随机过程概率空间

合集下载

概率空间中随机过程概率空间中的转换_刘普寅

本文1997年1月25日收到.国家自然科学基金(19371024)和国防科技大学试验技术研究经费(96-7448)资助项目.第13卷A 辑第4期1998年12月高校应用数学学报A pp.l M ath.—JCU V o.l 13Se r .A N o .4D ece m ber 1998Radon 概率空间中随机过程到L oeb 概率空间中的转换刘普寅　金治明(国防科技大学系统工程与数学系)摘　要在L indstro m 于1980年工作的基础上进一步研究了标准概率空间的弱L oeb 空间表示的性质,把Radon 概率空间中的局部鞅和半鞅转换到了超有限的L oeb 概率空间中,为非标准分析方法在随机分析中的应用提供了一个有效的框架.关键词　e 同态,弱Loeb 空间表示,标准部分,局部鞅,半鞅.分类号　(中图)O 211,O 17;(1991MR )60G 46,03H 28.§1　引　言非标准分析方法在随机分析中的应用非常广泛,自从1975年P .A.Loeb 在文献[1]中将一个内测度空间(Y ,A,P )转变成一个标准的测度空间(Y ,L (A ),L (P ))以来,取得了非常丰富的成果[2～4].对于经典随机分析中的许多问题,如B row n 运动,随机积分和随机微分方程等,用非标准分析方法得到了非常直观而易于理解的表现形式.但这里有一个让人感到欠缺之处是这些成果几乎都是在Lo eb 概率空间上获得的.虽从理论上讲,L oeb 概率空间可以视为标准的概率空间,但它的样本空间终究是内集,甚至是超有限集,而在标准概率论,这样的样本空间是不存在的.所以研究如何把一个标准概率空间中的随机分析问题转换到Loeb 概率空间中的相应问题就变得非常必要和有意义.L ind strom [5]通过一个e同态满射,将一个标准概率空间(K 0,F 0,P)表示成一个L oeb概率空间(K ,L (A ),L (P )),并且将(K 0,F 0,P)中的L 2鞅转换成了(K ,L (A ),L (P ))中的L2鞅,讨论了相应的随机积分的转换.本文在推广L i n dstrom的结果的基础上,将Radon 概率空间中的局部鞅与半鞅转换到了Loeb概率空间中,从而为局部鞅与半鞅及相应的随机积分的非标准刻划提供了基础.假设本文的所有讨论均在κ饱和模型V(*S)中,其中κ=C ard(V(S)),而S包含实数集R和所讨论概率空间K0,R+={x∈R|x≥0},N为自然数集,且r,s,r1,s1等表示R+中的数,而t,t1,t2等表示*R中的超实数.其他没有特别说明的记号见文献[6].§2　概率空间的弱L oeb空间表示及性质设F1与F2为两个e代数,称θF1→F2为e同态映射,若对集列{A i,i∈N}F1,A∈F1,有θ(∩i∈N A i)=∩i∈Nθ(A i),θ(∪i∈NA i)=∪i∈Nθ(A i),θ(A c)=(θ(A))c. 定义2.1　设(K0,F0,P0)为标准概率空间,如果存在超有限概率空间(K,A,P), L(A)的子e代数F,以及e同态满射θF→F0,使得A∈F,L(P)(A)=P0(θ(A)),(1)则称{(K,A,P);F,θ}为(K0,F0,P0)的弱Loeb空间表示.且称满足(1)的同态映射θ是弱保测的.在文献[7]中,A nderson在两个测度空间中引进了保测映射,定义了测度空间的L oeb 表示,并且证明了每个Radon测度空间均有L oeb表示,那么弱Lo eb空间表示和Loeb表示之间有何关系呢?定理2.1　下列断言等价:(i)(K0,F0,P0)有弱L oeb空间表示{(K,A,P);θ,F},并且存在满射λK→K0,使B∈F0,λ-1(B)∈F,θ(λ-1(B))=B, (ii)(K,L(A),L(P))为(K0,F0,P0)的Lo eb表示.证明　(i)(ii)是显见的.下面只证(ii)(i).设λ(K,L(A),L(P))→(K0,F0,P0)为保测满射,记F={λ-1(B)|B∈F0},则F L(A),而且F为一个e代数.定义θF→F0,使θ(λ-1(B))=B(B∈F0),易证θ弱保测且为e同态满射,(i)得证.由上述定理,一个概率空间若有L oeb表示,则它必有弱Lo eb空间表示.L indstro m[5]证明了每个标准概率空间都有弱Loeb空间表示.下面来讨论在弱Lo eb空间表示中e同态θ的性质.定理2.2　设f K→R是F可测函数,g K0→R为F0可测函数,则(i)对f,存在唯一的函数fθ:K0→R,fθ是F0可测的,且T∈R,θ{f≥T}={fθ≥T}.(2) (ii)对g,存在函数gθ:K→R,gθ为F可测,且T∈R,θ{gθ≥T}={g≥T}.(3) gθ在不计其θ象为空集外唯一确定.434高校应用数学学报第13卷A辑证明　只证(i ),至于(ii ),证明是类似的.先设f =i A ,A ∈F ,令f θ=i θ(A ),则f θ是F可测的,且 T ∈R ,考虑到θ( )= ,(2)显然成立.再设f =∑ni =1T ii (A i)(T i ∈R ,A i ∈F ),记F θ=∑ni =1T i i θ(A i),考虑到θ为e 同态,f θ即可满足要求.若f K→R 为F 可测函数,且f ≥0,则存在函数列{f m }m ∈N ,使每个f m 具有形式∑ni =1T i i A i ,且f m ↑f (m →∞)处处成立.考虑{f m θ}m ∈N ,使f m θ具有形式∑n i=1T i i θ(A i),则f m θ↑,故设f m θ↑f θ(m →∞). T ∈R ,考虑到θ{f m <T }={f m θ<T }.则{f θ≤T }=∩m ∈N f m θ<T +1m =θ∩m ∈N f m <T +1m=θ{f ≤T },从而{f θ≥T }=θ{f ≥T }.若f 为一般情形,注意到f =f +-f -即可得证.下证唯一性.若f θ′与f θ″同时满足要求,则 T ∈R ,{f θ″=T }={f θ″≥T }∩{f θ″≤T }=θ{f ≥T }∩θ{f ≤T }=θ({f ≥T )}∩{f ≤T })=θ{f =T }={f θ′=T },即f θ″≡f θ′,唯一性得证.注　若f :K →R 为F 可测,则(f θ)θ≡f .推论2.1　设p ∈[1,∞),且f ∈L p(K ,F ,L (P )),g ∈Lp(K 0,F 0,P),则f θ∈L p(K 0,F 0,P),g θ∈L p(K ,F ,L (P )),且(i) A ∈F ,∫A f dL (P )=∫θ(A )f θdP 0;(ii) B ∈F 0,而A ∈F ,B =θ(A ),则∫BgdP 0=∫Ag θdL (P ).推论2.2　设f 1,f 2:K →R 是F 可测函数,g 1,g 2K 0→R 为F 0可测函数,则有(i )(f 1-f 2)θ=f 1θ-f 2θ;(ii )若不计θ象为时,有(g 1-g 2)θ=g θ1-g θ2.对于标准适应概率空间(K 0,{F 0r }r ∈R +,P 0},其中{F 0r ,r ∈R +}为F 0的子e 代数族,且满足通常条件.我们有:定义2.2　若存在超有限概率空间(K ,A ,P ),A 的单调上升的内代数族{Ar ,r ∈R +}及K 上的单调上升的e 代数族{F r }r ∈R +∪{∞},使F r L (A r )(r ∈R +∪{∞}),其中F 0∞=e ∪r ∈R+F 0r,A∞=A.还有满的弱保测e 同态θ F ∞→F 0∞,使 r ∈R +∪{∞},{(K ,A r,P );F r,θ|F r}为(K 0,F 0r ,P 0)的弱L oeb 空间表示,称{(K,{A r }r ∈R +,P );F r,θ}为{K 0,{F 0r}r ∈R +,P 0)的弱Loeb 空间表示.由定理2.2,若x R +×K 0→R 是{F 0r }r ∈R +适应过程,{(K ,{A r }r ∈R +,P );F r,θ|Fr}为(K 0,{F 0r }r ∈R ,P 0)的弱L oeb 空间表示,则 r ∈R +,存在随机变量x θ(r ) K 0→R ,使 T ∈R ,θ{x θ(r )≥T }={x (r )≥T },且{x θ(r )≥T }∈F r.故定义x θR +×K→R ,x θ(r ,w )=x θ(r )(w ),则x θ是(K ,{F r }r ∈R +,P )适应的.此时称{(K ,{A r }r ∈R +,P );F r,θ,x θ}为适应过程x 的弱Loeb 空间表示.435第4期刘普寅,金治明:Radon 概率空间中随机过程到Loeb 概率空间中的转换L ind strom [5]证明了若x :R +×K →R 为关于{F 0r }的L 2鞅,则存在x 的弱Lo eb 空间表示{(K 0,{A r }r ∈R +,P );F r,θ,x θ},使x θ为关于{L (A r )}的L 2鞅.由κ饱和性,存在*R +的s -稠*有限子集T 0,使得可将{A r }r ∈R +内扩充为单调上升的内代数族{A t }t ∈T 0.这时 r ∈R +,记H r ={e(L (A t)∪N )|t ∈T 0,t ≈r }. 定理2.3　e 代数族{H r,r ∈R +}具有下列性质:(i )若A ∈H r,则存在t ∈T 0,t ≈r 及B ∈A t,使L (P )(A △B )=0;(ii )∩r >rH r =H r;(iii)对r ∈R +,有H r=∩t ∈T 0,°t >r(L (A t )∨N ); (i v )对r ∈R +,F rH r.证明　由定义易证(i)和(iv ),下面证明(ii)和(iii).(ii)由于{A t }t ∈T 0单调上升,则{H r }r ∈R +也单调上升,从而H r∩r >rH r.又若A ∈∩r >r 0H r ,任取R 中的序列{r n }:r n ↓r 0(n →+∞),则 r n ,有A ∈H rn.由定义,存在t n∈T 0,t n ≈r n ,使A ∈e (L (A t n)∪N ).取S n =*[t n ,r n +1n]∩T 0,则{S n ,n ∈N }为内集列且具有限交性质,由κ饱和性可知,存在t ∈∩n ∈N S n .从而 n ∈N ,t n ≤t ≤r n +1n,故t ≈r 0,t ∈T 0且A∈e (L (A t )∪N ).这样,A ∈H r 0,∩r >r 0H r H r 0,从而∩r >r 0H r =H r 0,即(ii)成立.(iii)若A ∈H r,则存在t 0∈T 0,t 0≈r ,使A ∈e (L (A t)∪N ).故 t ∈T 0,若°t >r ,有°t >t 0,A ∈e (L (A t)∪N ),即A ∈∩t ∈T 0,°t >r(L (A t )∨N ),H s∩t ∈T 0,°t >r(L (A t)∨N ).反之若A ∈∩t ∈T 0,°t >r(L (A t )∨N ),则 r 1>r , t ∈T 0,t ≈r 1,有°t >r ,从而A ∈L (A t)∨N ,A ∈H r1,A ∈∩r 1>rH r1=H r,即∩t ∈T 0,°t >r(L (A t )∨N ) H r H r=∩t ∈T 0,°t >r(L (A t)∨N ).(iii)得证.由定理2.3,以下总记H r=∩t ∈T 0,°t >r(L (A t )∨N ),(5)则{H r ,r ∈R +}即为L (A )的上升的子e 代数族.定理2.4　设f :K 0→R ∪{+∞}为{F 0r }停时,{f n ,n ∈N }为{F 0r }停时列,则(i)f θ:K →R +∪{∞}为{H r }停时;(ii)若f n ↑+∞(n →+∞)P 0.a .s .,则{f θn ,n ∈N }是{H r }停时列,且f θn ↑+∞(n →+∞)L (P ).a .s ..证明　(i) r ∈R +,由于θ{f θ≤r }={f ≤r }∈F0r,而且θr =θ|F r F r →F 0r 为满射,考虑到定理2.3的(iv),则存在B ∈F rH r,使得θ(B )={f ≤r }.又θ(B △{f θ≤r })=θ(B )△θ{f θ≤r }= ,且θ为e 弱保测同态,故L (P )(B △{f θ≤r })=P 0(θ(B △{f θ≤r }))=0,436高校应用数学学报第13卷A 辑则{fθ≤r}∈H r.若r=+∞,由于{fθ=+∞}=∩n∈N{fθ>n} ∪n∈N H n L(A),则fθ是{H r,r∈R+}停时.(ii):由(i),{fθn,n∈N}是{H r}停时列,而f n↑+∞(n→+∞)L(P).a.s.,故θ{li mn→+∞fθn=+∞}=θ∩+∞m=1∪+∞n=1∩+∞k=n{fθk>m}=∩+∞m=1∪+∞n=1∩+∞k=nθ{fθk>m} =∩+∞m=1∪+∞n=1∩+∞k=n{f k>m}={li mn→+∞f n=+∞}.这样,由于θ为e同态映射,得fθn→+∞(n→+∞)L(P).a.s.§3　R adon概率空间中局部鞅的转换称概率空间(K0,F0,P0)为R adon的,若下列条件满足:(i)K0为H ausdro ff空间,而F0是Bo rel e代数;(ii)B∈F0成立P0(B)=sup{P0(C)|C B,C为紧集}=in f{P0(O)|O B,O为开集}.设P是*K0的某个内剖分,而“～”为内剖分P所决定的等价关系.对w∈*K0,设[w]表示w所在的等价类,称P为s-分离的,若w∈ns(*K0),有[w]m(°w),其中m(°w)表示w 的标准部分°w的单子.而记L(P)为由P生成的内代数.A nde rson[7]证明了下述结果.引理3.1　设Radon概率空间(K0,F0,P0)的完备化为(K0,C,P0).则有(i)ns(*K0)∈L(*F0),且L(*P0)(*K0)=1;(ii)标准部分映射st(*K0,L(*F0),L(*P0))→(K0,C,P0)为保测满射,即B∈C, st-1(B)∈L(*F0),且L(*P0)(st-1(B))=P0(B);(iii)若P为*K0的一个s-分离的*有限剖分,A1=L(P),记K=*K0/～,A=A1/～,P=*P0/～,而c*K0→K为自然映射,则λ=st c-1(K,L(A),L(P))→(K0,C,P0)是保测满射.即(K,L(A),L(P))为(K0,F0,P0)的*有限Lo eb表示.今后为简明计,假设(K0,F0,P0)是完备的R adon概率空间.引理3.2　设J∈V(S),而{P T,T∈J}为*K0的一族*F0∞可测的*有限剖分,且 T∈J,P T满足内性质P I,n∈N以及T1,…,T n∈J,存在P′∈{P T,T∈J},满足P T i≤P′(i= 1,…,n),则存在*K0的*F0∞可测*有限剖分P0,使得 T∈J,P T≤P0,而且P0也具有性质P I.设x R+×K0→R是{F0r,r∈R+}适应过程,称x是{F0r}局部鞅,如果存在停时列f n K0→R+∪{+∞},n∈N,满足f n↑+∞(n→+∞)P0.a.s.而且n∈N,x(f n∧r,)为{F0r}一致可积鞅.设过程x R+×K0→R关于{F0r}适应,而{(K,{A r}r∈R+,P);F r,θ,xθ}是x的弱Loebλ-1(B)|B∈F0r}, B.(6) 437第4期刘普寅,金治明:Radon概率空间中随机过程到Loeb概率空间中的转换438高校应用数学学报第13卷A辑对应于满足(6)的e同态θ满足:定理3.1　设x R+×K0→R为随机过程,f K0→R∪{+∞}为{F0r}停时,与x的弱Loeb空间表示相联系的e同态θ满足(6),则(i)w∈K,t∈R+,xθ(t,w)=x(t,λ(w));(ii)若x为右连续的,那么xθ也是右连续过程;(iii)若x是右连续{F0r}适应过程,则{xθ(fθ∧r),r∈R+}为{H r,r∈R+}适应过程.证明　(i)任取r∈R+, T∈R,考虑到λK→K0为满射,易验证{x(r,λ())=T}=λ-1{x(r,)=T}.而由(6),θ:F→F0为1-1映射,利用定理2.2,θ{x(r,λ())=T}={x(r,)=T}=θ{xθ(r,)=T},从而{x(r,λ())=T}={xθ(r,)=T},故(i)得证.(ii)由已知,存在K′0∈F0,使P0(K′0)=1,且w0∈K′0,x(,w0)在R+上右连续.记K′=λ-1(K′0),则有θ(K′)=K′0,从而L(P)(K′)=1.任取r0∈R+,w∈K′,则有λ(w)∈K′0,故X∈R+-{0},存在W∈R+-{0},当0<r-r0<W时,|x(r,λ(w))-x(r0,λ(w))|<X,又由(i),|xθ(r,w)-xθ(r0,w)|<X.即w∈K′,xθ(,w)在R+上右连续,从而xθ是一个右连续过程.(iii)定理2.4可推得fθ是{H r}停时,又由于x为右连续{F0r}适应过程,故由(ii)与定理2.4,xθ是{H r}适应的右连续过程,从而xθ为循序过程.由[8]的定理4.14,xθ(fθ∧r)是H r可测的,即{xθ(fθ∧r),r∈R+}为{H r,r∈R+}适应过程,(iii)得证.为了将(K0,F0,P0)上的局部鞅转换到Lo eb概率空间中,先证定理3.2　设过程x R+×K0→R关于{F0r}适应,而{(K,{A r}r∈R+,P);F r,θ,xθ}是x 的弱Loeb空间表示,且θ与F r满足(6),而f K0→R+∪{∞}为{F0r}停时,则r∈R+,w∈K,(x(f∧r))θ(w)=xθ(fθ∧r,w). 证明　首先证明: T∈R,有λ-1{x(f,)=T}={xθ(fθ,)=T}.(7)事实上,若w∈λ-1{x(f,)=T},则x(f(λ(w)),λ(w))=T,故由定理3.1,xθ(f(λ(w)),w)= T=xθ(fθ(w),w),即w∈{xθ(fθ,)=T},λ-1{x(f,)=T}{xθ(fθ,)=T}.反之,设w∈{xθ(fθ,)=T},则xθ(fθ(w),w)=T.又由定理3.1,有xθ(f(λ(w)),w))=T=x(f(λ(w)),λ(w)).从而w∈λ-1{x(f,)=T},{xθ(fθ,)=T} λ-1{x(f,)=T}.故(7)得证.这样,由于{x(f,)=T}∈F0∞,故由(6)有θ{xθ(fθ,)=T}={x(f,)=T}=θ{(x(f,))θ=T}.由于满足(6)的θ必为1-1映射,故{xθ(fθ,)=T}={(x(f,))θ=T},定理证毕.定理3.3　设x R+×K0→R为{F0r}局部鞅,{f n,n∈N}为对应的停时列,则存在(K0, {F0r},P0)的弱L oeb空间表示{(K,{A r}r∈R+,P);F r,θ},使得n∈N,xθ(fθn∧)是关于{L (A r )}的一致可积鞅.证明　若F 0∞为有限代数,则此时定理显见成立.下面设F0∞是无限的.由引理3.1,映射st :(*K 0,L (*F 0),L (*P 0))→(K 0,F 0,P 0)为保测满射. r ∈R +∪{∞},令F 1r ={st -1(B )|B ∈F 0r },则F 1r 为e代数,且由引理3.1,F 1r L (*F 0r ).定义h r F 1r →F 0r 如下:h r (st -1(B ))=B (B ∈F0r),则易知h r 是弱保测的e 同态满射,而且容易验证,若r >r ′,则h r |F 1r ′=h r ′.故 r ∈R +,h ∞|F1r=h r .记h =h ∞.又由已知,存在{F 0r }停时列{f n ,n ∈N },满足f n ↑+∞(n →+∞)P 0.a .s .,且 n ∈N ,x (f n ∧r )是{F 0r }一致可积鞅.记x n (r ,w )=x (r ∧f n (w ),w )(r ∈R +,w ∈K 0,n ∈N ),n ∈N ,对r ∈R +,由定理2.2,存在F 1r 可测随机变量y n (r ) *K 0→R ,使 T ∈R ,h {y n {r )≥T }=h r {y n (r )≥T }={x n (r )≥T }.由推论2.1可知,y n (r )为一致可积随机变量,故y n (r )有提升Y n (r ) *K 0→*R ,使得Y n (r )∈SL (*K 0,*F0r,*P 0),°Y n (r )=y n (r )L (*P 0).a .s .. r 1,r 2∈R +,r 1<r 2, A ∈F1r1∩*F0r,由推论2.1,并考虑到h (A )∈F0r1,有°∫A (Y n (r 2)-Y n (r 1))d *P 0=∫A (°Y n (r 2)-°Y n (r 1))dL (*P 0)=∫A(y n(r 2)-y n(r 1))dL (*P 0)=∫h (A )(x n(r 2)-x n(r 1))dP=0.(8)则考虑到(8),并由引理3.2,存在*K 0的*有限剖分P 0满足:(i) n ∈N , r 1,r 2∈R +,r 1<r 2, A ∈L (P 0)∩*F 0r 1,有∫A(Y n (r 2)-Y n (r 1))d *P 0<1*C ard(P 0). (ii) k ∈N 以及B 1,...,B k ∈F0∞,而P 表示由*B 1,...,*B k 所生成的*K 0的*有限剖分,则P ≤P 0.若记P 0={P 1,...,PZ}(Z ∈*N ),则由上述性质(ii), B ∈F0∞,考虑到P ={*B ,*K 0-*B }即为*K 0的一个*有限剖分,故如果记I B ={i ∈*N |P i ∈P 0,*B ∩P i ≠ },则有*B =∪i ∈IBP i .从而P 0必为s -分离的.又由于F 0∞为无限代数,故有*C ard(P 0)∈*N -N .若记`～’为由P 0决定的*K 0上的等价关系,c*K 0→*K 0/～为自然映射.K =*K 0/～,P =c(*P 0),θ=h c -1,A 1为由P 0生成的内代数,而对r ∈R +记A 1r=A 1∩*F 0r ,A r=c (A 1r).由剖分P 0的性质推得 B ∈F 0∞,*B ∈A 1,从而F 1rL (A 1r).对r ∈R +∪{∞},令F r=c (F 1r),则由文献[7]可知F rc (L (A 1r))=L (c (A 1r))=L (A r).考虑到h :F 1∞→F 0∞为满射,易验证θ:F ∞→F 0∞为满射,θr=θ|F r:F r→F 0r为e 同态满射.这样,{(K ,{A r }r ∈R+,P );F r ,θ}为(K 0,{F 0r }r ∈R+,P 0)的弱Loeb 空间表示.易证θ为1-1映射.记λ=st c -1,则 r ∈R +∪{∞},有F r =c (F 1r )=c ({st -1(B )|B ∈F 0r })={c st -1(B )|B ∈F0r}={λ-1(B )|B ∈F0r},439第4期刘普寅,金治明:Radon 概率空间中随机过程到Loeb 概率空间中的转换从而θ(λ-1(B ))=θr (λ-1(B ))=h r c -1(λ-1(B ))=h r ((λ c )-1(B ))=h r (st -1(B ))=B ,故θ满足(6),对于n ∈N , r ∈R +,由于x n (r ):K 0→R 为F0r可测,则由定理2.1,存在x θr n (r ) K →R ,使之为F r可测的. T∈R ,θr {x θrn (r )≥T }={x n (r )≥T },定义x θR +×K →R如下:x θn (r ,w )=x θr n (r )(w ),则x θn 是{L (A r )}r ∈R +适应的随机过程.又任取r 1,r 2∈R +,r 1<r 2, B ∈L (A r 1),则有A ∈A r 1,L (P )(A △B )=0,故∫B(x θn (r 2)-x θn (r 1))dL (P )=∫A(x θn (r 2)-x θn (r 1))dL (P )=∫c-1(A )(y n (r 2)-y n (r 1))dL (*P 0)=∫c-1(A )(°Y n (r 2)-°Y n (r 1))dL (*P 0)=°∫c-1(A )(Y n (r 2)-Y n (r 1))d *P 0≤°(1/*C ard(P 0))=0.且由推论2.1,易证x θn 是一致可积的.这样,x θn 为关于{L (A r )}的一致可积鞅.又由定理3.2, n ∈N ,r ∈R +,w ∈K ,x θ(f θn ∧r ,w )=(x (f n ∧r ,w ))θ=x θn (r ,w ),即{x θ(f θn ∧r ),r ∈R +}是关于{L (A r )}的一致可积鞅.定理3.4　设x R +×K 0→R 为{F 0r }局部鞅,则存在(K 0,{F 0r }r ∈R +,P 0)的弱Lo eb 空间表示{(K ,{A r }r ∈R +,P );F r ,θ},使得x θ:R +×K →R 是关于{H r }的局部鞅.证明　由已知,存在{F 0r }停时列{f n ,n ∈N },满足f n ↑+∞(n →+∞)P 0.a .s .,且 n ∈N ,x (f n ∧r )是{F 0r }的一致可积鞅.记x n (r ,w )=x (r ∧f n (w ),w )(r ∈R +,w ∈K 0,n ∈N ).由定理3.3,存在(K 0,{F 0r }r ∈R +,P 0)的弱Lo eb 空间表示(K ,{A r }r ∈R +,P );F r ,θ},使得n ∈N ,x θ(f θn ∧r )是关于{L (Ar )}一致可积鞅.由定理2.4,{f θn ,n ∈N }是{H r }停时列,而f θn↑+∞(n →+∞)L (P ).a .s ..由定理3.1,x θ(f θn ∧r )是{H r }适应过程.任取r 1,r 2∈R +,r 1<r 2, A ∈H r 1,存在t 1∈T 0,t 1≈r 1,及B ∈A t 1,使L (P )(A △B )=0.任取n ∈N ,则t 1<r 1+1n且B ∈A r 1+1n,由定理3.2与推论2.1有∫A(x θ(f θn ∧r 2)-x θ(f θn ∧r 1))dL (P )=∫B(x θn (r 2)-x θn (r 1))dL (P )=∫θ(B )(x n(r 2)-x n (r 1))dP 0.由于θ(B )∈∩n ∈NF0(r 1+1n)=F0r1,则有∫θ(B )(x n (r 2)-x n (r 1))dP 0=0.从而x θn 是关于{H r }的一致可积鞅.至于x θ的右连续性,由已知与定理3.1即得.故x θ为{H r }局部鞅.对于局部鞅,假设与之相联系的e 同态θ满足(6).为了将半鞅转换到Loeb 概率空间中,先讨论有限变差过程的转换.称x R +×K0→R 为增过程,若 w 0∈K 0,x ( ,w 0)为R +上非负有限值的右连续增函数;若过程x 能够表示成两个增过程之差,则称x 为有限变差过程.由映射θ的性质并考虑440高校应用数学学报第13卷A 辑到定理3.1与定理3.4,容易证明下列的定理3.5　设有过程x R +×K 0→R ,则(i)若x 为增过程,那么x θ R +×K →R 也是增过程;(ii)如果x 为有限变差过程,则x θ也是有限变差过程.称过程x R +×K 0→R 为半鞅,若存在下列分解x =y +z ,其中y ,z R +×K 0→R 分别是关于{F 0r }的局部鞅与{F 0r }适应的有限变差过程.推论3.1　设x :R +×K 0→R 是关于{F 0r }的半鞅,则x θ R +×K→R 为{H r }半鞅.由定理3.4与定理3.5即可得到推论3.1的证明.§4　结束语本文我们已在R adon 概率空间中将局部鞅与半鞅转换到了超有限的Lo eb 概率空间中,那么对于一般的概率空间是不是也有相应的结果呢?这是一个非常值得探讨的问题.(本文作者通讯地址:长沙市国防科技大学系统工程与数学系　邮码　410073)参考文献[1]　L oeb ,P.A.,C onv er si o n from no nstanda rd to standard m easu re spaces and app lica ti o ns i n probab ili -ty theo ry ,T rans .Am er .M ath .S oc .,211(1975),113-122.[2]　Cu tland ,N .,N on standard A na l y sis and Its A pp licat i o ns ,C am b ridg e U n ive rsity P ress ,Cam b r i dge ,1988.[3]　A l bev er io ,S .,F en stad ,J .E.,H o eg h-K rohn ,R.and L i nds trom,T.L.,N on standard M e tho ds in S tochastic A naly sis and M a them a tica l P hy sics ,A cade m ic P ress ,N e w Y o rk ,1986.[4]　S troy an ,K .D .and Bayo d ,J .M .,F oundat i on s o f Infinite si m al S tochas ti c A na ly sis ,N o r th -H o lland,A m ste rda m,N ew Y o rk ,O x fo rd ,1986.[5]　L indstrom,T.L.,H y per fi n ite stochast i c i n teg ra tion Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,M ath .S cand .,46(1980),256-331.[6]　刘普寅,金治明,右连续上鞅的提升及其应用,高校应用数学学报,11A 3(1996),301-312.[7]　A nde rso n ,R.M.,S ta r-finite repre sen ta tion o fm easu re space ,T rans .Am er .M ath .S oc .,271(1982),667-687.[8]　严加安,鞅与随机积分引论,上海科技出版社,上海,1981.[9]　L and ,O .,and R og ge ,L .,U n ive rsal L o eb -m ea surab ility o f se ts and o f the standa rd pa r t m ap w ithapp licat i on s ,T rans .Am er .M ath .S oc .,304(1987),229-243.[10]　D av i d R o ss ,C om pa ct m ea sure s hav e L o eb p rei m ag es ,P roc .Am er .M ath .S oc .,115(1992),365-370.441第4期刘普寅,金治明:Radon 概率空间中随机过程到Loeb 概率空间中的转换442高校应用数学学报第13卷A辑CON V ER S I O N FROM RA DO N PRO BA BIL IT YSPA CE TO LO EB PRO BA BIL IT Y SPA CE FO RRA N DOM PRO CESSESL iu Puy i n　Jin Zh i m ing(D ep t.of Sy ste m E ng ineer i ng and M a the m atics,N a tio nal U niv ersity of D ef ense T echnology,C hang sha　410073)AbstractT he fu rther prope rties o f w eak Loeb space represen ta ti o n o f standa rd p robab ility space a re d iscu ssed i n the pape r,and loca lm ar ting ales,se m i m a rti n g a les in Radon prob a-b ility space a re conver ted in to a hy perfinite Loeb p robability space.T hus,an effec tive construction is set up fo r app lication o f the nonstanda rd ana ly sism e thod to sto chastic ana l-y sis.K eyW ords　H om om o rph is m,W eak Loeb Space Represen ta ti o n,S tandard Par t,Lo-ca lM ar ti n g ale,S e m i m ar ti n g ale.Subject C lassif ication　(CL)O211,O17;(1991MR)60G46,03H28.。

随机过程复习题2的答案

随机过程复习题2的答案1. 定义：随机过程是定义在概率空间上的随机变量序列，这些随机变量随时间或空间的变化而变化。

2. 分类：- 离散时间随机过程：随机变量序列的索引是离散的，例如整数序列。

- 连续时间随机过程：随机变量序列的索引是连续的，例如时间序列。

3. 基本特征：- 概率分布：描述随机过程在任意时刻的状态分布。

- 联合分布：描述随机过程在多个时刻的状态分布。

4. 重要随机过程：- 泊松过程：描述在固定时间或空间内随机事件发生的次数。

- 布朗运动（Wiener过程）：连续时间随机过程，具有独立增量和正态分布的增量。

5. 随机过程的数学描述：- 随机变量函数：每个时刻的随机变量可以看作是时间的函数。

- 样本路径：随机过程在特定样本空间中的实现。

6. 随机过程的性质：- 平稳性：如果随机过程的统计特性不随时间变化，则称其为平稳的。

- 遍历性：如果随机过程在足够长的时间后，其统计特性与初始状态无关，则称其具有遍历性。

7. 随机过程的应用：- 信号处理：分析和处理信号中的随机成分。

- 金融数学：模拟股票价格的变动。

8. 随机过程的数学工具：- 期望：随机过程在某一时刻的期望值。

- 方差：随机过程在某一时刻的方差，衡量其波动大小。

- 协方差和相关系数：描述不同时刻随机变量之间的关系。

9. 随机过程的极限定理：- 大数定律：随着时间的增长，随机过程的样本均值趋于其期望值。

- 中心极限定理：在一定条件下，随机过程的和趋于正态分布。

10. 随机过程的模拟：- 使用计算机模拟随机过程，例如通过生成随机数来模拟泊松过程或布朗运动。

结束语：随机过程是理解现实世界中不确定性现象的重要工具。

通过对随机过程的学习，我们能够更好地分析和预测各种随机现象，为科学研究和工程实践提供理论支持。

第5讲随机过程的基本概念

(1)对称性：对于1,2,…,n 的任意排列(1),(2),…,(n) 有
t ,...t (F1 ... Fn ) t
1 n
(1) ,
t ( n)
(F (1)
F ) （n）
(2)相容性：对于任意的自然数 k ,m,
t , t (F1 Fk ) t ,
5
1.5.2 随机过程的数字特征及有限维分布族
定义 1.5.1 设{Xt，tT} 为(,F, P) (E,E )随机过程，令 t1 , tn (F1 F2 Fn ) P[ X t1 F1, , X tn Fn ]; ti T 其中F1× ..., × FkE. 称 {t t : ti T ,1 i n, n 1} 为随机过程{Xt，tT} 的有限维分布族.
n n ( E,E ) ( R,B ( R)) 或 ( E,E ) ( R ,B ( R ))
2
数学解释：可认为{X (,t)， t T }是定义在T上的二元函数。当t固定时， X(,t)是r.v.(stat) ，当固定时， X(,t)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的样本函数或轨道(path)，样本函数的全体称为样本函数空间。
k
9
例1.5.2. 求随机过程 X (t ) X cosbt, 的一维密度函数族.这里b 是常数, X是标准正态随机变量. 解:(1)当cosbt≠0时,由X(t)=Xcosbt,X~N(0,1)知 X(t)~N(0,cos2bt),则X(t)的一维密度函数为
1 2cos2 bt f t ( x) e , x 2 cos bt x2
随机数学
第 5讲随机过程的基本概念
教师: 陈萍 prob123@

随机过程名词解释

随机过程名词解释
随机过程是一种统计学，它研究与时间无关的概率模型。

一、定义：随机过程是随机事件的序列，该序列取自某一个随机变量。

由于这些变量都可以用来描述随机过程，所以又把随机过程称为过程。

对于同一个随机过程，其“出现”的可能性总是相等的，故我们也说“可能性是相等的”。

有序的随机变量的集合称为概率空间，即具有某种特定形式的函数空间。

对于任何一个随机过程，它可以定义在这个空间内的每一点上，并且这个过程的概率与函数的局部值无关。

二、内容：①在随机过程中，系统的状态转移的结果(结果的概率)是随机变量(状态)的取值，而这些随机变量的取值是独立的; ②在随机过程中，系统状态转移的过程不是事先确定的，它们都是随机发生的; ③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。

①在随机过程中，任意两个系统的状态转移必然是相互独立的，因为随机过程中状态的转移是按照一定的概率规律进行的。

但是，这种状态的独立性不是绝对的，只要存在着某种随机干扰，则系统的状态就会从独立变成不独立。

所以，在随机过程中，状态的转移不一定是相互独立的。

②在随机过程中，系统的状态转移是随机变量序列，是一个取自随机变量集合的概率分布。

这些随机变量的取值是不相同的，或者说这些随机变量是以不同的概率出现的。

③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。

如在某随机过程X0=x+y的结果集中，
已知某两个结果Y=-0.6和Y=-0.08，那么无论对哪个结果Y，人们都知道它对应着概率P=0.08。

数学中的随机过程

数学中的随机过程在数学领域中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。

它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、金融学、物理学等。

随机过程的研究可以帮助我们理解和预测一系列随机事件的发展趋势。

本文将介绍随机过程的定义、分类以及一些常见的应用。

一、定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个确定的参数，通常是时间。

宽泛来说，随机过程可以定义为一个概率空间和状态空间的笛卡尔积。

具体而言，随机过程可以表示为：{X(t), t∈T}其中，X(t)是随机变量，t是参数，T是参数的取值范围。

X(t)表示在时间点t上的随机变量。

随机过程可以描述为在不同时间点上具有不同取值的随机变量的集合。

二、分类根据状态空间的特点，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。

1. 离散随机过程离散随机过程是指参数的取值范围是离散的，通常为整数集。

在离散随机过程中，时间参数在一系列离散的时间点上取值。

2. 连续随机过程连续随机过程是指参数的取值范围是连续的，通常为实数集。

在连续随机过程中，时间参数可以取任意实数值。

三、常见应用随机过程在许多领域中都有着重要的应用。

下面介绍几个常见的应用领域。

1. 随机游走随机游走是一种描述随机变动的过程，在金融学中有着广泛的应用。

例如，股票价格的变动可以通过随机游走模型来描述，即股价在不同时间点上随机上升或下降。

2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”特点。

在统计学中，马尔可夫链被广泛用于建立概率模型和预测模型。

它可以用于分析随机事件之间的转移概率，并通过转移矩阵来描述状态的变化。

3. 随机优化随机优化是将优化问题与随机过程相结合的一种方法。

它应用于各个领域，如供应链管理、交通运输规划等。

通过引入随机因素，可以更好地解决实际问题中的不确定性和风险。

4. 随机微分方程随机微分方程是描述随机现象演化的数学方程。

它在物理学、生物学等领域中有重要应用。

通过随机微分方程，可以模拟和预测许多随机事件的变化趋势。

随机过程-第一章__概率预备知识

概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)

随机过程知识点-概率空间

第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。

定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。

如果（1）∈ΩF ；（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ；（3）若∈n A F ，，，21=n ，则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。

(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。

由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。

如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。

定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族。

§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。

§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。

上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。

方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。

随机过程概要及概率基础

四、事件独立： P( AB) P( A)P(B)
n个事件独立， 2n n 1 个表达式。
随机变量独立：X1 , X 2 , , X n 独立，要求
联合密度为边缘密度之积，即：
F x1,, xn FX1 x1 FXn xn
F 其中， X j
xj
lim F xi
x1, , xn
随机过程概要及概率基础
二、随机数学发展概述
随机数学
stochastic mathematics
概率论
probability theory
随机现象偶然性
数理统计
Mathematical statistics
内在规律必然性
随机过程
stochastic process
3 随机过程
➢Brown运动: 1827 年，Brown在显微镜下发现花粉的无规则运动, 将此奇怪现象公诸于世, 无人能解释原因. 1900年，法国数学家Bachelier给出一维 Brown运动粗略模型, 其博士论文为《投机的理论》，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河，但他的结果几十年之后才得到认可.
1.2 随机变量
随机变量X分布函数: Fx PX x
满足：
(ⅰ) 单调不减； (ⅱ) 右连续；
(ⅲ) F 0 ；
(ⅳ) F 1 ；
Fx f x
概率空间( , F, P) 实数a,{ : X () a} F;
这里指的是可测集《 , 实变函数》《应用数学基础》讲Lebesgue可测，是指：{x D : f (x) a}为可测集.
同时， P Xn 1 (一般项趋于1)， n 1
P(lim sup( X n
0)
1.这样无穷多个X

随机过程第3章

第三章随机过程一. 随机过程的基本概念 1.1 随机过程的定义设（Ω，F ，P ）为给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,P ΩF 上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}t X ω，{}t X 或(){}X t注：随机过程(){}:,t X t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间0t ，是0(,)X t ω是概率空间(),,P ΩF 上的随机变量；对于给定样本点0ω∈Ω，0(,)X t ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。

E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用“t X x =”表示t X 处于状态x1.2随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续型随机序列、离散型随机序列1.3 有穷维分布函数设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,n t t X X 构成n 维随机向量()1,,nt t X X ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t n t t n F x x P X x X x =≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,nt t n f x x 。

我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n F x x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。

二.随机过程的数字特征 2.1 数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==⎰()t E X 是时间t 的函数2.2 方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差随机过程{}t X 的二阶原点矩定义为22()()tt E X x dF x +∞-∞=⎰注：2()X t σ是时间t 的函数，它描述了随机过程()X t 的诸样本对于其数学期望t μ的偏移程度2.3 协方差函数和自相关函数随机过程{}t X 对于任意12,t t T ∈，其协方差函数定义为12112212(,)(,)[(())(())]X t t t t t t c t t Cov X X E X E X X E X ==--当12t t t ==时，协方差函数就是方差随机过程{}t X 的自相关函数（相关函数）定义为121212(,)(),t t R t t E X X t t T =∈当12t t t ==时，自相关函数就是二阶原点矩。

概率论与随机过程：1-2,3 事件的概率概率空间

解：试验为从1，2，……，N个数中有放回地依次取k 个数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为Nk。
（1）因k个数字完全不同，实际为不可重复的排列，基本事件个数为：
C
k n
k!
P( A)
C
k n
k!
Nk
(2) 同理
P(B) (N r)k Nk
(3) 同理
P(C )
C
m k
(N
1) k m
Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最
大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
P(D) M k (M 1)k Nk
例：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，
求事件Ak={第k次取出白球}的概率。解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出
解：令B={恰有k件次品}
P(B)=？
P(B)
M k
N n
M k
N n
M件次品
这是一种无放回抽样.
次品正品
N-M件正品
……
例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只
的分法总数为 (2n)!
a 1
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
Ca ab
N
a 1
N
b 2
N ab
(二) 放球问题
n个球，随机的放入N个盒（n≤ N），每盒容量不限，观察放法：
(1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)； (2)恰有n个盒中各有一球Ａ2,求P(A2); (3)某指定的盒子中恰有k个球A3,求P(A3).

随机过程概率空间ppt课件

公理:
1) A F, 0 P( A B) 1;
2) P(Ω B) 1;
3) Ai Fi 1,2, ,且 Ai Aj ,(i j),则
P
Ai
i 1
B
P
i 1
Ai
B
.
条件概率是概率.
定义:记PB= P(·|B）,则PB 是可测空间(Ω,F) 上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.
Ai F i 1,2, , n, Ai Aj ,(i j)
则
P
n
Ai
n
P( Ai );
i 1 i 1
推论1: PA PA 1;
推论2 (单调性):若 B ，A则
P(A－B)=P(A)－P(B) 且 PA PB,
3) 概率的单调性
A1
若 A1 A2 , 且 An , An n1
kA
k! kΩ
k!
3) 设 Ai F, (i 1,2, ), Ai Aj ,(i j),
有
P
Ai
i 1
eλ λ k k!
k Ai
i 1
i 1 kAi
eλ
λk k!
P( Ai ).
i 1
三、概率性质
设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
2)有限可加性: 若
Ak,s Ak As k, s 1,2, , n,
Ai,k,s Ai Ak As i, k, s 1,2, , n
………
Ai1 ,i2 , ,in1 Ai1 Ai2 Ain1
i1, i2 , , iБайду номын сангаас1 1,2, , n
可验证集族 {, , Ak , Ak,s , , Ai1,i2 , ,in1 } 组成一个σ代数. 2. 仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为

Wiener过程

(
)
Itô引理和Itô公式 Itô引理和Itô公式
于是
S (t ) = exp µ − 1 σ 2 t + σ z (t ) S (0) 2
{(
)
}
}
即
S (t ) = S (0) exp µ − 1 σ 2 t + σ z (t ) 2
{(
)
所以只要S(0)是正的，则S(t)就是正的。由此，{S(t), t 是正的，就是正的。所以只要就是正的由此，{ ≥0}称为几何Brown运动。称为几何Brown运动。
T
Wiener过程的性质 Wiener过程的性质
设{z(t), t ≥0}是一个Wiener过程，根据特征1，是一个Wiener过程，根据特征1 可以知道 1. 对固定的t>0， z(t)是一个0均值，方 t 是一个0 差为t 差为t的正态随机变量，即 z(t)~ N(0, t)。 2. 当∆t →0时， ∆z(t) 可以写成dz(t)， z z 这时 dz(t) = ε (dt)1/2 z
2 dY (t ) = ∂G + ∂G a ( X (t ), t ) + 1 ∂ G b 2 ( X (t ), t ) dt + ∂G b( X (t ), t ) dZ (t ) ∂t ∂x 2 ∂x 2 ∂x
Itô引理和Itô公式 Itô引理和Itô公式
∂G + ∂G a()x(t ), t ) + 1 ∂ 2G b 2 ( x(t ), t ) dt + ∂G b( x(t ), t )dz (t ) (dy (t ) = ∂t ∂x 2 ∂x 2 ∂x
Stochastic Processes随机过程 Processes随机过程

随机过程第一章预备知识及补充

且 A limsup An 。若 P( An ) ，则
n
PAn,i.o. P(A) 0
命题 1.3（波莱尔－坎泰利（Borel-Cantelli）第二引理）：如果An , n 1 为独立的事件
序列，使得 P( An ) ，则 n1
PAn,i.o. 1
第一引理证明：
根据定义 1.4 对事件序列An , n 1 上极限的定义可知，因为样本点在无穷多个事件
n1
n1
假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件
发生的概率的和。）；
当 An , n 1, 2,两两互不相容时，则 P( An ) P( An ) ；
n1
n1
概率函数 P 的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事
件的概念。定义如下：
An , n 1发生，则在 An ,k 1也同样发生，从而在
An 亦发生；另一方面，如果
nk
k 1 nk
样本点在
An ，则对于 k 1，在 An 发生，从而对于 k 1至少有一个 n k ，
k 1 nk
nk
即 n k ，使得在 An 发生，因此有在无穷多个 An 发生。
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
如果
An
,
n
1
是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
lim
n
An
：
lim
n
An
Ai ；
i 1
如果
An
,
n
1
是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为

随机过程第一章

b

b
a
x dF ( x)
E[g(X1 , X 2 , E[X1X 2
X n )]
n

g ( x1 , x2 ,
xn ) dF ( x1 , x2 ,
xn )
X n ] E[X i ]
i 1
1.5.3 矩与联合矩假设随机变量X 的概率密度函数为 f ( x)，则定义 1）绝对原点矩和联合绝对原点矩
(1) (2) (3) (4)
g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) [m g ( x) ng ( x)]dF ( x) m g ( x)dF ( x) n g ( x)dF ( x) g ( x)d[mF ( x) n F (x)] m g ( x)dF ( x) n g( x)dF ( x) F(x)为X 连续随机变量的PDF g ( x) dF ( x)= g ( x)f ( x) dx
E [ XY ] E [ X ]E [ Y ]
2 2 2
2 2
1.6 特征函数和概率母函数
1.6.1 特征函数随机变量X的特征函数定义为
( ) E[exp(j X )] exp( j x) f ( x)dx , 连续RV , R exp( j X i ) P(X X i ) , 离散RV i
4）事件域（ F ）样本空间的若干子集构成的集合
事件域性质
（1） F， F
（2） A，B F ，则A B F ，A-B F
（3） A n F ， n 1,2,
（4） A F ，则A F

随机过程第四版_Ch1_刘次华_(修改)

peit 1 qeit
ps 1 qs
1.4 特征函数、母函数
常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和矩母函数
分布
均匀分布
期望
ab 2
方差
特征函数矩母函数
e ibt e iat i (b a)t e bt e at (b a ) t
b a 2
12
N ( , )
Y Xk
k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N,X1的母函数
• 例：某商店一天到达的顾客总数N服从均值λ的泊松分布，用X1,X2,…,XN表示各顾客购买商品的情况， Xi=1表示第i 个顾客购买了商品， Xi=0表示第i个顾客没有购买商品， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p=q, i=1,2,…,N。 X1,X2,…,XN相互独立且和N独立。用Y 表示购买商品的顾客数，求Y的分布，及EY。
例：观察某路公交车某站候车人数，
={0,1,2,„}；
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,„} ， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
B＝{至少有0人候车}= ,为必然事件
C＝{有1.5人候车} = Φ,为不可能事件，Φ 不包含
任何样本点。
1.1 概率空间
定义1.1 -代数(事件域) 集合的某些子集组成集合族F （1）F （必然事件）（2）若AF, 则\AF （对立事件）（3）若AiF,i=1,2…，则 A F （可 i i 1 列并事件）
F4 ={，{正反}， {正正，反正，反反} ， } Fi为-代数，（，Fi）为可测空间
F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}， {正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}， {反正，反反}，{正正，正反，反正}， {正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}} 为-代数，（， F ）为可测空间

随机过程第1-2讲

中科院研究生院 2010～2011 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
cos π t , 当出现 H 时 X (t ) = 2t ，当出现 T 时
t ∈ (−∞ , + ∞)
其中 P{H } = P{T } = 1 / 2 ，则 { X (t ) , t ∈ ( −∞ , + ∞ )} 是一随机过程。试考察其样本函数和状态空间。例 2：设
X (t , ω ) : T × Ω → R
即 X (⋅, ⋅) 是一定义在 T × Ω 上的二元单值函数，固定 t ∈ T ， X (t , ⋅) 是一定义在样本空间 Ω 上的函数，即为一随机变量；对于固定的 ω ∈ Ω ， X (⋅, ω ) 是一个关于参数 t ∈ T 的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。记号 X (t , ω ) 有时记为 X t (ω ) 或简记为 X (t ) 。常用的参数一般有：（1）T = N 0 = {0,1,2,L} ；参数 T 一般表示时间或空间。（2） T = {0,±1,±2,L} ；（3） T = [ a, b] ，其中 a 可以取 0 或 − ∞ ，b 可以取 + ∞ 。当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程 { X (t ); t ∈ T } 可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作 S 。 S 中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。例 1：抛掷一枚硬币，样本空间为 Ω = {H , T } ，借此定义：
3．随机过程的数字特征
（一）单个随机过程的情形
中科院研究生院 2010～2011 第一学期
随机过程讲稿

随机过程(一)

应用随机过程
肖争艳中国人民大学统计学院 zhengyanxiao@
1
教材与参考书
教材
– 张波、张景肖编著，《应用随机过程》
– A.G Malliaris and W.A.Brock, Stochastic Methods in Economics and Finance, Elsevier Science B .V.
2
什么是随机过程
随机过程是概率空间(,F ,P)上一族取值于S的随机变量{X(t), t∈T}，其中t为参数，它属于某个指标集T。T称为参数集。S称为状态空间
常见的参数集T： T {0,1, 2,L },T {0,1, 2,L , n} T [0,),T [a,b]
4
X(t1,ω)
X(t2,ω)
t1
t2
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) tn
定义对每一固定w∈，称X(t,w)是随机过程
{X(t,w), t∈T, w ∈ }的一个样本函数.
也称轨道, 路径,现实5.
随机过程的分布
一维分布
F (t, x) P( X (t) x)
X (t) E( X (t))
几乎处处收敛
依概率收敛
r阶矩收敛
依分布收敛
1、所有反方向都不成立；
2、几乎处处收敛与r阶矩收敛没有蕴含关系；
3、在学习随机过程的收敛性一定要注意是哪种含义下的
收敛。
13
例：设X1，X2，…，独立同分布，且
E(X1)=, 则对任意>0,
弱大数定律
lim
n
P{|
1 n
n k 1
Xk

|

(完整)应用随机过程学习总结,推荐文档.doc

应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。

1、概率空间方面，主要掌握sigma 代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。

符号解释： sup 表示上确界， inf 表示下确界。

本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。

其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的 N 阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。

3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。

条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。

因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由 Kolmogorov 定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。

同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。

1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1) 和 X(t2) 的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t) 的协方差函数 r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。

因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。

2、独立增量过程：若 X[Tn] – X[T(n-1)] 对任意 n 均相互独立，则称 X(t) 是独立增量过程。

若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。