调和级数发散性的多种证明方法

邯郸学院本科毕业论文
高昌
摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同．
关键词调和级数发散性判别收敛
Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou Xijuan
Abstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original
license different.
Key words Harmonics Series Divergency Discriminate Convergency
目录
摘要 (I)
外文页 (II)
1 引言 (1)
2 调和级数发散性的证明方法 (1)
2.1 比较类 (1)
2.2 柯西类 (3)
2.3 积分类 (4)
2.4 和为无穷大类 (5)
3 总结 (7)
参考文献 (8)
致谢.............................................................. 错误！未定义书签。

调和级数发散性的多种证明方法
１ 引言
调和级数是级数中具有代表性的一个级数，很早人们就开始对它发散性的证明进行研究．并且不少知名的学者和大数学家都参与其中．最早证明调和级数发散的是法国学者尼古拉奥雷姆
)13821323(-，在极限概念完全理解之前400年证明的．后来，大数学家伯努力也给出了一种经典
的证明．随着科学的不断发展，到现在证明调和级数发散的方法有近二十种．本文主要讲搜集到的比较常见的证明调和级数发散的11种方法并进行了进一步的整理，按照比较、柯西、积分、和为无穷大四个条件进行简单归类，使之形成一套比较完备的体系，更方便读者对各种证明方法的阅读和比较．为了方便比较，有些方法采取了与原证不同的呈现形式．本论文对《数学分析》中级数敛散性学习和研究，尤其是初学者，会有很大帮助．
2 调和级数发散性的证明方法
2.1 比较类
比较判别法是证明正项级数敛收敛或发散最常用的方法．多数情况下，利用我们所熟知的收敛或发散的级数与未知的级数进行比较，就能得出结论．
对于调和级数，利用比较法证明其发散的思路主要有两类．一是利用加括号法则，把原级数变形，再通过放缩或其它方法得到一个熟悉的并且使它大于调和级数的发散级数．通过比较判别法得出结论．二是找到一个发散级数，并且它的通项与调和级数的通项比是一个非零常数，这就可以由找到的级数的发散性判定调和级数的发散性．下面给出的前两种方法用的是第一种思路，后两种是第二种思路．
方法1 依次将
∑∞
=11
n n
一项，一项，二项，四项，八项，十六项 括在一起得 ++++
n 1
31211
++++++++++++++=--)21221121()81716151()4131(21111m m m ，这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数
+⨯++⨯+⨯++-m m 2
1
281441221211
++++++=
2
1
21212121 的对应项．
显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数
∑∞
=11
n n
发散.（此方法是法国学者尼古拉奥雷姆)13821323(-在极限概念被完全理解之前的400年证明的）
． 方法2 依次将
∑∞
=11
n n
九项，九十项，九百项， 括在一起得 ++++
n 1
31211 ++++++++++++=)999110111001()991111101()91211(，
这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数
+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫
⎝⎛+++900
90
9
100011000110001100110011001101101101
+++=
100090010090109 +++=10
9109109 的对应项．
显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数∑∞
=1
1
n n 发散．
方法3
利用不等式：)1ln(x x +>
++++
n
1
31211， 它的各项均大于下面级数的对应项
+++++++)1
1ln()211ln()11ln(n
.
假设上面的级数是收敛的，则它的和大于它的部分和。

它的部分和为
)1
1ln()211ln()11ln(n
++++++
n
n 1
ln 23ln 2ln ++++=
)1
134232ln(+⨯-⨯⨯⨯=n n
n n
()∞→∞→+=n n )1ln(.
所以，第二个级数是发散的．通过比较判别法可知，调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 方法4 应用级数
∑∞
=1
n n
a
（其中)021≥≥≥≥≥ n a a a 与级数
n a n n
21
2
∑∞
=有相同的收敛性．取
() ,2,11==n n a n ，031211>>>> ，而级数 ∑∑∑∞
=∞=∞==⨯=1
12112122n n n n
n n n a 发散．
故调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 2.2 柯西类
柯西准则及其相关推论也是证明级数收敛或发散的常用方法．证明调和级数发散，我们可以用级数发散的柯西准则，也可用级数收敛的柯西准则得出矛盾结论（反证法）．本节中方法一用的是级数发散的柯西准则，方法二用的是级数收敛的柯西准则．
方法1
[]3
1
级数发散的充要条件：存在正数ε，对任何正整数N ，以及存在正整数)(N m >和p ，有
ε≥++++++p m m m u u u 21.
对于调和级数
++++
n
1
31211， 令m p =，则有
m m m m u u u ++++++ 21
m m m 21
2111+
++++=
m m m 21
2121+
++≥ 2
1=
.
因此，取2
1
=
ε，对任何正整数N 和m p =符合上述条件，所以调和级数是发散的．（此方法被多本大学数学教材采用，做为应用柯西准则证明级数发散的典型例题）．
方法2
级数收敛的柯西准则：任意正数ε，存在正整数N ，以及任意正整数)(N m >和p ，有
ε<++++++p m m m u u u 21 .
假设调和级数收敛，则存在)(N m >使
021→++++++p m m m u u u .
令m p =，有
m m m m u u u ++++++ 21
m m m 21
2111+
++++=
m m m 21
2121+
++≥ 2
1
=
（不以0为极限）, 从而得出矛盾，故调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 2.3 积分类 方法1 定理
[]12
1设f 为[]+∞,1上非负递减函数，那么正项级数
∑)(n f 与非正常积分⎰
+∞
1
)()(x d x f 同
时收敛或发散．
取x x f 1)(=，则f 在[]+∞,1上为非负递减函数．则由定理知级数∑∑+∞=+∞==111
)(n n n
n f 与⎰+∞1)(1x d x 同时收敛或发散．因为
+∞=+==+∞→+∞+∞→+∞
⎰⎰
)1ln(lim )(1lim )(111
n x d x x d x n n ，故调和级数∑∞=11
n n
发散．
方法2
采用数形结合的方法．利用积分的几何意义，根据面积大小，得出调和级数的部分和发散． 调和级数的部分和
n
s n 131211++++=
由上图的阴影部分面积可知 第一块矩形的面积11=A ,
第二块矩形的面积21
2=A , 第三块矩形的面积3
1
3=A ,
……
第n 块矩形的面积n
A n 1=
. 所以，阴影部分的总面积为n n A A A A s ++++= 321，它显然大于曲线x
y 1
=下在1=x 到1+=n x 之间的那一块面积)1ln(1
1
1
+=⎰
+n x
n ， 即
)()1ln(∞→+∞→+>n n s n .
可见，调和级数部分和n s 没有极限，故调和级数
∑∞
=1
1
n n 发散． 2.4 和为无穷大类
和为无穷大是证明级数发散的最直接的方法．和可以是整个级数的和，也可以是级数的部分和．利用和为无穷大证明调和级数和为无穷大一般利用反证法，得出调和级数和或调和级数的部分和是一个有限数为假．本节给出的前两种方法证明的是整个调和级数的和为无穷大，最后一种方法证明的是调和级数的部分和为无穷大．
方法1
x
y 1=
以
1)
1(11216121=++++++ n n 为基础，先证明这个等式． 21121-=，312161-=，4131121-=…，1
11)1(1+-=+n n n n ， 11
111141313121211)1(11216121+-
=+-++-+-+-=++++++n n n n n )(1∞→=n .
设 ++++=
n
A 1
3121，则 +++++++=
)1(2041236221n n n A , 1)1(12011216121=+++++++=
n n C , 2121)1(120112161=-=++++++=
C n n
D , 3161)1(1301201121=-=++++++=
D n n
E , 41121)1(1421301201=-=++++++=
E n n
F , 5
1201)1(1561421301=-=++++++=
F n n
G , ……
+++=+++=
+++++3
1
2112041236221G F E D C . 所以有1+=A A ，没有一个有限数会大于等于自己，所以A 是无穷大．即调和级数∑∞
=1
1
n n 发散．
（此方法是大数学家约翰伯努利作出的经典证明）．
方法2 以不等式
),2(3
11111N n n n
n n n ∈≥>+++-为基础． 先证明这个不等式．由
n
n n n 311111-+++- )1
11()111(+----=n n n n n
n n n )1(1)1(1+--= 0)1()1(2>+-=
n n n n 得),2(311111N n n n
n n n ∈≥>+++-，所以有 13
3413121=>++, 2
163716151=>++, 3
1931019181=>++, ……
++++=n
s 131211 +++++>n
1312111 s +>1.
如果s 是一个有限数，s 不会大于自己．即s 为正无穷大，故调和级数
∑∞=11n n 发散． 方法3 利用反证法，假设s n
n =∑∞=11，则s s n n =∞→lim ，s s n n =∞→2lim ，因此有 0)(lim 2=-=-∞
→s s s s n n n （1） 但另一方面，由于对一切n 有
21212121112=⨯>+++++=
-n n n n n s s n n ， 可知0)(lim 2≠-∞→n n n s s （2）
显然，结论（1）与结论（2）矛盾,所以，假设错误.因此，调和级数∑∞
=11n n 发散. 3 总结
该论文给出了证明调和级数发散的11种常见的证明方法，并按照一定的方法进行了归类，让读
者在阅读时有一定的整体性．证明调和级数发散性的方法，除了本文给出的11种，还有许多．比如说利用高斯判别法、欧拉常数等有关知识也可以将其证明．
调和级数发散性的证明对其它正项级数的证明起到了“尺子”的作用．对调和级数发散性的研究不仅丰富了调和级数的证明方法，同时也为一般正项级数发散性的证明提供了更广阔的空间．在对级数发散性的证明时，用到的有可能不仅仅是文中所给的几种方法，而是需要将几种方法综合运用．所以证明级数发散时，没有固定的方法，要灵活．
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004:1-24
[2] 任亲谋．数学分析习题解析 (下册)[M].陕西：陕西师范大学出版社，2004
[3] 裴礼文．数学分析典型问题与方法 [M].北京：高等教育出版社，1993
[4] 夏晓峰. 调和级数发散的几种证明[J].本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）:44-45
[5] 马艳宝. 关于调和级数发散性的五种证明方法[J]. 商业文化（下半月），2010（2）.127
[6] 张竟成. 关于调和级数∑∞
=11
n n
发散的几种证明方法以及它的应用[J]. 岳阳职业技术学院学
报，2006（5）.21
[7] 姜洪文. 对调和级数∑∞
=11
n n
的分析[J]. 沈阳师范学院院报，2002（7）:170-172
[8] 黄永东. 证明调和级数∑∞
=11
n n
发散性的7种证明方法[J]. 西北民族学院院报，2001（3）：
1-3
[9] 费定辉.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M]. 山东：山东科学技术出版社，1999:98-99.
[10] "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003。