第二章一维无限势阱模型

求出方程的通解
波函数边界条件
一维无限深势阱
定态薛定谔方程
2 2m
d
22 (x)
dx2
E2
(x)
2mE 2
1/ 2
能量本征值
En
n2 22
8ma2
n2 E1
(n 1,2,3, )
n
A sin
n
2a
(x a),
n为正整数， x a
0 x a
nndx
1
能量本征函数
n (x)
1 sin( n x n )
U(x) U0
U0,0 x a;
U (x)=
1 23
0a
x
0, x 0, x a,
经典力学： 若E<U0，则粒子不能进入势垒，将全部被弹回去 若E>U0，则粒子将穿过势垒
量子力学：不论粒子的能量为何值，将按一定的几率穿透势垒、 也可以按一定的几率被势垒反射
•粒子的能量E<<U0时，透射系数随势垒宽度的加宽而指数下降。
• 若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函
数 ，如 Fˆ n fn n ，则称此方程为该算符的本征方程，
称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本 征波函数
例如哈密顿算符
Hˆ 2 2 U (r) 2m
定态薛定谔方程 Hˆ E 就是哈密顿算符的
本征值方程，E 称为哈密顿算符的本征值，(r,t)
1 0
由定态波函数的边界条件
x a
(U )
1(a) 2 (a),1(a) 2 (a)
4 薛定谔方程的解
首先，引入符号
定态薛氏方程化为
2mE 2
1/ 2
d 2(x) 2(x) 0
dx 2
它的解为
2 Asin x B cosx
根据边界条件有 Asin a B cosa 0
Asin a Bcosa 0
因此线性谐振子具有分立的能级为
En
(n
1 )
2
n=0,1,2…
U(x)
E
n2
n0
x
相邻两能级间距 E En1 En
基态能量 E0 / 2 零点能
谐振子的基态能量不为零，是微观粒子波动性的体现
静止的波是不存在的
如果不考虑零点能，谐振子的能量 量子化的假说
En
n,验证了Planck
例题
利用不确定关系估算谐振子的零点能
• 常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定
的势场问题，这称为定态问题
自由运动粒子………… U = 0
氢原子中的电子……
U r 1 e2
40 r
1 定态薛定谔方程的建立
用分离变量法求解薛定谔方程的特解
设 (r,t) (r) f (t)
i d (r,t) Hˆ (r,t)
解：利用坐标和动量的不确定关系 x2 p2 2
4
谐振子的能量不确定度为：
E p2 1 m 2 x2
2m 2
2
8mx2
1 2
m 2 x2
使ΔE取极小值条件
dE
d x 2
1 m 2
2
2
8mx4
谐振零点能为
E
44 2
x2
2m
隧道效应 tunneling effect
1. 势垒
设有一定能量E的粒子，沿x轴方向射向势垒
a 2a
我们称这时波函数具有偶宇称
当n为偶数时 n (x) n (x)
我们称这时波函数具有奇宇称
• 并非所有的函数都有确定的宇称
• 在一维情况下，只有在势能函数具有空间反演对称性： U(x)=U(-x)，是x的偶函数时，波函数才有确定的宇称
一维线性谐振子模型
• 分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似地看作处在 以平衡位置为中心的弹性力场中。按经典力学，它们将以一 定的频率围绕平衡位置做简谐振动。
2 2 U (r) E
2m
定态薛定谔方程
2 定态薛氏方程的边界条件和波函数满足的条件
边界条件： 在不同势能区域之间的边界上波函数连续，在有限势 能边界上波函数对空间坐标的一阶微商连续
波函数满足的条件：
1）归一化条件： (x) 2 1
2）束缚态条件： lim (x) 0 x
3 本征值、本征函数 eigenfunction
思考：若势能U(x)改变一个常数C,即U(x) U(x)＋C，粒子 能量本征值是否改变？能量的本征函数是否改变？
作业题：讲义P76，第22、23题
思考题： 经典谐振子和量子谐振子的区别 作业题：讲义P76，第7、27题；
1 能量为1eV的电子遇到宽度为0.1nm，高度为2eV的势垒， 电子穿过势垒的概率是多少？
第二章 定态薛定谔方程
定态薛定谔方程 一维无限势阱模型 一维线性谐振子模型 隧道效应(势垒贯穿)
定态薛定谔方程
• 薛定谔方程是描述体系的状态如何随时间变化 • 特殊的状态，就是能量取确定值的状态，称之为稳定状态，
简称定态 stationary state • 定态下，能量的取值不随时间的变化而改变 • 描述定态的波函数称为定态波函数 • 定态波函数满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程
dt
Hˆ(r) E(r)
E是不依赖r和t的常数
i df Ef
f (t) C exp[iEt / ]
dt
体系处于
(r,t)
(r)
exp[
iEt
/
]
所描写的状态时
能量有确定的值，称这种状态为定态
在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量
(r,t) (r) exp[iEt / ] 定态波函数
• 在粒子能量E<<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无 法解释。
入射波＋反射波
U(x)
透射波
x
隧道效应的实质
1 隧道效应
• 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 • 类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰， 只存在一条无形的势垒曲线
2 原因
微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理 性质的两空间的界面，例如，光波的透射
作业：
1 一维无限势阱，粒子的势能为
U
(x)
0
(0 x a) (x a, x 0)
求粒子的本征能量和本征函数
2 设有一电子在宽为0.20nm的一维无限势阱中，计算
(1) 电子在最低能级的能量，（2）当电子在第一激发态(n=2)时 在势阱中何处出现的几率最小，其值为多少？
3 讲义P75，第20题
• 双原子分子的两原子间的相互作用
U(x)
势能U(x)可在平衡位置展开为
aa x
两原子间的互作用能
U U0 k(x a)2 / 2
k
2U x 2
xa
式中k和U0都是常量
x=a是一个稳定的平衡点
一般来说，一个体系在平衡点附近的行为，都可近似 为一维线性谐振子问题
2 线性谐振子的能量本征值
谐振子的能级
n
A sin
n
2a
(x
a),
n为正整数， x a
0 x a
因为
2mE 2
1/ 2
n (n 1,2...)
2a
En
n2 22
8ma2
n2 E1
(n 1,2,3, )
常数A可由归一化条件,确定
nndx 1
请同学们自己试一试
能量本征函数
n (x)
1 sin( n x n )
a 2a 2
束缚态 基态 宇称
1 束缚态 boundቤተ መጻሕፍቲ ባይዱstate
• 束缚态：粒子只能束缚在有限区域内，在无限远处波函数 为零的状态（断续谱）
• 非束缚态：在无穷远处发现该粒子的概率不为零（连续谱）
• 一维无限势阱中给出的波函数全部是束缚态
2 基态 ground state
• 粒子能量最低的本征态
•
称为哈密顿算符的本征波函数(能量本征态)
一维无限势阱模型
1 一维无限深方势阱 square potential well
粒子的势能具有如下形式
0 (a x a) U (x) ( x a)
U→∞ U(x) U→∞
• 是一个理想模型，适 用于原子内层的电子、原
子核中的质子
U=0
Ⅰa Ⅱ a Ⅲ x
一维无限势阱中的粒子，阱内粒子的最低能量
E1
22
8ma2
n=1的本征态为基态
• 一维线性谐振子的基态为n=0的本征态
3 宇称 parity
由一维无限势阱的本征态，可以证明
当n为奇数时 n (x) n (x)
n (x)
1 sin nx , n 2,4,6...
a 2a
1 cos nx , n 1,2,3...
1 一维线性谐振子 如果粒子的势能具有如下形式 U (x) 1 m 2 x2
2
这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子
➢ 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成 几个独立的一维谐振子
➢ 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究
➢ 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之 间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题
A、B不能同时为零
sin a 0
或
cosa 0
当 cosa 0
n (n为奇数)
2a
同时有 A 0
第一组
n
B cos
n
2a
x,
n为奇数， x a
0 x a
当 sin a 0
n (n为偶数)
2a
同时有 B 0
第二组
n
A sin
n
2a
x,
n为偶数， x a
0 x a
将上面两个解合并写为
a 2a 2
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程 定态波函数
2 2 U (r) E
2m
(r,t) (r) exp[iEt / ]
边界条件：波函数及其一阶微商连续
波函数满足的条件：
(x) 2 1
lim (x) 0
x
解
确定粒子势能的表达式
题
思
能量的本征值和本征函数
路
能量本征函数归一化
列出定态薛氏方程 引入参数 化简方程
无限深方势阱
• 阱指的是势能曲线的 形状，是无形的阱
• 波函数在势阱之外为零
2 一维无限势阱的定态薛氏方程
在阱内(-a < x < a)
2 2m
d
22 (x)
dx2
E2 (x)
在阱外(x -a, x a)
2 2m
d
21 ( x)
dx2
U1 ( x)
E1(x)
3 边界条件
在 阱外U→∞，所以有