第23伯努利试验与直线上的随机游动

共比(t-r+k)局，且第t-r+k局甲胜，前(t-r+k)-1局 甲胜(t-r)-1局
甲的第t-r次胜利，发生在第(t-r+k)次(帕斯卡
分布)
(t
r (t
k)1 r)1
ptr
qk
p甲
t s1 (t
k0
r (t
k)1 r)1
pt
r
q
k
(2)甲胜：乙胜t-s局前，甲已胜t-r局
2.3 伯努利试验与直线上 的随机游动
一、伯努利模型 二、伯努利模型中的一些分布 三、直线上的随机游动(不讲)
四、推广的伯努利试验与多项 分布
一、伯努利模型
1 n 重伯努利试验
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A,则称 E 为伯努利试验 . 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k 1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
n pkqnk k
B( k , n, p) .
称上式为二项分布.记为
1 2
N
1
1 2
（2
N
r
1）-(N+1)
四、推广的伯努利试验与多项分
布
设每次试验结果为r个，分别为 A1 , A2 , , An
其概率为P( Ai ) pi , i 1, 2,, r,且p1 p2 pr 1
将这样的试验独立重复进行n次，则在n次试验
中，A1出现k1次，A2出现k2次，，Ar出现kr次的概率为
• 值得一提的是，伯努利家族是一个数学家辈出的家族. 除了雅 各布 · 伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努利家族共产生 过11位数学家. 其中比较著名的还有他的弟弟约翰 · 伯努利 (1667 - 1748)和侄子丹尼尔 · 伯努利(1700 - 1782，在概率 论中引入正态分布误差理论，发表了第一个正态分布表). 雅各 布 · 伯努利是科学世家伯努利家族中第一位以数学研究成名 的人.
事件A等价于取过左边N+1次，其中前N次用了N 根火柴，第N+1 次摸到空盒，取过右边N-r次，即 前2N-r次中取到左边N次，取到右边N-r次，第 2N-r＋1次取到左边，即取左边这件事情的第N+1 次成功发生在第2N-r＋1次
P( A)
f (2N
r 1, N
1,
1 2
)
（ 2
N r+1）-1 （N +1）-1
3 n 重伯努利试验的样本空间
每次试验只有两种结果，因此n 重伯努利试验共
有 2n 样本点. 样本空间为 {}
而其样本点为 (1 ,2 ,,n )
其中 i是A或者A, i 1, 2,, n.
例如 ( A, A, A, A,, A), (A,A,,A, A,,A)
k
nk
等等都是样本点，其概率分别为 pnk (1 p), pk (1 p)nk ,
prql
pr (1 q)r
1
其中
r l
(1)l
r
l l
1
.
(负二项分布)
德 梅尔问题
甲乙两个赌徒按照某种约定进行赌博，规定先胜t 局者赢得全部赌注，但进行到甲胜r局，乙胜s局（ r<t, s<t),因故中断比赛，试问如何公平合理分配赌 注？
(1)甲胜：甲胜t-r局时，乙胜k局(k<t-s)
s)
1
pk
q((
t
r
)(
t
s
)1)k
同一个事件不同的角度来理解，但可以证明结论是 一样的
巴拿赫火柴盒问题
例 数学家的左、右衣袋里各放由一盒装有N根火柴 的火柴盒，每次抽烟时，任取一盒用一根，试求发 现一盒用光时，另一盒有r根的概率。
解 设A={左边空而右边剩r根},由对称性，所求事 件概率等于2P(A).
• 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667年7月27日－1748年1 月1日）出生于瑞士巴塞尔，是一位杰出的数学家。他是雅各 布·伯努利的弟弟，丹尼尔·伯努利（伯努利定律发明者）与 尼古拉二世·伯努利的父亲。数学大师莱昂哈德·欧拉是他的
学生。
• 虽然，在约翰毕业于巴塞尔大学之前，雅各布与约翰曾经一起 共事。毕业之后不久，两兄弟逐渐产生了一种嫉妒与竞争的关 系。约翰嫉妒雅各布在大学里崇高的位置。在私底下，或在大 庭广众下，两兄弟时常互相较力。雅各布过世后，约翰的忌妒 又转移到丹尼尔，他的天才儿子。1738年，父子两几乎同时地 发表了各自在流体力学的研究。约翰故意地提前自己的作品日 期，使这日期比儿子的作品日期还早两年。这样，他企图获得
为了简单上述两个样本点简记为 AAAA A,
AAA AA ，其他情形可以类似标记
k
nk
4 可列重伯努利试验
在n重伯努利试验中，当 n 时，这样就
构成了可列重伯努利试验记做 En
而其样本点为 (1 ,2 ,,n ,) 其中 i是A或者A, i 1, 2,, n,.
二、伯努利模型中的一些分布
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P(
Bm
)
C
m 4
(
1 4
)m
(
3 4
)4m
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C
0 4
(
1 4
)0
(
3 )40 4
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
(3) 几何分布
若 X 表示 伯努利试验中事件 A 首次发生的次数,
解 此问题可以归结到多项分布问题，因此它的概 率应为
p 5! 0.42 0.3 0.25 0.05 0.036 2!1!1!1!
• 雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli,1654－1705)伯努利家族代 表人物之一，瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是 最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数 学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率 附近。他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。概率论 中的伯努利试验与大数定理也是他提出来的。
由于
k
n 0
n k
pk
qnk
(
p q)n
1,
可以看出
n k
pkqnk
刚好是二项展开式的通项，因此此分布称为二项分布.
例 设某考卷上有10道选择题, 每道选择题有4个
可供选择的答案,其中一个为正确答案,今有一考
生仅会做6道题, 有4道题不会做,于是随意填写, 试
问能碰对m(m 0,1, 2, 3, 4)道题的概率.
(4) 帕斯卡分布(负二项分布)
帕斯卡分布将主要研究出现第r次成功与试验 次数的关系的概率。 设Ck {第r次成功出现在第k次试验},P(Ck ) f (k, r, p),
Ck发生等价于前面的k -1次试验中，r -1次成功，k - r
次失败，而第k次成功，利用二项分布以及独立性可得
P(Ck )
则X的可能取值为 1,2, 当X k,即事件A首次在第k次出现. 则试验总共进行了 k次,前k 1次均是A发生,第k
次A发生. 若以Bk记这一事件,以Ai (i 1,2,, k)记事件A在 第i次试验中发生 , 则
Bk A1 A2 Ak1 Ak P(Bk ) P( A1) P( Ak1)P( Ak ) (1 p)k1 p
(1) 伯努利分布(两点分布）
一次伯努利试验只有两种结果之一，则其概率为
P( A) p,
P( A) 1 p.
(2) 二项分布
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数 ,
则 X 所有可能取的值为 0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
优先的荣誉。
假设第t-s+k局乙胜，前(t-s+k)-1局甲胜k局(k>=t-r) (二项分布)
p甲
ktr
(t
k
s
k)
1
pk
q(
t
s
k
1)k
q
(3)甲胜：在赌(t-r)+(t-s)-1次，必分胜负，即 甲胜次数k>=t-r局(二项分布)
p甲
(t (t r )(t s)1
k t r
r)
(t k
将 E 独立地重复地进行 n 次,则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 . 记做En.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
2 n 重伯努利试验的特征
(1) 每次试验只有两种结果之一：A或 A (2) 每次试验事件A的概率都为p; (3) 各次试验相互独立； (4) 共进行n次试验.
称上式为几何分布.记作 g(k, p) qk1 p, k 1, 2,,
注意到几何分布恰好是几何级数的一般项，这也是
几何分布名称的来历。同时
g(k, p) qk1 p p
1
1
k 1
k 1
1q
说明 在几何分布里面，其涉及到可列次伯努利试 验，其样本空间是不可列的，因此不能将它的一 切子集都看作事件。
k1
n! !k2 !kr
!
pk1 1
pk2 2
pkr r
其中ki 0,且k1 k2 kr n, 称此分布为多项分布，
n 2时，就退化为二项分布.
例 人类血型分为O, A, B, AB四型，假定某 地区的居民中有这四种血型人的百分比为0.4, 0.3, 0.25, 0.05，若从此地区居民中随机的抽取5个人，试求两个 为O型，其他三个分别为A,B,AB型的概率。
f (k,r,
p)
k r
1 1
pr 1qk r
p
k r
1 1
prqkr
将f (k, r, p)称为帕斯卡分布，当r 1时，帕斯卡分 布就退化为几何分布。
注意到
kr
f (k,r,
p)
kr
k r
1
1
prqkr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
0
r r
l 1
1
pr
q
l
l 0
r l
(
1)l