第三章矩阵对角化、若当标准型讲解

第五章特征值和特征向量矩阵对角化

第五章特征值和特征向量矩阵对角化习题5.1 1．解：(A) 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? , 因为秩(A )=秩(B )所以A 与B 等价; 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(A)不正确. (B) A 与B 相似, 即存在可逆矩阵P 使得1P A P B -=, 所以秩(A )=秩(B ),因此A 与B 等价. (B)是正确的. (C) 与(A)一样, 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? ,秩(A )=秩(B ), 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(C)不正确. (D) 与(A)一样, 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? ,｜A ｜=｜B ｜, 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(D)不正确. 7．解：(1) 因为2 1001 02 5225 2 (1)(3)2 4 124 1 E λλλλλλ-??? ?---=-=--????---+?? , 所以特征值为1,1,3. 求解方程组 1 00(2 52)2 4 1E X O ?? ? ? ---=????--??, 得属于特征值1的特征向量为 [][]1122, 1, 01, 0, 1T T k k ξ=+- (其中12,k k 为不同时为零的任意数). 求解方程组1 00(32 52)2 4 1E X O ?? ? ? ---=????--?? , 得属于特征值3的特征向量为 []230, 1, 1T k ξ= (其中3k 为不为零的任意数). 习题5.2 4．证明：T A 的特征多项式为(())()T T T T E A E A E A E A λλλλ-=-=-=-

第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。下面定理1是显然的。定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 rank()i i n n I A αλ=-- 证明特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 dim dim ()i i i n V N I A λαλ==- dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=-- 例1 求123323001A ?? ??=?? ??-?? 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 1 23det()3 2 30 1 I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+- 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2233rank 3331000---?? ??=----=?? ???? 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 3233rank 3231005--?? ??=---=?? ???? 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。证明因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向量12,, ,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基 121,,,,,i i n ααεεεεε+ 设121 []i i n P ααεεεεε+=，则 121 []i i n AP A ααεεεεε+= 121[,]i i i i i n A A ααλελελεεε+= 121 *[]i i i i n i O ααλλεεεεελ +????????=???????? ? PB =

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

矩阵可对角化的判定条件开题报告

矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论

进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,

矩阵可对角化的条件.

第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。例1设，则有：，即。从而可对角化。定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有

因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设 (1) 成立。则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得 ,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。

证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。因此有，,又由已知得 ,,因此向量组线性无关。定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：因而有：

矩阵可对角化的充分必要条件论文

学号 20080501050116 密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋指导教师：李旭东二○一二年五月

BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012

郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名 : 日期 :

摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given． Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization

第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ，所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有

第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束 1 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材：矩阵论与数值分析----理论及其工程应用上页下页返回结束 2 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数邱启荣华北电力大学数理系QQIR@https://www.360docs.net/doc/48604914.html, 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束 3 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束 4 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束 5 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束 6 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数

上页下页返回结束7 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束8 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束9 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束 10 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束 11 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束 12 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

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矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换

定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。二〃矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为：（1）求特征值；（2）求对应的特征向量；（3）将特征向量正交标准化；（4）写出及.

第五章矩阵的特征值和特征向量矩阵对角化

第五章特征值和特征向量矩阵的对角化振动问题、稳定性问题和许多工程实际问题的求解，最终归结为求某些矩阵的特征值和特征向量的问题。本章主要讨论：矩阵的特征值和特征向量；矩阵在相似意义下化为对角阵；实对称矩阵的对角化。第一节矩阵的特征值和特征向量相似矩阵内容要点一、特征值和特征向量的基本概念定义5.1 设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维向量x ，使得 x Ax λ= （5.1）就称λ是矩阵A 的特征值，x 是的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。注：1、特征向量0≠x ；特征值问题是对方阵而言的。 2、1是单位阵的唯一特征值，任意非零n 维向量都是单位阵的特征向量。 3、0是零矩阵的唯一特征值，任意非零n 维向量都是零矩阵的特征向量。由定义得，特征值为方程 0)(=-x A I λ 有非零解的λ值，即满足方程 0)d e t (=-A I λ （5.2）的λ都是矩阵A 的特征值。定义5.2 设n 阶矩阵)(ij a A =，则 nn n n n n a a a a a a a a a A I x f ---------= -=λλλλ 2 1 222 21 112 11 )det()( （5.3）称为矩阵A 的特征多项式，A I -λ称为A 的特征矩阵，式（5.2）称为A 的特征方程。例1 求矩阵 ???? ? ?????----=12 4 113 115A 的特征值和特征向量。解：矩阵A 的特征多项式为 2 )2)(3(1 2 4 1 13115 )det(--=-----= -λλλλλλA I . 故A 的特征值为31=λ，22=λ（二重特征值）。当31=λ时，由0)(1=-x A I λ，即

第五章特征值与特征向量矩阵的对角化

第五章特征值与特征向量矩阵的对角化本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念, 并利用它们解决矩阵的对角化问题。另外特征值理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时, 都有广泛的应用。 §1 矩阵的特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵,如果存在数λ和非零的n 维向量α,使得 λαα=A (1.1) 那么, 称λ为矩阵A 的一个特征值,而称α为A 的属于特征值λ的一个特征向量。从几何上看, 矩阵A 的特征向量α经过矩阵A 作用后所得到的向量λα与特征向量α共线, 而比例系数λ就是特征向量α所属的特征值。如果α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量, 则α的任何一个非零倍数αk 也是A 的属于λ的特征向量, 因为从(1.1)式可以推出 )()(αλααk kA k A == 进一步,若 ,,21ααs α，都是A 的属于λ的特征向量,且s s k k k αααα+++= 2211≠0, 则α仍然是A 的属于λ的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。下面讨论特征值和特征向量的求法。根据定义, 若α为n 阶矩阵)(ij a A =的属于特征值λ的特征向量,则α为齐次线性方程组0)(=-X E A λ即 ?? ???? ?=-+++=++-+=+++-0 )(0)(0)(221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ （1.2）的非零解,反之亦然。根据线性方程组解的理论可知,λ是矩阵A 的特征值的充分必要条件为方程组(1.2)的系数行列式0=-E A λ。定义2 对于n 阶矩阵)(ij a A =， λ λλ λλ---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A f 2 1 22221 112 11)( 是λ的n 次多项式,称为方阵A 的特征多项式,方程0)(=λf 称为方阵A 的特征方程。

矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院数学与应用数学（S ）学号：2011031103 姓名：方守强指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一、矩阵可对角化的概念 1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而 ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。求方阵A 的特征值与特征向量的步骤： (1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

第三章矩阵的标准形与若干分解形式-2

§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得： ()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。类似地可以定义左公因子。定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵 ()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为 T T T N D R ))(),(()(λλλ= 便是一个。定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得 ()()()()()()()()()()? ? ? ???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。证明：（1）证明()λR 是右公因子。设()()()()()?? ????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()??? ???=? ???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。（2）证明()λR 是gcrd 。

第五章矩阵的特征值与特征向量习题

线性代数第五章矩阵的特征值与特征向量习题 1试用施密特法把下列向量组正交化 111 (1) ( a 1, a 2, a 3)124 139 111 0 _1 1 (2) ( a 1, a 2, a 3)— _1 0 1 110 2设x 为n 维列向量x . =... 二 T x1令HE$X T 证明H 是对称的正交阵 ■ 3求下列矩阵的特征值和特征向量： 212 (1) 533; 102 123 (2) 213. 336 -V 辛 ? T 与A 的特征值相同4设A 为n 阶矩阵证明A . X* x x ■入 5设0是m 阶矩阵AmnB m 的特征值证明也是 n 阶矩阵BA 的特征值. _ + ■I ■ ■ t. ?' 6已知3阶矩阵A 的特征值为123求|A ? 35A 7A | + * 7已知3阶矩阵A 的特征值为123求|A*3A2E| ■ I I ■ ■ 201 8设矩阵A31X 可相似对角化求X 405

■岭坤 J12 _ T是矩阵A5a3的一个特征向量9 已知p(111) 1b2

线性代数 (1) 求参数ab及特征向量p所对应的特征值 (2) 问A能不能相似对角化？并说明理由 220 10试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵212化为对角阵. 020 1245 I I I 11设矩阵A2x2与4相似求xy并求一个' 421y 1 正交阵P使P AP 12设3阶方阵A的特征值为122231对应的特征向量依次为pi(011) T p2(111) T p3(110) T求A. 13设3阶对称矩阵A的特征值162333与特征值16对应的特 * Ar —.人一.A* —r* T求A. 征向量为p1(111) 142 、工100 14设A034 求A 043

线性代数第五章课后习题与解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332? ?? ? ??-- 解：,0731 3 3 2 2=--=--= -λλλλλA I 2 37 3,237321-=+= λλ ,00 13 36 37 123712 137 1??? ? ??→→??? ? ??=-++-ΛA I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,00 13 36 37 12371237 12??? ? ??→→??? ? ??-=---+ΛA I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 11 121 13--==------=-λλλλ λλΛA I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ??? ? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121ΛA I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ??? ? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112ΛA I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T