2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 导数的概念及导数的运算

第一节导数的概念及导数的运算

1．导数的概念 (1)平均变化率

一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1.

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值Δy

Δx ＝

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )

在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

②几何意义：

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(3)函数f (x )的导函数

若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． [小题体验]

1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.

根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e

2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝0

3．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.

解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－1

3，因为

g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭

⎫－1

3＝0. 答案：0

1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α

－1

与指数函数的求

导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．

2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

[小题纠偏]

1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．

解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

答案：－x sin x

2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x

图象的切线，则实数a ＝________.

解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e 0

x ＝－1， 所以e

x ＝a ，又－1a ·e 0

x ＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.

答案：e 2

3．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋

15

4

x －9都相切，则a ＝________. 解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该

点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 3

0，又(1,0)

在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，

当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15

4

x －9相切，可得a ＝－1.

答案：－1或－

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考点一 导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1

x －ln x .

解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.

(3)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x

x

2.

[谨记通法]

求函数导数的3种原则