2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 导数的概念及导数的运算
江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用12第12讲导数与函数的极值、最值课件
1
1 2 － a ＋ ea 2 ≥ 0，
所以当 0<x0≤1 时，函数 F(x)必有零点，即当 0<x0≤1 时，必 存在 x2 使得(*)式成立；
即存在 x1，x2 使得函数 f(x)图象上点(x1，f(x1))处的切线与函数 g(x)图象上点(x2，g(x2))处的切线相同． 1 1 又由 y＝x－2x 得，y′＝－x2－2<0， 1 所以 y＝x－2x 在(0，1]上单调递减， 1－2x2 1 0 因此 a＝ x ＝x －2x0∈[－1，＋∞)， 0 0 所以实数 a 的取值范围是[－1，＋∞)．
e 当 1<k< 时函数 f(x)的最大值为 f(1)＝(1－k)e， e－ 1 e 当 ≤k<2 时，函数 f(x)的最大值为 f(0)＝－k， e－ 1 当 k－1≥1 时，即 k≥2 时，函数 f(x)在[0，1]上单调递减． 所以 f(x)在[0，1]上的最大值为 f(0)＝－k. e 综上所述，当 k< 时，f(x)的最大值为 f(1)＝(1－k)e. e－ 1 e 当 k≥ 时，f(x)的最大值为 f(0)＝－k. e－ 1
极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点 的 函 数 值 都 大 ， f ′ (b) ＝ 0 ， 而 且 在 点 x ＝ b 附 近 的 左 侧
f′(x)＞0 ，右侧__________ f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极 ____________
2 1 a 1 2x ＋ax－1 则 F′(x)＝－2x3＋2x2＋x＝ ， 2x3
不妨设 2x2 0＋ax0－1＝0(x0>0)，则当 0<x<x0 时，F′(x)<0，当 x>x0 时，F′(x)>0， 所以 F(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递 1－2x2 1 0 增，又 a＝ x ＝x －2x0， 0 0 所以 1 2 F(x)min＝F(x0)＝x0＋2x0－x ＋ln 0
高考总复习精品课件14导数的概念及其运算(1)
3
y
(lnx)( x 2
1) (x2lnxo(x2 1)2 Nhomakorabea1)
1 (x2 1) lnx 2x x
(x2 1)2
x2
1 x(x2
2x2 lnx 1)2
;
4 y 3sin2x2 sin2x 6sin2 2xcos2x.
[反思感悟] 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导 法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清,也是 导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运 算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求 导运算,才能充分调动思维的积极性,在解决新问题时才能举 一反三,触类旁通,得心应手.
技法二 先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. [解题切入点] 对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学 不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx 来表示的式子, 然后再按照商的求导法则来求导即可求解.
[解]因为y cotx cosx , sinx
即f′(x0)
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
lim f (x x) f (x) .
x0
x
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
技法一 活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)•„•(x-2006),则 f′(0)=________.
[解析]
f x f 0 f x
2020版高考数学第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)· (x－x0)．
[注意] “过”与“在”：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切
线”与“过点 P(x0， y0)的切线”的区别： 前者 P(x0， y0)为切点， 而后者 P(x0，y0)不一定为切点．
答案：e2
数学运算——求曲线的切线方程 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决 数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探 究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
8 1 3 已知曲线 y＝ x 上一点 P2，3，则过点 P 的切线方程为 3
10 得 a＝ .故选 D. 3
(2018· 高考天津卷)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x)的导函 数，则 f′(1)的值为____________．
1 解析：由题意得 f′(x)＝e ln x＋e · ，则 f′(1)＝e. x
x x
答案：e
(2018· 高考全国卷Ⅱ)曲线 y＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程 为________．
2 解析：由题意知，y′＝x，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率 k ＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
导数的运算(师生共研) 求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x.
【解】
(2)y′＝ln
2 解析：因为 y′＝x，所以曲线 y＝2ln x 在点(e2，4)处的切线斜率 2 2 2x 2 为 2，所以切线方程为 y－4＝ 2(x－e )，即 2 －y＋2＝0.令 x＝ e e e 0，则 y＝2；令 y＝0，则 x＝－e2，所以切线与坐标轴所围成的 1 三角形的面积 S＝ ×e2×2＝e2. 2
2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：第3章 第15课 导数的概念及运算
(2) 求第 1 s 末的瞬时速度； 【解答】 v(t)＝h′(t)＝15t2＋60t＋45， 所以 v(1)＝120(m/s)． (3) 经过多长时间飞船的速度达到 75 m/s? 【解答】 由 v(t)＝75，得 15t2＋60t＋45＝75， 解得 t＝ 6－2 或 t＝－ 6－2(舍去)， 所以 t＝ 6－2(s)． 【精要点评】抓住导数的定义 v(t)＝h′(t)是解决第(2)小题的关键．
2. 设 f (x)＝xlnx，若 f ′(x0)＝2，则 x0＝____e____. 【解析】由题意得 f ′(x)＝lnx＋1.根据题意知 lnx0＋1＝2，所以 lnx0＝1，因此 x0＝e. 3. 某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)＝2t3－5t2(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，则 t＝2 s 时，汽车的瞬时速度为__4__m__/_s_． 【解析】s′(t)＝6t2－10t，当 t＝2 时，v＝s′(2)＝4(m/s)．
导数物理意义的应用 神舟飞船发射后的一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4， 其中 h 的单位为 m，t 的单位是 s. (1) 求第 1 s 内的平均速度 v； 【思维引导】飞船在 t s 到(t＋Δt)s 时间内的平均速度为ΔΔht＝ht＋ΔΔtt－ht.飞船 在 t s 末的瞬时速度是当 Δt→0 时，ΔΔht＝ht＋ΔΔtt－ht无限趋近的常数值，也就是 h(t) 在(t，h(t))处的导数，即 v(t)＝h′(t)． 【解答】 v＝h11－－h00＝80(m/s)．
研题型 ·技法通 关
课堂导学
利用定义求导数
利用导数的定义解答下列问题．
(1)
求 f (x)＝
1在 x
x＝1
处的导数；
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
江苏省2020年高二数学第09讲 导数的概念和几何意义 课件
导数的概念和几何意义
什复么习是回顾平均变化 率?
定义：函数y f (x)在区间x1，x2 的平均
变化率为 : f (x2 ) f (x1) . x2 x1
注：(1) f (x2 ) f (x1) f (x1) f (x2 ) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
y tan .
x
请问：y 的几何意义是什么? x
y
y=f(x)
Q
Δy
Pβ Δx
O
M x
请观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
我们发现,当点Q沿o着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PQ有x 一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
解：(1)因为 y f (1 x) f (1) (1 x)2 2 (12 2)
x
x
x
2 x
从而，当x 0时，f(x)在x=1处的导数等于2.
(2)因为 y f (a x) f (a) (a x)2 2 (a2 2)
x
x
x
2a x
从而，当x 0时，f(x)在x=a处的导数等于2a.
若Δx无限趋近于 0时，比值 y f (x0 x) f (x0) 无限趋近
x
x
于一个常数 A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数
A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 f (x0)
典型例题
例1：已知f(x)=x2 +2; (1)求f(x)在x=1处的导数； (2)求f(x)在x=a处的导数.
f (x0 )
1 3
【反映】江苏专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用31导数的概念及运算教师用书理苏教版
【关键字】反映第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书理苏教版1.导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0).(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).3.基本初等函数的导数公式4.若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[]′＝－(f(x)≠0).3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ×)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( ×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ×)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( ×)1.(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝ .答案2e解析f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.2.(教材改编)①(cos x)′＝sin x；②若y＝，则y′＝－；③(－)′＝.其中正确的个数是 .答案 1解析因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②错误；(－)′＝()′＝＝，所以③正确.3.(教材改编)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为 .答案5x＋y＋2＝0解析因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x －0)，即5x＋y＋2＝0.4.(教材改编)若过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为 . 答案(，2)或(－，－2)解析∵y′＝(x－1)′＝－＝－4，∴x2＝，x＝±.∴切点坐标为(，2)或(－，－2).5.(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有条.答案 2解析∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点(，)和点(－，－)处有斜率为1的切线.题型一导数的计算例1 求下列函数的导数.(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；(4)y ＝sin(2x ＋)；(5)y ＝ln(2x －5). 解 (1)y ′＝(x2)′·sin x ＋x2·(sin x)′ ＝2xsin x ＋x2cos x.(2)y ′＝(ln x ＋)′＝(ln x)′＋()′ ＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2即y ′＝2cos(2x ＋π3).(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝ .(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ . 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 . 答案 (1)43(2)x －y －1＝0解析 (1)方法一 由题设可知曲线y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为y ＝2x 1x －x 21，曲线y＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3x 22x －2x 32，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.方法二 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 32－x 21x 2－x 1＝2x 1，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·徐州模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k ＝ . 答案 (1)e (2)1－e解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得00|e xx x y '==，从而切线方程为000e e ()xxy x x -=-， 又切线过定点(0，0)，从而000e e ()xxx -=-，解得x 0＝1，则m ＝e.(2)设切点为(x 0，y 0).因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－01e x ＝k ，且kx 0－1＝x 0－1＋01e x ， 所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2，1)，B (3，0)，E (x ，0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的 . 答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0，2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案 (1)3 (2)－1解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2|x y π='＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值. 错解展示 现场纠错解 易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0|x x y '=＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况. 1.(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 . 答案 3解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 . 答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y '=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为 . 答案 1或134解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，则k ＝ . 答案 e 2解析 由f (x )＝ln x －kx ＋3，得f ′(x )＝1x－k ，设点M (x 0，y 0)是曲线f (x )上的一点，则曲线f (x )＝ln x －kx ＋3在点M 处的切线方程为y －(ln x 0－kx 0＋3)＝(1x 0－k )(x －x 0)，∵x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0－kx 0＋3＝0，1x 0－k ＝0，解得k ＝e 2.6.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为 . 答案 14解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.7.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝ . 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.所以函数在(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ， 解得a ＝1.8.(2016·南京模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 . 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1).∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.*10.已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为 . 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015 ＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________． 答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △PAB ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 答案 －1解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.13.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________. 答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.14.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．15.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为y ′|0x x ＝＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.*16.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3 x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3 x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用13第13讲导数的综合运用课件
a
1 的取值范围是－1，2.
1 答案：－1，2
1．必明辨的 1 个易错点 在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义． 另外， 在求实际问题的最值时，如果区间内只有一个极值点，就是最 值点． 2．必会的 1 种方法 利用导数研究函数综合问题，要注意等价转化、分类讨论思想 的灵活运用．
解：(1)W(x)＝(x－6－t)(20－x)2，x∈[12，15]． (2)由(1)得 W′(x)＝(20－x)(32＋2t－3x)， 32＋2t 令 W′(x)＝0 得 x＝20 或 x＝ 3 ， 34 32＋2t 38 又 1≤t≤3，所以 3 ≤ 3 ≤ 3 ， 32＋2t 32＋2t 故当 x≤ 3 时，W′(x)≥0，W(x)单调递增；当 3 ＜x ＜20 时， W′(x)＜0， W(x)单调递减； 当 x≥20 时， W′(x)≥0， W(x)单调递增．
综上所述，若 1≤t≤2，当每包药品的售价为 12 元时，一年的 利润 W 最大，最大利润为 384－64t 万元； 32＋2t 若 2＜t≤3，当每包药品的售价为 3 元时，一年的利润 W 4 最大，最大利润为27(14－t)3 万元．
利用导数研究不等式问题(高频考点) (2019· 江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知函数 f(x) mx ＝ ex ，g(x)＝2ln x(e 为自然对数的底数)． (1)当 m＝1 时，求函数 f(x)的极值； (2)求函数 g(x)在(2，g(2))处的切线方程； (3)若 x∈(1，e]时，不等式 f(x)－g(x)>2 恒成立，求实数 m 的取 值范围．
3.24 1 750 －8 2 y＝ x (m＋3.24)＝1 7506×10 x ＋ x ，
江苏省2020版高考数学第三章1第一节导数的概念及运算课件
k=e-2.∵对数函数g(x)=ln x的增长速度越来越慢,直线f(x)=kx+1过定点(0,
2 1 , 2 . 1),方程|ln x|=kx+1中取x=e 得k=2e ,∴实数k的取值范围是 3 e e
x
1
α-1
*
x
1 x ln a
f(x)=logax
x f '(x)= ( a>0且a≠1)
(a>0且a≠1)
f(x)=ln x f '(x)=
4.导数的运算法则
运算 和差 积 法则 [f(x)±g(x)]'= [f(x)· g(x)]'= = '
f (x) g(x)
2 2ln 2 = . 5
方法技巧
求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先对函数求导,然后让导函 数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式 求出切点的纵坐标.
角度四 切线的应用
典例5 已知方程kx+1=|ln x|在(0,e3)上有三个不等的实根,则实数k的取 值范围是 答案
为1;若x0=2,则切线的斜率为4.
8 8 故所求的切线方程是y- =x-2或y- =4(x-2), 3 3
即3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.
易错警示
“在某点的切线”与“过某点的切线”不同:“在某点的切线”问题, 该点一定在曲线上,而且一定是切点,求导后直接代入点的横坐标即可 求得切线的斜率;“过某点的切线”问题,该点不一定在曲线上,即使在 曲线上,该点也不一定是切点,这时可设切点坐标为(x0, f(x0)),求出切线的
高考总复习课程--2020年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 第37讲 导数及其应用经典回顾 .doc
第37讲 导数及其应用经典回顾考点梳理 1．导数的概念（1）函数在某一点处的导数对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x V ，那么函数y 相应地有增量00()()y f x x f x =+-V V ．如果当0x →V 时，yxV V 有极限，我们就说 ()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '000()()lim lim x x f x x f x y xx→→+-==V V V V V V 对于这一定义，我们应该明确如下四点：①函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +V 、无意义），x 在0x 处的增量0x x x =-V ，x V 是自变量，并且0x ≠V ．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另一种表达形式是 0000()()'()l i m x x f x f x f x x x →-=-． ②函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →V 时，比值y xV V 有极限．否则，若0lim x yx →V V V 不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导．③()f x 在0x 处的导数0()f x '不是一个变数，而是一个确定的数值．④函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，其几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为000'()()y y f x x x -=-．（2）导函数若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即00'()'lim()()lim x x yf x y xf x x f x x→→==+-=V V V V V V2．导数公式及求导法则（1）几种常见函数的导数公式 '0c =（c 为常数）；'1()n n x nx -=(n Q ∈)；()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；()'x xe e =；()'xxa a lna =；1()'lnx x=； 1()'aa log x log e x =． （2）和、差、积、商的求导法则()'''u v u v ±=±； ()'''uv u v uv =+； 2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠．（3）复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =⋅， 或写作 '(())'()'()x f x f u x ϕϕ=．3．定积分的基本性质 （1）()() ()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数；（2）12[()()]baf x f x dx ±⎰12() ()bb aaf x dx f x dx =±⎰⎰（3）()baf x dx ⎰()() ()cb acf x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰其中4．微积分基本定理如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰．金题精讲题一：设定函数32() (0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． （Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围．题二：设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ．(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．导数及其应用经典回顾金题精讲 题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =， 从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
江苏省2020版高考数学第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
角度2 求切点坐标
【例 2－2】 (1)(2019·泰州模拟)已知曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点 的横坐标为________. (2)(2019·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0) 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________.
答案 (1)－2 020 (2)2
考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程
【例2－1】 (1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________. (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的 方程为________. 解析 (1)∵y′＝－5ex， ∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5， ∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)， 即5x＋y＋2＝0.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝ ＋x10＝ln（x01，＋ln x0）x0，
解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 答案 (1)5x＋y＋2＝0 (2)x－y－1＝0
解析 (1)设切点的横坐标为x0，
∵曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y′＝2x－3x，即x20－x30＝12，
解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.
(2)由y＝ex得y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
设 P(m，n)，又 y＝1x(x>0)的导数 y′＝－x12， 曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12.
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章 导数及其应用 3.1 Word版含解析
§3.1导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为Δy Δx.(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？ 提示|f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(3)(2x )′＝x ·2x －1.(×)(4)若f (x )＝e 2x ，则f ′(x )＝e 2x .(×) 题组二教材改编2．[P26T2]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝. 答案2e解析∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．[P26T3]曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x －y ＋1＝0解析∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.∴所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三易错自纠4．设f (x )＝ln(3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝. 答案－23解析因为f ′(x )＝－23－2x －2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23.5．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝. 答案－ 2解析因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 6．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为． 答案1解析∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 即y ＝(a －1)x ＋1.故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos2x 4，则f ′(x )＝. 答案－12cos x解析因为y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ， 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . 2．已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝.答案44x2－1解析y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x －1)′(2x ＋1)－(2x －1)(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝44x2－1. 3．f (x )＝x (2019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2020，则x 0＝. 答案1解析f ′(x )＝2 019＋ln x ＋x ·1x ＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，∴x 0＝1. 4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝. 答案－4解析∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为．答案1解析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为． 答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y0＝x0lnx0，y0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点2求参数的值 例2(1)(2018·常州模拟)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为． 答案1e解析设切点坐标为(x 0，bx 0＋ln x 0)， 因为f ′(x )＝b ＋1x ，所以k ＝b ＋1x0，则切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x0(x －x 0)． 因为切线过坐标原点，所以－(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x0(0－x 0)， 即ln x 0＝1，所以x 0＝e ，所以k －b ＝1x0＝1e.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝. 答案－2解析∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，∴m ＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是．答案x －y －2＝0解析由题图可知，f ′(2)＝1，过P (2,0)，∴切线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是． 答案y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)(2018·南通、泰州模拟)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则实数t 的值为． 答案e －2解析因为y ＝f (x )＝x ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1，f ′(t )＝ln t ＋1. 因为两条切线互相垂直， 所以(ln t ＋1)·1＝－1，解得t ＝e －2.(3)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是． 答案(－∞，2)解析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线， 即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为．答案3(x 2－a 2)解析f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．2．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为． 答案(－2,9)解析∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)． 3．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝. 答案－3π解析因为f ′(x )＝－1x2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为． 答案e解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知，ln x 0＋1＝2， 所以ln x 0＝1，即x 0＝e.5．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是． 答案2x －y ＋1＝0解析y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 6．已知点P 在曲线y ＝4ex ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．答案⎣⎡⎭⎫3π4，π解析求导可得y ′＝－4ex ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2ex·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)， 又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为． 答案1e解析y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则|x x y ¢＝＝1x0，切线方程为y －ln x 0＝1x0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.8．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝. 答案3解析∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1， ∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3. 9．(2018·苏北四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：xy ＝3上任意一点P 到直线l ：x ＋3y ＝0的距离的最小值为． 答案 3 解析令y ＝3x ，则y ′＝－3x2， 又直线x ＋3y ＝0的斜率k ＝－33. 令－3x2＝－33，得x ＝±3， 即当曲线C 的切线与直线l 平行时，切点坐标为(3，1)或(－3，－1)， 此时切点到直线l 的距离d ＝|3＋3|1＋(3)2＝3，即为所求的最小值．10．已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝. 答案1－e解析因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2， 则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切， 故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ， 整理得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接) 答案(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1)解析(1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ， g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝.答案1解析依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.14．已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，求实数a 的值．解因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e.由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，f (x 0)和x 0满足的关系是．答案f (x 0)＝5x 0解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0.16．已知函数f (x )＝x －3x. (1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解f ′(x )＝1＋3x2， 设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x20·(x －x 0)， ∵切线过(0，－3)，∴－3－⎝⎛⎭⎫x0－3x0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x20·(－x 0)， 解得x 0＝2，∴y 0＝12， ∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3. (2)证明设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m2(x －m )， 即y －⎝⎛⎭⎫m －3m ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m2(x －m )， 令x ＝0，得y ＝－6m， 从而切线与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， 令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m ,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－6m ·|2m |＝6，为定值．。
2020届高考数学总复习 第4单元 导数及其应用课件(理)
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点
.处
的 (x0, f x0 ) .相应地切，线切的线斜方率程为
y-.f(x0 )=f `(x0 )(x x0 )
3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的变化而 变，化因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f′(x)..
33
(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.
分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率
k=f′(2).
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解 （1)∵y′=x2,………………………………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,………………………3′ ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′
灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)
内的任意点x,即可求得f′(x).
举一反三
1. 已知 y ，x利用定义求y′,y′|x=1.
解析 y x x - x ,
y x x - x
x
x
x
x x x x
1
x x x
y' lim y lim
x x0
x0
1 x x
x
1 2x
,
y
|' x=1
1 2
题型二 利用求导公式求导数
【例2】求下列函数的导数.
(1)y x2 sin x; (2)y ex 1.
江苏省海中附校2020年高考数学第一轮复习讲义导数部分 人教版
江苏省海中附校2020年高考数学第一轮复习讲义导数部分42．导数（一）一、复习目标：理解导数的概念，掌握导数的几何意义、运算法则和多项式函数求导公式，会用其解决切线问题和研究多项式函数的单调性问题。
二、考点回顾： 1．导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f y =相应地有增量=∆y ，如果0→∆x 时，函数的平均变化率 有极限，就把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作如果函数)(x f y =在开区间()b a ,内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(x f '，从而构成了一个新的函数)(x f '。
称这个函数)(x f '为函数)(x f y =在开区间内的 ，简称 。
2．导数公式：='C （C 为常数），()='n x ，='±])()([x g x f ，[='])(x cf 。
3．导数的几何意义：（1）)(/x f 是指曲线()x f y =在任一点P （x ,f （x ））处的（2）)(0/x f 是指曲线()x f y = .此时的切线方程为： 4．已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，C 上有两点P （)(,00x f x ）、Q ，当点Q 沿着曲线C 无限接近于点P ，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线C 在点P 处的 。
其斜率是 。
5．函数单调性：（1）函数单调性的充分条件：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f y = 为 函数；如果0)(<'x f ，则)(x f y =为 函数。
（2）函数单调性的必要条件：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)(x f y =在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f '三、基础练习：1．已知23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则=a 。
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章基本初等函数导数的应用10第10讲导数的概念与运算课件
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第一节导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． [小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e 0x ＝－1， 所以ex ＝a ，又－1a ·e 0x ＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________. 解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x －ln x .解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义 (题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x 的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)， f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x 0(x －x 0)， 将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m 2，则切线l 过点⎝⎛⎭⎫1，m 2. ∵y ′＝－m(x ＋1)2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝(m ＋4)2m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m ，即m ＝4时取“＝”， 故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x ＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x ，所以y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23， 当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′| x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x (x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x 2，切点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0， 所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝⎛⎭⎫2x 0x 20＋1，0；令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝⎛⎭⎫0，－2x 0. 所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， 解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q (x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(x 1)f ′(x 2)的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q (－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝3x 213x 22＝14. 答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233. 答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝⎛⎭⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －xx 2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝⎛⎭⎫1x ＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(－sin x －1)x 2－(cos x －x )·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x . 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， 所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14， 所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x ，所以⎩⎨⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e 34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线l ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线l 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，解得a ＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l 恒过定点(0,9)，若直线l 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。