第三章矩阵对角化、若当标准型讲解

证明因为 为埃尔米特矩阵，所以由定理1的（1） ，使得
且 为实数。
令 ，则
定理4设 ， 的正惯性指数为 ，则存在可逆线性变换 ，使得埃尔米特二次型 （ ）为规范标准型，即
证明由定理1的（2）易得。
定义2设埃尔米特二次型 ，如果 ， ，均有 ，则称此二次型为正定的（半正定的），且称 为正定阵（半正定阵）。
其中 为 相对于 的广义特征值。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 。由定理9的证明知 为 的特征值，故 ，使得
取 ，则
而
推论4设 是 阶埃尔米特二次型， 是 阶正定埃尔米特二次型，则存在可逆线性变换 ，使得
其中 为 相对于 的广义特征值。
四、瑞利（Rayleigh）商
在讨论埃尔米特二次型的范围和矩阵特征值的摄动（即矩阵有微小改变时，对应特征值的改变）问题中，瑞利商有一定的应用，在此对瑞利商概念做简单介绍。
设 ，则
其中 ， 。
所以矩阵 与 相似，故特征多项式
又因为
所以 。
二、矩阵的对角化
定义3设 ，若 与对角阵相似，则称 可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
定理5设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。
证明设 为 的全部相异特征值， 为 的代数重复度， 为 的几何重复度， 。
定理1 阶非零 矩阵 总可以经过初等变换化为标准型。
证明设 ，不妨设 ，且 ，下证若 不能整除 中其余所有元素，则存在与 等价的 ，使得 的左上角元素 的次数 ，下面分三种情形证明。
（1）若在 的第一行中存在 ，使得 ，则
充分性因为 ， ，所以 有 个线性无关的特征向量
其中 为 对应的特征向量， 。
设
则
故
必要性设 与 相似，则 是 的特征值，不妨设
则 关于特征值 至少有 个线性无关的特征向量，即 ，又由定理4： ，故得 ， 。
由定理5的证明显然有下面的结论。
推论1设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。
由于矩阵 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。
定理2设 ，则 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设 ， 为 的特征值，称 的特征多项式中 的重根数 为 的代数重复度，称特征子空间 的维数 为 的几何重复度。
由定义2即知 的特征值 的几何重复度 为 对应于特征值 的线性无关特征向量的个数。
推论2设 ，则下列命题等价：
（1） 正定；
（2） 的特征值都是正实数；
（3） 与单位阵合同；
（4）对任意可逆阵 ，均有 正定。
证明 由定理3的证明易得。
由定理5显然。
因为 与 合同，由推论1得证。
定理6设 ，则 正定充分必要条件是 的顺序主子式都大于零，即
， ， ，
证明必要性设
其中 ， ，则
所以 正定，设 为 的特征值，则 ， ，故 的顺序主子式都大于零。
显然由于 正定，则 ，故 当且仅当 ，所以此时 相对于 的广义特征值即为 的特征值。
定理9设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则 相对于 的广义特征值 都是实数。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 ，所以
所以
故 为 的特征值。因为 是埃尔米特矩阵，由定理1得 为实数。
定理10设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则存在可逆阵 ，使得
定义2设 为 阶 矩阵，称 的所有 阶子式的首1（最高次项系数为1）最大公因子为 的 阶行列式因子，记为 ，显然 ， 为常数，规定 。
例1设 行列式因子。
解 。
的1阶子式为 ，所以 。
的2阶子式为 ，所以 。
的3阶子式为 ，所以 。
命题1设 为 阶 矩阵， 为 的 阶行列式因子，则 ， 。
证明设 为 的任一个 阶子阵，则
前面我们讨论了可对角化的矩阵，这一节中我们讨论一般方阵 的一种相似最简型，即若当标准型，这个标准型在理论和实际中都有重要的应用。
一、 矩阵及其(smith)标准型
定义1设 ，其中 为 上的多项式，称 为 矩阵或多项式矩阵。若 ，则称 中次数最高的多项式的次数为 的次数。
显然数字矩阵和特征矩阵 都是 矩阵。
其中 是 的代数余子式，因为 ， ，故 。由于 是 的 阶子式的首1最大公因子，所以
，
定义3设 为 阶 矩阵 的 阶行列式因子，称
，
为 的不变因子。显然有 ， 。
例2在例1中 的不变因子为 。
定义4设 为 阶 矩阵，下列变换称为 的初等变换。
（1） 的某两行（列）互换；
（2） 的某行（列）乘非零常数 ；
（2）若 ，则 与矩阵 合同（称 为 的正惯性指数， 为 的负惯性指数）。
证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。
（2）因为 为正规阵，所以 ，使得
不妨设 ，其中 ，则
其中对角阵
，
记 ，则 ，且
由上述证明可得出埃尔米特矩阵 的正、负惯性指数即为 的正、负特征值的个数，从而 的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。
推论3设 ，则 ，使得 ，其中 是下三角阵，且 的对角线为 的特征值。
定理6设 ，则 为正规阵的充分必要条件是 ，使得 ，其中 ， 是 的特征值。
证明必要性由司楚尔引理 ，使得
，
且 的对角线为 的特征值 。
因为
所以 ，即
比较此式两端即得 。
充分性 ，故 。
推论4正规阵是单纯矩阵。
推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。
定理2设 ，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 ， 为实数。
证明必要性因为 是数且 为Hermite矩阵，所以
故 为实数。
充分性因为 为实数，故 ，即 。设 ，则 。
（1）取 ，则 ， 。
（2）取 ，则 ，由（1）知 。
（3）取 （ ），则 ，所以 ，由（2）得 ，即 ，故 。
二、埃尔米特二次型
定义1设 ，称 元二次齐次函数
为埃尔米特二次型或复二次型，其中 ， 。
若记 ，则 ，且埃尔米特二次型 。由定理2知埃尔米特二次型 是实数，如果作可逆线性变换 ，则 ，而 也是埃尔米特矩阵，这样， 就化为关于 的埃尔米特二次型，即 。
定理3对埃尔米特二次型 ， ，存在酉变换 ，使得 为标准型，即
其中 ， 是 的特征值且为实数。
证明由定理6知 酉相似对角阵，故 的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。
推论 6设 为正规阵，其特征值为 ，则 的特征值为 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
所以
即 的特征值为 。
推论7设 为正规阵，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 的特征值都是实数。
证明由推论6，若 ，则 的特征值为实数。反之若 的特征值为实数，则 。
充分性用归纳法当 时命题显然。假设 时命题成立，下证 命题也成立。
设 ，其中正定阵 ，取 ，则
因为 ， ，由上式可得 。由 正定知 与正线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得
，
故
所以 与正线对角阵 合同，故 正定。
例1判断埃尔米特二次型 是否正定。
解 ， ， ， ，所以 ，由于 的顺序主子式 ， ，故 正定。
推论8设 为正规阵，则 为酉矩阵的充分必要条件是 的特征值 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
若 ，则 ，即 ， 。
反之，若 ， ，则 。
阶正规阵 酉相似于对角阵，求酉矩阵 ，使得
的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。
（1）求出 的相异特征值
（2）对 的每个相异特征值 求出其对应的特征子空间的基底 （即方程 的基础解系）， 。
第三章矩阵的对角化、若当标准型
§3.1矩阵对角化
线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质
定义1设 ，称 的全体特征值为 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
（3） 的某行（列）乘多项式 加到另一行（列）。
若 经过初等变换化为 ，则称 与 等价。
命题2设 为 阶 矩阵， ，则 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
证明显然证明每种初等变换不改变 矩阵的行列式因子即可，这里只证第（1）种初等变换不改变 矩阵的行列式因子，其余类似。
设 ，若 中的 阶子阵 不含 的 两行，则在 中有相同的 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 两行，则在 中有 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 行，不含 的 行，则在 中选对应 的 列及不含 行的对应 的 行和 的 行，即得 有 阶子式 。由以上讨论知 中有与 的 阶子式 至多差一个符号的子式，反之亦然，故 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
推论2设 ，若 有 个不同的特征值，则 为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4设 ，如果 ，则称 为复（实）正规阵。
显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。
定义5设 ，若 ，使得
（ ）
则称 酉（正交）相似。
引理1（司楚尔（Schur）引理）设 ，则 ，使得 ，其中 是上三角阵，且 的对角线为 的特征值。
证明用归纳法当 时，命题显然。假设 时命题成立，要证 时命题也成立。
设 ， 为 的特征值， 为其对应的特征向量，且 。将 扩充为 的标准正交基
记 ，则
因为 ，故由假设 ，使得 ，其中 为上三角阵。所以
所以
记 ， ，则
，且
其中 为上三角阵。
因为 与 酉相似，故 与 有相同的特征值，所以 的对角线元素为 的特征值。
定义4设 ，称 （ ）为 的瑞利商。