第三章矩阵对角化、若当标准型讲解
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由于矩阵 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。
定理2设 ，则 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设 ， 为 的特征值，称 的特征多项式中 的重根数 为 的代数重复度，称特征子空间 的维数 为 的几何重复度。
由定义2即知 的特征值 的几何重复度 为 对应于特征值 的线性无关特征向量的个数。
证明因为 为埃尔米特矩阵，所以由定理1的（1） ，使得
且 为实数。
令 ，则
定理4设 ， 的正惯性指数为 ，则存在可逆线性变换 ，使得埃尔米特二次型 （ ）为规范标准型，即
证明由定理1的（2）易得。
定义2设埃尔米特二次型 ，如果 ， ，均有 ，则称此二次型为正定的（半正定的），且称 为正定阵（半正定阵）。
推论2设 ，则下列命题等价：
（1） 正定；
（2） 的特征值都是正实数；
（3） 与单位阵合同；
（4）对任意可逆阵 ，均有 正定。
证明 由定理3的证明易得。
由定理5显然。
因为 与 合同，由推论1得证。
wk.baidu.com定理6设 ，则 正定充分必要条件是 的顺序主子式都大于零，即
， ， ，
证明必要性设
其中 ， ，则
所以 正定，设 为 的特征值，则 ， ，故 的顺序主子式都大于零。
定义2设 为 阶 矩阵，称 的所有 阶子式的首1（最高次项系数为1）最大公因子为 的 阶行列式因子，记为 ，显然 ， 为常数，规定 。
例1设 行列式因子。
解 。
的1阶子式为 ，所以 。
的2阶子式为 ，所以 。
的3阶子式为 ，所以 。
命题1设 为 阶 矩阵， 为 的 阶行列式因子，则 ， 。
证明设 为 的任一个 阶子阵，则
前面我们讨论了可对角化的矩阵，这一节中我们讨论一般方阵 的一种相似最简型，即若当标准型，这个标准型在理论和实际中都有重要的应用。
一、 矩阵及其(smith)标准型
定义1设 ，其中 为 上的多项式，称 为 矩阵或多项式矩阵。若 ，则称 中次数最高的多项式的次数为 的次数。
显然数字矩阵和特征矩阵 都是 矩阵。
定理1 阶非零 矩阵 总可以经过初等变换化为标准型。
证明设 ，不妨设 ，且 ，下证若 不能整除 中其余所有元素，则存在与 等价的 ，使得 的左上角元素 的次数 ，下面分三种情形证明。
（1）若在 的第一行中存在 ，使得 ，则
推论3设 ，则 ，使得 ，其中 是下三角阵，且 的对角线为 的特征值。
定理6设 ，则 为正规阵的充分必要条件是 ，使得 ，其中 ， 是 的特征值。
证明必要性由司楚尔引理 ，使得
，
且 的对角线为 的特征值 。
因为
所以 ，即
比较此式两端即得 。
充分性 ，故 。
推论4正规阵是单纯矩阵。
推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。
显然由于 正定，则 ，故 当且仅当 ，所以此时 相对于 的广义特征值即为 的特征值。
定理9设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则 相对于 的广义特征值 都是实数。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 ，所以
所以
故 为 的特征值。因为 是埃尔米特矩阵，由定理1得 为实数。
定理10设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则存在可逆阵 ，使得
证明由定理6知 酉相似对角阵，故 的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。
推论 6设 为正规阵，其特征值为 ，则 的特征值为 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
所以
即 的特征值为 。
推论7设 为正规阵，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 的特征值都是实数。
证明由推论6，若 ，则 的特征值为实数。反之若 的特征值为实数，则 。
充分性因为 ， ，所以 有 个线性无关的特征向量
其中 为 对应的特征向量， 。
设
则
故
必要性设 与 相似，则 是 的特征值，不妨设
则 关于特征值 至少有 个线性无关的特征向量，即 ，又由定理4： ，故得 ， 。
由定理5的证明显然有下面的结论。
推论1设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。
其中 为 相对于 的广义特征值。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 。由定理9的证明知 为 的特征值，故 ，使得
取 ，则
而
推论4设 是 阶埃尔米特二次型， 是 阶正定埃尔米特二次型，则存在可逆线性变换 ，使得
其中 为 相对于 的广义特征值。
四、瑞利（Rayleigh）商
在讨论埃尔米特二次型的范围和矩阵特征值的摄动（即矩阵有微小改变时，对应特征值的改变）问题中，瑞利商有一定的应用，在此对瑞利商概念做简单介绍。
命题3设 为 阶 矩阵，若 ，且 ， （ 首1），则 为 的不变因子。
证明由命题2知 与 有相同的行列式因子，而 的行列式因子为
所以 为 的不变因子， 。
定义5称命题3中的 为 阶 矩阵 的（smith）标准型。
由命题3知 的标准型 中的 即为 的的不变因子。
命题4 阶 矩阵 的不变因子唯一。
证明因为 的行列式因子 唯一，所以 的不变因子唯一， 。
定理5设 ，则 正定充分必要条件是 与正线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得 ，其中 。
证明充分性令 ，则埃尔米特二次型
故 ，由 的可逆性得 ，从而 正定。
必要性由定理1 ，使得
令 ，则
因为 ， ，由 的可逆性即得 ， ，故 。
推论1设 ，若 与 合同，则 与 的正定性相同。
证明因为 与 合同，故 也是埃尔米特矩阵，若 正定，则 与正线对角阵合同，故 也与正线对角阵合同，所以 正定，反之若 正定，同理 正定。
定理3设 ， 为 的特征值， 为 的几何重复度，则
证明特征子空间 ，所以
例1求 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解
所以 的谱为 ， ， 的代数重复度分别为 。
的几何重复度
的几何重复度
定理4设 ， 为 的特征值， 为 的代数重复度， 为 的几何重复度，则 。
证明因为 为 的几何重复度，所以 对应于 有 个线性无关的特征向量 是特征子空间 的基，将 扩充为 的基
对半正定埃尔米特二次型有类似结论。
定理7设 ，则 半正定充分必要条件是 与非负实线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得 ，其中 。
推论3设 ，则下列命题等价：
（1） 半正定；
（2） 的特征值都是非负实数；
（3） 与 阵合同， ；
（4）对任意可逆阵 ，均有 半正定。
定理8设 ，则 半正定充分必要条件是 所有主子式都非负（ 的 阶主子式为任取 的 行与对应的 列而构成的 阶子式）。
充分性用归纳法当 时命题显然。假设 时命题成立，下证 命题也成立。
设 ，其中正定阵 ，取 ，则
因为 ， ，由上式可得 。由 正定知 与正线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得
，
故
所以 与正线对角阵 合同，故 正定。
例1判断埃尔米特二次型 是否正定。
解 ， ， ， ，所以 ，由于 的顺序主子式 ， ，故 正定。
推论8设 为正规阵，则 为酉矩阵的充分必要条件是 的特征值 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
若 ，则 ，即 ， 。
反之，若 ， ，则 。
阶正规阵 酉相似于对角阵，求酉矩阵 ，使得
的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。
（1）求出 的相异特征值
（2）对 的每个相异特征值 求出其对应的特征子空间的基底 （即方程 的基础解系）， 。
证明用归纳法当 时，命题显然。假设 时命题成立，要证 时命题也成立。
设 ， 为 的特征值， 为其对应的特征向量，且 。将 扩充为 的标准正交基
记 ，则
因为 ，故由假设 ，使得 ，其中 为上三角阵。所以
所以
记 ， ，则
，且
其中 为上三角阵。
因为 与 酉相似，故 与 有相同的特征值，所以 的对角线元素为 的特征值。
其中 是 的代数余子式，因为 ， ，故 。由于 是 的 阶子式的首1最大公因子，所以
，
定义3设 为 阶 矩阵 的 阶行列式因子，称
，
为 的不变因子。显然有 ， 。
例2在例1中 的不变因子为 。
定义4设 为 阶 矩阵，下列变换称为 的初等变换。
（1） 的某两行（列）互换；
（2） 的某行（列）乘非零常数 ；
定义4设 ，称 （ ）为 的瑞利商。
显然 是实数。
定理11设 是埃尔米特矩阵 的瑞利商，则
（1） ，有 ；
（2） ；
（3） ， ，其中 为 的特征值 的特征子空间。
证明（1）显然
（2）因为 是埃尔米特矩阵，所以 ，使得
其中 为 的特征值且为实数。所以设 有
故
（3） ，有 ，则
。
§3.3方阵的若当标准型
三、同时对角化
在力学系统小振动等一些工程问题中，我们需要将两个埃尔米特二次型作相同的线性变换，同时化为标准型，即将两个埃尔米特矩阵同时对角化，这也是广义特征值问题。
定义3设 都是埃尔米特矩阵且 正定，如果 ，使得
则称 为 的相对于 的广义特征值，称 为对应于广义特征值 的广义特征向量。
由上述定义可以看出 为 的相对于 的广义特征值充分必要条件是 为广义特征方程 的根，对应于广义特征值 的广义特征向量 即为线性方程组 的非零解。
（2）若 ，则 与矩阵 合同（称 为 的正惯性指数， 为 的负惯性指数）。
证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。
（2）因为 为正规阵，所以 ，使得
不妨设 ，其中 ，则
其中对角阵
，
记 ，则 ，且
由上述证明可得出埃尔米特矩阵 的正、负惯性指数即为 的正、负特征值的个数，从而 的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。
（3）将 化为 对应的特征子空间标准正交基 （用施密特正交化，然后单位化），
（4）取 ，则
§3.2埃尔米特二次型
埃尔米特矩阵是实对称阵的推广，而一个实对称阵对应着一个实二次型，相应的我们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其它一些工程中有重要的应用。
一、埃尔米特矩阵
定理1设 ，则
（1） 酉相似于对角线上都是 的特征值的对角阵，且 的特征值都是实数。
定理2设 ，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 ， 为实数。
证明必要性因为 是数且 为Hermite矩阵，所以
故 为实数。
充分性因为 为实数，故 ，即 。设 ，则 。
（1）取 ，则 ， 。
（2）取 ，则 ，由（1）知 。
（3）取 （ ），则 ，所以 ，由（2）得 ，即 ，故 。
二、埃尔米特二次型
（3） 的某行（列）乘多项式 加到另一行（列）。
若 经过初等变换化为 ，则称 与 等价。
命题2设 为 阶 矩阵， ，则 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
证明显然证明每种初等变换不改变 矩阵的行列式因子即可，这里只证第（1）种初等变换不改变 矩阵的行列式因子，其余类似。
设 ，若 中的 阶子阵 不含 的 两行，则在 中有相同的 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 两行，则在 中有 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 行，不含 的 行，则在 中选对应 的 列及不含 行的对应 的 行和 的 行，即得 有 阶子式 。由以上讨论知 中有与 的 阶子式 至多差一个符号的子式，反之亦然，故 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
推论2设 ，若 有 个不同的特征值，则 为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4设 ，如果 ，则称 为复（实）正规阵。
显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。
定义5设 ，若 ，使得
（ ）
则称 酉（正交）相似。
引理1（司楚尔（Schur）引理）设 ，则 ，使得 ，其中 是上三角阵，且 的对角线为 的特征值。
定义1设 ，称 元二次齐次函数
为埃尔米特二次型或复二次型，其中 ， 。
若记 ，则 ，且埃尔米特二次型 。由定理2知埃尔米特二次型 是实数，如果作可逆线性变换 ，则 ，而 也是埃尔米特矩阵，这样， 就化为关于 的埃尔米特二次型，即 。
定理3对埃尔米特二次型 ， ，存在酉变换 ，使得 为标准型，即
其中 ， 是 的特征值且为实数。
第三章矩阵的对角化、若当标准型
§3.1矩阵对角化
线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质
定义1设 ，称 的全体特征值为 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
设 ，则
其中 ， 。
所以矩阵 与 相似，故特征多项式
又因为
所以 。
二、矩阵的对角化
定义3设 ，若 与对角阵相似，则称 可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
定理5设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。
证明设 为 的全部相异特征值， 为 的代数重复度， 为 的几何重复度， 。
定理2设 ，则 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设 ， 为 的特征值，称 的特征多项式中 的重根数 为 的代数重复度，称特征子空间 的维数 为 的几何重复度。
由定义2即知 的特征值 的几何重复度 为 对应于特征值 的线性无关特征向量的个数。
证明因为 为埃尔米特矩阵，所以由定理1的（1） ，使得
且 为实数。
令 ，则
定理4设 ， 的正惯性指数为 ，则存在可逆线性变换 ，使得埃尔米特二次型 （ ）为规范标准型，即
证明由定理1的（2）易得。
定义2设埃尔米特二次型 ，如果 ， ，均有 ，则称此二次型为正定的（半正定的），且称 为正定阵（半正定阵）。
推论2设 ，则下列命题等价：
（1） 正定；
（2） 的特征值都是正实数；
（3） 与单位阵合同；
（4）对任意可逆阵 ，均有 正定。
证明 由定理3的证明易得。
由定理5显然。
因为 与 合同，由推论1得证。
wk.baidu.com定理6设 ，则 正定充分必要条件是 的顺序主子式都大于零，即
， ， ，
证明必要性设
其中 ， ，则
所以 正定，设 为 的特征值，则 ， ，故 的顺序主子式都大于零。
定义2设 为 阶 矩阵，称 的所有 阶子式的首1（最高次项系数为1）最大公因子为 的 阶行列式因子，记为 ，显然 ， 为常数，规定 。
例1设 行列式因子。
解 。
的1阶子式为 ，所以 。
的2阶子式为 ，所以 。
的3阶子式为 ，所以 。
命题1设 为 阶 矩阵， 为 的 阶行列式因子，则 ， 。
证明设 为 的任一个 阶子阵，则
前面我们讨论了可对角化的矩阵，这一节中我们讨论一般方阵 的一种相似最简型，即若当标准型，这个标准型在理论和实际中都有重要的应用。
一、 矩阵及其(smith)标准型
定义1设 ，其中 为 上的多项式，称 为 矩阵或多项式矩阵。若 ，则称 中次数最高的多项式的次数为 的次数。
显然数字矩阵和特征矩阵 都是 矩阵。
定理1 阶非零 矩阵 总可以经过初等变换化为标准型。
证明设 ，不妨设 ，且 ，下证若 不能整除 中其余所有元素，则存在与 等价的 ，使得 的左上角元素 的次数 ，下面分三种情形证明。
（1）若在 的第一行中存在 ，使得 ，则
推论3设 ，则 ，使得 ，其中 是下三角阵，且 的对角线为 的特征值。
定理6设 ，则 为正规阵的充分必要条件是 ，使得 ，其中 ， 是 的特征值。
证明必要性由司楚尔引理 ，使得
，
且 的对角线为 的特征值 。
因为
所以 ，即
比较此式两端即得 。
充分性 ，故 。
推论4正规阵是单纯矩阵。
推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。
显然由于 正定，则 ，故 当且仅当 ，所以此时 相对于 的广义特征值即为 的特征值。
定理9设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则 相对于 的广义特征值 都是实数。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 ，所以
所以
故 为 的特征值。因为 是埃尔米特矩阵，由定理1得 为实数。
定理10设 都是埃尔米特矩阵且 正定，则存在可逆阵 ，使得
证明由定理6知 酉相似对角阵，故 的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。
推论 6设 为正规阵，其特征值为 ，则 的特征值为 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
所以
即 的特征值为 。
推论7设 为正规阵，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 的特征值都是实数。
证明由推论6，若 ，则 的特征值为实数。反之若 的特征值为实数，则 。
充分性因为 ， ，所以 有 个线性无关的特征向量
其中 为 对应的特征向量， 。
设
则
故
必要性设 与 相似，则 是 的特征值，不妨设
则 关于特征值 至少有 个线性无关的特征向量，即 ，又由定理4： ，故得 ， 。
由定理5的证明显然有下面的结论。
推论1设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。
其中 为 相对于 的广义特征值。
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 。由定理9的证明知 为 的特征值，故 ，使得
取 ，则
而
推论4设 是 阶埃尔米特二次型， 是 阶正定埃尔米特二次型，则存在可逆线性变换 ，使得
其中 为 相对于 的广义特征值。
四、瑞利（Rayleigh）商
在讨论埃尔米特二次型的范围和矩阵特征值的摄动（即矩阵有微小改变时，对应特征值的改变）问题中，瑞利商有一定的应用，在此对瑞利商概念做简单介绍。
命题3设 为 阶 矩阵，若 ，且 ， （ 首1），则 为 的不变因子。
证明由命题2知 与 有相同的行列式因子，而 的行列式因子为
所以 为 的不变因子， 。
定义5称命题3中的 为 阶 矩阵 的（smith）标准型。
由命题3知 的标准型 中的 即为 的的不变因子。
命题4 阶 矩阵 的不变因子唯一。
证明因为 的行列式因子 唯一，所以 的不变因子唯一， 。
定理5设 ，则 正定充分必要条件是 与正线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得 ，其中 。
证明充分性令 ，则埃尔米特二次型
故 ，由 的可逆性得 ，从而 正定。
必要性由定理1 ，使得
令 ，则
因为 ， ，由 的可逆性即得 ， ，故 。
推论1设 ，若 与 合同，则 与 的正定性相同。
证明因为 与 合同，故 也是埃尔米特矩阵，若 正定，则 与正线对角阵合同，故 也与正线对角阵合同，所以 正定，反之若 正定，同理 正定。
定理3设 ， 为 的特征值， 为 的几何重复度，则
证明特征子空间 ，所以
例1求 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解
所以 的谱为 ， ， 的代数重复度分别为 。
的几何重复度
的几何重复度
定理4设 ， 为 的特征值， 为 的代数重复度， 为 的几何重复度，则 。
证明因为 为 的几何重复度，所以 对应于 有 个线性无关的特征向量 是特征子空间 的基，将 扩充为 的基
对半正定埃尔米特二次型有类似结论。
定理7设 ，则 半正定充分必要条件是 与非负实线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得 ，其中 。
推论3设 ，则下列命题等价：
（1） 半正定；
（2） 的特征值都是非负实数；
（3） 与 阵合同， ；
（4）对任意可逆阵 ，均有 半正定。
定理8设 ，则 半正定充分必要条件是 所有主子式都非负（ 的 阶主子式为任取 的 行与对应的 列而构成的 阶子式）。
充分性用归纳法当 时命题显然。假设 时命题成立，下证 命题也成立。
设 ，其中正定阵 ，取 ，则
因为 ， ，由上式可得 。由 正定知 与正线对角阵合同，即存在可逆阵 ，使得
，
故
所以 与正线对角阵 合同，故 正定。
例1判断埃尔米特二次型 是否正定。
解 ， ， ， ，所以 ，由于 的顺序主子式 ， ，故 正定。
推论8设 为正规阵，则 为酉矩阵的充分必要条件是 的特征值 。
证明因为 为正规阵，所以 ，使得
若 ，则 ，即 ， 。
反之，若 ， ，则 。
阶正规阵 酉相似于对角阵，求酉矩阵 ，使得
的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。
（1）求出 的相异特征值
（2）对 的每个相异特征值 求出其对应的特征子空间的基底 （即方程 的基础解系）， 。
证明用归纳法当 时，命题显然。假设 时命题成立，要证 时命题也成立。
设 ， 为 的特征值， 为其对应的特征向量，且 。将 扩充为 的标准正交基
记 ，则
因为 ，故由假设 ，使得 ，其中 为上三角阵。所以
所以
记 ， ，则
，且
其中 为上三角阵。
因为 与 酉相似，故 与 有相同的特征值，所以 的对角线元素为 的特征值。
其中 是 的代数余子式，因为 ， ，故 。由于 是 的 阶子式的首1最大公因子，所以
，
定义3设 为 阶 矩阵 的 阶行列式因子，称
，
为 的不变因子。显然有 ， 。
例2在例1中 的不变因子为 。
定义4设 为 阶 矩阵，下列变换称为 的初等变换。
（1） 的某两行（列）互换；
（2） 的某行（列）乘非零常数 ；
定义4设 ，称 （ ）为 的瑞利商。
显然 是实数。
定理11设 是埃尔米特矩阵 的瑞利商，则
（1） ，有 ；
（2） ；
（3） ， ，其中 为 的特征值 的特征子空间。
证明（1）显然
（2）因为 是埃尔米特矩阵，所以 ，使得
其中 为 的特征值且为实数。所以设 有
故
（3） ，有 ，则
。
§3.3方阵的若当标准型
三、同时对角化
在力学系统小振动等一些工程问题中，我们需要将两个埃尔米特二次型作相同的线性变换，同时化为标准型，即将两个埃尔米特矩阵同时对角化，这也是广义特征值问题。
定义3设 都是埃尔米特矩阵且 正定，如果 ，使得
则称 为 的相对于 的广义特征值，称 为对应于广义特征值 的广义特征向量。
由上述定义可以看出 为 的相对于 的广义特征值充分必要条件是 为广义特征方程 的根，对应于广义特征值 的广义特征向量 即为线性方程组 的非零解。
（2）若 ，则 与矩阵 合同（称 为 的正惯性指数， 为 的负惯性指数）。
证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。
（2）因为 为正规阵，所以 ，使得
不妨设 ，其中 ，则
其中对角阵
，
记 ，则 ，且
由上述证明可得出埃尔米特矩阵 的正、负惯性指数即为 的正、负特征值的个数，从而 的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。
（3）将 化为 对应的特征子空间标准正交基 （用施密特正交化，然后单位化），
（4）取 ，则
§3.2埃尔米特二次型
埃尔米特矩阵是实对称阵的推广，而一个实对称阵对应着一个实二次型，相应的我们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其它一些工程中有重要的应用。
一、埃尔米特矩阵
定理1设 ，则
（1） 酉相似于对角线上都是 的特征值的对角阵，且 的特征值都是实数。
定理2设 ，则 为Hermite矩阵的充分必要条件是 ， 为实数。
证明必要性因为 是数且 为Hermite矩阵，所以
故 为实数。
充分性因为 为实数，故 ，即 。设 ，则 。
（1）取 ，则 ， 。
（2）取 ，则 ，由（1）知 。
（3）取 （ ），则 ，所以 ，由（2）得 ，即 ，故 。
二、埃尔米特二次型
（3） 的某行（列）乘多项式 加到另一行（列）。
若 经过初等变换化为 ，则称 与 等价。
命题2设 为 阶 矩阵， ，则 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
证明显然证明每种初等变换不改变 矩阵的行列式因子即可，这里只证第（1）种初等变换不改变 矩阵的行列式因子，其余类似。
设 ，若 中的 阶子阵 不含 的 两行，则在 中有相同的 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 两行，则在 中有 阶子式 （对应位置取子式）；若 中的 阶子阵 含 的 行，不含 的 行，则在 中选对应 的 列及不含 行的对应 的 行和 的 行，即得 有 阶子式 。由以上讨论知 中有与 的 阶子式 至多差一个符号的子式，反之亦然，故 与 有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
推论2设 ，若 有 个不同的特征值，则 为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4设 ，如果 ，则称 为复（实）正规阵。
显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。
定义5设 ，若 ，使得
（ ）
则称 酉（正交）相似。
引理1（司楚尔（Schur）引理）设 ，则 ，使得 ，其中 是上三角阵，且 的对角线为 的特征值。
定义1设 ，称 元二次齐次函数
为埃尔米特二次型或复二次型，其中 ， 。
若记 ，则 ，且埃尔米特二次型 。由定理2知埃尔米特二次型 是实数，如果作可逆线性变换 ，则 ，而 也是埃尔米特矩阵，这样， 就化为关于 的埃尔米特二次型，即 。
定理3对埃尔米特二次型 ， ，存在酉变换 ，使得 为标准型，即
其中 ， 是 的特征值且为实数。
第三章矩阵的对角化、若当标准型
§3.1矩阵对角化
线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质
定义1设 ，称 的全体特征值为 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
设 ，则
其中 ， 。
所以矩阵 与 相似，故特征多项式
又因为
所以 。
二、矩阵的对角化
定义3设 ，若 与对角阵相似，则称 可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
定理5设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条件是 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。
证明设 为 的全部相异特征值， 为 的代数重复度， 为 的几何重复度， 。