18.【答案】(−∞, 0]【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx2−(k−1)x+2=kx2+(k−1)x+2，所以2(k−1)x=0，所以k=1．则f(x)=x2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．19.【答案】加加加(−∞,−1]【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质函数的图象【解析】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为(x+m)|x+m|+m|x|<0对任意x≥1恒成立，当m≥0时，不等式转化为(x+m)2+mx2<0对任意x≥1恒成立，显然无解；当me(−1,0)时，不等式转化为(x+n)2+mx2<0，即(m+1)x2−2mx+m2<0，显然当x→+y时不成立；当m=−1时，(x+m)|x+m|+mx||x|<0⇔(x−1)2−x2<0，即1−2x<0对任意x≥1恒成立，经检验，恒成立；当m<−1时，(x+m)||+m||+mx||x|<0⇔(x+m)|(−m)|+mx2对任意x≥1恒成立尚需进一步讨论，当1<x<−m时，不等式等价于−(x−m)2+nx2<0即(m−1)x2−2mx−m2<0Δ=4m2+4m2(m−1)=4m3<0，令y=(m−1)x2−2mx−m2，函数开口向下，则(m−1)x2−2mx−m2<0恒成立；当x>−m时，(x+m)|x+m|+m|x|<0⇔(xxm)2mx0，即(m+1)2−2mx+m2< 0此时对应的对称轴为x=−mm+1<1，又−mn+1<−m，则y=(m+1)x2−2mx+m2在区间[−m,+∞]为减区间，即y=(m−1)x2−2mx+m2≤y(−n)=m3<0恒成立；综上所述，当m∈(−∞,−1]时，对任意x≥1，有f(x+m)+nf(x)<0恒成立故答案为：(−∞,−1]三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1x22+2x1−2x2x12−2x2(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论，f(x)在区间[−1，1]上单调递增，则f(x)的最大值f(1)=1，最小值f(−1)=−1.【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．【解答】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x2x 22+1=2x 1x 22+2x 1−2x 2x 12−2x 2(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论， f (x )在区间[−1，1]上单调递增，则f (x )的最大值f(1)=1，最小值f (−1)=−1. 21. 【答案】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】无无【解答】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 22.【答案】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0). 【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断−2<x 1<x 2<2时f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证明.(3)根据(2)中的结论得到关于a 的不等式组，求解即可. 【解答】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0).23. 【答案】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意． ∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数． (3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f(0)＝0进行求解即可．（2）根据函数单调的性质进行判断即可．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意．∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数．(3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 24.【答案】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】【解答】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t ∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．。

函数的单调性知识点及例题解析

函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1）定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.（2）利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；x y =，2-=x y ，212-+=x y . （4）依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；②()0≠=k xk y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反； ⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ）在区间[0，4]上的最值．解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g （t ）在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x =22)22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =222121+++-x x x x ，因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，得f （x 1）＜f （x 2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间； ②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-11+x ；该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}，且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f （x ）+2f （x1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x6-3x ，所以 f(x)＝x2-x （x ≠0）（2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-22x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，所以 (x 2-x 1)• 21212x x xx +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+212-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，∴（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f （x ）=x+21-x 在（2，3]上是减函数【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x 解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。

(6)函数的单调性的证明以及典型题型

函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。

3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。

8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。

（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。

2、求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。

3、讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。

二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。

2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。

三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。

(完整版)高一上学期《函数单调性的证明》练习题

高一上学期《函数单调性的证明》练习题1．函数y=f(x)对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1,当x＞0时，f（x）＞1，且f(3）=4，则( ）A．f（x)在R上是减函数，且f（1)=3 B．f（x）在R上是增函数,且f（1）=3C．f(x）在R上是减函数，且f(1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=22．已知函数y=f(x)在(0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0(x＞0)．试判断F（x)=在（0,+∞）上的单调性并给出证明过程．3．已知函数y=f（x)在(0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f(x）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．4．已知函数f（x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f（y）=f(x+y)，且当x＞0时，f（x）＜0,f(1）=﹣．（1）求f（0）；（2）求证:f（x）在R上是减函数;(3）求f（x）在[﹣3,3]上的最大值和最小值．5．函数f（x）对任意a,b∈R，有f(a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f(x)＞1．（Ⅰ)求证：f（x)是R 上的增函数;（Ⅱ)若f（﹣4）=5,解不等式f（3m2﹣m﹣3)＜2．6．函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a)+f(b）﹣1，并且当x＞0时,f(x)＞1．（1）求证:f(x）是R上的增函数；（2）若f(4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．7．函数f(x）对任意的a、b∈R，都有f（a+b)=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f(x）＞1．（1）求证:f（x）是R上的增函数；(2）若f（2）=3，解不等式f（m﹣2）＜3．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y)=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞﹣1；（Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；（Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式;f（x2+2x)+f（1﹣x）＞4．9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x)+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f(0）的值;（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数;（3)解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．10．定义在R上的函数 y=f(x）对任意的x，y∈R，满足条件：f(x+y）=f（x）+f（y）﹣2，且当x＞0时，f（x）＞2（1)求f(0）的值；（2）证明：函数f(x）是R上的单调增函数;（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f(x）•f(y）=f(x+y）．（1）求f(0)的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；(2）设当x＜0时，都有f（x)＞f(0）,证明：f(x）在(﹣∞，+∞）上是减函数．高一《函数单调性的证明》练习题参考答案与试题解析1．函数y=f （x ）对于任意x 、y ∈R ，有f(x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1，当x ＞0时，f （x ）＞1，且f （3）=4，则（）A ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1）=3B ．f(x ）在R 上是增函数，且f （1）=3C ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1)=2D ．f （x ）在R 上是增函数，且f （1)=2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性,再由f （3）=f （1）+f （2）﹣1=f(1)+f （1）+f(1）﹣1﹣1=4，解出f （1）．【解答】解：设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2)=f （x 1﹣x 2+x 2）﹣f(x 2）=f(x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣1﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1＞1﹣1=0,即f （x 1)＞f(x 2）， ∴f （x ）为增函数．又∵f （3）=f(1）+f （2）﹣1=f(1)+f （1）+f(1）﹣1﹣1=3f （1）﹣2=4, ∴f （1)=2．故选：D ．2．已知函数y=f （x ）在（0，+∞)上为增函数，且f （x ）＜0（x ＞0)．试判断F(x ）=在（0，+∞）上的单调性并给出证明过程．【分析】首先，设x 1，x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2,然后根据函数f （x ）的单调性进行证明即可．【解答】解：函数F(x ）=为（0,+∞）上减函数，证明如下：任设x 1,x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， ∵y=f （x ）在（0，+∞)上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），f（x1)＜0,f（x2）＜0,F（x1）﹣F(x2）=﹣=,∵f（x1）＜f(x2），∴f(x2）﹣f（x1)＞0，∵f（x1)＜0，f（x2）＜0，∴f(x1）•f（x2)＞0，∴F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2),则F(x)为（0，+∞）上的减函数．3．已知函数y=f(x）在(0，+∞）上为减函数，且f（x)＜0（x＞0）,试判断f（x）=在（0,+∞）上的单调性，并给出证明过程．【分析】首先，设x1,x2∈（0，+∞）,且x1＜x2，然后，比较大小，从而得到结论．【解答】解：函数为（0，+∞）上增函数,证明如下：任设x1，x2∈（0,+∞)且x1＜x2，∵y=f（x)在（0，+∞)上为减函数，∴f（x1）＞f(x2)，f（x1）＜0,f（x2）＜0，=，∵f（x1）＞f(x2)，∴f（x2）﹣f(x1)＜0，∵f(x1）＜0，f(x2）＜0，∴f(x 1）•f （x 2）＞0， ∴g （x 1）﹣g(x 2）＜0， ∴为（0,+∞）上的增函数．4．已知函数f （x)对任意x,y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f(x+y ）,且当x ＞0时,f(x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求f （0）;（2)求证：f （x ）在R 上是减函数；(3）求f(x)在[﹣3,3］上的最大值和最小值．【分析】（1）令x=y=0⇒f(0）=0;（2)令y=﹣x 即可证得f （﹣x ）=﹣f （x ），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f(x)是R 上的减函数；（3)利用f （x ）在R 上是减函数可知f(x ）在[﹣3，3］上也是减函数，易求f （3）=﹣2，从而可求得f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：(1)令x=y=0,则f （0）=0; （2）令y=﹣x ，则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1,x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1)=f(x 2)+f(﹣x 1)=f （x 2﹣x 1） ∵x 2＞x 1， ∴x 2﹣x 1＞0,又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1)＜0,即f(x 2）﹣f （x 1）＜0，由定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．(3）∵f （x ）在R 上是减函数， ∴f （x ）在［﹣3,3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f(1)=f(1）+f （1）+f （1）=3×（﹣)=﹣2，由f （﹣x ）=﹣f （x)可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在［﹣3,3]上最大值为2，最小值为﹣2．5．函数f （x ）对任意a ，b ∈R,有f(a+b ）=f(a ）+f(b)﹣1,且当x ＞0时，f(x)＞1．（Ⅰ）求证：f(x ）是R 上的增函数；(Ⅱ）若f （﹣4）=5，解不等式f （3m 2﹣m ﹣3)＜2．【分析】（Ⅰ）设实数x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0,利用已知可得f(x 2﹣x 1)＞1．再利用已知可得f(x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f （x 1）即可;（Ⅱ)令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f （﹣2)=3，f （﹣1）=2，不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3)＜f （﹣1），由（1）可得:f （x ）在R 上是增函数．可得3m 2﹣m ﹣3＜﹣1,解得即可．【解答】解：(Ⅰ）证明：设x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0， ∵当x ＞0时，f （x ）＞1，∴f(x 2﹣x 1）＞1．又函数f （x)对任意a,b ∈R 都有f （a+b ）=f(a ）+f(b ）﹣1，∴f （x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1)+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f(x 1)， ∴f(x 2）＞f(x 1），∴f （x ）在R 上是增函数；（Ⅱ)令a=b=﹣2，则f （﹣2﹣2）=f （﹣2)+f （﹣2）﹣1=5,解得f （﹣2）=3，再令a=b=﹣1，则f （﹣1﹣1)=f （﹣1）+f （﹣1）﹣1=3，解得f(﹣1）=2．不等式f （3m 2﹣m ﹣3)＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3)＜f （﹣1）．由（1）可得：f（x)在R上是增函数．∴3m2﹣m﹣3＜﹣1,解得﹣＜m＜1．∴不等式f（3m2﹣m﹣3)＜2的解集为（﹣，1）．6．函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a)+f（b）﹣1,并且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求证:f（x）是R上的增函数；(2）若f（4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．【分析】(1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1)＞1，再对f（x2)按照f(a+b）=f(a）+f（b)﹣1变形得到结论．（2）由f(4）=f（2）+f(2）﹣1求得f（2）=3,再将f（3m2﹣m﹣2）＜3转化为f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：(1）证明：任取x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1)＞1．∴f（x2）=f［x1+(x2﹣x1）］=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f(x1），∴f（x)是R上的增函数．（2）∵f（4）=f（2）+f(2）﹣1=5，∴f（2）=3．∴f(3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）．又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数,∴3m2﹣m﹣2＜2,3m2﹣m﹣4＜0,∴﹣1＜m ＜．7．函数f （x ）对任意的a 、b ∈R ，都有f （a+b)=f （a ）+f(b ）﹣1，并且当x ＞0时,f （x ）＞1．（1）求证：f （x ）是R 上的增函数；（2）若f(2）=3,解不等式f （m ﹣2）＜3．【分析】（1)先任取x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0．由当x ＞0时，f （x ）＞1．得到f （x 2﹣x 1）＞1，再对f （x 2）按照f （a+b)=f （a ）+f （b)﹣1变形得到结论．（2)由f （2）=3，再将f （m ﹣2）＜3转化为f （m ﹣2)＜f （2），由(1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1）证明:任取x 1＜x 2, ∴x 2﹣x 1＞0．∴f(x 2﹣x 1）＞1．∴f （x 2）=f ［x 1+（x 2﹣x 1)］=f （x 1）+f(x 2﹣x 1）﹣1＞f(x 1）， ∴f(x)是R 上的增函数．（2）∵f （2)=3． ∴f （m ﹣2）＜3=f(2）．又由（1）的结论知，f （x ）是R 上的增函数， m ﹣2＜2，m ＜4∴解不等式f （m ﹣2）＜3的解集为：（﹣∞，4)．8．已知定义在R 上的函数f(x ）满足：①f(x+y ）=f(x ）+f （y)+1，②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1；（Ⅰ）求:f （0)的值，并证明f （x ）在R 上是单调增函数；（Ⅱ)若f （1）=1，解关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）＞4．【分析】（Ⅰ）根据已知条件中，：①f （x+y ）=f(x ）+f （y ）+1,②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1;令x=y=0，即可求出f （0）的值，在R 上任取x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，根据f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]，结合已知条件，即可判断函数的单调性;(Ⅱ)若f （1）=1，则我们易将关于x 的不等式；f(x 2+2x)+f （1﹣x ）＞4化为f （x 2+x+1）＞f （3），结合（I ）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式,进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ)令x=y=0 ∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+1， ∴f （0）=f （0）+f （0）+1 ∴f （0)=﹣1,在R 上任取x 1＞x 2,则x 1﹣x 2＞0， ∵当x ＞0时，f （x)＞﹣1， ∴f （x 1﹣x 2）＞﹣1则f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2］， =f （x 1﹣x 2)+f （x 2）+1＞f （x 2)， ∴f （x ）在R 上是单调增函数．(Ⅱ）由f(1)=1得：f （2）=3，f(3）=5,则关于x 的不等式；f(x 2+2x ）+f(1﹣x)＞4可化为关于x 的不等式;f(x 2+2x ）+f （1﹣x ）+1＞5, 即关于x 的不等式；f （x 2+x+1）＞f （3), 由(Ⅰ）的结论知f （x ）在R 上是单调增函数，故x 2+x+1＞3,解得：x ＜﹣2或x ＞1,故原不等式的解集为：（﹣∞,﹣2)∪（1，+∞）．9．定义在R 上的函数y=f （x)对任意的x 、y ∈R ，满足条件：f （x+y ）=f （x ）+f （y)﹣1，且当x ＞0时，f （x ）＞1．（1）求f （0）的值;（2）证明:函数f （x ）是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式f （2t 2﹣t)＜1．【分析】（1）用赋值法分析：在f （x+y ）=f （x ）+f(y ）﹣1中，令x=y=0可得:f （0）=f （0）+f （0）﹣1，解可得f （0）的值，即可得答案；(2）用定义法证明：设x 1＞x 2,则x 1=x 2+（x 1﹣x 2）,且（x 1﹣x 2）＞0，结合题意可得f （x 1）=f ［（x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f （x 1﹣x 2）﹣1，作差可得f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1，分析可得f （x 1）﹣f （x 2）＞0,由增函数的定义即可得证明;（3）根据题意,结合函数的奇偶性与f （0）=1可得2t 2﹣t ＜0，解可得t 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，在f （x+y ）=f （x ）+f(y ）﹣1中，令x=y=0可得:f （0)=f （0）+f （0)﹣1，解可得：f （0)=1，（2）证明：设x 1＞x 2，则x 1=x 2+（x 1﹣x 2）,且x 1﹣x 2＞0，则有f （x 1）=f ［(x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f(x 1﹣x 2)﹣1，即f （x 1）﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1，又由x 1﹣x 2＞0，则有f （x 1﹣x 2）＞1，故有f(x 1）﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2)﹣1＞0，即函数f(x)为增函数；（3）根据题意，f （2t 2﹣t ）＜1, 又由f （0）=1且函数f （x ）为增函数，则有2t 2﹣t ＜0, 解可得0＜t ＜．10．定义在R 上的函数 y=f(x) 对任意的x ，y ∈R ，满足条件:f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2，且当x ＞0时,f （x ）＞2 (1)求f （0）的值；（2）证明：函数f(x ）是R 上的单调增函数; (3)解不等式f （2t 2﹣t ﹣3）﹣2＜0．【分析】（1）由题意 y=f （x ）对任意的x ，y ∈R,关系式成立，采用赋值法,可得f(0）的值; （2）利用定义证明其单调性．（3）利用单调性及f （0）的值，求解不等式即可．【解答】解:由题意：函数 y=f(x ）定义在R 上对任意的x ，y ∈R 满足条件:f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2， ∴令x=y0，由f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2, 可得：f （0)=f （0）+f （0）﹣2，解得：f （0）=2．故f(0）的值为：2．（2)证明：设x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ，则x 2﹣x 1＞0，由(1）可得f （x 2﹣x 1）＞2．因为对任意实数任意的x,y ∈R ，都有f （x+y)=f （x ）+f （y ）﹣2，所以f （x 2)=f （x 2﹣x 1+x 1）=f(x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2＞f （x 1）所以函数f（x）是R上的单调增函数．（3）解：由（1）（2)可知函数f（x)是R上的单调增函数．且f（0）=2；不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0，变形得f（2t2﹣t﹣3）＜2，转化为f（2t2﹣t﹣3）＜f(0)．故得：2t2﹣t﹣3＜0解得：，所以原不等式的解集是（﹣1，）．11．已知f（x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y)=f （x+y)．（1）求f(0)的值,并证明对任意的x∈R,有f（x）＞0；（2)设当x＜0时，都有f(x)＞f(0），证明：f（x)在（﹣∞，+∞）上是减函数．【分析】（1）令x=y=0,代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f(0），再有x=+,即可证得对任意的x∈R,有f(x)＞0；(2)设x1,x2∈R且x1＜x2,利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．【解答】解:（1)可得f（0）•f(0）=f（0）∵f(0）≠0∴f（0）=1又对于任意又，∴f（x）＞0(2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2)=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2)=f（x2）［f（x1﹣x2）﹣1］∵x1﹣x2＜0∴f（x1﹣x2）＞f（0）=1∴f(x1﹣x2）﹣1＞0对f（x2)＞0∴f（x2)f［（x1﹣x2）﹣1]＞0∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数。

高一数学函数的单调性练习题

高一数学函数的单调性练习题题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。

1.定义法【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例2】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例3】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】讨论函数2()1x f x x =-(11)x -<<的单调性．【例6】求函数f (x)=x+1x的单调区间。

典例分析【例7】求证:函数()(0)a f x x a x=+>在)+∞上是增函数.【例8】（2001春季北京、安徽，12）设函数f （x ）＝bx a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。

【例9】（2001天津，19）设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数。

（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数。

【例10】已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

【例11】已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例12】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．2.图象法【例13】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例14】求函数122y x x =++-的单调减区间【例15】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例16】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例17】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例18】画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++3.求复合函数的单调区间【例19】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例20】已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，上是减函数，求()21f x -单调增区间。

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性专项突破一利用导数判断或证明函数单调性一、多选题1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【解析】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意，故选：AB 二、解答题2．已知函数()()21e xf x x x a -=++-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-，在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减.(2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3(1)ef a =-，要使()f x 至少有两个零点，则1030ea a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.3．设函数()323f x x ax b =-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，求a ，b 的值； (2)讨论函数()y f x =的单调性.【解析】(1)由题意知，2()36f x x ax '=-，又(2)8(2)0f f '==，即322232832620a b a ⎧-⨯+=⎨⨯-⨯=⎩，解得112a b ==，； (2)已知2()36f x x ax '=-，令()0f x '=，知1202x x a ==，当0a =时，2()30f x x '=≥，此时函数()f x 在R 单调递增当0a >时，令()00f x x '>⇒<或2x a >，令()002f x x a '<⇒<<，所以函数()f x 在(0)(2)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(02)a ，上单调递减，当0a <时，令()02f x x a '>⇒<或0x >，令()020f x a x '<⇒<<，所以函数()f x 在(2)(0)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(20)a ，上单调递减. 4．已知函数()1()x f x e axlnx a R =--∈，2()x g x xe x =-．当1a =时，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【解析】证明：当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，(0,)x ∈+∞，则()1x f x e lnx '=--，又1()x f x e x ''=-在(0,)+∞上单调递增，且1()202f ''<，且f ''（1）10e =->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得0001()0xf x e x ''=-=，当0(0,)x x ∈时，()0f x ''<，当0(x x ∈,)+∞时，()0f x ''>，()f x ∴'在0(0,)x 上单调递减，在0(x ,)+∞上单调递增，000()()1x f x f x e lnx ∴'≥'=--，0010x e x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，001()10f x x x ∴'=+->，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.5．已知函数()()()()211422ln f x x x a a x =-+-+-，讨论()f x 的单调性；【解析】因为2()(1)(14)(22)ln f x x x a a x =-+-+-，所以[][]2'2(1)(1)22()24(0)x a x a a f x x a x x x---+-=-+=>，当1a ≤-时，110a a -<+≤，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增．当11a -<≤时，10a -≤，10a +>，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若(0,1)x a ∈-，则'()0f x >，()f x 单调递增．当1a >时，110a a +>->，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若 (0,1)x a ∈-或(1,)x a ∈++∞，则'()0f x >，()f x 单调递增．综上可得，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a -<≤时()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(0,1)a -，(1,)a ++∞上单调递增． 6．已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)()()()11a x a a f x x a x x x a ++'=+=++，0x >且x a >-， ①0a ≥，()0f x '>，()f x 单调递增；②1a ≤-，()0f x '<，()f x 单调递减； ③10a -<<，01aa a ->->+， ,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,1a x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(,)a -+∞单调递减；当10a -<<时，()f x 在,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递减，在,1a a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增 (2)()()2ln ln lnxf x a x a x a x a=++≤+，即()2ln ln 0a x a a x a +-+≤，令()()2ln ln h x a x a a x a =+-+，则()232a a x a a h x a x a x a -+-'=-=++，令()0h x '=，可得21a x a-=，当1a ≥时，()0h x '≤，则()h x 在()0,∞+单调递减，则只需满足()0ln ln 0h a a a =+≤，∴ln 0≤a ，解得01a <≤，∴1a =；当01a <<时，可得()h x 在210,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在21,a a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭单调递减，则()()22max11ln 1ln 0a h x h a a a a a a ⎛⎫-==--+≤ ⎪⎝⎭，整理可得2ln 0a a a --≤，令()2ln a a a a ϕ=--，则()()()121121a a a a a aϕ-+-'=--=， ()1002a a ϕ'>⇒<<，()1012a a ϕ'<⇒>>，则可得()a ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则()max 13ln 2024a ϕϕ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，故01a <<时，()0h x ≤恒成立，综上，01a <≤；7．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(1)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'，所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.专项突破二利用导数求函数单调区间(不含参)一、单选题1．函数()1e 2xf x x =-的单调减区间是（）A ．(2),ln -∞B ．(ln2,)+∞C ．(–),2∞D ．(2,)+∞【解析】1()1e 2xf x '=-,由()0f x '<，得ln 2x >，所以()f x 的单调递减区间为(ln2,)+∞.故选：B2．函数()()2ln 2f x x x =-的单调递减区间为（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题得函数的定义域为(0,)+∞.()121222x f x x x-'=-⨯=，令1()0,02f x x '<∴<<.所以函数的单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()2ln 1f x x f x '=+，则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由()()2ln 1f x x f x '=+得1()2(1)f x f x x''=+，所以(1)12(1)f f ''=+，(1)1f '=-， 2112()2x f x x x x -'=-=，因为0x >，所以由212()0x f x x -'=>得0x <<C ． 4．已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)【解析】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为(-∞,0).故选：A二、多选题 5．函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（） A ．（e ，+∞）B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e ）D ．（1e，1）【解析】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-，所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意.故选：AD三、填空题6．函数()2ln f x x x x =+-的单调递增区间是______．【解析】()2ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+，()()()2222211221x x x x f x x x x x -+--='=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-，因为定义域为()0,∞+，所以单调递增区间为()2,+∞.7．函数()2cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的增区间为___________.【解析】由已知得()12sin f x x =-'，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，即12sin 0x ->，解得π06x <<，令()0f x '<，即12sin 0x -<，解得ππ62x <<，则()f x 的单调递增区间为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为:π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题8．已知函数2()ln 3f x x x x=++． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【解析】(1),()0x ∈+∞，22221232(32)(1)()3x x x x f x x x x x +--+=-+=='，解()0f x '<得20,3x <<解()0f x '>得2,3x >所以()f x 的单调减区间是20,,()3f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调增区间是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(2)由（1）知(1)2f '=，而(1)5f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为52(1)y x -=-，即23y x =+．专项突破三利用导数求函数单调区间(含参)1．设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增．若0a >，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 2．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ 0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x > ∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增； ③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a > ∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增； (2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可，∴12a ≤-.综上，12a ≤-.3．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率；（2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+，当0f x 时，11m x m -<<+，()f x 单调递增；当0fx时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.4．已知函数()()22x xf x ae a e x =+--，讨论()f x 的单调性．【解析】()f x 的定义域为R ，()()()22211(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，若0a ≤，则()0f x '<恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上为减函数；若0a >，则当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数，综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a >时，()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数． 5．已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【解析】(1)()()21a f x x a x ax a x x'=--=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12,x x 0x >，所以10x =<（舍去），2x =则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数．(2)由（1）可知()()2min f x f x =．①若()20f x =，则()()220,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，代入解得12a =． ②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，结合①可得21>x ，因为211ex <<，21111ln e 2ee ef a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，所以()y f x =在21,ex ⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点．当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意综上所述：12a =．6．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【解析】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增．综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 7．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.【解析】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =--(0)x >，所以2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减，所以当1x =时，该函数有极小值(1)0f =，无极大值. (2)由2()(2)ln (0)f x x a x a x x =+-->，22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-'⇒=+--==，当0a ≥时，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当0a <时，1()02af x x '=⇒=-，或21x =，当2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数在0x >时，单调递增，当2a <-时，12a ->，当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x <<-时，()0,()f x f x '<单调递减，当2a x >-时，()0,()f x f x '>单调递增，当20a -<<时，12a -<，当02a x <<-时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，综上所述：当0a ≥时， ()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a <-时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)2a -单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当20a -<<时，()f x 在(0,)2a -单调递增，在(,1)2a -单调递减，在(1,)+∞上单调递增 8．已知函数()2()ln(1)2f x x a x x =++++(其中常数0a >)，讨论()f x 的单调性；【解析】21231()(21)11ax ax a f x a x x x +++=++=++，记2()231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故'()0f x ≥，所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．②当0∆>，即当8a >时，()0g x =有两个实根1x ，2x 注意到(0)10g a =+>， (1)610g a =+>且对称轴3(1,0)4x =-∈-，故12(),1,0x x ∈-，所以当11x x -<<或2x x >时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当2i x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当08a <≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当8a >时，()f x 在(-和)+∞上单调递增，在上单调递减．专项突破四利用函数单调性比较大小一、单选题1．已知ln 33a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【解析】令()ln x f x x =,则()21ln x f x x -'=, 当0e x <<时,()()0,f x f x '>单调递增,当e x >时,()()0,f x f x '<单调递减,因为e<35<,所以()()()e 35f f f >>,所以b a c >>故选:C2．设11011,ln2,10a b c e ===，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 【解析】根据题意，111,ln2110a b =>=<，则a b >，构造函数()1(0)x f x e x x =-->，所以()10x f e x ='->恒成立，所以()1xf x e x =--在()0,∞+上单调递增，所以()110111001010f e f ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即1101110e >，所以c a >，故c a b >>.故选：A3．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<；则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．4．已知函数()sin f x x x =，ln 22a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 3b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln )c f π=，则a ，b ，c 大小（） A ．a c b <，()f x 单调递增，又由ln 21,sin ln 1223e ππ==>=，且3ln 2π<=，所以ln 20sin ln 232πππ<<<<，所以a b c <<.故选：B. 5．已知()232ln 3ln 31,,e 3ea b c -===，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >> 【解析】由题可知22e ln ln 3ln e 3,,e 33a b c e ===，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在()0,e 单调递增，()e,∞+单调递减，所以()()max e f x f =，即c 最大；对于a 、b ，构造函数()()2e ,(e)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()222222e e ln ln 2ln e e e e x x x x x f x x-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令()()22ln e x x h x -=，得()21ln e x h x -'=，在(,)e +∞上，()()22221ln 1ln 111ln 0e e x x g x x x x--⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭'，()g x 单调递增；所以()()3e 0g g >=，从而()2e 303f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，(3)b f =，2()3e a f =，即b a >，综上，c b a >>.故选：A 6．若2e 2e x x y y ---<-，则（）A ．()ln 10y x -+C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【解析】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x x f x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y ---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误. 故选：B7．已知21ln 2ln3,,e 49a b c ===，则（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】设2ln ()x f x x =，则()()()e ,2,3a f b f c f ===，又312ln ()-'=x f x x ，于是当)x ∞∈+时，()0f x '<，故2ln ()x f x x =2e 3=<<，则有()()()3e 2f f f <<，即c a b <<.故选：B. 8．已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，6a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（）A ．a b c <⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭，解析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 9．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>. 故()ln x f x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> ，2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > ，故c a b <<，故选: B10．若01a b <<<，则（）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e x f x x'=-，当01x <<时，1()e x f x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>> 故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x-'，当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确，故选：D 11．设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【解析】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+，令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f => ∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A二、多选题12．下列命题为真命题的个数是（）A．ln3< B．ln π<C．15< D．3eln2<【解析】设函数()0f x x =>，则()f x '==当20e x <≤时，()0f x '>，当2e x >时，()0f x '<，故()0f x x =>在2(0,e ) 上递增，在2(e ,)+∞ 上递减，对于A ，由234e << ，故(3)(4)f f <,<，即2ln 2,ln 322<<，A 正确；对于B ，2e<π <e ，故(e)(π)f f <<ln πB 错误；对于C ，21615e >> ，故(16)(15)f f <4ln 24<<故ln 22ln15<<，则ln 15<<，故C 正确；对于D ，28e > ，故2(8)(e )f f <22e<，即3eln2<D 正确，故选：ACD专项突破五函数与导函数图像关系一、单选题1．函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦，故选：C ． 2．如图是函数y =f （x ）的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．在区间()2,1-上f （x ）单调递增B ．在区间（1，3）上f （x ）单调递减C ．在区间()4,5上f （x ）单调递增D ．在区间（3，5）上f （x ）单调递增【解析】由导数图象知，在区间32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上小于0，在3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，函数f （x ）先减后增，A 错误；在区间()1,2上大于0，在()2,3上小于0，函数f （x ）先增后减，B 错误；在区间()4,5上大于0，函数f （x ）单调递增，C 正确；在区间()3,4上小于0，在()4,5上大于0，函数f （x ）先减后增，D 错误.故选：C.3．函数f （x ）的图象如图所示，则()0x f x '⋅<的解集为（）A ．()()320,1--,B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()()2,10,--⋃+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1x x ∞∈--∈-时，()0f x '<，当()()3,2,1,x x ∞∈--∈+时，()0f x '>，故当()()(),3,2,0,1,,x x x ∞∈--∈-∈+∞时，()0x f x '⋅>；当()0,1x ∈时，()0x f x '⋅<；当()3,2x ∈--时，()0x f x '⋅<，故()0x f x '⋅<的解集为()()320,1--,.故选：A4．若函数()y f x =的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A 选项. 故选：A5．已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（） A ．B ．C ． D ．【解析】1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故选B ． 6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()224224f f f f ''<-，(4)0f '>，(4)(2)0f f ->，由此可知，()'f x 在(0,)+∞上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以()'f x 单调递增，结合导数的几何意义，故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，所以()()()()224224f f f f ''<-<，故选：A ．。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法2.已知函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．【答案】(－2，)【解析】∵函数f(x)＝x3＋3x是奇函数，且在定义域f(x)＝x3＋3x上单调递增，∴由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，令g(m)＝xm＋(x－2)，由题意知g(2)<0，g(－2)<0，令g(m)＝xm＋(x－2)，g(2)<0，g(－2)<0，∴，解得－2<x<.3. [2014·大庆质检]下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1)【答案】A【解析】由题意知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，故选A.4. [2013·吉林调研]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．可能为0B．恒大于0 C．恒小于0D．可正可负【答案】C【解析】由x1x2＜0不妨设x1＜0，x2＞0.∵x1＋x2＜0，∴x1＜－x2＜0.由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x 1)＋f(x 2)＜0.故选C.5. （3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【答案】D【解析】根据零点分段法，我们易将函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．解：∵f （x ）=|lg （2﹣x ）|， ∴f （x ）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6. 定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝D ．y ＝【答案】C【解析】利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数，又y ＝，在(－2,0)上为增函数，故选C. 7. 设，则（）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1【答案】A【解析】因为y=3x 在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A8. 若对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜﹣1 B ．|a|≤1 C ．|a|＜1 D ．a≥1【答案】B【解析】当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选B．9.函数y=x2+b x+c（x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0B．b≤0C．b＞0D．b＜0【答案】A【解析】∵函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上为单调函数∴x=﹣≤0，即b≥0．故选A10.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即.所以函数在上递增.所以即成立.故选A.【考点】1.函数的导数.2.函数的单调性.3.函数的构造的思想.11.已知函数在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：当，且时，.【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）利用已知条件得到两个条件：一是切线的斜率等于函数在处的导数值，二是切点在切线上也在函数的图象上，通过切点在切线上求出的值，然后再通过和的值列有关、的二元一次方程组，求出、的值；（2）解法1是利用参数分离法将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立，并构造函数，从而转化为，并利用导数求出函数的最小值，从而求出的取值范围；解法2是构造新函数，将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立问题，等价于利用导数研究函数的单调性，对的取值进行分类讨论，通过在不同取值条件下确定函数的单调性求出，围绕列不等式求解，从而求出的取值范围；（3）在（2）的条件下得到，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到，然后分别令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.试题解析：（1），.直线的斜率为，且过点，，即解得，；（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.令，则.令，则.当时，，函数在上单调递增，故.从而，当时，，即函数在上单调递增，故.因此，当时，恒成立，则.所求的取值范围是；解法2：由（1）得.当时，恒成立，即恒成立.令，则.方程（*）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾；（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意；（ⅲ）当，即时，方程（*）的两根为，，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为.而，由（ⅱ）知，当时，，得，从而.故当时，，符合题意.综上所述，的取值范围是.（3）由（2）得，当时，，可化为，又，从而，.把、、、、分别代入上面不等式，并相加得，.【考点】1.导数的几何意义；2.不等式恒成立；3.参数分离法；4.分类讨论；5.数列不等式的证明12.函数的单调递增区间是．【答案】【解析】当时，，增区间为，当时，，增区间为．填．【考点】分段函数的单调区间．13.已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2. 当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上可得g(a)＝(3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，则h(x2)－h(x1)＝＝(x2－x1)＝(x2－x1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2a－1.当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．当a>0时，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.所以实数a的取值范围为14.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.15.已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x＞0，都有f(f(x)－lnx)＝1＋e，则f(1)＝________．【答案】e【解析】f(x)－lnx必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1＋e，与单调函数矛盾．所以可设f(x)－lnx＝c，则f(x)＝lnx＋c.将c代入，得f(c)＝1＋e，即lnc＋c＝1＋e.∵y＝lnx＋x是单调增函数，当c＝e时，lnc＋c＝1＋e成立，∴f(x)＝lnx＋e.则f(1)＝e16.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．【答案】【解析】f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2<x< .17.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f(x)是周期函数；(2)函数f(x)的图象关于点对称；(3)函数f(x)为R上的偶函数；(4)函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)【答案】(1)(2)(3)【解析】由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点对称，(2)为真命题；又y＝f为奇函数，所以f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．18.能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．Ａ中，，所以的图象不过原点，故不为“和谐函数”； B中，，且，所以为奇函数，所以为“和谐函数”； C中，，且，为奇函数，故为“和谐函数”；Ｄ中，，且为奇函数，故为“和谐函数”；故选Ａ．【考点】奇偶性与单调性的综合．19.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．20.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．21.已知函数，设，若，则的取值范围是 ___ .【答案】[，2)【解析】函数的图像如图所示.因为，若要使成立，有图像可得.且.由于b的变化是递增的，的变化也是递增的所以.即填[，2).本小题主要考查分段函数的问题.【考点】1.分段函数的知识.2.函数的单调性.22.已知是上的奇函数,对都有成立,若,则等于A．B．C．D．【答案】C.【解析】令x=-2，则f(-2+4)=f(-2)+f(2),又因为f(x)在R上是奇函数.，所以f(-2)+f(2)=0，即f(2)=0.所以得到f(x+4)=f(x).所以函数是以4为周期的周期函数.所以f(2014)=f(2)=0.本题的关键是把奇函数与所给的式子结合起来得到周期为四的结果.注这个条件多余.【考点】1.奇函数.2.周期函数.3.递推的思想.23.已知函数⑴判断函数的单调性，并证明；⑵求函数的最大值和最小值．【答案】（1）增函数,证明见解析；（2），【解析】（1）利用函数单调的定义证明，可得函数在[3，5]上为单调增函数；（2）根据函数的单调递增，可得函数的最值为，.试题解析：⑴设且,所以 4分即，在[3，5]上为增函数. 6分⑵在[3，5]上为增函数，则， 10分【考点】1.函数单调的判断；2.利用函数单调性求最值24.函数有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】若在定义域内有最小值，则满足，且恒成立，所以，故选B．【考点】1．复合函数的单调性与最值．25.关于函数，给出下列四个命题：①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点.其中正确的命题序号为______________.【答案】①②③【解析】①，时，，显然只有一个实数根；②时，显然，，所以是奇函数；③设是函数的图象上的一点，点关于点，对称点，因为，所以点也在函数的图象上，故的图象关于点，对称；④，取，可得有三个零点.【考点】函数的基本性质.26.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数在区间上单调递减，所以上，，即，故选A.【考点】导数、函数的单调性与最值27.给出下列四个命题：①函数有最小值是；②函数的图象关于点对称；③若“且”为假命题，则、为假命题；④已知定义在上的可导函数满足：对，都有成立，若当时，，则当时，.其中正确命题的序号是 .【答案】①②④.【解析】对于命题①，，，当且仅当，即当时，上式取等号，即函数有最小值，故命题①正确；对于命题②，由于，故函数的图象关于点对称，故命题②正确；对于命题③，若“且”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数是奇函数，当时，，即函数在区间上单调递增，由奇函数的性质知，函数在上也是单调递增的，即当时，仍有，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④.【考点】1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性28.已知函数是上的单调递增函数，若是其图像上的两点，则不等式的解集是．【答案】．【解析】由已知得．【考点】函数的单调性质．29.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有两个不同的根，则这两根之和为（）A．±8B．±4C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有两个不同的根，所以这两个根必为－6、2或－2、6，所以这两个根之和为－4或4.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.30.已知函数,下列结论中错误的是（）A．R,B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点,则在区间上单调递减D．若是的极值点,则【答案】C【解析】由于，，由于是函数的极小值点，且函数的图象开口向上，故函数存在极大值点，即存在使得，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在不是单调递减的.【考点】函数的单调性与极值、函数的对称性31.已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）.【解析】（1）先对求导，由于的正负与参数有关，故要对分类讨论来研究单调性; （2）先由在其定义域内为增函数转化为在不等式中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数的取值范围;（3）先通过导数研究在的最值，然后根据命题“若，，总有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，从而列出不等式组求出参数的取值范围.试题解析：解：（1）的定义域为，且， 1分①当时，，在上单调递增； 2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. 4分（2），的定义域为5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 8分（3）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上， 10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有 12分所以实数的取值范围是 14分【考点】1、利用导数研究单调性和最值，2、参数的取值范围问题，3、基本不等式.32.对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，试比较g（a）与g（1）的大小；求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，，xn，均有g（ln（x1＋x2＋＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋＋g（lnxn）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①,②先征得，取不同的值得到的式子累加即可得证.【解析】（Ⅰ）先求得，再由＞得，解得；（Ⅱ）①构造函数，证明为上的增函数，再讨论就可得到，②先证得，即得，整理得，同理可得类似的的等式，累加即可得证.试题解析：（Ⅰ）由，可得，因为函数是函数，所以，即，因为，所以，即的取值范围为. （3分）（Ⅱ）①构造函数，则，可得为上的增函数，当时，，即，得；当时，，即，得；当时，，即，得. （6分）②因为，所以，由①可知，所以，整理得，同理可得，，.把上面个不等式同向累加可得[. （12分）【考点】1.恒成立问题；2.导数在求函数单调性、最值的应用；3.不等式.33.已知函数的定义域是，是的导函数，且在内恒成立．求函数的单调区间；若，求的取值范围；(3) 设是的零点，，求证：.【答案】(1);(2) ;(3)详见解析.【解析】（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助；（2）首先对求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为在内恒成立，进而采用构造函数的技巧，，通过求导研究其最大值，从而得到的取值范围；（3）借助第一问结论，得到，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.试题解析：（1），∵在内恒成立∴在内恒成立，∴的单调区间为 4分（2），∵在内恒成立∴在内恒成立，即在内恒成立，设，，，，，故函数在内单调递增，在内单调递减，∴，∴ 8分（3）∵是的零点，∴由（1），在内单调递增，∴当时，，即，∴时，∵，∴，且即∴，∴ 14分【考点】1.函数的单调性；（2）导数的应用；（3）不等式的证明.34.已知函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用g（x）是减函数⇒导数小于0⇒f（x）的导数是减函数⇒f（x）是凸函数即可得到答案。

函数单调性的判断与证明例题讲解

点评事实上,函数 y x3 与函数 y x 在 R 上均为增函数,根据函数单调性的运算性质,函
数 f x x3 x 在 R 上也是增函数.
函数 y x3 的图象如下图所示.
y fx = x3
2
1
–2 –1 O –1 –2
1
2x
例 2.利用函数单调性的定义,证明函数 f x x 在区间 0, 上是增函数. 证明:任取 x1, x2 0, ,且 x1 x2 ,则有 f x1 f x2 x1 x2
当 x1, x2 0, a 时, x1x2 a 0 ,此时 f x1 f x2 0, f x1 f x2 . ∴函数 f x在 0, a 上为减函数;
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当 x1, x2 a , 时, x1x2 a 0 ,此时 f x1 f x2 0 , f x1 f x2 . ∴函数 f x 在 a, 上为增函数. 同理可证:函数 f x 在 a,0 为减函数,在 , a 上为增函数. 综上所述,函数 f x在 0, a 和 a,0 上为减函数,在 a, 和 , a 上为

x2 ,
f
x1
x1
f x2
x2

0;
任取 x1, x2 a,b,且 x1 x2 , x1 x2 f x1 f x2 0 ;

任取 x1 , x2
a,b,且 x1

x2 ,
f
x1
x1
x2
f x2

0.
三单调函数的运算性质
增函数
增函数

专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明

特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。

2.奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)4. 已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析1.已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求上的最值．【答案】解：(I)令得若则，故在上是增函数，在上是增函数若则，故在上是减函数。

3分(II)。

6分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）求解导数，利用导数的正负来判定函数的单调增减区间（2）在第一问的基础上可知在上是增函数，在上是增函数因此在上先减后增，则可知函数的最值。

2.设函数，且为的极值点．(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．【答案】解：，又所以且，。

2分（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为．。

4分（II）①若，则在上递减，在上递增恰有两解，则，即，所以；②若，则，因为，则，从而只有一解；③若，则,, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．。

10分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为为的极大值点，则可以得到参数b,c的关系式，并利用导数求解的单调区间，（2）因为的递增区间为，；递减区间为，那么对于参数c进行讨论，进而分析函数图像与x轴的位置关系。

3.（Ⅰ）设函数，证明：当时，；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。

证明：。

注：可用（Ⅰ）的结论。

【答案】解：（Ⅰ）。

1分当时，，所以为增函数，又，因此当时，。

3分（Ⅱ）。

5分又，，…，所以。

6分由（Ⅰ）知，当时，，因此。

7分在此式中令，则即。

8分所以。

9分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

利用导数的符号判定单调性得到最值证明不等式恒成立。

同时利用函数的最值结论来分析证明不等式的综合运用。

4.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。

【答案】【解析】解：因为，利用导数符号与函数单调性关系可知道f(x)的最大值，最小值分别为5.设函数，其中。

高中数学第三章函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时函数的单调性的定义与证明精品

第1课时函数的单调性的定义与证明必备知识基础练进阶训练第一层知识点一函数单调性的判断与证明1.函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意不等实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，则函数f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 3．用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数；(2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数．知识点二求函数的单调区间4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则该函数的减区间为( ) A ．(－3,1)∪(1,4) B ．(－5，－3)∪(－1,1) C ．(－3，－1)，(1,4) D ．(－5，－3)，(－1,1)5．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．(－∞，＋∞)6．函数y ＝1x －1的单调递减区间是________. 知识点三函数单调性的应用7.若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)9．若函数f (x )＝4x 2＋mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值X 围为________.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋42．下列说法中，正确的有( ) ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．04．当y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈(－∞，1)是单调函数时，b 的取值X 围是( ) A ．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－2) 5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1] 6．(易错题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________，单调递增区间是________．8．已知函数f (x )＝|x ＋a |在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值X 围是________． 9．若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值X 围是________．三、解答题10．(探究题)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－3，－1)C ．(0,1)D ．(1,3)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)3．(学科素养—数学抽象)函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3.3．1.2 函数的单调性第1课时函数的单调性的定义与证明必备知识基础练1．解析：∵(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－f x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－f x 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明函数f (x )在(a ，b )上为减函数．答案：B2．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量的值必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.答案：D3．证明：(1)设x 1，x 2是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34，则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数．(2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－3，＋∞)，得x 1>－3，x 2>－3，即x 1＋3>0，x 2＋3>0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． 4．解析：在某个区间上，若函数y ＝f (x )的图像从左到右是上升的，则该区间为增区间，若从左到右是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．答案：C5．解析：y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x ≤－12时单调递减．答案：C 6.解析：解法一 y ＝1x －1的图像可由y ＝1x的图像向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．解法二函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．7．解析：∵f (x )在(－∞，＋∞)为减函数，且a 2＋1>a 2，∴f (a 2＋1)<f (a 2)．选D. 答案：D8．解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C9．解析：由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x ＝－m8，若函数f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－m8≤－2，即m ≥16.答案：[16，＋∞)关键能力综合练1．解析：B 项在R 上为减函数；C 项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D 项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A 项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.答案：A2．解析：①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.答案：B3．解析：当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为增函数，所以2a ＋1－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为减函数，所以a ＋1－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2，故a ＝±2.答案：C4．解析：由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.答案：B5．解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值X 围为(0,1]．答案：D6．解析：要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1×1＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13.答案：C7．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．单调递增区间为(1，＋∞)答案：(－∞，1) (1，＋∞)8．解析：当x ∈R 时，f (x )＝|x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，∴f (x )的递减区间为(－∞，－a ]．由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a ]， ∴－a ≥1，即a ≤－1. 答案：a ≤－19．解析：因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞10．解析：(1)由x 2－1≠0，得x ≠±1，所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1－1x 22－1＝x 2－x 1x 1＋x 2x 21－1x 22－1.因为x 2>x 1>1，所以x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．学科素养升级练1．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3.又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图像的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图像与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选BC. 答案：BC2．解析：画出f (x )的图像(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.答案：A3．解析：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)＞1.∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．故f (x )在R 上是增函数． (2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴原不等式可化为f (3m －2)<f (2)．∵f (x )在R 上是增函数，∴3m －2<2，解得m ＜43.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43.。

函数单调性常考题型含详解

函数单调性常考题型题型一：初等函数中含参数的单调性问题典例1、如果函数在R 上是增函数，那么a 的取值范围______. 解：根据一次函数的性质，得到，即可求解实数a 的取值范围. 详解：由题意，函数在R 上是增函数，根据一次函数的性质，可得，解得即实数a【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及一次函数的性质，其中解答中根据一次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 变式题：1、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.2、函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．3、若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．4、若函数f （x [m，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是_____．题型二、函数单调性与不等式典例2、若函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(1)的实数x 的取值范围为________.【解析】先根据单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：因为函数f(x)为R 上的减函数，所以由f(1)或故答案为：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式、解分式不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.21()y a x b =-+210a ->21()y a x b =-+210a ->()223f x x ax =-++(),4-∞a 2()34f x x mx =-+[5,)-+∞(,5]-∞-(1)f -=2()(24)1f x ax a x =--+(1,5)0x <(,0)[1,)-∞⋃+∞变式题：已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是______________．题型三、复合函数的单调性典例3__________. 【解析】首先求出函数的定义域，令，分别求出的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间. 详解：因为，得，得或，解得函数的定义域为. 令，在单调递增. 因为函数在单调递增，在单调递增. 故答案为：【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.变式题：1、若函数的单调递增区间是，则=________. 2在是增函数，则实数的取值范围是______.3、函数f （x ）=x|x|-4x 的单调递增区间是______．题型四、函数单调性概念拓展应用典例4、已知满足对任意都有成立，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意，函数在定义域R 上是增函数，故可得到，解出即可．【详解】 ()y f x =()2,2-112f m f m m ()f x 256t x x =-+256t x x =-+()f x 2560x x -+≥(2)(3)0x x --≥2x ≤3x ≥()f x (,2][3,)-∞⋃+∞256t x x =-+[0,)+∞256t x x =-+[3,)+∞[3,)+∞[3,)+∞()2f x x a =+a [)2,+∞a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩12x x ≠a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩02021a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞。

专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明

专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。

证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。

2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。

解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。

f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。

单调性的证明习题不含答案

单调性的证明1．已知函数op=−1．利用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．2．设函数op=r2K1．利用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数．3．已知函数f（x）=B K2（a≠0）．判断函数f（x）在区间（﹣2，2）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．4．已知函数f（x）＝2x−12．判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．5．用定义法证明函数op=(2，+∞)上是增函数．6．对于函数op=−22+1(∈p．探索函数f（x）的单调性．7．用单调性定义证明：函数op=1(K1)2在（﹣∞，1）上为增函数．8．已知函数op=l22+2−．判断函数f（x）的单调性并加以证明．9．已知函数op=2+2r12，试判断x∈[1，+∞）它的单调性；并证明．10．已知函数op=31+2．判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．11．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立．用定义证明f（x）的单调性．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；（2）若f（9）＝7，解不等式：f（x2+2x）＞413．已知函数f（x）=B1−r1．（1）判断函数y＝f（x）的单调性并用定义法加以证明；（2）求不等式f（f（x））+f（lg3）＞0的解集．14．已知函数=op=3−23+2，x∈R．（1）判断函数y＝f（x）的单调性，并给予证明；（2）求函数y＝f（x）的值域．15．已知函数op=l12+12−172．用单调性的定义证明：f（x）在定义域上是减函数；16．f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（）＝f（x）﹣f （y），当x＞1时，有f（x）＞0．判断f（x）的单调性并证明．17．f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）＝f（xy）．求证：op−op=o)；18．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（x）＞0，对于任意正实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），当x＞1时，f（x）＜1，且o2)=19．（1）求证：opo1)=1(＞0)；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上为减函数．。

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用函数单调性定义证明
例1、用函数单调性定义证明:
(1)为常数)在上是增函数.
(2)在上是减函数.
分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.
证明: (1)设是上的任意两个实数，且，
则
=
由得，由得， .
，，即 .
于是即 .
在上是增函数.
(2) 设是上的任意两个实数，且，
则
由得，由得
.又， .
于是即 .
在上是减函数.
小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.
根据单调性确定参数
例1、函数在上是减函数，求的取值集合.
分析：首先需要对前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.
解：当时，函数此时为，是常数函数，在上不具备增减性.
当时，为一次函数，若在上是减函数，则有
，解得
.故所求的取值集合为.
小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.。