极坐标系速度推导

合集下载

极坐标与直角坐标的互化推导公式

极坐标与直角坐标的互化推导公式在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们可以互相转换并描述同一点的位置。

下面将通过推导公式，介绍极坐标与直角坐标之间的转换关系。

极坐标与直角坐标的基本概念首先，我们先来了解一下极坐标和直角坐标的基本概念。

•极坐标：极坐标使用极径和极角来表示平面上的点的位置。

其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的角度。

•直角坐标：直角坐标使用横坐标和纵坐标来表示平面上的点的位置。

其中，横坐标表示点在 x 轴上的投影，纵坐标表示点在 y 轴上的投影。

极坐标转直角坐标接下来，我们将推导出将极坐标转换为直角坐标的公式。

设点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，在直角坐标系中的坐标为 (x, y)。

利用三角函数的关系可得：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这两个公式将极坐标系中的点的坐标转换为直角坐标系中的坐标。

直角坐标转极坐标同样地，我们也可以推导出将直角坐标转换为极坐标的公式。

设点 P 在直角坐标系中的坐标为 (x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

利用三角函数的反函数可得：$$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$$这两个公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标。

推导过程下面，我们将推导出上述的转换公式。

极坐标转直角坐标首先，考虑直角三角形 OPX，如下图所示：|| O|-----------|-----r | x||P根据三角函数的定义，我们可以得到：$$\\cos(\\theta) = \\frac{x}{r}$$$$\\sin(\\theta) = \\frac{y}{r}$$将上面两个等式进行整理，可以得到：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这就是将极坐标转换为直角坐标的公式。

极坐标公式

极坐标公式什么是极坐标公式？极坐标公式是一种用于描述平面上点的坐标系统。

与直角坐标系不同，极坐标系使用一个极径和一个极角来表示一个点的位置。

极径表示点与原点的距离，而极角表示点与参考方向的夹角。

极坐标公式可以使用以下形式来表示一个点的坐标：(r, θ)其中，r表示极径，单位可以是长度单位，例如米或英尺；θ表示极角，单位可以是角度（°）或弧度（rad）。

极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标之间可以相互转换。

对于平面上的点P(x, y)：•极径r的值可以通过以下公式计算得出：r = √(x^2 + y^2)•极角θ的值可以通过以下公式计算得出：θ = tan^(-1)(y / x)•直角坐标(x, y)则可以通过以下公式计算得出：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)如何使用极坐标公式？极坐标公式在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

以下是一些常见的用途：1. 描述圆形和椭圆形极坐标可以方便地描述圆形和椭圆形。

对于一个圆心为原点、半径为r的圆，极坐标参考方向可以是任意方向，极径始终保持为r。

椭圆形则可以通过调整极径来改变其形状。

2. 函数图像表示极坐标可以用来表示一些特殊的函数图像，例如极坐标方程r = f(θ)可以表示函数图像。

这在图形学和可视化编程中经常使用，可以绘制出美观的图形。

3. 矢量运算极坐标公式也被用于进行矢量运算。

例如，在物理学中，可以使用极坐标来描述物体的速度和加速度。

通过将速度和加速度分解为径向和切向分量，可以更方便地进行计算。

4. 坐标变换极坐标可以用于进行坐标变换。

在某些情况下，极坐标可以更简洁地描述物体的位置和方向。

因此，当需要进行坐标变换时，可以将直角坐标转换为极坐标进行计算，然后再转换回直角坐标。

总结极坐标公式提供了一种描述平面上点位置的坐标系统。

它与直角坐标系有不同的表示方法，但二者之间可以相互转换。

极坐标公式在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用，可用于描述圆形和椭圆形、函数图像表示、矢量运算以及坐标变换等。

极坐标系速度加速度

在日常生活中的应用
导航系统
现代导航系统使用极坐标系来描述航向和距离，帮助人们确定方
向和目的地。
地图绘制
地图上的经纬线可以转换为极坐标系，方便人们计算距离和方向。
气象学
在气象学中，极坐标系用于描述风向和风速，以及分析气象数据。
06
结论
总结极坐标系中速度和加速度的特点
总结词
极坐标系中速度和加速度具有旋转和平移的特性，与直角坐标系中的速度和加速度存在差异。
03
加速度在极坐标系中的表示
加速度的定义
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。
详细描述
加速度的大小等于速度的变化率，方向与速度变化量的方向相同。在极坐标系中，速度可以表示为矢量，其大小和方向分别对应于极坐标中的模和角度。因此，加速度的大小和方向也可以通过速度矢量的变化来描述。
详细描述
在极坐标系中，速度表示为矢量，其大小和方向随时间变化而变化。速度矢量在极坐标系中具有旋转和平移两种特性，与直角坐标系中的速度矢量存在差异。同样地，加速度在极坐标系中也具有旋转和平移的特性，其表示方法与直角坐标系中的加速度存在差异。
02
速度在极坐标系中的表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为单位时间内物体位移的变化量。
详细描述
在极坐标系中，速度定义为单位时间内质点位置矢量的变化量。质点的位置矢量由极径和极角共同确定，因此速度的极坐标表示需要考虑这两个因素的变化。
速度的极坐标表示
总结词
速度的极坐标表示需要考虑质点在极坐标系中的位移和时间的变化。
在工程学中的应用
机械工程

极坐标方程曲率公式推导过程

极坐标方程曲率公式推导过程极坐标方程描述的是一个二维平面上的点与原点之间的距离和与x 轴正方向的夹角。

曲率是描述曲线弯曲程度的一个物理量，表示曲线上某点处的转向速率。

为了推导极坐标方程的曲率公式，我们首先需要推导极坐标方程的切线和法线方程：设极坐标点为P(r,θ)，其中r为距离，θ为与x轴正方向的夹角。

1.切线方程推导：在点P处，沿着曲线取一小段长度为s的弧线。

这段弧线的长度可以通过直角坐标系下的微分来表示为ds = (dr^2 + r^2dθ^2)^0.5。

由于切线方向与弧线方向一致，所以切线方向的向量与ds的向量平行，即(dx, dy) ∝ (ds, ds)。

因此，dx = λds，dy = μds，其中λ和μ是比例系数。

将极坐标点P(x, y)转换为直角坐标(x, y)后，可得dx =d(r*cosθ) = cosθdr - r*sinθdθdy = d(r*sinθ) = sinθdr + r*cosθdθ代入积分得dx = λ(dr^2 + r^2dθ^2)^0.5和dy = μ(dr^2 +r^2dθ^2)^0.5对于dx和dy，可以展开成幂级数形式，并舍弃高阶小量，得到dx = (λ + λr^2/2 + O(r^3))dr + O(r^2dθ^2)dy = (μ + μr^2/2 + O(r^3))dr + O(r^2dθ^2)由于dr和dθ是无穷小量，所以最终可以得到dx = λdr和dy = μdr根据直角坐标系下的切线方程y - y_0 = k(x - x_0)，可以得到极坐标下的切线方程y - y_0 = k'(r - r_0)，其中k' = dy/dx =μ/λ。

2.法线方程推导：法线方向与切线方向垂直，所以法线方向的向量与ds的向量垂直，即(dx, dy) ∝ (ds, -ds)。

因此，dx = λds，dy = -μds。

代入积分得dx = λ(dr^2 + r^2dθ^2)^0.5和dy = -μ(dr^2 +r^2dθ^2)^0.5。

极坐标运动学-概述说明以及解释

极坐标运动学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。

极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。

相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。

在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。

通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。

极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。

本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。

我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。

然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。

接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。

最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。

通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。

这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。

本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。

通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。

1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。

包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。

通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。

1.2.3 探讨极坐标运动学的应用：本节将介绍一些重要的极坐标运动学的应用场景。

§2.7 极坐标系·径向速度与横向速度

∆θ
O
θ
r (t )
A
极轴
OA=OC
上页下页返回结束
第二章质点运动学 2. 速度
∆r ∆r ∆θ v = lim = lim er + lim r eθ ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t dr dθ
= dt er + r dt eθ
v = v r e r + vθ eθ = v r + vθ
上页
下页
返回
结束
第二章质点运动学
Байду номын сангаас
§2.7.2 径向速度与横向速度
1. 位移若位矢的原点与极坐标的极点重合
r = rer 位移：位移： ∆r = ∆r1 + ∆r2
横向位移径向位移
eθ
∆r2
B
er
r
∆t很小时
∆r1 ≈ r∆θ eθ
C r ( t + ∆ t ) e ∆r ∆r1 θ e
∆r2 ≈ ∆rer
eθ
θ
r
P(r,θ)
er
x 是坐标不是位矢，这里 r 是坐标不是位矢，当位矢的原点取在极点上时，两者数字相同. 两者数字相同径向单位矢量 e r 横向单位矢量 er eθ 不是常矢量运动学方程轨道方程
eθ
θ =常量常量
r =常量常量
r = r (t ) θ = θ (t )
r = r (θ )
径向速度横向速度
dr vr = er dt
eθ
∆r2
B
er
r
dθ vθ = r eθ dt
O
上页
C r ( t + ∆ t ) e ∆r ∆r1 θ e

§2、速度、加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。

在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。

何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。

例如过两点成一条直线……。

由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。

这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。

速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。

同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。

2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。

极坐标与直角坐标的互化推导过程

极坐标与直角坐标的互化推导过程在数学和物理学中，坐标系是一种描述空间中位置的系统。

常见的两种坐标系是极坐标和直角坐标系。

本文将介绍这两种坐标系的互化推导过程。

直角坐标系直角坐标系又称为笛卡尔坐标系，它由x轴和y轴组成，两轴相互垂直。

在直角坐标系中，一个点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐标来确定。

点的坐标表示为(x, y)。

极坐标系极坐标系使用极径（r）和极角（θ）来描述点的位置。

极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴之间的夹角。

在极坐标系中，一个点的位置可以由它的极径和极角来确定。

点的坐标表示为(r, θ)。

极坐标转换为直角坐标现在，我们来推导如何将极坐标转换为直角坐标。

假设有一个点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。

要将其转换为直角坐标系，我们需要找到它在x轴和y轴上的坐标。

根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)这意味着，给定一个点P在极坐标系中的坐标(r, θ)，我们可以通过计算上述公式来获得它在直角坐标系中的坐标(x, y)。

直角坐标转换为极坐标接下来，我们来推导如何将直角坐标转换为极坐标。

假设有一个点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)。

要将其转换为极坐标，我们需要找到它的极径和极角。

根据直角三角形的定义，我们可以得到以下关系： - r = sqrt(x^2 + y^2) - θ = atan2(y, x)其中，sqrt表示开方运算，atan2表示反正切函数，它可以根据x和y的符号来确定点P所在的象限。

这意味着，给定一个点P在直角坐标系中的坐标(x, y)，我们可以通过计算上述公式来获得它在极坐标系中的坐标(r, θ)。

结论通过以上推导过程，我们可以得出结论：极坐标与直角坐标之间可以互相转换。

我们可以通过极坐标的极径和极角计算出对应的直角坐标，也可以通过直角坐标的x和y坐标计算出对应的极坐标。

这种互化之间的转换对于解决一些几何和物理问题非常有用。

极坐标下的速度表达式

在极坐标下，速度的表达式的推导需要用到极坐标的一些基本性质和物理学的相关知识。

首先，我们知道在极坐标中，速度的表达式通常为：v = r * ω，其中r是距离（在极坐标中是角度θ的改变量），而ω是角速度（在极坐标中是θ对时间的导数）。

在极坐标系中，速度的表达式可以表示为：v = dr/dt = r * (dθ/dt)。

这个表达式适用于任何坐标系，包括直角坐标系和极坐标系。

现在，让我们考虑一个质点在极坐标系中的运动。

假设质点在直角坐标系中的位置为(x, y)，它在极坐标系中的位置为(r, θ)。

我们知道，当质点沿着θ方向运动时，它的速度在θ方向上的分量等于dθ/dt。

另一方面，如果质点以恒定的角速度ω转动，那么质点的位置在每一时刻都应该是θ+ ωt的倍数。

所以，我们得到了v = dr/dt = r * (dθ/dt) = r * ω这个表达式。

回到题目中的情况，如果你有一个粒子在极坐标系中的运动，且你正在尝试用这个粒子来回答这个问题。

这个粒子在空间中的运动轨迹是以一定的角度θ向着某个方向移动。

如果你知道这个粒子的初始角度θ(t=0)和角速度ω，那么这个粒子的速度v就可以通过上面的公式来计算。

具体来说，假设粒子的初始角度为θ(t=0) = θ?，角速度为ω= dθ/dt。

粒子经过时间Δt 后，其角度θ会改变Δθ= θ? + ωΔt。

因为角速度ω是与距离改变量（也就是θ的变化量）成正比的，所以我们可以通过求导来得到粒子的速度v = dr/dt = r * ω。

这个表达式包含了所有的重要物理信息，可以用来描述粒子的运动轨迹和速度。

总的来说，极坐标下的速度表达式为v = r * ω，其中r是距离（在极坐标中是角度θ的改变量），而ω是角速度（在极坐标中是θ对时间的导数）。

这个表达式适用于任何坐标系，包括直角坐标系和极坐标系。

当你知道了粒子的初始角度和角速度时，你就可以用这个表达式来计算粒子的速度了。

极坐标系速度推导

§2.7极坐标系·速度与加速度问题的提出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

如：从这向北走2000米！（出发点方向距离）一、极坐标系（ plane polar coordinates ）1 ．极坐标系的建立：在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。

矢径：由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度由 r 表示矢径。

如图示： r=幅角：质点的位置矢量与极轴所夹的角θ （也称：极角）规定：自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。

（ r ，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。

质点的运动学方程：、质点的轨迹：2 ．极坐标系中矢量的正交分解如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向径向单位矢量：沿质点所在处位置矢量的方向。

横向单位矢量：与径向方向垂直且指向增加的方向。

任何矢量均可在和方向上作正交分解。

注意：径向和横向随地点而异。

二、径向速度与横向速度讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：（ 1 ）用微元法推导速度设： t t+ 时间内，图中质点自 A（r，t）经历一微小的位移，到达由速度的定义：（ 1 ）位移对应于质点矢量的改变——径向位移；位移对应于质点相对于极点幅角的改变——横向位移。

时，指向趋于方向。

，时，指向趋于方向。

(2)故 : 速度的径向分量：，速度的径横向分量：即：径向速度等于矢径对时间的变化率横向速度等于矢径与角速度的乘积。

（ 2 ）矢量运算法推导速度（ 5 ）对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。

下面讨论：如图所示是单位径向方向，模的大小为 1 。

（）另外的推导也可如下进行：右端展开是 : 即：所以 : 。

三、加速度矢量用“矢量法”推导“加速度”已知：；。

曲线运动公式

曲线运动公式引言：曲线运动是物体在运动过程中沿着曲线路径移动的运动形式。

曲线运动广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。

在研究曲线运动时，我们通常使用一些数学模型来描述物体在运动中位置、速度和加速度等的变化规律。

本文将详细介绍曲线运动公式及其应用。

一、曲线运动公式的推导与表达曲线运动的数学表达通常涉及到位置、速度和加速度三个方面。

在推导曲线运动公式时，我们需要首先明确运动路径，并确定某时刻物体的位置。

1. 位置函数物体在曲线运动中的位置可以用位置函数来描述。

位置函数通常用参数方程或者极坐标方程表示。

- 参数方程：在平面直角坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)是t的函数。

例如，对于抛物线曲线运动，其参数方程为：x(t) = v0cosθty(t) = v0sinθt - (1/2)gt^2其中，v0是初速度，θ是抛射角度，g是重力加速度。

- 极坐标方程：在二维极坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(r(t), θ(t))，其中r(t)和θ(t)是t的函数。

例如，对于圆周运动，其极坐标方程为：r(t) = Rθ(t) = ωt其中，R是圆的半径，ω是角速度。

2. 速度函数物体在曲线运动中的速度可以用速度函数来描述。

速度函数是位置函数对时间的导数，表示物体在各个时刻的速度大小和方向。

- 参数方程速度函数：v(t) = (x'(t), y'(t))其中，x'(t)和y'(t)分别表示位置函数x(t)和y(t)对时间t的导数。

- 极坐标速度函数：v(t) = (r'(t), θ'(t))其中，r'(t)和θ'(t)分别表示位置函数r(t)和θ(t)对时间t的导数。

3. 加速度函数物体在曲线运动中的加速度可以用加速度函数来描述。

2-7极坐标系

& & v = ρe ρ + ρϕeϕ && && & && a = ( ρ − ρϕ )e ρ + ( ρϕ + 2 ρϕ )eϕ
2
径向速度横向速度
dθ v v e 通常圆周运动时径向速度为0，这时：通常圆周运动时径向速度为，这时： v(t) = r θ dt
这时常引入角速度矢量定义：定义：
ω
r
dθ 大：ω = 小 v = rω dt v v v 方：ω er e 满足右手定则向、、θ
ω
v
质点的加速度为：质点的加速度为： v v er e o v θ dθ v v dv d dr v a = = ( er +r e ) θ dt dt dt dt d2r dθ 2 v d2θ dr dθ v v v = 2 −r( ) er +r 2 +2 θ θ e = arer +aθ e dt dt dt dt dt 径向加速度讨论：讨论：横向加速度
ρ
O
ϕ
A x
r (t ) = ρ e ρ
二、径向速度与横向速度
平面极坐标的径向单位矢量和横向单位矢量是随时间变化是时间的函数，如果将它们用直角坐标来表示，的，是时间的函数，如果将它们用直角坐标来表示，
e ρ = cos ϕ i + sin ϕ j e ϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j
这两个单位矢量随时间的变化为：这两个单位矢量随时间的变化为：
de ρ dt deϕ dt
& & = ( − sin ϕ i + cos ϕ j )ϕ = ϕ e ϕ & & = ( − cos ϕ i - sin ϕ j )ϕ = − ϕ e ρ

极坐标公式推导

极坐标公式推导
极坐标公式是将平面上的点用极径和极角来表示的一种方式。

下面是对极坐标公式的推导过程：
假设在平面直角坐标系中，有一个点P(x, y)。

我们需要找到这个点相对于原点O的极径r和极角θ。

首先，我们可以利用直角三角形的性质来计算极径r。

根据勾股定理，我们有r² = x² + y²。

可见，极径r是点P 到原点O的距离。

接下来，我们需要确定点P的极角θ。

为此，我们可以使用三角函数来计算。

考虑到点P在直角坐标系中，我们可以得到点P关于x轴的倾斜角α。

通过反三角函数，我们可以得到α的值：α = arctan(y / x)。

然后，我们可以得到点P的极角θ = α + kπ，其中k是任意整数。

综上所述，极坐标公式可以表示为：P(r, θ)，其中r 是点P到原点O的距离，θ是点P相对于x轴的极角。

需要注意的是，极角θ的取值范围通常是[-π, π]或[0, 2π]，具体取决于应用场景。

2.7极坐标系径向速度与横向速度

运动学方程轨道方程
=常量
r =常量
r r (t ) (t )
r r ( )
上页下页
返回
结束
第二章质点运动学
§2.7.2 径向速度与横向速度
1. 位移若位矢的原点与极坐标的极点重合
r rer 位移： Δr Δr1 Δr2
Δt很小时 r1 r e
第二章质点运动学
§2.7 极坐标系· 径向速度与横向速度
§2.7.1 极坐标系
如图，极点O，极轴Ox，幅角，规定自极轴逆时转为正，反之为负.
P处质点的极坐标(r,).
这里 r =OA为质点的矢径O来自 r e
P(r,)
er
x
径向单位矢量 e r 横向单位矢量 e e r e 不是常矢量

r2
B
e
er
r

返回
A r (t )
极轴
下页
结束
横向位移径向位移
C r r ( t t ) e r1 e

O
r2
B
e
er
r
Δr2 Δrer

A r (t )
极轴
OA=OC
上页下页返回结束
第二章质点运动学 2. 速度 r r v lim lim er lim r e t 0 t t 0 t t 0 t dr d er r e dt dt
r1 r e
Δr2 Δrer
v v r er v e v r v
dr vr er dt d v r e dt

极坐标系下的速度和加速度

活动坐标系以极坐标系下任意点P(r,θ)为原点，建立一个活动坐标系，该坐标系的两个主方向分别为径向(radial)和横向(transverse)。

径向与OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向一致。

横向与径向垂直且朝向θ增加的方向。

该坐标系下的任一点或物理量可以通过主方向上的两个单位矢量（基）表示出来。

例如，假设P是一运动质点，则它的速度和加速度可以分解为v P=v r e r+vθeθ,a P=a r e r+aθeθ其中e r是径向单位矢量，eθ是横向单位矢量。

e r的直角坐标表示可以通过对OP⃗⃗⃗⃗⃗ 单位化获得。

e r=OP⃗⃗⃗⃗⃗|OP|=(cosθ,sinθ)而eθ的直角坐标表示可将e r逆时针旋转90°获得。

eθ=(−sinθ,cosθ)可以看出，{e r,eθ,P(r,θ)}刚好也是一个右手系。

并且该活动坐标系是与r的取值无关的（只要r≠0）。

所以当点P径向运动时，活动坐标系不发生改变；只有当点P有横向运动分量时活动坐标系才会发生改变。

e r,eθ关于θ的导数ddθe r=(−sinθ,cosθ)=eθddθeθ=−(cosθ,sinθ)=−e r极坐标系下的速度方法一设质点P(r,θ)的运动方程为{r=r(t)θ=θ(t)。

以时刻t为起点，建立活动坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}，则经过∆t时刻质点运动到P′=[r(t+∆t)−r(t)]e r+[θ(t+∆t)−θ(t)]r(t)eθ因此，在时刻t，质点速度在坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}下可以表示为v P=lim∆t→0PP′∆t=ṙe r+rθeθ其中，径向速度为ṙ，横向速度为rθ。

方法二以r P代表质点P的坐标。

r P(t)就代表了质点P的运动方程。

由于r P(t)=(r(t)cosθ(t),r(t)sinθ(t))=r(t)e r(t)所以d dt r P(t)=ddt(r(t)e r(t))=(ddtr(t))e r(t)+r(t)(ddte r(t))其中d dte r=de rdθ·dθdt=θeθ这一项可以理解为由质点位置矢量的方向(e r)改变所引起的。

直角坐标与极坐标的互化公式推导过程

直角坐标与极坐标的互化公式推导过程直角坐标系和极坐标系是两种常见的表示平面上点位置的坐标系。

在实际应用中，有时需要将一个点的坐标从直角坐标系转换为极坐标系，或者反过来。

为了实现坐标系的互化，我们需要推导出直角坐标与极坐标之间的互化公式。

下面，我们将详细介绍直角坐标与极坐标的互化公式推导过程。

1. 直角坐标系介绍直角坐标系是最常见的坐标系之一，通过在平面上引入两条相互垂直的坐标轴，通常表示为x轴和y轴，来确定一个点的位置。

在直角坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对(x, y) 表示，其中 x 是该点在 x 轴上的位置， y 是该点在 y轴上的位置。

2. 极坐标系介绍相比直角坐标系，极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点。

极径指的是点到原点的距离，极角指的是从极径到正半轴的逆时针旋转角度。

在极坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对(r, θ) 表示，其中 r 是该点到原点的距离，θ 是该点对应的极角。

3. 直角坐标到极坐标的转换设一个点在直角坐标系中的坐标为 (x, y) ，我们需要将其转换到极坐标系中的坐标(r, θ)。

根据直角三角形的性质，我们可以得到以下关系：r = √(x^2 + y^2) (1)tan(θ) = y / x (2)其中，关系式(1) 表示点到原点的距离，是直角边 x 和 y 的平方和的平方根；关系式(2) 表示点对应的极角，是 y 坐标与 x 坐标的比值的反正切值。

4. 极坐标到直角坐标的转换现在假设一个点在极坐标系中的坐标为(r, θ)，我们需要将其转换到直角坐标系中的坐标 (x, y)。

根据正弦和余弦的定义，我们可以得到以下关系：x = r * cos(θ) (3)y = r * sin(θ) (4)关系式(3) 表示点在 x 轴上的位置，是 r 乘以极角对应的余弦值；关系式(4) 表示点在 y 轴上的位置，是 r 乘以极角对应的正弦值。

通过关系式(3) 和 (4)，我们可以将极坐标系中的点转换为直角坐标系中的点。

极坐标系速度加速度

•说明：
–v 、ar、a 并非单纯由该方向相关量的变化引起； –表面看来，极坐标系中速度和加速度的表达式比直角坐标系中复杂，实际上在解决某些具体问题时，例如质点作圆周运动时，利用极坐标系来描述比较方便。
6
4
v r – 径向速度（radial velocity)：
vr
dr dt
– 横向速度(transverse velocity)：
d
dt
– 速度的大小：v vr2 v2
r dr 2
dt
d 2 dt
四、极坐标系中的加速度
a
dv
d
dr
i r
d
j
dt dt dt
dt
d 2r dt 2
i
dr dt
di dt
dr dt
d
dt
j
r
d 2
dt 2
j
r
d
dt
dj dt
d 2rˆ dt 2 i
dr dt
d
dt
j dr d
dt dt
j
r
d 2
dt 2
j r d
dt
d (i )
dt
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
j
(
r
r 2
• •
运质动点学的方位程置：矢量r=r：(tr),
=(t) r (t)
r
(t)rˆ
• 质点的轨迹方程：r=r()
三、极坐标系中的速度
v
dr
d
[ ri ]
dr

笛卡尔坐标系速度转化轴坐标系速度

笛卡尔坐标系速度转化轴坐标系速度一、概述笛卡尔坐标系和极坐标系是描述物体运动状态的两种常用坐标系。

在工程和物理学中，经常需要将物体在笛卡尔坐标系下的速度转化为极坐标系下的速度，以便更好地分析和应用。

本文将对笛卡尔坐标系速度与极坐标系速度的转化方法进行介绍和分析。

二、笛卡尔坐标系速度转化极坐标系速度的方法1. 笛卡尔坐标系速度的定义在笛卡尔坐标系中，物体的速度通常用速度矢量来描述，速度矢量的两个分量分别表示物体在x轴和y轴方向上的速度。

设物体在时刻t的速度矢量为v=(vx, vy)，其中vx表示物体在x轴方向上的速度，vy 表示物体在y轴方向上的速度。

2. 极坐标系速度的定义在极坐标系中，物体的速度同样可以用速度矢量来描述，速度矢量的两个分量分别表示物体在极径方向和极角方向上的速度。

设物体在时刻t的速度矢量为v'=(vr, vθ)，其中vr表示物体在极径方向上的速度，vθ表示物体在极角方向上的速度。

3. 笛卡尔坐标系速度转化为极坐标系速度的公式根据笛卡尔坐标系到极坐标系的转化公式，可以将笛卡尔坐标系速度转化为极坐标系速度。

具体公式如下：vr = vx * cos(θ) + vy * sin(θ)vθ = -vx * sin(θ) + vy * cos(θ)其中，(vx, vy)是物体在笛卡尔坐标系下的速度矢量，(vr, vθ)是物体在极坐标系下的速度矢量，θ是物体的极角。

4. 速度转化的实际应用笛卡尔坐标系速度转化为极坐标系速度的公式在实际应用中具有重要意义。

在飞行器导航系统中，经常需要将飞行器在笛卡尔坐标系下的速度转化为极坐标系下的速度，以便更准确地控制飞行器的航向和速度。

三、总结本文介绍了笛卡尔坐标系速度与极坐标系速度的转化方法，给出了具体的转化公式，并分析了转化公式在实际应用中的重要性。

通过本文的学习，读者可以更好地理解速度在不同坐标系下的表示方法，并能够灵活运用转化公式进行工程和物理问题的分析与计算。

极坐标梯度推导过程

极坐标梯度推导过程嘿，朋友们！今天咱就来聊聊极坐标梯度推导过程这个有意思的事儿。

咱先想想啊，这极坐标，就像是给平面世界换了一套独特的衣服，让它变得特别起来。

在直角坐标系里，咱熟悉的那些横纵坐标，到了极坐标这儿，就变成了距离和角度。

这就好比原本走的直路，现在变成了绕着圈子走，但咱还是能找到方向，能弄明白怎么走。

那梯度呢，就像是给这个世界加上了一个方向箭头，告诉你哪里变化最快。

在极坐标里推导梯度，就像是在这个特别的世界里找最快的路。

比如说，咱先从极坐标的表示开始，一个点用距离 r 和角度θ 来确定。

那这个点周围的变化怎么看呢？就像你在一个圆形的场地里，你要知道往哪个方向走能最快到达目标。

然后呢，我们来看看怎么从这个特别的表示法里找出梯度。

这就像是在一堆弯弯绕绕的线条里找出最关键的那几条。

咱把那些数学式子摆出来，一点点分析。

就像解谜题一样，每一步都要仔细琢磨。

你看啊，这里面涉及到对距离和角度的求导，这可不是随随便便就能搞定的。

想象一下，这就像是在一个迷宫里找路，每一个拐弯都得小心应对。

经过一番折腾，终于慢慢把这个梯度给推导出来了。

哇，那种感觉，就像是终于找到了宝藏的钥匙一样兴奋。

这极坐标梯度推导过程啊，真的不简单，但一旦你弄明白了，就会觉得特别有成就感。

就好像你征服了一座很难爬的山，站在山顶上，看着下面的风景，心里那叫一个美。

所以啊，大家别害怕这个推导过程，就大胆地去尝试，去探索。

就像探险家一样，在数学的世界里勇往直前。

相信我，当你搞懂了这个极坐标梯度推导过程，你会对数学有更深的理解和热爱。

总之，极坐标梯度推导过程虽然有点复杂，但绝对值得我们去花时间和精力去搞清楚。

加油吧，朋友们！让我们一起在数学的海洋里畅游！。

极坐标系求导公式

极坐标系求导公式
恰当地使用极坐标系求导公式，可以提升一定程度的理解难度及其有效率。

极坐标系是一种常用的坐标系统，它具有直观性，使得解决日常生活中的问题和解决特定的数学问题变得更加容易。

关于极坐标系求导公式，首先必须了解极坐标系的基本结构。

极坐标系的坐标系统由极点和极轴组成，极点为原点，极轴由正轴和负轴组成，正轴从原点出发，形成一个射线，终点为无穷远，称为正轴；负轴从原点出发，形成一个射线，终点为原点，称为负轴。

据此，数学家得出极坐标系求导公式：以极坐标（ρ，θ）表示点A，其中ρ为点A与极点原点O的距离，θ为极轴到向量OA的夹角；则点A的位置函数
x=ρcosθ,y=ρsinθ，前者求导时，y可以根据θ的变化求导，即
y'=ρcosθθ'；后者的求导结果也是类似的，即x'=-ρsinθθ'，因此求导公式为：
∂f/∂ρ = (1/ρ)(∂f/∂x)cosθ+(1/ρ)(∂f/∂y)sinθ
据此，在系统思考的模块下，若想解决问题，首先需要给出相应的位置函数和参数，然后通过极坐标系求导公式来进行相关推导，以实现目标分析。

究其本质，极坐标系求导公式算法可以帮助政务民生部门更有效地分析并解决基本问题，进而为社会决策和行动提供依据，从而增进社会公平、及提升社会福祉。