随机过程概率空间

注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同, 其样本空间和代数的结构会不同.
定义(可测空间)：样本空间Ω和σ代数的二元体 (Ω,F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质：
1. F ;
2.对可列交运算封闭,若
Ai 则有F (i 1,2, ),
Ai F
i 1
证
因 Ai Ai ,
i1 i1
推论2 (单调性):若 ，则 P(A－B)=P(A)－P(B) 且
B A
PA PB,
3) 概率的单调性
A1
若 A1 A2 , 且 An , An
n1
则 lim P( An ) 0.
n
证：
An+1
An An An1 An1 An2
Ak
Ak1
ˆ
Bk ,
kn
kn
n 1,2,
k Ai
i 1
i 1 kAi
eλ
λk k!
P( Ai ).
i 1
三、概率性质
设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
2)有限可加性: 若
Ai F i 1,2, , n, Ai Aj ,(i j)
则
P
n
Ai
n
P( Ai );
i 1 i 1
推论1: PA P A 1;
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
1
P( A1)
P
Bk
k 1
P
Ak
k 1
Ak1
0
收敛级数的余项极限为0,(as ),即
n
PAn
PAk
Ak1
0,
(as
n ).
kn
推论1：
若 A1 A2 , 且 An A,则
n1
推论2：
lin PAn PA.
n
若 A1 A2 , 且 An A,则
Ai F Ai F
Ai F Ai F
i 1
i 1
3. 对有限并,有限交封闭：若
则
Ai F i 1,2, , n
n
n
Ai F, 或 Ai F
i 1
i 1
4.对差运算封闭,即若 则 . A F, B F, A B F
A B A BF
二、概率的公理化定义
柯氏公理体系是现代概率论的基石.
P(B C A) P(B A)
P( ABC ) / P( AB) P( ABC ) P(C A B). P( A) P( A) P( AB)
Ex. 10 张签中有三张幸运签,3人依次各抽一 张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到, 问第三人抽到幸运签的概率.
解 设 Ai={第i 人抽到幸运签}, i=1,2,3.
i 1
完备性 条件.
则对任意B∈F 有
1)
n
PB P( Ai )P(B Ai );
i 1
2)
P(Aj B)
P(Aj )P(B Aj )
n
, j 1,2, .
P( Ai )P(B Ai )
i 1
定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间，对 定义在F上的实值集函数P(A), 满足
AF
1) 非负性：对 2) 规范性:P(Ω) = 1;
A F, 0 PA 1;
3) 完全可加性,对
Ai F i 1,2, , Ai Aj , i j,
有
P
Ai
Baidu Nhomakorabea
PAi
i1 i1
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A
i 1
Ai
B
.
条件概率是概率.
定义:记PB= P(·|B）,则PB 是可测空间(Ω,F) 上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.
定理：设A是概率空间(Ω,F, P)上的正概率事件,B∈F, 且PA(B)>0, 则对任意C∈F 有
PA C B P(C A B)
证
PA
CB
PA(B C ) PA ( B )
设 Ai F, i 1,2, , n, 有
P
n
Ai
i 1
n
P
i 1
Ai
1ik n
PAi Ak
1n1
P
n
Ai
i 1
.
推论：概率具有次可加性
P
n
Ai
i 1
n
P
i 1
Ai
.
四、条件概率
定义：设(Ω,F, P)是概率空间，A, B∈F， 且P(B)>0
PA B ˆ
PAB PB
称为已知事件B发生的条件下，事件A 发生的
第一章 预备知识
§1.1 概率空间
§1.3 随机变量的数字特征 §1.4 特征函数、母函数 §1.5 收敛性与极限定理
§1.1 概率空间
一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率 等定义，有如下问题：
对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个 子集(事件)都能确定概率?
定义(σ代数)：设随机试验E 的样本空间为Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足
记
PA1
P(
A1), 有 PA1 ( A2 )
P( A2
A1)
2, 9
所求概率为
1 PA1( A3 A2 ) P( A3 A1A2 ) 8 .
五、全概率公式与Bayes公式
定理：设 (Ω,F, P)是概率空间,若 1) A i∈F, 且 P(Ai)>0 ，(i=1,2, …n);
2)
n
Ai Ω , Ai Aj .
样本空间为 构造如下事件:
Ak k k 1,2, , n
Ω 1,2, ,n
Ak,s Ak As k, s 1,2, , n, Ai,k,s Ai Ak As i, k, s 1,2, , n
………
Ai1 ,i2 , ,in1 Ai1 Ai2 Ain1
i1, i2 , , in1 1,2, , n
n1
lin PAn PA.
n
A 证：在推论1中
令 Bn An A,则B1 B2 ,
且 Bn An A
n1 n1
Bn= An - A
An
n1
A A
A
lim PBn 0 PAn PA PAn A 0. n
PAn PA (as n )
4）多除少补原理
条件概率.
定理：设(Ω,F,P)是概率空间,B∈F,且P(B)>0,则
对
有
A F,
对应, 集函数
P(A B)
满足三条公理:
P•B
1) A F, 0 P( A B) 1;
2) P(Ω B) 1;
3) Ai Fi 1,2, ,且 Ai Aj ,(i j),则
P
Ai
i 1
B
P
(1) Ω∈F ;
A F (2)若A∈F,则 .（对逆运算封闭）
（对(3可) 若列并运算A封i闭则）F i 1,2, ,
Ai F
i 1
称F为Ω的一个σ-代数（事件体）, F 中的集 合称为事件.
F的定义给出了事件间类似于代数学中的代 数结构.
Ex1：在编号为1,2，…,n 的 n个元件中取一件， 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为
可验证集族
{, , Ak , Ak,s , , Ai1,i2 , ,in1 }
组成一个σ代数.
2. 仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1={取到正品}, A2={取到次品}
则 F {为一, A个σ1代, A数.2 ,Ω}
通常称F {, A, A,Ω}是最简单代数.
Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实际长 度的误差.
PΩ
eλ λ k eλ
λk
1
kΩ
k!
k0 k!
2) 因 λ 0， 对k 有 eλ λ k 0,
k!
0 P( A) eλ λ k eλ λ k 1;
kA
k! kΩ
k!
3) 设 Ai F, (i 1,2, ), Ai Aj ,(i j),
有
P
Ai
i 1
eλ λ k k!
的概率.
三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
Ex: 设某路口到达的车辆数为m,基本事件
为{m},样本空间
F是Ω的一切子集
Ω 组成的集族，则F是一个σ代数. 0,1,2, ,
定义P(φ)=0,并对A∈F 令
PA eλ λ k ,
kA k!
证明 P为可测空间(Ω,F)上的概率.
λ 0
证: 1)
基本事件为{x},样本空间为
Ω x : x R1 R1
,Ω 则R1的子集全体： ,单点集{ x }，一切开的,
闭的，半开半闭区间等组成的集族F是一个代数.
另外，令
A1 x : x 0 ={出现正误差} A2 x : x 0 ={出现负误差} 则 F , A1 ,为A一2个,Ωσ代数.