罚函数法
合集下载
第二节 罚函数法
0 Step1: 给定初始点 x ∈ int S ，初始罚因子 r1 ，缩小系数
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
罚函数
增广目标函数
增广目标函数由两个部分构成， 增广目标函数由两个部分构成，一部 分是原问题的目标函数， 分是原问题的目标函数，另一部分是 由约束函数构造出的“惩罚” 由约束函数构造出的“惩罚”项， 惩罚”项的作用是对“违规” “惩罚”项的作用是对“违规”的点 进行“惩罚”。 进行“惩罚”
罚函数的分类
内点法
如果从可行域内部的一点X 出发， 如果从可行域内部的一点X（0）出发， 按无约束极小化方向进行迭代（ 按无约束极小化方向进行迭代（在进 行以为搜索时要适当控制步长， 行以为搜索时要适当控制步长，以免 迭代点跑到R 之外）， ），则随着障碍因 迭代点跑到R0之外），则随着障碍因 的逐步减小， 子rk的逐步减小，即： r1>r2>…>rk>…>0 障碍项所起的作用也越来越小， 障碍项所起的作用也越来越小，因 而：
罚函数法主要有两种形式： 罚函数法主要有两种形式：外点法和内 点法。 点法。 外点法的迭代点一般在可行域的外部移 随着迭代次数的增加， 惩罚” 动，随着迭代次数的增加，“惩罚” 的力度也越来越大， 的力度也越来越大，从而迫使迭代点 向可行域靠近； 向可行域靠近；
罚函数的分类
内点法从满足约束条件的可行域的内点 开始迭代， 开始迭代，并对企图穿越可行域边界 的点予以“惩罚” 的点予以“惩罚”，当迭代点越接近 边界， 惩罚”就越大， 边界，“惩罚”就越大，从而保证迭 代点的可行性。 代点的可行性。
外点法
X=(-1/8,M=3: X=(-1/8,-29/192)T M=4: X=(-1/10,-23/200)T X=(-1/10,可知X(M)从R的外面逐步逼近R的边界， 可知X(M)从 的外面逐步逼近R的边界， X(M) 当 时 ∞X(M)趋于原问题 M → ，X(M)趋于原问题 的极小值解X 的极小值解Xmin=(0,0)T
两层多目标规划的罚函数法
两层多目标规划的罚函数法
罚函数法是一种实现多目标规划的技术，未必能够让所有的目标的期望都达到所需的最优解，但可以在改善其中一个现实的某个目标的前提下使另一个现实的目标不会受到过多的损害而达到较为满意的解。
多层多目标规划的罚函数法可以看作是“层次式多目标规划”。
由于优化问题可以分解成各类子问题，将多层多目标规划模型称为层次模型，也可以分解为多个子问题，给出较优解需要解决的每层子问题。
多层多目标规划的罚函数法是一种求解多层多目标规划的算法，它使用一种“层次式结构”将多层次的多目标优化问题分解成若干子问题，每层子问题之间的关系可用引入的罚函数的方式统一表达。
其求解步骤为：首先根据多层多目标规划的需求，从多层角度将优化问题分为若干层次，将每层次设置原问题和对应目标函数，然后定义目标函数上的罚函数，使得罚函数与原问题对应，最后设置多目标函数，求解多目标优化问题。
因此，多层多目标规划的罚函数法可以将多层多目标优化问题分解为若干层次的子问题，并使用罚函数来控制多层问题之间的关系，以得到期望的解。
但是，考虑到多层多目标规划的复杂性，罚函数法还存在一些局
限性，比如对子问题之间的关系没有足够的控制，因此在实际应用中要注意使用适当的参数来控制罚函数，以获得更好的计算结果。
罚函数法
外罚函数法算法
Step1: 给出 x0 ∈ Rn (可是不可行点)， > 0(ε =10−4 ) ε 罚因子 σ1(σ1 =1) , 放大系数 C(C =10) , k =1. Step2: 以 xk−1 为初始点求无约束问题： ~ m P( x,σk ) = f ( x) +σk P( x) 得 xk = x(σk ). in ~ Step3: 若 σk P(xk ) < ε , 则 x* = xk ,停； 否则转step4 Step4: 令 σk+1 = Cσk , k = k +1, 转step2.
Q f (xk ) ≤ P(xk ,σk ) ≤ f x
设其极限为 f . ∴ { f (xk )} 亦为单调有界序列， ~ ∴ lim σk P(xk ) = lim [P(xk ,σk ) − f (xk )] = p0 − f 0 k→+∞ k→+∞ ~ Q σk →+∞ ∴ lim P(xk ) = 0 k→+∞ ~ ~ ~ 且 P(x) 连续； P(~) = 0 即 ~ 为可行解 x ∴ x Q x →x
0
( )
*
Q x 为最优解；∴ f x* ≤ f (~) x ~, f (x) 连续； f (~) = lim f (x ) ≤ f (x* ) ∴ x Q xk → x k k→+∞ * ~) 即 ~ 为(3)的整体最优解． ∴ f x = f (x x
k *
( )
( )
外罚函数法评价
(1) 如果有了求解无约束问题的好算法，利用 外罚函数法求解约束问题很方便． (2) 每个近似解 x(σk ) 往往不是可行解，这是某 些实际问题所无法接受的． 内罚函数法可以解决． (3) 由收敛性定理 σk 取越大越好， σk 越大将 而 造成增广目标函数 P( x,σ ) 的Hesse阵条件数越 大，趋于病态，给无约束问题求解增加很大困 难，甚至无法求解．乘子法可解决这个问题．
罚函数法
x ∂ 2φ ' ∂ (∂y x ) 2
就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与Hesse的正 矩阵，这时大于零（或小于零） 就是 矩阵 的正 或负定）是一致的， 定（或负定）是一致的，二者都可作为判定泛函数极值的 充分条件。 充分条件。
式中： 式中：x(t)---m维状态函数向量； w(t)---r维决策函数向量； f---微分形式状态方程； t---时间变量； t0---初始时刻； tf---终止时刻。
目标函数随状态变量和决策变量的不同而 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。在 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。 数学上，这种函数称为泛函， 数学上，这种函数称为泛函，求泛值的问题称 为变分问题。 为变分问题。 因此， 因此，连续系统的最优化问题就是一个变 分问题。 分问题。由于求泛函的极小问题也是一种极值 问题。 问题。 对于无约束问题， 对于无约束问题，根据极值存在的充分必 要条件求极值；对于有约束的最优化问题， 要条件求极值；对于有约束的最优化问题，则 先利用拉格朗日函数或罚函数， 先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化成无 约束最优化问题后再求解。 约束最优化问题后再求解。
动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，因 为优化问题的解是t的连续函数。 动态参数优化问题的一般模型：
min J = min{
∫
tf
t0
F [ x ( t ), w ( t ), t ] dt + s [ x ( t f ), t f ]}
dx ( t ) s .t . = f [ x ( t ), w ( t ), t ] dt g [ x ( t ), w ( t ), t ] ≥ 0 c [ x ( t ), w ( t ), t ] = 0 初始条件： x (t 0 ) = x 0
就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与Hesse的正 矩阵，这时大于零（或小于零） 就是 矩阵 的正 或负定）是一致的， 定（或负定）是一致的，二者都可作为判定泛函数极值的 充分条件。 充分条件。
式中： 式中：x(t)---m维状态函数向量； w(t)---r维决策函数向量； f---微分形式状态方程； t---时间变量； t0---初始时刻； tf---终止时刻。
目标函数随状态变量和决策变量的不同而 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。在 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。 数学上，这种函数称为泛函， 数学上，这种函数称为泛函，求泛值的问题称 为变分问题。 为变分问题。 因此， 因此，连续系统的最优化问题就是一个变 分问题。 分问题。由于求泛函的极小问题也是一种极值 问题。 问题。 对于无约束问题， 对于无约束问题，根据极值存在的充分必 要条件求极值；对于有约束的最优化问题， 要条件求极值；对于有约束的最优化问题，则 先利用拉格朗日函数或罚函数， 先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化成无 约束最优化问题后再求解。 约束最优化问题后再求解。
动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，因 为优化问题的解是t的连续函数。 动态参数优化问题的一般模型：
min J = min{
∫
tf
t0
F [ x ( t ), w ( t ), t ] dt + s [ x ( t f ), t f ]}
dx ( t ) s .t . = f [ x ( t ), w ( t ), t ] dt g [ x ( t ), w ( t ), t ] ≥ 0 c [ x ( t ), w ( t ), t ] = 0 初始条件： x (t 0 ) = x 0
惩罚函数法
解出x1,x2
5M 4 M 5 x1 x2 2.5 2M 1 2
此时x1,x2则满足约束条件，是原问题的解。
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法 例：内点法求解约束问题 min f (u ) au(a 0) s.t.g (u ) b u 0(b 0)
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
s.t. h (xi)=x1+ x2-5=0
该问题只有等式约束 解：首先建立罚函数：
F ( x, M ) f ( x) Mp( x)
P( x)
(max( 0, g
i 1
l
i
( x )))
2
( h j ( x ))
j 1
m
2
( x1 x 2 5) 2
F ( x, M ) ( x1 4) 2 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2
此时的x1,x2不满足约束条件，不是原问题的解。
当x 不属于 S 时
F§2惩罚函数法 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2 ( x, M ) ( x1 4) 2
F 2( x1 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x1 F 2( x 2 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x 2
*
rk a 2 (b u )
rk a
F (u , rk ) f (u ) rk a (b rk 0
1 1 au rk g (u ) bu
罚函数法
α α
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
直接-间接法----罚函数法
(x*, r(k) ) 3, 1.632, 1.20, 1.0630, 1
上图表示出 r(k ) 取值不同时所得到的约束最优点 x*(r(k) ) 逐步逼
近原问题最优点 x* 的情形。
例:用内点法求问题 min f x x12 x22 约束最优解。 s.t.g x 1 x1 0
解:用内点法求该问题，首先构造内点惩罚函数：
g
j
X
0(
j
1,
2,
m)
转化后的惩罚函数形式为
x,r
f
m
x r j 1
1
gj x
m
或 X , r f X r ln g j X j 1
m 1
m
g j1 j X 或
ln g j X
j 1
——障碍项。
r 是惩罚因子，它是由大到小，且趋近于0的数列，即
r0 r1 r 2 r k r k1 0
g(x)
1 x
可以看出 (x, r(k) ) 由两部分组成，即 1 2 ，其中：
1 f (x) x
2
r(k) 1 1 x
r(k)
1 x 1
(x, r(k) ) f (x) r(k) 1 x r(k) 1
g(x)
1 x
即： 1 2
是原目标函数，为一直线；
是一族倒数曲线，当 x 1 时, 2 。
由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项
的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式
可知，当迭Байду номын сангаас点靠近某一约束边界时，其值趋近0，而
障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域
的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出
第四章 非线性规划2-SUMT方法(罚函数法)
第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。
它是一种不等式约束最优化问题的间接解法它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。
当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。
所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。
引例一：min ()f X ax = s.t ()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=--0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。
其最优解为：*()kX r b =+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k k X r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是kr 的函数。
当kr 取不同值时，它们有不同的值，而当0kr →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。
minlim[min (,)]() {|()0}kki r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)kX r Φ与约束优化问题min() {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。
最优化方法之罚函数法讲解
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。
最优化理论与方法9.4 罚函数法
小 点 ； 否 则 取 rk1 rk ， 置 k k 1， 转 第 （ 3） 步．
收敛准则可采用以下几种形式之一：
rk
l j 1
1 g j (x(k))
;
x(k) x(k1) ;
l
rk ln(g j (x(k) )) ; j 1
f (x(k) ) f (x(k1) ) .
9.4.2.3 初始内点的求法
类似于外点法中构造罚函数，在内点法中，我们构造障碍函数
l 1
p(x, rk ) f (x) rk j1 g j (x)
（9-29）
或
l
p(x, rk ) f (x) rk ln(g j (x)) j 1
（9-30）
其
中
，
rk
是
很
小
的
正数
．
通
常
称
rk
为
障
碍
因子
，
称
rk
l j 1
1 g j (x)
束不 等 式 都满 足（即 g j (x) 0( j 1, 2, ,l) ），故罚 项 等于 0，不 受惩 罚 ；
当 xH 时，至少有一个约束不等式不成立，故罚项大于 0，对极小化罚 函数的问题，就要受惩罚．
对于只含有等式约束的非线性极值问题：
min f (x)
可以定义罚函数为
s.t. hi (x) 0 (i 1, 2, , m)
l
(g j (x)) 0
j 1
当 xH 时
l
0 (g j (x)) j 1
为了 使 辅 助函 数 能更 快 地 满足 要 求，将 引 入一 个 充 分大 的 正数 M(M>0)，
修改 (x) 为 ：
罚函数法求解问题
罚函数法求解问题
罚函数法是一种最优化方法，用于解决约束优化问题。
该方法将约束条件融入目标函数，通过引入惩罚项对违反约束条件的解进行惩罚，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。
具体而言，罚函数法将原始的约束优化问题转化为带有惩罚项的目标函数：
$$\min_x f(x) + P(h(x))$$
其中，$f(x)$是原始的目标函数，$h(x)$是约束函数，
$P(h(x))$是惩罚项。
罚函数法的关键是选择合适的惩罚函数，常用的有线性惩罚函数和二次惩罚函数等。
罚函数法的求解思路是先将原始目标函数与惩罚项结合起来，得到一个无约束优化问题。
然后使用最优化算法，如梯度下降法或牛顿法等，对该无约束问题进行求解。
在求解过程中，惩罚项的作用是使违反约束条件的解在优化过程中被惩罚，进而逼近满足约束条件的解。
需要注意的是，罚函数法的求解结果可能只是一个近似解，而不是真正的最优解。
因此，在使用罚函数法求解问题时，需要根据具体情况判断结果的可靠性。
综上所述，罚函数法是一种用于求解约束优化问题的方法，通过引入惩罚项将约束条件融入目标函数，转化为无约束优化问题。
第4章罚函数法
十分接近。 可以期望，当 充分大时，无约束问题 min F ( x, ) 的最优解 x( ) 与原问题的解 x
事实上，当 时，若问题有解（即 F ）则必有 g 0 ； 另一方面，由于 F f 2
g g
i
i
0 ，结合 时的结果 g 0 ，故有 F f ＝0；
关于 P 的取法：①与原条件函数相关；②为正函数（σP 为正） ；③上述性质；
48
操华胜：最优化方法
min f ( x) ， s.t. gi ( x) 0
F ( x, ) f ( x ) g T g
△分析（判断） ：①当 x 为可行点（即 x 满足 gi ( x) 0 ）时，则有
即
Fx 2 x 2 ( x 1) 0 x
2
1 x
, ) 1 min f ( x) 。即本题的解 x 1 并且 min f ( x) 1 。 此时， F ( x, ) F ( x
（注：若问题中的约束条件变为 hi ( x) 0 ，则在罚函数中，满足此条件时罚项为 0，不满足时增加罚项）
§4.1 §4.2 §4.3
罚函数法 障碍函数法 广义乘子法
第四章
约束最优化的加权方法
§4.1 罚函数法
◆从拉格朗日乘子法谈起
乘子法是研究带约束的极值问题的有效方法之一。从高等数学中拉格朗日乘子法开始，对它的研究一直 不断。在拉格朗日乘子法的基础上又给出了罚函数法、障碍函数法、广义拉格朗日乘子法（也简称为广义乘 子法）对带约束的极值问题的求解方法。这些方法统称为广义乘子法。 ▲拉格朗日乘子法的基本原理 对等式约束问题
h( g ) min C
罚函数方法
罚函数方法
罚函数方法（penalty function method）是一种常用的优化算法，也叫做罚法（penalty method）。
它是用以求解某些给定的最优
化问题（比如最小化问题）的技术，它的基本思想是将最优化问题转换成一个特殊的模型，其中包括目标函数及其可能的约束条件，然后对这种模型加入一个罚函数，表征约束的满足情况，再把这个罚函数与原有目标函数合并，以得到一个改变的模型，然后求解改变后的模型，它的解是不等式约束的解。
罚函数方法一般是用在可表达为最优化问题的问题上，其中涉及到多个不变式。
另外，它还可以用在一定条件下求解非线性规划问题，它可以用来约束问题或说替代约束，这些约束函数可能不是凸函数的一般形式，但只要其中的每一个约束函数都可以写成至少一个凸函数，就可以使用罚函数法求解这样的规划问题。
罚函数方法的主要步骤是：（1）确定优化问题的模型和求解所需的数据。
（2）根据模型确定一个有效地罚函数，使其满足所有约束条件。
（3）将原有的目标函数和罚函数组成一个新的函数，然后求解
此函数的极值。
（4）最后，检验所得的解是否满足原有的约束条件。
如果满足，则此解可以作为最优解；否则，必须重新采取行动，比如重新定义罚函数等。
数值最优化方法-罚函数方法
由上面的引理， P ( xk , k ) 单调上升，并且根据上面的 P( xk , k ) p0 。 式子 P ( x , ) 有上界，所以，
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2
2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2
2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故
罚函数法(SUMT法)
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
( X , M ) f ( X ) M [min(0, gi ( X ))]2
设min( X , M )的最优解为 X (M ) XRn
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
20 若 X (M ) D, 当M很大时， X *(M)也会相当靠近
设min( X , M )的最优解为 X (M ) XRn
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
20 若 X (M ) D, 当M很大时， X *(M)也会相当靠近
(NP) 可行域D的边界，是(NP)的最优解X *的近似解
证明： X ( M ) D, 至少存在 i0 使 gi0 (X(M)) 0
D
g2(X ) 0
g1( X ) 0
X (k)(Mk )
X
x1
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
( NP) min f (X )
s.t
.
gi hj
( (
X X
) )
0, 0,
i j
1, 2,L 1, 2,L
m
构造罚函数： ( X , M ) f ( X ) M [min( 0, gi ( X ))]2
罚函数的特点：
罚因子 i1 惩罚项
f (X ),
XD
(X , M) f (X) + 很大的正数, X D
( NP) 求解 min( X , M ) 设其最优解为 X*(M)， XRn
研究 X*(M) 与(NP)的最优解 X* 之间的关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
No γk+1 = β γk
闸函数法： （续）
求初始内点： 1 x (1) , k 1, 转2 ； 2 令I k {i | g i ( x ( k ) ) 0}
(k ) 若 I , 则 x 为初始内点。 k 转 3 ； (k ) (k ) 否则，取j使g j ( x ) max{ g i ( x ) | i I k }
2 x
0
0
g ( x , ) 2 最优值(原问题)
3.闸函数法： （续）
定义 ( ) inf{ f ( x) B( x) | x S 0 } 有类似于罚函数法的理论结果： 定理： ( fg ), f , g连续，S 0 Φ , 最优解x S 0 则 1 min{ f ( x) | x S} inf{ ( ) | 0} lim ( )
(t ), (t )的典型取法： (t ) [max {0, t}] p (t ) | t | p
p为正整数。
当p 2时，称2次罚函数.(常用：因2次是最低次的光滑函数)
1.罚函数概念 （续）
Ex. min x s.t. x 2 0
2
( x 2) 2 , x 2 二次罚函数 : ( x) [max{ 0, x 2}] 0, x 2 如图 当 时, min 解析解 : 辅助函数 x ( x 2) 2 x 2 (4 1) x 4 , g ( x, ) f ( x) ( x) x ,x 2 4 1 当x 2时, g ( x, )的驻点x 2 2 故x 2 opt. 当x 2时, g ( x, )的最小值点~ x 2 x2 f ( x) ( x) f ( x ) x 2
3.闸函数法： （续）
1 典型取法： (t ) t 或： (t ) | ln( t ) | 0 x S0 惩罚项：B ( x ) x S 0 S 0 由于当x S 0时B ( x ) 0且B ( x ) x 故需要随着 x S 0 , 0 辅助问题 min f ( x ) B ( x )
f : Rn R h : Rn Rl
D R n 是一个集合，常由简单约束构成。
用Lagrange函数代替f ( x) :
5.广义乘子法： （续）
乘子罚函数：
( x, v, ) f ( x) vi hi ( x) i hi2 ( x)
i 1 i 1
l
l
x
2 f ( x ), ( )
关于 0的单调非降函数；
( x )
关于 0的单调非增函数
2.罚函数法： （续） 定理： ( fgh), S {x | g ( x ) 0, h( x ) 0} Φ ,
在引理假设下，设存在单调增加的正数列{ k }
即0 1 2 k .有{x k } k x
罚函数法框图 算法：
初始x(1), σ1>0, β>1, ε >0,k=1
k=k+1 以x(k)为初始点，解 min f(x)+ σ k P(x) 得到，x(k+1)
No
σk+1 = β σk
yes σk P(x(k+1))< ε 停；x(k+1)—l.opt.
3.闸（障碍）函数法： （内罚函数法） min f ( x) f : R n R ( fg ) n m s.t. g ( x) 0 g : R R 记S {x | g ( x) 0}, S 0 {x | g ( x) 0}
那么， 1 inf{ f ( x ) | x S } sup{ ( ) | 0} lim ( )
2 x ~ opt.且 ( ) 0
( x )
推论：在定理条件下，若 0使 ( x ) 0, 则x opt.
调整v ( k ) 及 ( k )。
广义乘子法： （续）
可以证明： 存在 ，当 时 min ( x, v , ) s.t. x D 的最优解，即原问题的解。 一般问题： min f ( x) min f ( x) s.t. g ( x) z 0 ( fghD)s.t. g ( x) 0 引入松弛变量 h( x ) 0 h( x ) 0 x x D { | x D, z 0} x D z 存在v
基本思想： 从S 0中的一个点（内点）出发，在目标函数中加入惩罚项， 使迭代保持在S 0内。 构造闸函数( Barrier Function) : B ( x) ( g i ( x))
i 1 m
使
0, x S 0 B( x) , x S 0 (边界)
为方便应有B ( x)连续。
构造罚函数：
( x) ( g i ( x)) (h j ( x))
i 1 j 1
m
l
目的：使满足约束的x有 ( x) 0 不满足约束的x有 ( x) 0
1.罚函数概念 （续）
0 , 当t 0时 其中： (t ) 0 当t 0时 0 , 当t 0时 (t ) 0 当t 0时 取 0, 可构造 0 可行 ( x) 惩罚项 不可行 f ( x) ( x) 辅助函数 min f ( x) ( x) 辅助问题
3.闸函数法： （续）
min x Ex. min s.t. x 2 0 1 闸函数B ( x ) ,x 2 x2 min g ( x, ) x x 2 解 s.t. x2 目： min g j ( x ) s.t. g i ( x ) 0, i I k 以x ( k ) 为初始内点，得到解x ( k 1) 转4 ；
( k 1) 若 g ( x ) 0, 停，说明S 0 . j 4 否则 置 k k 1 , 转 2 。
图示
外罚函数法 2.外罚函数法： （fgh）
定义：（） inf { f ( x) ( x)}
x
下确界
引理：设f , g , h连续， ( x)为罚函数，连续。 再设 0，x D, 使：（） f ( x ) ( x ) 则 1 inf { f ( x) | x S} sup{（） | 0}
0
2 若 0, x S 0 , 使 ( ) f ( x ) B( x )
那么， {x }的极限点是( fg )的opt.且 lim B( x ) 0
0
闸函数法 算法：
x(1) ∈ S0, γ1>0, β∈ [0,1], ε >0,k=1 k=k+1 min f(x)+ γk B(x) s.t. x∈ S0 从x(k）出发， 求得，x(k+1) yes γk B(x(k+1))< ε 停；x(k+1)—解
4.罚函数法与闸函数法的缺点： 1°当罚函数法（闸函数法）的μ →∞ （ μ → 0+）时，惩罚项 →+ ∞• 0或0• + ∞形式，在计算上有困难； 2°计算一系列无约束问题，故计算量大。 5.乘子法：
( fhD) x D
min f ( x) s.t. h( x) 0
其中：v R l 为乘子， R l 为罚因子。
(k ) (k ) min ( x , v , ) 求解 s.t. x D
得到x ( k 1) , k 0,1,2,
若h( x ( k 1) ) 0 否则
得到解x ( k 1) 及乘子v ( k ) ;
约束最优化方法
罚函数法
序列无约束最优化方法SUMT ( Sequential Unconstrained Minimizati on Technique ) 1.罚函数概念：
n min f ( x) f : R R n m ( fgh) s.t. g ( x) 0 g : R R n l h( x ) 0 h : R R